〖汇总3套试卷〗上海市虹口区2018年八年级上学期数学期末学业水平测试试题

八年级上学期期末数学试卷
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．如图，在ABC ∆中，B 与C ∠的平分线交于点O ，过点O 作DE ∥BC ，分别交AB AC 、于点D E 、若54AB AC ==，，则ADE ∆的周长为（ ）
A ．9
B ．15
C ．17
D ．20
【答案】A 【分析】由B 与C ∠的平分线交于点O ，DE ∥BC ，可得：DB=DO ，EO=EC ，进而即可求解．
【详解】∵BO 是∠ABC 的平分线，
∴∠OBC=∠DBO ，
∵DE //BC ，
∴∠OBC=∠DOB ，
∴∠DBO=∠DOB ，
∴DB=DO ，
同理：EO=EC ，
∴ADE ∆的周长=AD+AE+DO+EO= AD+AE+DB+EC=AB+AC=5+4=1．
故选A ．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质和判定定理，掌握“双平等腰”模型，是解题的关键．
2．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A 12
B 8
C 7
D ．以上都不是
【答案】C 12
822,= 被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
7是最简二次根式，
故选C.
3．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽
度为( )
A．0.7米B．1.5米C．2.2米D．2.4米
【答案】C
【分析】在直角三角形中利用勾股定理计算出直角边，即可求出小巷宽度.
【详解】在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=2米，BD2+A′D2=A′B′2，∴BD2+22=6.25，∴BD2=2.25，∵BD ＞0，∴BD=1.5米，∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米．故选C．
【点睛】
本题考查勾股定理的运用，利用梯子长度不变找到斜边是关键.
4．如图，直线a∥b，AC⊥AB，AC交直线b于点C，∠1=60°，则∠2的度数是（）
A．50B．45C．35D．30
【答案】D
【解析】试题分析：根据平行线的性质，可得∠3=∠1，根据两直线垂直，可得所成的角是∠3+∠2=90°，根据角的和差，可得∠2=90°-∠3=90°-60°=30°．
故选D．
考点：平行线的性质
5．在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，如果AC=12，BD=10，AB=m，那么m的取值范围是（）
A．1<m<11 B．2<m<22 C．10<m<12 D．5<m<6
【答案】A
【分析】根据三角形三边关系判断即可．
【详解】∵ABCD是平行四边形，AC=12，BD=10，O为AC和BD的交点，
∴AO=6，BO=5，
∴6-5<m<6+5，即1<m<11
故选：A．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质和三角形的三边关系,关键在于熟记三角关系．
6．如图所示，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若∠EFC′＝125°，那么∠ABE的度数为(
)
A．15°B．20°C．25°D．30°
【答案】B
【解析】试题解析：由折叠的性质知，∠BEF=∠DEF，∠EBC′、∠BC′F都是直角，
∴BE∥C′F，
∴∠EFC′+∠BEF=180°，
又∵∠EFC′=125°，
∴∠BEF=∠DEF=55°，
在Rt△ABE中，可求得∠ABE=90°-∠AEB=20°．
故选B．
7．我国古代数学名著《孙子算经》记载一道题，大意为100个和尚吃了100个馒头，已知1个大和尚吃3个馒头，3个小和尚吃1个馒头，问有几个大和尚，几个小和尚？若设有m个大和尚，n个小和尚，那么可列方程组为（）
A．
100
33100
m n
m n
+=
⎧
⎨
+=
⎩
B．
100
3100
m n
m n
+=
⎧
⎨
+=
⎩
C．
100
3100
3
m n
n
m
+=
⎧
⎪
⎨
+=
⎪⎩
D．
100
3100
m n
m n
+=
⎧
⎨
+=
⎩
【答案】C
【分析】设有m个大和尚，n个小和尚，题中有2个等量关系：1个和尚吃了1个馒头，大和尚吃的馒头+小和尚吃的馒头=1．
【详解】解：设有m个大和尚，n个小和尚，
根据数量关系式可得：
100 3100
3
m n
n
m
+=
⎧
⎪
⎨
+=
⎪⎩
，
故选C.
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．
8．若x2+mxy+4y2是一个完全平方式，那么m的值是（）
A．±4 B．﹣2 C．±2 D．4
【答案】A
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．
【详解】∵x2+mxy+1y2＝x2+mxy+（2y）2，
∴mxy＝±2x×2y，
解得：m＝±1．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键．
9．将长方形纸片按如图折叠，若3
DC B E
='，则DAE
∠度数为（）
A．15B．22.5C．30D．A B D
，，
【答案】C
【分析】根据折叠的性质及含30︒的直角三角形的性质即可求解．
【详解】∵折叠
∴'
CAB CAB
∠=∠，AB=AB’
∵CD∥AB
∴CAB DCA
∠=∠
∴'
DCA CAB
∠=∠
∴AE=EC，
∴DE=EB’
∵3
DC B E
='=3DE=DE+EC= DE+AE
∴AE=2DE
∵90D ∠=︒
∴DAE ∠=30
故选C ．
【点睛】
此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知矩形的性质、折叠的特点及含30︒的直角三角形的性质． 10．把()22214a a +-分解因式得（ ）
A ．()221a +
B ．()221a -
C ．()()221212a a
a a +++- D ．22(1)(1)a a +- 【答案】D
【分析】首先利用平方差公式分解因式，进而利用完全平方公式分解因式得出即可．
【详解】解：()2
2214a a +- ()()221212a a a a =+++-
()()22
11a a =+-．
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查了公式法因式分解，正确应用乘法公式是解题关键．
二、填空题
11．如图点C ，D 在AB 同侧，AD=BC ，添加一个条件____________就能使△ABD ≌△BAC ．
【答案】BD=AC 或∠BAD=∠ABC
【分析】根据全等三角形的判定，满足SAS ，SSS 即可.
