甘肃省嘉峪关市2019-2020学年高考数学三模试卷含解析

甘肃省嘉峪关市2019-2020学年高考数学三模试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若(,)DE AB AD R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v
，
则λμ+等于（ ）．
A ．1
2
-
B ．
12
C ．1
D ．1-
【答案】A 【解析】 【分析】
由平面向量基本定理，化简得13DE AB AD 44u u u v u u u v u u u v =-，所以13
λ,μ44
==-，即可求解，得到答案．
【详解】
由平面向量基本定理，化简()
11DE DA AE DA AC AD AB AD 44
=+=+=-+
+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
13AB AD 44=-u u u v u u u v ，所以13λ,μ44==-，即1λμ2
+=-， 故选A ．
【点睛】
本题主要考查了平面向量基本定理的应用，其中解答熟记平面向量的基本定理，化简得到
13DE AB AD 44
u u u v u u u v u u u v
=-是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，数基础题．
2．当0a >时，函数()()
2
x
f x x ax e =-的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】
由()0f x =，解得20x ax -=，即0x =或x a =，0,a >∴Q 函数()f x 有两个零点，,A C ∴，不正确，设1a =，则()()()()
2
2
,'1x
x
f x x x e f x x x e =-∴=+-，由()()
2
'10x
f x x x e =+->，解得
152x -+>
或152
x --<，由()()
2'10x
f x x e =-<，解得：151522x ---+-<<
，即1x =-是函数的一个极大值点，D ∴不成立，排除D ，故选B.
【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考察函数的解析式、定义域、值域、单调性，导数的应用以及数学化归思想，属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-
→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除.
3．某公园新购进3盆锦紫苏、2盆虞美人、1盆郁金香，6盆盆栽，现将这6盆盆栽摆成一排，要求郁金香不在两边，任两盆锦紫苏不相邻的摆法共（ ）种 A ．96 B ．120 C ．48 D ．72
【答案】B 【解析】 【分析】
间接法求解，两盆锦紫苏不相邻，被另3盆隔开有3
3
34A A ，扣除郁金香在两边有2
3
232A A ，即可求出结论. 【详解】
使用插空法，先排2盆虞美人、1盆郁金香有3
3A 种， 然后将3盆锦紫苏放入到4个位置中有3
4A 种， 根据分步乘法计数原理有3
3
34A A ，扣除郁金香在两边， 排2盆虞美人、1盆郁金香有2
22A 种， 再将3盆锦紫苏放入到3个位置中有3
3A ， 根据分步计数原理有2
3232A A ，
所以共有3323
34232120A A A A -=种.
故选:B. 【点睛】
本题考查排列应用问题、分步乘法计数原理，不相邻问题插空法是解题的关键，属于中档题. 4．已知平面向量()4,2a →
=，(),3b x →
=，//a b →→
，则实数x 的值等于（ ） A ．6 B ．1
C ．
32
D ．32
-
【答案】A 【解析】 【分析】
根据向量平行的坐标表示即可求解. 【详解】
()4,2a →=Q ，(),3b x →
=，//a b →→
，
432x ∴⨯=，
即6x =， 故选：A 【点睛】
本题主要考查了向量平行的坐标运算，属于容易题.
5．已知O 为坐标原点，角α的终边经过点(3,)(0)P m m <且sin α=，则sin 2α=( ) A ．
45
B ．
35
C ．35
-
D ．45
-
【答案】C 【解析】 【分析】
根据三角函数的定义，即可求出1m =-，得出(3,1)P -，得出sin α和cos α，再利用二倍角的正弦公式，即可求出结果. 【详解】
根据题意，
sin α=
=
，解得1m =-， 所以(3,1)OP =-u u u r
，
所以sin αα==
，
所以
3 sin22sin cos
5ααα
==-.
故选：C.
【点睛】
本题考查三角函数定义的应用和二倍角的正弦公式，考查计算能力.
