2020-2021学年山东省德州实验中学高一(下)期中数学试卷

2020-2021学年山东省德州实验中学高一（下）期中数学试卷
试题数：22，总分：150
1.（单选题，5分）若向量a⃗ =（3，m），b⃗⃗ =（2，-1），a⃗•b⃗⃗ =0，则实数m的值为
（）
A. −3
2
B. 3
2
C.2
D.6
2.（单选题，5分）tan17°+tan28°+tan17°tan28°等于（）
A.- √2
2
B. √2
2
C.-1
D.1
3.（单选题，5分）已知向量a⃗，b⃗⃗满足| a⃗ |=1，a⃗•b⃗⃗ =-1，则a⃗•（2 a⃗−b⃗⃗）=（）
A.4
B.3
C.2
D.0
4.（单选题，5分）已知a⃗，b⃗⃗是非零向量且满足（a⃗ -2 b⃗⃗）⊥ a⃗，（b⃗⃗ -2 a⃗）⊥ b⃗⃗，则a⃗与b⃗⃗的夹角是（）
A. π
6
B. π
3
C. 2π
3
D. 5π
6
5.（单选题，5分）如图所示是曾经在北京召开的国际数学家大会的会标，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形
，则cos2θ的值等于（）
的面积是1，小正方形的面积是1
25
A.1
B.- 24
25
C. 7
25
D.- 7
25
6.（单选题，5分）下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（π
2
，π）上为减函数的是（）
A.y=cosx
B.y=2|sinx|
C.y=cos x
2
D.y=tanx
7.（单选题，5分）为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y= √2 cos3x的图象（）
A.向右平移π
12
个单位
B.向右平移π
4
个单位
C.向左平移π
12
个单位
D.向左平移π
4
个单位
8.（单选题，5分）已知2tanθ-tan（θ+ π
4
）=7，则tanθ=（）
A.-2
B.-1
C.1
D.2
9.（多选题，5分）若α为第四象限角，则下列命题不正确的是（）
A.cos2α＞0
B.cos2α＜0
C.sin2α＞0
D.sin2α＜0
10.（多选题，5分）下列计算正确的是（）
A. 2tan22.5°
1−tan222.5°
=1
B.1-2sin275°= √3
2
C.cos4π
8 -sin4π
8
= √2
2
D.cos275°+cos215°+cos75°cos15°= 5
4
11.（多选题，5分）△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量 a ⃗ ， b ⃗⃗ 满足 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2 a ⃗ ， AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2a ⃗+b ⃗⃗ ，则下列结论不正确的是（ ） A. |b ⃗⃗| =1 B. a ⃗⊥b ⃗⃗ C. a ⃗•b ⃗⃗ =1 D. (4a ⃗+b
⃗⃗) ⊥ BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 12.（多选题，5分）已知函数f （x ）=2sinxcosx-2sin 2x ，给出下列四个选项，正确的有（ ）
A.函数f （x ）的最小正周期是π
B.函数f （x ）在区间 [π
8，
5π
8
] 上是减函数 C.函数f （x ）的图象关于点 (−π
8，0) 对称
D.函数f （x ）的图象可由函数 y =√2sin2x 的图象向右平移 π8
个单位，再向下平移1个单位得到
13.（填空题，5分）已知sin 2（ π
4 +α）= 2
3 ，则sin2α的值是___ ． 14.（填空题，5分）tan255°=___ ．
15.（填空题，5分）设 a ⃗ ， b ⃗⃗ 为单位向量，且| a ⃗ + b ⃗⃗ |=1，则| a ⃗ - b
⃗⃗ |=___ ． 16.（填空题，5分）已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足 AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 12 （ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ），则| PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=___ ； PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • PD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ． 17.（问答题，10分）已知向量 a ⃗ =（2，1）， b ⃗⃗ =（3，-1）． （1）求向量 a ⃗ 与 b
