山西省2017—2018届年度高三名校模拟考试第一次五校联考 数学(理)试题 扫描版含答案
2018年山西省太原五中高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2018年山西省太原五中高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知P＝{x|y＝ln（1﹣x2）}，Q＝{y|y＝2x，x∈P}，则P∩Q＝（）A．（0，1）B．C．D．（1，2）2．（5分）已知复数为虚数单位）在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，）B．（）C．（﹣∞，﹣2）D．（）3．（5分）在△ABC中，设a，b，c分别是角A，B，C所对边的边长，且直线bx+y cos A+cos B＝0与ax+y cos B+cos A＝0平行，则△ABC一定是（）A．锐角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰或直角三角形4．（5分）在区间[1，5]随机地取一个数m，则方程4x2+m2y2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）若的展开式中的二项式系数和为32，则a1+a2+…+a n＝（）A．241B．242C．243D．2446．（5分）《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该著作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．如图所示的程序框图的算法思路源于该著作中的“李白沽酒”问题，执行该程序框图，若输出的m的值为0，则输入的a的值为（）A．B．C．D．7．（5分）已知等比数列{a n}前n项和为S n，则下列一定成立的是（）A．若a3＞0，则a2015＜0B．若a4＞0，则a2014＜0C．若a3＞0，则S2015＞0D．若a4＞0，则S2014＞08．（5分）已知k∈R，点P（a，b）是直线x+y＝2k与圆x2+y2＝k2﹣2k+3的公共点，则ab的最大值为（）A．15B．9C．1D．﹣9．（5分）若不等式，所表示的平面区域内存在点（x0，y0），使得x0+ay0+2≤0成立，则实数a的取值范围是（）A．a≤﹣1B．a＜﹣1C．a＞1D．a≥1 10．（5分）平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，•＝﹣1，点M在边CD 上，则•的最大值为（）A．2B．2﹣1C．5D．﹣1 11．（5分）已知F1，F2是双曲线的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左支交于点A，与右支交于点B，若|AF1|＝2a，，则＝（）A．1B．C．D．12．（5分）不等式xlnx+x2+（a﹣2）x≤2a有且只有一个整数解，则a的取值范围是（）A．[﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣4﹣4ln2）∪[﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣3﹣3ln3）∪[﹣1，+∞）D．（﹣4﹣4ln2，﹣3﹣3ln3）∪[﹣1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）（+sin2x）dx＝．14．（5分）已知函数f（x）＝e x，g（x）＝ax2+bx+1（a，b∈R），当a＝0时，若f（x）≥g（x）对任意的x∈R恒成立，则b的取值范围是．15．（5分）如图是某四面体的三视图，则该四面体的体积为．16．（5分）已知数列{a n}满足na n+2﹣（n+2）a n＝λ（n2+2n），其中a1＝1，a2＝2，若a n＜a n+1对∀n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）如图，∠BAC＝，P为∠BAC内部一点，过点P的直线与∠BAC的两边交于点B，C，且P A⊥AC，AP＝．（Ⅰ）若AB＝3，求PC；（Ⅱ）求的取值范围．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD的交点为O，PD＝PB＝AB＝2，P A＝．（1）证明：PO⊥平面ABCD；（2）在棱CD上是否存在点M，使平面ABP与平面MBP所成锐二面角的余弦值为？若存在，请指出M点的位置；若不存在，请说明理由．19．（12分）在2018年2月K12联盟考试中，我校共有500名理科学生参加考试，其中语文考试成绩近似服从正态分布N（95，17.52），数学成绩的频率分布直方图如图：（1）如果成绩大于130的为特别优秀，这500名学生中本次考试语文、数学成绩特别优秀的大约各多少人？（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（1）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有X人，求X的分布列和数学期望．（3）根据以上数据，是否有99%以上的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀？①若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.68，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.96②③20．（12分）已知椭圆，F为左焦点，A为上顶点，B （2，0）为右顶点，若，抛物线C 2的顶点在坐标原点，焦点为F．（1）求C1的标准方程；（2）是否存在过F点的直线，与C1和C2交点分别是P，Q和M，N，使得？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝（x﹣2）（e x﹣ax）．（1）当a＞0时，讨论f（x）的极值情况；（2）若（x﹣1）[f（x）﹣a+e]≥0．求a的值．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.[选修4--4：坐标系与参数方程] 22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xOy有相同的长度单位，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ，曲线C3的极坐标方程为．（1）求曲线C1的普通方程和C3的直角坐标方程；（2）设C3分别交C1、C2于点P、Q，求△C1PQ的面积．[选修4--5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+m|+|2x﹣1|．（1）当m＝1时，解不等式f（x）≥3；（2）若，且当x∈[m，2m]时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．2018年山西省太原五中高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知P＝{x|y＝ln（1﹣x2）}，Q＝{y|y＝2x，x∈P}，则P∩Q＝（）A．（0，1）B．C．D．（1，2）【解答】解：P＝{x|y＝ln（1﹣x2）}＝{x|1﹣x2＞0}＝{x|﹣1＜x＜1}＝（﹣1，1），Q＝{y|y＝2x，x∈P}＝{y|＜y＜2}＝（，2）；∴P∩Q＝（，1）．故选：B．2．（5分）已知复数为虚数单位）在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，）B．（）C．（﹣∞，﹣2）D．（）【解答】解：∵z＝在复平面内对应的点在第三象限，∴，解得a＜﹣2．∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）．故选：C．3．（5分）在△ABC中，设a，b，c分别是角A，B，C所对边的边长，且直线bx+y cos A+cos B＝0与ax+y cos B+cos A＝0平行，则△ABC一定是（）A．锐角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰或直角三角形【解答】解：∵直线bx+y cos A+cos B＝0与ax+y cos B+cos A＝0平行，∴，解得b cos B＝a cos A，∴利用余弦定理可得：b×＝a×，整理可得：c2（b2﹣a2）＝（b2+a2）（b2﹣a2），∴解得：c2＝a2+b2或b＝a，而当a＝b时，两直线重合，不满足题意；则△ABC是直角三角形．故选：C．4．（5分）在区间[1，5]随机地取一个数m，则方程4x2+m2y2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：若方程4x2+m2y2＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m2＜4，解得：﹣2＜m＜2，故满足条件的概率是p＝＝，故选：B．5．（5分）若的展开式中的二项式系数和为32，则a1+a2+…+a n＝（）A．241B．242C．243D．244【解答】解：若的展开式中的二项式系数和为2n＝32，则n＝5，令x＝1，可得a0+a1+a2+…+a n＝35．令x＝0，可得a0＝1，∴a1+a2+…+a n＝35﹣1＝242，故选：B．6．（5分）《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该著作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．如图所示的程序框图的算法思路源于该著作中的“李白沽酒”问题，执行该程序框图，若输出的m的值为0，则输入的a的值为（）A．B．C．D．【解答】解：模拟程序的运行，可得m＝2a﹣3，i＝1m＝2（2a﹣3）﹣3＝4a﹣9，满足条件i≤3，执行循环体，i＝2，m＝2（4a﹣9）﹣3＝8a﹣21满足条件i≤3，执行循环体，i＝3，m＝2（8a﹣21）﹣3＝16a﹣45满足条件i≤3，执行循环体，i＝4，m＝2（16a﹣45）﹣3＝32a﹣93此时，不满足条件i≤3，退出循环，输出m的值为0．可得：m＝32a﹣93＝0，解得：a＝．故选：C．7．（5分）已知等比数列{a n}前n项和为S n，则下列一定成立的是（）A．若a3＞0，则a2015＜0B．若a4＞0，则a2014＜0C．若a3＞0，则S2015＞0D．若a4＞0，则S2014＞0【解答】解：若a3＞0，则a1q2＞0，即a1＞0，a2015＞0；若q＝1，则S2015＝2015a1＞0；若q≠1，则S2015＝，由1﹣q和1﹣q2015同号，可得S2015＞0；由a4＞0，可得a2014＝a1q2013＞0；a4＞0，不能判断S2014的符号，故选：C．8．（5分）已知k∈R，点P（a，b）是直线x+y＝2k与圆x2+y2＝k2﹣2k+3的公共点，则ab的最大值为（）A．15B．9C．1D．﹣【解答】解：由题意，圆心（0.0）到直线的距离d＝≤解得﹣3≤k≤1，又∵k2﹣2k+3＞0恒成立∴k的取值范围为﹣3≤k≤1，由点P（a，b）是直线x+y＝2k与圆x2+y2＝k2﹣2k+3的公共点，得（a+b）2﹣a2﹣b2＝2ab＝3k2+2k﹣3＝3（k+）2﹣，∴k＝﹣3时，ab的最大值为9．故选：B．9．（5分）若不等式，所表示的平面区域内存在点（x0，y0），使得x0+ay0+2≤0成立，则实数a的取值范围是（）A．a≤﹣1B．a＜﹣1C．a＞1D．a≥1【解答】解：作出不等式，可行域如图：∵平面区域内存在点M（x0，y0），满足x0+ay0+2≤0，∴直线x+ay+2＝0与可行域有交点，解方程组得B（0，2）．∴点B在直线x+ay+2＝0下方．可得：0+2a+2≤0．解得a≤﹣1．故选：A．10．（5分）平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，•＝﹣1，点M在边CD 上，则•的最大值为（）A．2B．2﹣1C．5D．﹣1【解答】解：∵平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，•＝﹣1，点M在边CD上，∴||•||•cos∠A＝﹣1，∴cos A＝﹣，∴A＝120°，以A为原点，以AB所在的直线为x轴，以AB的垂线为y轴，建立如图所示的坐标系，∴A（0，0），B（2，0），D（﹣，），设M（x，），则﹣≤x≤，∴＝（﹣x，﹣），＝（2﹣x，﹣），∴•＝x（x﹣2）+＝x2﹣2x+＝（x﹣1）2﹣，设f（x）＝（x﹣1）2﹣，则f（x）在[﹣，1）上单调递减，在[1，]上单调递增，∴f（x）min＝f（1）＝﹣，f（x）max＝f（﹣）＝2，则•的最大值是2，故选：A．11．（5分）已知F1，F2是双曲线的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左支交于点A，与右支交于点B，若|AF1|＝2a，，则＝（）A．1B．C．D．【解答】解：如图，根据双曲线的定义，可得AF2﹣AF1＝2a，BF1﹣BF2＝2a，∵|AF1|＝2a，，则AF2＝4a，AB＝BF2＝4a，则＝，故选：B．12．（5分）不等式xlnx+x2+（a﹣2）x≤2a有且只有一个整数解，则a的取值范围是（）A．[﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣4﹣4ln2）∪[﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣3﹣3ln3）∪[﹣1，+∞）D．（﹣4﹣4ln2，﹣3﹣3ln3）∪[﹣1，+∞）【解答】解：不等式xlnx+x2+（a﹣2）x≤2a，即为xlnx≤﹣x2+（2﹣a）x+2a，x＞0，由题意可得函数y＝xlnx的图象在y＝﹣x2+（2﹣a）x+2a的图象下方，有且只有一个横坐标为整数的点，由函数y＝﹣x2+（2﹣a）x+2a的图象恒过点（2，0），又过（﹣a，0），当a＜2时，横坐标为1的点满足题意，可得ln1≤﹣1+（2﹣a）+2a，解得a≥﹣1；当a＝2，两图象无交点；当a＞2时，横坐标为3的点满足题意，可得：4ln4＞﹣42+4（2﹣a）+2a，且3ln3＜﹣32+3（2﹣a）+2a，解得﹣4﹣4ln2＜a＜﹣3﹣3ln3，则a的范围是（﹣4﹣4ln2，﹣3﹣3ln3）∪[﹣1，+∞），故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）（+sin2x）dx＝．【解答】解：（+sin2x）dx＝dx+sin2xdx．由定积分的几何意义可知，dx是以原点为圆心，以1为半径的上半圆的面积，等于；sin2xdx＝＝．∴（+sin2x）dx＝．故答案为：．14．（5分）已知函数f（x）＝e x，g（x）＝ax2+bx+1（a，b∈R），当a＝0时，若f（x）≥g（x）对任意的x∈R恒成立，则b的取值范围是{1}．【解答】解：由a＝0，则φ（x）＝f（x）﹣g（x）＝e x﹣bx﹣1，所以φ'（x）＝e x﹣b，（i）当b≤0时，φ'（x）＞0，函数φ（x）在R上单调递增，又φ（0）＝0，所以当x∈（﹣∞，0）时，φ（x）＜0，与函数f（x）≥g（x）矛盾，（ii）当b＞0时，由φ'（x）＞0，得x＞lnb；由φ'（x）＜0，得x＜lnb，所以函数φ（x）在（﹣∞，lnb）上单调递减，在（lnb，+∞）上单调递增，①当0＜b＜1时，lnb＜0，又φ（0）＝0，φ（lnb）＜0，与函数f（x）≥g（x）矛盾；②当b＞1时，同理φ（lnb）＜0，与函数f（x）≥g（x）矛盾；③当b＝1时，lnb＝0，所以函数φ（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，φ（x）≥φ（0）＝0，故b＝1满足题意．