宁波市余姚中学2018-2019学年下学期期中高二数学试卷附答案解析

【解析】五所学生自由录取五名学生,共有 55 种不同的录取情况
其中满足条件：仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的情况的录取情况有：
5
C52C51 A43 种，
则：则仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的概率：
p
C52C51 A43 55
Cn1 22 Cn2 32 Cn3 n2Cnn
．
16．如图，用 6 种不同的颜色给图中的 4 个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且 两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有__________种（用数字作答）．
17．关于二项式 (x 1)2005 ，有下列命题：
宁波市余姚中学 2018-2019 学年下学期期中
高二数学试卷
一、单选题
1．已知函数 f (x) 2 ln 3x 8x ，则 lim f (1 2x) f (1) 的值为（ ）
x0
x
A． 20
B． 10
C．10
D． 20
2．复数 z 1 i ，则 1 z2 对应的点所在象限为（ ） z
A．第一象限
lim f (1 2x) f (1) 2 lim f (1 2x) f (1) 2 f '(1) 20 ．故选 D．
x0
x
x0
2x
【考点】导数的定义．
2．复数 z 1 i ，则 1 z2 对应的点所在象限为（ ） z
A．第一象限 【答案】D
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【解析】利用复数的四则运算法则将复数 1 z2 表示为一般形式，即可判断出该复数对应的点所在的象限. z
若方程 f x 15 有且只有一个实根，则实数 a 的取值范围为____________________．
三、填空题
13．若将函数 f (x) x10 表示为 f (x) a0 a1(x 1) a2 (x 1)2 a10(x 1)10 ，其中 ai R ，
i 0,1, 2,,10 ，则 a0 a1 a2 a10 ______； a0 a1 a2 a10 ______.
f
x
ex
g
x
f x f
ex
x 0 g x 单调递增
g a g 0,
f a
ea
f 0
e0
f a ea f 0
【考点】函数导数与单调性
9．某班班会准备从甲、乙等 7 名学生中选派 4 名学生发言，要求甲、乙至少有一人参加.当甲乙同时参加时，他
们两人的发言不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为（ ）
求出 A, B 的坐标，若不存在，说明理由.
解析
宁波市余姚中学 2018-2019 学年下学期期中
高二数学试卷
一、单选题
1．已知函数 f (x) 2 ln 3x 8x ，则 lim f (1 2x) f (1) 的值为（ ）
x0
x
A． 20
B． 10
C．10
D． 20
【答案】D
【解析】试题分析： f '(x) 2 8 ， f '(1) 10 ， x
Sn 2n
的通项公式，并用数学归纳法证明．
20．在二项式 ( x 1 )n 的展开式中，前三项的系数依次成等差数列． 24 x
（1）求展开式中的所有有理项； （2）求系数最大的项．
21．已知函数 f x 1 ax3 3 x2 3 a2 x ，其中 a R ．
2 22
（1）若函数 f x 在 x 1 处取得极大值，求实数 a 的值
48 125
本题选择 C 选项.
6．已知随机变量 的分布列为（ ）
1
2
3
4
P
1 4
1 3
1 6
1 4
则 D 的值为（ ）
A．
29 12
【答案】C
B． 121 144
C． 179 144
D．
17 12
【解析】利用随机变量的分布列计算出 E ，再利用方差公式可求得 D 的值.
【详解】
由随机变量的分布列可得 E 1 1 2 1 3 1 4 1 29 ，
4 3 6 4 12
所以，
D
1
29 12
2
1 4
2
29 12
2
1 3
3
29 12
2
1 6
4
29 12
2
1 4
179 144
.
故选：C.
【点睛】
本题考查随机变量方差的计算，考查计算能力，属于基础题.
7．某高中举办“情系母校”活动，学校安排 6 名大学生到高一年级 A，B，C 三个班级参加活动，每个班级安排
【详解】
z
1
i
，
1 z
z2
1 1
i
1
i2
1 i
1 i1
i
2i
1 2
3 2
i
，
因此，复数 1 z2 对应的点在第四象限. z
4
故选：D. 【点睛】 本题考查复数对应的点所在象限的判断，涉及复数的四则运算法则的应用，考查计算能力，属于基础题.
