固体中的原子键合习题+标准答案

第七章 《固体中的原子键合》习题
1． 是否有与库仑力无关的晶体结合类型?
［解答］ 共价结合中,电子虽然不能脱离电负性大的原子，但靠近的两个电负性大的原子可以各出一个电子,形成电子共享的形式，即这一对电子的主要活动范围处于两个原子之间，通过库仑力，把两个原子连接起来.离子晶体中,正离子与负离子的吸引力就是库仑力。

金属结合中，原子实依靠原子实与电子云间的库仑力紧紧地吸引着。

分子结合中，是电偶极矩把原本分离的原子结合成了晶体.电偶极矩的作用力实际就是库仑力。

氢键结合中，氢先与负性大的原子形成共价结合后，氢核与负电中心不在结合，迫使它通过库仑力再与另一个电负性大的原子结合。

可见，所有晶体结合类型都与库仑力有关.
2． 如何理解库仑力是原子结合的动力？
[解答］ 晶体结合中，原子间的排斥力是短程力,在原子吸引靠近的过程中，把原本分离的原子拉近的动力只能是长程力,这个长程吸引力就是库仑力.所以,库仑力是原子结合的动力。

3． 晶体的结合能，晶体的内能，原子间的相互作用势能有何区别?
[解答] 自由粒子结合成晶体过程中释放出的能量，或者把晶体拆散成一个个自由粒子所需要的能量，称为晶体的结合能。

原子的动能与原子间的相互作用势能之和为晶体的内能。

在OK 时，原子还存在零点振动能。

但零点振动能与原子间的相互作用势能的绝对值相比小得多.所以，在OK 时原子间的相互作用势能的绝对值近似等于晶体的结合能。

4． 原子间的排斥作用取决于什么原因？
［解答］ 相邻的原子靠得很近，以至于它们内层闭合壳层的电子云发生重叠时，相邻的原子间便产生巨大排斥力。

也就是说，原子间的排斥作用来自相邻原子内层闭合层壳电子云的重叠。

5． 原子间的排斥作用和吸引作用有何关系?起主导的范围是什么?
［解答］ 在原子由分散无规则的中性原子结合成规则排列的晶体过程中，吸引力起了主要作用。

在吸引力的作用下，原子间的距离缩小到一定程度，原子间才出现排斥力.当排斥力与吸引力相等时，晶体达到稳定结合状态.可见，晶体要达到稳定结合状态,吸引力与排斥力缺一不可。

设此时相邻原子间的距离为0r ，当相邻原子间的距离0r r > 时，吸引力起主导作用；当相邻原子间的距离0r r <时，排斥力起主导作用。

6． 共价结合为什么有“饱和性”和“方向性”？
[解答] 设N 为一个原子的价电子数目,对于ⅣA,ⅤA ，ⅥA ，ⅦA 族元素，价电子壳层一共有8个量子态,最多能接纳（8—N ）个电子，形成(8—N ）个共价键，这就是共价结合的“饱和性"。

共价键的形成只在特定的方向上，这些方向是配对电子波函数的对称轴方向，在这个方向上交迭的电子云密度最大。

这就是共价结合的“方向性”.
7． 共价结合，两原子电子云交叠产生吸引，而原子靠近时，电子云交叠会产生巨大的排斥力,如何解释？ [解答］ 共价结合，形成共价键的配对电子，它们的自旋方向相反，这两个电子的电子云交迭使得体系的能量降低，结构稳定。

但当原子靠得很近时，原子内部满壳层电子的电子云交迭，量子态相同的电子产生巨大的排斥力，使得系统的能量急剧增大。

8． 试解释一个中性原子吸收一个电子一定要放出能量的现象。

[解答] 当一个中性原子吸收一个电子变成一个负离子，这个电子能稳定地进入原子的壳层中，这个电子与原子核的库仑吸引能的绝对值一定大于它与其他电子的排斥能。

但这个电子与原子核的库仑吸引能是一个负值.也就是说，当中性原子吸收一个电子变成负离子后，这个离子的能量要低于中性原子的能量。

因此，一个中性原子吸收一个电子一定要放出能量。

9． 为什么许多金属为密积结构?
［解答］ 金属结合中，受到最小能量原理的约束,要求原子实与共有电子电子云间的库仑能要尽可能的低.原子实越紧凑，原子实与共有电子电子云靠得就越紧密，库仑能就越低.所以，许多金属的结构为密积结构。

10． 何为杂化轨道？
[解答] 为了解释金刚石中碳原子具有4个等同的共价键,1931年泡林（Pauling ）和斯莱特(Slater)提出了杂化轨道理论，碳原子有4个价电子,它们分别对应 s 2ϕ ，x p 2ϕ ，y p 2ϕ ,z p 2ϕ量子态，在构成共价键时，它们组成了4个新的量子态)(2122221z y x p p p s ϕϕϕϕϕ+++=
；)(2
1
22222z y x p p p s ϕϕϕϕϕ--+=；)(2
122223z y
x
p p
p s ϕϕϕϕϕ-+-=；)(2
1
22224z y x p p p s ϕϕϕϕϕ+--=。

