CH 19_ 3 欧拉积分

s 0 时 , ( s)
(4) 余元公式(补充):
( s )(1 s ) sin( s ) 当s 1 时, 有 2
(0 s 1)
(证明略)
9
(5) (s)其他形式
令 x y2 , 得
( s ) 2
再令 2s 1 t , 即 s 1 t , 得应用中常见的积分 2 t u 2 1 1 t 0 u e d u 2 2 (t 1)
21
R [0,1] [0,1]上连续,c1 ( x) 0, d1 ( x) x ; c2 ( x) x, d2 ( x) 1
18 定义在[0,1]上其值含于[0,1]的可微函数,满足TH19.4,
ux
x 1 y v( y)dy x(1 x)v( x) x (1 0
才可保证给定的积分收敛 .
3. 、B 函数的定义及性质 .
作业
P195 1；2 ; 3 (2),(4);
4； 总 1; 5.
20
余元公式证明提示:
(s)(1 s) Bs,1 s
y dy 1 y sin( s)
0 s 1
(0 s 1)
则有: 1) 当 2) 当
4
2、无界函数反常积分：
收敛 , q 1 1 dx 利用 a q 发散 , q 1 ( x a)
b
推出：
比较审敛法(P277)：
瑕点 , 使对一切充分接近 a 的 x ( x > a) .
M 0 q 1, 有 f ( x ) q ( x a)

2


1
2
(1 t )
2
dt
1 1 1 B( , ) 2 2 2
1 2
(
1
2
)( 2
1
2
)
(

2

4
1)
6
.
5 7 ( )( ) 2 2 ( 6)
1 如取 4 , 6 则 0 sin x cos xdx 2
3 . 512 15
q 1, 有 f ( x )
N ( x a) q
5
一、 函数
1. 定义及收敛性
( s )
s 1 x x e 0
d x ( s 0)
下面证明这个特殊函数在 s 0 内收敛 . 令
I1
1) 讨论 I1 . 当s 1时, I1 是定积分 ; 1 1 1 s 1 x 当0 s 1时, x e 1 s x 1 s x e x 而1 s 1, 根据比较审敛法知 I1 收敛.
7
2. 性质
(1) ( s ) 在S>0内连续且可导 (证略)
(2) 递推公式
证:
( s 1) s ( s)
( s 0)
( s 1)
x e
s ( s )
注意:

s x x e 0
s x
dx

0
s
s x x d e (分部积分) 0 s 1 x x e dx 0
1 2 sin 1 2 cos 2 2
17
例4.设 u x
1 k ( x, 0
y ) v( y )dy , 其中
x(1 y ) , x y 与 v y 为[0,1]上的连续函数, k ( x, y ) y (1 x) , x y.
证明：只需证明第一个关系式。利用分部积 分并移项可得。
13
(4)
B( p, q)的其他形式
B( p, q) 20 sin 2q 1 cos 2 p 1 d
2

(令x cos )
y 1 y )
2
B ( p, q ) B ( p, q )
y p 1 0 (1 y ) p q dy 1 y p 1 y q 1 0 (1 y ) p q dy
例3. 计算积分 0 sin xdx 和 0 cos xdx
2 2




1
解: 利用例2的结果,得
0 sin xdx 0 cos xdx
2 2




1 2
1 ( )( ) 2 2 2 ( ) 2
1


2
2 2 ( ) 2
(
1
)
.

y) v( y)dy x(1 x)v( x)

x 1 y v( y )dy x 0

y v( y )dy
1 v( y )dy x

故
1 y v( y )dy 0

1 v( y )dy x
u( x) vx .
19
内容小结
1. 含参量正常积分的性质---连续、可微、可积性 2. 若在同一积分式中出现两类反常积分, 可通过分项 使每一项只含一种类型的反常积分, 只有各项都收敛时,

证毕
x e 0
(1) d x 1 n N , 有 (n 1) n (n) n (n 1) (n 1)
n!(1)
8
(3) 当s 0 时, ( s) . 且可以延拓( s) 证:
( s 1) ( s ) , (1) 1 s 且由于( s) 在 s 0 连续,
16
例4. 计算积分 0 tan xdx
2


1.

解:
0 tan xdx 0 sin x cos xdx
2 2




1 1 1 B( , ) 2 2 2 1 1 1 ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 ( ) (1 ) 2 2 2
6
1 s 1 x x e 0
d x , I2
s 1 x x e 1
dx
I2
s 1 x x e 1
dx
2) 讨论 I 2 .
(x
s 1 x
x e ) lim x 0 x e
s 1
根据极限审敛法知 I 2 收敛.
综上所述 , ( s) I1 I 2 在 s 0 上收敛 .
这表明左端的积分可用 函数来计算. 例如,
y 2 2 s 1 e y d 0
y
( s 0)
10
例1. 已知
证明:
y 2 2 s 1 e y d 0
证明:应用公式 ( s) 2
y
( s 0)
11
二、B 函数
1. 定义
B ( p, q )
1 p 1 q 1 x ( 1 x ) dx 0
,
p 0, q 0
利用审敛法可以证明B(p,q) 在p 0 q 0 内收敛 . (略) 2. 性质
B ( p, q ) （ 1）
(2) 对称性
在p>0,q >0内连续. (略)
B ( p, q ) B ( q, p )
( p 0, q 0)
12
证明：由定义令x=1-y换元积分即可。
(令x
三、 函数与B 函数的关系
B ( p, q )
( p )( q ) ( p q)
p 0, q 0
14
例2. 计算积分 02 sin x cos xdx

1 , 1
1
解:作代换 t sin 2 x 得到
1 1 0 sin x cos xdx 2 0 t
试证: u( x) vx . 证明: u x 容易验证
x y (1 0
x) v( y )dy
1 x(1 x
y ) v( y )dy
f ( x, y) y(1 x) v( y) 和 g ( x, y) x(1 y) v( y) 及
f x ( x, y) y v( y) 和 g x ( x, y) (1 y) v( y)均在矩形区域
(3) 递推公式
B ( p, q ) B ( p, q ) B ( p, q )
q 1 B( p, q 1) p q 1 p 1 B( p 1, q) p q 1
( p 0, q 1) ( p 1, q 0) ( p 1, q 1)
( p 1)( q 1) ( p q 1)( p q 2) B( p 1, q 1)
寄
语
假舆马者，非利足也，而致千里；
假舟楫者，非能水也，而绝江河。
------旬子
1
第19章
第19章
本章内容：
含参量积分
第一节、含参量正常积分 第二节、含参量反常积分（略） 第三节、 欧拉积分
2
第3节 欧拉(Euler)积分
本节内容： 一、 函数
( s) 0 x s 1e x d x, s (0, )

第19章
二、B函数
B ( p, q )
1 p 1 q 1 x ( 1 x ) dx 0
,
p 0, q 0
研究问题：两类积分 — 收敛性, 性质, 关系3
复习：----广义积分的审敛法 1、无穷限反常积分：
已知
极限审敛法(P272推论3)：
满足
x
lim x p f ( x) l