广东省阳江市阳春第四中学2018-2019学年高三数学理测试题含解析

广东省阳江市阳春第四中学2018-2019学年高三数学理
测试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数，则下列结论正确的是（）
Ａ. Ｂ.
Ｃ. Ｄ.
参考答案：
C
2. 为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求∠ACB=60°，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC越短越好，则AC最短为（）
A．（1+）米B．2米C．（1+）米D．（2+）米
参考答案：
D
【考点】HR：余弦定理；7F：基本不等式．
【分析】设BC的长度为x米，AC的长度为y米，依据题意可表示出AB的长度，然后代入到余弦定理中求得x和y的关系式，利用基本不等式求得y的最小值，并求得取等号时x 的值．
【解答】解：设BC的长度为x米，AC的长度为y米，则AB的长度为（y﹣0.5）米，
在△ABC中，依余弦定理得：AB2=AC2+BC2﹣2AC?BCcos∠ACB，
即（y﹣0.5）2=y2+x2﹣2yx×，化简，得y（x﹣1）=x2﹣，
∵x＞1，
∴x﹣1＞0，
因此y=，
y=（x﹣1）++2≥+2，
当且仅当x﹣1=时，取“=”号，
即x=1+时，y有最小值2+．
故选：D．
【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用以及基本不等式求最值问题．考查了考生利用数学模型解决实际问题的能力，属于中档题．
3. 在空间，下列命题正确的是（）
A.平行直线的平行投影重合
B.平行于同一直线的两个平面平行
C.垂直于同一平面的两个平面平行
D.垂直于同一平面的两条直线平行
参考答案：
D
略
4. 已知数列{a n}是等差数列，且，，则公差d= （）A．B．4 C．8 D．16
参考答案：
B
5. 双曲线与抛物线相交于A,B两点，
公共弦AB恰好过它们的公共焦点F，则双曲线C的离心率为
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
B
6. 已知抛物线，点，O为坐标原点，若在抛物线C上存在一点Q，使得，则实数m的取值范围是（）
A. (4,8)
B. (4,+∞)
C. (0,4)
D. (8,+∞)
参考答案：
B
试题分析：设，由得，即，显
然，因此，所以，即．选B．
考点：向量的垂直，圆锥曲线的存在性问题．
7. 在平面直角坐标系中，直线与圆相交于、两点，则弦的长等于（）
A. B. C. D .
参考答案：
B
略
8. 命题：“若f(x)是奇函数，则f（-x）是奇函数”的否命题是（）
A 若f(x)是偶函数，则f（-x）是偶函数
B 若f(x)不是奇函数，则f（-x）不是奇函数
C 若f(-x)是奇函数，则f（x）是奇函数
D 若f(-x)不是奇函数，则f（x）不是奇函数
参考答案：
B
9. 已知实数x，y满足，且目标函数z=2x+y的最大值为6，最小值为1，
其中b≠0，则的值为（）
A．4 B．3 C．2
D．1
参考答案：
A
10. 命题“?x∈R，使得x2＜1”的否定是( )
A．?x∈R，都有x2＜1 B．?x∈R，都有x≤﹣1或x≥1
C．?x∈R，使得x2≥1 D．?x∈R，使得x2＞1
参考答案：
B
考点：命题的否定．
分析：根据命题“?x∈R，使得x2＜1”是特称命题，其否定为全称命题，即：?x∈R，都有x2≥1．??x∈R，都有x≤﹣1或x≥1．从而得到答案．
解答：解：∵命题“?x∈R，使得x2＜1”是特称命题
∴否定命题为：?x∈R，都有x2≥1
∴?x∈R，都有x≤﹣1或x≥1．
故选B．
点评：本题主要考查全称命题与特称命题的转化．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知实数x，y满足不等式组，则2x+y的最大值为．
参考答案：
5
【考点】7C：简单线性规划．
【分析】作出可行域，平行直线可得直线过点A（3，0）时，z取最大值，代值计算可得．
【解答】解：作出不等式组，所对应的可行域（如图阴影），
变形目标函数z=2x+y可得y=﹣2x+z，由，
可得A（2，1）平移直线y=﹣2x可知，当
直线经过点A（2，1）时，z取最大值，
代值计算可得z=2x+y的最大值为：5．
故答案为：5．
12. 一组样本数据的茎叶图如右：，则这组数据的平均数等于.参考答案：
23
略
13. 已知函数，若，则实数a的取值范围是。

参考答案：
14. 里氏震级M的计算公式为：M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地
震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测
震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的
震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．
参考答案：
15. 设点是区域内的随机点，则满足的概率是____．
参考答案：
16. 抛物线x2=﹣4y的焦点坐标为．
参考答案：
（0，﹣1）
考点：抛物线的简单性质．
专题：计算题．
分析：确定抛物线的焦点位置，根据方程即可求得焦点坐标．
解答：解：抛物线的焦点在y轴上，且2p=4
∴=1
∴抛物线x2=﹣4y的焦点坐标为（0，﹣1）
故答案为：（0，﹣1）
点评：本题考查抛物线的几何性质，先定型，再定位是关键
17. 已知函数f(x)= ，则=_______________.
