天津市和平区2019-2020学年中考数学五模考试卷含解析

天津市和平区2019-2020学年中考数学五模考试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上位于AB 异侧的两点．下列四个角中，一定与∠ACD 互余的角是（ ）
A ．∠ADC
B ．∠ABD
C ．∠BAC
D ．∠BAD
2．等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是（ ）
A ．正比例函数
B ．一次函数
C ．反比例函数
D ．二次函数
3．已知点A （0，﹣4），B （8，0）和C （a ，﹣a ），若过点C 的圆的圆心是线段AB 的中点，则这个圆的半径的最小值是（ ）
A ．22
B ．2
C ．3
D ．2
4．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x 2－12x ＋35＝0的根，则该三角形的周长为（ ） A ．14 B ．12 C ．12或14 D ．以上都不对
5．如图，在△ABC 中，过点B 作PB ⊥BC 于B ，交AC 于P ，过点C 作CQ ⊥AB ，交AB 延长线于Q ，则△ABC 的高是（ ）
A ．线段P
B B ．线段B
C C ．线段CQ
D ．线段AQ
6．在0，﹣2，35 ）
A ．0
B ．﹣2
C ．3
D 57．在一张考卷上，小华写下如下结论，记正确的个数是m ，错误的个数是n ，你认为m n (-= ) ①有公共顶点且相等的两个角是对顶角 40.00041 4.110--=-⨯②
2525=③
④若12390∠∠∠++=o ，则它们互余
一点，且∠BAE=45°．若CD=4，则△ABE 的面积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．我市某小区开展了“节约用水为环保作贡献”的活动，为了解居民用水情况，在小区随机抽查了10户家庭的月用水量，结果如下表： 月用水量（吨） 8 9 10 户数 2 6 2
则关于这10户家庭的月用水量，下列说法错误的是（ ）
A ．方差是4
B ．极差是2
C ．平均数是9
D ．众数是9
10．能说明命题“对于任何实数a ，|a|＞﹣a”是假命题的一个反例可以是（ ）
A ．a ＝﹣2
B ．a ＝13
C ．a ＝1
D ．a ＝2
11．下列命题中假命题是（ ）
A ．正六边形的外角和等于
B ．位似图形必定相似
C ．样本方差越大，数据波动越小
D ．方程无实数根 12．如图，△ABC 纸片中，∠A ＝56,∠C ＝88°．沿过点B 的直线折叠这个三角形，使点C 落在AB 边上的点
E 处，折痕为BD ．则∠BDE 的度数为（ ）
A ．76°
B ．74°
C ．72°
D ．70°
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．如图，在梯形ABCD 中，//,2AD BC BC AD =，E 、F 分别是边AD BC 、的中点，设AD a,AB b ==u u u r r u u u r r u u r r r
14．如图，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上(与B、C不重合)，四边形ADEF为正方形，过点F 作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC=FG；②S△FAB：S
=1：2；③∠ABC=∠ABF；④AD2=FQ•AC，其中正确的结论的个数是______．
四边形CBFG
15．如图△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=30°，现将△ABC绕点A逆时针旋转30°得到△ACD，延长AD、BC交于点E，则DE的长是_____．
16．如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，M、N 两点关于对角线AC对称，若DM=1，则tan∠ADN= ．
17．一个圆的半径为2，弦长是23，求这条弦所对的圆周角是_____．
18．如图，已知CD是Rt△ABC的斜边上的高，其中AD=9cm，BD=4cm，那么CD等于_______cm.
