微积分-不定积分

1 1 (4) 2 dx d x x 1 1 (5) x dx dx
(6) e x dx de x
1 (7) dx d ln x x (8) cos xdx d sin x
(9) sin xdx d cos x
(10) sec2 xdx d tan x (11) csc2 xdx d cot x
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微分与积分的关系
从不定积分的定义可知
d d [ f (x)x)dx] (x)x) [ f ( dx] f f ( , 或 d[[ (x)x)dx (x)x)dx , 或 d f f ( dx] ] f f ( dx dx dx
又由于F(x)是F (x)的原函数, 所以
calculus
第六章 不定积分
§6.1 不定积分的概念和性质
§6.2 积分基本公式 §6.3 换元积分法 §6.4 分部积分法
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§6.1 不定积分的概念和性质
1、原函数
定义 设f(x)是定义在某一个区间上的函数，如果存在一 个函数F (x)，使得对已知区间上任意一点x都有
F (x)f(x)或d F (x)f(x) dx
(csc 2 x sec 2 x)dx
cot x tan x C
cos 2 x cos x sin x 2 cos x 1 1 2 sin x
2 2 2 2
sin 2 x 2 sin x cos x
calculus
6.3 换元积分法
一、第一类换元法 二、第二类换元法
不定积分表示的是一族函数,从几何上看,代表一族曲线, 称为积分曲线族.
曲线:
y F ( x ) C , (C为任意常数 )在 ( x0 , y0 )的切线
y
的斜率为 f ( x0 )
o
x
calculus
例4. 设曲线通过点（1，2），且其上任意点处的切线斜率等
于这点横坐标的两倍,求此曲线的方程.
ax C , (5) a dx ln a (6) cos xdx sin x C ,
x
calculus
(8) sec2 xdx tan x C ,
(9) csc2 xdx cot x C ,
1 dx arctan x C , 2 1 x 1 dx arcsin x C (11) , 2 1 x
calculus
1 2dx d (2 x) cos 2 xdx cos 2 x 2dx 2 u 2 x 1 1 cos 2 xd (2 x) cos udu 2 2 1 1 sin u C sin 2 x C 2 2 1 x2 x2 2 例2 xe dx e (2 x)dx 2 xdx d ( x ) 2 1 x2 2 u x2 1 u e dx e du 2 2 1 u 1 x2 e C e C 2 2
y 解 设所求曲线方程为： f ( x ) ，由题意知
即
f ( x ) 2 x
dy 2x dxy f (x) 2 xdx x 2 C
C 又曲线通过点（1，2）， 1
2
2
f ( x) x 1
2
y x2 1
此曲线的方程为
y x 1
1 o 1 x
如果F(x)是f(x)的一个原函数, 则
1 例例2 求函数 f (x) 的不定积分. 2. x
f (x)dx F (x) C .
calculus
1 解 解：当 x>0 时, (ln x) , x
1 dx ln x C (x>0) x 1 1 当 x<0 时, [ln(x)] (1) , x x 1 dx ln(x) C (x<0). x 合并上面两式, 得到 1 dx ln | x| C (x0). x
2 x e x dx
calculus
calculus
例6
tan xdx
2
例7 例 14
sin 2 x dx 1 cos x dx 1 (1 2 2 2
(sec 2 x 1)dx sin 2 x dx 1 cos x dx 1 (1 cos x)dx 例 14 2 2 2
2




5 (x 2
1 5 x 2 )dx


x 1
2

x 13 dx
x2
3

5 x 2 dx

3 2 7 10 2 x 2 x C 7 3

1 5 x 2 dx
x x 3 3x 2 3x 1 dx 2 x
1 2
dx
(x 3 3x x )dx
例1
calculus
基本思路 设 F (u ) f (u ) , 可导, 则有
dF [ ( x)] f [ ( x)] ( x)dx
F[ ( x)] C
F (u ) C
u ( x )
u ( x )
f (u )du
第一类换元法
第二类换元法
calculus
性质3
kf ( x )dx k f ( x )dx
(k 0)
§6.2 积分基本公式
一、基本积分表
(1) kdx kx C (k 是常数), dx 1 x 1 C , (2) x 1 1 dx ln | x| C (3) , x (4) e xdx e x C ,
则称函数F (x)是函数f(x)在该区间上的一个原函数。 •原函数举例 因为(sin x)cos x , 所以sin x是cos x的原函数.
提问： cos x还有其它原函数吗？ 因为(sin x+C)cos x , 所以sin x+C都是cos x的原函数.
原函数存在定理 如果函数f(x)在区间I上连续, 那么在区间I上存在 可导函数F(x), 使对任一xI 都有 F (x)f(x). 简单地说就是: 连续函数一定有原函数.
(10) (12) sec x tan xdx sec x C , (13) cscx cot dx cscx C ,
(7) sin xdx cos x C ,
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二、直接积分法
例1.求
解