3．用反证法证明“凸四边形的四个内角中至少有一个不小于 90 ”时，首先要作出的假设是（ ）
（2）如果取出黑球，则取球终止，否则继续取球，直到取出黑球，取球次数最多不超过 4 次，求取球次数 的
概率分布列及期望.
19．已知数列an 的前 n 项和为
Sn
，
a2
14 ，且 an
1 2
1 n
Sn
2n1
n N*
.
（1）求 S1 、 S2 、 S3 ； 248
（2）由（1）猜想数列
8．已知可导函数 f (x)(x R)满足 f '(x) f (x) ，则当 a 0 时， f (a)和ea f (0) 大小关系为（ ）
A． f (a) ea f (0) B． f (a) ea f (0) C． f (a) = ea f (0) D．
【答案】B
6
【解析】试题分析：设 g x
1
9．某班班会准备从甲、乙等 7 名学生中选派 4 名学生发言，要求甲、乙至少有一人参加.当甲乙同时参加时，他
们两人的发言不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为（ ）
A． 360
B． 520
C．600
D． 720
10．定义“规范 01 数列”{an}如下：{an}共有 2m 项，其中 m 项为 0，m 项为 1，且对任意 k ≤ 2m ，a1, a2 ,, ak ,
两名同学，若甲同学必须到 A 班级，乙和丙同学均不能到 C 班级，则不同的安排方法种数为（ ）
A．12
B．9
C．6
D．5
8．已知可导函数 f (x)(x R)满足 f '(x) f (x) ，则当 a 0 时， f (a)和ea f (0) 大小关系为（ ）
A． f (a) ea f (0) B． f (a) ea f (0) C． f (a) = ea f (0) D．
2
①该二项展开式中非常数项的系数之和是
1；②该二项展开式中第六项为
C6 2005
x1999
；③该二项展开式中系数最
大的项为第 1002 项；④当 x 2006 时， (x 1)2005 除以 2006 的余数是 2005 ．其中所有正确命题的序号是
_______________．
四、解答题 18．一个袋中装有大小相同的球 10 个，其中红球 8 个，黑球 2 个，现从袋中有放回地取球，每次随机取 1 个. 求： （1）连续取两次都是红球的概率；
A．四个内角都大于 90
B．四个内角中有一个大于 90
C．四个内角都小于 90
D．四个内角中有一个小于 90
【答案】C 【解析】运用反证法证明命题时，首先必须对结论否定，“至少有一个”的否定是“没有一个”，即可得到假设． 【详解】
用反证法证明“凸四边形的四个内角中至少有一个不小于 90 ”时，
首先要作出的假设是“凸四边形的四个内角中没有一个不小于 90 ”，
中 0 的个数不少于 1 的个数.若 m=4，则不同的“规范 01 数列”共有
A．18 个
B．16 个
C．14 个
D．12 个
二、双空题
11．已知复数
z1
2i
，2z2
z1 2i
i z1
（i
为虚数单位），则
z1 的模是__________；复数 z2
的虚部是__________．
12．若函数 f x x3 3ax 1在 x 1 处的切线与直线 y 6x 6 平行，则实数 a __________．当 a 0 时，
（2）函数 g x
f
x
f x
3 2
a
2
x
，当
x
0,
2
时，
g
x
在
x
0
处取得最大值，求实数
a
的取值范
围.
3
22．已知函数 f x ln x 1 ax2 bx ，函数 f x 在点 1, f 1 处的切线斜率为 0.
