相似三角形同步辅导试题答案
相似三角形试题及答案
相似三角形试题及答案
一、选择题
1. 已知两个三角形相似，下列说法正确的是（）
A. 对应角相等
B. 对应边成比例
C. 对应角相等且对应边成比例
D. 面积相等
答案：C
2. 若两个三角形的相似比为2:3，则下列说法正确的是（）
A. 周长比为2:3
B. 周长比为3:2
C. 面积比为4:9
D. 面积比为9:16
答案：C
二、填空题
1. 若三角形ABC与三角形DEF相似，且AB:DE=2:3，则BC:EF=______。
答案：2:3
2. 若三角形ABC与三角形DEF相似，且相似比为1:2，则三角形ABC
的面积是三角形DEF面积的______。
答案：1/4
三、解答题
1. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，AB=6cm，DE=9cm，求BC和EF 的长度。
答案：由于三角形ABC与三角形DEF相似，根据相似三角形的性质，对应边成比例。
因此，BC:EF=AB:DE=6:9=2:3。
设BC=2x，则EF=3x。
由于AB:DE=2:3，所以2x/3x=6/9，解得x=3cm。
因此，BC=6cm，
EF=9cm。
2. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且三角形ABC的面积为24平方厘米，三角形DEF的面积为36平方厘米，求相似比。
答案：设相似比为k，则三角形ABC与三角形DEF的面积比为k^2。
因此，k^2=24/36=2/3，解得k=√(2/3)。
所以相似比为√(2/3)。
人教版九年级下册数学 27.2相似三角形 同步练习(含解析)
27.2相似三角形同步练习一．选择题1．如图，△ABC∽△DCA，∠B＝33°，∠D＝117°，则∠BAD的度数是（）A．150°B．147°C．135°D．120°2．两个相似三角形对应角平分线的比为4：3，那么这两个三角形的面积的比是（）A．2：3B．4：9C．16：36D．16：93．下列条件中，不能判断△ABC与△DEF相似的是（）A．∠A＝∠D，∠B＝∠F B．且∠B＝∠DC．D．且∠A＝∠D4．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中能判断△ABC∽△AED 的是（）①∠AED＝∠B；②∠ADE＝∠C；③＝；④＝．A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④5．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝5：2，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．5：7B．10：4C．25：4D．25：496．已知点E、F分别在△ABC的AB、AC边上，则下列判断正确的是（）A．若△AEF与△ABC相似，则EF∥BCB．若AE×BE＝AF×FC，则△AEF与△ABC相似C．若，则△AEF与△ABC相似D．若AF•BE＝AE•FC，则△AEF与△ABC相似7．如图，在△ABC，D是BC上一点，BD：CD＝1：2，E是AD上一点，DE：AE＝1：2，连接CE，CE的延长线交AB于F，则AF：AB为（）A．1：2B．2：3C．4：3D．4：78．如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则△DEF与四边形EFCO的面积比为（）A．1：4B．1：5C．1：6D．1：79．如图，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝3，BC＝4，DC＝6，若在边DC上有点P，使△P AD 与△PBC相似，则这样的点P有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个10．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于F，连接DF，若BF＝，BC ＝3，则DF＝（）A．4B．3C．2D．二．填空题11．已知△ABC∽△A′B′C′，且AB＝3cm，A′B′＝5cm，则相似比为．12．如图，△ABC中，CA＝CB，点E在BC边上，点D在AC边上，连接AE、DE，若AB ＝AE，2∠AEB+∠ADE＝180°，BE＝8，CD＝，则CE＝．13．如图，在△ABC中，若DE∥BC，EF∥CD，AE＝2EC，则AF：FD：DB＝．14．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：25，则的值是．15．如图，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝4，E、F分别是AB、CD边上的动点，EF⊥AC，则AF+CE的最小值为．三．解答题16．如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上一点，连接DP并延长，交AB于点F，交CB 的延长线于点E．求证：（1）△APB≌△APD；（2）PD2＝PE•PF．17．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE、BC的延长线相交于点F，且EF•DF＝CF•BF．求证：△CAB∽△DAE．18．如图，AF，AG分别是△ABC和△ADE的高，∠BAF＝∠DAG．（1）求证：△ABC∽△ADE；（2）若DE＝3，，求BC的长．参考答案一．选择题1．解：∵△ABC∽△DCA，∴∠BAC＝∠D＝117°，∠DAC＝∠B＝33°，∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝150°，故选：A．2．解：∵两个相似三角形对应角平分线的比为4：3，∴它们的相似比为4：3，∴它们的面积比为16：9．故选：D．3．解：A、∠A＝∠D，∠B＝∠F，可以得出△ABC∽△DFE，故此选项不合题意；B、＝且∠B＝∠D，不是两边成比例且夹角相等，故此选项符合题意；C、＝＝，可以得出△ABC∽△DEF，故此选项不合题意；D、＝且∠A＝∠D，可以得出△ABC∽△DEF，故此选项不合题意；故选：B．4．解：∵∠A＝∠A，∴∠AED＝∠B或∠ADE＝∠C时，△ABC∽△AED．∵＝，∴＝∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△AED，故①②③可以判断三角形相似，故选：B．5．解：设DE＝5k，EC＝2k，则CD＝7k，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝7k，DE∥AB，∴△DEF∽△BAF，∴＝＝＝，故选：D．6．解：选项A错误，∵△AEF与△ABC相似，可能是∠AEF＝∠C，推不出EF∥BC．选项B错误，由AE×BE＝AF×FC，推不出△AEF与△ABC相似．选项C错误，由，推不出△AEF与△ABC相似．选项D正确．理由：∵AF•BE＝AE•FC，∴＝，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC．故选：D．7．解：过D作DH∥AB交CF于H，如图，∵DH∥BF，∴＝，∵BD：CD＝1：2，∴CD：BC＝2：3，∴BF＝DH，∵DH∥AF，∴＝＝2，∴AF＝2DH，∴AF：BF＝2DH：DH＝4：3，∴AF：AB＝4：7．故选：D．8．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝DO，AB∥CD，∵E为OD的中点，∴DE＝EO＝DO，∴BO＝2EO，BE＝3DE，∵DF∥AB，∴△DFE∽△BAE，∴＝（）2＝，设S△DEF＝x，则S△BEA＝9x，∵BO＝2OE，∴S△AOB＝6x＝S△DOC，∴四边形EFCO的面积＝5x，∴△DEF与四边形EFCO的面积比＝1：5，故选：B．9．解：∵AB⊥BC，∴∠B＝90°．∵AD∥BC∴∠A＝180°﹣∠B＝90°，∴∠P AD＝∠PBC＝90°．设DP的长为x，则CP长为6﹣x．若AB边上存在P点，使△P AD与△PBC相似，那么分两种情况：①若△APD∽△BPC，则DP：CP＝AD：BC，即x：（6﹣x）＝3：4，解得：x＝②若△APD∽△BPC，则DP：PC＝AD：BC，即x：4＝3：（6﹣x），整理得：x2﹣6x+12＝0，∵△＜0，这种情形不存在，∴满足条件的点P的个数是1个，故选：A．10．解：如图，连接BD，∵∠AEF＝∠BEA，∠AFE＝∠BAE＝90°，∴△AEF∽△BEA，∴＝，∵AE＝ED，∴＝，又∵∠FED＝∠DEB，∴△FED∽△DEB，∴∠EFD＝∠EDB，∵∠EFD+∠DFC＝90°，∠EDB+∠ODC＝90°，∴∠DFC＝∠ODC，∵在矩形ABCD中，OC＝AC，OD＝BD，AC＝BD，∴OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠DFC＝∠OCD，∴DF＝DC，在Rt△BCF中，FC＝＝＝2，∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴＝＝，∴AF＝FC＝，∴AB＝＝＝3，∴DF＝3，故选：B．二．填空题11．解：由题意得，＝，∵△ABC∽△A′B′C′，∴△ABC与△A′B′C′的相似比为＝，故答案为：．12．解：如图，过点A作AM⊥BE于E，过点D作DN⊥EC于N，∵CA＝CB，AB＝AE，∴∠B＝∠CAB，∠B＝∠AEB，∴∠B＝∠CAB＝∠AEB，∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，∠B+∠AEB+∠BAE＝180°，∴∠C＝∠BAE，∴2∠AEB+∠C＝180°，又∵2∠AEB+∠ADE＝180°，∴∠C＝∠ADE，又∵∠ADE＝∠C+∠DEC，∴∠C＝∠DEC，∴DE＝DC＝，∵AB＝AE，AM⊥BE，DE＝CC，DN⊥EC，∴BM＝ME＝BE＝4，EN＝NC＝EC，AM∥DN，∴△CDN∽△CAM，∴，∴，∴EC＝12，EC＝﹣5（不合题意舍去），故答案为：12．13．解：∵EF∥CD，AE＝2EC，∴＝＝2，∵DE∥BC，∴＝＝2，设DF＝m，则AF＝2m，AD＝3m，DB＝m，∴AF：DF：DB＝2m：m：m＝4：2：3．故答案为：4：2：3．14．解：∵DE∥AC，∴△DOE∽△COA，∴＝（）2＝，∴＝，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，∴＝，∴＝，故答案为：．15．解：如图所示：设DF＝x，则FC＝4﹣x；过点C作CG∥EF，且CG＝EF，连接FG，当点A、F、G三点共线时，AF+FG的最值小；∵CG∥EF，且CG＝EF，∴四边形CEFG是平行四边形；∴EC∥FG，EC＝FG，又∵点A、F、G三点共线，∴AF∥EC，又∵四边形ABCD是矩形，∴AE∥DC，∠D＝90°，∴四边形AECF是平行四边形，∴OA＝OC，OE＝OF，又∵EF⊥AC，AF＝CF＝4﹣x，在Rt△ADF中，由勾股定理得：AD2+DF2＝AF2，又∵AD＝2，DF＝x，则FC＝4﹣x，∴22+x2＝（4﹣x）2，解得：x＝，∴AF＝，在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD2+DC2＝AC2，∴AC＝，∴AO＝，又∵OF∥CG，∴△AOF∽△ACG，∴＝，∴AG＝5，又∵AG＝AF+FG，FG＝EC，∴AF+EC＝5，故答案为5．三．解答题16．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，在△ABP和△ADP中，，∴△ABP≌△ADP（SAS）；（2）∵△ABP≌△ADP，∴PB＝PD，∠ADP＝∠ABP，∵AD∥BC，∴∠ADP＝∠E，∴∠E＝∠ABP，又∵∠FPB＝∠EPB，∴△EPB∽△BPF，∴，∴PB2＝PE•PF，∴PD2＝PE•PF．17．证明：∵EF•DF＝CF•BF．∴，∵∠EFC＝∠BFD，∴△EFC∽△BFD，∴∠CEF＝∠B，∴∠B＝∠AED，∵∠CAB＝∠DAE，∴△CAB∽△DAE．18．（1）证明：∵AF，AG分别是△ABC和△ADE的高，∴AF⊥BC，AG⊥DE，∴∠AFB＝90°，∠AGD＝90°，∴∠BAF+∠B＝90°，∠DAG+∠ADG＝90°，∵∠BAF＝∠DAG，∴∠B＝∠ADG，又∵∠EAD＝∠BAC，∴△ABC∽△ADE；（2）解：∵△ADE∽△ABC，∴，∵，BC＝3，∴，∴BC＝．。
相似三角形经典题(含答案)