x ( x 5)dx
2
例2. 求 解

x ( x 5)dx
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2.不定积分
定义 若函数f(x)在某区间上存在原函数，则f(x)的所有原 函数的全体称为f(x)在该区间上的不定积分, 记作
f (x)dx .
不定积分中各部分的名称： ------ 称为积分号, f(x) ------ 称为被积函数, f(x)dx ------ 称为被积表达式, x ------ 称为积分变量. 根据定义, 如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数, 那么F(x)C就是f(x)的不定积分, 即
一、第一类换元法
定理1 设 f (u ) 有原函数 , u ( x) 可导 , 则有换元公式
f (u )du u (x)
即
f [ ( x)] ( x)dx f ( ( x))d ( x)
(也称配元法 , 凑微分法)
calculus
例3

1 1 1 1 dx d(3 2 x) dx d (ax b) 3 2x 2 3 2x a
calculus
原函数族定理 如果函数F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数, 那么 （1）对任意常数C， F(x)C都是f(x)的原函数； （2） 函数 f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数, 即：如果(x)和F(x)都是f(x)的原函数, 则 (x)F(x)C (C为某个常数).
calculus
例5

dx x (1 3 ln x )
1 dx d (ln x ) x
1 d (1 3 ln x ) 3 1 3 ln x
1 ln | 1 3 ln x | C. 3
calculus
常用凑微分公式
1 (1) dx d (ax b) a 1 2 (2) xdx dx 2 1 (3) dx 2d x x
FFx()x)dx Fx()x C ,或记作 dF (x()x Fx()x C . ( dx F ( ) C , 或记作 dF ) F ( ) C .
由此可见, 如果不计任意常数, 则微分运算与求 不定积分的运算是互逆的.
calculus
3.不定积分的几何意义
x 1 3x 3 ln x C 2 x
2

例3. 求
2x ex ( 2e ) x 解 2 x e x dx (2e) x dx C C ln( 2e) 1 ln 2 4 x dx 例4.求 2 1 x x4 x4 1 1 1 2 解 1 x 2 dx 1 x 2 dx ( x 1 1 x 2 )dx 1 3 x x arctan x C 3
calculus
4.不定积分的性质
性质1
[ f ( x )dx ] f ( x )
d f ( x )dx f ( x )dx
F ( x )dx F ( x ) C
性质2
dF ( x ) F ( x ) C
[ f ( x ) g( x )] dx f ( x )dx g( x )dx

calculus
(12)
1 1 x2 1 1 x
2
dx d arcsin x
(13)
dx d arccos x
1 (14) dx d arctan x 2 1 x 1 (15) dx darccotx 2 1 x
calculus
例6. 求
解:
1 u2
1 dx 2 a 1 ( x )2 a
x x 1 x x22dx x ((1 x22))dx (( 1 1 ))dx 例5 1 x x dx 1 2 dx 1 2 1 dx 例 11 例 11 x1 x x1 x 1 x x x((1 x22)) x((1 x2 )) 1 x2 x 1 dx 1 dx arctan x ln | x| C . x 2 1 x
想到公式 du
arctan u C
calculus
f (x)dx F (x) C .
如果F(x)是f(x)的一个原函数, 则 f (x)dx F (x) C .
例1 因为sin x 是cos x 的原函数, 所以
calculus
cos xdx sin x C .
1 因为( arctan x ) , 2 1 x 1 dx arctan x c. 2 1 x
tan x x C
1 (x sin x) C . 2
1 tan x sec x
2 2
1 cot 2 x csc 2 x
x 1 cos x sin 2 2 1 cos x 2 x cos 2 2
2
calculus
cos 2 x cos 2 x sin 2 x 例8 sin 2 x cos 2 xdx sin 2 x cos 2 x dx 1 1 ( 2 2 )dx cos x sin x
u 3 2 x
1 1 1 1 u du 2 ln u C 2 ln 3 2 x C 2
例4

e3
x
x
dx 2 e3 x d( x )
1 dx 2d x x
u 3 x 2 2 3 x 2 u u e d(3 x ) e du 3 e c 3 3 2 3 x e C 3