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）小晗家客厅装有一种三位单极开关，分别控制着A(楼梯)、B(客厅)、C(走廊)三盏电灯，在正常情况下，小晗按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，既可三盏、两盏齐开，也可分别单盏开．因
加以说明．
20．（6分）瑞安市曹村镇“八百年灯会”成为温州“申遗”的宝贵项目．某公司生产了一种纪念花灯，每件纪念花灯制造成本为18元．设销售单价x（元），每日销售量y（件）每日的利润w（元）．在试销过程中，每日销售量y（件）、每日的利润w（元）与销售单价x（元）之间存在一定的关系，其几组对应量如下表所示：
（元）19 20 21 30
（件）62 60 58 40
（1）根据表中数据的规律，分别写出毎日销售量y（件），每日的利润w（元）关于销售单价x（元）之间的函数表达式．（利润＝（销售单价﹣成本单价）×销售件数）．当销售单价为多少元时，公司每日能够获得最大利润？最大利润是多少？根据物价局规定，这种纪念品的销售单价不得高于32元，如果公司要获得每日不低于350元的利润，那么制造这种纪念花灯每日的最低制造成本需要多少元？
21．（6分）车辆经过润扬大桥收费站时，4个收费通道A．B、C、D中，可随机选择其中的一个通过．一辆车经过此收费站时，选择A通道通过的概率是；求两辆车经过此收费站时，选择不同通道通过的概率．
22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，点E是AC的中点，过点A作⊙O的切线交BD 的延长线于点F．连接AE并延长交BF于点C．
（1）求证：AB=BC；
（2）如果AB=5，tan∠FAC=1
2
，求FC的长．
23．（8分）如图，四边形AOBC是正方形，点C的坐标是（20）．正方形AOBC的边长为，点A的坐标是．将正方形AOBC绕点O顺时针旋转45°，点A，B，C旋转后的对应点为A′，B′，C′，求点A′的坐标及旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积；动点P从点O出发，沿折线OACB
（直接写出结果即可）．
24．（10分）一天，小华和小夏玩掷骰子游戏，他们约定：他们用同一枚质地均匀的骰子各掷一次，如果两次掷的骰子的点数相同则小华获胜：如果两次掷的骰子的点数的和是6则小夏获胜．
（1）请您列表或画树状图列举出所有可能出现的结果；
（2）请你判断这个游戏对他们是否公平并说明理由．
25．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB═2，AD=3，P是BC边上的一点，且BP=2CP．
（1）用尺规在图①中作出CD边上的中点E，连接AE、BE（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）如图②，在（1）的条体下，判断EB是否平分∠AEC，并说明理由；
（3）如图③，在（2）的条件下，连接EP并廷长交AB的廷长线于点F，连接AP，不添加辅助线，△PFB 能否由都经过P点的两次变换与△PAE组成一个等腰三角形？如果能，说明理由，并写出两种方法（指出对称轴、旋转中心、旋转方向和平移距离）
26．（12分）化简，再求值：
2
22
x-3231
,21
1
121
x x
x
x
x x x
--
÷+=+
-
-++
27．（12分）如图，以O为圆心，4为半径的圆与x轴交于点A，C在⊙O上，∠OAC=60°．
（1）求∠AOC的度数；
（2）P为x轴正半轴上一点，且PA=OA，连接PC，试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）有一动点M从A点出发，在⊙O上按顺时针方向运动一周，当S△MAO=S△CAO时，求动点M所经过的弧长，并写出此时M点的坐标．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．D
【解析】
【详解】
∵∠ACD对的弧是»AD，»AD对的另一个圆周角是∠ABD，
∴∠ABD=∠ACD（同圆中，同弧所对的圆周角相等），
又∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD+∠BAD=90°，
即∠ACD+∠BAD=90°，
∴与∠ACD互余的角是∠BAD.
故选D.
2．B
【解析】
【分析】
根据一次函数的定义，可得答案．
【详解】
设等腰三角形的底角为y，顶角为x，由题意，得
x+2y=180，
所以，y=﹣1
2
x+90°，即等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是一次函数关系，
本题考查了实际问题与一次函数，根据题意正确列出函数关系式是解题的关键.
