2020年浙江省杭州市上城区中考数学一模试卷(附答案详解)

2020年浙江省杭州市上城区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.数2020的相反数是()
A. 1
2020B. −1
2020
C. 2020
D. −2020
2.国家发展改革委3月2日宣布，包括普通口罩、医用口罩、医用N95口罩在内，全
国口罩日产量达到116000000只．116000000用科学记数法可以表示为()
A. 1.16x108
B. 1.16x109
C. 11.6x107
D. 0.116×109
3.如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=4，BE平分∠ABC，交CD于点E，则DE的长
度是()
A. 3
2B. 2 C. 5
2
D. 3
4.下列运算正确的是()
A. 2x2+x=3x3
B. 2x2−7x2=−5
C. −8x3⋅4x2=−32x6
D. x3+2x2
x+2
=x2
5.某校开展了“空中云班会”的满意度调查，其中九年级各班满意的人数分别为27，
28，28，29，29，30.下列关于这组数据描述正确的是()
A. 中位数是29
B. 众数是28
C. 平均数为28.5
D. 方差是2
6.如图，在△ABC中，AB=AC，BE⊥AC，D是AB的中点，且DE=
BE，则∠C的度数是()
A. 65°
B. 70°
C. 75°
D. 80°
7.“杭州城市大脑”用大数据改善城市交通，实现了从治堵到治城的转变．数据表明，
杭州上塘高架路上共22km的路程，利用城市大脑后，车辆通过速度平均提升了15%，节省时间5分钟，设提速前车辆平均速度为xkm/ℎ，则下列方程正确的是()
A. 22
x −22
(1+15%)x
=5 B. 22
x
−22
(1+15%)x
=1
12
C. 22
(1+15%)x −22
x
=5 D. 22
(1+15%)x
−22
x
=1
12
8.一把5m长的梯子AB斜靠在墙上，梯子倾斜角α的正切值为3
4
，考虑安全问题，现要求将梯子的倾斜角改为30°，则梯子下滑的距离AA′的长度是()
A. 3
4m B. 1
3
m C. 2
3
m D. 1
2
m
9.已知a是方程x2−4x=1
x
的实数根，则直线y=ax+2−a的图象大致是()
A. B.
C. D.
10.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P在对角线
BD上(不与点B，D重合)，PE//BC，PF//DC.设AB=m，
AP=a，PF=b，PE=c，下列表述正确的是()
A. c2+b2=a2
B. a+b=c+m
C. c2+b2−bc=a2
D. a+b+c≥2m
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11.分解因式：4x2−1=______．
12.如图，AB///CD，∠B=78°，∠E=27°，则∠D的度数为______．
13.在国新办4月2日举行的疫情期间中国海外留学人员安全问题新闻发布会上，外交
部副部长马朝旭透露，3月份全球疫情加速扩散后，中国已经安排A与B两种型号的包机9架次，从伊朗、意大利等国接回包括留学人员在内的中国公民1457人．其中A型包机每架次坐满158人，B型包机每架次坐满163人，则A型包机有______架，
B型包机有______架．
14.如图，△ABC中，D，E两点分别在边AB，BC上，若
AD：DB=CE：EB=3：4，记△DBE的面积为S1，△ADC
的面积为S2，则S1：S2=______．
15.当−1≤a≤1
4
时，则抛物线y=−x2+2ax+2−a的顶点到x轴距离的最小值______．
16.已知点C在线段AB的中垂线上，连结BC，点D为BC的中点，以点A为圆心，
AD长为半径作⊙A.设k=AB
BC
，若⊙A与线段BC有两个交点(包括点B和点C)，则k满足的条件是______．
三、解答题（本大题共7小题，共66.0分）
17.(1)计算：−4+3−√16；
(2)化简；x+1
x2−x +1
x
，并从0，1，2中选一个合适的数作为x的值代入求值．
18.2020年春，因为新冠肺炎的影响，浙江省推行“停课不停学”的举措，师生进行
网络教学．九年级的小陈同学在家收到了学校邮寄过来的语文、数学、英语、科学
等四个学科的课本，求下列事件发生的概率．
(1)事件A：小陈同学从快递包里随机取出一本，取出的课本是数学课本；
(2)事件B：小陈同学从快递包里随机取出两本，取出的课本是语文课本和数学课
本．
19.如图，AB=BC，以BC为直径作⊙O，AC交⊙O于点D，过D作DE⊥AB于点F，
交CB的延长线于点E．
(1)求证：ED是⊙O的切线；
(2)若EF=√3，EB=2，求图中阴影的面积．