相似三角形经典习题例1 从下面这些三角形中，选出相似的三角形．例2 已知：如图，ABCD 中，2:1:=EB AE ，求AEF ∆与CDF ∆的周长的比，如果2cm 6=∆AEF S ，求CDF S ∆．例3 如图，已知ABD ∆∽ACE ∆，求证：ABC ∆∽ADE ∆．例4 下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？（1）所有的直角三角形都相似． （2）所有的等腰三角形都相似． （3）所有的等腰直角三角形都相似． （4）所有的等边三角形都相似．例5 如图，D 点是ABC ∆的边AC 上的一点，过D 点画线段DE ，使点E 在ABC ∆的边上，并且点D 、点E 和ABC ∆的一个顶点组成的小三角形与ABC ∆相似．尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE 的画法．例6 如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高．例7 如图，小明为了测量一高楼MN 的高，在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜，小明沿NA 后退到C 点，正好从镜中看到楼顶M 点，若5.1=AC m ，小明的眼睛离地面的高度为1.6m ，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m ）．例8 格点图中的两个三角形是否是相似三角形，说明理由．例9 根据下列各组条件，判定ABC ∆和C B A '''∆是否相似，并说明理由：（1）,cm 4,cm 5.2,cm 5.3===CA BC AB cm 28,cm 5.17,cm 5.24=''=''=''A C C B B A ． （2）︒='∠︒='∠︒=∠︒=∠35,44,104,35A C B A ．（3）︒='∠=''=''︒=∠==48,3.1,5.1,48,6.2,3B C B B A B BC AB ．例10 如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据．例11 已知：如图，在ABC ∆中，BD A AC AB ,36,︒=∠=是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AC DC AD ⋅=2．例12 已知ABC ∆的三边长分别为5、12、13，与其相似的C B A '''∆的最大边长为26，求C B A '''∆的面积S ．例13 在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法．小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C 处（如图），然后沿BC 方向走到D 处，这时目测旗杆顶部A 与竹竿顶部E 恰好在同一直线上，又测得C 、D 两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高．你认为这种测量方法是否可行？请说明理由．例14．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A ，再在河的这一边选点B 和C ，使BC AB ⊥，然后再选点E ，使BC EC ⊥，确定BC 与AE 的交点为D ，测得120=BD 米，60=DC 米，50=EC 米，你能求出两岸之间AB 的大致距离吗？例15．如图，为了求出海岛上的山峰AB 的高度，在D 和F 处树立标杆DC 和FE ，标杆的高都是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），并且AB 、CD 和EF 在同一平面内，从标杆DC 退后123步的G 处，可看到山峰A 和标杆顶端C 在一直线上，从标杆FE 退后127步的H 处，可看到山峰A 和标杆顶端E 在一直线上．求山峰的高度AB 及它和标杆CD 的水平距离BD 各是多少？（古代问题）例16 如图，已知△ABC 的边AB ＝32，AC ＝2，BC 边上的高AD ＝3．（1）求BC 的长；（2）如果有一个正方形的边在AB 上，另外两个顶点分别在AC ，BC 上，求这个正方形的面积．相似三角形经典习题答案例1． 解 ①、⑤、⑥相似，②、⑦相似，③、④、⑧相似例2． 解 ABCD 是平行四边形，∴CD AB CD AB =,//，∴AEF ∆∽CDF ∆，又2:1:=EB AE ，∴3:1:=CD AE ，∴AEF ∆与CDF ∆的周长的比是1：3． 又)cm (6,)31(22==∆∆∆AEF CDF AEF S S S ，∴)cm (542=∆CDF S ． 例3 分析 由于ABD ∆∽ACE ∆，则CAE BAD ∠=∠，因此DAE BAC ∠=∠，如果再进一步证明AECAAD BA =，则问题得证．证明 ∵ABD ∆∽ACE ∆，∴CAE BAD ∠=∠．又DAC BAD BAC ∠+∠=∠ ，∴CAE DAC DAE ∠+∠=∠， ∴DAE BAC ∠=∠．∵ABD ∆∽ACE ∆，∴AEACAD AB =． 在ABC ∆和ADE ∆中，∵AEACAD AB ADE BAC =∠=∠,，∴ABC ∆∽ADE ∆ 例4．分析 （1）不正确，因为在直角三角形中，两个锐角的大小不确定，因此直角三角形的形状不同．（2）也不正确，等腰三角形的顶角大小不确定，因此等腰三角形的形状也不同． （3）正确．设有等腰直角三角形ABC 和C B A '''，其中︒='∠=∠90C C ，则︒='∠=∠︒='∠=∠45,45B B A A ，设ABC ∆的三边为a 、b 、c ，C B A '''∆的边为c b a '''、、， 则a c b a a c b a '=''='==2,,2,，∴a ac c b b a a '=''=',，∴ABC ∆∽C B A '''∆． （4）也正确，如ABC ∆与C B A '''∆都是等边三角形，对应角相等，对应边都成比例，因此ABC ∆∽C B A '''∆．答：（1）、（2）不正确．（3）、（4）正确． 例5．解：画法略．例6．分析 本题所叙述的内容可以画出如下图那样的几何图形，即60=DF 厘米6.0=米，12=GF 厘米12.0=米，30=CE 米，求BC ．由于ADF ∆∽ACAF EC DF AEC =∆,，又ACF ∆∽ABC ∆，∴BC GFEC DF =，从而可以求出BC 的长． 解 EC DF EC AE //,⊥ ，∴EAC DAF AEC ADF ∠=∠∠=∠,，∴ADF ∆∽AEC ∆．∴ACAFEC DF =． 又EC BC EC GF ⊥⊥,，∴ABC AGF ACB AFG BC GF ∠=∠∠=∠,,//，∴AGF ∆∽ABC ∆，∴BC GF AC AF =，∴BCGFEC DF =． 又60=DF 厘米6.0=米，12=GF 厘米12.0=米，30=EC 米，∴6=BC 米．即电线杆的高为6米． 例7．分析 根据物理学定律：光线的入射角等于反射角，这样，BCA ∆与MNA ∆的相似关系就明确了．解 因为MAN BAC AN MN CA BC ∠=∠⊥⊥,,，所以BCA ∆∽MNA ∆．所以AC AN BC MN ::=，即5.1:206.1:=MN ．所以3.215.1206.1≈÷⨯=MN （m ）． 说明 这是一个实际应用问题，方法看似简单，其实很巧妙，省却了使用仪器测量的麻烦．例8．分析 这两个图如果不是画在格点中，那是无法判断的．实际上格点无形中给图形增添了条件——长度和角度．解 在格点中BC AB EF DE ⊥⊥,，所以︒=∠=∠90B E ， 又4,2,2,1====AB BC DE EF ．所以21==BC EF AB DE ．所以DEF ∆∽ABC ∆． 说明 遇到格点的题目一定要充分发现其中的各种条件，勿使遗漏．例9．解 （1）因为7128cm 4cm ,7117.5cm 2.5cm ,7124.5cm 3.5cm ==''==''==''A C CA C B BC B A AB ，所以ABC ∆∽C B A '''∆； （2）因为︒=∠-∠-︒=∠41180B A C ，两个三角形中只有A A '∠=∠，另外两个角都不相等，所以ABC ∆与C B A '''∆不相似；（3）因为12,=''='''∠=∠C B BC B A AB B B ，所以ABC ∆相似于C B A '''∆．例10．解 （1）ADE ∆∽ABC ∆ 两角相等； （2）ADE ∆∽ACB ∆ 两角相等；（3）CDE ∆∽CAB ∆ 两角相等； （4）EAB ∆∽ECD ∆ 两边成比例夹角相等； （5）ABD ∆∽ACB ∆ 两边成比例夹角相等； （6）ABD ∆∽ACB ∆ 两边成比例夹角相等．例11．分析 有一个角是65°的等腰三角形，它的底角是72°，而BD 是底角的平分线，∴︒=∠36CBD ，则可推出ABC ∆∽BCD ∆，进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系．证明 AC AB A =︒=∠,36 ，∴︒=∠=∠72C ABC ． 又BD 平分ABC ∠，∴︒=∠=∠36CBD ABD ．∴BC BD AD ==，且ABC ∆∽BCD ∆，∴BC CD AB BC ::=，∴CD AB BC ⋅=2，∴CD AC AD ⋅=2． 说明 （1）有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边．（2）要说明线段的乘积式cd ab =，或平方式bc a =2，一般都是证明比例式，b dc a =，或caa b =，再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式．例12分析 由ABC ∆的三边长可以判断出ABC ∆为直角三角形，又因为ABC ∆∽C B A '''∆，所以C B A '''∆也是直角三角形，那么由C B A '''∆的最大边长为26，可以求出相似比，从而求出C B A '''∆的两条直角边长，再求得C B A '''∆的面积．解 设ABC ∆的三边依次为，13,12,5===AB AC BC ，则222AC BC AB += ，∴︒=∠90C ．又∵ABC ∆∽C B A '''∆，∴︒=∠='∠90C C ．212613==''=''=''B A AB C A AC C B BC ， 又12,5==AC BC ，∴24,10=''=''C A C B ． ∴12010242121=⨯⨯=''⨯''=C B C A S ．例13．分析 判断方法是否可行，应考虑利用这种方法加之我们现有的知识能否求出旗杆的高．按这种测量方法，过F作AB FG ⊥于G ，交CE 于H ，可知AGF ∆∽EHF ∆，且GF 、HF 、EH 可求，这样可求得AG ，故旗杆AB 可求．解 这种测量方法可行．理由如下：设旗杆高x AB =．过F 作AB FG ⊥于G ，交CE 于H （如图）．所以AGF ∆∽EHF ∆．因为3,30327,5.1==+==HF GF FD ，所以5.1,25.15.3-==-=x AG EH ． 由AGF ∆∽EHF ∆，得HF GF EH AG =，即33025.1=-x ，所以205.1=-x ，解得5.21=x （米） 所以旗杆的高为21.5米．说明 在具体测量时，方法要现实、切实可行．例14. 解：︒=∠=∠∠=∠90,ECD ABC EDC ADB ，∴ABD ∆∽ECD ∆，1006050120,=⨯=⨯==CD EC BD AB CD BD EC AB （米），答：两岸间AB 大致相距100米． 例15. 答案：1506=AB 米，30750=BD 步，（注意：AK FEFHKE AK CD DG KC ⋅=⋅=,．） 例16. 分析：要求BC 的长，需画图来解，因AB 、AC 都大于高AD ，那么有两种情况存在，即点D 在BC 上或点D 在BC的延长线上，所以求BC 的长时要分两种情况讨论．求正方形的面积，关键是求正方形的边长． 解：（1）如上图，由AD ⊥BC ，由勾股定理得BD ＝3，DC ＝1，所以BC ＝BD ＋DC ＝3＋1＝4． 如下图，同理可求BD ＝3，DC ＝1，所以BC ＝BD －CD ＝3－1＝2．（2）如下图，由题目中的图知BC ＝4，且162)32(2222=+=+AC AB ，162=BC ，∴222BC AC AB =+．所以△ABC 是直角三角形．由AE G F 是正方形，设G F ＝x ，则FC ＝2－x ， ∵G F ∥AB ，∴AC FCAB GF =，即2232x x -=． ∴33-=x ，∴3612)33(2-=-=AEGF S 正方形． 如下图，当BC ＝2，AC ＝2，△ABC 是等腰三角形，作CP ⊥AB 于P ，∴AP ＝321=AB ，在Rt △APC 中，由勾股定理得CP ＝1， ∵GH ∥AB ，∴△C GH ∽△CBA ，∵x x x -=132，32132+=x ∴121348156)32132(2-=+=GFEH S 正方形 因此，正方形的面积为3612-或121348156-．Welcome !!! 欢迎您的下载，资料仅供参考！。
相似三角形培优训练(含答案)
相似三角形分类提高训练一、相似三角形中的动点问题1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．2.如图，在△ABC中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．（1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积；②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值．3.如图1，在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE平分CDB交边BC 于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．（1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC；（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？4.如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x．（1）当x为何值时，PQ∥BC？（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由．5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q 沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t＜6）。
《相似三角形》经典练习题(附答案)