参考答案：
2
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （12分）为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x（单位：小时）与当天投篮命中率y之间的关系：
（2）用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率．
参考答案：
考点：线性回归方程．
专题：计算题；概率与统计．
分析：（1）利用提供的命中率，可求李这5天的平均投篮命中率；
（2）先求出线性回归方程，再令x=6，即可预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率．
解答：解：（1）小李这5天的平均投篮命中率…（3分）
（2）…（5分），
∴，…（9分）∴…（10分）
∴线性回归方程，…（11分）
则当x=6时，y=0.53
∴预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为0.53…（12分）
点评：本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，属于基础题．
19. 某市一水电站的年发电量y（单位：亿千瓦时）与该市的年降雨量x（单位：毫米）有如下统计数据：
（Ⅰ）若从统计的5年中任取2年，求这2年的发电量都低于8.0（亿千瓦时）的概率；
（Ⅱ）由表中数据求得线性回归方程为=0.004x+．该水电站计划的发电量不低于9.0亿千瓦时，现由气象部门获悉的降雨量约为1800毫米，请你预测能否完成发电任务，若不能，缺口约为多少亿千瓦时？
参考答案：
考点：线性回归方程．
专题：应用题；概率与统计．
分析：（Ⅰ）确定从统计的5年发电量中任取2年的基本事件、2年发电量都低于8.0（亿千瓦时）的基本事件，即可求出这2年的发电量都低于8.0（亿千瓦时）的概率；
（Ⅱ）先求出线性回归方程，再令x=1800，即可得出结论．
解答：解：（ I）从统计的5年发电量中任取2年的基本事件为（7.4，7.0），（7.4，
9.2），（7.4，7.9），（7.4，10.0），（7.0，9. 2），（7.0，7.9），（7.0，
10.0），（9.2，7.9），（9.2，10.0），（7.9，10.0）共10个．
其中2年发电量都低于8. 0（亿千瓦时）的基本事件为（7.4，7.0），（7.4，7.9），（7.0，7.9），共3个．
所以这2年发电量都低于8.0（亿千瓦时）的概率．
（ II）∵，
．
又直线过点，
∴，
解得，
∴．
当x=1800时，，
所以不能完成发电任务，缺口量为0.3（亿千瓦时）．
点评：本题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、抽象概括能力、运算求解能力以及应用意识，考查或然与必然思想、化归与转化思想．
20. 已知函数，函数g（x）=2﹣f（﹣x）．
（Ⅰ）判断函数g（x）的奇偶性；
（Ⅱ）若当x∈（﹣1，0）时，g（x）＜tf（x）恒成立，求实数t的最大值．
参考答案：
【考点】函数奇偶性的判断；函数恒成立问题．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】（Ⅰ）利用函数奇偶性的定义，判断函数g（x）的奇偶性；
（Ⅱ）利用函数的单调性求函数的最值即可．
【解答】解：（Ⅰ）因为，函数g（x）=2﹣f（﹣x）．
所以，定义域为{x|x≠0}关于原点对称，
因为，
所以g（x）是奇函数．
（Ⅱ）由g（x）＜tf（x）得，，（*）
当x∈（﹣1，0）时，，，
（*）式化为3x+1＞t（3x+1﹣1），（**）…
设3x=u，，则（**）式化为（3t﹣1）u﹣t﹣1＜0，…
再设h（u）=（3t﹣1）u﹣t﹣1，
则g（x）＜tf（x）恒成立等价于，，，解得t≤1，故实数t的最大值为1．…
【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，以及利用指数函数的性质求含参问题恒成立问题，综合性较强，考查学生的运算能力．
21. 已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且S n，a n，成等差数列．
（1）证明数列{a n}是等比数列；
（2）若b n=log2a n+3，求数列{}的前n项和T n．
参考答案：
略
22. （本题共12分，第Ⅰ问4分，第Ⅱ问8分）
已知椭圆的中心为原点，长轴长为，一条准线的方程为.
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）射线与椭圆的交点为，过作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于两点（两点异于）．求证：直线的斜率为定值．
参考答案：
（Ⅰ）由准线为知焦点在轴上，则可设椭圆方程为：．又知：所以椭圆标准方程为：．
（Ⅱ）∵斜率k存在，不妨设k＞0，求出M（，2）．直线MA方程为
，直线MB方程为．
分别与椭圆方程联立，可解出，．∴．∴（定值）．。