20.已知x1，x2，x3是y=1
x
图象上三个点的横坐标，且满
足x3>x2>x1>0.请比较1x
1+1
x2
与
2
x3
的大小，并说明
理由．
21.黄金分割为“最美丽”的几何比率，广泛应用于图案设
计．如图是一个包装盒的俯视图，线段AB是这个俯视图
的中轴线．某公司想在中轴线AB上找到黄金分割点，安
装视频播放器．
(1)请你用尺规作图的方式找出这个点(作出一点即可，保留作图痕迹)
(2)证明你找到的点是线段AB的黄金分割点．
22.同学A在离学校正北30km处，骑车以15km/ℎ的速度向学校方向出发，同时，B同
学在学校的正东15km处，以15km/ℎ的速度骑车向学校方向前进，假设2人的行驶方向和速度都不变，问：
(1)当其中一人经过学校时，另一人与学校之间的距离为多少？
(2)两人的最近距离是多少？
(3)什么时候两人距离为30km？
23.如图，在等边三角形ABC中，BC=8，过BC边上
一点P，作∠DPE=60°，分别与边AB，AC相交于
点D与点E．
(1)在图中找出与∠EPC始终相等的角，并说明理由；
(2)若△PDE为正三角形时，求BD+CE的值；
(3)当DE//BC时，请用BP表示BD，并求出BD的
最大值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：2020的相反数是：−2020．
故选：D．
直接利用相反数的定义得出答案．
此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．
2.【答案】A
【解析】解：116000000用科学记数法可以表示为1.16×108．
故选：A．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB//CD，CD=AB=6，
∴∠ABE=∠CEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠CBE=∠CEB，
∴CE=BC=4，
∴DE=CD−CE=6−4=2．
故选：B．
根据四边形ABCD为平行四边形可得AB//CD，根据平行线的性质和角平分线的性质可得出∠CBE=∠CEB，可得CE=BC=4，即可求得DE的长度
本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及角平分线定义等知识，解答本题
的关键是根据平行线的性质和角平分线的性质得出∠CBE=∠CEB．4.【答案】D
【解析】解：A、2x2和x不是同类项，不能合并，故原题计算错误；
B、2x2−7x2=−5x2，故原题计算错误；
C、8x3⋅4x2=−32x5，故原题计算错误；
D、x3+2x2
x+2=x2(x+2)
x+2
=x2，故原题计算正确；
故选：D．
根据合并同类项法则、单项式乘以单项式计算法则，分式的约分进行计算即可．
此题主要考查了单项式乘以单项式，以及合并同类项，关键是掌握各计算法则．
5.【答案】C
【解析】解：A、中位数是28+29
2
=28.5，选项错误；
B、众数是28和29，选项错误；
C、平均数为27+28+28+29+29+30
6
=28.5，选项正确；
D、方差为1
6
[(27−28.5)2+2×(28−28.5)2+2×(29−28.5)2+(30−28.5)2]≈0.58，选项错误；
故选：C．
排序后位于中间或中间两数的平均数即为中位数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
本题主要考查了众数、平均数以及方差的计算，注意：极差只能反映数据的波动范围，众数反映了一组数据的集中程度，平均数是反映数据集中趋势的一项指标，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．
6.【答案】C
【解析】解：∵BE⊥AC，
∴∠AEB=90°，
∵D是AB的中点，
∴DE=1
2
AB=BD=AD，
∵DE=BE，
∴DE=BE=BD，
∴△BDE为等边三角形，
∴∠ABE=60°，
∴∠A=90°−60°=30°，
∵AB=AC，
∴∠C=1
2
×(180°−30°)=75°，
故选：C．
根据直角三角形的性质得到DE=1
2
AB=BD=AD，得到△BDE为等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠ABE=60°，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
本题考查的是直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：设提速前车辆平均速度为xkm/ℎ，由题意得：
22 x −22
(1+15%)x
=1
12
，
故选：B．