相似三角形经典练习题（附答案）1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF；（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE．4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD．5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．（1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．6．如图，E是▱ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC=_________ °，BC= _________ ；（2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s 的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．9．如图，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形．（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例）（2）请你任选一组相似三角形，并给出证明．10．如图△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，连接AE．（1）写出图中所有相等的线段，并加以证明；（2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；（3）求△BEC与△BEA的面积之比．11．如图，在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC 的平行线交AC于P，交AB于Q．（1）求四边形AQMP的周长；（2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）；（3）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论．12．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM∽△MCP．13．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8，CD=10．（1）求梯形ABCD的面积S；（2）动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿B⇒A⇒D⇒C方向，向点C运动；动点Q 从点C出发，以1cm/s的速度，沿C⇒D⇒A方向，向点A运动，过点Q作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t 秒．问：①当点P在B⇒A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由；③在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．14．已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似？15．如图，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s 的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，△PBQ与△ABC相似．16．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似．17．已知，如图，在边长为a的正方形ABCD中，M是AD的中点，能否在边AB上找一点N（不含A、B），使得△CDM与△MAN相似？若能，请给出证明，若不能，请说明理由．18．如图在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q从B出发，沿BC方向以2cm/s 的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动．若Q、P分别同时从B、C 出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似？19．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB 上确定点P的位置，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似．20．△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；（2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．21．如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q 同时出发，用t（秒）表示移动的时间，那么当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．22．如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？23．阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案．（1）所需的测量工具是：_________ ；（2）请在下图中画出测量示意图；（3）设树高AB的长度为x，请用所测数据（用小写字母表示）求出x．24．问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm．乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm．丙组：如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm，影长为156cm．任务要求：（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；（2）如图3，设太阳光线NH与⊙O相切于点M．请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径．（友情提示：如图3，景灯的影长等于线段NG的影长；需要时可采用等式1562+2082=2602）25．阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC．26．如图，李华晚上在路灯下散步．已知李华的身高AB=h，灯柱的高OP=O′P′=l，两灯柱之间的距离OO′=m．（1）若李华距灯柱OP的水平距离OA=a，求他影子AC的长；（2）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和（DA+AC）是否是定值请说明理由；（3）若李华在点A朝着影子（如图箭头）的方向以v1匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2．27．如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，则不难证明S1=S2+S3．（1）如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系；（不必证明）（2）如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1，S2，S3之间的关系并加以证明；（3）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，为使S1，S2，S3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论；（4）类比（1），（2），（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论．28．已知：如图，△ABC∽△ADE，AB=15，AC=9，BD=5．求AE．29．已知：如图Rt△ABC∽Rt△BDC，若AB=3，AC=4．（1）求BD、CD的长；（2）过B作BE⊥DC于E，求BE的长．30．（1）已知，且3x+4z﹣2y=40，求x，y，z的值；（2）已知：两相似三角形对应高的比为3：10，且这两个三角形的周长差为560cm，求它们的周长．参考答案与试题解析1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．考点：相似三角形的判定；平行线的性质。
相似三角形练习题及答案
相似三角形练习题及答案一、选择题1. 若两个三角形的对应角相等，且对应边成比例，则这两个三角形是相似的。
这种说法正确吗？A. 正确B. 错误2. 三角形ABC和三角形DEF相似，AB=6cm，DE=3cm，那么AC的长度是多少？A. 4cmB. 6cmC. 9cmD. 12cm3. 在三角形ABC中，∠A=60°，∠B=40°，那么∠C是多少度？A. 40°B. 60°C. 80°D. 100°二、填空题4. 若三角形ABC与三角形DEF相似，且AB:DE=2:3，BC=8cm，求DE的长度。
5. 在三角形ABC中，若∠A=30°，∠B=70°，求∠C的度数。
三、解答题6. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且AC=4cm，DF=6cm，AB=5cm，求EF的长度。
7. 在三角形ABC中，已知AB=6cm，AC=4cm，BC=8cm，判断三角形ABC 是否为直角三角形，并说明理由。
四、证明题8. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且∠A=∠D，∠B=∠E，证明∠C=∠F。
9. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且AB/DE=2/3，AC/DF=2/3，证明BC/EF=2/3。
五、应用题10. 在平面直角坐标系中，点A(-3,4)，B(1,-2)，C(5,6)，点D(-1,1)，E(3,-6)，F(7,3)，判断三角形ABC与三角形DEF是否相似，并求出相似比。
答案：1. A2. B3. C4. 6cm5. 80°6. 7.5cm7. 是直角三角形，因为AB²+AC²=BC²。
8. 由于三角形ABC与三角形DEF相似，根据相似三角形的性质，对应角相等，所以∠C=∠F。
9. 根据相似三角形的性质，对应边的比值相等，所以BC/EF=AB/DE=2/3。
10. 三角形ABC与三角形DEF相似，相似比为3/2。
相似三角形测试题及答案
相似三角形测试题及答案一、选择题1. 若三角形ABC与三角形DEF相似，且AB:DE = 2:3，则BC:EF的比值为：A. 2:3B. 3:2C. 4:6D. 3:4答案：B2. 在相似三角形中，对应角相等，对应边成比例。
以下哪项不是相似三角形的性质？A. 对应角相等B. 对应边成比例C. 周长比等于相似比D. 面积比等于相似比的平方答案：D二、填空题3. 若三角形ABC与三角形DEF相似，相似比为2:3，则三角形ABC的周长是三角形DEF周长的____。
答案：2/34. 若三角形ABC与三角形DEF相似，且AB = 6cm，DE = 9cm，则BC 与EF的比值为______。
答案：2:3三、解答题5. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且AB = 8cm，DE = 12cm，求三角形ABC的周长，已知三角形DEF的周长为36cm。
答案：三角形ABC的周长 = (8/12) * 36cm = 24cm6. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且∠A = ∠D = 50°，∠B =∠E = 60°，求∠C和∠F的度数。
答案：∠C = ∠F = 70°四、证明题7. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且AB = 4cm，DE = 6cm，BC = 5cm，EF = 7.5cm，证明AC = 6.25cm。
答案：由于三角形ABC与三角形DEF相似，根据相似三角形的性质，对应边成比例，所以AC/DF = AB/DE = 4/6 = 2/3。
已知EF = 7.5cm，所以AC = (2/3) * EF = (2/3) * 7.5cm = 5cm。
因此，AC = 6.25cm。
8. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且∠A = ∠D，∠B = ∠E，求证：∠C = ∠F。
答案：由于三角形ABC与三角形DEF相似，根据相似三角形的性质，对应角相等。
已知∠A = ∠D，∠B = ∠E，所以∠C = 180° - (∠A+ ∠B) = 180° - (∠D + ∠E) = ∠F。
相似三角形(参考答案)
相似三角形1 相似形1．D ． 2．8.5米． 3．C ． 4．B ． 5．①②．2 比例线段1．-72或． 2．D ． 3．C ． 4．C ．5．． 6．1.5．7．=3=4z=5x y ，，．8．411．910．49=;=316b b c c ．11．=1AB 米． 12．C ．13．BD AD 3 三角形一边的平行线1．A ． 2．B ． 3．9． 4．12． 5．13． 6．8．7．23． 8．53．9、10．10．32． 11．92．12．23．13．略． 14．略．15．（1）12米；（2）12米． 16．略． 17．+=+bm anEF m n． 4 三角形的重心1．6．2．12． 3．4． 4．略．5．2．5 相似三角形的概念1．B ．2．C ．6 相似三角形的判定1、4或9．2、53． 3、m nn+4 5、证明：（1）∵AB AC =， ∴ABC ACB =∠∠． 1分∵DE BC ∥， ∴0=180ABC BDE +∠∠，0=180ACB CED +∠∠． 1分 ∴BDE CED =∠∠． 1分 ∵EDF =∠∠ABE ， ∴DEF △∽△BDE ． 2分 （2）由DEF △∽△BDE ，得DB DEDE EF=． 1分 ∴2DE DB EF =⋅． 1分 由DEF △∽△BDE ，得BED DFE =∠∠． 1分∵GDE EDF =∠∠，∴DE △G ∽△EDF ． 1分 ∴DG DEDE DF=． 1分 ∴2DE DG DF =⋅． 1分∴DG DF DB EF ⋅=⋅． 1分 6、（1）证明：∵BDG EBC ∠=∠，BGD C ∠=∠，∴BDG △∽EBC △．∴BD BGBE BC=． ∴BD BC BG BE ⋅=⋅．（2）证明：∵DBA ABC ∠=∠，BAD C ∠=∠，∴DBA △∽ABC △．∴BD ABAB BC =．∴2AB BD BC =⋅． ∵BD BC BG BE ⋅=⋅， ∴2AB BG BE =⋅． ∴BG ABAB BE=． ∵GBA ABE ∠=∠， ∴GBA ABE △∽△． ∴BGA BAC ∠=∠．7、证明：（1）∵AD ∥BC ，0=90BCD ∠，∴0==90ADC BCD ∠∠． 1分又∵AC ⊥BD ，∴+==ACD ACB CBD ACB ∠∠∠+∠90°． 1分 ∴=ACD CBD ∠∠． 1分 ∴△ACD ∽△CBD ． 2分∴AD CDCD BC=，即2CD BC AD =⋅． 1分 （2）方法一：∵AD ∥BC ，．∴AD B D BF ∠=∠ ∵BAF D BF ∠=∠，∴AD B BAF ∠=∠． 1分∵ABG DBA ∠=∠，∴ABG △∽△DBA △． 1分∴AG ABAD BD =． 1分 ∴2222AG AB AD BD =． 又由于ABG △∽△DBA ，∴BG ABAB BD=． 1分 ∴2AB BG BD =⋅． 1分 ∴22222AG AB BG BD BGBD AD BD BD ⋅===． 1分方法二：∵AD ∥BC ，AD B D BF ∠=∠．∵BAF D BF ∠=∠，∴AD B BAF ∠=∠． 1分∵ABG DBA ∠=∠，∴ABG △∽△DBA ． 1分∴222ABG DBA S AG AG S AD AD∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭． 2分 而ABG DBA S BGS BD∆∆=， ∴22AG BG BDAD =． 2分8、解：（1）如图，∵BE CF 、分别是ABC △的边AC AB 、上的高，∴90AEB AFC ︒∠=∠=． 1分 又∵BAE CAF ∠=∠，∴ABE ACF △∽△．