【详解】解：∵AD=BC ，AB=AB ，
∴只需添加BD=AC 或∠BAD=∠ABC ，
可以利用SSS 或SAS 证明△ABD ≌△BAC ；
故答案为BD=AC 或∠BAD=∠ABC.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.
1252的倒数是__________．
【答案】52+ 【分析】根据倒数的定义即可得出答案.
【详解】52-的倒数是()
15252÷
-=+，故答案为52+. 【点睛】
本题考查的是倒数：乘积为1的两个数互为倒数.
13．分解因式2m 2﹣32＝_____．
【答案】2（m +4）（m ﹣4）
【解析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．
【详解】原式＝2(m 2﹣16)＝2(m +4)(m ﹣4)，
故答案为2(m +4)(m ﹣4).
【点睛】
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
14．如图，∠AOB=60°，OC 平分∠AOB ，如果射线OA 上的点E 满足△OCE 是等腰三角形，那么∠OEC 的度数为________
【答案】120°或75°或30°
【解析】∵∠AOB=60°，OC 平分∠AOB ，点E 在射线OA 上，
∴∠COE=30°.
如下图，当△OCE 是等腰三角形时，存在以下三种情况：
（1）当OE=CE 时，∠OCE=∠COE=30°，此时∠OEC=180°-30°-30°=120°；
（2）当OC=OE 时，∠OEC=∠OCE=180302
-=75°； （3）当CO=CE 时，∠OEC=∠COE=30°.
综上所述，当△OCE 是等腰三角形时，∠OEC 的度数为：120°或75°或30°.
点睛：在本题中，由于题中没有指明等腰△OCE 的腰和底边，因此要分：（1）OE=CE ；（2）OC=OE ；（3）CO=CE ；三种情况分别讨论，解题时不能忽略了其中任何一种情况.
15．某商店卖水果，数量x (千克)与售价y (元)之间的关系如下表，(y 是x 的一次函数):
当7x =千克时，售价_______________元
【答案】22.5
【分析】根据表格可直接得到数量x （千克）与售价y （元）之间的关系式，然后把7x =代入计算，即可得到答案.
【详解】解：根据表格，设一次函数为：y kx b =+，则
1.60.1=0.5+b 3.20.1k k b +⎧⎨+=+⎩
， 解得： 3.20.1k b =⎧⎨=⎩
， ∴ 3.20.1y x =+； 把7x =代入，得：
3.270.1=22.5y =⨯+；
∴当7x =千克时，售价为22.5元.
【点睛】
本题考查了一次函数的性质，求一次函数的解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式.
16．若a b b c c a k c a b
+++===，则k =_______. 【答案】1-或2
【分析】用含k 的式子分别表示出a b kc +=，b c ka +=，c a kb +=，然后相加整理得到一个等式()()20a b c k ++-=，对等式进行分析可得到k 的值. 【详解】解：a b b c c a k c a b
+++===， ∴a b kc +=，b c ka +=，c a kb +=
∴()()2a b c k a b c ++=++，
∴()()20a b c k ++-=，
∴0a b c ++=或20k -=，
当0a b c ++=时，1a b c k c c
+-===-， 当20k -=时，2k =，
所以，1k =-或2.
故答案为：1-或2.
【点睛】
本题考查了分式的化简求值，解题关键在于将式子变形为()()20a b c k ++-=.
17．命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是_____命题．（填入“真”或“假”）
【答案】假
【解析】试题分析：原命题的逆命题为：面积相等的两个三角形为全等三角形，则这个命题为假命题. 考点：逆命题
三、解答题
18．如图，点B ，C ，D 在同一条直线上，ABC ，ADE 是等边三角形，若CE 5=，CD 2=， ()1求ECD ∠的度数；
()2求AC 长．
【答案】 (1)60°;(2)3.