6．如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（）
A．2对B．3对
C．4对D．5对
【答案】C
【解析】
【分析】
画出该几何体的直观图P ABCD
-，易证平面PAD⊥平面ABCD，平面PCD⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PCD，从而可选出答案．
【详解】
该几何体是一个四棱锥，直观图如下图所示，易知平面PAD⊥平面ABCD，
作PO⊥AD于O，则有PO⊥平面ABCD，PO⊥CD，
又AD⊥CD，所以，CD⊥平面PAD，
所以平面PCD⊥平面PAD，
同理可证：平面PAB⊥平面PAD，
由三视图可知：PO＝AO＝OD，所以，AP⊥PD，又AP⊥CD，
所以，AP⊥平面PCD，所以，平面PAB⊥平面PCD，
所以该多面体各表面所在平面互相垂直的有4对．
【点睛】
本题考查了空间几何体的三视图，考查了四棱锥的结构特征，考查了面面垂直的证明，属于中档题． 7．已知等边△ABC 内接于圆τ：x 2+ y 2=1，且P 是圆τ上一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r
的最大值是（ ） A ．2 B ．1
C ．3
D ．2
【答案】D 【解析】 【分析】
如图所示建立直角坐标系，设()cos ,sin P θθ，则(1)cos PA PB PC θ⋅+=-u u u r u u u r u u u r
，计算得到答案.
【详解】
如图所示建立直角坐标系，则()1,0A ，13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B ，13,22C ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，设()cos ,sin P θθ， 则(1cos ,sin )(12cos ,2si (n ))PA PB PC θθθθ=--⋅--⋅+-u u u r u u u r u u u r
222(1cos )(12cos )2sin 2cos cos 12sin 1cos 2θθθθθθθ=---+=--+=-≤.
当θπ=-，即()1,0P -时等号成立. 故选：D .
【点睛】
本题考查了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键.
8．已知函数()()()2sin 0f x x b ωϕω=++>，88f x f x π
π+=-（
）（），且58
f π
=（），则b =（ ） A ．3 B ．3或7
C ．5
D ．5或8
【答案】B 【解析】 【分析】
根据函数的对称轴8
x π=以及函数值，可得结果.
【详解】
函数()()()2sin 0f x x b ωϕω=++>，
若88f x f x π
π
+=-（
）（），则()f x 的图象关于8x π
=对称， 又58
f π
=（
），所以25b +=或25b -+=， 所以b 的值是7或3. 故选：B. 【点睛】
本题考查的是三角函数的概念及性质和函数的对称性问题，属基础题
9．设x 、y 、z 是空间中不同的直线或平面，对下列四种情形：①x 、y 、z 均为直线；②x 、y 是直线，z 是平面；③z 是直线，x 、y 是平面；④x 、y 、z 均为平面.其中使“x z ⊥且y z x y ⊥⇒∥”为真命题的是（ ） A ．③④ B ．①③
C ．②③
D ．①②
【答案】C 【解析】 【分析】
①举反例，如直线x 、y 、z 位于正方体的三条共点棱时②用垂直于同一平面的两直线平行判断.③用垂直于同一直线的两平面平行判断.④举例，如x 、y 、z 位于正方体的三个共点侧面时. 【详解】
①当直线x 、y 、z 位于正方体的三条共点棱时,不正确； ②因为垂直于同一平面的两直线平行,正确； ③因为垂直于同一直线的两平面平行,正确； ④如x 、y 、z 位于正方体的三个共点侧面时, 不正确. 故选:C. 【点睛】
此题考查立体几何中线面关系，选择题一般可通过特殊值法进行排除，属于简单题目. 10．若执行如图所示的程序框图，则输出S 的值是（ ）
A ．1-
B ．
23
C ．
32
D ．4
【答案】D 【解析】 【分析】
模拟程序运行，观察变量值的变化，得出S 的变化以4为周期出现，由此可得结论． 【详解】
23
4,1;1,2;,3;,4;4,532
S i S i S i S i S i ===-=======；如此循环下去，当2020i =时，
3
;4,20212
S S i ===，此时不满足2021i <，循环结束，输出S 的值是4.
