丽水市数学高三上期中提高卷(含解析)

一、选择题
1．设ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则这
个三角形的形状是 （ ） A ．直角三角形
B ．等边三角形
C ．等腰直角三角形
D ．钝角三角形
2．已知实数x ，y 满足521802030x y x y x y +-≤⎧⎪
-≥⎨⎪+-≥⎩
，若直线10kx y -+=经过该可行域，则实数k
的最大值是（ ） A ．1
B ．
32
C ．2
D ．3
3．已知数列{}n a 满足11a =，12n
n n a a +=+，则10a =（ ）
A ．1024
B ．2048
C ．1023
D ．2047
4．设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和，若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ）
A ．2
B ．-2
C ．
12
D ．12
-
5．在斜ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知
sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，CD 是角C 的内角平分线，且CD b =，则cos C （ ）
A ．18
B ．34
C ．2
3 D ．16
6．若关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解,则a 的取值范围是（ ） A ．23,5⎛⎫
-
+∞ ⎪⎝⎭
B ．23,15⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
C ．()1,+∞
D ．23,
5⎛
⎤
-∞ ⎥⎝⎦
7．数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1，则122019
111
a a a ++⋯+=（ ） A ．
2020
2019
B ．
2019
1010
C ．
2017
1010
D ．
4037
2020
8．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度的看台的某一列的正前方，
从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为
和
，第一排和最后一排
的距离为56米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．若国歌长度约为秒，要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为()（米 /秒）
A ．
110
B ．
310
C ．
12
D ．
710
9．若ln 2ln 3ln 5
,,235
a b c =
==，则 A ．a b c << B ．c a b << C ．c b a <<
D ．b a c <<
10．已知ABC ∆的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小
角的余弦值为（ ） A ．
34
B ．
56
C ．
78
D ．
23
11．在等比数列{}n a 中，21a a 2-=，且22a 为13a 和3a 的等差中项，则4a 为( ) A ．9
B ．27
C ．54
D ．81
12．在数列{}n a 中，12a =，11
ln(1)n n a a n +=++，则n a =
A ．2ln n +
B ．2(1)ln n n +-
C ．2ln n n +
D ．1ln n n ++
13．已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，且1514a a +=-，927S =-，则使得n S 取最小值时的n 为（ ）． A ．1
B ．6
C ．7
D ．6或7
14．数列{}n a 中，()1121n
n n a a n ++-=-，则数列{}n a 的前8项和等于（ ） A ．32
B ．36
C ．38
D ．40
15．若正数,x y 满足40x y xy +-=，则3
x y
+的最大值为 A ．
13
B ．38
C ．
37
D ．1
二、填空题
16．已知命题2
0001
:,02
p x R ax x ∃∈++≤,若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________.
17．已知数列{}n a 是等差数列，若471017a a a ++=,
45612131477a a a a a a ++++++=，且13k a =,则k =_________．
18．已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于 .
19．已知数列{}n a 满足11a =，11
1n n
a a +=-
+，*n N ∈，则2019a =__________． 20．已知数列{ a n }的前n 项和S n =n 2+n(n ∈N ∗)，则lim
n→∞na n S n
=_______．
21．已知二次函数22()42(2)21f x x p x p p =----+，若在区间[1,1]-内至少存在一个
实数x 使
()0f x >，则实数p 的取值范围是__________.
22．定义11222n n
n a a a H n
-++
+=
为数列{}n a 的均值,已知数列{}n b 的均值1
2
n n H +=,
记数列{}n b kn -的前n 项和是n S ,若5n S S ≤对于任意的正整数n 恒成立,则实数k 的取值范围是________．
23．已知数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则
n
a n
的最小值为__________. 24．设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为__________． 25．在△ABC 中，2BC =，7AC =，3
B π
=
，则AB =______；△ABC 的面积是
______．
三、解答题
26．已知数列{n a }的前n 项和1
*1()
2()2
n n n S a n N -=--+∈，数列{n b }满足n b =2n n a ．
(I)求证数列{n b }是等差数列，并求数列{n a }的通项公式； (Ⅱ)设2log n n n c a =，数列
{22n n c c +}的前n 项和为T n ，求满足*25
()21
n T n N <∈的n 的最大值.