设提速前车辆平均速度为xkm/ℎ，根据题意可得等量关系：提速前行驶22km所用时间−
提速后行驶22km所用时间=1
12
小时，然后列出方程即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程．
8.【答案】D
【解析】解：如图，∵梯子倾斜角α的正切值为3
4
，
∴设AC=3k，BC=4k，
∴AB=√AC2+BC2=5k=5，∴k=1，
∴AC=3米，BC=4米，
∵A′B′=AB=5，∠A′B′C=30°，
∴A′C=1
2A′B′=5
2
，
∴AA′=AC−A′C=3−5
2=1
2
米，
故梯子下滑的距离AA′的长度是1
2
米，
故选：D．
设AC=3k，BC=4k，根据勾股定理得到AB=√AC2+BC2=5k=5，求得AC=3米，BC=4米，根据直角三角形的性质健康得到结论．
本题考查了解直角三角形在实际生活中的应用，本题中根据梯子长不会变的等量关系求解是解题的关键，属于中考常考题型．
9.【答案】A
【解析】解：设y1=x2−4x，y2=1
x
，
抛物线y1=x2−4x，与双曲线y2=1
x
的图象如图所示：
方程x2−4x=1
x
的实数根，实际就是抛物线y1=x2−4x，
与双曲线y2=1
x
交点的横坐标，
抛物线y1=x2−4x，与x轴的交点为O(0,0)，A(4,0)，
由两个图象可得，交点B的横坐标一定要大于4，即：a>4，
当a>4时，2−a<0，直线y=ax+2−a的图象过一、三、四象限，
故选：A．
方程x2−4x=1
x 的实数根，实际就是抛物线y1=x2−4x，与双曲线y2=1
x
交点的横坐
标，通过画两个函数的图象，确定a的取值范围，再根据a的取值范围确定直线所经过的象限，从而确定位置，做出选择．
考查一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，利用图象法比较直观的得出结论，于是函数中常用的方法．
10.【答案】C
【解析】解：如图，连接PC，过点P作PH⊥BC，交BC延长线于点H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，∠ADP=∠CDP，且PD=PD，
∴△APD≌△CPD(SAS)，
∴AP=CP=a，
∵PE//BC，PF//DC，
∴四边形PECF是平行四边形，
∴PE=CF=c，
∵PF//DC//AB，
∴∠PFC=∠ABC=60°，
∵PH⊥BC，
∴∠FPH=30°，
∴FH=b
2，PH=√3FH=√3
2
b，
∴CH=b
2
−c，
∵PC2=CH2+PH2，
∴a2=(b
2−c)2+(√3
2
b)2，
∴c2+b2−bc=a2，
故选：C．
过点P作PH⊥BC，交BC延长线于点H，由“SAS”可证△APD≌△CPD，可得AP=CP= a，通过证明四边形PECF是平行四边形，可得PE=CF=c，由直角三角形的性质可得
FH=b
2，PH=√3FH=√3
2
b，CH=b
2
−c，由勾股定理可求解．
本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题关键．
11.【答案】(2x +1)(2x −1)
【解析】解：4x 2−1=(2x +1)(2x −1)． 故答案为：(2x +1)(2x −1)．
直接利用平方差公式分解因式即可．平方差公式：a 2−b 2=(a +b)(a −b)． 本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．
12.【答案】51°
【解析】解：如图所示，将BE 与CD 交点记为点F ， ∵AB//CD ，∠B =78°， ∴∠EFC =∠B =78°，
又∵∠EFC =∠D +∠E ，且∠E =27°， ∴∠D =∠EFC −∠E =78°−27°=51°． 故答案为：51°．
将BE 与CD 交点记为点F ，由两直线平行同位角相等得出∠EFC 度数，再利用三角形外角的性质可得答案．
本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行同位角相等的性质和三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和的性质．
13.【答案】2 7
【解析】解：设A 型包机有x 架，B 型包机有y 架， 依题意，得：{x +y =9158x +163y =1457，
解得：{x =2
y =7．
故答案为：2；7．
设A 型包机有x 架，B 型包机有y 架，根据两种型号包机9架可乘坐1457人，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
14.【答案】16：21
【解析】解：过点E、C分别作EF⊥AB于点F，CG⊥AB于点G，
∴EF//CG，