4个电子分别占据1ϕ ,2ϕ，
3ϕ ,4ϕ新轨道，在四面体顶角方向形成4个共价键.
11.如何理解电负性可用电离能加亲和能来表征?
解答:使原子失去一个电子所需要的能量称为原子的电离能， 电离能的大小可用来度量原子对价电子的束缚强弱。

一个中性原子获得一个电子成为负离子所释放出来的能量称为电子亲和能。

放出来的能量越多， 这个负离子的能量越低, 说明中性原子与这个电子的结合越稳定. 也就是说， 亲和能的大小也可用来度量原子对电子的束缚强弱。

原子的电负性大小是原子吸引电子的能力大小的度量. 用电离能加亲和能来表征原子的电负性是符合电负性的定义的
12.你认为固体的弹性强弱主要由排斥作用决定呢， 还是吸引作用决定？ ［解答]
如上图所示, 0r 附近的力曲线越陡, 当施加一定外力， 固体的形变就越小. 0r 附近力 曲线的斜率决定了固体的弹性性质. 而0r 附近力曲线的斜率主要取决于排斥力。

因此, 固体的弹性强弱主要由排斥作用决定。

13.固体呈现宏观弹性的微观本质是什么？ [解答]
固体受到外力作用时发生形变， 外力撤消后形变消失的性质称为固体的弹性。

设无外力时相邻原子间的距离为0r ， 当相邻原子间的距离r 〉0r 时， 吸引力起主导作用; 当相邻原子间的距离r<0r 时， 排斥力起主导作用。

当固体受挤压时， r<0r, 原子间的排斥力抗击着这一形变. 当固体受拉伸时， r>0r, 原子间的吸引力抗击着这一形变. 因此, 固体呈现宏观弹性的微观本质是原子间存在着相互作用力， 这种作用力既包含着吸引力, 又包含着排斥力.
14. 一维原子链,正负离子间距为a ，试证：马德隆常数为2ln 2=μ
[解答] 相距ij r 的两个离子间的互相作用势能可表示成 n ij
ij ij r b
r q r u +=π4)(2 。

设最近邻原子间的距离为R ,则有 R a r j ij =，则总的离子间的互作用势能
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±-
==
∑
∑∑
n j j
n j j j
ij a b R a R q N
r u N U /
/02'
1142
)(2
πε。

其中 )1
(/
j
j
a ±
=
∑
μ为离子晶格的马德隆常数，式中+、-号分别对应于参考离子相异和相同的离子。

任选一正离子作为参考离子，在求和中对负离子取正号，对正离子取负号，考虑到对一维离子链,参考离子两边的离子是正负对称分布的，则有
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+-+-=±=∑...413121112)1(/
j j
a μ. 利用下面的展开式 ln (4)
32)1(4
32+-+-=+x x x x x ， 并令1=x ，得
=+-+-
...4
1
31211ln(1+1）=ln2 于是，一维离子链的马德隆常数为 =μ 2 ln2。

15. 设离子晶体中，离子间的互作用势为⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧±+-=最近邻以外，最近邻,)(22r
e R b
R e r u m 。

证明：晶体平衡时，离 子间总的相互作用势能)1()(00--
=m R NZb
R U m
,其中Z 是晶体配位数。

证明: 设离子数目为2N ，以R a r j ij =表示第j 个离子到参考离子i 的距离,忽略表面效应，则总的相互作用能可表示为
][])([
22/
m m j j R
b
Z R e N R b R a e N U +-=+±-=∑∑
μ最近邻,
其中 )1
(/
j
j
a ±
=
∑
μ为马德隆常数，+号对应于异号离子，—号对应于同号离子；Z 为任一离子的最近邻数目。

设平衡时0R R =，由平衡条件,
0][
1
2
02
=-
=+m R R Zmb
R e N dr
dU
μ， 得 2
10e R Zmb m μ=-，即11
2
0)(-=m e
Zmb R μ.
于是，晶体平衡时离子间总的相互作用势能 )1(][0
000--=+-
=m R NZb
R Zb R Zmb N U m
m m 。

16. 两原子间互作用势,)(8
2
r
r
r u β
α
+
-
= 当两原子构成一稳定分子时,核间距为o
A 3，解离能为4eV ，求
βα和。

［解答］ 当两原子构成一稳定分子即平衡时,其相互作用势能取极小值，于是有
082)(90
300=-==r r dr r du r r β
α。

由此得平衡时两原子间的距离为 6
1
0)4(
α
β
=r ， （1）
而平衡时的势能为 2
08
02
0043)(r r r r u α
β
α
-
=+
-
=. (2） 根据定义，解离能为物体全部离解成单个原子时所需要的能量，其值等于)(0r u 。