【解析】()1由等边三角形的性质可得AD AE =，AB AC =，60BAC DAE ACB ∠∠∠===，可证BAD ≌CAE ，可得60B ACE ∠∠==，可得ECD ∠的度数；
()2由全等三角形的性质和等边三角形的性质可求AC 的长．
【详解】解：()1ABC ，ADE 是等边三角形
AD AE ∴=，AB AC =，BAC DAE ACB 60∠∠∠===，
BAD CAE ∠∠∴=，且AD AE =，AB AC =，
BAD ∴≌()CAE SAS
B ACE 60∠∠∴==
DCE 180ACB ACE 60∠∠∠∴=--=
()2BAD ≌CAE
BD CE 5∴==，
BC BD CD 523∴=-=-= ,
AC BC 3∴==
【点睛】
考查了全等三角形判定和性质，等边三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定和性质解决问题是本题的关键．
19． [建立模型]
(1)如图1．等腰Rt ABC 中， 90ACB ∠=︒， CB CA =，直线ED 经过点C ，过点A 作AD ED ⊥于点D ，过点B 作BE ED ⊥于点E ，求证: BEC CDA ≌；
[模型应用]
(2)如图2．已知直线13:32
l y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，将直线1l 绕点A 逆时针旋转45'°至直线2l ，求直线2l 的函数表达式:
(3)如图3，平面直角坐标系内有一点()3,4B -，过点B 作BA x ⊥轴于点A ，BC ⊥y BC y ⊥轴于点C ，点P 是线段AB 上的动点，点D 是直线21y x =-+上的动点且在第四象限内．试探究CPD △能否成为等腰直角三角形?若能，求出点D 的坐标，若不能，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）直线l 2的函数表达式为：y ＝−5x−10；（3）点D 的坐标为（113，193
-）或（4，−7）或（83，133
-）． 【解析】（1）由垂直的定义得∠ADC ＝∠CEB ＝90°，由同角的余角的相等得∠DAC ＝∠ECB ，然后利用角角边证明△BEC ≌△CDA 即可；
（2）过点B 作BC ⊥AB 交AC 于点C ，CD ⊥y 轴交y 轴于点D ，由（1）可得△ABO ≌△BCD （AAS ），求出点C 的坐标为（−3，5），然后利用待定系数法求直线l 2的解析式即可；
（3）分情况讨论：①若点P 为直角时，②若点C 为直角时，③若点D 为直角时，分别建立（1）中全等三角形模型，表示出点D 坐标，然后根据点D 在直线y ＝−2x ＋1上进行求解．
【详解】解：（1）∵AD ⊥ED ，BE ⊥ED ，
∴∠ADC ＝∠CEB ＝90°，
∵∠ACB ＝90°，
∴∠ACD＋∠ECB＝∠ACD＋∠DAC＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，
在△CDA和△BEC中，
ADC CEB
DAC ECB AC BC
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△BEC≌△CDA（AAS）；
（2）过点B作BC⊥AB交AC于点C，CD⊥y轴交y轴于点D，如图2所示：
∵CD⊥y轴，
∴∠CDB＝∠BOA＝90°，
又∵BC⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
又∵∠BAC＝45°，
∴AB＝CB，
由[建立模型]可知：△ABO≌△BCD（AAS），
∴AO＝BD，BO＝CD，
又∵直线l1：
3
3
2
y x
=+与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴点A、B的坐标分别为（−2，0），（0，3），∴AO＝2，BO＝3，
∴BD＝2，CD＝3，
∴点C的坐标为（−3，5），
设l2的函数表达式为y＝kx＋b（k≠0），
代入A、C两点坐标得：
20 35
k b
k b
-+=⎧
⎨
-+=⎩
解得：
5
10 k
b
=-
⎧
⎨
=-
⎩
，
∴直线l2的函数表达式为：y＝−5x−10；（3）能成为等腰直角三角形，
①若点P为直角时，如图3-1所示，过点P作PM⊥OC于M，过点D作DH垂直于MP的延长线于H，
设点P的坐标为（3，m），则PB的长为4＋m，
∵∠CPD＝90°，CP＝PD，∠PMC＝∠DHP＝90°，
∴由[建立模型]可得：△MCP≌△HPD（AAS），
∴CM＝PH，PM＝DH，
∴PH＝CM＝PB＝4＋m，PM＝DH＝3，
∴点D的坐标为（7＋m，−3＋m），
又∵点D在直线y＝−2x＋1上，
∴−2（7＋m）＋1＝−3＋m，
解得：m＝
10
3 -，
∴点D的坐标为（11
3
，
19
3
-）；
②若点C为直角时，如图3-2所示，过点D作DH⊥OC交OC于H，PM⊥OC于M，
设点P的坐标为（3，n），则PB的长为4＋n，
∵∠PCD＝90°，CP＝CD，∠PMC＝∠DHC＝90°，
由[建立模型]可得：△PCM≌△CDH（AAS），
∴PM＝CH，MC＝HD，
∴PM＝CH＝3，HD＝MC＝PB＝4＋n，
∴点D的坐标为（4＋n，−7），
又∵点D在直线y＝−2x＋1上，
∴−2（4＋n）＋1＝−7，
解得：n＝0，
∴点P与点A重合，点M与点O重合，点D的坐标为（4，−7）；
③若点D为直角时，如图3-3所示，过点D作DM⊥OC于M，延长PB交MD延长线于Q，则∠Q＝90°，
设点P的坐标为（3，k），则PB的长为4＋k，
∵∠PDC＝90°，PD＝CD，∠PQD＝∠DMC＝90°，
由[建立模型]可得：△CDM≌△DPQ（AAS），
