人教A版选修2-2双基限时练3.docx

高中数学学习材料
马鸣风萧萧*整理制作
双基限时练(三)
1．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴垂直 C ．与x 轴平行 D ．与x 轴平行或重合
答案 D
2．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s 与时间t 之间的函数关系为s ＝1
8t 2，则当t ＝2时，此木块在水平方向的瞬时速度为( )
A. 2
B. 1
C.12
D.14
解析 s ′＝lim Δt →0
Δs
Δt ＝lim Δt →0
18(t ＋Δt )2
－18t 2Δt
＝lim Δt →0
14tΔt ＋18(Δt )2
Δt ＝lim Δt →0
(14t ＋18Δt )＝1
4t .
∴当t ＝2时，s ′＝12. 答案 C
3．若曲线y ＝h (x )在点P (a ，h (a ))处切线方程为2x ＋y ＋1＝0，则( )
A ．h ′(a )<0
B ．h ′(a )>0
C ．h ′(a )＝0
D ．h ′(a )的符号不定
解析 由2x ＋y ＋1＝0，得h ′(a )＝－2<0. ∴h ′(a )<0. 答案 A
4．曲线y ＝9
x 在点(3,3)处的切线方程的倾斜角α等于( ) A ．45° B ．60° C ．135°
D ．120°
解析 k ＝y ′＝lim Δx →0
Δy
Δx ＝lim Δx →0
9x ＋Δx －9
x Δx
＝lim Δx →
－9x (x ＋Δx )＝－9x 2.
∴当x ＝3时，tan α＝－1.∴α＝135°. 答案 C
5．在曲线y ＝x 2
上切线倾斜角为π
4的点是( )
A ．(0,0)
B ．(2,4)
C ．(14，116)
D ．(12，14)
解析 y ′＝lim Δx →0
Δy
Δx ＝lim Δx →0
(x ＋Δx )2－x 2Δx
＝lim Δx →0
2xΔx ＋(Δx )2Δx
＝lim Δx →0
(2x ＋Δx )＝2x .
令2x ＝tan π4＝1，∴x ＝12，y ＝1
4. 故所求的点是(12，1
4)． 答案 D
6．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则过点A 的切线的斜率为________．
解析 k ＝f ′(2)＝lim Δx →0
2(2＋Δx )2－2×22
Δx
＝lim Δx →0
8Δx ＋2(Δx )2Δx
＝lim Δx →0
(8＋2Δx )＝8. 答案 8
7．若函数f (x )在x 0处的切线的斜率为k ，则极限lim Δx →0
f (x 0－Δx )－f (x 0)
Δx
＝________. 解析 lim Δx →0
f (x 0－Δx )－f (x 0)
Δx
＝－lim Δx →
f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx ＝－k .
答案 －k
8．已知函数f (x )在区间[0,3]上图象如图所示，记k 1＝f ′(1)，k 2
＝f ′(2)，k 3＝f ′(3)，则k 1，k 2，k 3之间的大小关系为________．(请用“>”连接)
解析 由f (x )的图象及导数的几何意义知，k 1>k 2>k 3. 答案 k 1>k 2>k 3
9．已知曲线y ＝2x 2上的点(1,2)，求过该点且与过该点的切线垂直的直线方程．
解 ∵f ′(1)＝lim Δx →0
f (1＋Δx )－f (1)
Δx
＝4，∴过点(1,2)的切线的斜率为4.设过点(1,2)且与过该点的切线垂直的直线的斜率为k ，则4k ＝－1，k ＝－14.
∴所求的直线方程为y －2＝－1
4(x －1)， 即x ＋4y －9＝0.
10．已知曲线y ＝1
t －x 上两点P (2，－1)，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12.求： (1)曲线在点P 处、点Q 处的切线的斜率； (2)曲线在点P ，Q 处的切线方程．
解 将P (2，－1)代入y ＝1t －x 得t ＝1，∴y ＝1
1－x
.
∴y ′＝lim Δx →0
f (x ＋Δx )－f (x )
Δx ＝lim Δx →0
11－(x ＋Δx )－
1
1－x Δx
＝lim Δx →0
1[1－(x ＋Δx )](1－x )＝1
(1－x )2
.
(1)曲线在点P 处的切线的斜率为y ′|x ＝2＝1
(1－2)2
＝1；
曲线在点Q 处的切线的斜率为y ′|x ＝－1＝1[1－(－1)]2＝1
4.
(2)曲线在点P 处的切线方程为 y －(－1)＝x －2，即x －y －3＝0. 曲线在点Q 处的切线方程为 y －12＝1
4(x ＋1)，即x －4y ＋3＝0.
11．已知点M (0，－1)，F (0,1)，过点M 的直线l 与曲线y ＝13x 3
－4x ＋4在x ＝2处的切线平行．
(1)求直线l 的方程；
(2)求以点F 为焦点，l 为准线的抛物线C 的方程． 解 (1)∵f ′(2)＝
lim Δx →0
13(2＋Δx )3
－4(2＋Δx )＋4－⎝ ⎛⎭⎪
⎫13×23－4×2＋4Δx
＝0， ∴直线l 的斜率为0，其直线方程为y ＝－1.
(2)∵抛物线以点F (0,1)为焦点，y ＝－1为准线，∴设抛物线的方程为x 2＝2py ，则－p
2＝－1，p ＝2.故抛物线C 的方程为x 2＝4y .
12．已知曲线y ＝x 2＋1，问是否存在实数a ，使得经过点(1，a )能作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．
解 存在． 理由如下： ∵y ＝x 2＋1，
∴y ′＝lim Δx →0
Δy
Δx ＝lim Δx →0
(x ＋Δx )2＋1－(x 2＋1)Δx
＝
lim Δx→02xΔx＋(Δx)2
Δx＝2x.
设切点坐标为(t，t2＋1)，
∵y′＝2x，∴切线的斜率为k＝y′|x＝t＝2t.
于是可得切线方程为y－(t2＋1)＝2t(x－t)．
将(1，a)代入，得a－(t2＋1)＝2t(1－t)，
即t2－2t＋a－1＝0.
∵切线有两条，∴方程有两个不同的解．
故Δ＝4－4(a－1)>0.∴a<2.故存在实数a，使得经过点(1，a)能作出该曲线的两条切线，a的取值范围是(－∞，2)．。