3．B
【解析】
【分析】
首先求得AB 的中点D 的坐标，然后求得经过点D 且垂直于直线y=-x 的直线的解析式，然后求得与y=-x 的交点坐标，再求得交点与D 之间的距离即可．
【详解】
AB 的中点D 的坐标是（4，-2），
∵C （a ，-a ）在一次函数y=-x 上，
∴设过D 且与直线y=-x 垂直的直线的解析式是y=x+b ，
把（4，-2）代入解析式得：4+b=-2，
解得：b=-1，
则函数解析式是y=x-1．
根据题意得：6{y x y x
--＝＝， 解得：3{3
x y ＝＝-， 则交点的坐标是（3，-3）．
．
故选：B
【点睛】
本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及两直线垂直的条件，正确理解C （a ，-a ），一定在直线y=-x 上，是关键．
4．B
【解析】
【详解】
解方程212350x x -+=得：x=5或x=1．
当x=1时，3+4=1，不能组成三角形；
当x=5时，3+4＞5，三边能够组成三角形．
∴该三角形的周长为3+4+5=12，
故选B ．
【分析】
根据三角形高线的定义即可解题.
【详解】
解：当AB 为△ABC 的底时，过点C 向AB 所在直线作垂线段即为高,故CQ 是△ABC 的高,
故选C.
【点睛】
本题考查了三角形高线的定义,属于简单题,熟悉高线的作法是解题关键.
6．B
【解析】
【分析】
根据实数比较大小的法则进行比较即可．
【详解】
∵在这四个数中3＞0，0，-2＜0，
∴-2最小．
故选B ．
【点睛】
本题考查的是实数的大小比较，即正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
7．D
【解析】
【分析】
首先判断出四个结论的错误个数和正确个数，进而可得m 、n 的值，再计算出m n -即可．
【详解】
解：①有公共顶点且相等的两个角是对顶角，错误；
40.00041 4.110--=-⨯②，正确；
=
④若12390∠∠∠++=o ，则它们互余，错误；
则m 1=，n 3=，
m 1n 3
-=，
此题主要考查了二次根式的乘除、对顶角、科学记数法、余角和负整数指数幂，关键是正确确定m、n的值．
8．D
【解析】解：如图取CD的中点F，连接BF延长BF交AD的延长线于G，作FH⊥AB于H，EK⊥AB 于K．作BT⊥AD于T．∵BC∥AG，∴∠BCF=∠FDG，∵∠BFC=∠DFG，FC=DF，∴△BCF≌△GDF，∴BC=DG，BF=FG，∵AB=BC+AD，AG=AD+DG=AD+BC，∴AB=AG，∵BF=FG，∴BF⊥BG，
∠ABF=∠G=∠CBF，∵FH⊥BA，FC⊥BC，∴FH=FC，易证△FBC≌△FBH，△FAH≌△FAD，∴BC=BH，AD=AB，由题意AD=DC=4，设BC=TD=BH=x，在Rt△ABT中，∵AB2=BT2+AT2，∴（x+4）2=42+（4﹣x）2，∴x=1，∴BC=BH=TD=1，AB=5，设AK=EK=y，DE=z，∵AE2=AK2+EK2=AD2+DE2，
BE2=BK2+KE2=BC2+EC2，∴42+z2=y2①，（5﹣y）2+y2=12+（4﹣z）2②，由①②可得y=，∴S△ABE=×5×=，故选D．
点睛：本题考查直角梯形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理、勾股定理、二元二次方程组等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考压轴题．9．A
【解析】
分析：根据极差=最大值-最小值；平均数指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；一组数据中出
现次数最多的数据叫做众数，以及方差公式S2=1
n
[（x1-x）2+（x2-x）2+…+（x n-x）2]，分别进行计
算可得答案．
详解：极差：10-8=2，
平均数：（8×2+9×6+10×2）÷10=9，众数为9，
方差：S2=
1
10
[（8-9）2×2+（9-9）2×6+（10-9）2×2]=0.4，
故选A．
点睛：此题主要考查了极差、众数、平均数、方差，关键是掌握各知识点的计算方法．
【分析】
将各选项中所给a 的值代入命题“对于任意实数a ，a a >- ”中验证即可作出判断.