27．如图，在平面四边形ABCD 中，42AB =，22BC =，4AC =.
（1）求cos BAC ∠；
（2）若45D ∠=︒，90BAD ∠=︒，求CD .
28．若数列{}n a 是递增的等差数列，它的前n 项和为n T ，其中39T =，且1a ,2a ,5a 成等
比数列.
（1）求{}n a 的通项公式； （2）设1
1n n n b a a +=
，数列{}n b 的前n 项和为n S ，若对任意*n N ∈，2
4n S a a ≤-恒成立，求a 的取值范围.
29．已知数列{}n a 的前n 项和()
2*
,,n S pn qn p q n =+∈∈R N ，且143,24.a S ==
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设2n a
n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
30．已知函数(
)cos f x x x =-. （1）求函数()f x 在,2x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
的值域； （2）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若
78663f A f B ππ⎛
⎫⎛
⎫+
=+- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，求a b 的取值范围．
【参考答案】
2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案
**科目模拟测试
一、选择题 1．B 2．B 3．C 4．D 5．A 6．A 7．B
8．B
9．B
10．A
11．B
12．A
13．B
14．B
15．A
二、填空题
16．【解析】【分析】根据命题否定为真结合二次函数图像列不等式解得结果【详解】因为命题是假命题所以为真所以【点睛】本题考查命题的否定以及一元二次不等式恒成立考查基本分析求解能力属基础题
17．18【解析】观察下标发现4710成等差数列所以同理
18．【解析】【分析】【详解】由题意解得或者而数列是递增的等比数列所以即所以因而数列的前项和故答案为考点：1等比数列的性质；2等比数列的前项和公式
19．-2【解析】【分析】根据题干中所给的表达式得到数列的周期性进而得到结果【详解】根据题干表达式得到可以得数列具有周期性周期为3故得到故得到故答案为：-2【点睛】这个题目考查了求数列中的某些项一般方法是
20．2【解析】【分析】【详解】由Sn＝n2+n（n∈n*）当n＝1a1＝S1＝1+1＝2当n≥2时an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2+n﹣（n﹣1）2-（n﹣1）＝2n当n＝1时a1＝2×1＝2成立∵an＝2n
21．【解析】试题分析：因为二次函数在区间内至少存在一个实数使的否定是：函数在区间内任意实数使所以即整理得解得或所以二次函数在区间内至少存在一个实数使的实数的取值范围是考点：一元二次方程的根与系数的关系【
22．【解析】【分析】因为从而求出可得数列为等差数列记数列为从而将对任意的恒成立化为即可求得答案【详解】故则对也成立则数列为等差数列记数列为故对任意的恒成立可化为:；即解得故答案为:【点睛】本题考查了根据
23．【解析】【分析】先利用累加法求出an＝33+n2﹣n所以设f（n）由此能导出n＝5或6时f（n）有最小值借此能得到的最小值【详解】解：∵an+1﹣an＝2n∴当n≥2时an＝（an﹣an﹣1）+（a
24．【解析】【分析】先根据条件列关于公差的方程求出公差后代入等差数列通项公式即
可【详解】设等差数列的公差为【点睛】在解决等差等比数列的运算问题时有两个处理思路一是利用基本量将多元问题简化为首项与公差（公
25．；【解析】试题分析：由余弦定理得即得考点：余弦定理三角形面积公式
三、解答题 26． 27． 28． 29． 30．
2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析
【参考解析】
**科目模拟测试
一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】
先由ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，得出2,3
3
B A
C π
π
=
+=
,又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，所以23
sin sin sin 4
B A
C =⋅=，整理计算即可得出答案.