⃗⃗ 的夹角； （2）若 c ⃗ =（3，m ）（m∈R ），且 (a ⃗−2b ⃗⃗⃗⃗⃗)⊥c ⃗ ，求m 的值．
18.（问答题，12分）已知向量 a ⃗ =（sinx ， 3
2 ）， b ⃗⃗ =（cosx ，-1）． （1）当 a ⃗ || b
⃗⃗ 时，求2cos 2x-sin2x 的值； （2）求f （x ）=（ a ⃗ + b ⃗⃗ ）• b ⃗⃗ 在[- π2 ，0]上的最大值．
19.（问答题，12分）已知sinα= 35 ， α∈(0，π
2) （1）求sin （α+ π
4 ）的值；
（2）若tanβ= 13 ，求tan （2α-β）的值．
20.（问答题，12分）已知向量 m ⃗⃗⃗ =（sinx ， −1
2 ）， n ⃗⃗ =（ √
3 cosx ，cos2x ），函数f （x ）= m ⃗⃗⃗•n ⃗⃗ ．
（Ⅰ）求函数f （x ）的单调递增区间：
（Ⅱ）将函数y=f （x ）的图象向左平移 π
6 个单位，得到函数y=g （x ）的图象，求g （x ）在[0，
π
2
]上的值域．
21.（问答题，12分）如图所示，在平面直角坐标系中，锐角α、β（β＞α）的终边分别与单位圆交于A ，B 两点，点A （ 4
5 ， 3
5 ）．
（1）若点B （ 5
13 ， 12
13 ），求cos （α+β）的值； （2）若 OA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗•OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3√10
10 ，求sinβ．
22.（问答题，12分）已知函数f （x ）=Asin （ωx+φ）+B （A ＞0，ω＞0，|φ|＜ π
2 ）的一系列对应值如下表：
（2）求函数f（x）的单调递增区间和对称中心；
]时，方程f（x）=m+1恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．（3）若当x∈[0，7π
6
2020-2021学年山东省德州实验中学高一（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
试题数：22，总分：150
1.（单选题，5分）若向量a⃗ =（3，m），b⃗⃗ =（2，-1），a⃗•b⃗⃗ =0，则实数m的值为
（）
A. −3
2
B. 3
2
C.2
D.6
【正确答案】：D
【解析】：根据两个向量的数量积为零，写出坐标形式的公式，得到关于变量的方程，解方程可得．
【解答】：解：a⃗•b⃗⃗ =6-m=0，
∴m=6．
故选：D．
【点评】：由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，所以我们应根据题目的特点去选择向量的表示方法，由于坐标运算方便，可操作性强，因此应优先选用向量的坐标运算．
2.（单选题，5分）tan17°+tan28°+tan17°tan28°等于（）
A.- √2
2
B. √2
2
C.-1
D.1
【正确答案】：D
【解析】：把tan17°+tan28°=tan（17°+28°）（1-tan17°tan28°）代入所给的式子，化简可得结果．
【解答】：解：tan17°+tan28°+tan17°tan28°
=tan （17°+28°）（1-tan17°tan28°）+tan17°tan28°=tan45°=1， 故选：D ．
【点评】：本题主要考查两角和的正切公式的变形应用，考查了转化思想，属于基础题． 3.（单选题，5分）已知向量 a ⃗ ， b ⃗⃗ 满足| a ⃗ |=1， a ⃗ •b ⃗⃗ =-1，则 a ⃗ •（2 a ⃗ −b ⃗⃗ ）=（ ） A.4 B.3 C.2 D.0
【正确答案】：B
【解析】：根据向量的数量积公式计算即可．
【解答】：解：向量 a ⃗ ， b ⃗⃗ 满足| a ⃗ |=1， a ⃗ •b ⃗⃗ =-1，则 a ⃗ •（2 a ⃗ −b ⃗⃗ ）=2 a ⃗2 - a ⃗•b ⃗⃗ =2+1=3， 故选：B ．
【点评】：本题考查了向量的数量积公式，属于基础题
4.（单选题，5分）已知 a ⃗ ， b ⃗⃗ 是非零向量且满足（ a ⃗ -2 b ⃗⃗ ）⊥ a ⃗ ，（ b ⃗⃗ -2 a ⃗ ）⊥ b ⃗⃗ ，则 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 的夹角是（ ）
A. π6
B. π3
C. 2π