综上所述，b的取值的范围为{1}．故答案为：{1}．15．（5分）如图是某四面体的三视图，则该四面体的体积为．【解答】解：几何体的直观图如图，是三棱锥，正方体的一部分，正方体的棱长为2．该四面体的体积为：＝．故答案为：．16．（5分）已知数列{a n}满足na n+2﹣（n+2）a n＝λ（n2+2n），其中a1＝1，a2＝2，若a n＜a n+1对∀n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是[0，+∞）．【解答】解：由na n+2﹣（n+2）a n＝λ（n2+2n）＝λn（n+2），得，∴数列{}的奇数项与偶数项均是以λ为公差的等差数列，∵a1＝1，a2＝2，∴当n为奇数时，，∴；当n为偶数时，，∴．当n为奇数时，由a n＜a n+1，得＜，即λ（n﹣1）＞﹣2．若n＝1，λ∈R，若n＞1则λ＞，∴λ≥0；当n为偶数时，由a n＜a n+1，得＜，即3nλ＞﹣2，∴λ＞，即λ≥0．综上，λ的取值范围为[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）如图，∠BAC＝，P为∠BAC内部一点，过点P的直线与∠BAC 的两边交于点B，C，且P A⊥AC，AP＝．（Ⅰ）若AB＝3，求PC；（Ⅱ）求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）在△P AB中，由余弦定理知PB2＝AP2+AB2﹣2AP•AB cos＝3，得PB＝＝AP，则∠BP A＝，∠APC＝，在Rt△APC中，PC＝＝2，（Ⅱ）因为∠APC＝θ，则∠ABP＝θ﹣，在Rt△APC中，PC＝，在△P AB中，由正弦定理知＝，得PB＝，于是+＝+＝＝sinθ，由题意知＜θ＜，故＜sinθ＜1，即+的取值范围为（，1）18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD的交点为O，PD＝PB＝AB＝2，P A＝．（1）证明：PO⊥平面ABCD；（2）在棱CD上是否存在点M，使平面ABP与平面MBP所成锐二面角的余弦值为？若存在，请指出M点的位置；若不存在，请说明理由．【解答】证明：（1）∵PD＝PB，且O为BD中点，∴PO⊥BD．在菱形ABCD中，∵∠BCD＝60°，AB＝2，∴OA＝，OB＝1．又PB＝2，∴PO＝．∵P A＝，∴P A2＝PO2+OA2，PO⊥OA．∵BD∩AO＝O，∴PO⊥平面ABCD．解：（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立如图所示坐标系，则A（，0，0），B（0，1，0），C（﹣，0，0），D（0，﹣1，0），P（0，0，）．∴＝（﹣，1，0），＝（0，﹣1，），＝（﹣，﹣1，0），＝（，﹣1，0），设平面ABP的一个法向量为，由，取x＝1，得＝（1，，1），设，则＝＝（（λ﹣1），﹣（λ+1），0）．设平面BPM的一个法向量为，由，取x＝λ+1，得＝（λ+1，（λ﹣1），λ﹣1）由|cos＜＞|＝＝＝，得5λ2﹣6λ+1＝0，解λ＝1或λ＝．故当点M与点D重合或||＝||时，平面ABP与平面MBP所成锐二面角的余弦值为．19．（12分）在2018年2月K12联盟考试中，我校共有500名理科学生参加考试，其中语文考试成绩近似服从正态分布N（95，17.52），数学成绩的频率分布直方图如图：（1）如果成绩大于130的为特别优秀，这500名学生中本次考试语文、数学成绩特别优秀的大约各多少人？（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（1）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有X人，求X的分布列和数学期望．（3）根据以上数据，是否有99%以上的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀？①若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.68，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.96②③【解答】解：（1）∵语文成绩服从正态分布N（95，17.52），∴语文成绩特别优秀的概率为，数学成绩特别优秀的概率为p2＝0.0012×20＝0.024，∴语文特别优秀的同学有500×0.02＝10人，数学特别优秀的同学有500×0.024＝12人．（2）语文数学两科都优秀的有6人，单科优秀的有10人，则X的所有可能取值为0，1，2，3；计算P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝；∴X的分布列为：数学期望为；（3）填写2×2列联表如下：计算，∴有99%以上的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．20．（12分）已知椭圆，F为左焦点，A为上顶点，B （2，0）为右顶点，若，抛物线C 2的顶点在坐标原点，焦点为F．（1）求C1的标准方程；（2）是否存在过F点的直线，与C1和C2交点分别是P，Q和M，N，使得？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）依题意可知，即，由右顶点为B （2，0），得a＝2，解得b2＝3，所以C1的标准方程为．（2）依题意可知C2的方程为y2＝﹣4x，假设存在符合题意的直线，设直线方程为x＝ky﹣1，P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x3，y3），N（x4，y4），联立方程组，得（3k2+4）y2﹣6ky﹣9＝0，由韦达定理得，，则，联立方程组，得y2+4ky﹣4＝0，由韦达定理得y3+y4＝﹣4k，y3y4＝﹣4，所以，若，则，即，解得，所以存在符合题意的直线方程为或．21．（12分）已知函数f（x）＝（x﹣2）（e x﹣ax）．（1）当a＞0时，讨论f（x）的极值情况；（2）若（x﹣1）[f（x）﹣a+e]≥0．求a的值．【解答】解：（1）f′（x）＝（x﹣1）（e x﹣2a），因为a＞0，由f′（x）＝0得，x＝1或x＝ln2a，①当a ＝时，f′（x）＝（x﹣1）（e x﹣e）≥0，f（x）单调递增，故f（x）无极值．②当0＜a ＜时，ln2a＜1，x，f′（x），f（x）的关系如下表：故f（x）有极大值f（ln2a）＝﹣a（ln2a﹣2）2，极小值f（1）＝a﹣e，③当a＞时，ln2a＞1，x，f′（x），f（x）的关系如下表：故f（x）有极大值f（1）＝a﹣e，极小值f（ln2a）＝﹣a（ln2a﹣2）2，综上：当0＜a＜时，f（x）有极大值﹣a（ln2a﹣2）2，极小值a﹣e；当a＝时，f（x）无极值；当a＞时，f（x）有极大值a﹣e，极小值﹣a（ln2a﹣2）2；（2）令g（x）＝f（x）﹣a+e，则（x﹣1）g（x）≥0，（i）当a≤0时，e x﹣2a＞0，所以当x＜1时，g′（x）＝f′（x）＝（x﹣1）（e x﹣2a）＜0，g（x）单调递减，所以g（x）＞g（1）＝0，此时（x﹣1）g（x）＜0，不满足题意．（ii）由于g（x）与f（x）有相同的单调性，因此，由（Ⅰ）知：①当a＝时，g（x）在R上单调递增，又g（1）＝0，所以当x≥1时，g（x）≥0；当x＜1时，g（x）＜0，故当a＝时，恒有（x﹣1）g（x）≥0，满足题意．②当0＜a＜时，g（x）在（ln2a，1）单调递减，所以当x∈（ln2a，1）时，g（x）＞g（1）＝0，此时（x﹣1）g（x）＜0，不满足题意．③当a＞时，g（x）在（1，ln2a）单调递减，所以当x∈（1，ln2a）时，g（x）＜g（1）＝0，此时（x﹣1）g（x）＜0，不满足题意．综上所述：a＝．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.[选修4--4：坐标系与参数方程] 22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xOy有相同的长度单位，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ，曲线C3的极坐标方程为．（1）求曲线C1的普通方程和C3的直角坐标方程；（2）设C3分别交C1、C2于点P、Q，求△C1PQ的面积．【解答】解：（1）因为曲线C1的参数方程为（t为参数），所以曲线C1的普通方程：（x﹣2）2+y2＝4，即x2+y2﹣4x＝0．所以C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ＝0，即ρ＝4cosθ．因为曲线C3的极坐标方程为．所以曲线C3的直角坐标方程：．…（5分）（2）依题意，设点P、Q的极坐标分别为．将代入ρ＝4cosθ，得，将代入ρ＝2sinθ，得ρ2＝1，所以，依题意得，点C1到曲线的距离为．所以．…（10分）[选修4--5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+m|+|2x﹣1|．（1）当m＝1时，解不等式f（x）≥3；（2）若，且当x∈[m，2m]时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）当m＝1时，f（x）＝|x+1|+|2x﹣1|，则f（x）＝，由f（x）≥3解得x≤﹣1或x≥1，即原不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）；…（5分）（2）由，即，又x∈[m，2m]且，所以，且x＞0所以，即m≤x+2﹣|2x﹣1|；令t（x）＝x+2﹣|2x﹣1|，则t（x）＝，所以x∈[m，2m]时，t（x）min＝t（m）＝3m+1，所以m≤3m+1，解得，所以实数m的取值范围是．…（10分）。
山西省临汾一中等五校2018届高三上学期第五次联考理科
2018～2018年度高三第五次联合考试（期末）数学试卷（理科）第I卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合A={-1，0，l，2，3，4），B={x|x2<16，x∈N），则A B等于A.{一1,0,1,2,3)B.{0,1,2,3,4)C.{1，2，3} D．{0，l，2，3)2．若复数z满足(l+i)z=2+i，则复数z的共轭复数z在复平面内对应的点位于A.第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知点M(3，y0)是抛物线y2 =2px (0<p<6)上一点，且M到抛物线焦点的距离是M到直线x=p2的距离的2倍，则p等于A．1 B．2 C．32D．34．在平行四边形ABCD中，AB=3，AD=4，则等于A．1 B．7 C．25 D．-75．在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”（“倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为2的等比数列递增）．根据此诗，可以得出塔的顶层和底层共有A．3盏灯B．192盏灯C．195盏灯D．200盏灯6．执行如图所示的程序框图，若输出的k=8，则输入的k为A．0B．1C．2D．37．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A. 8）+B．8）+2C．8）一D．8）8．已知奇函数f(x)满足f （x 一2）=f(x)，当0<x<l 时，f(x)=2x ，则f(log 29)的值为A.9 B ．一19 C ．一169 D ．1699．函数f(x) =Acos(ωx+) (A>0，(>0，一<<0)的部分图象如图所示，为了得到g(x)=Asin ωx 的图象，只需将函数y=f(x)的图象A ．向左平移6π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度 C ．向右平移6π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度10.已知三棱锥A- BCD 内接于球O ，且A- BCD 体积的最大值为O 的表面积为A.16B.25C.36D.6411.双曲线C: =1(a>0，b>0)的右焦点和虚轴上的一个端点分别为F 、A ，点P 为双曲线C 左支上一点，若△APF 周长的最小值为6b ，则双曲线C 的离心率为A B C D 12.已知函数f(x)的导数为f '(x)，f(x)不是常数函数，且(x+1)f(x)+xf '(x)≥0对x ∈[0，+∞)恒成立，则下列不等式一定成立的是A ．f(1)<2ef(2)B ．ef(1)<f(2)C ．f(1)<0D ．e 、f(e)<2f(2)第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．）13.在(x+a)9的展开式中，若第四项的系数为84，则实数a 的值为 ．14.若x 、y 满足约束条件，则的最大值为 ．15．若a ∈（0，2π），且cos2a （a +4π），则tan a = ．16．已知函数f(x)满足f(x+1)= 一x 2 - 4x+l ，函数g(x)=有两个零点，则 m 的取值范围为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c,（2b - ）cosC ．(1)求角C;(2)若A=6，△ABC D 为AB 的中点，求sin ∠BCD. 18.（本小题满分12分）已知等差数列{a n }的公差d>0，且a 1·a 6=11，a 3+a 4 =12.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{}的前n 项和Tn.19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，AD ⊥CD ，AD=2BC=2CD.(1)在线段AD 上确定一点M ，使得平面PBM ⊥平面PAD ，并说明理由；(2)若二面角P-CD-A 的大小为45°，求二面角P-BC-A 的余弦值．20.（本小题满分12分）元旦期间，某轿车销售商为了促销，给出了两种优惠方案，顾客只能选择其中的一种，方案一：每满6万元，可减6千元；方案二：金额超过6万元（含6万元），可摇号三次，其规则是依次从装有2个幸运号、2个吉祥号的一号摇号机，装有2个幸运号、2个吉祥号的二号摇号机，装有1个幸运号、3个吉祥号的三号摇号机各摇号一次，其优惠情况为：若摇出3个幸运号则打6折，若摇出2个幸运号则打7折；若摇出1个幸运号则打8折；若没摇出幸运号则不打折．(1)若某型号的车正好6万元，两个顾客都选择第二种方案，求至少有一名顾客比选择方案一更优惠的概率；(2)若你朋友看中了一款价格为10万的便型轿车，请用所学知识帮助你朋友分析一下应选择哪种付款方案．21.（本小题满分12分）设点F 为椭圆C ：=1(m>0)的左焦点，直线y=x 被椭圆C ． (1)求椭圆C 的方程；(2)圆P ：(x+7)2+(y 一7)2=r 2(r>0)与椭圆C 交于A,B 两点，M 为线段AB 上任一点，直线FM 交椭圆C 于P ，Q 两点，若AB 为圆P 的直径，且直线FM 的斜率大于1，求的取值范围．22.（本小题满分12分）已知函数f(x)=一13x 3+ 12ax 2+2a 2x+b ，a ，b ∈R ． (1)若曲线y=f(x)在点P(0，f(0))处的切线与曲线y=f(x)的公共点的横坐标之和为3， 求a 的值；(2)当0<a ≤12时，对任意c 、d ∈[一1，2]，使f(c)-b+ f '(d)≥M+8a 恒成立，求实数M 的取值范围．。
