欣宜市实验学校二零二一学年度高一数学同步测试高一数学数列的综合应用十课标试题

黔西北州欣宜市实验学校二零二一学年度高一数学同
步测试高一数学数列的综合应用十
说明：本套试卷分第I 卷和第II 卷两局部，第I 卷60分，第II 卷90分，一共150分；答题时间是150分钟．
第一卷〔一共60分〕
一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的．
１．ABC ∆的三个内角分别是A 、B 、C ，B=60°是A 、B 、C 的大小成等差数列的〔〕
A ．充分非必要条件B.必要非充分条件
2．)*
n
a n N =
∈，那么1210a a a +++的值是
〔〕
A 1
B 1
C 1-
D ．2
3．设数列
{}n a 是等差数列，26,a =-86a =，S n
是数列{}n a 的前n 项和，那么
〔〕 A ．S 4＜S 5
B ．S 4＝S 5
C.S 6＜S 5
D.S 6＝S 5
4．某种细胞开场时有2个，1小时后分裂成4个，并死去1个，2小时后分裂成6个并死去 1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按这种规律进展下去，6小时后细胞的存活 数为 〔〕
A ．67
B ．71
C ．65
D ．30
5．数列}{n a ，那么“对任意的*N n ∈，点),(n n a n P 都在直线12+=x y 上〞是“}{n a
为等差数列〞的
〔〕
A ．必要而不充分条件
B ．充分而不必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．给定正数,,,,p q a b c ,其中p q ≠,假设,,p a q 成等比数列,,,,p b c q 成等差数列,那么一元二次方程
220bx ax c -+=
〔〕
A ．无实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．有两个同号的相异的实数根
D ．有两个异号的相异的实数根
7．为成功举办2021年奥运会，决定从2021年到2021年5年间更新内现有全部出
租车，假设每年更新的车辆数比前一年递增10%，那么2021年底更新车辆数约为现有总车辆
数的〔参考数据45
〕
〔〕
A ．10%
B ．1%
C ．1%
D ．20%
8．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成假设干个图案：
〔〕
那么第n 个图案中有白色地面砖的块数是〔〕
A ．42n +
B ．42n -
C ．24n +
D ．33n + 9．等差数列}{n a 中，2≥n ，公差0<d ，前n 项和是n S ，那么有
〔〕
A ．1na S na n n <<
B ．n n na S na <<1
C ．1na S n
≥
D ．n n
na S ≤
10．设4
3,)1(112161211=⋅+++++=
+n n n
S S n n S 且 ，那么n 的值是 〔〕
A.６
B.７
C.８
D.９
11．设}{n a )(N n ∈是等差数列，n S 是其前n 项的和，且65
S S <，876S S S >=，那么以下结论错误的
选项是
〔〕
A ．0<d
B ．59
S S >
C ．07=a
D ．6S 与7S 是n S 的最大值
12．假设
{}a n 是等差数列，首项a a a a a 123242324000>+><，，·，那么使前n 项和S n >0
成立
第1个 第2个 第3个
的最大自然数n 是 〔〕
A ．48
B ．47
C ．46
D ．45
第二卷〔一共90分〕
二、填空题：此题一共4小题，每一小题4分，一共16分．把答案填在题中的横线上．
13．设数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =2
)
13(1-n a (对于所有n ≥1)，且a 4=54，那么a 1的数值是_____.
14．等差数列{a n }，公差d ≠0,a 1,a 5,a 17成等比数列，那么
18
6217
51a a a a a a ++++=.
15．定义“等和数列〞：在一个数列中，假设每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那
么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。

数列{}a n 是等和数列，且a 12=，公和为5，
那么a 18的值是___，且这个数列的前n 项和S n 的计算公式为.
16．整数对的序列如下：〔1，1〕，〔1，2〕，〔2，1〕，〔1，3〕，〔2，2〕，〔3，1〕，〔1，4〕，〔2，3〕，〔3，2〕，〔4，
1〕，〔1，5〕，〔2，4〕，……，那么第60个数对为.
三、解答题:本大题一一共6小题，一共74分．解容许写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 17．设函数
2()log log 4(01)x f x x x =-<<,数列{}n a 的通项n a 满足)(2)2(*N n n f n a ∈=.(12
分) 〔1〕求数列
{}n a 的通项公式；
〔2〕断定数列{a n }的单调性.
18．假设你正在某公司打工，根据表现，老板给你两个加薪的方案： 〔Ⅰ〕每年年末．．．．加1000元；〔Ⅱ〕每半年．．．
完毕时加300元。

请你选择．(12分) 〔1〕假设在该公司干10年，问两种方案各加薪多少元？
〔2〕对于你而言，你会选择其中的哪一种？
19．设等比数列}{n a 的公比为q ，前n 项和S n >0〔n=1，2，…〕.(12分) 〔1〕求q 的取值范围； 〔2〕设,2
3
12++-=n n n
a a
b 记}{n b 的前n 项和为T n ，试比较S n 和T n 的大小.
20．某地区发生流行性病毒感染，居住在该地区的居民必须服用一种药片预防，规定每人每天上午8时和晚上
20时各服一片。