3 D. 5π
6
【正确答案】：B
【解析】：利用两个向量垂直，数量积等于0，得到 a ⃗2 = b ⃗⃗2 =2 a ⃗ • b ⃗⃗ ，代入两个向量的夹角公式得到夹角的余弦值，进而得到夹角．
【解答】：解：∵（ a ⃗−2b ⃗⃗ ）⊥ a ⃗ ，（ b ⃗⃗−2a ⃗ ）⊥ b ⃗⃗ ， ∴（ a ⃗−2b ⃗⃗ ）• a ⃗ = a ⃗2 -2 a ⃗• b
⃗⃗ =0， （ b ⃗⃗−2a ⃗ ）• b ⃗⃗ = b ⃗⃗2 -2 a ⃗•b ⃗⃗ =0，∴ a ⃗2 = b ⃗⃗2 =2 a ⃗•b ⃗⃗ ，设 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 的夹角为θ， 则由两个向量的夹角公式得 cosθ= a ⃗⃗•b ⃗⃗|a ⃗⃗|• |b ⃗⃗| = a ⃗⃗•b ⃗⃗a ⃗⃗2 = a ⃗⃗•b ⃗⃗⃗⃗⃗2a •
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗b ⃗⃗ = 1
2 ， ∴θ=60°，
【点评】：本题考查两个向量垂直的性质，两个向量的夹角公式的应用．
5.（单选题，5分）如图所示是曾经在北京召开的国际数学家大会的会标，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是1
25
，则cos2θ的值等于（）
A.1
B.- 24
25
C. 7
25
D.- 7
25
【正确答案】：C
【解析】：依题意可知拼图中的每个直角三角形的长直角边长cosθ，短直角边为sinθ，小正方形的边长为cosθ-sinθ，
因小正方形的面积是1
25，即（cosθ-sinθ）2= 1
25
，利用同角三角函数基本关系式可得cosθ，
sinθ的值，进而根据二倍角公式即可求解cos2θ的值．
【解答】：解：依题意可知拼图中的每个直角三角形的长直角边长cosθ，短直角边为sinθ，小正方形的边长为cosθ-sinθ，
因小正方形的面积是1
25，即（cosθ-sinθ）2= 1
25
，可得cosθ-sinθ= 1
5
，①
可得cos2θ+sin2θ-2cosθsinθ= 1
25
，
解得2cosθsinθ= 24
25，可得（cosθ+sinθ）2=cos2θ+sin2θ+2cosθsinθ= 49
25
，
可得cosθ+sinθ= 7
5
，②
由① ② 得cosθ= 4
5，sinθ= 3
5
，
所以cos2θ=cos2θ-sin2θ= 7
25
．
故选：C．
【点评】：本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
6.（单选题，5分）下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（π
2
，π）上为减函数的是（）
B.y=2|sinx|
C.y=cos x
2
D.y=tanx
【正确答案】：B
【解析】：由条件利用三角函数的周期性和单调性，判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】：解：由于y=cosx的周期为2π，故排除A；
由于y=2|sinx|以π为最小正周期，且在区间（π
2
，π）上为减函数，故满足条件；
由于y=cos x
2的周期为2π1
2
=4π，故排除C；
由于y=tanx区间（π
2
，π）上为增函数，故排除D，
故选：B．
【点评】：本题主要考查三角函数的周期性和单调性，属于基础题．
7.（单选题，5分）为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y= √2 cos3x的图象（）
A.向右平移π
12
个单位
B.向右平移π
4
个单位
C.向左平移π
12
个单位
D.向左平移π
4
个单位
【正确答案】：A
【解析】：由题意利用两角差的余弦公式化简y=sin3x+cos3x的解析式，再利用函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【解答】：解：∵函数y=sin3x+cos3x= √2 cos（3x- π
4
），故将函数y= √2 cos3x的图象向右
平移π
12
个单位，
可得函数y=sin3x+cos3x的图象，
故选：A．
【点评】：本题主要考查两角差的余弦公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
8.（单选题，5分）已知2tanθ-tan（θ+ π
4
）=7，则tanθ=（）
A.-2
B.-1
C.1
D.2
【正确答案】：D
【解析】：利用两角和差的正切公式进行展开化简，结合一元二次方程的解法进行求解即可．
