山西省孝义市2018届高三上学期入学摸底考试数学(理)试题Word版含答案

山西省孝义市2018届高三上学期入学摸底考试
理科数学
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合{}0B x x =?，且A B A =，则集合A 的可能是( ) A ．{}1,2 B ．{}1x x £ C ．{}1,0,1- D ．R
2.已知命题p ：0x R $?，()
0lg 310x +?，则命题p 的否定是( ) A ．()
,lg 310x x R "?? B ．()
,lg 310x x R "?< C ．(),lg 310x
x R "
?? D ．()
,lg 310x x R "
?>
3.若,x y 满足约束条件1020220
x y x y x y ì-+?ïï
-?íï+-?ïî，则z x y =+的最大值是( )
A ．3-
B ．
12 C ．1 D ． 32
4.抛物线2:3C y x =上的一点P 到y 轴的距离与它到坐标原点O 的距离之比为1:2，则P 到点C 的焦点的距离是( ) A ．
14 B ．34 C.54 D ．7
4
5.一个摊主在一旅游景点设摊，在不透明口袋中装入除颜色外无差别的2个白球和3个红球，游客向摊主支付2元进行1次游戏，游戏规则为：游客从口袋中随机摸出2个小球，若摸出的小球同色，则游客获得3元奖励；若异色则游客获得1元奖励，则摊主从每次游戏中获得的利润(单位：元)的期望值是( )
A ．0.2
B ．0.3 C.0.4 D ．0.5
6.已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球的球面上，则该圆柱的体积是( ) A ．p B ．
34p C.2
p
D ．6p 7.执行如图所示的程序框图，输出的S 的值是( )
A ．12
- B ．0 C.1
2 D
8.已知单位向量,a b 满足a b a b +=-，则a 与b a -的夹角是( ) A ．
6p B ．3p C.4p D ．34
p
9.设ABC △的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，b ，6C p =，1
sin 2
A =，若D 是BC 的中点，则AD =( )
A ．
74 B C.14 D ．1
2
10.1231261823n n
n
n n n C C C C -++++?…( )
A ．2123n +
B ．()2413n - C.123n -´ D ．()
2
313
n -
11.若双曲线()22
22:1,0x y C a b a b
-=>的左支与圆()
222222x y c c a b +==+相交于,A B 两点，
C 的右焦点为F ，且AFB △为正三角形，则双曲线C 的离心率是( )
A 1
B 1+12.已知函数()()()ln 1,0
1,0x m x f x f x ax b x ì++?ï==í-+<ïî()1m <-，对于任意s R Î，且0s ¹，均存
在唯一实数t ，使得()()f s f t =，且s t ¹，若关于x 的方程()2m
f x f 骣琪=琪桫
有4个不相等的
实数根，则a 的取值范围是( )
A ．()2,1--
B ．()1,0- C.()4,2-- D ．()
()4,11,0---
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.若复数()()2
0z a i a =+>在复平面内的对应点在虚轴上，则a = ．
14.若函数()212x f x a
=-+是奇函数，则使()1
3f x ³成立的x 的取值范围是 ． 15.某组合体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为1，则该多面体的体积是 ．
16.已知函数sin cos y a x b x c =++的图象的一个最高点是,44p
骣琪琪桫
，最低点的纵坐标为2，如
果图象上每点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12倍，然后向左平移8
p
个单位长度可以得
到()y f x =的图象，，23
f p
骣琪=琪
桫 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，52a =-，530S =-. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)当n S 取最小值时，求n 的值.
18.在多面体ABCDEFG 中，四边形ABCD 与CDEF 均为正方形，CF ^平面ABCD ，BG ^平面ABCD ，且24AB BG BH ==.
(1)求证：GH ^平面EFG ； (2)求二面角E FG D --的余弦值.
19.某班20名同学某次数学测试的成绩可绘制成如下茎叶图，由于其中部分数据缺失，故打算根据茎叶图中的数据估计全班同学的平均成绩.