∴AE ABAF AC=． 2分 ∴AE AF AB ACAB AC AE AF ==，． 又∵BAC EAF ∠=∠，∴△ABC ∽△AEF ． 2分解：（2）当BAC ∠是钝角时，(1)中的结论依然成立． 2分 解：（3）∵△ABC ∽△AEF ，∴2AEF ABC S AF S AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭△△． 2分在t R ABE △中， ∵90AEB ︒∠=，∴60BAE ︒∠=．∴1cos 602AE AB ︒==． 2分 ∴21124AEF ABC S S ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△． 1分7 相似三角形的性质1．C ．2．53． 3．B ． 4．C ． 5．4． 6．4:3． 7．9．8 向量的有关概念1．EA 和CE ． 2．C ． 3．1． 4．CB ． 5 6．B ．9 向量的线性运算1．C ．2．1233a b +． 3．12a b =-．4．13133322222a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+-+=+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．5．略．6．略．7．解：（1）如图，过P 作PH ⊥AB 于H ． ∵DF DE =，∴DFE E ∠=∠．又∵FG EH =，∴△DFG ≌DEH ． ∴FDG EDH ∠=∠．∵90FDE ∠=，且FDE FDG EDH BAC ∠=∠+∠+∠， ∵30BAC ∠=， ∴30FDG ∠=． ∵4DF =，∴4DF =． ∵DP xa xDF ==，∴4DP DP x a x DF x ====． 在Rt △DPH 中，=30FDG ∠， ∴122PH DP x ==，90B ∠=，30BAC ∠=，6BC =． ∴12AC DC ==．∴111221222PDC y S DC PH x x ==⋅=⋅⋅=△()0x >． （2）∵PC ∥AB ，∴BAC DCP ∠=∠． ∵30BAC ∠=， ∴30DCP ∠=．由（1）知30FDG ∠=， ∴FDG DCP ∠=∠． ∴DP PC =．若PH AB ⊥，则M 是DC 的中点6DM =．在Rt △DPH 中，30FDG ∠=，6DM cos FDG AP AP ∠===，∴AP = 4DP AP x ==．∴x =【参考答案】（上海2013中考5）A ．（上海2012中考16）3． （上海2012中考17）4． （上海2013中考10）2a b +．（上海2012中考15）2a b +． （上海2011中考15）12a b +．（上海2014中考15）23a b -．解：∵∠B ＝30°∠ACB ＝90°∴∠BAC ＝60°， ∵AD =AE ∴∠AED ＝60°=∠CEP ，∴∠EPC ＝30°，………………………………………………（1分） ∴三角形BDP 为等腰三角形， ∵△AEP 与△BDP 相似，∴∠EAP =∠EP A =∠DBP =∠DPB =30°，∴AE =EP=1，………………………………………………（1分）∴在Rt △ECP 中，EC =12EP =12．………………………………………………（2分）（上海2014中考23）证明：（1）∵四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，AB CD =， ∴ADC DAB =∠∠． ∵AD ∥BE ，∴ADC DCE =∠∠． ∴DAB DCE =∠∠． 在△ABD 和△CDE 中，,,=,DAB DCE AB CD ABD CDE =⎧⎪=⎨⎪⎩∠∠∠∠ ∴△ABD ≌△CDE ． ∴AD CE =．又∵AD ∥CE ，∴四边形ACED 是平行四边形．（2）∵四边形ACED 是平行四边形，∴CF ∥DE ．∴DF CEDB BE=． ∵AD ∥BE ，∴DG AD GB BE=． 又∵AD CE =，∴DG DFGB DB=． （上海2012中考23）证明：（1）∵BAF DAE ∠=∠，∴BAE EAF DAF EAF ∠+∠=∠+∠, ∴BAE DAF ∠=∠．……………………………………………………（1分） ∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =AD ，ABE ADF ∠=∠．…………（2分） ∴△ABE ≌△ADF ，……………………………………………………（1分） ∴BE =DF ．………………………………………………………………（1分）（2）∵DF AD FC DF =，DF BE =，∴DF ADFC BE=．………………………（1分） ∵AD ∥BC ，∴DG ADGB BE=,……………………………………………（1分） ∴DF DGFC GB=,……………………………………………………………（1分） ∴GF ∥BC ．………………………………………………………………（1分） ∵BE =DF ,BC =DC , ∴BE DFBC DC=,……………………………………………………………（1分） ∴EF ∥BD ．………………………………………………………………（1分） ∴四边形BEFG 是平形四边形．…………………………………………（1分）（上海2013中考24）解：（1）过点A 作AH 垂直于x 轴，垂足为H ， ∵120AOB ∠=︒，180AOH AOB ∠+∠=︒， ∴60AOH ∠=︒． 又∵2AO =，∴1cos60212OH AO =⋅︒=⨯=，sin 602AH AO =⋅︒==． ∴点A的坐标为(1-．……………………………………………………………（1分） ∵点B 在x 轴正半轴上，2BO =， ∴点B 坐标为(2,0)．∵拗物线2y ax bx =+经过点A 和点B ，∴420.a b a b ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩…………………………………………………………………………（1分）解这个方程组，得a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩………………………………………………………（1分）∴这条抛物线的表达式是2y =-，……………………………………（1分） （2）由题意得，顶点M的坐标为(1,， ……………………………………（2分）∴OM =30BOM ∠=︒．……………………………………………………（1分）∴150AOM AOB BOM ∠=∠+∠=︒．………………………………………………（1分） （3）∵150AOM ∠=︒，∴30OAM AMO ∠+∠=︒， ∴30OAM ∠<︒，30AMO ∠<︒， ∵AO BO =，120AOB ∠=︒，∴30ABO ∠=︒．∵△ABC 与△AOM 相似，∴点C 应在线段OB 的延长线上． ∵180ABC ABO ∠+∠=︒， ∴150ABC ∠=︒．∴AOM ABC ∠=∠．…………………………………………………………………（2分）∵点A的坐标为(1-，点B 的坐标为(2,0)，∴AB = 分两种情况讨论：①BC OM AB AO =32=, ∴2BC =,∴(4,0)C ．…………………………（1分）②BC AOAB OM ==，∴6BC =，∴(8,0C ）．………………………（1分） 综上所述，△ABC 与△AOM 相似时，点C 的坐标为4,0（）或8,0（）．（上海2011中考25）（1）在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∵BC=30，AB=50，∴AC=40．∵CP ⊥AB ，易得 AB CP AC BC ⋅=⋅，∴40302450AC BC CP AB ⋅⨯===．…………………………………………………（2分） 在Rt △CMP 中，∠CPM=90°，∵12sin 13CP CMP CM ==∠，∴241213CM =，∴CM=26．………………………………………………………（2分） （2）在Rt △AEP 与Rt △ABC 中，90APE ACB ∠=∠=︒， ∵tan PE BCA AP AC==，AP x =，BC=30，AC=40．∴34PE =．……………………………………………………………………（1分） 在Rt △EMP 中，EPM =∠90°，∵12sin 13EMP =∠，易得 1312EM PE =，512MP PE =．∴1316EM x =，516MP x =．……………………………………………………（1分）∵△EMN 中，EM=EN ，EP AB ⊥，∴516NP MP x ==．…………………（1分）∴55016y x x =--，∴函数关系式为215016y x =-+，定义域为032x <<．……………（1分+1分）（3）∵AME ENB △∽△，∴AM ENEM BN=．……………………………………（1分） 即AM BN EM EN ⋅=⋅． 当点E 在边AC 上时，由（2）可得 215016BN x =-，1316EM EN x ==， 5111616AM AP PM x x x =-=-=，∴2112113(50)()161616x x x ⋅-=． 解得 10x =（舍去），222x =．∴AP=22．………………………………………………………………………（2分） 当点E 在边BC 上时，设BP=k ，同理可得 139EM EN k ==， 49BN k =, 14509AM k =-， ∴214413(50)()999k k k -⋅=． 解得 10k = (舍去)，28k =．∴50842AP =-=．…………………………………………………………（2分）综上所述：AP 的长为22或42．。
相似三角形试题及答案
相似三角形试题及答案一、选择题1. 在相似三角形中，对应角相等的条件是：A. 边长成比例B. 面积相等C. 周长相等D. 角相等答案：A2. 下列选项中，哪一项不是相似三角形的性质？A. 对应边成比例B. 对应角相等C. 面积比等于边长比的平方D. 周长比等于边长比答案：B二、填空题3. 若三角形ABC与三角形DEF相似，且AB:DE=2:3，则三角形ABC的面积与三角形DEF的面积之比是________。
答案：4:94. 若三角形ABC与三角形A'B'C'相似，且∠A=∠A'=60°，则∠B与∠B'的关系是________。
答案：相等三、简答题5. 解释为什么在相似三角形中，对应边长的比等于对应角的正弦值之比。
答案：在相似三角形中，由于对应角相等，根据正弦定理，对应边长的比等于对应角的正弦值之比。
这是因为正弦值与角的大小成正比，而相似三角形的对应角大小相同，因此它们的正弦值之比也相同。
四、计算题6. 在三角形ABC中，已知AB=5cm，AC=7cm，∠A=60°，求三角形ABC的面积。
答案：首先，利用余弦定理计算BC的长度。
根据余弦定理，BC²= AB² + AC² - 2AB*AC*cos∠A。
代入已知值，得到BC² = 5² +7² - 2*5*7*(1/2) = 25 + 49 - 35 = 39，所以BC = √39 cm。
然后，利用三角形的面积公式S = (1/2)AB*AC*sin∠A，代入已知值，得到S = (1/2)*5*7*(√3/2) = 17.5√3 cm²。
7. 若三角形ABC与三角形DEF相似，且AB:DE=3:5，求三角形ABC与三角形DEF的面积比。
答案：由于相似三角形的面积比等于边长比的平方，所以三角形ABC与三角形DEF的面积比为(3:5)² = 9:25。
浙教版九年级数学上《4.3相似三角形》同步练习含答案
4.3.相似三角形一．选择题1.下列命题中，是真命题的是（ ）A.锐角三角形都相似B. 直角三角形都相似C. 等腰三角形都相似D. 等边三角形都相似2．已知△ABC ∽△DEF ，∠A=∠D=o 30，∠B=o 50,AC 与DF 是对应边，则∠F=（ ）A. o 50B. o 80C. o 100D. o 1503. △ABC ∽△DEF,且相似比为2，则（ ）A. ∠A 是∠E 的2倍B. ∠F 是∠A 的2倍C. AB 是DE 的2倍D.DE 是AB 的2倍4.如图，△ADE ∽△ACB,且∠ADE=∠C,则下列等式成立的是（ ） A. AC AE AB AD = B. BD AD BC AE = C. AB AE BC DE = D. ABAD BC DE = 5．△ABC 的三. 边分别是262，，，△DEF 的两边分别为1，3，如果△ABC ∽△DEF ，那么△DEF 的第三边长可能是（ ） A. 2 B.22 C. 26 D.33 二．填空题6. 已知△ABC ∽△'''C B A ,且相似比是31，若''B A =2，则AB=_______ 7. △ABC ∽△DEF,且，△ABC 与△DEF 的相似比为73，则_______=AB DE 8.三角形的三条中位线所形成的三角形与原三角形的相似比是___________9．如图，△DGH ∽△DEF,则图中的对应边是_________________,对应角是________________10.如图，△A BC ∽△DAC, ∠B=∠DAC,DC=1，BD=3，△DAC 与△ABC 的相似比_______(第4题) (第9题) (第10题)三．解答题11.如图，△ABC 是直角三角形，∠B=o90，试在图中画出Rt △ACD ，使△ACD 与△ABC相似，使AC 为公共边（要求画出不同的三个）12.如图，已知△ABC ∽△ADE, DE ⊥AB,BC ⊥AD,垂足分别是E,C.(1)写出这两个相似三角形对应边的比例式(2)若AE=5，AD=13，CD=3，求BC 的长13.如图，已知△ABC ∽△ACD,且AD=9，BD=3，求AC 的长14.如图，Rt △ABC 与Rt △ADE 相似，且∠B=o 60，CD=2，DE=1，求BC 的长15如图，在直角坐标系xOy 中，直线221+=x y 与x 轴，y 轴交于A,B 两点，以AB 为边在第二象限内作矩形ABCD,使AD=5(1)求点A ，B 的坐标，并求AB 的长(2)过点D 作DH ⊥x 轴，垂足为H,若△ADH ∽△BAO,求点D 的坐标4.3.相似三角形1—5 DCCCA 6. 32 7.37 8.21 9略 10. 21 11. 略 12 24)2()1(AD AB DE BC AE AC == 13. 36 14.334 15.()()()()()2525220041，，，-=-D AB B A。
浙教新版九年级上册《4.3 相似三角形》2024年同步练习卷(2)+答案解析