【解答】：解：由2tanθ-tan（θ+ π
4）=7，得2tanθ- tanθ+1
1−tanθ
=7，
即2tanθ-2tan2θ-tanθ-1=7-7tanθ，
得2tan2θ-8tanθ+8=0，
即tan2θ-4tanθ+4=0，
即（tanθ-2）2=0，
则tanθ=2，
故选：D．
【点评】：本题主要考查三角函数值的化简和求解，结合两角和差的正切公式以及配方法是解决本题的关键．难度中等．
9.（多选题，5分）若α为第四象限角，则下列命题不正确的是（）
A.cos2α＞0
B.cos2α＜0
C.sin2α＞0
D.sin2α＜0
【正确答案】：ABC
【解析】：方法一，先判断出2α的终边落在第三，四象限以及y轴的非正半轴上，即可判断各选项；
方法二：举例判断AB，根据二倍角公式判断CD．
【解答】：解：方法一：由α为第四象限角，可得3π
2
+2kπ＜α＜2π+2kπ，k∈Z，
∴3π+4kπ＜2α＜4π+4kπ，k∈Z，
∴2α的终边落在第三，四象限以及y轴的非正半轴上，
∴sin2α＜0，
方法二：当α=- π6 时，cos2α=cos （- π
3 ）＞0，故B 错误， 当α=- π3
时，cos2α=cos （- 2π3
）＜0，故A 错误，
由α在第四象限，可得sinα＜0，cosα＞0，则sin2α=2sinαcosα＜0，故C 错误． 故选：ABC ．
【点评】：本题考查三角函数的符号，考查了运算求解能力，属于基础题． 10.（多选题，5分）下列计算正确的是（ ） A. 2tan22.5°
1−tan 222.5° =1 B.1-2sin 275°= √3
2 C.cos 4 π
8 -sin 4 π
8 = √22
D.cos 275°+cos 215°+cos75°cos15°= 5
4 【正确答案】：ACD
【解析】：利用三角函数恒等变换的应用逐项化简求值即可判断得解．
【解答】：解：对于A ， 2tan22.5°
1−tan 222.5° =tan45°=1，故正确； 对于B ，1-2sin 275°=cos150°=- √3
2 ，故错误；
对于C ，cos 4 π8
-sin 4 π8
=（cos 2 π8
+sin 2 π8
）（cos 2 π8
-sin 2 π8
）=cos 2 π8
-sin 2 π8
=cos π4
= √22
，故正确；
对于D ，cos 275°+cos 215°+cos75°cos15°=cos 275°+sin 275°+cos75°sin75°=1+ 1
2 sin150°=1+
12
×12 = 5
4 ，故正确．
故选：ACD ．
【点评】：本题主要考查了三角函数恒等变换在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
11.（多选题，5分）△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量 a ⃗ ， b ⃗⃗ 满足 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2 a ⃗ ， AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2a ⃗+b ⃗⃗ ，则下列结论不正确的是（ ） A. |b ⃗⃗| =1 B. a ⃗⊥b ⃗⃗ C. a ⃗•b ⃗⃗ =1 D. (4a ⃗+b
⃗⃗) ⊥ BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
【正确答案】：ABC
【解析】：利用向量的线性运算，向量垂直的充要条件，向量的模的求法逐一判断四个选项得答案．
【解答】：解：由题意， BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（2 a ⃗ + b ⃗⃗ ）-2 a ⃗ = b ⃗⃗ ，则| b ⃗⃗ |=2，故A 错误； 由 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2 a ⃗ ，得| AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2| a ⃗ |=2，则| a ⃗ |=1， 又 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =| AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |•| AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cosA=2×2× 12 =2， 即2 a ⃗ （2 a ⃗ + b ⃗⃗ ）=4| a ⃗ |²+2 a ⃗•b ⃗⃗ =4+2 a ⃗•b ⃗⃗ =2 ∴ a ⃗•b
