圆锥曲线与方程椭圆双曲线抛物线强化训练专题练习(三)含答案人教版高中数学考点大全

高中数学专题复习
《圆锥曲线与方程椭圆双曲线抛物线》单元过关检
测
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
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得分 一、选择题
1．（汇编年高考大纲卷（文））已知()()1221,0,1,0,F F C F x -是椭圆的两个焦点过且垂直于轴的直线交于
A B 、两点，且3AB =，
则C 的方程为 （ ） A ．2
212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154
x y += 2．(汇编江西理)P 是双曲线22
x y 1916
－＝的右支上一点，M 、N 分别是圆（x ＋5）2＋y 2＝4和（x －5）2＋y 2
＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（ ）
A ． 6
B ．7
C ．8
D ．9
3．1 ．（汇编四川文）已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点O ,并且经过点0(2,)M y .若点M 到该抛物线焦点的距离为3,则||OM =
（ ） A ．22 B ．23 C ．4 D ．25
[答案]B
[解析]设抛物线方程为y 2=2px(p>0),则焦点坐标为(0,2p ),准线方程为x=2p -, 3
2)22(2||22,22
2,132
p 22p -22202202=+=∴∴===+=+∴∴OM M y p y M M 有：
），根据两点距离公式（点解得：）（）（线的距离，即
到焦点的距离等于到准在抛物线上，
4．（汇编山东理11) 过抛物线()02>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则q p 11+等于 ( )
A ． a 2
B ． a 21
C ． a 4
D ． a
4 5．（汇编湖北理）与直线042=+-y x 的平行的抛物线2x y =的切线方程是（ ）
D
A ．032=+-y x
B ．032=--y x
C ．012=+-y x
D ．012=--y x
6．（汇编上海）设k ＞1，则关于x 、y 的方程（1－k ）x 2+y 2=k 2－1所表示的曲线是（ ）
A ．长轴在y 轴上的椭圆
B ．长轴在x 轴上的椭圆
C ．实轴在y 轴上的双曲线
D ．实轴在x 轴上的双曲
7．（汇编全国卷1)已知双曲线)0( 1222>=-a y a x 的一条准线为2
3=x ，则该双曲线的离心率为（ ）
（A ）2
3 （B ）23 （C ）26 （D ）3
32 8．（1994全国2）如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ）
A ．（0，＋∞）
B ．（0，2）
C ．（1，＋∞）
D ．（0，1）
9．（汇编四川）已知两定点()()2,0,1,0A B -，如果动点P 满足2PA PB =，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于（ ）
（A ）π （B ）4π （C ）8π （D ）9π
10．若双曲线222(0)x y a a -=>的左、右顶点分别为A 、B ，点P 是第一象限内双曲线上的点。

若直线PA 、PB 的倾斜角分别为α，β，且(1)m m βα=>，那么α的值是 （ ）
A ．21m π
- B ．2m π C ．21m π
+ D ．22m π
+
第II 卷（非选择题）
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得分 二、填空题
11． O 为原点，F 为抛物线x y 42=焦点，A 为抛物线上一点，4-=⋅AF OA ，则
点A 坐标为 ．
12．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1，0)，直线l 与抛物线C 相交于
A 、
B 两点，若AB 中点为(3，2)，则直线l 的方程为 ▲ ．
13．如右图：设椭圆()012222>>=+b a b
y a x 的左，右两个焦点分别为21,F F ，短轴的上端点为B ，短轴上的两个三等分点为Q P ,，且Q PF F 21为正方形，若过点B 作此正方形的外接圆的切线在x 轴上的一个截距为423-
，
则此椭圆方程的方程为 ▲ ．
14．抛物线2
2y px =的准线经过双曲线2
213
x y -=的左焦点，则p = ▲ ．
15．椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的直线被椭圆截得的线段的长恰好等于长半轴的长，若椭圆过点(2,2)P -，则椭圆的方程为_______________
16． 有一抛物线型拱桥，当水面离拱顶2米时，水面宽4米，则水面下降1米后，水面宽度为 米 评卷人
得分 三、解答题
17．（本题满分10分）将圆x 2＋y 2＝4上点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，所得曲线设为E ．
（1）求曲线E 的方程；
（2）若曲线E 与x 轴、y 轴分别交于点A (a ，0)，B (－a ，0)，C (0，b )，其中a ＞0，b ＞0．过点C 的直线l 与曲线E 交于另一点D ，并与x 轴交于点P ，直线AC 与直线
BD 交于点Q ．当点P 异于点B 时，求证：OP →•OQ →为定值
答案: （本题满分10分） 解：（1）x 2
4＋y 2＝1．（说明：没有过程得2分） ………………………………………4分
（2）根据题意可设直线l 的方程为1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 24
＋y 2＝1．可得(4k 2＋1)x 2＋8kx ＝0． 解得x ＝0或x ＝－8k 4k 2＋1，代入直线l 方程得D 点坐标为（－8k 4k 2＋1，1－4k 2
4k 2＋1
）．…………6分 又直线AC 的方程为x 2＋y ＝1，直线BD 的方程为y ＝1＋2k 2－4k
(x ＋2)， x y
O 2 －2
联
立⎩⎨⎧x 2＋y ＝1，
y ＝1＋2k 2－4k (x ＋2)．
……………………………………………………………………8分 解得⎩⎨⎧x ＝－4k ，y ＝2k ＋1．
因此Q （－4k ，2k ＋1），又P （－1k ，0），
所以OP →•OQ →＝（－1k ，0）•（－4k ，2k ＋1）＝4．
故OP →•OQ →为定值． ……………………………………………………………………………10分
18．设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点.