【详解】
因为ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，
所以2,3
3
B A
C π
π=
+=
, 又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列， 所以2
3sin sin sin 4
B A
C =⋅= 所以222sin sin sin sin cos sin cos
333A A A A A πππ⎛⎫⎛
⎫⋅-=⋅-
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
2111113
2sin 2cos 2sin 22442344
A A A A A π⎛⎫=
+=-+=-+= ⎪⎝⎭ 即sin 213A π⎛⎫-= ⎪⎝
⎭
又因为203
A π
<< 所以3
A π
=
故选B 【点睛】
本题考查数列与三角函数的综合，关键在于求得2,3
3
B A
C π
π
=+=
，再利用三角公式转化，属于中档题.
2．B
解析：B 【解析】 【分析】
先根据约束条件画出可行域，再利用直线20kx y -+=过定点()0,1，再利用k 的几何意义，只需求出直线10kx y -+=过点()2,4B 时，k 值即可． 【详解】
直线20kx y -+=过定点()0,1， 作可行域如图所示，
，
由5218020x y x y +-=⎧⎨-=⎩
，得()2,4B ．
当定点()0,1和B 点连接时，斜率最大，此时413
202
k -==-， 则k 的最大值为：32
故选：B ． 【点睛】
本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．
3．C
解析：C 【解析】 【分析】 根据叠加法求结果. 【详解】
因为12n n n a a +=+，所以12n
n n a a +-=，
因此10
98
1010921198122221102312
a a a a a a a a -=-+-++-+=++
++==-，选C.
【点睛】
本题考查叠加法求通项以及等比数列求和，考查基本分析求解能力，属基础题.
4．D
解析：D 【解析】 【分析】 把已知2
2
14S S S 用数列的首项1a 和公差d 表示出来后就可解得1a ．，
【详解】
因为124S S S ，，成等比数列，所以2
214S S S ，即211111
(21)(46).2
a a a a -=-=-，
故选D. 【点睛】
本题考查等差数列的前n 项和，考查等比数列的性质，解题方法是基本量法．本题属于基础题．
5．A
解析：A 【解析】 【分析】
利用正弦定理角化边可构造方程2cos cos b
C C a
=，由cos 0C ≠可得2a b =；利用ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+可构造方程求得3
cos 24
C =，利用二倍角公式求得结果.
【详解】
由正弦定理得：22224cos a b c b C +-=
则22224cos 2cos cos 22a b c b C b
C C ab ab a
+-===
ABC ∆为斜三角形 cos 0C ∴≠ 2a b ∴=
ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+ 1112sin sin 2sin 22222
C C
b b C b b b b ∴⋅=⋅+⋅
即：2sin 4sin cos 3sin 222
C C C
C ==
()0,C π∈ 0,22C π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭ sin 02C ∴≠ 3cos 24
C ∴= 2
91cos 2cos 1212168
C C ∴=-=⨯-= 本题正确选项：A 【点睛】
本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理和三角形面积公式的应用、二倍角公式求三角函数值等知识；关键是能够通过面积桥的方式构造方程解出半角的三角函数值.
6．A
解析：A 【解析】 【分析】
利用分离常数法得出不等式2a x x >
-在[]15x ∈，上成立，根据函数()2
f x x x
=-在
[]15x ∈，上的单调性，求出a 的取值范围
【详解】
关于x 的不等式220x ax +->在区间[]
1,5上有解
22ax x ∴>-在[]15
x ∈，上有解 即2
a x x
>
-在[]15x ∈，上成立，
设函数数()2
f x x x
=
-，[]15x ∈，
()2
2
10f x x ∴'=-
-<恒成立 ()f x ∴在[]15x ∈，上是单调减函数
且()f x 的值域为2315⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
， 要2a x x >
-在[]15x ∈，上有解，则23
5
a >- 即a 的取值范围是23,5⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
故选A 【点睛】
本题是一道关于一元二次不等式的题目，解题的关键是掌握一元二次不等式的解法，分离含参量，然后求出结果，属于基础题．
7．B
解析：B 【解析】 【分析】
由题意可得n ≥2时，a n -a n -1=n ，再由数列的恒等式：a n =a 1+（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n -
1），运用等差数列的求和公式，可得a n ，求得
1n a =()21n n +=2（1n -1
1
n +），由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和． 【详解】
解：数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1， 即有n ≥2时，a n -a n -1=n ，
可得a n =a 1+（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n -1） =1+2+3+…+n =
1
2
n （n +1），1n =也满足上式 1n a =()21n n +=2（1n -11
n +），
则
122019111a a a ++⋯+=2（1-12+12-13
+…+12019-12020） =2（1-12020
）=2019
1010．
故选:B ． 【点睛】
本题考查数列的恒等式的运用，等差数列的求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．
8．B
解析：B 【解析】
试题分析： 如下图：
由已知，在ABC ∆中，105,45,56ABC ACB BC ∠=∠==,从而可得：30BAC ∠= 由正弦定理，得：
56
sin 45sin 30
AB =
， 103AB ∴=
那么在Rt ADB ∆中，60ABD ∠=,3
sin 60103152
AD AB ∴===， 即旗杆高度为15米，由3155010÷=，知：升旗手升旗的速度应为3
10
（米 /秒）. 故选B ．
考点：解三角形在实际问题中的应用．
9．B
解析：B 【解析】 试题分析：因为
ln 2ln 3ln8ln 9ln 2ln 3
0,23623
--=<<，ln 2ln 5ln 32ln 25ln 2ln 5
0,251025--=>>，故选B. 考点：比较大小.