⃗⃗ =-1，故B 错误，C 错误； 设B ，C 中点为D ，则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，且 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 而2 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2 a ⃗ +（2 a ⃗ + b ⃗⃗ ）=4 a ⃗ + b ⃗⃗ ， ∴（4 a ⃗ + b ⃗⃗ ）⊥ BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，故D 正确． 故选：ABC ．
【点评】：本题考查向量的线性运算，向量垂直的充要条件，向量的模，主要考查学生的运算能力，是中档题．
12.（多选题，5分）已知函数f （x ）=2sinxcosx-2sin 2x ，给出下列四个选项，正确的有（ ）
A.函数f （x ）的最小正周期是π
B.函数f （x ）在区间 [π
8，
5π
8
] 上是减函数 C.函数f （x ）的图象关于点 (−π
8，0) 对称
D.函数f （x ）的图象可由函数 y =√2sin2x 的图象向右平移 π8
个单位，再向下平移1个单位得到
【正确答案】：AB
【解析】：利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性、单调性、图象的对称性，函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【解答】：解：∵f （x ）=sin2x-2sin 2x+1-1=sin 2x+cos 2x-1= √2 sin （2x +π
4 ）-1． 对于A ：因为ω=2，则f （x ）的最小正周期T=π，结论正确． 对于B ：当x∈[ π
8，
5π8 ]时，2x +π4 ∈[ π2，3π
2 ]，则sinx 在[ π
8，
5π
8
]上是减函数，结论正确． 对于C ：因为f （ −π
8 ）=-1，得到函数f （x ）图象的一个对称中心为（ −π8 ，-1），结论不正
确．
对于D ：函数f （x ）的图象可由函数y= √2 sin2x 的图象向左平移 π
8 个单位再向下平移1个单位得到，结论不正确． 故正确结论有A ，B ， 故选：AB ．
【点评】：本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性、图象的对称性，函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
13.（填空题，5分）已知sin 2（ π4 +α）= 2
3 ，则sin2α的值是___ ． 【正确答案】：[1] 13
【解析】：根据二倍角公式即可求出．
【解答】：解：因为sin 2（ π4 +α）= 2
3 ，则
sin 2（ π4 +α）= 1−cos(π
2
+2α)2 = 1+sin2α2 = 23
， 解得sin2α= 1
3 ， 故答案为： 1
3
【点评】：本题考查了二倍角公式，属于基础题． 14.（填空题，5分）tan255°=___ ． 【正确答案】：[1]2+ √3
【解析】：利用诱导公式变形，再由两角和的正切求解．
【解答】：解：tan255°=tan （180°+75°）=tan75° =tan （45°+30°）= tan45°+tan30°
1−tan45°tan30° =
1+
√3
31−
√33
= √3
3−√
3
=
(3+√3)2
9−3
=2+√3 ．
故答案为： 2+√3 ．
【点评】：本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及两角和的正切，是基础题． 15.（填空题，5分）设 a ⃗ ， b ⃗⃗ 为单位向量，且| a ⃗ + b ⃗⃗ |=1，则| a ⃗ - b ⃗⃗ |=___ ． 【正确答案】：[1] √3
【解析】：直接利用向量的模的平方，结合已知条件转化求解即可．
【解答】：解： a ⃗ ， b ⃗⃗ 为单位向量，且| a ⃗ + b ⃗⃗ |=1， | a ⃗ + b
⃗⃗ |2=1， 可得 a ⃗2+2a ⃗•b ⃗⃗+b ⃗⃗2=1 ， 1+2 a ⃗•b ⃗⃗ +1=1， 所以 2a ⃗•b
⃗⃗=−1 ， 则| a ⃗ - b ⃗⃗ |= √a ⃗2−2a ⃗•b ⃗⃗+b ⃗⃗2 = √3 ． 故答案为： √3 ．
【点评】：本题考查向量的模的求法，数量积的应用，考查计算能力．