山西省太原市2018届高考一模数学试卷(理)含答案
太原五中2017-2018学年度第二学期阶段性检测高 三 数 学（理）出题人、校对人：刘晓瑜、郭舒平、董亚萍、刘锦屏、凌河、闫晓婷（2018.4.2） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知{}{}2ln(1),2,xP x y x Q y y x P ==-==∈,则=P Q （ ）.A (0,1).B 1(,1)2.C 1(0,)2.D (1,2)2、已知复数(2a iz i i+=-为虚数单位)在复平面内对应的点在第三象限，则实数a 的取值范围是（ ）.A 1(2,)2-.B 1(,2)2-.C (,2)-∞-.D 1(+)2∞， 3、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若直线cos cos 0bx y A B ++=与cos cos 0ax y B A ++=平行，则ABC ∆一定是（ ）.A 锐角三角形 .B 等腰三角形 .C 直角三角形 .D 等腰或直角三角形4、在区间[1,5]随机地取一个数m ，则方程22241x m y +=表示焦点在y 轴上的椭圆的概率是（ ）.A 15.B 14.C 35.D 345、若2012(21)n n nx a a x a x a x +=++++ 的展开式中的二项式系数和为32，则12+n a a a ++= （ ）.A 241.B 242.C 243.D 2446、《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该著作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．如图所示的程序框图的算法思路源于该著作中的“李白沽酒”问题，执行该程序框图，若输出的m 的值为0，则输入的a 的值为（ ）.A 218.B 4516.C 9332.D 189647、已知等比数列{}n a 的前n 项和是n S ，则下列说法一定成立的是（ ）.A 若30a >，则20150a <.B 若40a >，则20140a < .C 若30a >，则20150S >.D 若40a >，则20140S >8、已知k R ∈，点(,)P a b 是直线2x y k +=与圆22223x y k k +=-+的公共点，则ab 的最大值为（ ）.A 15.B 9.C 1.D 53-9、若不等式组20510080x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，所表示的平面区域存在点00(,)x y ，使00+20x ay +≤成立，则实数a 的取值范围是（ ）.A 1a ≤-.B 1a <-.C 1a >.D 1a ≥10、平行四边形ABCD 中，1,1,2-=⋅==AD AB ，点M 在边CD 上，则⋅的最大值为（ ）.A 5.B 2.C 1.D 111、已知12,F F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左支交于点A ，与右支交于点B ，若a AF 21=，3221π=∠AF F ，则=∆∆221ABF F AF S S （ ）.A 1.B 21.C 31.D 3212、不等式2ln (2)2x x x m x m ++-≤有且只有一个整数解，则m 的取值范围为（ ）.A [1,)-+∞.B (,44ln 2][1,)-∞---+∞.C (,33ln3][1,)-∞---+∞ .D (44ln 2,33ln3][1,)-----+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题—第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 13、11sin 2)x dx -=⎰.14、已知函数()x f x e =，2()1(,)g x ax bx a b R =++∈，当0a =时，若()()f x g x ≥对任意的x R ∈恒成立，则b 的取值范围是.15、如图是某四面体的三视图，则该四面体的体积为 .16、已知数列{}n a 满足22(2)(2)n n na n a n n λ+-+=+，其中121,2a a ==，若1n n a a +<对n N *∀∈恒成立，则实数λ的取值范围是.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17、（本小题满分12分） 已知23BAC P π∠=，为BAC ∠内部一点，过点P 的直线与BAC ∠的两边交于点,B C，且,PA AC AP ⊥=（1）若3AB =，求PC ；（2）求11PB PC+的取值范围. 18、（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 的交点为O,2,60PD PB AB PA BCD ====∠= .（1）证明：PO ⊥平面ABCD ；（2）在棱CD 上是否存在点M ，使平面ABP 与平面MBP 所若存在，请指出M 点的位置；若不存在，请说明理由. 19、（本小题满分12分）侧视图俯视图2APBCD OA CPB在2018年2月K12联盟考试中，我校共有500名理科学生参加考试，其中语文考试成绩近似服从正态分布2(95,17.5)N ，数学成绩的频率分布直方图如图：（1）如果成绩大于130的为特别优秀，这500名学生中本次考试语文、数学成绩特别优秀的大约各多少人？（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（1）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有X 人，求X 的分布列和数学期望．（3）根据以上数据，是否有99%以上的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀？ ①若X ~2(,)N μσ，则()0.68,(22)0.96P X P X μσμσμσμσ-<≤+=-<≤+=②22()=()()()()n ad bc K a b c d a c b d -++++③20、（本小题满分12分）已知椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C ，F 为左焦点，A 为上顶点，)0,2(B 为右顶点，=，抛物线2C 的顶点在坐标原点，焦点为F . （1）求1C 的标准方程；（2）是否存在过F 点的直线，与1C 和2C 交点分别是P ，Q 和M ，N ，使得OMN OPQ S S ∆∆=21？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由.21、（本小题满分12分） 已知函数()(2)()x f x x e ax =--.（1）当0a >时，讨论)(x f 的极值情况； （2）若(1)[()]0x f x a e --+≥，求a 的值.请考生从第22、23 题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.22、（本小题满分10分）【选修4——4：坐标系与参数方程】 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2+2cos 2sin x ty t =⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线3C 的极坐标方程为=(0)6πθρ>.（1）求曲线1C 的普通方程和3C 的直角坐标方程； （2）设3C 分别交1C 、2C 于点P 、Q ，求1C PQ ∆的面积. 23、（本小题满分10分）【选修4——5：不等式选讲】 已知函数()||21f x x m x =++-. （1）当=1m 时，解不等式()3f x ≥； （2）若14m <，且当[,2]x m m ∈时，不等式1()12f x x ≤+恒成立，求实数m 的取值范围．理科数学 参考答案1.B2.C3.C 【解析】由两直线平行可得cos cos 0b B a A -=，由正弦定理可得sin cos sin cos 0B B A A -=，即11sin 2sin 222A B =，又,(0,)+(0,)A B A B ππ∈∈，，所以22A B =或2+2=A B π，即A B =或+=2A B π，当A B =时，cos cos a b A B ==，，此时两直线重合，不符合题意，舍去.则ABC ∆是直角三角形. 4.B 5.B 6.C7.C 【解析】等比数列的公比0q ≠，若30a >，则2201411201510,0,0a q a a a q >∴>∴=>，所以A 错误；若40a >，则3201311201410,0,0aq aq a aq >∴>∴=>，所以B 错误；若30a >，则312=0,1a a q q >∴=时，20150S >，1q ≠时，201512015(1)=0(11a q S q q->--与20151q -同号），所以C 一定成立；易知D 不成立. 8.B【解析】由题意得：d =≤，且2230k k -+>，解得31k -≤≤.2222222=()()4(23)323ab a b a b k k k k k +-+=--+=+-，所以：当=3k -时，ab 取到最大值9.9.A 【解析】由线性区域可得00y >，由题意得0max 02()x a y +≤-，002yx +表示(2,0)-与00(,)x y03y 002713x y +-≤-≤-，1a ≤-.10.B 11.B12.D 【解析】由2ln (2)2x x x m x m ++-≤得2ln 2(2)x x x x x m +-≤-，所以当2x >时，满足2ln 2(2)x x x xm x +-≥-只有一个整数解或当02x <<时，满足2ln 2(2)x x x xm x +-≤-只有一个整数解.令2ln 2()(2)x x x x f x x +-=-，所以222ln 32()(2)x x x f x x -+-'=-，令2()2ln 32g x x x x =-+-，得(21)(2)()x x g x x--'=-，所以()g x 在(0,2)单调递增，(2)+∞，单调递减，所以max ()(2)2ln 24622ln 20g x g ==-+-=>，又(1)0g =， (3)2ln320,(4)4ln 260g g =->=-<，所以存在0(3,4)x ∈，使0()=0g x ，所以()f x 在(0,1)，0(,)x +∞单调递减，在(1,2)，0(2,)x 单调递增，所以当(0,2)x ∈时，min ()(1)1f x f ==-，当(2,)x ∈+∞时，max 0()()f x f x =，又(3)33ln3(1),(4)44ln 2(1)f f f f =--<=--<，且16(3)(4)ln027ef f -=>，所以2ln 2(2)x x x x x m +-≤-有且只有一个整数解的解为1x =或3x =，所以(1)m f >或(4)(3)f m f <≤，即1m ≥-或44ln 233ln 3m --<≤--13.2π 14.1 15.2 16.[0,)+∞17. 【解析】（1）2=326BAC PAC BAP πππ∠=∠∴∠=，，，在PAB ∆中，由余弦定理知2222cos36PB AP AB AP AB π=+-= ，得PB AP ，则233BPA APC ππ∠=∠=，.在直角APC ∆中，=cos3AP PC π=（2）设APC θ∠=，则6ABP πθ∠=-，在直角APC ∆中，=cos APPC θ，在PAB ∆中，由正弦定理知,sin()sin2sin()666AP PB AP PB πππθθ=∴=--.所以2s in(11s 3s i n 6=s i n P BPCA P A Pπθθθ-++==，由题意知1,sin 1622ππθθ<<∴<<，所以11PB PC +的取值范围是1(,1)2. 18.【解析】（Ⅰ）证明：∵ PD ＝PB ，且O 为BD 中点，∴ PO ⊥BD. 在菱形ABCD 中，∵ ∠BCD ＝600，AB ＝2，∴ OA ＝3，OB ＝1. 又PB ＝2， ∴ PO ＝ 3.∵ PA ＝6，∴ PA 2＝PO 2＋OA 2，PO ⊥OA. ∵ BD ∩AO ＝O ，∴ PO ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）建立如图所示坐标系，则A(3，0，0)，B(0，1，0)，C(－3，0，0)，D(0，－1，0)，P(0，0，3).∴ → AB ＝(－3，1，0)，→ BP ＝(0，－1，3)，→ BC ＝(－3，－1设平面ABP 的一个法向量为n 1，由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·→ AB ＝0n 1·→ BP ＝0 得n 1＝(1，3，设→ CM ＝λ→ CD ，则→ BM ＝→ BC ＋→ CM ＝→ BC ＋λ→CD ＝(3(λ-1)，－(λ+1)设平面BPM 的一个法向量为n 2，由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·→ BM ＝0n 2·→BP ＝0 得n 2＝(λ+1，3(λ－1)，λ－1) 由 |cos < n 1，n 2>|＝|5λ－3|5(λ+1)2+4(λ－1)2＝55 得 5λ2－6λ＋1＝0，∴ λ＝1或λ＝15 .即，当点M 与点D 重合或|→ CM|＝15 |→ CD|时，锐二面角的余弦值为55.19.【解析】解：（1）∵语文成绩服从正态分布2(95,17.5)N ， ∴语文成绩特别优秀的概率为11(130)(10.96)0.022p P X =≥=-⨯=，数学成绩特别优秀的概率为20.0012200.024p =⨯=， ∴语文特别优秀的同学有5000.02=10⨯人， 数学特别优秀的同学有5000.024=12⨯人．（2）语文数学两科都优秀的有6人，单科优秀的有10人，X 的所有可能取值为0,1,2,3，321101063316161231066331616327(0),(1),1456151(2),(3),5628C C C P X P X C C C C C P X P X C C ============∴X 的分布列为：()0123145656288E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.（3）2×2列联表：∴22500(648446)=144.5 6.6351049012488K ⨯⨯-⨯≈>⨯⨯⨯ ∴有99%以上的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．20.