故选：D ． 【点睛】
本题考查程序框图，考查循环结构．解题时模拟程序运行，观察变量值的变化，确定程序功能，可得结论． 11．在ABC ∆中，30C =︒，2
cos 3
A =-
，152AC =，则AC 边上的高为（ ） A 5 B ．2
C 5
D 15【答案】C 【解析】 【分析】
结合正弦定理、三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，求得BC 边长，由此求得AC 边上的高. 【详解】
过B 作BD CA ⊥，交CA 的延长线于D .由于2cos 3A =-，所以A 为钝角，且25
sin 1cos 3
A A =-=，所以
()()sin sin sin CBA CBA A C π∠=-∠=+5321152sin cos cos sin 3
2
32
6
A C A C -=+=⨯-⨯=.在
三角形ABC 中，由正弦定理得sin sin a b A B
=，即152
5152-=-，所以25BC =.在Rt BCD ∆中有1
sin 2552
BD BC C ==⨯
=，即AC 边上的高为5. 故选：C
【点睛】
本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，属于中档题. 12．设函数()()ln 1f x x =-的定义域为D ，命题p ：x D ∀∈，()f x x ≤的否定是（ ） A ．x D ∀∈，()f x x > B ．0x D ∃∈，()00f x x ≤ C ．x D ∀∉，()f x x > D ．0x D ∃∈，()00f x x >
【答案】D 【解析】 【分析】
根据命题的否定的定义，全称命题的否定是特称命题求解. 【详解】
因为p ：x D ∀∈，()f x x ≤是全称命题， 所以其否定是特称命题，即0x D ∃∈，()00f x x >. 故选：D 【点睛】
本题主要考查命题的否定，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若257n n S a =-，则n a =____
【答案】1
7533n -⎛⎫
⋅ ⎪
⎝⎭
【解析】
【分析】
当1n =时，由1112572S a a =-=，解得17
3
a =
，当2n ≥时，11257,257n n n n S a S a --=-=-，两式相减可得1255n n n a a a -=-，即153n n a a -=，可得数列{}n a 是等比数列再求通项公式. 【详解】
当1n =时，1112572S a a =-=，即173
a =
， 当2n ≥时，11257,257n n n n S a S a --=-=-， 两式相减可得1255n n n a a a -=-， 即153n n a a -=，
即
15
3
n n a a -=， 故数列{}n a 是以
73为首项，5
3
为公比的等比数列， 所以1
7533n n a -⎛⎫
=⋅ ⎪
⎝⎭
.
故答案为：1
7533n -⎛⎫
⋅ ⎪
⎝⎭
【点睛】
本题考查数列的前n 项和与通项公式的关系，还考查运算求解能力以及化归与转化思想，属于基础题.
14．设平面向量a r 与b r
的夹角为θ，且1a b +=r r
，a b -=r r ，则θ的取值范围为______.
【答案】2π
,π3轾犏犏臌
【解析】 【分析】
根据已知条件计算出2
22a b +=v v ，结合1a b +=v v 得出12
a b ⋅=-r r ，利用基本不等式可得出a b ⋅v v 的取
值范围，利用平面向量的数量积公式可求得cos θ的取值范围，进而可得出θ的取值范围. 【详解】
1a b +=Q v v
，a b -=v v ()
2222122a b a b a b +=++-=v v v v v v ，
由1a b +=v
v 得2221a a b b +⋅+=r r r r ，12
a b ∴⋅=-r r ，
由基本不等式可得2222a b a b =+≥⋅v v v v ，
01a b ∴<⋅≤v v ，
1cos 1θ-≤≤Q ，1
12cos 1,2a b a b a b θ-
⋅⎡⎤∴==∈--⎢⎥⋅⋅⎣⎦
v v v v v v ， 0θπ≤≤Q ，因此，θ的取值范围为2,3ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
. 故答案为：2,3ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
. 【点睛】
本题考查利用向量的模求解平面向量夹角的取值范围，考查计算能力，属于中等题. 15．已知随机变量ζ服从正态分布(
)2
3,N σ，若()604P ζ>=．
，则()0P ζ<=_________. 【答案】0.4 【解析】 【分析】
因为随机变量ζ服从正态分布23N σ，,利用正态曲线的对称性，即得解. 【详解】
因为随机变量ζ服从正态分布23N σ， 所以正态曲线关于3x =对称，
所(0)(6)04P P ζζ<=>=．
. 【点睛】
本题考查了正态分布曲线的对称性在求概率中的应用，考查了学生概念理解，数形结合，数学运算的能力，属于基础题.
