大学物理(下册) 9.3简谐振动的应用

例题9.3.5 试由弹簧振子总能量出发，导出其谐振动 的动力学方程。 解：分析 由弹簧振子总能量两边对时间求导，并注 意到总能量为守恒量，得到：
1 2 1 2 1 2 dv dx d2 x 2 E mv + kx kA mv +kx 0 m 2 0 x 0 2 2 2 dt dt dt
讨论： （1）可以证明，沿地球表面圆轨道运行人造地 球卫星的周期与地球隧道质点谐振动周期相同； （2）可以证明，将上述隧道贯穿地球任意位置， 质点谐振动周期均为（9.3.12）式结果；
（3）对于地球隧道中质点振动问 题的扩展讨论，还可以增加地球 自转、公转等因素；
例题 9.3.4 弹簧振子简谐振动的能量。以弹簧振 子的谐振动为例，讨论谐振动的能量问题，如弹簧 振子的振动动能、弹性势能和总能量等问题。
上述结果表明，弹簧振子谐振动在周期内的机械能为 常量，平均动能与平均势能相等，分别等于机械能的 一半。此为谐振动系统能量的重要结论，该结论在后 续章节讨论比热容时有具体应用。
例题 9.3.7 氢原子的谐振动。原子的振动可近似为 谐振动，已知氢原子质量、振动频率、振幅。试计算 氢原子谐振动时： （1）最大振动速度； （2）振动总能量； 解：分析 由谐振动速度可得氢原子谐振动最大速度及 氢原子的振动总能量为： 2 1 （1） vmax 0 A 2π A 6.28 10 m s
例题9.3.6 能量的时间平均值问题。与时间有关的 物理量在时间间隔内的平均值定义为： （9.3.16） 试计算弹簧振子谐振动在一个周期内的平均动能、等 于平均势能。 解：分析 由上式积分可求得，弹簧振子谐振动在周 期内平均动能、平均势能和平均机械能分别为：
0
1 A T

T
A （t） dt
1 T 1 T1 2 1 T1 2 2 2 1 2 Ek E（ t） dt mv dt m0 A sin (0t )dt kA J k T 0 T 02 T 02 4 1 T 1 T1 2 1 T1 2 2 1 2 E p E（ t） dt kx dt kA cos (0t )dt kA J p 0 T T 02 T 02 4 1 T 1 T 1 2 E E Edt E（ t）+E（ t）dt kA J k p T 0 T 0 2
讨论：1.由上式可求得弹簧振子谐振动运动方程； 2.由总能量导出其谐振动动力学方程的方法，较之牛顿 第二定律解法简单，可不顾及弹簧振子的受力，省去了 受力分析等环节，该方法对于保守系统普遍成立；
3.（9.3.13）—（9.3.15）式谐振动能量方法，在 解决某些谐振动问题时有其方便之处； 4.能量方法可用于求解谐振动系统的固有频率，该 方法在工程技术中具有广泛应用；
1 2 1 2 1 2 2 1 2 E Ek E p mv + kx = m0 A kA J 2 2 2 2
将（9.3.13）第二式带入（9.3.14）又得到：
1 2 1 2 Ek kA kx 2 2
讨论：（1）系统的动能、势能均为时间的周期函 数。动能最大时，势能最小。势能最大时，动能最 小。振动过程是系统动能、势能的相互转换过程；
A
l
F
m
mg
M mgl sin mgl
(1)
o
J ml 2
其中：
5 sin ；

位于平衡点右为正、左为负； 规定：
由刚体转动定律可得：
d 2 M J m gl J 2 dt
d 2 dt
2
(2)
g 例题 9.3.1 单摆(Simple Pendulum)
1.振动装置：不可伸长的细线一端 固定，另一端悬挂小球，在重力作 用下球在铅直平面内就其平衡位置 附近往复运动，摆球体积及阻力不 计。
A
l
F
m
mg
o
J ml 2
单摆：理想模型，不可伸长细线、摆球体积及阻力不计；
解: 分析 任意时刻 t 对应 ，小球受力， 重力和绳拉力，重力对定轴有力矩：
由刚体转动定律得：
d 2 J 2 M J m gl dt
(2)
(3)
令：
得： 最后得：
mgl J
2 0
T 2π
2
J
m gl
(4) (5)
(6)
d 2 0 0 2 dt m cos(0 t )
问题：复摆与单摆的谐振动有无关系？
例题 9.3.3 地球隧道中质点的谐振动。设地球为密 度 5.5 103 kgm 3 、半径 R 的球体，若沿其直径打通一 条隧道，设隧道内质量为 m 的质点作无摩擦运动。 （1）试证明隧道内质点作谐振动；
g l
2 0
(4)
d 2 2 0 0 2 dt
(5)
m cos(0 t )
(6)
0
g l
(7)
T 2π l g
(8)
由(8)式可见：单摆谐振动周期仅取决于摆长和当地重 力加速度，与 m 无关，由此可测当地的重力加速度。
例题9.3.2
复摆
1.振动装置：一刚体在重力作用下， 可绕一固定水平轴摆动，阻力不计。
2.分析刚体受力：任意时刻 t 对应 ； 重力和定轴支撑力；重力对轴有力矩；
2.分析刚体受力：任意时刻 t 对应 ； 重力和定轴支撑力，重力对轴有力矩：
o

转动正向
h
M mgl sin mgl
*C
(1)
G
其中：
5 sin ；

（C 点为质心）
位于平衡点右为正、左为负； 规定：
左上图所示为动能、势能随时间 的变化关系。 （2）左下图为系统的动能、势 能随坐标变化的周期函数。动能 最大时，势能最小。势能最大时， 动能最小。振动过程就是系统、 的相互转换过程； （3）谐振动系统是保守系统， 如左图所示系统的总能量守恒。 弹簧振子谐振动的守恒量与振 幅的二次方成正比，谐振动是 等幅振动；
2 20 E m v / 2 3.31 10 J （2 ） max
由此结果可以看出，氢原子谐振动速度较大，但谐振 动能量具有非常小的数量级。
解：分析 由任意时刻弹簧振子简谐振动的运动方程、 振动速度得到任意时刻的动能、弹性势能及系统的 总能量:
1 2 1 2 2 2 Ek mv m0 A sin (0t )J x(t ) A cos(0 t ) 2 2 v 0 A sin(0 t ) E 1 kx2 1 kA2 cos2 ( t )J p 0 2 2
4πρm （9.3.11） F= Gx = kx 3 由（9.3.11）式知质点在隧道内所受地球引力为 线性回复力，故质点作谐振动。
（2）质点谐振动周期 与弹簧振子谐振动周期（9.1.9）式类比可得:
T 2 m / k 3π
Gρ
84.5min 5.07 103 s （9.3.12）
（2）试计算质点谐振动的周期； 解 分析（1）由动力学分析质点 在隧道运动时受力特征即可。取 坐标如图所示，原点为地球中心， 故当质点位于坐标 x 处时受地球 mx m 引力为： F = G 2 x
（9.3.10）
4πρm 4πρx3 G 。得质点位于 x 受力为: 其中 mx = ，令 k = 3 3