∴MD＝PQ，MC＝DQ，
∴MC＝DQ＝BQ，
∴3－DQ＝4＋k＋DQ，
∴DQ＝1
2
k
，
∴点D的坐标为（7
2
k
，
7
2
k
），
又∵点D在直线y＝−2x＋1上，
∴
77
21
22
k k
，
解得：k＝
5
3 -，
∴点D的坐标为（8
3
，
13
3
-）；
综合所述，点D的坐标为（11
3
，
19
3
-）或（4，−7）或（8
3
，
13
3
-）．
【点睛】
本题综合考查了全等三角形的判定与性质，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式等知识点，重点掌握在平面直角坐标系内一次函数的求法，难点是构造符合题意的全等三角形．
20．将一副三角板按如图所示的方式摆放，AD是等腰直角三角板ABC斜边BC上的高，另一块三角板DMN 的直角顶点与点D重合，DM、DN分别交AB、AC于点E、F．
（1）请判别△DEF 的形状．并证明你的结论；
（2）若BC ＝4，求四边形AEDF 的面积．
【答案】（1）△DEF 是等腰直角三角形，理由见解析；（1）1
【分析】（1）可得∠CAD ＝∠B ＝45°，根据同角的余角相等求出∠CDF ＝∠ADE ，然后利用“角边角”证明△ADE 和△CDF 全等，则结论得证；
（1）根据全等三角形的面积相等可得S △ADE ＝S △CDF ，从而求出S 四边形AEDF ＝S △ABD ＝
218
BC ，可求出答案． 【详解】（1）解：△DEF 是等腰直角三角形．证明如下：
∵AD ⊥BC ，∠BAD ＝45°，
∴∠EAD ＝∠C ，
∵∠MDN 是直角，
∴∠ADF+∠ADE ＝90°，
∵∠CDF+∠ADF ＝∠ADC ＝90°，
∴∠ADE ＝∠CDF ，
在△ADE 和△CDF 中， DAE CDF AD CD
ADE CDF ∠∠⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩
＝＝， ∴△ADE ≌△CDF （ASA ），
∴DE ＝DF ，
又∵∠MDN ＝90°，
∴∠EDF ＝90°，
∴△DEF 是等腰直角三角形；
（1）∵△ADE ≌△CDF ，
∴S △ADE ＝S △CDF ，
∵△ABC 是等腰直角三角形，AD ⊥BC
∴AD=BD=12
BC ， ∴S 四边形AEDF ＝S △ABD ＝
2221111()2228AD BC BC =⨯=＝2148
⨯＝1． 【点睛】
此题主要考查等腰三角形的性质与判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理、等腰三角形的性质． 21．为迎接“均衡教育大检查”，县委县府对通往某偏远学校的一段全长为1200 米的道路进行了改造，铺设草油路面．铺设400 米后，为了尽快完成道路改造，后来每天的工作效率比原计划提高25%，结果共用13天完成道路改造任务．
（1）求原计划每天铺设路面多少米；
（2）若承包商原来每天支付工人工资为1500元，提高工作效率后每天支付给工人的工资增长了20%，完成整个工程后承包商共支付工人工资多少元？
【答案】（1）80；（2）1．
【解析】（1）设原计划每天铺设路面x 米，则提高工作效率后每天完成（1+25%）x 米，根据等量关系“利用原计划的速度铺设400 米所用的时间+提高工作效率后铺设剩余的道路所用的时间=13”，列出方程，解方程即可；
（2）先求得利用原计划的速度铺设400 米所用的时间和提高工作效率后铺设剩余的道路所用的时间，根据题意再计算总工资即可.
【详解】（1）设原计划每天铺设路面x 米，根据题意可得：
()400120040013125%x x
-+=+ 解得：80x =
检验：80x =是原方程的解且符合题意，∴ 80x =
答：原计划每天铺设路面80米．
原来工作400÷80＝5（天）．
（2）后来工作()()120040080120%8⎡⎤-÷⨯+=⎣⎦（天）
． 共支付工人工资：1500×5+1500×（1+20%）×8=1（元）
答：共支付工人工资1元．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，根据题意正确找出等量关系，由等量关系列出方程是解决本题的关键． 22．先化简，再求值：（1+
32a -）÷214a a +-，其中a 是小于3的正整数． 【答案】a+2，1．
【解析】试题分析：先把括号内通分，再把分子分母因式分解，接着把除法运算化为乘法运算后约分得到原式=a+2，然后根据a 是小于1的正整数和分式有意义的条件得到a=1，再把a 的值代入计算即可． 试题解析：原式=232a a -+-•()()221
a a a +-+=a+2， ∵a 是小于1的正整数，
∴a=1或a=2，
∵a﹣2≠0，
∴a=1，
当a=1时，原式=1+2=1．
23．先化简，再求值：2222211()()b a ab b a a ab a a b
-+÷+⋅+-，其中a 、b 互为负倒数． 【答案】1ab
-，1 【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简分式，再代入a 、b 计算即可．
【详解】原式=22)()2()b a b a a ab b a b a a b a ab
+-+++÷⋅-（ =2()()a b a a b a a b ab
-++⋅⋅+ =1ab -
， 当a 、b 互为负倒数时1ab =-，
∴原式=1．
【点睛】
本题考查分式的化简求值、倒数定义，熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则是解答的关键，注意化简结果要化成最简分式或整式．
24．如图,直线AB ∥CD,BC 平分∠ABD,∠1=65°,求∠2的度数.