16．已知函数()2e (e)ln e
x
f x f x '=-，则函数()f x 的极大值为 ___________． 【答案】2ln 2 【解析】 【分析】
对函数求导，通过赋值，求得()f e '，再对函数单调性进行分析，求得极大值. 【详解】
()()21
ef e f x x e '-'=
，故()()21ef e f e e e
'-'= 解得()1f e e '=
，()2x f x Inx e =- ，()21f x x e
='- 令()0f x '=，解得2x e =
函数在()0,2e 单调递增，在()2,e +∞单调递减， 故()f x 的极大值为()222222f e In e In =-= 故答案为：22In . 【点睛】
本题考查函数极值的求解，难点是要通过赋值，求出未知量()f e '. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数4()ln (2)(1)x
f x a x x
-=+--. （1）当1a =时.
①求函数()f x 在(2,(2))f 处的切线方程； ②定义1241
()()(
)n n S f f f n n n
-=+++L 其中N n *∈，求2020S ； （2）当2a ≠时，设(
)2
()()ln 4t x f x x x
=--，1()x
g x xe
-=(e 为自然对数的底数)，若对任意给定的
(]00,x e ∈，在(]0,e 上总存在两个不同的(1,2)i x i =，使得0()()i t x g x =成立，求a 的取值范围.
【答案】（1）①1y =；②8079；（2）3,21e ⎛
⎤
-∞- ⎥-⎝⎦
. 【解析】 【分析】
（1）①1a =时，4()1x f x ln x x -=+-，2244
()4x x f x x x
-+'=-，利用导数的几何意义能求出函数()f x 在()()22f ,处的切线方程．
②由4()1x f x ln x x -=+-，得()(4)2f x f x +-=，由此能求出2020128079
()()()202020202020
S f f f =++⋯+的值．
（2）根据若对任意给定的0(0x ∈，]e ，在区间(0，]e 上总存在两个不同的(1,2)i x i =，使得0()()i t x g x =成立，得到函数()t x 在区间(0，]e 上不单调，从而求得a 的取值范围． 【详解】
（1）①∵1a =，4()ln
1x
f x x x
-=+- ∴()ln(4)ln 1,(04)f x x x x x =--+-<< ∴()11
14f x x x
'=-
-+-，∴()20f '=，∵()21f =， 所以切线方程为1y =.
②4()ln
1x f x x x -=+-Q ，(4)ln 414x
f x x x
-=+--- ()(4)2,(04)f x f x x ∴+-=<<.
令i x n =
，则()(4)2i i
f f n n
+-=Q ,(1,2,,41)i n =-L . 因为1221
()()(4)(4)n S f f f f n n n n =+++-+-L ①,
所以1221
(4)(4)()()n S f f f f n n n n
=-+-+++L ②,
由①+②得22(41)n S n =-,所以*
41,(N )n S n n =-∈.