10．A
解析：A 【解析】 【分析】
设三角形的三边分别为,1,2(*)n n n n N ++∈，根据余弦定理求出最小角的余弦值，然后再由正弦定理求得最小角的余弦值，进而得到n 的值，于是可得最小角的余弦值． 【详解】
由题意，设ABC ∆的三边长分别为,1,2(*)n n n n N ++∈，对应的三角分别为,,A B C ， 由正弦定理得222
sin sin sin 22sin cos n n n n A C A A A
+++===， 所以2
cos 2n A n
+=
． 又根据余弦定理的推论得222(2)(1)5
cos 2(2)(1)2(2)n n n n A n n n +++-+==+++．
所以25
22(2)
n n n n ++=+，解得4n =， 所以453
cos 2(42)4
A +=
=+，
即最小角的余弦值为34
． 故选A ． 【点睛】
解答本题的关键是求出三角形的三边，其中运用“算两次”的方法得到关于边长的方程，使得问题得以求解，考查正余弦定理的应用及变形、计算能力，属于基础题．
11．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据题意，设等比数列{}n a 的公比为q ，由22a 为13a 和3a 的等差中项，可得
21322a 3a a ⨯=+，利用等比数列的通项公式代入化简为2q 4q 30-+=，解得q ，又21a a 2-=，即()1a q 12-=，q 1≠，分析可得1a 、q 的值，可得数列{}n a 的通项公
式，将n 4=代入计算可得答案． 【详解】
解：根据题意，设等比数列{}n a 的公比为q ，
若22a 为13a 和3a 的等差中项，则有21322a 3a a ⨯=+，变形可得2
1114a q 3a a q =+，即
2q 4q 30-+=，
解得q 1=或3；
又21a a 2-=，即()1a q 12-=，则q 3=，1a 1=，
则n 1
n a 3-=，则有34a 327==；
故选：B ． 【点睛】
本题考查等比数列的性质以及通项公式，关键是掌握等比数列通项公式的形式，属于基础题．
12．A
解析：A 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：在数列{}n a 中，11ln 1n n a a n +⎛⎫-=+
⎪⎝⎭
112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+
12ln
ln ln 2121n n n n -=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++-- 12
ln(
)2121
n n n n -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-- ln 2n =+ 故选A. 13．B 解析：B 【解析】
试题分析：由等差数列
的性质，可得
，又，所以
，所以数列
的通项公式为
，令
，解得
，所以数列的前六项为负数，从第七项开始为正数，所以使得
取最小值时的为
，故选B ．
考点：等差数列的性质.
