安全2.2

3.极坐标节点功率方程的牛顿－拉夫逊法

为使雅克比矩阵的各个元素具相似性，并为PQ解 藕法作铺垫，将雅克比矩阵中对电压的偏导元素 乘上电压值，后面电压增量上除上电压值，经过 上述处理后修正方程没有发生什么变化。将上面 的修正方程中的矩阵分为两部分： DP N H D DQ M L DV / V ，并非是矩阵相除；分块矩阵 阶矩阵，M为

（1）第一步：设定初值，对于PQ节点，其电压 幅值的初值设定为该点的额定电压，而相角设定
为零；对于PV节点，电压幅值已知，因此只设定
相角的初值，设定为零。

（2）第二步：求出PQ节点有功功率和无功功率
增量 DP ( k )、DQ(k )，以及PV节点的有功功率和电压
T DP [DP , D P , , D P ] 1 2 N 1
DP(, V) 0 DQ(, V) 0
DQ [DQ1 , DQ2 ,, DQM ]
T
[1 , 2 ,, N 1 ]T
V [V1 ,V2 ,,VM ]T
3.极坐标节点功率方程的牛顿－拉夫逊法
第二步继续迭代。
3.极坐标节点功率方程的牛顿－拉夫逊法

假设系统有N个节点，其中M个PQ节点，N-M-1个 PV节点，1个平衡节点。则M个PQ节点方程为（假 设第1号节点至第M号节点为PQ节点）：
N DPk PSk Vk Vl (Gkl cos kl Bkl sin kl ) 0 l 1 n DQk QSk Vk Vl (Gkl sin kl Bkl cos kl ) 0 l 1
DP ( k )
DV ( k )

基于直角坐标的牛顿－拉夫逊法潮流计算步骤

（3）第三步：求解修正方程，得到电压的实部和
虚部的修正值
De ( k ) 和 Df ( k )
。并根据修正值修正设定
的电压初始值。

（4）第四步：判断误差是否满足要求，如果满足
要求，则输出计算结果，否则就令 k k 1 ，转入
2(N-1)个方程。
2.直角坐标节点功率方程的牛顿－拉夫逊法
其修正方程为：
DP1 N11 DQ 1 M11 D P m N m,1 DQm M m,1 DP N m 1 m 1,1 DVm 1 Rm 1,1 DPn 1 N n 1,1 DVn 1 Rn 1,1 H11 L11 H m,1 Lm,1 H m 1,1 Sm 1,1 H n 1,1 Sn 1,1 N1m M1m N m, m M m, m N m 1, m H1m L1m H m, m Lm, m H m 1, m | | | | | | | N1, m 1 M1, m 1 N m, m 1 M m, m 1 N m 1, m 1 H1, m 1 L1, m 1 H m, m 1 Lm, m 1 H m 1, m 1 N1, n 1 M1, n 1 N m, n 1 M m, n 1 N m 1, n 1 H1, n 1 De1 Df L1, n 1 1 H m, n 1 Dem Lm, n 1 Df m H m 1, n 1 Dem 1 Sm 1, n 1 Df m 1 H n 1, n 1 Den 1 Sn 1, n 1 Df n 1
f ( x) 0
设其真实解为x*，假设给定一个估计的解x0,这个
估计解与真实解的差为Dx，则有：
f ( x0 Dx) 0
展开一阶泰勒级数：
f ( x0 Dx) f ( x0 ) f ( x0 )Dx 0
1.基本原理
可以得到估计解与真实解的误差约为：
f ( x0 ) Dx0 f ( x0 )
Rm 1, n 1 N n 1, n 1 Rn 1, n 1
基于直角坐标的牛顿－拉夫逊法潮流计算步骤

（1）第一步：设定初值，对于PQ节点，其电压幅 值的初值设定为该点的额定电压，而相角设定为零， 因此，电压实部设定为额定电压，而虚部设定为零。 对于PV节点，电压幅值已知，因此该节点的电压相 量实部设定为已知的电压幅值，虚部也设定为零。 （2）第二步：求出PQ节点有功功率和无功功率增 量 、 ，以及PV节点的有功功率和电压幅值 (k ) (k ) 的增量 和 ，同时求出雅克比矩阵。 D Q DP
k 1,2,, M

N-M-1个PV节点只包含有功功率方程（假设第M+1 号节点至N-1号节点为PV节点）：
DPk PSk Vk Vl (Gkl cos kl Bkl sin kl ) 0
l 1 N
3.极坐标节点功率方程的牛顿－拉夫逊法