所以20208079S =. （2）111()(1)x
x x g x e
xe x e ---'=-=-，当(0,1)x ∈时，()0,g x '>函数()g x 单调递增；
当(]1,x e ∈时，()0g x '<，函数()g x 单调递减∵()00g =，()11g =，()20e
g e e -=>
所以，函数()g x 在(]0,e 上的值域为(]0,1. 因为2a ≠，
2(2)()
22()2a x a t x a x
x
--
-'=--
= ，(]0,x e ∈
故202e a <
<-，2
2a e
<-，① 此时，当x 变化时()t x '、()t x 的变化情况如下：
∵0x →，()t x →+∞
222ln 22t a a a ⎛⎫
=- ⎪
--⎝⎭
，()()()212t e a e =--- ∴对任意给定的(]
00,x e ∈，在区间(]0,e 上总存在两个不同的(1,2)i x i =， 使得0()()i t x g x =成立，当且仅当a 满足下列条件
2()02()1t a t e ⎧≤⎪-⎨⎪≥⎩，即22ln 02(2)(1)21a a a e ⎧
-≤⎪
-⎨
⎪---≥⎩②③
令()22ln
2h a a a =--，2,2a e ⎛
⎫∈-∞- ⎪⎝
⎭，
2()12[ln 2ln(2)]122
a h a a a a ''=---=-
=--， 当(,0)a ∈-∞时，()0'>h a ，函数()h a 单调递增，当2(0,2)a e
∈-时，()0h a '<，函数()h a 单调递减所
以，对任意2(,2)a e ∈-∞-，有()(0)0h a h ≤=，即②对任意2(,2)a e
∈-∞-恒成立.
由③式解得：3
2.1
a e ≤-
-④ 综合①④可知，当3,21a e ⎛⎤
∈-∞-
⎥-⎝
⎦
时，对任意给定的(]00,x e ∈， 在[)0,e 上总存在两个不同的()1,2i x i =，使0()()i t x g x =成立. 【点睛】
本题考查了导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性、求函数最值问题，会利用导函数的正负确定函数的单调性，会根据函数的增减性求出闭区间上函数的最值，掌握不等式恒成立时所满足的条件．不等式恒成立常转化为函数最值问题解决．
18．设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2
，圆22
:2O x y +=与x 轴正半轴交于点A ，圆O
在点A 处的切线被椭圆C 截得的弦长为 （1）求椭圆C 的方程；
（2）设圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于点,M N ，试判断·
PM PN 是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．
【答案】（1）22
163
x y +=； （2）见解析.
【解析】 【分析】
（I ）结合离心率，得到a,b,c 的关系，计算A 的坐标，计算切线与椭圆交点坐标，代入椭圆方程，计算参数，即可．（II ）分切线斜率存在与不存在讨论，设出M,N 的坐标，设出切线方程，结合圆心到切线距离公式，得到m,k 的关系式，将直线方程代入椭圆方程，利用根与系数关系，表示OM ON ⋅u u u u r u u u r
，结合三角形相似，证明结论，即可． 【详解】
(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c b c a ，==，
∴椭圆C 的方程可设为22
2212x y b b
+=.
易求得)
A
，∴点
在椭圆上，∴
22
22
12b b +=， 解得2263a b ⎧=⎨=⎩
，∴椭圆C 的方程为22
163x y +=.
(Ⅱ)当过点P 且与圆O
相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为x =
(Ⅰ)
知，
M
N
，，
0OM ON OM ON =
=
⋅=u u u u r u u u r u u u u r u u u r
，，，∴OM ON ⊥.
当过点P 且与圆O 相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为y kx m =+，
()()1122M x y N x y ，，，，
=()2221m k =+.
联立直线和椭圆的方程得()2
226x kx m ++=，
∴()222
124260k x kmx m +++-=，得()()()
222
122
2122441226042126
21km k m km x x k m x x k ⎧∆=-+->⎪⎪
⎪+=-⎨+⎪
⎪-=⎪
+⎩
. ∵()()1122OM x y ON x y ==u u u u r u u u r
，，
，， ∴()()12121212OM ON x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++u u u u r u u u r
，
(
)()(
)
22
2
2
212
1222264112121
m km k
x x
km x x m k
km m k k --=++++=+⋅+⋅+++ ()()(
)()
2
2
222222
2
2222
12642132266
366021
2121
k m k m m k k k m
k k k k +--+++----=
===+++， ∴OM ON ⊥.
综上所述，圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于点M N ，，都有OM ON ⊥. 在Rt OMN ∆中，由OMP ∆与NOP ∆相似得，2
2OP PM PN =⋅=为定值. 【点睛】
本道题考查了椭圆方程的求解，考查了直线与椭圆位置关系，考查了向量的坐标运算，难度偏难． 19．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形，AB BC ⊥，1
24AA AB ==，M ，
N 分别为1CC ，1BB 的中点，G 为棱1AA 上一点，若1A B ⊥平面MNG
.