【答案】50°.
【详解】试题分析：由平行线的性质得到∠ABC=∠1=65°，∠ABD+∠BDC=180°，由BC 平分∠ABD ，得到∠ABD=2∠ABC=130°，于是得到结论．
解：∵AB ∥CD ，
∴∠ABC=∠1=65°，
∵BC 平分∠ABD ，
∴∠ABD=2∠ABC=130°，
∴∠BDC=180°﹣∠ABD=50°，
∴∠2=∠BDC=50°．
【点评】
本题考查了平行线的性质和角平分线定义等知识点，解此题的关键是求出∠ABD 的度数，题目较好，难度不大．
25．问题发现：如图1，在Rt ABC ∆中，AB AC =，D 为BC 边所在直线上的动点(不与点B 、C 重合)，连结AD ，以AD 为边作Rt ADE ∆，且AD AE =，根据BAC CAD CAD DAE ∠+∠=∠+∠，得到BAD CAE ∠=∠，结合AB AC =，AD AE =得出BAD CAE ∆≅∆，发现线段BD 与CE 的数量关系为BD CE =，位置关系为BD CE ⊥；
（1）探究证明：如图2，在Rt ABC ∆和Rt ADE ∆中，AB AC =，AD AE =，且点D 在BC 边上滑动(点D 不与点B 、C 重合)，连接EC ．
①则线段BC ，DC ，EC 之间满足的等量关系式为_____；
②求证: 2222BD CD AD +=；
（2）拓展延伸：如图3，在四边形ABCD 中，45ABC ACB ADC ∠=∠=∠=︒．若13BD cm =，5CD cm =，求AD 的长．
【答案】（1）①BC =CE+CD ；②见解析；（2）AD ＝2．
【分析】（1）①根据题中示例方法，证明△BAD ≌△CAE ，得到BD ＝CE ，从而得出BC=CE+CD ； ②根据△BAD ≌△CAE ，得出∠ACE ＝45°，从而得到∠BCE ＝90°，则有DE 2＝CE 2+CD 2，再根据222DE AD =可得结论；
（2）过点A 作AG ⊥AD ，使AG=AD ，连接CG 、DG ，可证明△BAD ≌△CAG ，得到CG ＝BD ，在直角△CDG 中，根据CD 的长求出DG 的长，再由DG 和AD 的关系求出AD.
【详解】解：（1）①如图2，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，
∴∠B ＝∠ACB ＝45°，
∵∠BAC ＝∠DAE ＝90°，
∴∠BAC ﹣∠DAC ＝∠DAE ﹣∠DAC ，即∠BAD ＝∠CAE ，
在△BAD 和△CAE 中，
AB AC BAD CAE AD AE =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩
，
∴△BAD ≌△CAE （SAS ），
∴BD ＝CE ，
∴ BC=BD+CD=CE+CD ，
故答案为：BC=BD+CD=CE+CD ．
②∵△BAD ≌△CAE ，
∴∠B ＝∠ACE ＝45°，
∵∠ACB ＝45°，
∴∠BCE ＝45°+45°＝90°，
∴DE 2＝CE 2+CD 2，
∵AD ＝AE ，∠DAE ＝90°，
∴222DE AD =，
∴2AD 2＝BD 2+CD 2；
（3）如图3，
过点A 作AG ⊥AD ，使AG=AD ，连接CG 、DG ，
则△DAG 是等腰直角三角形，
∴∠ADG ＝45°，
∵∠ADC ＝45°，
∴∠GDC ＝90°，
同理得：△BAD ≌△CAG ，
∴CG ＝BD ＝13，
在Rt △CGD 中，∠GDC ＝90°，
222213512DG CG CD =-=-=，
∵△DAG 是等腰直角三角形，
∴222DG AD ，
∴AD
． 【点睛】
本题是四边形的综合题，考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
八年级上学期期末数学试卷
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．如图，已知，AB AD =，ACB AED ∠=∠，DAB EAC ∠=∠，则下列结论错误．．
的是（ ）
A ．
B ADE ∠=∠
B ．B
C AE = C ．ACE AEC ∠=∠
D ．CD
E BAD ∠=∠