【解析】（Ⅰ）依题意可知=，即2227b a a +=，由右顶点为)0,2(B ，得2=a ，解得32=b ，所以1C 的标准方程为13422=+y x . （Ⅱ）依题意可知2C 的方程为x y 42-=，假设存在符合题意的直线，设直线方程为1-=ky x ，),(11y x P ，),(22y x Q ，),(33y x M ，),(44y x N ,联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134122y x ky x ，得096)43(22=--+ky y k ， 由韦达定理得436221+=+k k y y ，439221+-=k y y ，则431122221++=-k k y y ，联立方程组⎩⎨⎧-=-=xy ky x 412，得0442=-+ky y ，由韦达定理得k y y 443-=+，443-=y y ，所以14243+=-k y y ，若OMNOP Q S S ∆∆=21，则432121y y y y -=-，即1243112222+=++k k k ，解得36±=k ， 所以存在符合题意的直线方程为0136=++y x 或0136=+-y x . 21.【解析】（1）已知()()(2)()(1)2(1)(1)(2)x x x x f x e ax x e a x e a x x e a '=-+--=---=-- 因为0a >，由()0f x '=得1x =或ln 2x a =.① 当=2e a 时，()(1)()0xf x x e e '=--≥，()f x 单调递增，故()f x 无极值； ② 当02ea <<时，ln 21a <，则所以：()f x 有极大值2(ln 2)=(ln 22)f a a a --，极小值(1)=f a e -③2ea >时，ln 21a >，则所以：()f x 有极大值(1)=f a e -，极小值2(ln 2)=(ln 22)f a a a -- 综上所述：02ea <<时，()f x 有极大值2(ln 22)a a --，极小值a e -； =2ea 时，()f x 无极值；2ea >时，()f x 有极大值a e -，极小值2(ln 22)a a --； （2）令()()g x f x a e =-+，则(1)()0x g x -≥， 且()()(1)(2)x g x f x x e a ''==--①0a ≤时，20xe a ->，所以当1x <时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以()(1)0g x g >=，此时(1)()0x g x -<，不满足题意；③ 由于()g x 与()f x 由相同的单调性，由（1）知a.当=2ea 时，()g x 在R 上单增，且(1)=0g ，所以1x ≥时，()0g x ≥，1x <时，()0g x <， 所以当=2ea 时，恒有(1)()0x g x -≥，满足题意； b.当02ea <<时，()g x 在(ln 2,1)a 上单减，所以(ln 2,1)x a ∈时，()(1)=0g x g >，此时 (1)()0x g x -<，不满足题意；c.当2ea >时，()g x 在(1,ln 2)a 递减，所以当(1,ln 2)x a ∈时，()(1)=0g x g <，此时 (1)()0x g x -<，不满足题意；综上：=2e a .22.【解析】（1）曲线1C 的普通方程：22(2)4x y -+=，即22-40x y x +=.所以1C 的极坐标方程为24cos 0ρρθ-=，即=4cos ρθ. 曲线3C的直角坐标方程：(0)y x x =>，...........5分 （2）依题意，设点P 、Q 的极坐标分别为12(,),(,)66ππρρ. 将=6πθ代入=4cos ρθ，得1ρ 将=6πθ代入=2sin ρθ，得2=1ρ， 所以121PQ ρρ=-=，依题意得，点1C 到曲线=6πθ的距离为1sin16d OC π==.所以11111)222C PQ S PQ d ∆=== .......10分 23. 【解析】（1）当=1m 时，()|1|21f x x x =++-，则-3(1)1()2-(1)213()2x x f x xx x x ⎧⎪<-⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩，由()3f x ≥解得1x ≤-或1x ≥，即原不等式的解集为(,1][1,)-∞-⋃+∞........5分（2）1()12f x x ≤+，即11+2-1122x m x x +≤+，又[,2]x m m ∈且14m <， 所以10,4m <<且0x > 所以11+121222m x x x ≤+--.即221m x x ≤+--.令()221t x x x =+--，则131(0)2()13()2x x t x x x ⎧+<<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩，所以[,2]x m m ∈时，min ()()=31t x t m m =+， 所以31m m ≤+，解得12m ≥-， 所以实数m 的取值范围是1(0,)4. ......10分。
山西省名校2018届高三模拟考试第一次五校联考数学(理)试题及答案
动，则线段 BM 的最小值为（ ）
A． 6 2
B ． 6 C.
6
D ．3
3
10. 某次夏令营中途休息期间， 3 位同学根据胡老师的口音对她是哪个地方的人进行了判断：
甲说胡老师不是上海人，是福州人；
乙说胡老师不是福州人，是南昌人； 丙说胡老师既不是福州人，也不是广州人 .
听完以上 3 人的判断后，胡老师笑着说，你们 3 人中有 1 人说的全对，有 1 人说对了一半，
A． 4 B ． 5 C ． 8 D ． 9
4. ( x2
3x
4 )(1
1 )5 的展开式中常数项为（
）
x
x
A． -30 B
．30 C.-25 D
． 25
5. 榫卯 （ sǔnmǎo）是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式，凸出部分叫榫，凹
进部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用，代表建筑有：北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西
Q(c,
)， 2
F2Q
F2 A ，点 P 是双曲
线 C 右支上的动点， 且 PF1 PQ
3 2 F1F2 恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是 （
）
A． (
10 ,
)
2
7 B ． (1, )
6
12. 已知 0 ，若对任意的 x (0,
C.
7 10 (, )
D
． (1,
10 )
62
2
x
) ，不等式 e
18. 某市的教育主管部门对所管辖的学校进行年终督导评估，
为了解某学校师生对学校教学
管理的满意度，分别从教师和不同年级的同学中随机抽取若干师生，进行评分（满分
100
分），绘制如下频率分布直方图（分组区间为 [40,50) ， [50,60) ， [60,70) ， [70,80) ，
山西五校2017高三第五次联考数学试题(理)(word版含答案)
2016—2017年度第五次五校联考数学试卷（理科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知,a b R ∈，若3234bi i a i--=+，则a b +等于 A.9- B.5 C.13 D. 92.已知集合{}{}2|450,|42x m A x Z x x B x =∈--<=>，若A B 有三个元素，则实数m 的取值范围是A. [)3,6B. [)1,2C.[)2,4D.(]2,43.已知向量()()2,2sin ,3cos ,1,sin 23a mb θθθ==-= ，若//a b ，则实数m 的值为 A. -4 B. -2 C. 2 D. 44.已知随机变量X 满足正态分布()72,4N ，则()7076P X X <>或等于[附：()()0.6826,220.9544P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<+=]A. 0.1815B.0.3174C. 0.4772D.0.8185 5.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为F ，右顶为A,过F 且与x 轴垂直的直线交双曲线于B,C 两点，若ABC ∆为直角三角形，则双曲线的离心率为6.我国古代数学名著《九章算术》有这样的问题“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠亦一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问几何日相逢，各穿几何？”意思是“今有一堵墙厚5尺，两只老鼠相向打洞窗墙.大老鼠第一天打洞1 尺，小老鼠第一天也打洞1尺.以后大鼠每天穿墙尺数是前一天的2倍，小老鼠每天穿墙尺数是前一天的12，问大、小老鼠几天后相遇？”若将题中条件“墙厚5尺”和“大鼠每天穿墙尺数是前一天的2倍”分别改为“墙厚10尺”和“大鼠每天穿墙尺数是前一天的32”，问在第几天会出现“大鼠穿墙总尺数是小鼠穿墙总尺数的4倍”情况A. 3B. 4C. 5D. 67.执行如图所示的程序框图，则下列说法正确的是A. ()2,4a ∀∈，输出i 的值为5B. ()4,5a ∃∈，输出i 的值为5C. ()3,4a ∀∈，输出i 的值为5D. ()2,4a ∃∈，输出i 的值为58.某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的外接球的表面积为A.13πB. 16πC.17πD.21π9.将函数()2cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位得到()g x 的图象，记函数()g x 在区间,4t t π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦内的最大值为t M ,最小值为t m ，设函数()t t h t M m =-，若,42t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则函数()h t 的最小值为1 B. 2110.已知不等式322x e exx x b ex ++-≤对(]0,1x ∀恒成立，b 则实数的取值范围是A. [)1,+∞B. [)1,-+∞C.[]1,1-D.(],1-∞-11.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点(002p M x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭是抛物线C 上一点，圆M 与线段MF 相交于点A,且被直线2px =MA ，若2MAAF =，则AF等于A.1B. 2C. 3D.412.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，当2n ≥时，()211n n n n a S S S ---=且11a =，设12log 3n n a b +=，则12341n b b b n +++++ 的最小值为A. 8B. 9C. 10D. 12第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.()531x ⎛+- ⎝的展开式中常数项为 . 14.若实数,x y 满足不等式组20240250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，且()()321x a y -++的最大值为5，则a = .15.已知函数()f x 为偶函数，当0x ≥时，()f x 是减函数，则不等式()()22log 23log 3f x f ->⎡⎤⎣⎦的解集为 .16.在长方体1111ABCD A BC D -中，底面ABCD13,AA E =是1AA 的中点，过1C 作1C F ⊥平面BDE 与平面11ABB A 交于点F ，则CF 与平面ABCD 所成角的正切值为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos cos 3.ac B bc A b -=（1）求sin sin A B的值； （2）若C角为锐角，c C ==，求ABC ∆的面积.18.（本题满分12分）如图，在多面体ABCDPE 中，四边形ABCD 和CDPE 都是直角梯形，//,//,,AB DC PE DC AD DC PD ⊥⊥平面ABCD ，2,AB PD DA PE F ===是CE 的中点.（1）求证：//BF 平面ADP ；（2）求二面角B DF P --的余弦值.19.（本题满分12分）中学阶段是学生身体发育总重要的阶段，长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康，某校为了解甲、乙两个班每周自我熬夜学习的总时长（单位：小时）分别从这两个班中随机抽取了6名同学进一步调查，将他们最近一周自我熬夜学习的总时长作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数，叶表示个位数）.如果学生平均每周自我熬夜学习的总时长超过21小时，则称为“过度熬夜”.（1）请根据样本数据，估计甲、乙两班的学生平均每周自我熬夜学习时长的平均值；（2）从甲班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度熬夜”的概率；（3）从甲班、乙班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度熬夜”的学生人数为X ，写出X 的分布列和数学期望.20.（本题满分12分）已知右焦点为()2,0F c 的椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，且椭圆C 关于直线x c =对称的图形过坐标原点. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭作直线l 与椭圆C 交于E,F 两点，线段EF 的中点为M,点A 是椭圆C 的右顶点，求直线MA 的斜率k 的取值范围.21.（本题满分12分）已知函数()ln ,.1ax f x x x R x =-∈+ （1）若()2001,,0x e f x e ⎡⎤∃∈<⎢⎥⎣⎦，求a 的取值范围；（2）当0a =时，函数()()22g x f x x kx =--，设()1212,0x x x x <<是函数()0g x =的两个根，m 是12,x x 的等差中项，求证：()0g m '<（()g x '是函数()g x 的导函数）.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
2017届山西省太原市高三数学(理)一模试题答案