（1）求线段AG 的长；
（2）求二面角B MG N --的余弦值. 【答案】（1）1AG =（25
【解析】 【分析】
（1）先证得1AB GN ⊥，设1A B 与GN 交于点E ，在BNE ∆中解直角三角形求得1,BE A E ，由此求得AG 的值.
（2）建立空间直角坐标系，利用平面BMG 和平面NMG 的法向量，计算出二面角B MG N --的余弦值. 【详解】
（1）由题意，11 A B MNG A B GN GN MNG ⊥⎫
⇒⊥⎬⊂⎭
平面平面，
设1A B 与GN 交于点E ，在BNE ∆中，可求得45BE =，则165
A E =， 可求得13A G =，则1AG =
（2）以1B 为原点，1B B 方向为x 轴，1B C 方向为y 轴，11B A 方向为z 轴， 建立空间直角坐标系.
(4,0,0)B ，(2,2,0)M ，(3,0,2)G ，(2,0,0)N
(2,2,0)BM =-u u u u r ，(1,0,2)BG =-u u u r
，易得平面BMG 的法向量为1(2,2,1)n =u r .
(0,2,0)NM =u u u u r ，(1,0,2)NG =u u u r
，易得平面NMG 的法向量为2(2,0,1)n =-u u r .
设二面角B MG N --为θ，由图可知θ为锐角，所以
1212||5cos ||||35
n n n n θ⋅===⋅⋅u r u u r u r u u r .
即二面角B MG N --5
.
【点睛】
本小题主要考查根据线面垂直求边长，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
20．设函数()2x
f x e ax e =+-，()ln
g x x ax a =-++.
（1）求函数()f x 的极值；
（2）对任意1x ≥，都有()()f x g x ≥，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）当0a ≥时， ()f x 无极值；当0a <时， ()f x 极小值为()22ln 2a a a e -+--；（2）
[)1,e --+∞.
【解析】 【分析】
（1）求导，对参数a 进行分类讨论，即可容易求得函数的极值；
（2）构造函数()()()h x f x g x =-，两次求导，根据函数单调性，由恒成立问题求参数范围即可. 【详解】
（1）依题()2x
f x e a '=+，
当0a ≥时，()0f x '>，函数()f x 在R 上单调递增，此时函数()f x 无极值； 当0a <时，令()20x
f x e a '=+>，得()ln 2x a >-，
令()20x
f x e a '=+<，得()ln 2x a <-
所以函数()f x 在()()
ln 2,a -+∞上单调递增， 在()()
,ln 2a -∞-上单调递减. 此时函数()f x 有极小值，
且极小值为()()
()ln 222ln 2f a a a a e -=-+--.
综上：当0a ≥时，函数()f x 无极值； 当0a <时，函数()f x 有极小值，
极小值为()()
()ln 222ln 2f a a a a e -=-+--.
（2）令()()()()ln 1x
h x f x g x e ax x a e x =-=++--≥
易得()10h =且()()1
1x
h x e a x x
'=+
+≥， 令()()()1
1x
t x h x e a x x
'==+
+≥ 所以()()21
1x
t x e x x '=-
≥， 因为x e e ≥，21
01x
<≤，从而()0t x '>，
所以，()t x 在[
)1,+∞上单调递增. 又()11t a e =++
若1a e ≥--，则()()()110t x h x t a e '=≥=++≥ 所以()h x 在[
)1,+∞上单调递增，从而()()10h x h ≥=， 所以1a e ≥--时满足题意. 若1a e <--，
所以()()min 110t x t a e ==++<，()1a
t a e a a
--=+-
， 在()f x 中，令1
2
a =-
，由（1）的单调性可知， ()x f x e x e =--有最小值()01f e =-，从而1x e x ≥+.
所以()111
110a
t a e
a a a a a a
--=+-
≥-++-=-> 所以()()10t t a ⋅-<，由零点存在性定理：
0(1,)x a ∃∈-，使0()0t x =且
()h x 在()01,x 上单调递减，在[)0,x +∞上单调递增.