16.（填空题，5分）已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足 AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 12 （ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ），则| PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=___ ； PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ． 【正确答案】：[1] √5 ; [2]-1
【解析】：根据向量的几何意义可得P 为BC 的中点，再根据向量的数量积的运算和正方形的性质即可求出．
【解答】：解：由 AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 12 （ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ），可得P 为BC 的中点， 则|CP|=1，
∴|PD|= √22+12 = √5 ，
∴ PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •（ PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）=- PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •（ PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）=- PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2- PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-1， 故答案为： √5 ，-1．
【点评】：本题考查了向量的几何意义和向量的数量积的运算，属于基础题． 17.（问答题，10分）已知向量 a ⃗ =（2，1）， b ⃗⃗ =（3，-1）． （1）求向量 a ⃗ 与 b
⃗⃗ 的夹角； （2）若 c ⃗ =（3，m ）（m∈R ），且 (a ⃗−2b ⃗⃗⃗⃗⃗)⊥c ⃗ ，求m 的值．
【正确答案】：
【解析】：（1）根据题意，由 a ⃗ 、 b ⃗⃗ 的坐标求出 a ⃗ • b ⃗⃗ 和| a ⃗ |、| b ⃗⃗ |的值，由向量夹角公式计算可得答案；
（2）根据题意，求出 a ⃗ -2 b ⃗⃗ 的坐标，由向量垂直的判断方法可得 (a ⃗−2b ⃗⃗)•c ⃗=0 ，代入向量的坐标可得（-4）×3+3m=0，计算可得答案．
【解答】：解：（1）根据题意， a ⃗=(2，1) ， b
⃗⃗=(3，−1) ， 则 a ⃗•b ⃗⃗=2×3+1×(−1)=5 ， |a ⃗|=√22+1=√5 ， |b ⃗⃗|=√32+(−1)2=√10 ， 设向量 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 的夹角为θ， 则 cosθ=a
⃗⃗b ⃗⃗|a
⃗⃗||b
⃗⃗|=
√5×√10
=
√22
， 又由θ∈[0，π]， θ=π
4 ，即向量 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 的夹角为 π4
（2）根据题意， a ⃗=(2，1) ， b ⃗⃗=(3，−1) ，则 a ⃗−2b ⃗⃗=(−4，3) ， 若 (a ⃗−2b ⃗⃗)⊥c ⃗ ，则 (a ⃗−2b ⃗⃗)•c ⃗=0 ， 又由 c ⃗=(3，m) ，则有（-4）×3+3m=0， 解可得m=4．
【点评】：本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角、向量垂直的判断方法，属于基础题．
18.（问答题，12分）已知向量 a ⃗ =（sinx ， 3
2 ）， b
⃗⃗ =（cosx ，-1）． （1）当 a ⃗ || b
⃗⃗ 时，求2cos 2x-sin2x 的值； （2）求f （x ）=（ a ⃗ + b
⃗⃗ ）• b ⃗⃗ 在[- π2
，0]上的最大值．
【正确答案】：
【解析】：（1）当 a ⃗ || b ⃗⃗ 时可得tanx= −3
2 ，可得2cos 2x-sin2x= 2cos 2x−sin2x
cos 2x+sin 2x ，化为切函数，代值计算可得；
（2）由向量和三角函数的知识可得f （x ）= √2
2 sin （2x+ π
4 ），由x 的范围可得．
【解答】：解：（1）当a⃗ || b⃗⃗时，-sinx= 3
2
cosx，