浙教新版九年级上册《4.3相似三角形》2024年同步练习卷（2）一、选择题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知∽，相似比为2，则下列说法正确的是()A.是的2倍B.是的2倍C.AB是DE的2倍D.DE是AB的2倍2.下列说法正确的是()A.所有的等腰三角形都相似B.所有的等边三角形都相似C.所有的直角三角形都相似D.两相似三角形必是全等三角形3.如图，点A、B、C、D、E、F、G、H、K都是方格纸中的格点，为使∽，则点M应是F、G、H、K四点中的()A.FB.GC.HD.K4.已知∽，∽，下列关于和关系的结论正确的是()A.全等B.周长相等C.面积相等D.相似二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
5.如图，已知∽，相似比为2：3，则BC：DE的值为______.6.如图，AB，CD相交于O点，∽，OC：：3，，则BD的长为______.7.如图，∽，则图中的DE的对应边是______，的对应角是______.8.一个三角形的各边之比为2：5：6，和它相似的另一个三角形的最大边为15cm，则它的最小边长为______9.如图是一个边长为1的正方形组成的网络，与都是格点三角形顶点在网格交点处，并且∽，则与的相似比是______.三、解答题：本题共5小题，共40分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
10.本小题8分如图，O是内任意一点，，，，那么与相似吗？说明理由.11.本小题8分如图，D，E分别是AB，AC上的点，已知∽，，，，求AE的长．12.本小题8分如图，已知∽，，，垂足分别为E，写出这两个相似三角形对应边的比例式.若，，，求BC的长.13.本小题8分如图，中，D是AB上的一点，∽，且AD：：4，，求，的度数；若，求AB的长.14.本小题8分如图，点D、E分别在的边AB、AC上，且，，，若使与相似，求AE的长.答案和解析1.【答案】C【解析】解：∽，相似比为2，，AB是DE的2倍，选项A、B、D说法错误，不符合题意；选项C说法正确，符合题意；故选：根据相似三角形的对应角相等、对应边的比等于相似比判断即可．本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等、对应边的比等于相似比是解题的关键．2.【答案】B【解析】解：所有的等腰三角形不一定相似，只有顶角相等的等腰三角形都相似，所以A选项不符合题意；B.所有的等边三角形都相似，所以B选项符合题意；C.所有的直角三角形不一定相似，只有有一锐角相等的直角三角形相似，所以B选项不符合题意；D.全等三角形必相似，但两相似三角形不一定全等，所以D选项不符合题意．故选：利用等腰三角形的性质和相似三角形的判定方法对A进行判断；利用等边三角形的性质和相似三角形的判定方法对A进行判断；利用直角三角形相似的判定方法对C进行判断；根据相似三角形的性质全等三角形的判定方法对D进行判断．本题考查了相似三角形的判定：三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性质和相似三角形的性质．3.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查相似三角形的判定．由图形可知的边，，，当∽时，AB和DE是对应边，相似比是1：2，则AC的对应边是3，则点M的对应点是【解答】解：根据题意，当DE：：AC时，∽，，，应是H故选：4.【答案】D【解析】解：∽，，，∽，，，，，∽，故选：先利用相似三角形的性质得到，；，，则，，于是可判断∽，从而可对各选项进行判断．本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了相似三角形的性质．5.【答案】3：2【解析】解：∽，且相似比为2：3，：：2，故答案为3：由于∽，且已知了它们的相似比，因此两三角形的对应边的比等于相似比．由此可求出BC、DE的比例关系．本题考查对相似三角形性质的理解．相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．6.【答案】4【解析】解：：：3，：：2，∽，，即，解得：，故答案为：根据OC：：3，求得OC：：2，根据相似三角形的对应边的比相等列出方程，计算即可．本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等，对应边的比相等是解题的关键．7.【答案】【解析】解：∽，与是对应角，DE与DG是对应边．故答案为：DG，根据相似三角形的对应角相等以及对应角的定义，可以确定的对应角；根据∽，结合字母所在的对应位置，可以得到DE的对应边．本题主要考查相似三角形的对应边与对应角的定义，可以结合定义进行解答．8.【答案】5【解析】解：两三角形相似，三边比：5：6，另一三角形三边比：5：6，设此三角形各边为2x，5x，6x，，解得，根据相似三角形的性质，一个三角形的各边之比为2：5：6，和它相似的另一个三角形的各边之比也是2：5：6，设和它相似的另一个三角形的各边为2x，5x，6x，得到关于x的方程，解即可．本题考查相似三角形的对应边的比相等．9.【答案】【解析】解：由图可知，，与的相似比是：先利用勾股定理求出AC，那么AC：即是相似比．本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形边长的比等于相似比．解答此题的关键是找出相似三角形的对应边．10.【答案】解：∽理由：，∽，同理可得，，，∽【解析】先根据得出∽，故，同理可得，，由此可得出结论．本题考查的是三角形的判定，熟知三组对应边的比相等的两个三角形相似是解答此题的关键．11.【答案】解：∽，，，，，即，解得【解析】直接根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论．本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．12.【答案】解：；，，，，解得：，【解析】根据∽对应边成比例，直接写出即可；根据∽对应边成比例求出AB，再由勾股定理求出BC即可．本题主要考查了相似三角形的性质、勾股定理，根据相似三角形的对应边成比例列出是解决此题的关键．13.【答案】解：∽，，；而，，，，；又∽，，，即AB的长为【解析】直接利用相似三角形的对应角相等这一性质即可解决问题．直接利用相似三角形的对应边成比例，列出比例式求解即可．本题主要考查了相似三角形的性质及其应用问题；解题的关键是找准相似三角形的对应角和对应边，准确列出比例式．14.【答案】解：①若对应时，，即，解得；②当对应时，，即，解得所以AE的长为2或【解析】由于与相似，但其对应角不能确定，所以应分两种情况进行讨论．本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形的对应边成比例．。
相似三角形经典练习题及答案
相似三角形经典练习题及答案一、选择题1、若两个相似三角形的面积之比为 1∶4，则它们的周长之比为（）A 1∶2B 1∶4C 1∶5D 1∶16答案：A解析：相似三角形面积的比等于相似比的平方，相似三角形周长的比等于相似比。
因为两个相似三角形的面积之比为 1∶4，所以相似比为 1∶2，那么它们的周长之比为 1∶2。
2、如图，在△ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，DE∥BC，若 AD∶DB ＝ 1∶2，则下列结论中正确的是（）A AE∶EC ＝ 1∶2B AE∶EC ＝ 1∶3 C DE∶BC ＝ 1∶2 DDE∶BC ＝ 1∶3答案：B解析：因为 DE∥BC，所以△ADE∽△ABC。
因为 AD∶DB ＝1∶2，所以 AD∶AB ＝ 1∶3。
因为相似三角形对应边成比例，所以AE∶AC ＝ AD∶AB ＝ 1∶3，所以 AE∶EC ＝ 1∶2。
3、已知△ABC∽△A'B'C'，相似比为 3∶4，△ABC 的周长为 6，则△A'B'C'的周长为（）A 8B 7C 9D 10答案：A解析：因为相似三角形周长的比等于相似比，所以△ABC 与△A'B'C'的周长之比为3∶4。
设△A'B'C'的周长为x，则6∶x ＝3∶4，解得 x ＝ 8。
4、如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 上的点，且DE∥BC，如果 AD ＝ 2cm，DB ＝ 1cm，AE ＝ 15cm，则 EC ＝（）A 05cmB 1cmC 15cmD 3cm答案：B解析：因为 DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，所以 AD∶AB ＝AE∶AC。
因为 AD ＝ 2cm，DB ＝ 1cm，所以 AB ＝ 3cm。
所以 2∶3＝ 15∶（15 ＋ EC)，解得 EC ＝ 1cm。
5、下列各组图形一定相似的是（）A 两个直角三角形B 两个等边三角形C 两个菱形D 两个矩形答案：B解析：等边三角形的三个角都相等，都是 60°，所以两个等边三角形一定相似。
人教版中考数学一轮复习《相似三角形》同步练习含答案
2019 年中考数学一轮复习相似三角形一、选择题1. 以下表达正确的选项是（）A．任意两个正方形必然是相似的B．任意两个矩形必然是相似的C．任意两个菱形必然是相似的D．任意两个等腰梯形必然是相似的2.Rt △ ABC的两条直角边分别为3cm、4cm,与它相似的 Rt△ A/ B/ C/的斜边为20cm,那么 Rt△ A/ B/ C/的周长为（）A． 48cm B． 28cm C．12cm D． 10cm3.如图 , 已知在△ ABC中，点 D、E、F 分别是边 AB、AC、BC上的点 ,DE∥ BC，EF∥ AB, 且 AD：DB=3：5，那么 CF：CB等于（）A． 5：8B． 3： 8C．3： 5D． 2：54. 如图 , 已知直线a∥ b∥ c, 直线m,n 与 a,b,c分别交于点A,C,E,B,D,F,若AC=4,CE=6,BD=3,则DF的值是（）A． 4B．C．5D．5. 以下说法中正确的选项是（）①在两个边数相同的多边形中，若是对应边成比率，那么这两个多边形相似；②若是两个矩形有一组邻边对应成比率，那么这两个矩形相似；③有一个角对应相等的平行四边形都相似；④有一个角对应相等的菱形都相似 .A．①②B．②③C．③④D．②④6.如图，在△ ABC中，∠ A=78°， AB=4， AC=6，将△ ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是 ()．．．7.如图，在 ?ABCD中， F 是 AD延长线上一点，连接BF 交 DC于点 E，则图中相似三角形共有（）对.A． 2 对B． 3 对C．4 对D． 5 对8.如图，在△ ABC中， D、E 分别为 AB、AC边上的点， DE∥ BC，BE与 CD订交于点 F，则以下结论必然正确的选项是（）A．=B．C．D．9.以下关于位似图形的表述：①相似图形必然是位似图形，位似图形必然是相似图形；②位似图形必然有位似中心；③若是两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．其中正确命题的序号是（）A．②B．①②C．③④D．②③④10.如图，在长为 8cm、宽为 4cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（）A． 2cm2B． 4cm2C．8cm2D． 16cm211.如图，数学兴趣小组的小颖想测量授课楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在授课楼的墙壁上( 如图 ) ，她先测得留在墙壁上的影高为，又测得地面的影长为，请你帮她算一下树高是( )A．B．C．D．212. 将一副三角尺（在 Rt △ ABC中 , ∠ ACB=90° , ∠ B=60° , 在Rt △ EDF中，∠ EDF=90° , ∠ E=45°) 如图摆放，点 D为 AB的中点， DE交 AC于点 P，DF经过点 C，将△ EDF绕点 D顺时针方向旋转α（0° <α <60°）， DE′交 AC 于点 M，DF′交 BC于点 N，则 PM： CN的值为（）A．B．C．D．二、填空题13. 在一张比率尺为 1 ： 50000 的地图上，若是一块多边形地的面积是100cm2，那么这块地的本质面积是________m2（用科学记数法表示）．14.如图， AB∥ CD∥ EF，若是 AC=2，， DF=3，那么 BD=.15.如图 278，正方形 OABC与正方形 ODEF是位似图形， O为位似中心，相似比为1：，则这两个四边形每组对应极点到位似中心的距离之比是__________ ．16.如图，在菱形ABCD中，点 M， N 在 AC上， ME⊥AD， NF⊥AB，若 NF=NM=2，ME=3，则 AN的长度为.17.如图，在 Rt △ABC中，∠ ABC=90°， AB=3，BC=4.Rt △ MPN中，∠ MPN=90°，点 P 在 AC上， PM交 AB于点 E，PN交 BC于点 F，当 PE=2PF时， AP=________.18.如，点 A1、A2、A3、⋯，点 B1、B2、B3、⋯，分在射 OM、ON上，A1B1∥ A2B2∥ A3B3∥ A4B4∥⋯．若是 A1B1=2，A1A2=2OA1， A2A3=3OA1，A3A4=4OA1，⋯．那么A2B2=________， A n B n=________．（ n 正整数）三、解答19.如，已知在△ ABC中，∠ ACB的均分 CD交 AB 于 D， B 作 BE∥ CD交 AC的延于点 E．(1)求： BC=CE；(2)求： AD:BD=AC:BC;20.如，点C、 D 在段 AB 上，△ PCD是等三角形，若∠APB=120° . 求：△ ACP∽△ PDB．21.如，在△ ABC中，点 D 在 BC上，∠ DAC=∠B. 点 E 在 AD上， CD=CE.（1）求：△ ABD∽△ CAE；（2）若 AB=6，， BD=2，求 AE的 .22.如图，在正方形 ABCD中，点 M是边 BC上的一点（不与 B、C重合），点 N在 CD边的延长线上，且满足∠ MAN=90°，联系 MN、 AC， N 与边 AD交于点 E．（1）求证； AM=AN；2（ 2）若是∠ CAD=2∠NAD，求证： AM=AC?AE．23.如图，△ ABC中，∠ ACB=90°， D 为 AB 上一点，以 CD为直径的⊙ O交 BC于点 E，连接 AE 交 CD于点 P，交⊙ O于点 F，连接 DF，∠ CAE=∠ ADF.(1) 判断 AB与⊙ O的地址关系，并说明原由；(2) 若 PF:PC=1:2 ， AF=5，求 CP的长 .24.如图，矩形 OABC的极点 A．C 分别在 x 轴和 y 轴上，点 B 的坐标为 (2 ，3) ，双曲线 y=错误！未找到引用源。
相似三角形经典题（含答案）（Si...