2017 届山西省太原市高三数学（理）一模试题答案一、选择题（共12 小题，每题 3 分，满分 36 分）1．已知会合 A={ x| y=lg（ x+1） } ， B={ x|| x| ＜2} ，则 A∩ B=（）A．（﹣ 2，0）B．（0，2） C．（﹣ 1，2）D．（﹣ 2，﹣ 1）【解答】解：由 x+1＞0，得 x＞﹣ 1∴ A=（﹣ 1， +∞），B={ x|| x| ＜ 2} =（﹣ 2，2）∴ A∩ B=（﹣ 1， 2）．应选： C2．已知 zi=2﹣ i，则复数 z 在复平面对应点的坐标是（）A．（﹣ 1，﹣ 2）B．（﹣ 1， 2） C．（ 1，﹣ 2）D．（1，2）【解答】解： zi=2﹣ i，∴ z===﹣1﹣2i，∴复数 z 在复平面对应点的坐标是（﹣1，﹣ 2），应选： A．3．已知 S n是等差数列 { a n } 的前 n 项和， 2（ a1+a3+a5）+3（a8+a10） =36，则 S11=（）A．66 B．55 C．44D．33【解答】解：∵ S n是等差数列 { a n} 的前 n 项和， 2（ a1 +a3+a5） +3（a8+a10）=36，∴2（ a1+a1+2d+a1+4d）+3（a1+7d+a1+9d）=36，解得 a1+5d=3．∴ a6=3，∴ S11=6．==11a =33应选： D．4．已知=（ 1， cos α）， =（sin α，1），0＜α＜π，若，则α=（）A．B．C．D．【解答】解：=（ 1， cosα）， =（ sin α，1），若，可得? =sin α+cosα=0，即有 tan α==﹣1，由 0＜α＜π，可得α= ．应选： B．5．函数的图象大概为（）A．B．C．D．【解答】解： f（﹣ x）==﹣=﹣ f（ x），∴函数 f（x）为奇函数，则图象对于原点对称，故排A， B，当 x=时，f（）==应选： D6．已知圆 C：x2+y2=1，直线 l：y=k（x+2），在 [ ﹣1，1] 上随机选用一个数k，则事件“直线 l 与圆 C 相离”发生的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：圆 C：x2+y2=1 的圆心为（ 0， 0），半径为 r=1；且圆心到直线 l：y=k（ x+2）的距离为d==，直线 l 与圆 C 相离时 d＞r ，∴＞1，解得 k＜﹣或k＞，故所求的概率为P==．应选： C．7．履行如图框图，已知输出的s∈[ 0， 4] ，若输入的 t∈ [ m， n] ，则实数 n﹣ m 的最大值为（A．1B．2C．3D．4【解答】解：模拟履行程序，可得程序框图的功能是计算并输出分段函数S=的值，做出函数的图象，由题意可得：输出的s∈0，4，[]当 m=0 时， n∈[ 2，4] ， n﹣m ∈[ 2， 4] ，当 n=4 时， m∈[ 0，2] ， n﹣m ∈[ 2， 4] ，因此实数 n﹣m 的最大值为 4．应选： D．8．某几何体的三视图以下图，则该几何体的表面积为（）A．6π+1 B．C．D．【解答】解：由题意，几何体为圆柱与圆锥的组合体，该几何体的表面积为21=，2π?1?2 π?1++++应选 D．9．已知 D=，给出以下四个命题：P1： ? （x，y）∈ D， x+y+1≥0；P2： ? （x，y）∈ D， 2x﹣y+2≤0；P3： ? （x，y）∈ D，≤﹣4；P4： ? （x，y）∈ D， x2+y2≤ 2．此中真命题的是（）A．P1，P2B．P2，P3C．P2，P4D．P3，P4【解答】解：不等式组的可行域如图，p1： A（﹣ 2，0）点，﹣ 2+0+1=﹣1，故 ? （x，y）∈ D，x+y≥ 0 为假命题；p2： A（﹣ 1，3）点，﹣ 2﹣3+2=﹣3，故 ? （x，y）∈ D，2x﹣y+2≤0 为真命题；p3： C（ 0， 2）点，=﹣3，故 ? （x，y）∈ D，≤﹣4为假命题；p4：（﹣ 1， 1）点， x2+y2=2故 ? （x，y）∈ D，x2+y2≤2 为真命题．可得选项 p2，p4正确．应选： C．10．已知抛物线 y2=4x 的焦点为点 F，过焦点 F 的直线交该抛物线于A、B 两点，O 为坐标原点，若△ AOB的面积为，则| AB| =（）A．6B．8C．12D．16【解答】解：抛物线 y2=4x 焦点为 F（ 1，0），设过焦点 F 的直线为： y=k（x﹣1），由? 可得 y2﹣y﹣ 4=0，y A+y B=，y A y B=﹣4，| y A﹣y B| =△ AOB的面积为，可得：| y A﹣y B| =，，解得 k=| AB| =?， | y A﹣y B| =．应选： A．11．已知函数 f（x）=sin ωx﹣cos ωx（ω＞ 0），若方程 f （x）=﹣1 在（ 0，π）上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为（）A．（，]B．（，]C．（，] D．（，]【解答】解： f（x） =2sin（ωx﹣），作出 f （x）的函数图象以下图：令 2sin（ωx﹣）=﹣1得ωx﹣=﹣2kπ，或ωx﹣ =2kπ，++∴ x=+，或 x=+k Z，， ?设直线 y=﹣1 与 y=f（ x）在（ 0，+∞）上从左到右的第 4 个交点为 A，第 5 个交点为 B，则 x A=，x B=，∵方程 f（x）=﹣1 在（ 0，π）上有且只有四个实数根，∴ x A＜π≤x B，即＜π≤，解得．应选 B．12．设函数 f（x）=与g（x）=a2lnx+b有公共点，且在公共点处的切线方程同样，则实数 b 的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：设 y=f（x）与 y=g（ x）（x＞0）在公共点 P（x0，y0）处的切线同样、f （′x）=3x﹣2a，g′（x）=，由题意 f（x0） =g（x0），f ′（x0）=g′（x0），即 x02﹣2ax0=a2lnx0+b，3x0﹣2a=由 3x0﹣2a=得x0=a或x0=﹣a（舍去），即有 b= a2﹣2a2﹣a2lna=﹣a2﹣a2lna．令 h（t） =﹣ t2﹣t2 lnt（ t＞0），则 h′（t） =2t（ 1+lnt ），于是当 2t（1+lnt ）＞ 0，即 0＜t＜时， h′（ t）＞ 0；当 2t（1+lnt）＜ 0，即 t ＞时， h′（t ）＜ 0．故 h（t）在（ 0，）为增函数，在（，+∞）为减函数，于是 h（t ）在（ 0， +∞）的最大值为h（）=，故 b 的最大值为．应选 A．二、填空题（共 4 小题，每题 3 分，满分 12 分）13．已知，若，则实数t=﹣1．【解答】解：依据题意，，则 + =（1+t ，0），﹣=（1﹣t ，﹣ 2），若，则有（ 1+t）×（﹣ 2）=（1﹣t ）× 0=0，解可得 t=﹣1；故答案为：﹣ 1．14．已知双曲线经过点，其一条渐近线方程为y=2x，则该双曲线的标准方程为﹣x2=1．【解答】解：依据题意，双曲线的一条渐近线方程为y=2x，则能够设其方程为x2﹣=m，（m≠0），又由其经过点，则有 1﹣=m，解可得 m=﹣ 1，则其方程为： x2﹣=﹣1，其标准方程为：﹣ x2=1，故答案为：﹣x2=1．15．已知三棱锥 A﹣BCD中， BC⊥CD， AB=AD=，BC=1，CD=，则该三棱锥外接球的体π ．【解答】解： BC⊥CD， BC=1， CD=，∴ DB=2又因 AB=AD=，∴△ ABD是直角三角形．取 DB 中点 O， OA=OB=OC=OD=1∴ O 三棱外接球的球心，外接的半径R=1，∴ 三棱外接球的体π，故答案：π．16．已知数列 { a n} 中，，其前n和S n=2n+2 4．【解答】解：∵数列 { a n } 中，，∴a2=0，n≥2 ， a n=2a n﹣1 +3n 4，∴a n+1 a n=2a n 2a n﹣1+3，化 a n+1 a n+3=2（a n a n﹣1+3），a2 a1+3=2．∴数列 { a n a n﹣1 +3} 是等比数列，首 2，公比 2．∴a n a n﹣1+3=2n，即 a n a n﹣1 =2n 3．∴a n=（ a n a n﹣1）+（a n﹣1 a n﹣2）+⋯+（ a2 a1）+a1=2n 3+2n﹣1 3+⋯+22 3 1= 3（n 1） 1=2n+13n 2．∴ S n=3×2n=2n+2﹣4﹣．故答案为： 2n+2﹣4﹣．三、解答题17．已知 a，b，c 分别是△ ABC的内角 A， B，C 所对的边， a=2bcosB， b≠ c．（1）证明： A=2B；（2）若 a2+c2=b2+2acsinC，求 A．【解答】解：（1）证明：△ ABC中， a=2bcosB，由，得 sinA=2sinBcosB=sin2B，∵0＜ A， B＜π，∴ sinA=sin2B＞ 0，∴ 0＜ 2B＜π，∴A=2B或 A+2B=π，若 A+2B=π，则 B=C，b=c 这与“b≠c”矛盾，∴A+2B≠ π；∴A=2B；（2）∵ a2+c2=b2+2acsinC，∴，由余弦定理得 cosB=sinC，∵ 0＜ B， C＜π，∴或，①当时，则，这与“b≠c”矛盾，∴；②当时，由（ 1）得 A=2B，∴，∴．18．某著名品牌汽车深受花费者喜欢，但价钱昂贵．某汽车经销商推出 A、B、C三种分期付款方式销售该品牌汽车，并对近期 100 位采纳上述分期付款的客户进行统计剖析，获取以下的柱状图．已知从 A、 B、 C 三种分期付款销售中，该经销商每销售此品牌汽车 1 俩所获取的收益分别是 1 万元， 2 万元， 3 万元．现甲乙两人从该汽车经销商处，采纳上述分期付款方式各购置此品牌汽车一辆．以这100 位客户所采纳的分期付款方式的频次取代 1 位客户采纳相应分期付款方式的概率．（ 1）求甲乙两人采纳不一样分期付款方式的概率；（ 2）记 X（单位：万元）为该汽车经销商从甲乙两人购车中所获取的收益，求 X 的散布列与希望．散布列．【解答】解：（1）由题意得：P（A）==0.35， P（ B） ==0.45，P（C）==0.2，∴甲乙两人采纳不一样分期付款方式的概率：p=1﹣ [ P（A）?P（A）+P（ B） ?P（B）+P（C）?P（ C） ] =0.635．（2）记X（单位：万元）为该汽车经销商从甲乙两人购车中所获取的收益，则 X 的可能取值为 2，3，4，5，6，P（X=2） =P（A）P（A）=0.35× 0.35=0.1225，P（X=3） =P（A）P（B）+P（B）P（A）=0.35×0.45+0.45×0.35=0.315，P（X=4）=P（A）P（C）+P（B）P（B）+P（C）P（ A）=0.35×0.2+0.45×0.45+0.2×0.35=0.3425，P（X=5） =P（B）P（C）+P（C）P（B）=0.45×0.2+0.2× 0.45=0.18，P（X=6） =P（C）P（C）=0.2×0.2=0.04．∴ X 的散布列为：X23456P0.12250.3150.34250.180.04E（X）=0.1225×2 0.315×3 0.3425× 4 0.18× 5 0.04× 6=3.7．++++19．如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形， BE⊥平面 ABCD，DF∥BE，且 DF=2BE=2，EF=3．（1）证明：平面 ACF⊥平面 BEFD（2）若二面角 A﹣EF﹣ C 是二面角，求直线 AE与平面 ABCD所成角的正切值．标系，利用向量法能求出直线AE与平面 ABCD所成角的正切值．【解答】证明：（1）∵四边形 ABCD是菱形，∴ AC⊥BD，∵BE⊥平面ABCD，∴BE⊥AC，∴ AC⊥平面 BEFD，∵AC? 平面 ACF，∴平面 ACF⊥平面 BEFD．解：（ 2）设 AC 与 BD的交点为 O，由（ 1）得 AC⊥BD，分别以 OA，OB 为 x 轴， y 轴，成立空间直角坐标系，∵BE⊥平面 ABCD，∴ BE⊥BD，∵DF∥BE，∴ DF⊥BD，222∴ BD=EF﹣（ DF﹣BE） =8，∴ BD=2 ．设 OA=a，（ a＞ 0），由题设得 A（a，0，0），C（﹣ a， 0， 0），E（0，），F（0，﹣，2），设 m=（x， y， z）是平面 AEF的法向量，则，取 z=2，得=（），设是平面 CEF的一个法向量，则，取，得=（﹣，1，2），∵二面角 A﹣EF﹣ C 是直二面角，∴=﹣ +9=0，解得 a= ，∵BE⊥平面 ABCD，∴∠ BAE是直线 AE与平面 ABCD所成的角，∴ AB==2，∴ tan．∴直线 AE与平面 ABCD所成角的正切值为．20．已知椭圆 C：的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个极点，点D在椭圆C上，直线l：y=kx+m与椭圆C订交于A、P两点，与 x 轴、 y 轴分别订交于点 N 和 M ，且 PM=MN，点 Q 是点 P 对于 x 轴的对称点， QM 的延伸线交椭圆于点 B，过点 A、B 分别作 x 轴的垂涎，垂足分别为 A1、B1（1）求椭圆 C 的方程；（2）能否存在直线 l，使得点 N 均分线段 A1B1？若存在，求求出直线 l 的方程，若不存在，请说明原因．【解答】解：（ 1）∵椭圆 C：的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个极点，点D在椭圆C上，∴由题意得，解得 a2，2，=4 b =3∴椭圆 C 的方程为．（ 2）假定存在这样的直线l：y=kx+m，∴ M（0，m ），N（﹣，0），∵ PM=MN，∴ P（，2m），Q（），∴直线 QM 的方程为 y=﹣3kx+m，设 A（x1，y1），由，得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0，∴，∴，设 B（x2，y2），由，得（3+36k2）x2﹣24kmx+4（m2﹣3）=0，∴ x2+ =，∴2﹣，x =∵点 N 均分线段 A1 1，B ，∴∴﹣=﹣，∴ k=，∴ P（± 2m，2m），∴，解得m=，∵ | m| =＜b=，∴△＞0，切合题意，∴直线 l 的方程为 y=．21．已知函数 f（x）=2lnx+ax﹣（a∈ R）在x=2处的切线经过点（﹣4，2ln2）（ 1）议论函数 f （x）的单一性（ 2）若不等式恒成立，务实数m的取值范围．【解答】解：（1）由（f x）=2lnx ax﹣（ a∈R），求导 f（′x）= a，++ +当 x=2 时， f ′（ 2） =1+a+f ′（2），∴ a=﹣1，设切点为（ 2，2ln2+2a﹣2f ′（2）），则切线方程y﹣（ 2ln2+2a﹣2f ′（2）） =f ′（2）（ x﹣2），将（﹣ 4，2ln2）代入切线方程， 2ln2﹣2ln2﹣2a+2f （′2））=﹣6f （′ 2），则 f （′2）=﹣，∴ f （′ x）= ﹣ 1﹣ =≤ 0，∴ f（x）在（ 0， +∞）单一递减；（2）由不等式恒成立，则（2lnx）＞ m，+令φ x）=2lnx，（ x＞ 0）求导φ′（x）= ﹣﹣1=﹣（﹣1）2≤0，（+∴ φ（ x）在（ 0，+∞）单一递减，由φ（1）=0，则当 0＜x＜1 时，φ（x）＞ 0，当 x＞1 时，φ（ x）＜ 0，∴（2lnx+）在（0，+∞）恒大于0，∴m≤0，实数 m 的取值范围（﹣∞， 0] ．四、解答题（共 1 小题，满分 10 分）22．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（，此中φ为参数），曲线，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，射线 l：θ=α（ρ≥0）与曲线 C12，C 分别交于点 A，B（均异于原点 O）（ 1）求曲线 C1，C2的极坐标方程；（2）当时，求OA2OB 2的取值范围．||+||【解答】解：（1）∵，∴，由得曲线 C1的极坐标方程为，∵ x2+y2﹣ 2y=0，∴曲线 C2的极坐标方程为ρ =2sin；θ2）由（ 1）得，OB222α（ρ||==4sin，∴∵，∴ 1＜ 1+sin2α＜，∴，2∴| OA| 2+| OB| 2的取值范围为（ 2，5）．五、解答题（共 1 小题，满分 0 分）23．已知函数（1）若不等式 f （x）﹣ f（ x+m）≤ 1 恒成立，务实数 m 的最大值；（2）当 a＜时，函数 g（x） =f（x）+| 2x﹣ 1| 有零点，务实数 a 的取值范围．【解答】解：（1）∵，∴，∴f（x）﹣ f（x+m ）=| x﹣a| ﹣ | x+m﹣ a| ≤| m| ，∴| m| ≤1，∴﹣ 1≤m≤1，∴实数 m 的最大值为 1；（2）当时，=∴，∴或，∴，∴实数 a 的取值范围是．。