∴tanx= sinx
cosx = −3
2
，
∴2cos2x-sin2x= 2cos2x−sin2x
cos2x+sin2x
= 2cos2x−2sinxcosx
cos2x+sin2x
= 2−2tanx 1+tan2x = 2−2(−
3
2
)
1+(−3
2
)
2
= 20
13
；
（2）f（x）=（a⃗ + b⃗⃗）• b⃗⃗
= a⃗•b⃗⃗ + b⃗⃗2 =sinxcosx- 3
2
+cos2x+1
= 1
2 sin2x −3
2
+ 1+cos2x
2
+1
= 1
2 sin2x+ 1
2
cos2x= √2
2
sin（2x+ π
4
），
∵x∈[- π
2，0]，∴2x+ π
4
∈[ −3π
4
，π
4
]，
∴sin（2x+ π
4）∈[-1，√2
2
]，
∴当sin（2x+ π
4）= √2
2
时，f（x）=（a⃗ + b⃗⃗）• b⃗⃗取最大值1
2
．
【点评】：本题考查平面向量与三角函数的综合应用，熟练掌握公式是解决问题的关键，属中档题．
19.（问答题，12分）已知sinα= 3
5，α∈(0，π
2
)
（1）求sin（α+ π
4
）的值；
（2）若tanβ= 1
3
，求tan（2α-β）的值．
【正确答案】：
【解析】：（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，进而根据两角和的正弦函数
公式即可计算得解sin（α+ π
4
）的值．
（2）由（1）可得tanα= 3
4
，利用二倍角的正切函数公式可得tan2α的值，进而根据两角差的正切函数公式即可计算得解．
【解答】：解：（1）∵sinα= 3
5，α∈(0，π
2
)，
∴cosα= √1−sin2α = 4
5
，
∴sin（α+ π
4）=sinαcos π
4
+cosαsin π
4
= 3
5
×√2
2
+ 4
5
×√2
2
= 7√2
10
．
（2）∵由（1）可得tanα= 3
4，可得：tan2α= 2tanα
1−tan2α
=
3
2
1−9
16
= 24
7
，
又∵tanβ= 1
3
，
∴tan（2α-β）= tan2α−tanβ
1+tan2αtanβ =
24
7
−1
3
1+24
7
×1
3
= 13
9
．
【点评】：本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，二倍角的正切函数公式，两角差的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
20.（问答题，12分）已知向量m⃗⃗⃗ =（sinx，−1
2
），n⃗⃗ =（√3 cosx，cos2x），函数f（x）= m⃗⃗⃗•n⃗⃗．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间：
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向左平移π
6
个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[0，π
2
]上的值域．
【正确答案】：
【解析】：（Ⅰ）进行数量积的坐标运算，并根据两角差的正弦公式得出f(x)=sin(2x−
π6)，从而解−π
2
+2kπ≤2x−π
6
≤π
2
+2kπ即可得出f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）根据图象的平移变换即可得出g(x)=sin(2x+π
6)，根据x的范围即可求出2x+π
6
的
范围，从而得出g（x）在[0，π
2
]上的值域．
【解答】：解：（Ⅰ）m⃗⃗⃗•n⃗⃗=√3sinxcosx−1
2cos2x = √3
2
sin2x−1
2
cos2x=sin(2x−π
6
)，
∴ f(x)=sin(2x−π
6
)，
解−π
2+2kπ≤2x−π
6
≤π
2
+2kπ得，−π
6
+kπ≤x≤π
3
+kπ，k∈Z，
∴f （x ）的单调递增区间为 [−π6+kπ，π
3+kπ] ，k∈Z ；
（Ⅱ）将f （x ）的图象向左平移 π
6 个单位得到y=g （x ）的图象， ∴ g (x )=sin [2(x +π
6)−π
6]=sin (2x +π
6) ， ∵ x ∈[0，π
2] ， ∴ 2x +π
6∈[π
6，
7π
6] ， ∴g （x ）在 [0，π
2] 上的值域为 [−1
2，1] ．
【点评】：本题考查了向量数量积的坐标运算，两角差的正弦公式，正弦函数的单调增区间，图象的平移变换，正弦函数的图象，考查了计算能力，属于基础题．
21.（问答题，12分）如图所示，在平面直角坐标系中，锐角α、β（β＞α）的终边分别与单位圆交于A ，B 两点，点A （ 4