PQ节点既有有功功率方程，也有无功功率方程，未 知数为电压幅值和相角；而PV节点则只有有功功率 方程，未知数为电压的相角。因此极坐标下的节点 功率方程共有2M+(N-1-M)=N+M-1个未知数和方程。 把方程调整一下顺序：把N-1个有功功率方程放在 一起，M个无功功率方程放在一起，方程可以写作：

极坐标下潮流方程的修正方程
DP1 1 DP1 DPn 1 DPn 1 1 DQ1 DQ1 1 DQ m DQm 1 DP1 n 1 DPn 1 n 1 DQ1 n 1 DQm n 1 | | | | | | | DP1 V1 DPn 1 V1 V1 DQ1 V1 V1 DQm V1 V1 V1 DP1 Vm D 1 DPn 1 Vm Vm D n 1 DQ1 DV / V 1 1 Vm Vm DQm DVm / Vm Vm Vm Vm
用这个差值修正原来的估计解：
x
足要求。
[1]
x
[ 0]
Dx
[ 0]
不断重复上述过程，逼近真实解，直到误差满
牛顿拉夫逊法计算流程
牛顿法的几何意义
N维方程的牛顿法
非线性代数方程组可以表示为矩阵形式： F(X) 0
假定X0是该方程组的近似解，与真实解之间的误差为△X，在 X0处展开一阶泰勒级数：
F(X0 DX) F(X0 ) JDX 0
f1 x 1 f 2 dF( X) J | X X0 x 1 dX f n x1 f1 x 2 f 2 x 2 f n x 2 f1 x n f 2 x n f n x n X X
DX J 1F(X0 )
0
计算过程与一维方程的牛顿法求解类似，关键在于求解雅克比矩阵J 。
2.直角坐标节点功率方程的牛顿－拉夫逊法

假设系统有N个节点，其中M个PQ节点，N-M-1个 PV节点，1个平衡节点。则M个PQ节点方程为（假 设1号节点至M号节点为PQ节点）：
N N DP PSk ek (Gkl el Bkl f l ) f k (Gkl f l Bkl el ) 0 k l 1 l 1 N N DQk QSk f k (Gkl el Bkl f l ) ek (Gkl f l Bkl el ) 0 l 1 l 1
k 1,2,, M

N-M-1个PV节点的方程为（假设第M+1号节点至第 N-1号节点为PV节点）：
N N DPk PSk ek (Gkl el Bkl f l ) f k (Gkl f l Bkl el ) 0 l 1 l 1 2 2 2 DVk Vk ek f k 0
第二章 电力系统 的潮流计算
山东理工大学主讲：何柏娜 Nhomakorabea 内容提要
潮流计算的本质和节点功率方程 计算机潮流计算之一：高斯赛德尔迭代法 计算机潮流计算之二：牛顿拉夫逊法 计算机潮流计算之三：PQ解耦法 最优潮流、随机潮流和最小潮流 手动潮流法

2.3 牛顿-拉夫逊法

1.基本原理
考虑一维方程
DQk Lkk Vk Vk Vl (Gkl sin kl Bkl cos kl ) 2Vk2 Bkk Vk2 Bkk Qsk Vk l k
DQk Lkj V j VkV j ( Bkj cos kj Gkj sin kj ) V j
基于极坐标的牛顿－拉夫逊法潮流计算过程
3.极坐标节点功率方程的牛顿－拉夫逊法
分块矩阵的元素分别表示如下：
M kk DQk Vk Vl (Gkl cos kl Bkl sin kl ) Vk2 Gkk Psk k l k
DQk M kj VkV j (Gkj cos kj Bkj sin kj ) j
DPk N kj VkV j ( Bkj cos kj Gkj sin kj ) j
DPk H kk Vk Vk Vl (Gkl cos kl Bkl sin kl ) 2Vk2 Gkk Vk2 Gkk Psk Vk l k
DPk H kj V j VkV j (Gkj cos kj Bkj sin kj ) V j
DV / V [DV1 / V1 ,, DVm / Vm ]T
N为
( N 1) ( N 1) 阶矩阵，H为 ( N 1) M
阶 M ( N 1) 矩阵，L为 M M 阶矩阵。
3.极坐标节点功率方程的牛顿－拉夫逊法