【详解】
（1）当2a =-时，22?(2)2a a =-=-=--=，，此时a a =-， ∴当2a =-时，能说明命题“对于任意实数a ，a a >- ”是假命题，故可以选A ；
（2）当13a =时，11 33a a =-=-，，此时a a >-， ∴当13
a =时，不能说明命题“对于任意实数a ，a a >- ”是假命题，故不能B ； （3）当1a =时，1
?1a a =-=-，，此时a a >-， ∴当1a =时，不能说明命题“对于任意实数a ，a a >- ”是假命题，故不能C ；
（4）当a =?a a =-=a a >-，
∴当a =
“对于任意实数a ，a a >- ”是假命题，故不能D ； 故选A.
【点睛】
熟知“通过举反例说明一个命题是假命题的方法和求一个数的绝对值及相反数的方法”是解答本题的关键. 11．C
【解析】
试题解析：A 、正六边形的外角和等于360°，是真命题；
B 、位似图形必定相似，是真命题；
C 、样本方差越大，数据波动越小，是假命题；
D 、方程x 2+x+1=0无实数根，是真命题；
故选：C ．
考点：命题与定理．
12．B
【解析】
【分析】
直接利用三角形内角和定理得出∠ABC 的度数，再利用翻折变换的性质得出∠BDE 的度数．
【详解】
解：∵∠A=56°，∠C=88°，
∴∠CBD=∠DBE=18°，∠C=∠DEB=88°， ∴∠BDE=180°-18°-88°=74°． 故选：B ． 【点睛】
此题主要考查了三角形内角和定理，正确掌握三角形内角和定理是解题关键． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．1b a 2
+r r ．
【解析】 【分析】
作AH ∥EF 交BC 于H ，首先证明四边形EFHA 是平行四边形，再利用三角形法则计算即可． 【详解】
作AH ∥EF 交BC 于H ．
∵AE ∥FH ，∴四边形EFHA 是平行四边形，∴AE=HF ，AH=EF ．
∵AE=ED=HF ，∴12
HF a =u u u v r
．
∵BC=2AD ，∴BC =u u u r 2a r
．
∵BF=FC ，∴BF a =u u u r r
，∴12
BH a =u u u v r ．
∵12
EF AH AB BH b a ==+=+r u u u v u u u v u u u v u u u v r ．
故答案为：12
b a r r +．
【点睛】
本题考查了平面向量，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题型． 14．①②③④ ． 【解析】 【分析】
由正方形的性质得出∠FAD ＝90°，AD ＝AF ＝EF ，证出∠CAD ＝∠AFG ，由AAS 证明△FGA ≌△ACD ，得出AC ＝FG ，①正确；
证明四边形CBFG 是矩形，得出S △FAB ＝
12FB•FG ＝1
2
S 四边形CBFG ，②正确； 由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出∠ABC ＝∠ABF ＝45°，③正确； 证出△ACD ∽△FEQ ，得出对应边成比例，得出④正确．
【详解】
解：∵四边形ADEF 为正方形， ∴∠FAD ＝90°，AD ＝AF ＝EF ， ∴∠CAD ＋∠FAG ＝90°， ∵FG ⊥CA ，
∴∠GAF ＋∠AFG ＝90°， ∴∠CAD ＝∠AFG ， 在△FGA 和△ACD 中，
G C AFG CAD AF AD ＝＝＝∠∠⎧⎪
∠∠⎨⎪⎩
， ∴△FGA ≌△ACD （AAS ）， ∴AC ＝FG ，①正确； ∵BC ＝AC ， ∴FG ＝BC ，
∵∠ACB ＝90°，FG ⊥CA ， ∴FG ∥BC ，
∴四边形CBFG 是矩形， ∴∠CBF ＝90°，S △FAB ＝
12FB•FG ＝1
2
S 四边形CBFG ，②正确； ∵CA ＝CB ，∠C ＝∠CBF ＝90°， ∴∠ABC ＝∠ABF ＝45°，③正确；
∵∠FQE ＝∠DQB ＝∠ADC ，∠E ＝∠C ＝90°， ∴△ACD ∽△FEQ ， ∴AC ：AD ＝FE ：FQ ，