现知该药片每片含药量为220毫克，假设人的肾脏每12小时从体内滤出这种药的60%，该药物在人体内的残留量超过380毫克，就将产生副作用.(12分)
〔1〕某人上午8时第一次服药，问到第二天上午8时服完药后，这种药在他体内还残留多少？ 〔2〕假设人长期服用这种药，这种药会不会对人体产生副作用？说明理由. 21．给定正整数n 和正数b ，对于满足条件b a a n ≥-+2
11
的所有无穷等差数列{}n a ，试求
1221++++++=n n n a a a y 的最大值，并求出y 取最大值时{}n a 的首项和公差．(12分)
22．数列{}a n 的前n 项和S n 满足S kS n n +=+12，又a a 1221==，．(１４分)
〔1〕求k 的值； 〔2〕求S n ;
〔3〕是否存在正整数m ，n ，使
S m S m n n --<+11
2
成立？假设存在求出这样的正整数；假设不存在，请说明理由.
[参考答案]
一、选择题 二、填空题
13.2.
29
26
14.15.3；当n 为偶数时，S n n =52；当n 为奇数时，S n n =-5212.16.(5,7).
三、解答题 17.⑴∵
2()log log 4(01)x f x x x =-<<，又)(2)2(*N n n f n a ∈=，
∴
22(2)log 2log 42(021,0)n n n a n a a a n f n a =-=<<<即
令2
log 2n a t =，那么2
2t n t
-
=，∴2220t nt --=，t n =
注意到2
log 2n a t =，因此2log 2n a ＝n ，22n a n =，
0n a n =±<，∴)*n a n n N =∈即为数列{}n a 的通项公式.
1n n a a +∴>，可知数列{}n a 是递增数列.
18.设方案一第n 年年末加薪a n ，因为每年末加薪1000元，那么a n =1000n ；
设方案二第n 个半年加薪b n ，因为每半年加薪300元，那么b n =300n ；
(1)在该公司干10年(20个半年)，方案1一共加薪S 10=a 1＋a 2＋……＋a 10=55000元.
方案2一共加薪T 20=b 1＋b 2＋……＋b 20=20×300＋20(201)3002
⨯-⨯=63000元；
(2)设在该公司干n 年，两种方案一共加薪分别为： S n =a 1＋a 2＋……＋a n =1000×n ＋(1)10002
n n -⨯=500n 2
＋500n,
T 2n =b 1＋b 2＋……＋b 2n =2n ×300＋2(21)3002
n n ⨯-⨯=600n 2
＋300n,
令T 2n ≥S n 即：600n 2
＋300n>500n 2
＋500n ，解得：n ≥2，当n=2时等号成立.
∴假设干3年以上(包括3年)应选择第二方案；假设只干2年，随意选；假设只干1年，当然选择第一方案.
19.〔1〕因为}{n a 是等比数列，.0,0,011≠>=>q S a S n
可得
当;0,11>==na S q
n 时
上式等价于不等式组：),2,1(,0
1,
01 =⎩⎨
⎧<-<-n q q n
①
或者),2,1(,0
1,
01 =⎩⎨
⎧>->-n q q n
②
解①式得q>1；解②，由于n 可为奇数、可为偶数，得－1<q<1. 综上，q 的取值范围是).,0()0,1(+∞⋃-
〔2〕由2132n
a n
b a a ++=-得.)2
3
(),23(22n n n n S q q T q q a b -=-=
于是)123(2--=-q q S S T n n n
).2)(2
1
(-+=q q S n
又∵n S >0且－1<q <0或者q >0, 当1
12
q -<
<-
或者2q >时0n n T S ->即n n T S >; 当1
22q -
<<且q ≠0时，0n n T S -<即n n T S <; 当1
2
q
=-
或者q =2时，0n n T S -=即n n T S =. 20.〔1〕设人第n 次服药后，药在体内的残留量为n a 毫克，那么
1220a =，21220(160%)220 1.4308a a =+⨯-=⨯=，
32220(160%)343.2a a =+⨯-=，即到第二天上午时服完药后，这种药在他体内还残留343.2毫克；
〔2〕由题意：1
22205n n a a +=+，∴1110021100
()353
n n a a +-=-，
∴1100{}3n a -是以1110044033a -=-
为首项，25为公比的等比数列， ∴1
11004402()335n n a --=-，
∵14402()035n --
<，∴11002
36633
n a <=，∴380n a <。

故假设人长期服用这种药，这种药不会对人体产生副作用。

21.设
{}n a 公差为d ，那么1111,a a nd nd a a n n -=+=++．
)3(2
111a a n n -+=
+．又2
11211,++--≤-∴≥-n n a b a b a a ．
∴4
49449)23(332112
111
b b a b a a a a n n n n -≤
-+--=-+-≤-++++， 当且仅当2
3
1=+n a 时，等号成立．
∴8
)49)(1()3(2111b n a a n y n -+≤
-+=+． 当数列{}n a 首项491+=b a ，公差n b d 434+-=时，8
)
49)(1(b n y -+=，
∴y 的最大值为8
)
49)(1(b n -+．
22.〔1〕 S kS a a ka 2112122=+∴+=+
又a a k k 1
2212122
12
==∴+=+∴=
，，
〔2〕由〔I 〕知S S n n +=
+11
2
2
<1>
当n
≥2时，S S n n =
+<>-1
2
221 <>-<>12得a a n n n +=≥11
2
2()
又a a 2
11
2
=
，且a n ≠0(*)n N ∈，∴=∈+a a n N n n 112(*)
于是{}a n 是等比数列，公比为12, 所以S n n n =--=-211
2112
4112[()]
().
〔3〕由〔2〕知不等式S m S m m
m
n n n n --<⇔----<++1112411
24112
12()(),
整理得2(4)6
0,22(4)62[2(4)2]
n n n
m m m --<∴<-<--. 假设存在正整数m ，n ，使
S m S m n n --<+11
2
成立，由于2n 为偶数，4-m 为整数,
所以只能有2
44n
m ()-=,
因此存在正整数m n ==21，；或者m n ==32，，使
S m S m n n --<+11
2
成立.。