(1)完成频率分布直方图；
(2)根据(1)中的频率分布直方图估计全班同学的平均成绩x (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(3)设根据茎叶图计算出的全班的平均成绩为y ，并假设{},09a b n Z n 挝＃，且,a b 各自
取得每一个可能值的机会相等，在(2)的条件下，求概率()P y x >.
20.已知椭圆()22
22:10x y C a b a b +=>>经过点31,2A 骣琪琪
桫，C 的四个顶点构成的四边形面积为
(1)求椭圆C 的方程；
(2)在椭圆C 上是否存在相异两点,E F ，使其满足：①直线AE 与直线AF 的斜率互为相反数；②线段EF 的中点在y 轴上.若存在，求出EAF ∠的平分线与椭圆相交所得弦的弦长；若不存在，请说明理由.
21.已知函数()()21f x a x b =-+.
(1)讨论函数()()x g x e f x =-在区间[]0,1上的单调性；
(2)已知函数()12x x
h x e xf 骣琪=--琪桫
，若()10h =，且函数()h x 在区间()0,1内有零点，求a 的
取值范围.
22.在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知
曲线1C 的极坐标方程为2sin 204
p
r q 骣琪---=琪
桫，曲线2C 的极坐标方程为()4
R p
q r =?，1C 与2C 相交于,A B 两点.
(1)把1C 和2C 的方程化为直角坐标方程，并求点,A B 的直角坐标； (2)若P 为1C 上的动点，求2
2
PA PB +的取值范围.
23.已知函数()211f x x x =++-. (1)解不等式()4f x ³；
(2)若对于任意的实数x R Î都有()f x a >，求a 的取值范围.
山西省孝义市2018届高三上学期入学摸底考试
理科数学参考答案
一、选择题
1-5:ADCDA 6-10:DCDBB 11、12：AC
二、填空题
13.1 14.[)1,+?
15.43 16.5
2
三、解答题
17.解：(1)因为(
)5155
302a a S +?==-，又52a =-，解得110a =-. 所以数列{}n a 的公差5124
a a
d -==.
所以()11212n a a n d n =+-=-.
(2)令0n a £，即2120n -?，解得6n £. 又60a =，
所以当n S 取最小值时，5n =或6.
18.解：(1)证明：由题意可得CD BC ^，CD CF ^， ∴CD ^平面FCBG ， ∵CD EF ∥， ∴EF ^平面FCBG ， 而GH Ì平面FCBG ， ∴GH EF ^. 如图，连接FH ，
∵CF ^平面ABCD ，BG ^平面ABCD ， ∴CF BG ∥，∴四边形FCBG 为直角梯形， 设1BH =，则依题意2BG =，4AB =， ∴2225GH BH BG =+=， 22225FH GH CF =+=，
()2
2220FG BC GF BG =+-=，
∴222GH FG FH +=.
∴GH FG ^，又GH EF ^，GF EF F =，
∴GH ^平面EFG ；
(2)解：由(1)知,,DA DC DE 两两垂直，
以,,DA DC DE 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设1BH =， 则()0,0,0D ，()0,0,4E ，()0,4,4F ，()3,4,0H ，()4,4,2G ， ∴()0,4,4DF =，()4,0,2FG =-， 设(),,n x y z =是平面DFG 的一个法向量， 则0
0n DF n FG
ì?ïíï?î，∴440
420x z x z ì+=ïí-=ïî
，取2z =，得()1,2,2n =-.
又()1,0,2HG =是平面FGE 的一个法向量， ∴5
cos ,n HG n HG n HG
×<>=
=，
∴二面角D FG E --
. 19.解：(1)频率分布直方图如下：
(2)550.1650.15750.3850.25950.278x =?????， 即全班同学平均成绩可估计为78分.
(3)5026037068059049515552020
a b a b
y ?????++++=
=
， 故()()15578520
a b
P y x P P a b 骣++琪>=>=+>琪
桫， 又
()()()()()()50,051,042,033,024,01P a b P a b P a b P a b P a b P a b +?=＃+=＃+=＃+=＃+=＃()654321
5,00.211010
P a b ++++++===
=´
故()()()5150.79P y x P a b P a b >=+>=-+?.
