高中数学三角函数疑点难点讲解_3

高中数学三角函数疑点难点讲解
【考点审视】
1、掌握三角函数概念，其中以三角函数的定义学习为重点。

（理科：兼顾反三角）
2、提高三角函数的恒等变形的能力，关键是熟悉诱导公式、同角关系、和差角公式及倍角公式等，掌握常见的变形方法。

3、解决三角函数中的求值问题，关键是把握未知与已知之间的联系。

4、熟练运用三角函数的性质，需关注复合问题，在问题转化过程中，进一步重视三角恒等变形。

5、掌握y A sin( x) 等的图象及性质，深刻理解图象变换之原理。

6、解决与三角函数有关的（常见的）最值问题。

7、正确处理三角形内的三角函数问题，主要是理解并熟练掌握正弦定理、余弦定理及三角形内角和定理，提高边角、角角转化意识。

8、提高综合运用的能力，如对实际问题的解决以及与其它章节内容的整合处理。

【疑难点拔】
一、概念不清
例 1．若、为第三象限角，且，则（）
（ A）cos cos（B）cos cos（C）cos cos（D）以上都不对
错解选（ A）
分析：角的概念不清，误将象限角看成类似(,3
) 区间角。

如取27,4 263
（ D）。

二、以偏概全
例 2．已知sin m ，求 cos 的值及相应的取值范围。

，可知（ A）不对。

用排除法，可知应选
错解当是第一、四象限时，cos 1 m2，当是第二、三象限时，cos1m2。

分析：把限制为象限角时，只考虑 | m |1且 m0的情形，遗漏了界限角。

应补充：当 | m |1时，k(k Z ),cos0 ；
2
当 m0 时，k ( k Z ), cos1，或 cos1。

三、忽略隐含条件
例 3．若sin x cos x10 ，求x的取值范围。

错解移项得 sin x cos x1，两边平方得sin 2x0,那么 2k2x 2k(k Z )
即 k x k(k Z )
2
分析：忽略了满足不等式的x 在第一象限，上述解法引进了sin x cos x1。

正解：sin x cos x 1
即 2 sin( x) 1，由 sin( x)
2
得
442
2k
4x2k
3
(k Z )∴ 2k x 2k(k Z ) 442
四、忽视角的范围，盲目地套用正弦、余弦的有界性
例4．设、为锐角，且+120 ，讨论函数y cos2cos2的最值。

错解y11(cos 2cos2 )1cos() cos()11
cos()
22
可见，当 cos()1时， y max 3
)
1；当 cos(1时， y min。

22
分析：由已知得 30
,
90 ，∴
60
60，则
1
cos(
) 1
2
∴当 cos(
) 1，即
60
时，
y min
1
，最大值不存在。

2
五、 忽视应用均值不等式的条件
例 5． 求函数 y
a
2
b
2 ( a b
0,0 x
) 的最小值。

cos 2
x sin 2
x
2
错解
y
a
2
b 2
( 1)
2ab 4ab
( 2 )
4ab( 0 sin 2x
1)
cos 2
x sin 2 x sin x cos x sin 2x
∴当 sin 2x 1时， y min 4ab
分析：在已知条件下， （ 1）、（ 2）两处不能同时取等号。

正解：
y a 2 (1 tan 2 x) b 2 (1 cot 2
x)
a
2
b
2
(a 2 tan 2 x b 2 cot 2
x)
a
2
b
2
2ab ( a b)
2
当且仅当 a tan x
b cot x ，即 tan x
b
，时， y min
(a b)
2
a
专题四：三角函数
【经典题例】
例 1：点 P 从（ 1， 0）出发，沿单位圆
x
2
y
2
1 逆时针方向运动
2 弧长到达 Q 点，则 Q 点的坐标为（
）
3
（A ）(
1, 3
)
（B ） (
3, 1) （C ） ( 1 , 3
) （D ） (
3,1) 2
2
2 2
2 2
2
2
[ 思路分析 ]
记
POQ ，由三角函数定义可知 Q 点的坐标 (x, y) 满足 x r cos , y r sin ，故选（ A ）
[ 简要评述 ] 三角函数定义是三角函数理论的基础，理解掌握能起到事半功倍的效果。