已知解离能为4eV ，因此得
4432
=r α
eV. （3） 再将o
A 30=r 代入（1）、（3）两式，得 238
1069.7m J ⋅⨯=-α， 895
1040.1m J ⋅⨯=-β.
17. 勒纳—琼斯势为],)()
[(4)(612
r
r
r u σ
σ
ε-= 证明:σ12.1=r 时，势能最小,且ε-=)(r u ；当σ=r 时，
0)(=r u ；说明ε和σ的物理意义。

[解答］ 当0r r =时，)(r u 取最小值)(0r u ，由极值条件
0)
(0
==r r dr r du ，
得 0)6
12
(470
6
130
12
=+-r
r
σσε。

于是有 σσ12.126
1
0==r 。

再代入u 的表示式得
εεσσ
ε-=-=-=)2
1
41(4])()[(
4)(601200r r r u 。

当σ=r 时，则有 0])()[(4)(6
12=-=σ
σσσεσu 。

由于)(0r u 是两分子间的结合能，所以ε即是两分子处于平衡时的结合能.σ具有长度的量纲，它的物理意义是互作用势能为0时两分子间的间距。

18。

bcc 和fcc Ne 的结合能,用林纳德—琼斯（Lennard —Jones ）势计算Ne 在bcc 和fcc 结构中的结合能之比值．
＜解＞12
612
61()4()(),()(4)()()2n l u r u r N A A r r r r σ
σσ
σεε⎡⎤
⎡
⎤
=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣
⎦
2
6
661200612
()102
2r A A du r r u N r A A σε⎛⎫=⇒=⇒=- ⎪⎝⎭ 220662
01212()12.25/9.11()/()0.957()14.45/12.13
bcc bcc fcc fcc u r A A u r A A ωω'===='
19. 若一晶体的相互作用能可以表示为 ()m
n
u r r r α
β
=-
+
试求:（1）平衡间距0r ；
（2）结合能W （单个原子的)； （3）体弹性模量；
（4)若取02,10,3,4m n r A W eV ====，计算α及β的值。

解：（1）求平衡间距r 0 由
0)
(0
==r r dr
r du ,有：
m
n n
m n m m n n m r r n r m --++⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⇒=-1
1
01.0100αββαβ
α
结合能：设想把分散的原子(离子或分子）结合成为晶体,将有一定的能量释放出来,这个能量称为结合能（用w
表示）
（2）求结合能w （单个原子的)
题中标明单个原子是为了使问题简化,说明组成晶体的基本单元是单个原子，而非原子团、离子基团，或其它复杂的基元。

显然结合能就是平衡时，晶体的势能，即U min
即:n m r
r
r U W 0
0)(β
α
-
+
=-= （可代入r 0值,也可不代入）
(3）体弹性模量
由体弹性模量公式:0
220
2
09r r U V r k ⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛∂∂=
（4）m = 2，n = 10，
A r 30=, w = 4eV ，求α、β
81
8
1
05210⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=αβαβr ①
)5(54)(802
010
.
20
0代入α
β
αβ
α
=
-
=+
-
=r r r r
r U
eV r r U W 454)(2
00==
-=⇒α
② 将
A r 30=，J eV 19
10602.11-⨯=代入①②
2
1152
3810459.910209.7m
N m N ⋅⨯=⋅⨯=⇒--βα (1）平衡间距r 0的计算 晶体内能()()2m n N U r r r
αβ=
-+ 平衡条件
0r r dU
dr
==,11000m n m n r r αβ++-+=,1
0(
)n m n r m βα
-
= （2）单个原子的结合能
01()2W u r =-，0
0()()m n r r u r r r αβ
==-+，1
0()n m n r m βα-= 1(1)()2m
n m m n W n m βαα--=-
（3）体弹性模量0
202(
)V U
K V V ∂=⋅∂
晶体的体积3
V NAr =，A 为常数，N 为原胞数目 晶体内能()()2m n N U r r r
αβ=
-+ U U r V r V ∂∂∂=∂∂∂112
1
()23m n N m n r r NAr αβ++=- 22112
1
[()]23m n U N r m n V V r r r NAr
αβ++∂∂∂=-∂∂∂ 0
2222
200000
1[]29m n m n V V U N m n m n V V r r r r αβαβ=∂=-+-+∂ 由平衡条件
112
0001
()023m n V V U N m n V
r r NAr αβ++=∂=
-=∂，得0
0m n m n r r αβ= 0
22222000
1[]29m n V V U
N m n V V r r αβ=∂=-+∂ 0
22
20001[]29m n
V V U N m n m n V V r r αβ
=∂=
-+∂200
0[]29m n N nm V r r αβ=--+ 000
()2m n N U r r αβ
=
-+ 0
202
2
()9V V U mn
U V V =∂=
-∂ 体弹性模量0
9mn
K U V = (4)若取02,10,3,4m n r A W eV ====
10()n m n r m βα-=，1(1)()2m
n m m n W n m βαα
--=-
10
02
W r β=
，20100[2]r W r βα=+
-95101.210eV m β=⨯⋅，1929.010eV m α-=⨯⋅。