薄壁圆筒扭转时的切应力补充.pdf

[ ] τ max
=
Tmax WP
≤
τ
2、截面设计——已知载荷及[σ]，根据强度条件设计
截面尺寸；
WP
≥
Tmax
[τ ]
3、许可载荷——已知A及[σ]，根据强度条件确定许
可载荷；
Tmax ≤ [τ ]WP
例1 一轴AB传递的功率为PK=7.5kW ， 转 速 n=360r/min 。 轴 AC 段 为 实 心 圆 截 面 ， CB 段 为 空 心 圆 截 面 ， 如 图 所 示 。 已 知 D=3cm，d=2cm。试计算AC段横截面边缘处 的切应力以及CB段横截面内外边缘处的切
所以传动轴满足强度条件
(2)若把该传动轴改为实心轴，其最大切应力应为51MPa。
设实心轴的直径为D2 ,则有
τ max
=
T WP
=
1500
π
16
D23
= 51×106 Pa
D2
=
3
1500 ×16 3.14× 51×106
= 0.0531m
在两轴长度和材料相同时，两轴重量之比等于横截面面积之比。
设空心轴和实心轴的横截面面积分别为A1、A2，则
应解力：。（1）计算扭矩，轴所受的外力偶矩为
Me
=
9549
P n
= 199 N⋅ m
由截面法，各横截面上的扭矩均为
T = Me = 199 N⋅ m
（2）计算极惯性矩，AC段和CB段轴横截面的极 惯性矩分别为
( ) I P1
=
πD 4 32
=
7 .95 cm
4
IP2
=
π 32
D4 − d4
= 6 .38 cm 4
=
T Ip /
R
τ max
=
T WP
τρ
=
Tρ
IP
WP
=
IP R
— 扭转截面系数(单位：m3)
T
T
注：上式仅适用于等直圆轴； 线弹性范围，小变形。
四、IP、WP的计算
1、实心圆轴
取微圆环，dA=2πρ.dρ
dρ
D
ρ
O
∫ ∫ I p =
ρ 2 dA =
A
D / 2 2πρ 3 d ρ = π D 4
ab l
γ
a
γ
b
b’
4、剪切胡克定律
当切应力小于剪切比例极限
τ = Me 2πr02t
γ = rϕ
l
τ ∝ Me
γ ∝ϕ
得
τ = Gγ
ϕ ∝ Me
γ
剪切胡克定律：当切应力不超过剪切比例极限τp时，切 应力τ与切应变γ成正比。
G—材料的切变模量，与应力同量纲
对各向同性材料
G= E
2(1 + ν )
5、切应力互等定理
T = ∫ ρτ ρdA A
∫ ∫ ∫ T =
A ρτ ρ dA =
ρ 2G dϕ dA = G dϕ
A
dx
dx
ρ 2dA
A
∫ IP =
ρ 2dA
A
IP为几何量，只与横截面的尺寸、形状有关， 称为横截面对圆心O的极惯性矩；单位为m4。
T
=
G
dϕ
dx
IP
dϕ = T
dx GIP
τ max
=
TR IP
0
32
WP
=
IP R
= πD 3
16
2、空心圆轴
Ip
=
πD 4
32
WP
=
πD 3
16
∫ ∫ I p =
ρ 2 dA =
A
D / 2 2πρ 3dρ = π ( D 4 − d 4 )
d /2
32
= πD 4 (1 − α 4 )
32
α=d D
WP
=
IP R
=
π D 3 (1 − α 4 )
16
dρ
D
变形： （1）各圆周线的形状、大小及间距均不变，仅绕轴线相 对转过了一个角度。
（2）各纵向线均倾斜了一微小角度γ。
（3）原矩形变成平行四边形
平面假设: 圆轴扭转变形后 横截面仍保持为平面，形状 和大小不变，半径仍保持为 直线；且相邻两截面间的距 离不变
γ ≈ tgγ = dd ' = R dφ
ad dx
A1 A2
=
π
4
(D2 − d2)
π
4
D22
= 0.31
T
T
(τ ⋅tdy)dx = (τ ′⋅tdx)dy
⇒τ =τ′
即，在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对出现， 且大小相等，均垂直于两平面的交线，方向共同指向或 共同背离这一交线。
——切应力互等定理 纯剪切:单元体的四个侧面上只有切应力，没有正应 力。
§3-5 圆轴扭转时的应力与强度条件
一.变形几何关系
γρ γ
距圆心为ρ的一点
γρ
=
ρ
dφ
dx
对一确定平面，
dφ — 扭转角φ沿x轴的变化率
dx
dφ = const
dx
Байду номын сангаас
⇒γρ ∝ ρ
即：横截面上任一点的切应力与该 点到圆心的距离成正比。
当ρ = 0,τ ρ = 0, 当ρ = R时，τ取最大值
二、物理关系
τρ
=
Gγ
ρ＝ =
Gρ
dφ
dx
dϕ ?