例 2：求函数
[ 思路分析 ]
sin 4 x cos 4 x sin 2 x cos
2
x
f ( x)
2 sin 2x
的最小正周期、最大值和最小值.
1 sin 2
x cos 2
x
1 1 1 f ( x)
sin x cosx)
(1 sin x cosx)
sin 2x
2(1 2
4
2
所以函数 f(x)的最小正周期是 π ，最大值是
3
，最小值是
1
.
4
4
[ 简要评述 ] 三角恒等变形是历年高考考察的主要内容，变形能力的提高取决于一定量的训练以及方法的积累，在此例中“降次、 化同角”是基本的思路。

此外，求函数的周期、最值是考察的热点，变形化简是必经之路。

例 3：已知 sin(
2 ) sin(
2 )
1 , (
, ) ， 求2 sin
2
4
4
4
4 2
tan
cot
1的值 .
[ 思路分析 ]
∵ sin(
2 )
sin(
2 ) sin(
2 ) cos( 2 )
4
4
4
4
1
sin(4 )
1
cos4 , ∴得
c o s4
1 . 又 ( 4 , ), 所以 5 .
2 2
2
2
2
12
2
2
2 c o s2 于是
2
t a n c o t 1
c o s2 s i n c o s
2 s i n
s i n c o s
c o s2
s i n2
(cos 2
2 cot 2
) (cos
5 5 3
2 3 ) 5
3.
2 cot
)
(
2
6
6
2
[ 简要评述 ] 此类求值问题的类型是：已知三角方程，求某三角代数式的值。

一般来说先解三角方程，得角的值或角的某个三角函
数值。

如何使解题过程化繁为简，变形仍然显得重要，此题中巧用诱导公式、二倍角公式，还用到了常用的变形方法，即“化正
余切为正余弦” 。

例 4：已知 b 、 c 是实数，函数 f(x)= x
2
bx c 对任意 α 、β R 有： f (sin ) 0,
且 f (2 cos ) 0,
（1）求 f （ 1）的值；（ 2）证明： c 3 ；（ 3）设 f (sin ) 的最大值为 10，求 f （ x ）。

[ 思路分析 ] （ 1）令 α = ，得 f (1)
0, 令β
=
，得 f (1)
0, 因此 f (1) 0, ；
2
（2）证明：由已知，当
1
x 1 时， f ( x)
0, 当1 x
3 时， f (x)
0, 通过数形结合的方法可得：
f (3)
0, 化
简得 c 3 ；
（ 3）由上述可知， [-1
， 1] 是 f ( x) 的减区间，那么 f ( 1) 10, 又 f (1) 0, 联立方程组可得 b 5,c 4 , 所以
f ( x) x 2
5x 4
[ 简要评述 ] 三角复合问题是综合运用知识的一个方面，复合函数问题的认识是高中数学学习的重点和难点，这一方面的学习有利
于提高综合运用的能力。

例 5：关于正弦曲线回答下述问题：
（ 1）函数 y log 1 sin(
3 x
) 的单调递增区间是 [ 8k 2
x 8k
4
]k
Z ；
2
4
3
3
（ 2）若函数 y
sin 2 x a cos2x 的图象关于直线 x
对称，则 a 的值是 1
；
8
（ 3）把函数 y
sin(3x
4) 的图象向右平移 个单位，再将图象上各点的横坐标扩大到原来的 3 倍（纵坐标不变） ，则所得的函
8
数解析式子是 y
sin( x
8)
；
（ 4）若函数 y
A sin(
x
) B( A
0, 0,|
|
) 的最大值是 2 2 ，最小值是 2 ，最小正周期是
2 ，图象经过点 （ 0，
3
2
-
2
），则函数的解析式子是
y 3 2
sin(3x
6) 2 ；
4
2
2
[思路分析 ]
略
[ 简要评述 ] 正弦曲线问题是三角函数性质、图象问题中的重点内容，必须熟练掌握。

上述问题的解答可以根据正弦曲线的“五点
画法”在草稿纸上作出函数的草图来验证答案或得到答案。

例 6：函数 f ( x)
sin 2x
sin x
cos x
1
（ 1）求 f(x) 的定义域；（2）求 f(x) 的最大值及对应的 x 值。

[ 思路分析 ] （ 1） {x|x
2k
且 x 2k
k Z}
2
(2)设 t=sinx+cosx, 则 y=t-1
y
max
2 1, x 2k
4
k
Z
[ 简要评述 ] 若 f (x) 关于 sin x cos x 与 sin x cos x 的表达式，求函数的最值常通过换元法，如令
t sin x cos x ，使问题得到
简化。