相似三角形经典题(含答案)（Similar triangle classic questions(including answers)）Similar triangle classical exercisesExample 1. Choose a similar triangle from the following trianglesExample 2 is known: as in figure ABCD, the ratio of the perimeter to the sum if...Figure 3 cases, known to, to prove that.Example 4 which of the following statements are true and which ones are wrong?(1) all right triangles are similar. (2) all isosceles triangles are alike(3) all isosceles right triangles are similar. (4) all equilateral triangles are alikeFigure 5 example, D is a point on the AC, D DE E the dotted line, in the side, the small triangle and point D, point E and a vertex with similar composition. Draw as much as possible to meet the conditions of the graphics, and that of line DE painting.Figure 6 cases, a person holding a small scale paintings engraved with cm, standing about 30 meters away from the poles, the arm straight forward, small scale vertical ruler, see about 12 paintings just over the poles, the known arm length of about60 cm high, for the wire rod.Figure 7 cases, in order to measure a high-rise MN Xiaoming, put a mirror in the A from N 20m, NA back to C along the Xiao Ming, just from the mirror to see the roof of M, if m, his eyes from the ground height of 1.6m, please help you calculate Xiaoming the height of the building (accurate to 0.1M).The two triangles in the 8 lattice diagram are similar triangles, and the reasons are givenExample 9 determines whether the case is similar and explains the reasons for the following groups of conditions:(1)(2)(3)Example 10. In the following graph, there is no similar triangle. If it exists, show them in letters, and briefly explain the basis for identificationExample 11 is known: as in Fig., in the case of angular bisector, try using a triangle similar relation descriptionExample 12, the known three side length is 5, 12 and 13, and its similar maximum length is 26, the area of S.13 cases in a mathematics activity class, the teacher let thestudents to the playground to measure the height of the flagpole, and then come back to AC measurement method for their measurement is. Xiaofang: take a 3.5 meter high pole upright in the 27 meters away from the flagpole at C (pictured), then walk along the BC direction D, the top of the flagpole and pole top A visual E is in the same line, C D, and measured the distance between two points is 3 meters, Xiaofang mesh is 1.5 meters high, so that you can know the high flagpole. Do you think this measurement method is feasible? Please explain the reasonFigure 14. cases, in order to estimate the width of the river on the other side of the river, we can select a target as A, on this side of the river and then points B and C, so, then choosing E, BC and AE to determine the intersection point is D, measured in meters, meters, meters, you can find the distance between the two sides of AB roughly?Figure 15. cases, in order to find the island peak height of AB, DC and FE to establish a benchmark in D and F, the benchmark is 3 feet high, separated by 1000 step (step 1 is equal to 5 feet), and AB, CD and EF in the same plane, from the G DC benchmark back the 123 step, can see peaks A and C benchmark top end in a straight line, from the H FE benchmark 127 steps back, can see peaks A and E benchmark top on a straight line. How much is the horizontal distance BD AB and its peak height and benchmark CD? (ancient problems)Figure 16 example, known Delta ABC boundary AB = AD, AC = 2, BC = high on the side.(1) seeking the length of BC;(2) if there is a square edge on AB, the other two vertices are on AC, BC, respectively, and the area of this square is calledSimilar triangle classic Exercises answer1. cases of the solution, five and six, and the similar, similar, three or four, and similar2. solution is a parallelogram, so, l ~,Again, so, and the perimeter of the perylene ratio is 1:3.Again, dry.3 cases analysis, so as to, if further proof, the problem must pass.To prove dreams, *.Again, l,Star.To dreams, *.In dreams, and in R ~Case 4. analysis (1) is incorrect, because in the right triangle, the size of the two angles is uncertain, so the shape of the right triangle is different(2) not correct either,The vertices of an isosceles triangle are not of definite size, so the shape of an isosceles triangle is also different(3) right. There are isosceles right triangle ABC and, among them,Then,The three sides are a, B, and C, and the edges are,Then,So, l ~.(4) is correct, and is an equilateral triangle, the corresponding angles are equal, the corresponding edge is proportional to it.Answer: (1) and (2) incorrect. (3) and (4) correctExample 5. solutions:Painting slightly.The analysis of 6. cases of the narrative can draw the geometry as shown below, the CM cm m, m, m, and BC. ~ ~ because, again, so, so you can find the BC long.So, l ~ solution. Hence.Again, l,So, l ~ *,.And cm cm meters, meters, meters, meters. The pole star is 6 meters high.Example 7. analysis according to the law of Physics: the incident angle of light is equal to the angle of reflection, so that the similarity relation is clearBecause the solution, so so.So, that is. So (m)This shows that this is a practical application, the method seems simple, but in fact it is very clever, saving the use of instrumentation to measure the troubleExample 8.. It is impossible to judge these two graphs if they are not painted in the grid. In fact, the lattice virtually adds to the condition the length and the angleThe solution is in the grid, so..,Again. So. So ~.Explain the problems encountered in the grid point, we must fully find the various conditions, do not make omissionsIn 9. cases (1) because the solution to it;(2) because the two triangles only, the other two are not equal, and not so similar;(3) because, so it is similarIn 10. cases (1) and two equal solution; (2) to two equal;(3) to two equal; (4) to both sides proportionally equal angles;(5) to both sides proportionally equal angles; (6) to both sides proportionally equal angles.Analysis of 11. cases with a 65 degree angle of the isosceles triangle, the angle is 72 degrees, and BD is the bisector of the corner, so, you can launch to, and then by the similar triangle corresponding edge is proportional to the ratio between the line launched.That star.But equally, dry.And so, so, so, so, L.That (1) has two angles equal, then the two triangles are similar, this is the judgment of two triangles. The most commonly used method, and according to the equal angle position, can determine which side is the corresponding edge.(2) to explain the product of a line, or the square formula, usually to prove the scaling formula, or, again, to derive the product formula or the square formula according to the basic nature of the proportionBy the analysis of 12 cases of the three sides can be judged as a right triangle, and because it is also a right triangle, so, then by the maximum edge length is 26, can calculate the similarity ratio, two right angle side to calculate, and obtain the area.The solution of a three side in order,,, L.And to dreams, *,Again, *. *.13. cases analysis method to judge whether it is feasible, should consider the use of this method combined with our existing knowledge can be obtained according to the flagpole high. This measuring method, F to G, CE to H, so that, and GF, HF, EH and AG, this can be obtained, so the AB can be obtained. The flagpoleThe solution is feasible. The reasons are as follows:The flagpoles high. F for G, CE H (pictured). So ~.Because, soSo, that is, by, so the solution (m)So the height of the flagpole is 21.5 metersIt shows that the method should be practical and feasible in concrete measurementExample 14. solutions:,L ~, (m), a: between the two sides of AB is roughly 100 meters away.Example 15. answer: rice, step, (Note:.)16. cases analysis: BC long, need to draw solution, because AB and AC are higher than AD, so there are two kinds of situations, namely D in BC or D in the BC extension line, so long for the BC to two to discuss the situation. For the area of a square key is the length of the side for a square.Solution: (1) as above, by the AD BC group, by the Pythagorean theorem BD = 3, DC = 1, BC = so BDDC = 3 + 1 = 4.As follows, BD = 3, DC = 1, so BC = BD = CD = 3-1 = 2.