2
（1）试用含有 a 的式子表示 b ，并讨论 f x 的单调性；
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．用反证法证明“凸四边形的四个内角中至少有一个不小于 90 ”时，首先要作出的假设是（ ）
A．四个内角都大于 90
B．四个内角中有一个大于 90
C．四个内角都小于 90
D．四个内角中有一个小于 90
4．设 (3x x )n 的展开式的各项系数之和为 M ，二项式系数之和为 N ，若 M 17 N 480 ，则展开式中含
14．市内某公共汽车站有 7 个候车位(成一排), 现有甲，乙，丙，丁，戊 5 名同学随机坐在某个座位上候车,则甲， 乙相邻且丙，丁不相邻的不同的坐法种数为______；（用数字作答）3 位同学相邻，另 2 位同学也相邻，但 5 位 同学不能坐在一起的不同的坐法种数为______.（用数字作答）
15．计算 Cn1 2Cn2 3Cn3 nCnn ，可以采用以下方法：
A． 360
B． 520
A．40
B．30
【答案】D
C．20
D．15
【解析】由
，得
．
，令
，得
．
故展开式中含 项的系数为
,选 D.
点睛：二项展开式的二项式系数与该项的系数是两个不同的概念，前者是指组合数，而后者是字母外的部分.前
者只与 n 和 k 有关，恒为正，后者还与 a, b 有关，可正可负.通项是第 r 1 项，不是第 r 项.
x3 项的系数为（ ）
A．40
B．30
C．20
D．15
5．某五所大学进行自主招生，同时向一所重点中学的五位学习成绩优秀，并在某些方面有特长的学生发出提前
录取通知单.若这五名学生都乐意进这五所大学中的任意一所就读，则仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人
在其他学校各选一所不同大学)的概率是(
)
A． 1 5
（2）对于函数 f x 图象上的不同两点 A x1, y1 ， B x2, y2 ，如果在函数 f x 图象上存在点
M x0,y0
x0 x1,x2
，使得在点
M
处的切线 l//AB
，则称
AB
存在“跟随切线”.特别地，当
x0
பைடு நூலகம்
x1
2
x2
时，又称 AB 存在“中值跟随切线”.试问：函数 f x 上是否存在两点 A, B 使得它存在“中值跟随切线”，若存在，
5．某五所大学进行自主招生，同时向一所重点中学的五位学习成绩优秀，并在某些方面有特长的学生发出提前
录取通知单.若这五名学生都乐意进这五所大学中的任意一所就读，则仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人
在其他学校各选一所不同大学)的概率是(
)
A．
1 5
B．
24 125
C．
48 125
D．
96 125
【答案】C
两名同学，若甲同学必须到 A 班级，乙和丙同学均不能到 C 班级，则不同的安排方法种数为（ ）
A．12
B．9
C．6
D．5
【答案】B
【解析】从甲、乙、丙之外的三个同学中选两位同学到 C 班级有
种不同的安排方法，再从甲之外的三个
同学中选一位同学到 A 班级有
种不同的安排方法，总共有
种不同的安排方法,选 B.
构造等式： Cn0 Cn1 x Cn2 x2 Cnn xn 1 x n ，两边对 x 求导，
得 Cn1 2Cn2 x 3Cn3x2 nCnn xn1 n 1 x n1 ，
在上式中令 x 1 ，得 Cn1 2Cn2 3Cn3 nCnn n 2n1 ．类比上述计算方法，计算
B． 24 125
C． 48 125
D． 96 125
6．已知随机变量 的分布列为（ ）
1
2
3
4
P
1
1
1
1
4
3
6
4
则 D 的值为（ ）
A．
29 12
B．
121 144
C．
179 144
D．
17 12
7．某高中举办“情系母校”活动，学校安排 6 名大学生到高一年级 A，B，C 三个班级参加活动，每个班级安排
即为“凸四边形的四个内角都小于 90 ”．
故选：C. 【点睛】 本题考查反证法的证明过程，注意第一步假设，应对结论否定，掌握一些词语的否定是解题的关键，属于基础题．
4．设 (3x x )n 的展开式的各项系数之和为 M ，二项式系数之和为 N ，若 M 17 N 480 ，则展开式中
含 x3 项的系数为（ ）