山西省2018届高考第一次模拟考试数学(理)试题含答案
5.已知抛物线 C : y x ，过点 P a, 0 的直线与 C 相交于 A, B 两点， O 为坐标原点，若
OAOB 0 ，则 a 的取值范围是 （
A． , 0 B． 0,1
） C. 1, D． 1
6.《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱 柱称为堑堵.将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条 侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均匀直角三角形的四面体）.在如图所示的堑 堵 ABC A1B1C1 中， AA1 AC 5, AB 3, BC 4 ，则阳马 C1 ABB1 A1 的外接球的表面 积是 （ ）
4.在平行四边形 ABCD 中， 点 E 为 CD 的中点，BE 与 AC 的交点为 F ， 设 AB a, AD b ， 则向量 BF （ A．
） B． a
2
1 2 a b 3 3
1 3
2 b 3
C. a
1 3
2 b 3
D．
1 2 a b 3 3
1 2
C.
3
D．
1 3
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上 13.在复平面内，复数 z m m 2 2m 8 i 对应的点位于第三象限，则实数 m 的取值范围 是 14.已知 tan ．
1 sin 2 2 ，则 cos 2 4
A．
B．
C.
D．
x 2 1, 0 x 1 12. 定义在 R 上的函数 f x 满足 f x f x ， 且当 x 0 时，f x ， x 2 2 , x 1
山西省五校2017届高三第五次联考数学试题(理)含答案
2016—2017年度第五次五校联考数学试卷（理科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知,a b R ∈，若3234bi i a i--=+，则a b +等于 A.9- B.5 C.13 D. 92.已知集合{}{}2|450,|42x m A x Z x x B x =∈--<=>，若A B 有三个元素，则实数m 的取值范围是A. [)3,6B. [)1,2C.[)2,4D.(]2,43.已知向量()()2,2sin ,3cos ,1,sin 23a m b θθθ==-=，若//a b ，则实数m 的值为 A. -4 B. -2 C. 2 D. 44.已知随机变量X 满足正态分布()72,4N ，则()7076P X X <>或等于[附：()()0.6826,220.9544P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<+=]A. 0.1815B.0.3174C. 0.4772D.0.8185 5.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为F ，右顶为A,过F 且与x 轴垂直的直线交双曲线于B,C 两点，若ABC ∆为直角三角形，则双曲线的离心率为D. 26.我国古代数学名著《九章算术》有这样的问题“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠亦一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问几何日相逢，各穿几何？”意思是“今有一堵墙厚5尺，两只老鼠相向打洞窗墙.大老鼠第一天打洞1 尺，小老鼠第一天也打洞1尺.以后大鼠每天穿墙尺数是前一天的2倍，小老鼠每天穿墙尺数是前一天的12，问大、小老鼠几天后相遇？”若将题中条件“墙厚5尺”和“大鼠每天穿墙尺数是前一天的2倍”分别改为“墙厚10尺”和“大鼠每天穿墙尺数是前一天的32”，问在第几天会出现“大鼠穿墙总尺数是小鼠穿墙总尺数的4倍”情况A. 3B. 4C. 5D. 67.执行如图所示的程序框图，则下列说法正确的是A. ()2,4a ∀∈，输出i 的值为5B. ()4,5a ∃∈，输出i 的值为5C. ()3,4a ∀∈，输出i 的值为5D. ()2,4a ∃∈，输出i 的值为58.某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的外接球的表面积为A.13πB. 16πC.17πD.21π9.将函数()2cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位得到()g x 的图象，记函数()g x 在区间,4t t π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦内的最大值为t M ,最小值为t m ，设函数()t t h t M m =-，若,42t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则函数()h t 的最小值为1 B. 2110.已知不等式322x e exx x b ex ++-≤对(]0,1x ∀恒成立，b 则实数的取值范围是A. [)1,+∞B. [)1,-+∞C.[]1,1-D.(],1-∞-11.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点(00,2p M x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭是抛物线C 上一点，圆M 与线段MF 相交于点A,且被直线2px =MA ，若2MAAF =，则AF等于A.1B. 2C. 3D.412.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，当2n ≥时，()211n n n n a S S S ---=且11a =，设12log 3n n a b +=，则12341n b b b n +++++的最小值为A. 8B. 9C. 10D. 12第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.()531x ⎛+ ⎝的展开式中常数项为 . 14.若实数,x y 满足不等式组20240250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，且()()321x a y -++的最大值为5，则a = .15.已知函数()f x 为偶函数，当0x ≥时，()f x 是减函数，则不等式()()22log 23log 3f x f ->⎡⎤⎣⎦的解集为 .16.在长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD的正方形，13,AA E =是1AA 的中点，过1C 作1C F ⊥平面BDE 与平面11ABB A 交于点F ，则CF 与平面ABCD 所成角的正切值为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos cos 3.ac B bc A b -=（1）求sin sin A B的值； （2）若C角为锐角，3c C ==，求ABC ∆的面积.18.（本题满分12分）如图，在多面体ABCDPE 中，四边形ABCD 和CDPE 都是直角梯形，//,//,,AB DC PE DC AD DC PD ⊥⊥平面ABCD ，2,AB PD DA PE F ===是CE 的中点.（1）求证：//BF 平面ADP ；（2）求二面角B DF P --的余弦值.19.（本题满分12分）中学阶段是学生身体发育总重要的阶段，长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康，某校为了解甲、乙两个班每周自我熬夜学习的总时长（单位：小时）分别从这两个班中随机抽取了6名同学进一步调查，将他们最近一周自我熬夜学习的总时长作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数，叶表示个位数）.如果学生平均每周自我熬夜学习的总时长超过21小时，则称为“过度熬夜”.（1）请根据样本数据，估计甲、乙两班的学生平均每周自我熬夜学习时长的平均值；（2）从甲班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度熬夜”的概率；（3）从甲班、乙班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度熬夜”的学生人数为X ，写出X 的分布列和数学期望.20.（本题满分12分）已知右焦点为()2,0F c 的椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，且椭圆C 关于直线x c =对称的图形过坐标原点. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭作直线l 与椭圆C 交于E,F 两点，线段EF 的中点为M,点A 是椭圆C 的右顶点，求直线MA 的斜率k 的取值范围.21.（本题满分12分）已知函数()ln ,.1ax f x x x R x =-∈+ （1）若()2001,,0x e f x e ⎡⎤∃∈<⎢⎥⎣⎦，求a 的取值范围； （2）当0a =时，函数()()22g x f x x kx =--，设()1212,0x x x x <<是函数()0g x =的两个根，m 是12,x x 的等差中项，求证：()0g m '<（()g x '是函数()g x 的导函数）.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
山西省太原市2018届高考一模数学试卷(理)有答案AlUqMH
太原五中2017-2018学年度第二学期阶段性检测高 三 数 学（理）出题人、校对人：刘晓瑜、郭舒平、董亚萍、刘锦屏、凌河、闫晓婷（2018.4.2） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知{}{}2ln(1),2,xP x y x Q y y x P ==-==∈,则=P Q I （ ）.A (0,1) .B 1(,1)2 .C 1(0,)2.D (1,2)2、已知复数(2a iz i i+=-为虚数单位)在复平面内对应的点在第三象限，则实数a 的取值范围是（ ） .A 1(2,)2- .B 1(,2)2- .C (,2)-∞- .D 1(+)2∞， 3、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若直线cos cos 0bx y A B ++=与cos cos 0ax y B A ++=平行，则ABC ∆一定是（ ）.A 锐角三角形 .B 等腰三角形 .C 直角三角形 .D 等腰或直角三角形4、在区间[1,5]随机地取一个数m ，则方程22241x m y +=表示焦点在y 轴上的椭圆的概率是（ ）.A 15 .B 14 .C 35 .D 345、若2012(21)n n n x a a x a x a x +=++++L 的展开式中的二项式系数和为32，则12+n a a a ++=L （ ）.A 241 .B 242 .C 243 .D 2446、《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该著作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．如图所示的程序框图的算法思路源于该著作中的“李白沽酒”问题，执行该程序框图，若输出的m 的值为0，则输入的a 的值为（ ）.A 218 .B 4516 .C 9332.D 189647、已知等比数列{}n a 的前n 项和是n S ，则下列说法一定成立的是（ ）.A 若30a >，则20150a < .B 若40a >，则20140a <.C 若30a >，则20150S > .D 若40a >，则20140S >8、已知k R ∈，点(,)P a b 是直线2x y k +=与圆22223x y k k +=-+的公共点，则ab 的最大值为（ ）.A 15 .B 9 .C 1 .D 53-9、若不等式组20510080x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，所表示的平面区域存在点00(,)x y ，使00+20x ay +≤成立，则实数a 的取值范围是（ ）.A 1a ≤- .B 1a <- .C 1a > .D 1a ≥10、平行四边形ABCD 中，1,1,2-=⋅==AD AB AD AB ，点M 在边CD 上，则MB MA ⋅的最大值为（ ）.A 5 .B 2 .C 221- .D 31-11、已知12,F F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左支交于点A ，与右支交于点B ，若a AF 21=，3221π=∠AF F ，则=∆∆221ABF F AF S S （ ）.A 1 .B 21 .C 31 .D 3212、不等式2ln (2)2x x x m x m ++-≤有且只有一个整数解，则m 的取值范围为（ ）.A [1,)-+∞ .B (,44ln 2][1,)-∞---+∞U .C (,33ln3][1,)-∞---+∞U .D (44ln 2,33ln3][1,)-----+∞U第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题—第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 13、121(1sin 2)x x dx --+=⎰.14、已知函数()x f x e =，2()1(,)g x ax bx a b R =++∈，当0a =时，若()()f x g x ≥对任意的x R ∈恒成立，则b 的取值范围是 .15、如图是某四面体的三视图，则该四面体的体积为 .16、已知数列{}n a 满足22(2)(2)n n na n a n n λ+-+=+，其中121,2a a ==，若1n n a a +<对n N *∀∈恒成立，则实数λ的取值范围是 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17、（本小题满分12分）正视图侧视图俯视图12 212已知23BAC P π∠=，为BAC ∠内部一点，过点P 的直线与BAC ∠的两边交于点,B C ，且,PA AC AP ⊥=（1）若3AB =，求PC ； （2）求11PB PC+的取值范围. 18、（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 的交点为O,2,60PD PB AB PA BCD ====∠=o .（1）证明：PO ⊥平面ABCD ；（2）在棱CD 上是否存在点M ，使平面ABP 与平面MBP 所成锐二面角的若存在，请指出M 点的位置；若不存在，请说明理由.19、（本小题满分12分）在2018年2月K12联盟考试中，我校共有500名理科学生参加考试，其中语文考试成绩近似服从正态分布2(95,17.5)N ，数学成绩的频率分布直方图如图：（1）如果成绩大于130的为特别优秀，这500名学生中本次考试语文、数学成绩特别优秀的大约各多少人？ （2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（1）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有X 人，求X 的分布列和数学期望．（3）根据以上数据，是否有99%以上的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀？ ①若X ~2(,)N μσ，则()0.68,(22)0.96P X P X μσμσμσμσ-<≤+=-<≤+=②22()=()()()()n ad bc K a b c d a c b d -++++③20()P K K ≥0.50 0.40 … 0.010 0.005 0.001 0K0.455 0.708…6.6357.87910.828APBCDOA CPB20、（本小题满分12分）已知椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C ，F 为左焦点，A 为上顶点，)0,2(B 为右顶点，若=，抛物线2C 的顶点在坐标原点，焦点为F . （1）求1C 的标准方程；（2）是否存在过F 点的直线，与1C 和2C 交点分别是P ，Q 和M ，N ，使得OMN OPQ S S ∆∆=21？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由.21、（本小题满分12分） 已知函数()(2)()xf x x e ax =--.（1）当0a >时，讨论)(x f 的极值情况； （2）若(1)[()]0x f x a e --+≥，求a 的值.请考生从第22、23 题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分. 22、（本小题满分10分）【选修4——4：坐标系与参数方程】 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2+2cos 2sin x ty t=⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线3C 的极坐标方程为=(0)6πθρ>.（1）求曲线1C 的普通方程和3C 的直角坐标方程； （2）设3C 分别交1C 、2C 于点P 、Q ，求1C PQ ∆的面积. 23、（本小题满分10分）【选修4——5：不等式选讲】 已知函数()||21f x x m x =++-. （1）当=1m 时，解不等式()3f x ≥； （2）若14m <，且当[,2]x m m ∈时，不等式1()12f x x ≤+恒成立，求实数m 的取值范围．理科数学 参考答案1.B2.C3.C 【解析】由两直线平行可得cos cos 0b B a A -=，由正弦定理可得sin cos sin cos 0B B A A -=，即11sin 2sin 222A B =，又,(0,)+(0,)A B A B ππ∈∈，，所以22A B =或2+2=A B π，即A B =或+=2A B π，当A B =时，cos cos a b A B ==，，此时两直线重合，不符合题意，舍去.则ABC ∆是直角三角形. 4. B 5. B 6.C7.C 【解析】等比数列的公比0q ≠，若30a >，则2201411201510,0,0a q a a a q >∴>∴=>，所以A 错误；若40a >，则3201311201410,0,0a q a q a a q>∴>∴=>，所以B 错误；若30a >，则312=0,1a a q q>∴=时，20150S >，1q ≠时，201512015(1)=0(11a q S q q->--与20151q -同号），所以C 一定成立；易知D 不成立.8.B 【解析】由题意得：d =≤，且2230k k -+>，解得31k -≤≤.2222222=()()4(23)323ab a b a b k k k k k +-+=--+=+-，所以：当=3k -时，ab 取到最大值9.9. A 【解析】由线性区域可得00y >，由题意得0max 02()x a y +≤-，002yx +表示(2,0)-与00(,)x y 两点连线的斜率，由线性规划可得03172y x ≤≤+，所以002713x y +-≤-≤-，1a ≤-. 10.B 11.B12.D 22(2)x x x m -≤-，所以当2x >时，满足2ln 2(2)x x x x m x +-≥-只有一个整数解或当02x <<时，满足2ln 2(2)x x x xm x +-≤-只有一个整数解.令2ln 2()(2)x x x x f x x +-=-，所以222ln 32()(2)x x x f x x -+-'=-，令2()2ln 32g x x x x =-+-，得(21)(2)()x x g x x--'=-，所以()g x 在(0,2)单调递增，(2)+∞，单调递减，所以max ()(2)2ln 24622ln 20g x g ==-+-=>，又(1)0g =，(3)2ln 320,(4)4ln 260g g =->=-<，所以存在0(3,4)x ∈，使0()=0g x ，所以()f x 在(0,1)，0(,)x +∞单调递减，在(1,2)，0(2,)x 单调递增，所以当(0,2)x ∈时，min ()(1)1f x f ==-，当(2,)x ∈+∞时，max 0()()f x f x =，又(3)33ln3(1),(4)44ln 2(1)f f f f =--<=--<，且16(3)(4)ln027ef f -=>，所以2ln 2(2)x x x x x m +-≤-有且只有一个整数解的解为1x =或3x =，所以(1)m f >或(4)(3)f m f <≤，即1m ≥-或44ln 233ln3m --<≤-- 13.2π 14. 1 15. 2 16. [0,)+∞17. 【解析】（1）2=326BAC PAC BAP πππ∠=∠∴∠=，，，在PAB ∆中，由余弦定理知2222cos36PB AP AB AP AB π=+-=g ，得PB AP ，则233BPA APC ππ∠=∠=，.在直角APC ∆中，=cos3AP PC π=（2）设APC θ∠=，则6ABP πθ∠=-，在直角APC ∆中，=cos APPC θ，在PAB ∆中，由正弦定理知,sin()sin 2sin()666AP PB AP PB πππθθ=∴=--.所以2sin()11cos 6=sin PB PC AP AP πθθθ-++==，由题意知1,sin 1622ππθθ<<∴<<，所以11PB PC +的取值范围是1(,1)2. 18.【解析】（Ⅰ）证明：∵ PD ＝PB ，且O 为BD 中点，∴ PO ⊥BD. 在菱形ABCD 中，∵ ∠BCD ＝600，AB ＝2，∴ OA ＝3，OB ＝1. 又PB ＝2， ∴ PO ＝ 3.∵ PA ＝6，∴ PA 2＝PO 2＋OA 2，PO ⊥OA. ∵ BD ∩AO ＝O ，∴ PO ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）建立如图所示坐标系，则A(3，0，0)，B(0，1，0)，C(－3，0，0)，D(0，－1，0)，P(0，0，3).∴ → AB ＝(－3，1，0)，→ BP ＝(0，－1，3)，→ BC ＝(－3，－1，0)，→CD ＝(3，-1，0)，设平面ABP 的一个法向量为n 1，由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·→ AB ＝0n 1·→ BP ＝0 得n 1＝(1，3，1)设→ CM ＝λ→ CD ，则→ BM ＝→ BC ＋→ CM ＝→ BC ＋λ→CD ＝(3(λ-1)，－(λ+1)，0).设平面BPM 的一个法向量为n 2，由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·→ BM ＝0n 2·→BP ＝0 得n 2＝(λ+1，3(λ－1)，λ－1) 由 |cos < n 1，n 2>|＝|5λ－3|5(λ+1)2+4(λ－1)2＝55 得 5λ2－6λ＋1＝0，∴ λ＝1或λ＝15 . 即，当点M 与点D 重合或|→ CM|＝15 |→ CD|时，锐二面角的余弦值为55.19.【解析】解：（1）∵语文成绩服从正态分布2(95,17.5)N ， ∴语文成绩特别优秀的概率为11(130)(10.96)0.022p P X =≥=-⨯=， 数学成绩特别优秀的概率为20.0012200.024p =⨯=， ∴语文特别优秀的同学有5000.02=10⨯人， 数学特别优秀的同学有5000.024=12⨯人．（2）语文数学两科都优秀的有6人，单科优秀的有10人，X 的所有可能取值为0,1,2,3，321101063316161231066331616327(0),(1),1456151(2),(3),5628C C C P X P X C C C C C P X P X C C ============∴X 的分布列为：X 0123P314275615561283271519()0123145656288E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. （3）2×2列联表：语文特别优秀 语文不特别优秀 合计数学特别优秀 6 6 12 数学不特别优秀4 484 488 合计10490500∴22500(648446)=144.5 6.6351049012488K ⨯⨯-⨯≈>⨯⨯⨯ ∴有99%以上的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．20. 【解析】=，即2227b a a +=，由右顶点为)0,2(B ，得2=a ，解得32=b ，所以1C 的标准方程为13422=+y x . （Ⅱ）依题意可知2C 的方程为x y 42-=，假设存在符合题意的直线，设直线方程为1-=ky x ，),(11y x P ，),(22y x Q ，),(33y x M ，),(44y x N ,联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134122y x ky x ，得096)43(22=--+ky y k ， 由韦达定理得436221+=+k k y y ，439221+-=k y y ，则431122221++=-k k y y ，联立方程组⎩⎨⎧-=-=xy ky x 412，得0442=-+ky y ，由韦达定理得k y y 443-=+，443-=y y ，所以14243+=-k y y ，若OMN OPQ S S ∆∆=21，则432121y y y y -=-，即1243112222+=++k k k ，解得36±=k ，所以存在符合题意的直线方程为0136=++y x 或0136=+-y x . 21.【解析】（1）已知()()(2)()(1)2(1)(1)(2)x x x xf x e ax x e a x e a x x e a '=-+--=---=--因为0a >，由()0f x '=得1x =或ln 2x a =. ① 当=2e a 时，()(1)()0xf x x e e '=--≥，()f x 单调递增，故()f x 无极值； ② 当02ea <<时，ln21a <，则所以：有极大值(ln 2)=(ln 22)f a a a --，极小值 ③2ea >时，ln21a >，则所以：有极大值，极小值(ln 2)=(ln 22)f a a a -- 综上所述：02e a <<时，()f x 有极大值2(ln 22)a a --，极小值a e -； =2ea 时，()f x 无极值；2e a >时，()f x 有极大值a e -，极小值2(ln 22)a a --； （2）令()()g x f x a e =-+，则(1)()0x g x -≥， 且()()(1)(2)xg x f x x e a ''==--①0a ≤时，20xe a ->，所以当1x <时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以()(1)0g x g >=，此时(1)()0x g x -<，不满足题意；③ 由于()g x 与()f x 由相同的单调性，由（1）知 a.当=2ea 时，()g x 在R 上单增，且(1)=0g ，所以1x ≥时，()0g x ≥，1x <时，()0g x <， 所以当=2ea 时，恒有(1)()0x g x -≥，满足题意； b.当02ea <<时，()g x 在(ln 2,1)a 上单减，所以(ln 2,1)x a ∈时，()(1)=0g x g >，此时 (1)()0x g x -<，不满足题意；c.当2ea >时，()g x 在(1,ln 2)a 递减，所以当(1,ln 2)x a ∈时，()(1)=0g x g <，此时 (1)()0x g x -<，不满足题意；综上：=2e a . 22.【解析】（1）曲线1C 的普通方程：22(2)4x y -+=，即22-40x y x +=.所以1C 的极坐标方程为24cos 0ρρθ-=，即=4cos ρθ.曲线3C 的直角坐标方程：(0)y x x =>，...........5分 （2）依题意，设点P 、Q 的极坐标分别为12(,),(,)66ππρρ.将=6πθ代入=4cos ρθ，得1ρ， 将=6πθ代入=2sin ρθ，得2=1ρ，所以121PQ ρρ=-=，依题意得，点1C 到曲线=6πθ的距离为1sin 16d OC π==.所以11111)222C PQ S PQ d ∆===g . ......10分 23. 【解析】（1）当=1m 时，()|1|21f x x x =++-，则-3(1)1()2-(1)213()2x x f x xx x x ⎧⎪<-⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩，由()3f x ≥解得1x ≤-或1x ≥，即原不等式的解集为(,1][1,)-∞-⋃+∞........5分（2）1()12f x x ≤+，即11+2-1122x m x x +≤+，又[,2]x m m ∈且14m <， 所以10,4m <<且0x > 所以11+121222m x x x ≤+--.即221m x x ≤+--. 令()221t x x x =+--，则131(0)2()13()2x x t x x x ⎧+<<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩，所以[,2]x m m ∈时，min ()()=31t x t m m =+， 所以31m m ≤+，解得12m ≥-， 所以实数m 的取值范围是1(0,)4. ......10分。
高三第一次五校联考理科数学试题.docx