【答案】B 【分析】先根据三角形全等的判定定理证得ABC ADE ∆≅∆，再根据三角形全等的性质、等腰三角形的性质可判断A 、C 选项，又由等腰三角形的性质、三角形的内角和定理可判断出D 选项，从而可得出答案．
【详解】DAB EAC ∠=∠
DAB CAD EAC CAD ∴∠+∠=∠+∠，即BAC DAE ∠=∠
在ABC ∆和ADE ∆中，BAC DAE ACB AED AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()ABC ADE AAS ∴∆≅∆
,,B ADE AC AE BC DE ∴∠=∠==，则A 选项正确
ACE AEC ∴∠=∠（等边对等角）
，则C 选项正确 AB AD =
B ADB ∴∠=∠
180B A B DB AD ∠+︒=∠+∠
2180BA B D ∴∠=∠+︒，即1802B BAD ∠=︒∠-
又180ADB A E DE CD ∠+∠+∠=︒
180CDE B B ∠=∴∠+∠+︒，即1802B CDE ∠=︒∠-
CDE BAD ∴∠=∠，则D 选项正确
虽然,AC AE BC DE ==，但不能推出BC AE =，则B 选项错误
故选：B ．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定定理与性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识点，根据已知条件，证出ABC ADE ∆≅∆是解题关键．
2．如图，数轴上A ，B 两点对应的实数分别是1和3，若A 点关于B 点的对称点为点C ，则点C 所对应的实数为( )
A ．3 1
B ．13
C ．23
D ．3 1 【答案】A
【解析】设点C 所对应的实数是x ．根据中心对称的性质，即对称点到对称中心的距离相等，即可列方程求解．数轴上两点间的距离等于数轴上表示两个点的数的差的绝对值，即较大的数减去较小的数． 设点C 所对应的实数是x ． 则有x-331= x=x 231=
故选A ．
3．分式方程
()()31112x x x x -=--+的解为（ ） A ．1x =
B ．2x =
C ．1x =-
D ．无解
【答案】D
【解析】分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．
详解：去分母得：x 2+2x ﹣x 2﹣x +2=3，解得：x=1，经检验x=1是增根，分式方程无解．
故选D ．
点睛：本题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件．
4．下列各式中，正确的是( ) A ．
2242ab b a c c
= B ．
1a b b ab b ++= C ．23193x x x -=-+ D ．22x y x y -++=- 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质对选项逐一判断即可．
【详解】A 、2242ab b a c ac
=，故错误； B 、11a b ab a b
+=+，故错误； C 、
23193x x x -=-+，故正确；
D 、22
x y x y -+-=-，故错误； 故选C ．
【点睛】
本题考查了分式的基本性质，熟记分式的基本性质是解题的关键．
5．小明对九（1）、九（2）班（人数都为50人）参加“阳光体育”的情况进行了调查，统计结果如图所示.下列说法中正确的是( )
A ．喜欢乒乓球的人数(1)班比(2)班多
B ．喜欢足球的人数(1)班比(2)班多
C ．喜欢羽毛球的人数(1)班比(2)班多
D ．喜欢篮球的人数(2)班比(1)班多
【答案】C 【解析】根据扇形图算出（1）班中篮球，羽毛球，乒乓球，足球，羽毛球的人数和（2）班的人数作比较，（2）班的人数从折线统计图直接可看出．
【详解】解：A 、乒乓球：(1)班50×16%=8人，(2)班有9人，8<9，故本选项错误；
B 、足球：(1)班50×14%=7人，(2)班有13人，7<13，故本选项错误；
C 、羽毛球：(1)班50×40%=20人，(2)班有18人，20>18，故本选项正确；
D 、篮球：(1)班50×30%=15人，(2)班有10人，15>10，故本选项错误.
故选C.