∴AD•FE ＝AD 2＝FQ•AC ，④正确； 故答案为①②③④． 【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键． 15
．4 【解析】 【分析】
过点C 作CH AE ⊥于H ，根据三角形的性质及三角形内角和定理可计算ACB 75∠=︒
再由旋转可得，CAD BAC 30∠∠==︒，根据三角形外角和性质计算E 45∠=︒，根据含30︒角的直角三角形的三边关系得CH 和AH 的长度，进而得到DH 的长度，然后利用E 45∠=︒得到EH 与CH 的长度，于是可得DE EH DH =-. 【详解】
如图，过点C 作CH AE ⊥于H ， ∵AB AC 8==， ∴()()11
B ACB 180BA
C 180307522
∠∠∠==
︒=︒︒=︒﹣﹣． ∵将ABC V 绕点A 逆时针旋转，使点B 落在点C 处，此时点C 落在点D 处， ∴AD AB 8==， CAD BAC 30，∠∠==︒ ∵ACB CAD E ，∠∠∠=+ ∴E 753045．∠=︒-︒=︒ 在Rt ACH V 中，∵CAH 30∠=︒， ∴1
CH AC 42
=
=， AH 3CH 43==， ∴DH AD AH 843=-=-， 在Rt CEH V 中，∵E 45∠=︒， ∴EH CH 4==，
∴()
DE EH DH 4843434=-=--=-． 故答案为434-．
【点睛】
本题考查三角形性质的综合应用，要熟练掌握等腰三角形的性质，含30︒角的直角三角形的三边关系，旋转图形的性质． 16．
4
3
【解析】 【分析】
M 、N 两点关于对角线AC 对称，所以CM=CN ，进而求出CN 的长度．再利用∠ADN=∠DNC 即可求得tan ∠ADN ． 【详解】
解：在正方形ABCD 中，BC=CD=1．
∴CM=2，
∵M 、N 两点关于对角线AC 对称， ∴CN=CM=2． ∵AD ∥BC ， ∴∠ADN=∠DNC ，
4
tan 3DC DNC NC ∠=
=Q 4
tan 3ADN ∴∠=
故答案为4
3
【点睛】
本题综合考查了正方形的性质，轴对称的性质以及锐角三角函数的定义． 17．60°或120° 【解析】 【分析】
首先根据题意画出图形,过点O 作OD ⊥AB 于点D, 通过垂径定理, 即可推出∠AOD 的度数, 求得∠AOB 的度数, 然后根据圆周角定理,即可推出∠AMB 和∠ANB 的度数. 【详解】
解：如图：
连接OA,过点O 作OD ⊥AB 于点D,
Q OA=2,AB=323∴3:2,
∴∠AOD=60o ,∠ ∴AOB=120o , ∴∠AMB=60o ,∴∠ANB=120o .
故答案为: 60o 或120o . 【点睛】
本题主要考查垂径定理与圆周角定理，注意弦所对的圆周角有两个，他们互为补角. 18．1 【解析】
利用△ACD∽△CBD，对应线段成比例就可以求出．【详解】
∵CD⊥AB，∠ACB=90°，
∴△ACD∽△CBD，
∴CD BD AD CD
=，
∴
4
9
CD
CD
=，
∴CD=1．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是关键．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（1）1
3
；（2）
1
3
.
【解析】
试题分析：(1)、3个等只有一个控制楼梯，则概率就是1÷3；(2)、根据题意画出树状图，然后根据概率的计算法则得出概率.
试题解析：(1)、小晗任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是：1 3
(2)、画树状图得：
结果：（A，B）、（A，C）、（B，A）、（B，C）、（C，A）、（C，B）
∵共有6种等可能的结果，正好客厅灯和走廊灯同时亮的有2种情况，
∴正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是2
6
=
1
3
.
考点：概率的计算.