∴△BEF∽△BCG，
∴EF
CG =BE
BC
，
∵CE：EB=3：4，
∴BE
BC =4
7
，
∴EF
CG =4
7
，
∴S1
S2=EF⋅BD
CG⋅AD
=4×4
7×3
=16
21
，
∴S1：S2=16：21，
故答案为：16：21．
过点E、C分别作EF⊥AB于点F，CG⊥AB于点G，根据相似三角形的性质与判定即可求出答案．
本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．
15.【答案】29
16
【解析】解：∵抛物线y=−x2+2ax+2−a的顶点纵坐标=−4(2−a)−4a2
−4
=2−a+a2，当a=−1时，2−a+a2=2+1+1=4；
当a=1
4时，2−1
4
+1
16
=29
16
，
∵4>29
16
，
∴顶点到x轴距离的最小值是29
16
．
故答案为：29
16
．
得出抛物线y=−x2+2ax+2−a顶点的纵坐标表达式，把a的取值代入即可．
本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知一元二次方程的根与抛物线与x轴的交点之间
的关系是解答此题的关键．
16.【答案】√2
2≤k≤√6
2
且k≠1
【解析】解：设BC=4x，则AB=k⋅BC=4kx，
过A作AP⊥BC于点P，
当CP=1
2
CD时，⊙A与线的另一个交点为点C，如图1，
则CP=x，BP=3x，AC=BC=4x，
由勾股定理得，(4kx)2−(3x)2=AP2=(4x)2−x2，
解得，k=√6
2，或k=−√6
2
(舍)；
当BP=1
4
BC时，⊙A与线的另一个交点为点B，如图2，
则BP=x，CP=3x，AC=BC=4x，
由勾股定理得，(4kx)2−x2=AP2=(4x)2−(3x)2，
解得，k=√2
2，或k=−√2
2
(舍)；
当CP=CD时，AD⊥BC，则BC与⊙A相切，AD垂直平分BC，∴AB=AC=BC，
∴k=1，
于是，当k=1时，⊙A与线段BC只有一个公共点，∵⊙A与线段BC有两个交点(包括点B和点C)，
∴1
4BC≤CP≤3
4
BC，且CP≠CD
∴√2
2≤k≤√6
2
且k≠1，
故答案为：√2
2≤k≤√6
2
且k≠1．
过A作AP⊥BC于点P，当1
4BC≤CP≤3
4
BC时，⊙A与线段BC就有两个交点，当CP=
1 2CD时和当BP=1
4
BC(即CP=3
4
BC)时，由勾股定理列出k的方程，求得k的值就分别
是k的最大值和最小值．由此便可解决本题的问题．
本题是圆的一个综合题，主要考查了圆的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，关键是确定k的最大值和最小值的位置．
17.【答案】解：(1)−4+3−√16
=−4+3−4
=−5；
(2)x+1
x2−x
+
1
x
=
x+1
x(x−1)
+
1
x
=x+1+x−1 x(x−1)
=
2x
x(x−1)
=2
x−1
，
∵x=0，1时，原分式无意义，
∴x=2，
当x=2时，原式=2
2−1
=2．
【解析】(1)先化简，然后计算即可解答本题；
(2)根据分式的加法可以化简题目中的式子，然后从0，1，2中选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值、二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确它们各自的计
算方法．
18.【答案】解：(1)∵共有语文、数学、英语、科学等四个学科的课本，∴取出的课本是数学课本的概率是1
4
；
(2)根据题意画图如下：
共有12种等情况数，其中取出的课本是语文课本和数学课本有2种，
则取出的课本是语文课本和数学课本的概率是2
12=1
6
．
【解析】(1)直接根据概率公式求解即可；
(2)根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出取出的课本是语文课本和数学课本的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
19.【答案】解：(1)∵AB=BC，
∴∠A=∠C，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠C，
∴∠A=∠ODC，
∴OD//AB，
∵BA⊥DE，
∴OD⊥DG，且OD为半径，
∴DE是⊙O的切线；
(2)∵DE⊥AB，
∴∠BFE=90°，
∵EF=√3，EB=2，
∴cosE=EF
BE =√3
2
，
∴∠E=30°，
∴∠EBF=60°，
∵OD//AB，
∴∠DOB=∠EBF=60°，∴OD=1
2
OE，
∴OD=OB=BE=2，
∴图中阴影的面积=S
扇形DOB −S△DOB=60⋅π×22
360
−1