【点睛】
本题考查扇形统计图和折线统计图，扇形统计图表现部分占整体的百分比，折线统计图表现变化，在这能看出每组的人数，求出(1)班喜欢球类的人数和(2)班比较可得出答案．
6．在平面直角坐标系中，如果点A 的坐标为(﹣1，3)，那么点A 一定在( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】B
【分析】根据平面直角坐标系中点P(a,b)，①第一象限：a>1，b>1；②第二象限：a<1，b>1；③第三象限：a<1，b<1；④第四象限：a>1，b<1；据此求解可得．
【详解】解：∵点A 的横坐标为负数、纵坐标为正数，
∴点A 一定在第二象限．
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查坐标确定位置，解题的关键是掌握①第一象限：a>1，b>1；②第二象限：a<1，b>1；③第三象限：a<1，b<1；④第四象限：a>1，b<1．
7．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A ．2x （x+3）＝2x 2+6x
B ．24xy 2＝3x•8y 2
C ．x 2+2xy+y 2+1＝（x+y ）2+1
D ．x 2﹣y 2＝（x+y ）（x ﹣y ）
【答案】D
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【详解】A 、不是因式分解，故本选项不符合题意；
B 、不是因式分解，故本选项不符合题意；
C 、不是因式分解，故本选项不符合题意；
D 、是因式分解，故本选项符合题意；
故选D ．
【点睛】
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
8．计算：21 3.14⨯+79 3.14⨯=（ ）
A ．282.6
B ．289
C ．354.4
D ．314 【答案】D
【分析】利用乘法分配律()ac bc a b c +=+即可求解．
【详解】原式=(2179) 3.14100 3.14314+⨯=⨯=
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查乘法运算律在实数运算中的应用，掌握乘法分配律是解题的关键．
9．在ABC 中，AB=15,AC=20,BC 边上高AD=12,则BC 的长为( )
A ．25
B ．7
C ．25或7
D ．不能确定 【答案】C
【分析】已知三角形两边的长和第三边的高，未明确这个三角形为钝角三角形还是锐角三角形，所以需分情况讨论，即∠BAC 是钝角还是锐角，然后利用勾股定理求解．
【详解】解：①如图1，当△ABC 为锐角三角形时，
在Rt △ABD 中，AB=15，AD=12，由勾股定理得
==9，
在Rt △ADC 中，AC=20，AD=12，由勾股定理得 DC=22AC AD -=222012-=16，
∴BC=BD+DC=9+16=1．
②如图2，当△ABC 为钝角三角形时，
同①可得BD=9，DC=16，
∴BC=CD-BD=2．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了勾股定理，同时注意，当题中无图时要注意分类讨论，如本题中已知条件中没有明确三角形的形状，要分三角形为锐角三角形和钝角三角形两种情况求解，避免漏解．
10．已知28x x a -+可以写成一个完全平方式，则a 可为( )
A ．4
B ．8
C ．16
D ．16-
【答案】C
【解析】∵28x x a -+可以写成一个完全平方式，
∴x 2-8x+a=(x-4)2，
又（x-4）2=x 2-8x+16，
∴a=16，
故选C.
二、填空题
11．若4a 2+b 2﹣4a+2b+2=0，则ab=_____．
【答案】﹣0.5
【分析】利用完全平方公式进行因式分解得到2个完全平方式，通过平方的非负性质推导出，n 个非负项相加为0，则每一项为0.
【详解】解：∵2244220a b a b +-++=，
∴()()222110a b -++=， ∴21010
a b -=⎧⎨+=⎩
解得1,12
a b =
=-， ∴12
ab =-． 故答案为：12-． 【点睛】
利用完全平方公式因式分解，通过平方非负的性质为本题的关键.
1210y +=，则x y +=____．
【答案】1
【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性即可求解．
0≥，且10y +≥，
而它们相加为0，故只能是20x -=且10y +=，
∴2,1x y ==-，
∴211x y +=-=，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了算术平方根的非负性，绝对值的非负性，熟练掌握算术平方根的概念及绝对值的概念是解决本题的关键．
13．若分式方程
3x x -﹣3a x
-＝2有增根，则a ＝_____． 【答案】3-
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x 的值，代入整式方程计算即可求出a 的值．
【详解】解：去分母得：x+a ＝2x ﹣6，
解得：x ＝a+6，
由分式方程有增根，得到x ﹣3＝0，即x ＝3，
代入整式方程得：a+6＝3，
解得：a ＝﹣3，
故答案为：﹣3
【点睛】
考核知识点：分式方程增根问题.去分母是关键.
14．若一个正方形的面积为2244a ab b ++，则此正方形的周长为___________．
【答案】48.a b +
【分析】由正方形的面积是边长的平方，把2244a ab b ++分解因式得边长，从而可得答案．
【详解】解：22244(2).a ab b a b ++=+
∴ 正方形的边长是：2.a b +
∴ 正方形的周长是：4(2)48.a b a b +=+
故答案为：48.a b +
【点睛】
本题考查的是因式分解，掌握利用完全平方式分解因式是解题关键．
15．如图，△ABC 为等边三角形，D 、E 分别是AC 、BC 上的点，且AD=CE ，AE 与BD 相交于点P ，则∠BPE=_______________．
【答案】60°
【分析】由等边三角形的性质得出AB=CA ，∠BAD=∠ACE=60°，由SAS 即可证明△ABD ≌△CAE ，得到∠ABD=∠CAE ，利用外角∠BPE=∠BAP+∠ABD ，即可解答．
【详解】解：∵△ABC 是等边三角形，
∴AB=CA ，∠BAD=∠ACE=60°，
在△ABD 和△CAE 中，
=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
AB CA BAD ACE AD CE ，
∴△ABD ≌△CAE （SAS ），
∴∠ABD=∠CAE ，
∵∠BPE=∠BAP+∠ABD ，
∴∠BPE=∠BAP+∠CAE=∠BAC=60°．
故答案为：60°．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
16．若一个正多边形的每一个外角都是30°，则这个正多边形的内角和等于__________度．
【答案】1800
【详解】多边形的外角和等于360°，则正多边形的边数是360°÷30°=12，所以正多边形的内角和为
(122)1801800-⨯︒=︒.
