选修2-1平面的法向量和平面的向量表示课时作业

选修2-1平面的法向量和平面的向量表示课
时作业
work Information Technology Company.2020YEAR
课时作业21平面的法向量与平面的向量表示
时间：45分钟满分：100分
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．若n＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作平面α的法向量的是()
A．(0，－3,1)B．(2,0,1)
C．(－2，－3,1) D．(－2,3，－1)
【答案】 D
【解析】一个平面的所有法向量都共线．
2．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k等于()
A．2 B．－4
C．4 D．－2
【答案】 C
【解析】∵α∥β，∴1
－2＝2
－4
＝
－2
k.∴k＝4.
3．已知∠ABC＝90°，BC∥平面α，AB与平面α斜交，那么∠ABC在平面α内的射影是()
A．锐角B．直角
C．锐角或直角D．锐角或直角或钝角
【答案】 B
【解析】设B，C在平面α内的射影分别为B′，C′，则BB′C′C为矩形，BC∥B′C′，
∴B ′C ′⊥AB ，由三垂线定理B ′C ′⊥AB ′，故选B.
4．若平面α、β的法向量分别为u ＝(－2,3，－5)，v ＝(3，－1,4)，则( )
A ．α∥β
B ．α⊥β
C ．α、β相交但不垂直
D ．以上均不正确
【答案】 C
【解析】 ∵u ＝(－2,3，－5)，v ＝(3，－1,4)，
∴u 与v 不平行且u 与v 不垂直，
故选C.
5．若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，且α⊥β，n 1＝(1,2，x )，n 2＝(x ，x ＋1，x )，则x 的值为( )
A ．1或2
B ．－1或－2
C ．－1
D ．－2
【答案】 B
【解析】 由题意可知，n 1·n 2＝(1,2，x )·(x ，x ＋1，x )＝x ＋2x ＋2＋x 2＝x 2＋3x ＋2＝0，解得x ＝－1，x ＝－2.
6．已知A ＝(1,5，－2)，B ＝(3,1，z )，若A ⊥B ，B ＝(x －1，y ，－3)且B ⊥平面ABC ，则B 等于( )
A ．(407，－157，－4)
B ．(407，－157，－3)
C ．(407，－154，4)
D ．(337，－157，－3)
【答案】 D
【解析】 A ·B ＝3＋5－2z ＝0，∴z ＝4.又B ⊥平面ABC ，∴B ⊥A
且B ⊥B ，即B ·A ＝0，且B ·B ＝0，
∴⎩⎨⎧ (x －1)＋5y ＋6＝0，3(x －1)＋y －12＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－157，x －1＝337，
即B ＝(337，－157，－3)．
二、填空题(每小题10分，共30分)
7．已知平面α经过三点A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2,0)，则平面α的一个法向量是________．
【答案】 (2,1,0)(答案不唯一)
【解析】 ∵A ＝(1，－2，－4)，＝(2，－4，－3)，B ＝(1，－2,1)，设法向量n ＝(x ，y ，z )，则
⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y －4z ＝02x －4y －3z ＝0
x －2y ＋z ＝0⇒⎩⎨⎧ x ＝2y ，z ＝0.
∴n ＝(2y ，y,0)，取y ＝1，则n ＝(2,1,0)．
8．已知l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为⎝
⎛⎭⎪⎫1，12，2，则m ＝________. 【答案】 －8
【解析】 设a ＝(2，m,1)，b ＝(1，12，2)．
∵l ∥α，∴a ⊥b ，∴2＋12m ＋2＝0，∴m ＝－8.
9.
如图所示，已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝a，P A⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于________．
【答案】 2
【解析】
以A为原点，建立如图所示坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0，a,0)，C(1，a,0)，设Q(1，x,0)，P(0,0，z)，＝(1，x，－z)，＝(－1，a－x,0)．
由·＝0，得－1＋x(a－x)＝0，
即x2－ax＋1＝0.
当Δ＝a2－4＝0，即a＝2时，Q只有一个．
三、解答题(本题共3小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
10．(13分)
如图所示，已知点A (a,0,0)，B (0，b,0)，C (0,0，c )，求平面ABC 的一个法向量．
【分析】 平面的法向量与平面垂直，即与平面内的两个不共线向量垂直．
【解析】 由已知可得A ＝O －O ＝(0，b,0)－(a,0,0)＝(－a ，b,0)，A ＝O －O ＝(0,0，c )－(a,0,0)＝(－a,0，c )．
设平面ABC 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，则：
n ·A ＝(x ，y ，z )·(－a ，b,0)＝－ax ＋by ＝0，
n ·＝(x ，y ，z )·(－a,0，c )＝－ax ＋cz ＝0.
于是得y ＝a b x ，z ＝a c x .
不妨令x ＝bc ，则y ＝ac ，z ＝ab .
因此，可取n ＝(bc ，ac ，ab )为平面ABC 的一个法向量．
11．(13分)在四面体ABCD 中，已知AB ⊥CD ，AC ⊥BD .求证：
AD⊥BC.
【分析】要证明AD⊥BC，根据三垂线定理，只需证明AD在平面BCD内的射影和BC垂直，因此，可作AO⊥平面BCD于O 点，问题即转化为证明OD⊥BC.
【证明】
方法一：如图所示，作AO⊥平面BCD于O点，连接BO、CO、DO，则BO、CO、DO分别为AB、AC、AD在平面BCD上的射影．
∵AB⊥CD，∴BO⊥CD(三垂线定理的逆定理)，
同理CO⊥BD，于是O是△BCD的垂心．
∴DO⊥BC，于是AD⊥BC(三垂线定理)．
方法二：设＝a，＝b，＝c，则＝－＝a－c，＝－＝a－b，＝－＝c－b.
∵AB⊥CD，∴b·(a－c)＝0，即a·b＝b·c.
又AC⊥BD，∴c·(a－b)＝0，即a·c＝b·c，
∴a·b＝a·c.
∴a·(b－c)＝0，即·＝0，∴⊥，
∴AD⊥BC.
【总结】应用三垂线定理证明两异面直线垂直，关键是确定其中一条直线在另一条直线所在平面上的射影．
12．(14分)如图所示，ABCD为矩形，P A⊥平面ABCD，P A＝AD，M、N、Q分别是PC、AB、CD的中点，
(1)求证：MN∥平面P AD；
(2)求证：平面QMN∥平面P AD；
(3)求证：MN⊥平面PCD.
【证明】(1)如图以A为原点，以AB，AD，AP所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，
设B (b,0,0)，D (0，d,0)，P (0,0，d )，则C (b ，d,0) ∵M ，N ，Q 分别是PC ，AB ，CD 的中点，
∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，d 2，d 2，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，0，0，Q ⎝ ⎛⎭
⎪⎫b 2，d ，0 ∴＝⎝
⎛⎭⎪⎫0，－d 2，－d 2， ∵面P AD 的一个法向量为m ＝(1,0,0)
∴·m ＝0，即⊥m ，
∴MN ⊄平面P AD ，
∴MN ∥面P AD ，
(2)＝(0，－d,0)，⊥m ，
又QN ⊄平面P AD ，
∴QN ∥面P AD .
又∵MN ∩QN ＝N ，
∴面MNQ ∥平面P AD .
(3)＝(0，d ，－d )，＝(b,0,0)，
∴·＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－d 2d ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫－d 2(－d )＝0， ·＝0，
∴⊥，⊥DC ，又PD ∩DC ＝D ， ∴⊥平面PCD .。