14．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据所给数列表达式，递推后可得()
1
21121n n n a a n ++++-=+.并将原式两边同时乘以
()
1n
-后与变形后的式子相加，即可求得2n n a a ++，即隔项和的形式.进而取n 的值，代入
即可求解. 【详解】
由已知()1121n
n n a a n ++-=-，① 得()
1
21121n n n a a n ++++-=+，②
由()1n ⨯-+①②得()()()212121n
n n a a n n ++=-⋅-++，
取1,5,9n =及2,6,10n =，易得13572a a a a +=+=，248a a +=，6824a a +=， 故81234836S a a a a a =++++⋅⋅⋅+=. 故选：B. 【点睛】
本题考查了数列递推公式的应用，对数列表达式进行合理变形的解决此题的关键，属于中档题.
15．A
解析：A 【解析】 【分析】
分析题意，取3x y +倒数进而求3
x y
+的最小值即可；结合基本不等式中“1”的代换应用即
可求解。

【详解】
因为40x y xy +-=，化简可得4x y xy +=，左右两边同时除以xy 得
14
1y x
+= 求
3x y +的最大值，即求
333
x y x y
+=+ 的最小值 所以1413333x y x y y x ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫+⨯=+⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
4143333
x y y x =
+++
1433
≥+ 3≥，当且仅当
433x y y x
=时取等号
所以
3x y +的最大值为1
3
所以选A 【点睛】
本题考查了基本不等式的简单应用，关键要注意“1”的灵活应用，属于基础题。

二、填空题
16．【解析】【分析】根据命题否定为真结合二次函数图像列不等式解得结果【详解】因为命题是假命题所以为真所以【点睛】本题考查命题的否定以及一元二次不等式恒成立考查基本分析求解能力属基础题
解析：1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
根据命题否定为真，结合二次函数图像列不等式，解得结果 【详解】
因为命题2
0001:,02p x R ax x ∃∈++
≤是假命题，所以21
,02
x R ax x ∀∈++>为真 所以01
120
2a a a >⎧∴>⎨
-<⎩ 【点睛】
本题考查命题的否定以及一元二次不等式恒成立，考查基本分析求解能力，属基础题.
17．18【解析】观察下标发现4710成等差数列所以同理
解析：18 【解析】
471017a a a ++=，观察下标发现4，7，10成等差数列，所以74710317a a a a =++=，
717
3
a ∴=
同理94561213141177a a a a a a a =++++++=，97a ∴=423
d ∴=
，23
d =
91376k a a -=-=2
693÷=9918k ∴=+=
18．【解析】【分析】【详解】由题意解得或者而数列是递增的等比数列所以即所以因而数列的前项和故答案为考点：1等比数列的性质；2等比数列的前项和公式 解析：21n -
【解析】 【分析】 【详解】
由题意，1423
149
8a a a a a a +=⎧⎨⋅=⋅=⎩，解得141,8a a ==或者148,1a a ==，
而数列{}n a 是递增的等比数列，所以141,8a a ==， 即3
4
1
8a q a =
=，所以2q ，
因而数列{}n a 的前n 项和1(1)1221112
n n
n n a q S q --=
==---，故答案为21n -. 考点：1.等比数列的性质；2.等比数列的前n 项和公式.
19．-2【解析】【分析】根据题干中所给的表达式得到数列的周期性进而得到结果【详解】根据题干表达式得到可以得数列具有周期性周期为3故得到故得到故答案为：-2【点睛】这个题目考查了求数列中的某些项一般方法是
解析：-2 【解析】 【分析】
根据题干中所给的表达式得到数列的周期性，进而得到结果. 【详解】
根据题干表达式得到234
123
1111
,2, 1.1211a a a a a a =-=-=-=-=-=+++ 567455
1111
,2, 1.1211a a a a a a =-
=-=-=-=-=+++ 可以得数列具有周期性，周期为3，故得到20193673.÷= 故得到2019 2.a =- 故答案为：-2. 【点睛】
这个题目考查了求数列中的某些项，一般方法是求出数列通项，对于数列通项不容易求的题目，可以列出数列的一些项，得到数列的周期或者一些其它规律，进而得到数列中的项.