例 7：在 ABC 中，已知 sin A cos
2
C sin C cos 2
A
3 s in B （ 1）求证： a 、 b 、 c 成等差数列； （ 2）求角 B 的取值范围。

2
2 2
[ 思路分析 ] （ 1）条件等式降次化简得
sin A sin C 2sin B
a c 2b
（ 2）
a
2
c
2
( a
2 c )2
3(a
2
c 2
) 2ac 6ac 2ac 1
,
cosB
2ac
8ac
8ac 2
∴,, ，得
B 的取值范围 (0,
3]
[ 简要评述 ] 三角形中的变换问题， 除了需要运用三角式变换的所有方法、 技巧外， 还经常需要考虑对条件或结论中的
“边” 与“角”
运用“正弦定理、 余弦定理或面积公式”
进行互换。

例 8：水渠横断面为等腰梯形，如图所示，渠道深 A
B
为 h ，梯形面积为 S ，为了使渠道的渗水量
达到最小，应使梯形两腰及下底之和达到最小，此
时下底角 α应该是多少？
[ 思 路
分
析
]
S h cot ,
S 2 cot ) ,转化为考虑
CD=
C=
h(
2 cos
h
h
sin
的最小值， 可得当
时，y 最小，
即C 最小。

y=
sin
3
D
C
[ 简要评述 ] “学以致用”是学习的目的之一，三角
知识的应用很广泛， 在复习过程中应受到重
视。

【热身冲刺】
一、选择题：
．若 0 a
10 ，则满足 sin a =0.5 的角 a 的个数是（ C ）
1
（A ） 2
（B ）3
（C ） 4
（ D ）5
2．为了得到函数
y
sin( 2x
) 的图象，可以将函数 y
cos2x 的图象（ B ）
6
（ A ）向右平移
个单位长度 （ B ）向右平移
个单位长度
6
3 （C ）向左平移
个单位长度
（ D ）向左平移
个单位长度
6
3
f ( 3
) 0 ；（ 3） f (3) f ( 3
) 0 ；
3．已知函数 f ( x)
sin x, ，则下面三个命题中： （ 1） f (1) f (
) 0 ；（ 2 ） f (2)
4
4 4
其中正确的命题共有（ B ）
（A ）0个
（B ） 1 个
（C ）2 个
（D ）3 个
4．若 f (x) 是奇函数，且当
x >0 时， f ( x) x
2
sin x ，则当 x R 时， f (x) 为( C )
（ A ） x
2
sin x
（ ）
2
sin x
（ ） | x | x sin x
（ ）
x | x sin x
B x C
D |
5．函数 f (x)
3 cos(3x
)
sin(3x ) 是奇函数，则
等于（ D ）
（ A ） k
（ B ） k
6 （ C ） k
（D ） k
3
3
6．如果圆 x
2
y
2
k 2
至少覆盖函数 f (x)
3 sin
x
的一个最大值点和一个最小值点，则
k
的取值范围是（ B
）
k
（A ） | k | 3 （B ） | k | 2 （ C ） | k | 1 （ D ） 1 | k | 2
7．若 x ∈ [
5 ,
3 ] ，则 y ＝ tan( x
2 ) tan( x
) cos( x
6)
12
3
6
的最大值是（ C
）
12
2
11
（C ）
11 3
12
3
（A ）
（B ）
2
6
（D ）
5
6
5
8．．函数 y
sin 2
x 2 cos x 在区间 [
2 , a] 上的最小值为 - 1
，则 a 的取值为（ C ）
（A ）[ 2
,
（B ）[0 ，
2
3 2 , 2
4 2 , 4
)
] （ C ）[ ] （D ） ( ]
3
3
3 3 3 3
9．若△ ABC 面积 S= 1
(a
2
b
2
c 2
) 则∠ C=（ C ）
4
（ A ）
2
（ B ）
（ C ）
4
（ D ）
3
6
10．已知向量 a
(2 cos ,2 sin ),
( , ), b ( 0, 1), 则 a 与 b 的夹角为（ A ）
2
（A ）
3
（ B ）
2
（ C ）
2
（ D ）
2
二、填空题：
11．若 f ( x) 是以
5 为周期的奇函数， f ( 3) =4, 且 cos
1 ，则 f (4 cos
2 )=-4.
2
12．函数 y =lg(sin
x cos x ) 的增区间是 (k , k
]k Z
4
13．用 [ x] 表示不超过实数
x 的最大整数。