2017届高三第一次五校联考理科数学试题命题：长治二中 晋城一中 康杰中学 临汾一中 忻州一中(考试时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合{}3,2,1,0,1,2--=A ,集合{}24x y x B -==,则B A I 等于A. []2,2-B. {}1,0,1-C. {}2,1,0,1,2--D.{}3,2,1,0 2.已知复数z 满足i z ii4311+=⋅-+，则z = A. 62 B. 7 C. 25 D. 5 3.下列命题正确的个数为①“R x ∈∀都有02≥x ”的否定是“R x ∈∃0使得020≤x ”; ②“3≠x ”是“3≠x ”成立的充分条件; ③命题“若21≤m ，则方程0222=++x mx 有实数根”的否命题 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4.某几何体的三视图如图所示，则该三视图的体积为 A.3π B. π34 C. 2π D. π38 5.函数xxy sin =的图象大致是 6.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入N=6时，输出的s= A. 62 B. 64 C. 126 D. 1247.已知双曲线E:12222=-b y a x 的右焦点为F ，圆C ：42222c y c x =+⎪⎭⎫ ⎝⎛-与双曲线的渐近线交于A ，B ，O 三点（O 为坐标原点）.若ABF ∆为等边 三角形，则双曲线E 的离心率为A. 3B. 2C. 5D. 38.向量,a b r r 满足a b a 32=+,且()0a b a -⋅=r r r ,则,a b r r的夹角的余弦值为正视图侧视图俯视图 第6题图A. 0B.13 C. 12D. 29.已知nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+31的展开式中没有常数项，则n 不能是 A. 5 B. 6 C. 7 D. 810.不透明的袋子内装有相同的五个小球，分别标有1-5五个编号，现有放回的随机摸取三次，则摸出的三个小球的编号乘积能被10整除的概率为 A.12542 B. 12518 C. 256 D. 12512 11.已知函数()⎪⎭⎫⎝⎛-=6sin πωx x f （ω> 0）,若()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=20πf f 且在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π上有且仅有三个零点，则ω= A.32 B. 2 C. 326 D. 31412.已知函数()()x x x x x f ++++=1lnsin 22，若不等式()()3393-⋅+-xxxm f f < 0对任意R ∈x 均成立，则m 的取值范围为A. ()132,-∞-B. ()132,+-∞-C. ()132,132-+-D. ()∞++-，132 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上) 13.抛物线()02≠=a axy 的准线方程为 .14.设函数()x f 是定义在R 上的奇函数，且对任意的()()x f x f R x 12,=+∈,当[)0,2-∈x 时，()2log (3)f x x =+，则())2015(2017f f -= .15.已知y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+02202202y x y x y x ，若02≥++k y x 恒成立，则实数k 的取值范围为 .16.已知ΔABC 是斜三角形，角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ,若21,cos 3sin ==c C a A c 且()A A B C 2sin 5sin sin =-+，则ΔABC 的面积为 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和n n a S -=1，其中*∈N n . （I ）求{}n a 的通项公式；（II ）若n n na b =，求{}n b 的前n 项和n S . 18. (本小题满分12分)如图，菱形ABCD 的中心为O,四边形ODEF 为矩形，平面ODEF ⊥平面ABCD ，DE=DA=DB=2（I ）若G 为DC 的中点，求证：EG//平面BCF;（II ）若HC DH 2=,求二面角O EH D --的余弦值. 19. (本小题满分12分)甲、乙两人组成“火星队”参加投篮游戏，每轮游戏中甲、乙各投一次，如果两人都投中，则“火星队”得4分；如果只有一人投中，则“火星队”得2分；如果两人都没投中，则“火星队”得0分.已知甲每次投中的概率为54，乙每次投中的概率为43；每轮游戏中甲、乙投中与否互不影响，假设“火星队”参加两轮游戏，求： （I ）“火星队”至少投中3个球的概率；（II ）“火星队”两轮游戏得分之和X 的分布列和数学期望EX.20. (本小题满分12分)已知椭圆C :()012222>>=+b a b y a x 的左焦点为F,⎪⎪⎭⎫⎝⎛221，A 为椭圆上一点,AF 交y 轴于点M,且M 为AF 的中点. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点A ，平行于OA 的直线交l 于P ,交椭圆C 于不同的两点D,E ，问是否存在常数λ，使得PE PD PA ⋅=λ2，若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由. 21. (本小题满分12分)已知函数x ax x x f 2ln )(2--=.（I ）若函数)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈241，x 内单调递减，求实数a 的取值范围； （II ）当41-=a 时，关于x 的方程b x x f +-=21)(在]4,1[上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围.请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.22. (本小题满分10分)如图，已知AB 为圆O 的直径，D C ,是GEODCB F圆O 上的两个点，C 是劣弧BD 的中点,AB CE ⊥于E ,BD 交AC 于G ，交CE 于F . （I ） 求证：FG CF =（II ）求证：CE AG AC DG ⋅=⋅.23. (本小题满分10分)在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为为参数）t t y t x (222221⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=， 以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θρsin 4=. （I ）写出直线l 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程； （II ）直线l 与曲线2C 交于B A 、两点，求AB . 24. (本小题满分10分)已知函数12)(-++=x x x f （I ）求不等式5)(>x f 的解集；（II ）若对于任意的实数x 恒有1)(-≥a x f 成立，求实数a 的取值范围.2017届高三第一次五校联考理科数学试题答案一、选择题 CDBAC ABBDA DA 二．填空题 13. ay 41-= 14.-2 15. 6≥k 16. 53417.（I ）当1=n 时,111a S -=,解得211=a .…………1分 当2≥n 时, n n n n n n n a a a a S S a -=---=-=---111)1()1(化简整理得)2(211≥=-n a a n n …………4分 因此，数列{}n a 是以21为首项，21为公比的等比数列. 从而，n n a )21(= .…………6分（II ）由（I ）可得，nn n S ⎪⎭⎫⎝⎛⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅=21214213212211432Λ1432212132122121+⎪⎭⎫⎝⎛⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n S Λ …………8分nn n n n n n S n S ⎪⎭⎫⎝⎛⋅-⎪⎭⎫⎝⎛-=∴⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⎪⎭⎫⎝⎛-=∴-++212122121212121111.…………12分18.解: (1) 证明：连接OE,OG,由条件G 为中点∴ OG//BC 又EF//OB EF=OB ∴四边形EFBO 为平行四边形 ∴ EO//FB 平面 EOG//平面FBC ∴ EG//平面BCF …………5分 (2) ABCD 为菱形，所以OB ⊥OC ，又平面ODEF ⊥平面ABCD ， 四边形ODEF 为矩形 所以OF ⊥平面ABCD 可建立如图的空间直角坐标系， ………6分设O （0，0，0），B （1，0，0），C （0，3，0），E(-1,0,2)F （0，0，2），H （31-，332，0）， D （-1，0，0），2((0,0,2)3DH DE ==u u u u r u u u r 设),,(111z y x =是面DEG 的一个法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00n DH 即⎪⎩⎪⎨⎧==+0033232111z y x ，取)0,1,3(-=n . …………8分同理取平面OEH 的一个法向量是)1,33,2(=, …………10分所以85131423332=++⋅-=, ∴二面角D —EH —O 的余弦值为85. …………12分19.解：（Ⅰ）设事件i A 为“甲第i 次投中”,事件i B 为“乙第i 次投中”由事件的独立性和互斥性)()()()()(321212121212121212121B B A A P B B A A P B B A A P B B A A P B B A A P P ++++=球）（至少投进5039)4341545443435451(243435454=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅= 答：“星队”至少投中3个球的概率为5039. （每一种情形给1分）………5分 （Ⅱ）X 的所有可能的取值为0，2,4，6，8， ……………6分400151415141)0(=⋅⋅⋅==X P , ,20074001451415441514151432)2(==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅==）（X P ,40073544154415143514351435441514154432)4(=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅==）（X P502140016854415443514354432)6(==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅==）（X P25940014454435443)8(==⋅⋅⋅==X P …………………………………………10分∴X 的分布列为…………11分5314001448400168640073440014240010=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=EX …………12分 20.解:（Ⅰ）设椭圆的右焦点是1F ， 在1AFF ∆中，1//AF OM ,1=∴c …………2分12222==∴=∴b a a b 所以椭圆的方程为1222=+y x …………4分 （Ⅱ）设直线DE 的方程为t x y +=22，解方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=122222y x t x y 消去y 得到01222=-++t tx x 若()()2211,,y x E y x D 则1,222121-=⋅-=+t x x t x x ，其中02-42>=∆t …………6分()21212212223))22(1(x x x x x x x x x x PE PD P P P P ++-=-⋅-+=⋅ 又直线l 的方程为1222=+y x ,直线DE 的方程为t x y +=22， …………8分 所以P 点坐标2222,222ty t x P P +=-=, 22222432222221222,43t t t AP t PE PD =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==⋅∴ 所以存在常数1=λ使得PD PE PA ⋅=λ2…………12分 21．解:（1）f '(x)=1x -2ax -2=-2ax 2-2x+1x……1分由题意0)(≤'x f 在x ∈[14,2]时恒成立,即21)11(2122--=-≥xx x a 在x ∈[14,2]时恒成立,即max 2]1)11[(2--≥xa ， ……4分当x=14时，1)11(2--x取最大值8，∴实数a 的取值范围是a ≥ 4. ……6分（2）当a= -14时,b x x f +-=21)(可变形为0ln 23412=-+-b x x x .令)0(ln 2341)(2>-+-=x b x x x x g ,则xx x x g 2)1)(2()(--='. ……8分 列表如下:∴22ln )2()(--==b g x g 极小值，4)1(--=b g ， ……10分 又22ln 2)4(--=b g ，∵方程0)(=x g 在]4,1[上恰有两个不相等的实数根，∴⎪⎩⎪⎨⎧≥<≥0)4(0)2(0)1(g g g ， ……11分得4522ln -≤<-b . ……12分 22.【解析】（I ）C Θ是劣弧BD 的中点 CAB DAC ∠=∠∴ 在AEC RT ADG RT ∆∆与中，ο90=∠=∠AEC ADBACE DGA ∠=∠∴,又CGF DGA ∠=∠,所以CGF ACE ∠=∠. 从而，在CGF ∆中，FG CF=. ……5分（II ）在AEC RT ADG RT ∆∆与中，,CAB DAC ∠=∠ 因此，ADG RT ∆∽AEC RT ∆，由此可得ACCEAG DG =,即CE AG AC DG ⋅=⋅……10分 23.【解析】（I ）直线l 的普通方程为01=+-y x ,曲线2C 的直角坐标方程为4)2(22=-+y x ; ……5分（II ）解法一、曲线2C ：4)2(22=-+y x 是以点（0,2）为圆心，2为半径的圆，圆心（0,2）到直线1=+-y x 的距离22=d ，则142142=-=AB . ……10分 解法二、由⎩⎨⎧=-+=+-040122y y x y x 可解得A,B 两点的坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++273,271,273,271，由两点间距离公式可得14=AB . 解法三、设B A 、两点所对应的参数分别为B A t t ,将为参数）t t y tx (222221⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+= 代入0422=-+y y x 并化简整理可得 0322=-+t t ，从而⎩⎨⎧-=-=+32B A BA t t t t 因此，144)(2=-+=B A B A t t t t AB .24.解析】（Ⅰ）不等式5)(>x f 即为512>-++x x ，等价于⎩⎨⎧>+----<5122x x x 或⎩⎨⎧>+-+≤≤-51212x x x 或⎩⎨⎧>-++>5121x x x ，解得23>-<x x 或. 因此，原不等式的解集为{}23>-<x x x 或. ……5分（Ⅱ）3)1()2(12)(=--+≥-++=x x x x x f要使1)(-≥a x f 对任意实数R x ∈成立，须使31≤-a ，解得42≤≤-a . ……10分。