20．2【解析】【分析】【详解】由Sn ＝n2+n （n ∈n*）当n ＝1a1＝S1＝1+1＝2当n≥2时an ＝Sn ﹣Sn ﹣1＝n2+n ﹣（n ﹣1）2-（n ﹣1）＝2n 当n ＝1时a1＝2×1＝2成立∵an ＝2n
解析：2 【解析】 【分析】 【详解】
由S n ＝n 2+n （n ∈n *）， 当n ＝1，a 1＝S 1＝1+1＝2，
当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝n 2+n ﹣（n ﹣1）2-（n ﹣1）＝2n ，
当n ＝1时，a 1＝2×1＝2，成立， ∵a n ＝2n （n ∈n *）， ∴lim n→∞na n
S n
=lim
n→∞2n 2
n (n+1)
=2lim n→∞1
1+
1n
=2， ∴lim
n→∞na n S n
=2，
故答案为2．
21．【解析】试题分析：因为二次函数在区间内至少存在一个实数使的否定是：函数在区间内任意实数使所以即整理得解得或所以二次函数在区间内至少存在一个实数使的实数的取值范围是考点：一元二次方程的根与系数的关系【
解析：3
(3,)2
-
【解析】
试题分析：因为二次函数()f x 在区间[1,1]-内至少存在一个实数x ，使()0f x >的否定是：“函数()f x 在区间[1,1]-内任意实数x ，使()0f x ≤”，所以(1)0
{
(1)0
f f ≤-≤，即
2242(2)210{42(2)210p p p p p p ----+≤+---+≤，整理得22
2390{210
p p p p +-≥--≥，解得32p ≥或3p ≤-，所以二次函数在区间[1,1]-内至少存在一个实数x ，使()0f x >的实数p 的取值范围是
3
(3,)2
-.
考点：一元二次方程的根与系数的关系.
【方法点晴】本题主要考查了一元二次方程的根的分布与系数的关系，其中解答中涉及到一元二次函数的图象与性质、不等式组的求解、命题的转化等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，其中根据二次函数的图象是开口方向朝上的抛物线，得到对于区间[1,1]-内的任意一个x 都有()0f x >时，得到不等式组是解答的关键，属于中档试题.
22．【解析】【分析】因为从而求出可得数列为等差数列记数列为从而将对任意的恒成立化为即可求得答案【详解】故则对也成立则数列为等差数列记数列为故对任意的恒成立可化为:；即解得故答案为:【点睛】本题考查了根据
解析：712[,]35
【解析】 【分析】
因为1112222n n n b b b n -+++⋯+=⋅,2121()2212n n
n b b b n --++⋯+=-⋅,从而求出
2(1)n b n =+,可得数列
{}n b kn -为等差数列,记数列{}n b kn -为{}n c ,从而将5n S S ≤对任
意的*(N )n n ∈恒成立化为50c ≥,60c ≤,即可求得答案.
【详解】 1112222n n n
n b b b H n
-+++
+=
=,
∴ 1112222n n n b b b n -+++
+=⋅,
故2121()(22212)n n n b b n b n --⋅++=-≥+
,
∴112212()n n n n b n n -+=⋅--⋅1()2n n =+⋅,
则2(1)n b n =+,对1b 也成立,
∴2(1)n b n =+,
则()22n b kn k n -=-+,
∴数列{}n b kn -为等差数列,
记数列{}n b kn -为{}n c .