(2) as shown by the graph, BC = 4, and so is ABC. Hence, the right triangle.The AEGF is a square, set GF = x, FC = 2x,GF "AB dreams, so, that is. So, dry.As follows, when BC = 2,AC = 2, Delta ABC is an isosceles triangle, as an CP AB in P, AP = r,In Rt APC, by the Pythagorean theorem CP = 1,Dreams GH / / AB, R ~ Delta CGH Delta CBA, dreams, RTherefore, the square has an area of orThird (lower) similar triangleFirst pages, 6 pages(similarity triangle's nature and application) practice rollFill in the blanks1. When the similarity ratio between two similar triangles is 3, their perimeter ratio is..;2, if the delta delta A to ABC 'B' C ', and the perimeter of delta ABC is 12cm, then the perimeter of delta A' B 'C' for;3, as shown in Figure 1, in ABC, BE, CD line intersect at point G, then the delta GED:S Delta GBC= = S;4, as shown in Figure 2, the ABC / B= / AED, AB=5, AD=3, CE=6, AE=;5, as shown in Figure 3, ABC, M AB is the midpoint of the N on BC, BC=2AB / BMN= / C, is a ~ Delta, similarity ratio =;6, as shown in Figure 4, the trapezoidal ABCD, AD / / BC S, Delta ADE:S Delta BCE=4:9, Delta ABD:S Delta ABC= S;The perimeter of 7 and two similar triangles are 5cm and 16cm, respectively, and the ratio of the bisector of their corresponding angles is;8, as shown in Figure 5, the BC=12cm in ABC, D, and F are three points AB, E, G is three points AC, DE+FG+BC=;The ratio of the area of the two and the 9 triangles is 2:3, and the ratio of them to the angle is equal to the ratio of the height of the opposite side;10, it is known that there are two triangles similar, one side length is 2, 3 and 4 respectively, and the other side length is x, y and 12 respectively. Then the values of X and y are respectively;Two, multiple-choice questions11, the following polygon must be similar to (), A, two rectangles, B, two diamond, C, two squares, D, two parallelogramIn 12, ABC, BC=15cm, CA=45cm, AB=63cm, the shortest edge of another and it is similar to the triangle is 5cm, is the longestside (18cm) is A, B, 21cm C, 24cm D, 19.5cm13, as shown in ABC, BD, CE to the high point of O, the following conclusion is wrong ()A, CO, CE=CD, CA, B, OE, OC=OD, OBC, AD, AC=AE, AB, D, CO, DO=BO, EO14, known in ABC / ACB=900, CD, AB in group D, if BC=5, CD=3, AD (long)A, 2.25 B, 2.5 C, 2.75 D, 315, as shown in figure ABCD, the edge of square BC is on the bottom QR of the isosceles right triangle PQR,The other two vertices, A and D, are on PQ and PR, and PA:PQ equals ()A, 1:B, 1:2, C, 1:3, D, 2:316, as shown in figure D, and E are Delta ABC edge AB and AC point, ==3,And / AED= / B, Delta AED and delta ABC is the area ratio is ()A, 1:2, B, 1:3, C, 1:4, D, 4:9Three, answer questions17, figure, known in the delta ABC, CD=CE / A= / ECB, CD2=AD - BE test.18, known as shown in ABC, DE, BC, AD=5, BD=3, S and delta ADE:S Delta ABC value.19, known square ABCD, C straight line, respectively, AD, AB extension line at points E, F, and AE=15, AF=10, square ABCD for the length of the side.20, known as shown in the equilateral Delta CDE and B respectively, A ED, DE extension line, DE2=AD and EB, and the degree of angle ACB.21, known as shown in ABC / C=600, AD, BC in D group, BE group AC E, Delta CDE Delta CBA to explain.22, known, as shown in figure F, ABCD edge, DC extension of the line point, link AF, pay BC at G, hand in BD at E, try to explain AE2=EG EF24. ABC, D, E / C=900, respectively AB, AC on AD, AB=AE AC, ED AB (13) to verify the aboveIn 25, ABC, M and AC is the midpoint, side of the AE=BA connection EM, and extend the BC line to D, verify the BC=2CDAB=AC, the 26 known isosceles triangle ABC, AD, BC in group D, CG, AB, AD, AC BG respectively in E, F, BE2=EF and EG prove:27, known in ABC, AD / BAC=900 BC in D P group, AD midpoint, BP extension line AC to E EF BC in F, an EF2=AE AC confirmation:28., as shown in the parallelogram,1. APD ~ CDQTwoMap your own painting, with a triangle of 30 degrees can be drawn outDreams of an isosceles triangle ABC / ABC = 120 DEGL / DAP= / DCQ=30 / CDQ / PDA=150 ~ * ~ / ADP / APD=150 degrees and dreamsL / CDQ= / APD / DAP= / QCD and dreamsStar delta APD Delta CDQ ~ AP/CD=PD/DQ frequencyD is the midpoint of AC AD=DC dreams AP/DP=AD/DQ AP/AD=PD/QD perylene perylene perylene / PDQ= / PAD dreamsStar delta APD to DPQ3. a triangle has 1 angles of 30, and the other has 2 30 degrees angles, in favor of the 155| review (6)(1) dreams / ABC=120 / A= / L degrees, C=30 degrees,Dreams / ADP+ / APD=150 / ADP+ / QDC=150 degrees degrees,L / APD= / CDQ,Star delta APD to CQD(2) set up; as shownDreams / ADP+ / APD=150 / ADP+ / QDC=150 degrees, degrees, R / APD= / CDQ / A= / C, andStar delta APD to CQD / A= / C only, the other corresponding angle are not equal, therefore, Delta APD and delta DPQ is similar;(3), two triangle into a more general condition, but the ABC must be an isosceles triangle, and / EDF= / A, otherwise it is not established.。
人教版八年级数学上册 27.2 相似三角形(1)同步练习(附答案解析)
27.2相似三角形同步练习(一)一、单项选择题（本大题共有15小题，每小题3分，共45分）1、如图，在中，已知于点，则图中相似三角形共有( ).A. 对B. 对C. 对D. 对2、如图，已知直线，直线、与、、分别交于点、、、、、，，，，则的值是（）.A.B.C.D.3、如图，已知，，则( ).A.B.C.D.4、同一时刻，身高1.6米的小华在阳光下的影长为0.8米，一棵树的影长为4.8米，则这棵树的高度为( ).A. 米B. 米C. 米D. 米5、下列四组线段中，不成构成比例线段的是( ).A.B.C.D.6、若，则可得比例式（）.A.B.C.D.7、在运动会上，裁判员测得小明与小华跳远成绩分别是米，厘米，则线段与的比值是（）.A.B.C.D.8、若将的三个顶点的纵坐标保持不变，横坐标分别乘以，依次连接新的这些点，则所得三角形与原三角形的位置关系是（）A. 原三角形向轴的负方向平移一个单位即为所得三角形B. 关于原点对称C. 关于轴对称D. 关于轴对称9、如图，在中，，若，则（ ）A.B.C.D.10、如果一个直角三角形的两条边长分别是和，另一个与它相似的直角三角形边长分别是和及，那么的值（ ）A. 有无数个B. 有个以上，但有限C. 可以有个D. 只有个11、与是位似图形，且与的位似比是，已知的面积是，则的面积是（ ）A.B.C.D.12、如图，为测量学校旗杆的高度，小东用长为的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端与旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距，与旗杆相距，则旗杆的高为（ ）．A.B.C.D.13、三角尺在灯泡的照射下在墙上形成的影子如图所示．若，则这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是（ ）A.B.C.D.14、若，且，则的值是（ ）A.B.C.D.15、如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）A.B.C.D.二、填空题（本大题共有5小题，每小题5分，共25分）16、已知两相似多边形的相似比为，则它们对应边的比等于_________,周长比等于______，面积的比等于______.17、测量旗杆高度的方法都是依据___________的原理而设计的.18、引理：平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所的三边与原三角形三边对应成比例.即，已知：如图，，交于点、于点.则有.19、已知在坐标平面内三顶点的坐标分别为、、．以为位似中心，画出与相似（与图形同向），且相似比是的三角形，它的三个对应顶点的坐标分别是( , )、( , )、( , )20、已知，则．（分数写成a/b形式）三、解答题（本大题共有3小题，每小题10分，共30分）21、小李家到学校的距离是，在本市地图上的距离为，问这张地图的比例尺是多少?22、如图，是一块锐角三角形的材料，边，高，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，这个正方形零件的边长是多少．23、如图，，是的内切圆，分别切于点，连接．的延长线交于点，．(1) 求证：四边形为正方形．(2) 求的半径．(3) 求的长．27.2相似三角形同步练习(一) 答案部分一、单项选择题（本大题共有15小题，每小题3分，共45分）1、如图，在中，已知于点，则图中相似三角形共有( ).A. 对B. 对C. 对D. 对【答案】B【解析】解：，，，，.故正确答案是对.2、如图，已知直线，直线、与、、分别交于点、、、、、，，，，则的值是（）.A.B.C.D.【答案】C【解析】解：，，，，，，，.故正确答案是.3、如图，已知，，则( ).A.B.C.D.【答案】B【解析】解：，.，，即,，.故正确答案是.4、同一时刻，身高1.6米的小华在阳光下的影长为0.8米，一棵树的影长为4.8米，则这棵树的高度为( ).A. 米B. 米C. 米D. 米【答案】D【解析】解：根据题意得人的身高和人的影长与树的高度和影长成比例得到树的高度为(米).故正确答案是9.6米.5、下列四组线段中，不成构成比例线段的是( ).A.B.C.D.【答案】B【解析】解：，这四条线段是能构成比例的线段.，这四条线段是能构成比例的线段.，这四条线段是能构成比例的线段.，这四条线段不是能构成比例的线段.故正确答案是.6、若，则可得比例式（）.A.B.C.D.【答案】A【解析】解：把等积式，转化成比例式，可以是：、、、、等.故正确答案为：.7、在运动会上，裁判员测得小明与小华跳远成绩分别是米，厘米，则线段与的比值是（）.A.B.C.D.