（Ⅰ）若直线AP 与BP 的斜率之积为2
1-，求椭圆的离心率； （Ⅱ）若|AP|=|OA|，证明直线OP 的斜率k 满足.3>k 【2012高考真题天津理19】（本小题满分14分）
19．设)0,1(F ，点M 在x 轴上，点P 在 y 轴上，且PF PM MP MN ⊥=,2 （Ⅰ）当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）设),(),,(),,(332211y x D y x B y x A 是曲线C 上的点，且|||,||,|DF BF AF 成等差数列，当AD 的垂直平分线与x 轴交于点)0,3(E 时，求B 点坐标.
解（Ⅰ）设(,)N x y ，则由2MN MP =得P 为MN 中点，所以)2
,0(),0,(y
P x M - 又PF PM ⊥得0PM PF ⋅=，(,),(1,)22
y y PM x PF =--=-，
所以x y 42=（0≠x ） ----4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知)0,1(F 为曲线C 的焦点，由抛物线定义知，抛物线上任一点),(000y x P 到F 的距离等于其到准线的距离，即2
||00p x F P +=，所以 2
||,2||,2||321p x DF p x BF p x AF +=+=+=， 根据|||,||,|DF BF AF 成等差数列，得2312x x x =+，
直线AD 的斜率为3121
2313131344
4y y y y y y x x y y +=--=--， 所以AD 中垂线l 方程为)3(4
31-+-=x y y y ， 又AD 中点1313(,)22x x y y ++在直线l 上，则1312
x x +=，即21x = 所以(1,2)B ±
20．如图所示，已知圆C ：()2218x y ++=，定点(,)10A ，M 为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足,,20点AM AP NP AM N =⋅=的轨迹为 曲线E . (I ）求曲线E 的方程；
(II ）若过定点(,)F 02的直线交曲线E 于不同的两点G 、H （点G 在点F 、H 之间），且满足FG FH λ=，求λ的取值范围.
A O C N P M x y
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
评卷人
得分 一、选择题
1．C
2．F
解析：D 设双曲线的两个焦点分别是F 1（－5，0）与F 2（5，0），则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P 与M 、F 1三点共线以及P 与N 、F 2三点共线时所求的值最大，此时
|PM|－|PN|＝（|PF 1|－2）－（|PF 2|－1）＝10－1＝9故选B
3．
4．C
5． 6．C 7．A
8．D
9．B
解析：B 两定点()()2,0,1,0A B -，如果动点P 满足2PA PB =，设P 点的坐标为(x ，y)，
则2222(2)4[(1)]x y x y ++=-+，即22
(2)4x y -+=，所以点P 的轨迹所包围的图形的面积等于4π，选B.
10． 第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人
得分 二、填空题
11．
12． 1y x =-
13． 22
1109
x y += 14．
15． 22
184
x y += 16．26 评卷人
得分 三、解答题
17．
18．
19．
20．解：（I ）2,0.AM AP NP AM =⋅= ∴NP 为AM 的垂直平分线，∴|NA |=|NM |.又||||22,||||22 NM CN AN +=∴+=>
∴动点N 的轨迹是以点(1,0),(1,0)C A -为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为222,a =焦距22c =.22,1, 1.a c b ∴===
∴曲线E 的方程为2
2 1.2
x y += (II ）当直线GH 斜率存在时，设直线GH 方程为
2
22,
1,2x y k x y =++=代入椭圆方程得22213()430.0.22k x kx k +++=∆>>由得 设112212122243(,),(,),,1122
k G x y H x y x x x x k k -+==++则1122(,2)(,2)FG FH x y x y λλ=∴-=-又212122122(1),.x x x x x x x x λλλ∴=∴+=+= ∴
2212122()1x x x x x λλ+==+∴22222243()1116(1)22,1(1)3(1)2k k k k λλλλ-+++==++整理得∵232k >∴2161643332k <<+∴1
16142.333
λλλ<++<<<解得 101,13λλ<<∴<<又又当直线GH 斜率不存在，方程为
110,,.33x FG FH λ===111,[,1)33λλ∴≤<即所求的取值范围是。