20．（1）y＝﹣2x+100，w＝﹣2x2+136x﹣1800；（2）当销售单价为34元时，每日能获得最大利润，最大利润是1元；（3）制造这种纪念花灯每日的最低制造成本需要648元．
【解析】
【分析】
（1）观察表中数据，发现y与x之间存在一次函数关系，设y＝kx+b．列方程组得到y关于x的函数表达式y＝﹣2x+100，根据题意得到w＝﹣2x2+136x﹣1800；
（2）把w＝﹣2x2+136x﹣1800配方得到w＝﹣2（x﹣34）2+1．根据二次函数的性质即可得到结论；
（3）根据题意列方程即可得到即可．
【详解】
解：（1）观察表中数据，发现y与x之间存在一次函数关系，设y＝kx+b．
则
6219
6020
k b
k b
=+
⎧
⎨
=+
⎩
，解得
k2
b100
=-
⎧
⎨
=
⎩
，
∴y＝﹣2x+100，
∴y关于x的函数表达式y＝﹣2x+100，
∴w＝（x﹣18）•y＝（x﹣18）（﹣2x+100）∴w＝﹣2x2+136x﹣1800；（2）∵w＝﹣2x2+136x﹣1800＝﹣2（x﹣34）2+1．
∴当销售单价为34元时，
∴每日能获得最大利润1元；
（3）当w＝350时，350＝﹣2x2+136x﹣1800，
解得x＝25或43，
由题意可得25≤x≤32，
则当x＝32时，18（﹣2x+100）＝648，
∴制造这种纪念花灯每日的最低制造成本需要648元．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用，根据已知得出函数关系式．
21．（1）1
4
；（2）
3
4
．
【解析】
试题分析：（1）根据概率公式即可得到结论；（2）画出树状图即可得到结论．
试题解析：（1）选择A通道通过的概率=1
4
，
故答案为1
4
；
（2）设两辆车为甲，乙，如图，两辆车经过此收费站时，会有16种可能的结果，其中选择不同通道通过
的有12种结果，∴选择不同通道通过的概率=12
16
=
3
4
．
22．(1)见解析;(2)10 3
.
【解析】
分析：（1）由AB是直径可得BE⊥AC，点E为AC的中点，可知BE垂直平分线段AC，从而结论可证；（2）由∠FAC+∠CAB=90°，∠CAB+∠ABE=90°，可得∠FAC=∠ABE，从而可设AE=x，BE=2x，由勾股定理求出AE、BE、AC的长. 作CH⊥AF于H，可证Rt△ACH∽Rt△BAC，列比例式求出HC、AH 的值，再根据平行线分线段成比例求出FH，然后利用勾股定理求出FC的值.
详解：（1）证明：连接BE.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴BE⊥AC，
而点E为AC的中点，
∴BE垂直平分AC，
∴BA=BC；
（2）解：∵AF为切线，
∴AF⊥AB，
∵∠FAC+∠CAB=90°，∠CAB+∠ABE=90°，
∴∠FAC=∠ABE，
∴tan∠ABE=∠FAC=，
在Rt△ABE中，tan∠ABE==，
设AE=x，则BE=2x，
∴AB=x，即x=5，解得x=，
∴AC=2AE=2，BE=2
作CH⊥AF于H，如图，
∵∠HAC=∠ABE，
∴Rt△ACH∽Rt△BAC，
∴==，即==，
∴HC=2，AH=4，
∵HC∥AB，
∴=，即=，解得FH=
在Rt△FHC中，FC==．
点睛：本题考查了圆周角定理的推论，线段垂直平分线的判定与性质，切线的性质，勾股定理，相似三角
形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，锐角三角函数等知识点及见比设参的数学思想，得到BE垂
直平分AC是解（1）的关键，得到Rt△ACH∽Rt△BAC是解（2）的关键.