17．已知111y x =-，且2111y y =-
，3211y y =-，4311y y =-，…，111n n y y -=-，请计算2019y =__________（用含x 在代数式表示）．
【答案】2x -
【分析】首先将1y 代入2y ，用x 表示出2y ，以此类推，进一步表示出3y 、4y ，最后根据计算结果得出循环规律，据此进一步求解即可.
【详解】∵111
y x =
-， ∴2111111211
x y y x x -===----，
3211=21
112y x x y x ==-----， 43111=11(2)1
y y x x ==----， 由此可得，n y 是以11x -、12
x x --、2x -依次循环， ∵20193673÷=，
∴20193=2y y x =-，
故答案为：2x -.
【点睛】
本题主要考查了分式的运算，准确找出循环规律是解题关键.
三、解答题
18．如图，已知等腰ABC ∆顶角30A ︒∠=．
（1）在AC 上作一点D ，使AD BD =（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明，最后用黑色墨水笔加墨）；
（2）求证：BCD ∆是等腰三角形．
【答案】（1）如图，点D 为所作；见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）根据题意作AB 的垂直平分线；
（2）根据题意求出BDC C ∠=∠72︒=，即可证明.
【详解】（1）解：如图，点D 为所作；
（2）证明：∵AB AC =， ∴()118036722ABC C ︒︒︒∠=∠=
-=， ∵DA DB =，
∴36ABD A ︒∠=∠=，
∴363672BDC A ABD ︒︒︒∠=∠+∠=+=，
∴BDC C ∠=∠，
∴BCD ∆是等腰三角形．
【点睛】
此题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟知等腰三角形的判定与性质.
19．如图，ABC ∆是边长为6的等边三角形，P 是AC 边上一动点，由A 向C 运动（与A 、C 不重合），Q 是CB 延长线上一动点，与点P 同时以相同的速度由B 向CB 延长线方向运动（Q 不与B 重合），过P 作PE AB ⊥于E ，连接PQ 交AB 于D ．
（1）若1AE =时，求AP 的长；
（2）当30BQD ∠=︒时，求AP 的长；
（3）在运动过程中线段ED 的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED 的长；如果发生变化，请说明理由．
【答案】（1）2（2）2（3）DE ＝3为定值，理由见解析
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠A ＝60︒，根据三角形内角和定理得到∠APE ＝30︒，根据直角三角形的性质计算；
（2）过P 作PF ∥QC ，证明△DBQ ≌△DFP ，根据全等三角形的性质计算即可；
（3）根据等边三角形的性质、直角三角形的性质解答．
【详解】（1）∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A ＝60︒，
∵PE ⊥AB ，
∴∠APE ＝30︒，
∵AE ＝1，∠APE ＝30︒，PE ⊥AB ，
∴AP ＝2AE ＝2；
（2）解：过P 作PF ∥QC ，
则△AFP 是等边三角形，
∵P 、Q 同时出发，速度相同，即BQ ＝AP ，
∴BQ ＝PF ，
在△DBQ 和△DFP 中，
DQB DPF QDB PDF BQ PF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△DBQ ≌△DFP ，
∴BD ＝DF ，
∵∠BQD ＝∠BDQ ＝∠FDP ＝∠FPD ＝30︒，
∴BD ＝DF ＝FA ＝
13AB ＝2， ∴AP ＝2；
（3）解：由（2）知BD ＝DF ，
∵△AFP 是等边三角形，PE ⊥AB ，
∴AE ＝EF ，
∴DE ＝DF ＋EF ＝
12BF ＋12FA ＝12
AB ＝3为定值，即DE 的长不变． 【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质以及平行线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
20．如图，△ABC 中，AB =AC ，∠C =30°，DA ⊥BA 于A ，BC =6cm ，求AD 的长．
【答案】2
【分析】根据等边对等角可得∠B=∠C，再利用三角形的内角和定理求出∠BAC=120°，然后求出∠CAD=30°，从而得到∠CAD=∠C，根据等角对等边可得AD=CD，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BD=2AD，然后根据BC=BD+CD列出方程求解即可
【详解】∵AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，
∴∠BAC=180°-2×30°=120°，
∵DA⊥BA，
∴∠BAD=90°，
∴∠CAD=120°-90°=30°，
∴∠CAD=∠C，
∴AD=CD，
在Rt△ABD中，
∵∠B=30°，∠BAD=90°，
∴BD=2AD，
∴BC=BD+CD=2AD+AD=3AD，
∵BC=6cm，
∴AD=2cm．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形性质以及直角三角形性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键. 21．（132222
（2）解方程组：
4,
2 5. x y
x y
-=
⎧
⎨
+=
⎩
①
②
【答案】（162（2）
3
1 x
y
=
⎧
⎨
=-⎩
【分析】（1）根据二次根式混合运算法则即可求解
（2）将两个方程相加即可消去y，求得x的值，再代入任一方程求解y的值．【详解】（132222
6222
62。