【答案】B【解析】解：求两条线段的比值时，两条线段的长度单位必须统一故正确答案为.8、若将的三个顶点的纵坐标保持不变，横坐标分别乘以，依次连接新的这些点，则所得三角形与原三角形的位置关系是（）A. 原三角形向轴的负方向平移一个单位即为所得三角形B. 关于原点对称C. 关于轴对称D. 关于轴对称【答案】D【解析】解：∵横坐标都乘以，纵坐标不变，∴对应点的横坐标互为相反数，纵坐标不变，∴对应点关于轴对称，∴所得图形关于轴对称，9、如图，在中，，若，则（ ）A.B.C.D.【解析】解：，．10、如果一个直角三角形的两条边长分别是和，另一个与它相似的直角三角形边长分别是和及，那么的值（ ）A. 有无数个B. 有个以上，但有限C. 可以有个D. 只有个【答案】C【解析】解：根据题意，两条边长分别是和的直角三角形有两种可能，一种是和为直角边，那么根据勾股定理可知斜边为；另一种可能是是直角边，而是斜边，那么根据勾股定理可知另一条直角边为．所以另一个与它相似的直角三角形也有两种可能，第一种是，解得；第二种是，解得．所以可以有个．11、与是位似图形，且与的位似比是，已知的面积是，则的面积是（ ）A.B.C.D.【答案】A与是位似图形，且与的位似比是，的面积是，与的面积比为，则的面积是．12、如图，为测量学校旗杆的高度，小东用长为的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端与旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距，与旗杆相距，则旗杆的高为（ ）．A.B.C.D.【答案】B【解析】解：因为竹竿和旗杆均垂直于地面，所以构成两个相似三角形，若设旗杆高米，则，．13、三角尺在灯泡的照射下在墙上形成的影子如图所示．若，则这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是（ ）A.B.C.D.【答案】C【解析】解：如图，，，三角尺与影子是相似三角形，三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比为．14、若，且，则的值是（ ）A.B.C.D.【答案】A【解析】解：设，则，又，则，得，即，所以．15、如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）A.B.C.D.【答案】C【解析】解：，，中两边分别不是夹这两个角的边，不能证明两个三角形相似．其他选项均可以证明，故为正确答案．二、填空题（本大题共有5小题，每小题5分，共25分）16、已知两相似多边形的相似比为，则它们对应边的比等于_________,周长比等于______，面积的比等于______.【答案】，，【解析】已知两相似多边形的相似比为，则它们对应边的比等于,周长比等于，面积比等于.故答案为：，，.17、测量旗杆高度的方法都是依据___________的原理而设计的.【答案】相似三角形的对应边成比例【解析】解：测量旗杆高度的方法都是依据相似三角形对应边成比例的原理而设计的.故答案为：相似三角形的对应边成比例.18、引理：平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所的三边与原三角形三边对应成比例.即，已知：如图，，交于点、于点.则有.【答案】截得的三角形【解析】解：平行线分线段成比例定理有一个推论是：平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.故答案为截得的三角形.19、已知在坐标平面内三顶点的坐标分别为、、．以为位似中心，画出与相似（与图形同向），且相似比是的三角形，它的三个对应顶点的坐标分别是( , )、( , )、( , )【答案】-6、0、3、3、0、-3【解析】解：把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形．所画图形如下所示：它的三个对应点的坐标分别是：、、．20、已知，则．（分数写成a/b形式）【答案】6【解析】解：由比例的性质，得，．三、解答题（本大题共有3小题，每小题10分，共30分）21、小李家到学校的距离是，在本市地图上的距离为，问这张地图的比例尺是多少?【解析】解：，根据比例尺图上距离:实际距离得这张地图的比例尺是.即它的比例尺是.答：这张地图的比例尺是.22、如图，是一块锐角三角形的材料，边，高，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，这个正方形零件的边长是多少．【解析】解：设正方形的边长为，则，是正方形，，，，即，解得，所以，这个正方形零件的边长是．23、如图，，是的内切圆，分别切于点，连接．的延长线交于点，．(1) 求证：四边形为正方形．【解析】证明：是的内切圆，分别切于点，，四边形是矩形，，四边形为正方形．(2) 求的半径．【解析】解：由题意可得：，，，设的半径为，则，解得：，故的半径为．(3) 求的长．【解析】解：的半径为，，，，设，在中，，解得：，．。
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相似三角形同步辅导1 学海导航相似图形基础知识主要包括：2.相似多边形概念对应角相等，且对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形．三角对应相等，且三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形．3、三角形相似的条件两个三角形只要满足：两边对应成比例，且夹角相等；三边对应成比例；两角对应相等；有一直角边与斜边对应成比例.这四项中的一项，这两个三角形就相似。
4.相似三角形性质相似三角的对应角相等，对应边成比例．对应角平分线，高，中线，周长的比都等于相似比，对应面积的比等于相似比的平方。
图形的相似错例分析图形的相似是初中几何的重点内容之一。
许多同学由于对图形的相似理解不透彻,在解决问题时出错较多。
为帮助同学们在解题时减少失误,本文就易错情况做简要例析。
1.如图，在矩形、锐角三角形、正五边形、直角三角形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边与原图形的对应边平行，则外框与原图一定相似的有（ ） A、1个B 、2个 C 、3个 D 、4个错解：选D正解：左图中的两个矩形不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不符合相似的条件；锐角三角形和直角三角形相似，因为其三个角均相等，三条边均对应成比例，符合相似的条件；两个正五边形相似，因为它们的边长、对应角等所有元素都对应成比例，符合相似的条1. 比例的基本性质件． 故选C ．点拨：边数相同、各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形是相似多边形． A 、10 B 、8 C 、-8 D. D、±8 错解：∵线段c 是a 、b 的比例中项， ∴c 2=ab=64， 解得c=±8，正解：∵线段c 是a 、b 的比例中项， ∴c 2=ab=64， 解得c=±8，又∵线段是正数， ∴c=8． 故选B ． 在某幅地图上，AB 两地距离8.5cm ，实际距离为170km ，则比例尺为（ A 、1：20B 、1：20000C 、1：200000D 、1：2000000 解：∵170KM=17000000CM ，∴比例尺=8.5：17000000=1：2000000． 故选D ． 5.如图，在梯形ABCD 中，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3， 如果直线AB 上的点P 使得以P 、A 、D 为顶点的三角形与以P 、A 、2B 、-1C 、2或-1D 、不存在2.错解：正解：点拨：应错解：正点拨：4：B、C 为顶点的三角形相似，那么这样的点P 有几 个？错解：这样的点P 有 4个。
点拨：分三种情况进行分析即可：①若点P 在线段AB 上；②若点P 在线段BA 的延长线上；③若点P 在线段AB 的延长线上．6. 如图，P 为Rt △ABC 斜边AB 上任意一点（除A 、B 外），过点P 作直线截△ABC ，使截得的新三角形与△ABC 相似，满足这样条件的直线的作法共有（ ） A 、1种B 、2种C 、3种D 、4种错解：过点P 可作PE ∥BC 或PE ∥AC ，可得相似三角形。
选B 解：过点P 可作PE ∥BC 或PE ∥AC ，可得相似三角形； 过点P 还可作PE ⊥AB ，可得：∠EPA=∠C=90°，∠A=∠A ∴△APE ∽△ACB ； ∴共有3条． 选：C点拨：在一个问题有多种情况时，分类小心有遗漏。
7. 如图所示，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于O ，试问：△AOB 和△DOC 是否相似？正错解：△AOB∽△DOC.理由如下：在△AOB和△DOC中，∵AD∥BC，∴，∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB∽△DOC正解：要得到△AOB∽△DOC，如果由两边对应成比例且夹角相等，则应得到；而这位同学根据平行线型得到△AOD∽△COB，则。
以上两个比例式是不一样的.所以该学生的解答是不正确的。
相似三角形要点精析相似三角形是整个几何学习的基础，也是中考的重点内容之一．下面就这方面的典型例题进行剖析，供同学们学习参考．例1. 如图所示，△PQR是等边三角形，若∠APB=120°，AQ=4，RB=9，求QR的长。
分析：求线段的长，只要把线段放入比例式中即可。
有△A PQ与△PBR相似可行。
解：∵△PQR是正三角形∴∠QPR=60°又∠APB=120°∴∠APQ+∠BPR=60°但可证∠A+∠APQ=60°∴∠A=∠BPR同理∠APQ=∠B∴△QAP∽△RPB∴，∴∴PR²QP=36∵PR=QR，∴QR=6例2．如图，在中，DE//BC，，求。
解：∵∴∵DE//BC ∴△ADE∽△ABC∴∴∴点拨：相似三角形面积的比等于相似比的平方很常用，应注意体会。
例3. 如图，一油桶内有油，一根木棒长1.2米，从桶盖小口斜插入桶内，一端到底，另一端正好到小口，抽出棒，量得棒上浸油部分长0.45米，求桶内油的高度。
分析：分别以木棒的长和浸油部分和斜边可构造两个相似的直角三角形，利用它们的边成比例可列方程求解。
解：如图，设木棒为AB ，油桶壁为AC ，底面直径BC 浸油部分为BE ，作ED ⊥BC 于D ，因为DE ∥AC ，所以△BDE ～△BCA ，所以令油高为x 米，（即DE=x ）则，x=0.375所以，桶内油的高度为0.375米.例4. 如图，点E 是正方形ABCD 的边AB 上一点，且AE ：AB=1：4，F 为边AD 上一点，问：当F 在AD 上的什么位置时，△AEF ∽△CDF 。
分析：已知△AEF 与△CDF 中，∠A=∠D ，所以只需证明夹这两个角的边对应成比例即可。
但这个对应关系并不唯一。
解：不妨设正方形的边长为1，AF=则FD=∵△AEF 与∠CDF 中，∠A=∠D ，∴若△AEF ∽△CDF ，则或成立，即或成立。
解之得或∴当AF ：FD=1：4或AF ：FD=1：1时，△AEF ∽△CDF 典例剖析如图2，ABC △是一块等腰三角形的废铁料．已知BAC ∠是锐角，量得底边BC 的长为60cm ，BC 边上的高为40cm ，用它截一块一边长为30cm 的矩形．（要求：使矩形的一边与ABC △的一边重合，而矩形的另两个顶点分别在ABC △的另两边上）（1）问一共有几种不同的截法，请在样图中画出所有截法的示意图，并在图中标明30cm 的那条边．（2）试求出以上你所画的各种截法中，所截得的矩形的另一边长．析解：此题不仅考查相似三角形知识的拓展，而且开放性的设计又考查了分类讨论思想及建模能力，极富有操作性及思想性．（1）因矩形一边长30cm ，另一边长不确定，故矩形截法有四种（如图所示），其中30cm PQ =．（2）①在ABC △中，作AF BC ⊥，垂足为F ，易得50cm AB AC ===．②作CH AB ⊥，垂足为H ，由AF BC CH AB =，易得CH 为48cm ，由相似三角形的性质，易求得截法一中20cm PN =，截法二中19.2cm PN =，截法三中15cm PN =，截法四中18.75cm PN =．数学广角小胖和小瘦去公园玩标准的跷跷板（OA=OB ）游戏，两同学越玩越开心，小胖对小瘦说：“真可惜！我只能将你最高翘到1米高，如果我俩各边的跷跷板都再伸长相同的一段长度，那么我就能翘到1米25，甚至更高！”你认为小胖的话对吗？请你作图分析说明：解：小胖的话不对。
小胖说“真可惜！我现在只能将你最高翘到1米高”，情形如图10-1所示，OP 是标准跷跷板支架的高度，AC 是跷跷板一端能翘到的最高高度1米，BC 是地面。
图10-1∵OP ⊥BC ，AC ⊥BC ，∠OBP ＝∠ABC ∴△OBP ∽△ABC∴BO BA OPAC=又∵此跷跷板是标准跷跷板，BO＝OA∴BOBA=12，而AC＝1米，得OP＝0.5米若将两端同时都再伸长相同的长度，假设为a米（a＞0）如图10-2所示，BD＝a米，AE＝a米图10-2∵，∴BO OA BO a OA a=+=+即DO＝OE∴DODE=12同理可得△DOP∽△DEF∴DODEOPEF=，由OP＝0.5米，得EF＝1米综上所述，跷跷板两边同时都再伸长相同的一段长度，跷跷板能翘到的最高高度始终为支架OP高度的两倍，所以不可能翘得更高。
图形的相似同步辅导2测试题测试题说明：本测试题重点考察位似图形，三角形的中位线和图形与坐标。
重视能力的考察和易错点的检测，同学们做题可要细心啊！选择题1.下列说法错误的是（）A、位似图形一定是相似图形B、相似图形不一定是位似图形C、位似图形上任一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比D、位似图形中每组对应点所在的直线必互相平行2. （2011广东东莞）将左下图中的箭头缩小到原来的12，得到的图形是（）3. （2011浙江省嘉兴）如图，边长为4的等边△ABC 中，DE 为中位线，则四边形BCED 的面积为（ ） （A ）32（B ）33（C ）34（D ）364. 如图，已知棋子“车”的坐标为（－2，3），棋子“马”的坐标为（1，3），则棋子“炮”的坐标为（ ）A. （3，2）B. （3，1）C. （2，2）D. （－2，2）5.如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在坐标原点，边OA 在x 轴上，OC 在y 轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC 关于点O 位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC 面积的14，那么点B′的坐标是（ ）A ．（3，2）B ．（－2，－3）C ．（2，3）或（－2，－3）D ．（3，2）或（－3，－2）6.（2011山东东营）如图，△ABC 中，A ，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是(-1，0)．以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A ′B ′C ，并把△ABC 的边长放大到原来的2倍．设点B 的对应点B ′的横坐标是a ，则点B 的横坐标是（ ）A ．12a -B ．1(1)2a -+C ．1(1)2a --D ．1(3)2a -+（第3题）ABCD E填空题1．把一个正多边形放大到原来的2.5倍，则原图与新图的相似比为_____．2. 如果两个位似图形的对应线段长分别为3cm 和5cm ，且较小图形周长为30cm ，则较大图形周长为 .3．如图，DC ∥AB ，OA =2OC ，，则OCD △与OAB △的位似比是_____．4．如图，在ABCD 中，F 是AD 延长线上一点，连接BF 交DC 于点E ，则图中的位似三角形共有 对5．小明从他前面2米远的一小块积水中看到了旗杆顶端的倒影，如果旗杆底端到积水的距离为20米，小明眼睛离地面1.5米，则旗杆的高度为 ． 6.若原图形上的点的坐标为（-2，3），以原点O 为位似中心，原图形与像的位似比为3，则像上的对应点的坐标为 ． 解答题1.如图，在6³8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O 和△ABC 的顶点均在小正方形的顶点.（1）以O 为位似中心，在网格图中作△A ′B ′C ′和△ABC 位似，且位似比为1︰2； （2）连接（1）中的AA ′,求四边形AA ′C ′C 的周长.（结果保留根号）第3题O ABCD第4题BCED A F2.如图，△ABC 中，AD 、BE 是高． （1）求证：BCACCE CD （2）连接DE ，那么△CDE 与△CAB 是位似图形吗？3．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC 和△DEF的顶点都在方格纸的格点上．(1) 判断△ABC 和△DEF 是否相似，并说明理由；(2) P 1，P 2，P 3，P 4，P 5，D ，F 是△DEF 边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC 相似(要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连结相应线段，不必说明理由)．4.如图，△ABC 中，DC=AC ，D 为BC 的中点，E 为CD 的中点。