23．（1）4，(22,22；（2）旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积为16216-；（3）83t=. 【解析】
【分析】
（1）连接AB，根据△OCA为等腰三角形可得AD=OD的长，从而得出点A的坐标，则得出正方形AOBC
的面积；
（2）根据旋转的性质可得OA′的长，从而得出A′C，A′E，再求出面积即可；
（3）根据P、Q点在不同的线段上运动情况，可分为三种列式①当点P、Q分别在OA、OB时，②当点
P在OA上，点Q在BC上时，③当点P、Q在AC上时，可方程得出t．
【详解】
解：（1）连接AB，与OC交于点D，
四边形AOBC是正方形，
∴△OCA为等腰Rt△，
∴AD=OD=1
2
2
∴点A的坐标为(22,22.
4，(22,22. （2）如图
∵ 四边形AOBC 是正方形， ∴ AOB 90∠=o ，AOC 45∠=o .
∵ 将正方形AOBC 绕点O 顺时针旋转45o ， ∴ 点A '落在x 轴上. ∴OA OA 4'==. ∴ 点A '的坐标为()4,0. ∵ OC 42=
∴ A C OC OA 424=-=''. ∵ 四边形OACB ，OA C B '''是正方形， ∴ OA C 90∠''=o ，ACB 90∠=o . ∴ CA E 90∠'=o ，OCB 45∠=o . ∴ A EC OCB 45o ∠∠=='. ∴ A E A C 424==''.
∵2ΔOBC AOBC 11
S S 4822
==⨯=正方形， ()
2ΔA EC
11
S A C A E 4242416222
'=⋅==-'' ∴ΔOBC ΔA EC OA EB
S S S ''=-=四边形 (82416216216--=. ∴旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积为16216. （3）设t 秒后两点相遇，3t=16，∴t=16
3
①当点P 、Q 分别在OA 、OB 时， ∵POQ 90∠=o ,OP=t ，OQ=2t
∴ΔOPQ不能为等腰三角形
②当点P在OA上，点Q在BC上时如图2，
当OQ=QP，QM为OP的垂直平分线，
OP=2OM=2BQ，OP=t，BQ=2t-4，
t=2（2t-4），
解得：t=8
3
．
③当点P、Q在AC上时，ΔOPQ不能为等腰三角形
综上所述，当
8
t
3
时ΔOPQ是等腰三角形
【点睛】
此题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定以及旋转的性质，是中考压轴题，综合性较强，难度较大．24．（1）36（2）不公平
【解析】
【分析】
（1）根据题意列表即可；
（2）根据根据表格可以求得得分情况，比较其大小，即可得出结论．
【详解】
（1）列表得：
（1，6）（2，6）（3，6）（4，6）（5，6）（6，6）（1，5）（2，5）（3，5）（4，5）（5，5）（6，5）（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）（5，4）（6，4）（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）（5，3）（6，3）（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）（5，2）（6，2）（1，1）（2，1）（3，1）（4，1）（5，1）（6，1）
∴一共有36种等可能的结果，
（2）这个游戏对他们不公平，
理由：由上表可知，所有可能的结果有36种，并且它们出现的可能性相等，
而P（两次掷的骰子的点数相同）
61
. 366 ==
P（两次掷的骰子的点数的和是6）=5
. 36
∴不公平．
【点睛】
本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等
就公平，否则就不公平．
25．（1）作图见解析；（2）EB是平分∠AEC，理由见解析；（3）△PFB能由都经过P点的两次变换与△PAE组成一个等腰三角形，变换的方法为：将△BPF绕点B顺时针旋转120°和△EPA重合，①沿PF 折叠，②沿AE折叠．
【解析】
【分析】（1）根据作线段的垂直平分线的方法作图即可得出结论；