2
×2×√3=2
3
π−√3．
【解析】(1)连接OE.根据等腰三角形的性质和平行线的性质即可得到结论；
(2)解直角三角形得到∠E=30°，得到∠EBF=60°，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，扇形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
20.【答案】解：1
x1+1
x2
>2
x3
，
理由：∵x1，x2，x3是y=1
x
图象上三个点的横坐标，且满足x3>x2>x1>0，
∴1
x1>1
x3
，
1
x2
>1
x3
，
∴
1
x1
+
1
x2
>
1
x3
+
1
x3
即1
x1+1
x2
>2
x3
．
【解析】先判断1
x1+1
x2
与
2
x3
的大小，然后根据函数图象和题意，即可得到
1
x1
+1
x2
与
2
x3
的大
小关系．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21.【答案】(1)解：如图，点E即为所求．
(2)证明：设BC=a，则AB=2a，AC=√AB2+BC2=√5a，
∵CD=BC=a，
∴AD=AE=√5a−a，
∵AE2=(√5a−a)2=6a2−2√5a2，AB⋅BE=2a⋅(2a−√5a+a)=6a2−2√5a2，∴AE2=BE⋅AB，
∴点E是AB的黄金分割点．
AB，连接【解析】(1)过点B作AB的垂线，并用圆规在垂线上截取BC，使得BC=1
2
AC；以C为圆心，BC为半径画弧，交AC于点D；以A为圆心，以AD为半径画弧，交AB于点E，则点E即为线段AB的黄金分割点．
(2)设BC=a，则AB=2a，AC=√AB2+BC2=√5a，通过计算证明AE2=BE⋅AB即可解决问题．
本题考查作图−应用与设计，黄金分割等知识，解题的关键是学会正确寻找黄金分割点，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
22.【答案】解：(1)B同学1小时时到达学校，而此时A同学前进了15公里，则A同学离学校15公里，
即当其中一人经过学校时，另一人与学校之间的距离为15公里；
(2)设x小时时，A、B所处的位置如下图所示，
x 小时时，AC =|30−15x|(km)，BC =|15−15x|(km)， 则AB 2=(|30−15x|)2+(|15−15x|)2=450(x −3
2)2+2252
，
∵450>0，故AB 2有最小值， 当x =3
2(ℎ)，AB 2的最小值为2252
(km 2)，
则AB 的最小值为15√22
(km)；
(3)当两人距离为30km 时，即AB 2=900(km 2)， 则450(x −3
2)2+2252=900，
解得x =3±√7
2， 即经过3+√72
或
3−√72
小时，两人距离为30km ．
【解析】(1)由题意知，同学B 先到达学校，进而求解； (2)AB 2=(|30−15x|)2+(|15−15x|)2=450(x −3
2)2+
2252
，即可求解；
(3)450(x −32
)2+
2252
=900，即可求解．
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值(或最小值)，也就是说二次函数的最值不一定在x =−b
2a 时取得．
23.【答案】解：(1)∠BDP =∠EPC ，
理由如下：∵△ABC 为等边三角形， ∴∠B =60°， ∵∠DPE =60°， ∴∠DPE =∠B ，
∵∠DPC 是△BDP 的外角， ∴∠DPE +∠EPC =∠B +∠BDP ， ∴∠EPC =∠BDP ； (2)∵△PDE 为正三角形， ∴PD =PE ， 在△BDP 和△CPE 中，
{∠B=∠C
∠BDP=∠CPE PD=EP
，
∴△BDP≌△CPE(AAS)，
∴BD=CP，BP=CE，
∴BD+CE=CP+BP=BC=8；(3)∵DE//BC，△ABC为等边三角形，∴△ADE为等边三角形，
∴AD=AE，
∴BD=CE，
∵∠B=∠C，∠EPC=∠BDP，
∴△BDP∽△CPE，
∴BD
PC =BP
CE
，即BD
8−BP
=BP
BD
，
整理得，BD=√−BP2+8BP，
−BP2+8BP=−(BP−4)2+16，
∴BD的最大值为4．
【解析】(1)根据等边三角形的性质、三角形的外角性质解答；
(2)证明△BDP≌△CPE，根据全等三角形的性质得到BD=CP，BP=CE，结合图形计算，得到答案；
(3)证明△BDP∽△CPE，根据相似三角形的性质列式求出BP与BD的关系，根据二次函数的性质求出BD的最大值．
本题考查的是等边三角形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理、二次函数的性质是解题的关键．。