5
， 35
）．
（1）若点B （ 5
13 ， 12
13 ），求cos （α+β）的值；
（2）若 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3√10
10 ，求sinβ．
【正确答案】：
【解析】：（1）利用两角和与差的三角函数化简求解即可． （2）通过向量的数量积结合两角和与差的三角函数，转化求解即可．
【解答】：解：（1）因为α是锐角，且 A (4
5，3
5)，B (5
13，12
13) 在单位圆上， 所以，sinα=3
5 ， cosα=4
5 ， sinβ=12
13 cosβ=5
13 ，
∴ cos (α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=4
5×5
13−3
5×12
13=−16
65 ．
（2）因为 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3√10
10
，所以 |OA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗|•|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|cos (β−α)=3√1010
， 且 |OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=1 ，所以， cos (β−α)=3√1010 ， 可得：sin (β−α)=
√10
10 （β＞α）， 且 cosα=4
5
， sinα=35
，
所以，sinβ=sin[α+（β-α）]=sinαcos （β-α）+cosαsin （β-α） = 3
5×3√1010+4
5
×
√10
10
=
13√10
50
．
【点评】：本题考查向量的数量积以及两角和与差的三角函数的应用，考查转化思想以及计算能力．
22.（问答题，12分）已知函数f （x ）=Asin （ωx+φ）+B （A ＞0，ω＞0，|φ|＜ π
2 ）的一系列对应值如下表：
（2）求函数f （x ）的单调递增区间和对称中心；
（3）若当x∈[0， 7π
6 ]时，方程f （x ）=m+1恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围．
【正确答案】：
【解析】：（1）由最值求出A 、B 的值，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）令 2kπ−π
2≤x −π
3≤2kπ+π
2(k ∈Z ) ，求得x 的范围，可得函数f （x ）单调递增区间．令 x −π
3
=kπ(k ∈Z ) ，求得x 的值，可得对称中心，的坐标．
（3）方程f （x ）=m+1可化为 m =3sin (x −π
3) ，由x∈[0， 7π
6 ]，由题意可得直线y=m 和函数f （x ）的图象在[0， 7π
6 ]上有两个不同的交点，数形结合，从而求得实数m 的取值范围．
【解答】：解：（1）设f （x ）的最小正周期为T ，得 T =11π6
−(−π
6)=2π ，再由 T =
2πω
，得ω=1．
又 {B +A =4B −A =−2 ，解得 {A =3B =1 ．
令 ω•
5π
6
+φ=2kπ+π2(k ∈Z ) ，即 5π6+φ=2kπ+π2(k ∈Z ) ，解得 φ=−π
3 ，
所以 f (x )=3sin (x −π3
)+1 ．
（2）令 2kπ−π
2≤x −π
3≤2kπ+π
2(k ∈Z ) ，求得 2kπ- π
6 ≤x≤2kπ+ 5π
6 ， 故函数f （x ）单调递增区间为：[2kπ- π
6 ，2kπ+ 5π
6 ]，k∈z ． 令 x −π
3=kπ(k ∈Z ) ，得 x =kπ+π3(k ∈Z ) ， 所以函数f （x ）的对称中心为（kπ+ π
3 ，1）． （3）方程f （x ）=m+1可化为 m =3sin (x −π3
) ，
由题意可得，直线y=m 和函数f （x ）的图象在[0， 7π
6 ]上有两个不同的交点． 因为x∈[0， 7π
6 ]，所以 x- π
3 ∈[- π
3 ， 5π
6 ]，∴sin （ x- π
3 ）∈[- √3
2 ，1]，
令x- π
3 =t ，则直线y=m 和函数y=3sint 的图象在[- π
3 ， 5π
6 ]上有两个不同的交点． 数形结合可得实数m 的取值范围是[ 32
，3）．
【点评】：本题主要考查由函数y=Asin （ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，正弦函数的单调性、对称性、定义域和值域，属于中档题．。