故5n S S ≤对任意的*
N ()n n ∈恒成立,可化为:50c ≥,60c ≤；
即5(2)206(2)20k k -+≥⎧⎨-+≤⎩
,解得,71235k ≤≤,
故答案为:712
[,]35
． 【点睛】
本题考查了根据递推公式求数列通项公式和数列的单调性,掌握判断数列前n 项和最大值的方法是解题关键,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
23．【解析】【分析】先利用累加法求出an ＝33+n2﹣n 所以设f （n ）由此能导出n ＝5或6时f （n ）有最小值借此能得到的最小值【详解】解：∵an+1﹣an ＝2n ∴当n≥2时an ＝（an ﹣an ﹣1）+（a
解析：21
2
【解析】 【分析】
先利用累加法求出a n ＝33+n 2﹣n ，所以
331n a n n n =+-，设f （n ）33
1n n
=+-，由此能导出n ＝5或6时f （n ）有最小值．借此能得到n
a n
的最小值． 【详解】
解：∵a n +1﹣a n ＝2n ，∴当n ≥2时，a n ＝（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1＝2[1+2+…+（n ﹣1）]+33＝n 2﹣n +33 且对n ＝1也适合，所以a n ＝n 2﹣n +33． 从而
33
1n a n n n
=+-
设f （n ）331n n =+-，令f ′（n ）233
10n
-=+＞，
则f （n ）在
)
+∞上是单调递增，在(0上是递减的，
因为n ∈N +，所以当n ＝5或6时f （n ）有最小值． 又因为55355a =，66321662
a ==， 所以
n a n 的最小值为62162
a = 故答案为 21
2
【点睛】
本题考查了利用递推公式求数列的通项公式，考查了累加法．还考查函数的思想，构造函数利用导数判断函数单调性．
24．【解析】【分析】先根据条件列关于公差的方程求出公差后代入等差数列通项公式即可【详解】设等差数列的公差为【点睛】在解决等差等比数列的运算问题时有两个处理思路一是利用基本量将多元问题简化为首项与公差（公 解析：63n a n =-
【解析】 【分析】
先根据条件列关于公差的方程，求出公差后，代入等差数列通项公式即可. 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ，
13334366a d d d =∴+++=∴=，，，36(1)6 3.n a n n ∴=+-=-
【点睛】
在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路，一是利用基本量，将多元问题简化为首项与公差（公比）问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确：二是利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.
25．；【解析】试题分析：由余弦定理得即得考点：余弦定理三角形面积公式
解析：；
2
【解析】
试题分析：由余弦定理得22202cos60AC AB BC AB BC =+-⋅，即
21
74222AB AB =+-⋅⋅，得2230AB AB --=，31()AB ∴=-或舍，
011sin 603222S AB BC =
⋅=⨯⨯=
考点：余弦定理，三角形面积公式.
三、解答题 26． (I)(Ⅱ)
【解析】
试题分析：（1）由和项求通项，注意分类讨论：当2n ≥时，
1
111.2n n n n n n a S S a a ---⎛⎫
=-=-+- ⎪
⎝⎭即
1
1111222 1.2n n n n n n n a a a a ----⎛⎫
=+⇒=+ ⎪
⎝⎭
1 1.n n b b -⇒=+根据等差数列定义可证，并求
出通项公式()111,n b n n =+-⨯=所以.2
n n n a = （2）因为,
n c n =2211
.2n n c c n n +=-+所以裂项相消法求和得1111212
n T n n =+--++，这是一个递增数列，而4
52525
2121
T T ，，因此n 的最大值为4. 试题解析：解：（1）：在1
122n n n s a -⎛⎫=--+ ⎪
⎝⎭中，令1,n =可得
11111
12,.2
a S a a ==--+=
当2n ≥时，1
1112,2n n n S a ---⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭所以1
111.2n n n n n n a S S a a ---⎛⎫
=-=-+- ⎪
⎝⎭
即1
11112,22 1.2n n n n n n n a a a a ----⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭
而12, 1.n n
n n n b a b b -=∴=+
即当12, 1.n n n b b -≥-=又1121,b a ==
所以，数列{}n b 是首项和公差均为1的等差数列． 于是()111,n b n n =+-⨯=所以.2
n n n a = （2）因为2
2log log 2,n n n n
c n a ===所以
()22211.·22
n n c c n n n n +==-++ 111111
1111111...132435112212n T n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+-=+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
-++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
由25,21n T <
得111251,21221n n +--<++即1113.1242
n n +>++
又()1112f n n n =
+++单调递减，()()11134,5,3042
f f == n ∴的最大值为4.
考点：等差数列定义及通项公式，裂项相消法求和 【方法点睛】将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如（其中{a n }是各项均不为零的等差数列，c 为常数）的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和（如本例），还有一类隔一项的裂项求和，如（n≥2）或.