则 [sin10 ]
[sin20 ] [sin 30 ]
[sin 2000 ]=
-81。

14．设 x
cos sin ，且 sin
3
cos
3
，则 x 的取值范围是 ( 0,
2] ；
三、解答题：
15．（文）求函数 y
2 2 sin x lg(
3 tan x
3) 的定义域。

答案： ( 2 k
,2 k
]
k
7 ,2 k 3 )k Z
(2
62
6
4
（理）二次函数 （f x ）的二次项系数是负数， 对任何 x
R ，都有 f ( x 3) ）= f (1 x) ，设 M= f [arcsin(sin4)] ，N= f [arcos(cos4)] ，
讨论 M 和N 的大小。

答案： M>N
16．在锐角三角形 ABC 中， sin( A B)
3
, sin( A B)
1 .
5
5
（Ⅰ）求证 tan A
2tan B ； （Ⅱ）设 AB =3，求 AB 边上的高 .
sin A cos B cos A sin B
3 sin A cos B
2 ,
,
5
略解（Ⅰ）证明：
5
tan A 2.
1.
1
tan B
sin A cos B cos Asin B
cos A sin B
5
5
所以 tan A
2 tan B.
（Ⅱ）解：
A B
2
即 tan A tan B 1 tan A tan B
， sin( A B)
3 , 所以 tan(A B)
3 ,
5
4
3
，将 tan A
2tan B 代入上式并整
理后解得
4
2
6
6.
tanB
，舍去负值，∴ tan A 2 tan B 2
2
设 AB 边上的高为 CD . 由 AB=AD+DB=
CD
CD
2CD
得 CD=2+ 6 .
tan A tan B
26
17．已知 y 2 sin cos sin cos ， x sin cos ，其中 0
.，
(1) 求函数 f(x) 的解析式； (2) 求函数 f(x) 的最大值、最小值。

答案： y
x
2
x 1； y max
5
; y min
1;
4
18．在锐角
ABC 中，已知 A<B<C,且 B=60 ，又
3 1 (1 cos2 A)(1 cos2C)
，求证： a2b 2c
2
略 证 ： 由 已 知 得 c o As c o Cs
3 1
, 又 c o sA( C)
1
4
2
A 45,B
60,C 75 ，
， ,
, 进 一 步 可 求 出 c o sC( A)
3 ,,，得
2
∴
a
b R
R
6
2
4R sin 75
2c
2
2
(sin 45
2 sin 60 ) 4
4
19．（ 1）已知 x (0, ) ，证明不存在实数
m
(0,1) 能使等式 cos x +msin x =m(*) 成立；
2
（2）试扩大 x 的取值范围，使对于实数
m (0,1) ，等式 (*) 能成立；
（3）在扩大后的
x 取值范围内，若取 m
3 成立的 x 值。

, 求出使等式 (*)
3
提示：（ 1）可化为 m
tan(
x
) 1（ 2） x
(
, ) （ 3） x 6
2
4
2 2
20．设函数 f ( x) =
a ·
b ，其中向量 a =(2cos x ，1) ， b =(cos x ， 3 sin2 x ) ， x ∈ R. (1) 若 f (x)
1
3 且 x ∈ [ － ，
] ，求 x ；
3
3
（2）若函数 y=2sin2 x 的图象按向量 c =(m ， n)(|m|<
) 平移后得到函数 y= f ( x) 的图象，求实数
m 、n 的值 .
2
略解：（Ⅰ）依题设， 2
x =1+2sin(2 x + ).
f (x) =2cos x + 3 sin2
6
由 f (x)
1
3 ，得 sin(2x
) 3 ，∵
x
∴ x
.
2
4
6
3 3
（Ⅱ）函数 y =2sin2 x 的图象按向量 c =(m ， n) 平移后得到函数 y
2sin 2(x m) n 的图象，即函数
y= f ( x) 的图象 .
由（Ⅰ）得
f ( x) =2sin2( x +
)+1.
∵|m|<
，∴ m= ， n=1.
12
2
12。