2020年浙江省绍兴市东和中学高三数学文月考试题含解析

2020年浙江省绍兴市东和中学高三数学文月考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数有两个极值点，则直线
的斜率的取值范围是
A. B. C. D.
参考答案：
A
2. 已知函数，若对任意的，关于的方程都有3个不同的根，则等于（）
A．1 B．2 C．3 D．4
参考答案：
C
3. 对于实数，符号[]表示不超过的最大整数，例如，定义函数
，则下列命题中正确的是（）
A．函数的最大值为1 B．函数有且仅有一个零点
C．函数是周期函数 D．函数是增函数
参考答案：
答案：C
4. 已知x，y满足条件则z=的最大值
A.3
B.
C.
D.-
参考答案：
A
略
5. 已知,，则等于
A. B.｛2｝ C. D.
参考答案：
D
因为，，所以，选D.
6. 设球的半径为时间t的函数。

若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径
( )
A．成正比，比例系数为C B．成正比，比例系数为2C
C．成反比，比例系数为C D．成反比，比例系数为2C
参考答案：
D
7. 观察下列事实|x|+|y|=1的不同整数解（x,y）的个数为4 ， |x|+|y|=2的不同整数解（x,y）的个数为8， |x|+|y|=3的不同整数解（x,y）的个数为12 ….则|x|+|y|=20的不同整数解（x，y）的个数为
A.76
B.80
C.86
D.92
参考答案：
B
个数为首项为4，公差为4的等差数列，所以，，选B.
8. 曲线y=（）x在x=0点处的切线方程是（）
A．x+yln 2﹣ln 2=0 B．x﹣y+1=0
C．xln 2+y﹣1=0 D．x+y﹣1=0参考答案：
C
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】求出函数的导数，计算x=0时，y以及y′的值，代入切线方程即可．
【解答】解：y=（）x，y′=ln，
故x=0时，y=1，y′=﹣ln2，
故切线方程是：y﹣1=﹣ln2（x﹣0），
即xln2+y﹣1=0，
故选：C．
9. 已知a∈R，则“a＜0”是“|x|+|x+1|＞a恒成立”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
A
【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】|x|+|x+1|≥|x﹣（x+1）|=1，|x|+|x+1|＞a恒成立，可得a＜1．即可得出．
【解答】解：∵|x|+|x+1|≥|x﹣（x+1）|=1，|x|+|x+1|＞a恒成立，
∴a＜1．
∴“a＜0”是“|x|+|x+1|＞a恒成立”的充分不必要条件．
故选：A．
10. 某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的概率为（）A． B． C． D．1
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 参数方程和极坐标）已知曲线C的极坐标方程为=6 sin ，以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），求直线l被曲线C截得的线段长度
．
参考答案：
12. 在极坐标系中，曲线的方程是，过点作曲线的切线，则切线长为 ;
参考答案：
13. 曲线在点(1,0)处的切线的方程为__________．
参考答案：
【分析】
对求导，带入得到斜率，通过点斜式得到切线方程，再整理成一般式得到答案.
【详解】
带入得切线的斜率，
切线方程，整理得
【点睛】本题考查导数的几何意义，通过求导求出切线的斜率，再由斜率和切点写出切线方程.难度不大，属于简单题.
14. 已知点（x，y）满足约束条件，则的取值范围为．
参考答案：
[﹣，]
【考点】简单线性规划．
【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合z=的几何意义求出其范围即可．
【解答】解：不等式组表示的可行域如图：z=的几何意义是可行域内的点与（﹣3，0）连线的斜
率：结合图形可知在A 处取得最大值，在B 处取得最小值，由：解得A （2，4），
z=
的最大值为：；
由解得B （﹣1，﹣3），z=的最小值为：﹣．
则
的取值范围为[﹣，]．
故答案为：[﹣，]．
【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，判断目标函数的几何意义是解题的关键，是一道中档题．
15.
______（化到最简）
参考答案：
2
16. 在△ABC 中，
，
，
，则
______．
参考答案：
∵
，
，
，∴由正弦定理可得
，
∴
．故答案为
．
17. 在平面直角坐标系中
中，直线
是曲线
的切线，则当
时，实数的
最小值是
参考答案：
设切点为(
,，则上此点处的切线为，故
在上单调递减，在上单调递增.
的最小值为
.
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分） 已知函数．
（1）当a=1时，求
的单调区间；
（2）若函数内恒成立，求实数a 的取值范围。

参考答案：
（Ⅰ）
单调递减,
单调递增；（Ⅱ）
；
19. 已知一家公司生产某种产品的年固定成本为10万元，每生产1千件该产品需另投入2.7万元，设该公司一年内生产该产品千件并全部销售完，每千件的销售收入为
万元,且
.
写出年利润W(万元)关于年产量(千件)的函数解析式；
年产量为多少千件时，该公司在这一产品的产销过程中所获得的年利润最大？
参考答案：
略
20. 如图所示，直角梯形ACDE与等腰直角△ABC所在平面互相垂直，F为BC的中点，
，AE∥CD，DC=AC=2AE=2.
（Ⅰ）求证：平面BCD平面ABC
（Ⅱ）求证：AF∥平面BDE；
（Ⅲ）求四面体B-CDE的体积.参考答案：
解：（Ⅰ）∵面ABC面ACDE，面ABC面ACDE=AC，CD AC，∴DC面ABC，…………………………………2分
又∵DC面BCD，∴平面BCD平面ABC. ……………4分
（Ⅱ）取BD的中点P，连结EP、FP，则PF DC,
又∵EA DC，∴EA PF，…………………6分
∴四边形AFPE是平行四边形，∴AF∥EP，
又∵EP面BDE，∴AF∥面BDE.…………………8分
（Ⅲ）∵BA AC，面ABC面ACDE=AC，∴BA面ACDE.
∴BA就是四面体B-CDE的高，且BA=2. ……………10分
∵DC=AC=2AE=2，AE∥CD，
∴
∴∴………………12分
21. （本小题满分12分）
已知函数．
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）若将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值．
参考答案：
解析：（Ⅰ）…………………2分
．……………………………4分
所以的最小正周期为．………………………………………6分（Ⅱ）将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，
．…………………8分
时，，…………………………………………………9分当，即时，，取得最大值2．…………10分
当，即时，，取得最小值．………12分
22. 已知f（x）=x2﹣ax+lnx，a∈R．
（1）当a=3时，求函数f（x）的极小值；
（2）令g（x）=x2﹣f（x），是否存在实数a，当x∈[1，e]（e是自然对数的底数）时，函数g （x）取得最小值为1．若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．参考答案：
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）求出函数g（x）的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调性，从而确定a的范围即可．【解答】解：（1）由题可知，f（x）=x2﹣3x+lnx，所以…
令f'（x）=0，得或x=1…
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜，或x＞1，
令f′（x）＜0，解得：＜x＜1，
所以f（x）在，（1，+∞）单调递增，在上单调递减…
所以f（x）的极小值是f（1）=﹣2…
（2）由题知，g（x）=ax﹣lnx，所以…
①当a≤0时，g（x）在[1，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae﹣1=1，
解得：（舍去）…
②当时，g（x）在[1，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae﹣1=1，
解得：（舍去）…
③当时，g（x）在上单调递减，在上单调递增，
，
解得：a=1（舍去）…
④当a≥1时，g（x）在[1，e]上单调递增，g（x）min=g（1）=a=1，
解得：a=1…
综合所述：当a=1时，g（x）在[1，e]上有最小值1．…。