所以当()01,x x ∈时，()()10h x h <=. 故当1a e <--，()()f x g x ≥不成立. 综上所述：a 的取值范围为[
)1,e --+∞. 【点睛】
本题考查利用导数研究含参函数的极值，涉及由恒成立问题求参数范围的问题，属压轴题.
21．椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>
）的离心率为2
，它的四个顶点构成的四边形面积为（1）求椭圆C 的方程；
（2）设P 是直线2x a =上任意一点，过点P 作圆2
2
2
x y a +=的两条切线，切点分别为M ，N ，求证：直线MN 恒过一个定点.
【答案】（1）2
212
x y +=；（2）证明见解析.
【解析】 【分析】
（1）根据椭圆的基本性质列出方程组，即可得出椭圆方程；
（2）设点()02,P y ，()11,M x y ，()22,N x y ，由PM OM ⊥，PN ON ⊥，结合斜率公式化简得出
110220x y y --=，220220x y y --=，即()11,M x y ，()22,N x y 满足0220x yy --=，由0y 的任意
性，得出直线MN 恒过一个定点(1,0). 【详解】
（1
）依题意得2221
222
2a b c a b c a ⎧
⎪=+⎪
⎪⋅⋅=⎨⎪⎪=⎪
⎩
22
2
21a b c ⎧=⎨==⎩ 即椭圆C ：2
212
x y +=；
（2）设点()02,P y ，()11,M x y ，()22,N x y
其中22112x y +=，22
222x y +=
由PM OM ⊥，PN ON ⊥得1011112y y y x x -⋅=--，202
22
12y y y x x -⋅=-- 即221111020x y x y y +--=，22
2222020x y x y y +--=
注意到22112x y +=，22
222x y +=
于是110220x y y --=，220220x y y --= 因此()11,M x y ，()22,N x y 满足0220x yy --=
由0y 的任意性知，1x =，0y =，即直线MN 恒过一个定点(1,0).
【点睛】
本题主要考查了求椭圆的方程，直线过定点问题，属于中档题.
22．在如图所示的四棱锥F ABCD -中，四边形ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，60ABC ∠=︒，FC ⊥平面ABCD ，AC BF ⊥，1CB CD ==.
（1）求证：AC ⊥平面BCF ； （2）已知二面角F BD C --5
，求直线AF 与平面DFB 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（25
. 【解析】 【分析】
（1）由已知可得CF AC ⊥，结合AC BF ⊥，由直线与平面垂直的判定可得AC ⊥平面BCF ； （2）由（1）知，AC CB ⊥，则CA ，CB ，CF 两两互相垂直，以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，
CF 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设(0F ，0，)a ，由二面角F BD C --5求解a ，再由空间向量求解直线AF 与平面DFB 所成角的正弦值． 【详解】
（1）证明：因为四边形ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，60ABC ∠=︒，所以120ADC BCD ∠=∠=︒.又AD CD ＝，所以30ACD ∠=︒， 因此90ACB ∠=︒，AC BC ⊥， 又AC BF ⊥，
且BC BF B =I ，BC ，BF ⊂平面BCF ， 所以AC ⊥平面BCF .