27．
（1
）8
；（2）CD ＝5 【解析】
【分析】
（1）直接利用余弦定理求cos∠BAC；（2）先求出
CD ．
【详解】 （1）在△ABC 中，由余弦定理得：222
cos 2AB AC BC BAC AB AC
+-∠=⋅
8==． （2）因为∠DAC＝90°－∠BAC，所以
sin∠DAC＝cos∠BAC＝
8， 所以在△ACD 中由正弦定理得：sin sin45CD AC DAC =∠︒
82
=， 所以CD ＝5．
【点睛】
本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
28．
(1) 21n a n =+ (2) 1a 2a ≤-≥或
【解析】
试题分析：（1）根据题目中所给的条件，用基本量来表示数列中的项，求出基本量，即可得到通项；（2）由第一问可得，11122121n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，进而裂项求和，得到221
n a a n ≤-+恒成立，求左式的最大值即可．
解析：
（1）
31239T a a a =++=，13a d ∴+= 又125,,a a a 成等比数列2215a a a ∴=
11a ∴=`,221n d a n =∴=-
（2）()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭ 1111111-++23352121n S n n ⎛⎫∴=-+⋅⋅⋅- ⎪-+⎝⎭ 111-221n =+（） 21
n n =+ 对任意的*n N ∈,24n S a a ≤-恒成立
只需n S 的最大值小于或等于24
a a -，而12n S < 22a a ∴-≥
1a ∴≤-或2a ≥
29．
（Ⅰ）21,n a n =+；（Ⅱ）8(41)3
n n T -=. 【解析】
【分析】
（Ⅰ）由题意可得1, 2.p q ==则22n S n n =+，利用通项公式与前n 项和的关系可得
21,n a n =+
（Ⅱ） 由（1）可知212n n b +=，结合等比数列前n 项和公式计算可得数列{}n b 的前n 项和
()8413
n n T -=.
【详解】 （Ⅰ）由14316424
S p q S p q =+=⎧⎨=+=⎩ 得21, 2.2.n p q S n n ===+ 所以当1n =时，1 3.a =
当2n ≥时，()()21121,n S n n -=-+-
所以()()()2
21212121,n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=+⎣⎦
检验1 3.a =符合21,n a n =+
（Ⅱ） 由（1）可知21,n a n =+
所以2122n a n n b +==.设数列{}n b 的前n 项和为n T ，则：
()()()1211212424242424444414214841.?
3n n n n n n n T --=⨯+⨯+
+⨯+⨯=++
++-=⨯
--= 所以数列{}n b 的前n 项和为()841
3n n
T -=.
【点睛】 本题主要考查数列通项公式与前n 项和公式的关系，等比数列前n 项和公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
30．
（1）[]1,2；（2）1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.
【解析】
【分析】
（1）利用两角差的正弦公式得出()2sin 6f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭，由,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦计算出6x π-的取值范围，再由正弦函数的基本性质可求出函数()y f x =在区间,2ππ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦上的值域； （2）根据题中条件得出4sin sin 3A B +=，可得出4sin sin 3
A B =-，由0sin 1A <≤，0sin 1B <≤，可求出1sin 13
B ≤≤，利用正弦定理以及不等式的性质可得出sin 41sin 3sin a A b B B
==-的取值范围. 【详解】
（1）
(
)1cos 2cos 2sin cos cos sin 266f x x x x x x x ππ⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
2sin 6x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭， ,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，5366x πππ∴≤-≤，则1sin 123x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，()12f x ∴≤≤， 因此，函数()y f x =在,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
的值域为[]1,2；
（2）78663f A f B ππ⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，即()82sin 2sin 3A B π+=-，化简得4sin sin 3A B +=，4sin sin 3
A B ∴=-， 由0sin 1A <≤，0sin 1B <≤，即40sin 130sin 1B B ⎧<-≤⎪⎨⎪<≤⎩
，得1sin 13B ≤≤. 由正弦定理得4sin sin 4131,3sin sin 3sin 3B a A b B B B -⎡⎤===-∈⎢⎥⎣⎦
.
因此，a b 的取值范围是1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. 【点睛】
本题考查正弦型函数值域的求解，同时也考查了三角形中边长比值取值范围的计算，考查运算求解能力，属于中等题.。