（2）先求出DE=CE=1，进而判断出△ADE≌△BCE，得出∠AED=∠BEC，再用锐角三角函数求出∠AED，即可得出结论；
（3）先判断出△AEP≌△FBP，即可得出结论．
【详解】（1）依题意作出图形如图①所示；
（2）EB是平分∠AEC，理由：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=90°，CD=AB=2，3
∵点E是CD的中点，
∴DE=CE=1
2
CD=1，
在△ADE 和△BCE 中，90AD BC C D DE CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
，
∴△ADE ≌△BCE ，
∴∠AED=∠BEC ，
在Rt △ADE 中，AD=3，DE=1，
∴tan ∠AED=AD DE =3， ∴∠AED=60°，
∴∠BCE=∠AED=60°，
∴∠AEB=180°﹣∠AED ﹣∠BEC=60°=∠BEC ， ∴BE 平分∠AEC ；
（3）∵BP=2CP ，BC=3=，
∴CP=33
，23， 在Rt △CEP 中，tan ∠CEP=
CP CE =33， ∴∠CEP=30°，
∴∠BEP=30°，
∴∠AEP=90°，
∵CD ∥AB ，
∴∠F=∠CEP=30°，
在Rt △ABP 中，tan ∠BAP=
BP AB 3 ∴∠PAB=30°， ∴∠EAP=30°=∠F=∠PAB ，
∵CB ⊥AF ，
∴AP=FP ，
∴△AEP ≌△FBP ，
∴△PFB 能由都经过P 点的两次变换与△PAE 组成一个等腰三角形，
变换的方法为：将△BPF 绕点B 顺时针旋转120°和△EPA 重合，①沿PF 折叠，②沿AE 折叠．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，图形的变换等，熟练掌握和灵活应用相关的性质与定理、判断出△AEP ≌△△FBP 是解本题的关键．
26
【解析】
试题分析：把分式化简，然后把x的值代入化简后的式子求值就可以了．
试题解析：原式=
2
3(1)1 (1)(1)(1)(3)1
x x
x x x x x
-+
⨯+
+-+--
=
2
1 x-
当1
x=时，原式
=.
考点：1.二次根式的化简求值；2.分式的化简求值．
27．（1）60°；（2）见解析；（3）对应的M点坐标分别为：M1（2，﹣、M2（﹣2，﹣、M3
（﹣2，）、M4（2，．
【解析】
【分析】
（1）由于∠OAC=60°，易证得△OAC是等边三角形，即可得∠AOC=60°．
（2）由（1）的结论知：OA=AC，因此OA=AC=AP，即OP边上的中线等于OP的一半，由此可证得△OCP 是直角三角形，且∠OCP=90°，由此可判断出PC与⊙O的位置关系．
（3）此题应考虑多种情况，若△MAO、△OAC的面积相等，那么它们的高必相等，因此有四个符合条件的M点，即：C点以及C点关于x轴、y轴、原点的对称点，可据此进行求解．
【详解】
（1）∵OA=OC，∠OAC=60°，
∴△OAC是等边三角形，
故∠AOC=60°．
（2）由（1）知：AC=OA，已知PA=OA，即OA=PA=AC；
∴AC=1
2
OP，因此△OCP是直角三角形，且∠OCP=90°，
而OC是⊙O的半径，
故PC与⊙O的位置关系是相切．（3）如图；有三种情况：
①取C点关于x轴的对称点，则此点符合M点的要求，此时M点的坐标为：M1（2，﹣3；
劣弧MA的长为：6044 1803
ππ
⨯
=；
②取C点关于原点的对称点，此点也符合M点的要求，此时M点的坐标为：M2（﹣2，﹣3）；
劣弧MA的长为：12048 1803
ππ
⨯
=；
③取C点关于y轴的对称点，此点也符合M点的要求，此时M点的坐标为：M3（﹣2，3；
优弧MA的长为：240416 1803
ππ
⨯
=；
④当C、M重合时，C点符合M点的要求，此时M4（2，3；
优弧MA的长为：300420 1803
ππ
⨯
=；
综上可知：当S△MAO=S△CAO时，动点M所经过的弧长为481620
,,,
3333
ππππ
对应的M点坐标分别为：
M1（2，﹣3、M2（﹣2，﹣3）、M3（﹣2，3）、M4（2，3．
【点睛】
本题考查了切线的判定以及弧长的计算方法，注意分类讨论思想的运用，不要漏解．。