（2）取BD 的中点G ，连接CG ，FG ，
由于CB CD =，因此CG BD ⊥，
又FC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以FC BD ⊥. 由于FC CG C ⋂=，FC ，CG ⊂平面FCG ， 所以BD ⊥平面FCG ，故BD FG ⊥，
所以FGC ∠为二面角F BD C --的平面角.在等腰三角形BCD 中，由于120BCD ∠=︒， 因此1
2
CG =
，又1CB CF ==， 因为5
cos FGC ∠=
，所以tan 2FGC ∠=，所以1FC = 以CA 为x 轴、CB 为y 轴、CF 为z 轴建立空间直角坐标系，则31
(
,,0)22
D -，()0,0,1F ，()0,1,0B 31,,122FD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，33,,022BD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
u u u
r ，
设平面DBF 的法向量为(),,n x y z =r
所以·0·0FD n BD n ⎧=⎨=⎩u u u v v u u u v v ，即31
02
33
02x y z x y ⎧
--=⎪⎨⎪
-=⎪，令3x =，则1y =，1z =，
则平面DBF 的法向量()3,1,1n =r ，(3,0,1)AF =-u u u v ，
设直线AF 与平面BDF 所成角为θ，则||5
sin 5
||||AF n n AF θ⋅==u u u r r
r u u u
r
【点睛】
本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，属于中档题．
23．设数阵11
12021
22a a A a a ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，其中11a 、12a 、21a 、{}221,2,,6a ∈L ．设{}{}12,,,1,2,,6l S e e e =⊆L L ，
其中12l e e e <<<L ，l N *∈且6l ≤．定义变换k ϕ为“对于数阵的每一行，若其中有k 或k -，则将这一
行中每个数都乘以1-；若其中没有k 且没有k -，则这一行中所有数均保持不变”（1k e =、2e 、L 、l e ）．()0S A ϕ表示“将0A 经过1
e ϕ变换得到1A ，再将1A 经过2e ϕ变换得到2A 、L ，以此类推，最后将1l A -经过l e ϕ变换得到l A ”，记数阵l A 中四个数的和为()0S T A ．
（1）若01215A ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，写出0A 经过2ϕ变换后得到的数阵1A ； （2）若01336A ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，{}1,3S =，求()0S T A 的值； （3）对任意确定的一个数阵0A ，证明：()0S T A 的所有可能取值的和不超过4-．
【答案】（1）11215A --⎛⎫=
⎪⎝⎭
；（2）5-；（3）见解析. 【解析】
【分析】 （1）由01215A ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，能求出0A 经过2ϕ变换后得到的数阵1A ； （2）由01336A ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，{}1,3S =，求出数阵0A 经过s ϕ变化后的矩阵，进而可求得()0S T A 的值； （3）分1112a a ≠和1112a a =两种情况讨论，推导出变换后数阵l A 的第一行和第二行的数字之和，由此能证明()0S T A 的所有可能取值的和不超过4-．
【详解】
（1）01215A ⎛⎫= ⎪⎝⎭Q ，0A 经过2ϕ变换后得到的数阵11215A --⎛⎫= ⎪⎝⎭
； （2）01336A ⎛⎫= ⎪⎝⎭经s ϕ变换后得1336⎛⎫ ⎪--⎝⎭
，故()013365s T A =+--=-； （3）若1112a a ≠，在{}1,2,3,4,5,6的所有非空子集中，含有11a 且不含12a 的子集共42个，经过变换后第一行均变为11a -、12a -；
含有12a 且不含11a 的子集共42个，经过变换后第一行均变为11a -、12a -；
同时含有11a 和12a 的子集共42个，经过变换后第一行仍为11a 、12a ；
不含11a 也不含12a 的子集共421-个，经过变换后第一行仍为11a 、12a ．
所以经过变换后所有l A 的第一行的所有数的和为
()()()()()44441112111211121112111222221a a a a a a a a a a ⨯--+⨯--+⨯++-⨯+=--.
若1112a a =，则{}1,2,3,4,5,6的所有非空子集中，含有11a 的子集共52个，经过变换后第一行均变为11a -、12a -；
不含有11a 的子集共521-个，经过变换后第一行仍为11a 、12a ．
所以经过变换后所有l A 的第一行的所有数的和为()()
()55111211121112221a a a a a a ⨯--+-⨯+=--． 同理，经过变换后所有l A 的第二行的所有数的和为2122a a --．
所以()0s T A 的所有可能取值的和为11122122a a a a ----，
又因为11a 、12a 、21a 、{}221,2,,6a ∈L ，所以()0s T A 的所有可能取值的和不超过4-．
【点睛】
本题考查数阵变换的求法，考查数阵中四个数的和不超过4-的证明，考查类比推理、数阵变换等基础知识，考查运算求解能力，综合性强，难度大．。