dx
三、静力平衡关系
ρ
d
O
Ip
=
πD 4
32
(1 − α
4)
WP
=
πD 3
16
(1 − α
4)
五. 强度条件
[ ] τmax=(WTP )max≤ τ
如何确定轴的最大切应力？
等截面轴
τmax
=
Tmax WP
变截面轴
τmax
=
T ( WP
)max
六. .强度计算（等截面轴为例）
1、强度校核——已知A、[σ] 及载荷，校核是否满足；
§3-5 圆轴扭转时的应力与强度条件
薄壁圆筒扭转时的切应力(补充）
薄壁圆筒：
t
<<
d 0 (t
≤
d0 ) 20
γ
1、变形：
（1）各圆周线的形状、大小及间距均不变，只是绕轴线转过 一个角度
（2）各纵向线均倾斜了一微小角度γ
（3）原矩形变成平行四边形
2、结论：
在横截面及包含轴线的纵向截面上都没有正应力，横 截面上只有切于截面的切应力 ，并且沿圆周方向各点的切 应力与圆周相切，数值近似相等。
= 2π r0 2 ⋅ t ⋅ τ
薄壁圆筒横截面上切应力
τ
=
T
2πr02t
=
Me
2πr02t
O
r0
当薄壁圆筒发生扭转变形时，单元体的相对两侧面发生 微小的相对错动，使原来互相垂直的两个棱边的夹角改 变了一个微量，这就是表面一点的切应变γ。
γ
γ
φ为圆筒两端面的相对扭转角，l 为圆筒的长度
γ ≈ tanγ = bb′ = rφ
量。
解：（1）校核传动轴的强度
α = d = 90 − 2× 2.5 = 0.944
D
90
WP
=
πD3
16
(1 − α
4)
=
π
× 903 16
(1− 0.9444 )
=
29400mm3
轴的最大切应力为
τ max
=T WP
=
1500 29400 ×10−9
= 51×106 Pa
= 51MPa〈[τ ]
壁厚很小—可以认为沿筒 壁厚度方向切应力不变
沿圆周方向各点的切应力 相等
切应力在横截 面上均匀分布
切应力在横截面上均匀分布 方向沿着圆周方向，与扭矩的方向一致
3. 切应力的计算
微内力：τdA = τ ⋅tr0dθ r0为平均半径
∫ ∫ T =
A r0 ⋅ τ dA =
2π 0
r0
⋅τ
⋅ tr0 d θ
（3）计算应力，AC段轴在横截面边缘处的切应力为
τ AC 外
=
T ⋅D IP1 2
= 37 .5 × 10 6 Pa
= 37 .5 MPa
CB段轴横截面内、外边缘处的剪应力分别为
τ CB 内
=
T IP2
⋅d 2
= 31 .2 × 10 6 Pa
= 31 .2 MPa
τ CB 外
=
T IP2
⋅D 2
=
46 .8 × 10 6 Pa
=
46 .8 MPa
例2 由无缝钢管制成的汽车传动轴的外径D=90mm，壁厚 t=2.5mm，材料为45号钢。使用时的最大扭矩为T =1.5
kN .m。如材料的 [τ ] =60MPa，（1）校核该轴的扭转强
度；（2）若把该传动轴改为实心轴，在强度相等的情况 下，试确定实心轴的直径，并比较实心轴与空心轴的重