20.解：(1)
由已知得2219140a b ab a b ì+=ïïïï
=íï
>>ïïïî
，
解得224,3a b ==， ∴椭圆C 的方程22
143
x y +=.
(2)设直线AE 的方程为()3
12
y k x -=-，代入22143x y +=，得
()()2
2
23443241230k x
k k x k k ++-+--=.(*)
设()11,E x y ，()22,F x y ，且1x =是方程(*)的根，
∴212
4123
34k k x k --=+，
用k -代替上式中的k ，可得222
4123
34k k x k
+-=+， ∵,E F 的中点在y 轴上，∴120x x +=，
∴2222
41234123
3434k k k k k k --+-+=++，解得k =?， 因此满足条件的点E ，F 存在.
由平面几何知识可知EAF ∠的角平分线方程为1x =. ∴所求弦长为3.
21.解：(1)由题得()()21x g x e a x b =---，所以()()'21x g x e a =--. 当3
2
a £时，()'0g x ³，所以()g x 在[]0,1上单调递增； 当12
e
a ?时，()'0g x £，所以()g x 在[]0,1上单调递减； 当
3122
e
a <<+时，令()'0g x =，得()()ln 220,1x a =-?， 所以函数()g x 在区间()0,ln 22a 轾-臌上单调递减，在区间()(
ln 22,1a ù-û上单调递增. 综上所述，当3
2
a £时，()g x 在[]0,1上单调递增； 当
3122
e
a <<+时，函数()g x 在区间()0,ln 22a 轾-臌上单调递减，在区间()(
ln 22,1a ù-û上单
调递增；
当12
e
a ?
时，所以()g x 在[]0,1上单调递减. (2)()()2
1112x x x h x e xf e a x bx 骣琪=--=----琪桫
，()()()'21x h x e a x b g x =---=，
设0x 为()h x 在区间()0,1内的一个零点，则由()()000h h x ==，可知()h x 在区间()00,x 上不单调，则()g x 在区间()00,x 内存在零点1x ，同理，()g x 在区间()0,1x 内存在零点2x ，所以()g x 在区间()0,1内至少有两个零点. 由(1)知，当3
2
a £时，()g x 在[]0,1上单调递增，故()g x 在()0,1内至多有一个零点，不合题意. 当12
e
a ?
时，()g x 在[]0,1上单调递减，故()g x 在()0,1内至多有一个零点，不合题意，
所以
3122
e
a <<+， 此时()g x 在区间()0,ln 22a 轾-臌上单调递减，在区间()(
ln 22,1a ù-û上单调递增.
因此，()(10,ln 22x a ù?û，()(
2ln 22,1x a ù?û，
必有()010g b =->，()1220g e a b =-+->. 由()10h =，得a b e +=
，102g e 骣琪<琪桫
.
又()010g a e =-+>，()120g a =->，解得12e a -<<. 22.解：(1)()()22
1:114C x y ++-=，2:0C x y -=，
解()()22114
x y x y ì++-=ïíï-=î，得()1,1A --，()1,1B 或()1,1A ，()1,1B --. (2)设()12cos ,12sin P q q -++，不妨设()1,1A --，()1,1B ， 则
()()()(
)222222
2cos 2sin 22cos 22sin 168sin 8cos 164
PA PB p q q q q q q q 骣琪+=+++-+=+-=+-琪
桫，
所以22
PA PB +
的取值范围为16轾-+犏臌
. 23.解：(1)不等式()4f x ³，即2114x x ++-?，等价于：
()()122114x x x ì?ïíï-+--?ïî或()()1122114
x x x ì<?ïí
ï+--?ïî或()()1
2114x x x ì>ïí++-?ïî， 解得43x ?
，或x 纹，或4
3
x ³. 所以所求不等式的解集为44
,33
x x x 禳镲
??睚镲铪
或. (2)()13,
212,123,1x x f x x x x x ì-?ïïï
ï
=+-<?íï
ï>ïïî
，当12x =-时，()min 32f x =.
又因为对于任意的实数x R Î都有()f x a >，所以a 的取值范围是3
,2骣琪-?琪
桫
.。