相似三角形同步辅导试题答案

相似三角形同步辅导1 学海导航

相似图形基础知识主要包括：

2.相似多边形概念

对应角相等，且对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形．

三角对应相等，且三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形．

3、三角形相似的条件

两个三角形只要满足：两边对应成比例，且夹角相等；三边对应成比例；两角对应相等；有一直角边与斜边对应成比例.这四项中的一项，这两个三角形就相似。 4.相似三角形性质

相似三角的对应角相等，对应边成比例．对应角平分线，高，中线，周长的比都等于相似比，对应面积的比等于相似比的平方。

图形的相似错例分析

图形的相似是初中几何的重点内容之一。许多同学由于对图形的相似理解不透彻,在解决问题时出错较多。为帮助同学们在解题时减少失误,本文就易错情况做简要例析。

1.如图，在矩形、锐角三角形、正五边形、直角三角形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边与原图形的对应边平行，则外框与原图一定相似的有（ ） A

、1个

B 、2

个 C 、3个 D 、4个

错解：选D

正解：左图中的两个矩形不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相

等，不符合相似的条件；

锐角三角形和直角三角形相似，因为其三个角均相等，三条边均对应成比例，符合相似的条件；

两个正五边形相似，因为它们的边长、对应角等所有元素都对应成比例，符合相似的条

1. 比例的基本性质

件． 故选C ．

点拨：边数相同、各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形是相似多边形． A 、10 B 、8 C 、-8 D. D

、±8 错解：∵线段c 是a 、b 的比例中项， ∴c 2=ab=64， 解得c=±8，

正解：∵线段c 是a 、b 的比例中项， ∴c 2=ab=64， 解得c=±8，

又∵线段是正数， ∴c=8． 故选B ． 在某幅地图上，AB 两地距离8.5cm ，实际距离为170km ，则比例尺为（ A 、1：20B 、1：20000C 、1：200000D 、1：2000000 解：∵170KM=17000000CM ，

∴比例尺=8.5：17000000=1：2000000． 故选D ． 5.如图，在梯形ABCD 中，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3， 如果直线AB 上的点P 使得以P 、A 、D 为顶点的三角形与以P 、

A 、2

B 、-1

C 、2或-1

D 、不存在2.

错解：正解：点拨：应

错解：正点拨：4：

B

、C 为顶点的三角形相似，那么这样的点P 有

几 个？

错解：这样的点P 有 4个。

点拨：分三种情况进行分析即可：①若点P 在线段AB 上；②若点P 在线段BA 的延长线上；③若点P 在线段AB 的延长线上．

6. 如图，P 为Rt △ABC 斜边AB 上任意一点（除A 、B 外），过点P 作直线截△ABC ，使截得的新三角形与△ABC 相似，满足这样条件的直线的作法共有（ ） A 、1种B 、2种C 、3种D 、4种

错解：过点P 可作PE ∥BC 或PE ∥AC ，可得相似三角形。选B 解：过点P 可作PE ∥BC 或PE ∥AC ，可得相似三角形； 过点P 还可作PE ⊥AB ，可得：∠EPA=∠C=90°，∠A=∠A ∴△APE ∽△ACB ； ∴共有3条． 选：C

点拨：在一个问题有多种情况时，分类小心有遗漏。

7. 如图所示，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于O ，试问：△AOB 和△DOC 是否相似？

正

错解：△AOB∽△DOC.理由如下：

在△AOB和△DOC中，∵AD∥BC，∴，

∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB∽△DOC

正解：要得到△AOB∽△DOC，如果由两边对应成比例且夹角相等，则应得到

；而这位同学根据平行线型得到△AOD∽△COB，则。以上两个比例式是不一样的.所以该学生的解答是不正确的。

相似三角形要点精析

相似三角形是整个几何学习的基础，也是中考的重点内容之一．下面就这方面的典型例题进行剖析，供同学们学习参考．

例1. 如图所示，△PQR是等边三角形，若∠APB=120°，AQ=4，RB=9，求QR的长。

分析：求线段的长，只要把线段放入比例式中即可。有△A PQ与△PBR相似可行。

解：∵△PQR是正三角形

∴∠QPR=60°

又∠APB=120°

∴∠APQ+∠BPR=60°

但可证∠A+∠APQ=60°

∴∠A=∠BPR

同理∠APQ=∠B

∴△QAP∽△RPB

∴，∴

∴PR²QP=36

∵PR=QR，∴QR=6

例2．如图，在中，DE//BC，，求。

解：∵∴

∵DE//BC ∴△ADE∽△ABC

∴∴∴

点拨：相似三角形面积的比等于相似比的平方很常用，应注意体会。

例3. 如图，一油桶内有油，一根木棒长1.2米，从桶盖小口斜插入桶内，一端到底，另一端正好到小口，抽出棒，量得棒上浸油部分长0.45米，求桶内油的高度。

分析：分别以木棒的长和浸油部分和斜边可构造两个相似的直角三角形，利用它们的边成比例可列方程求解。

解：如图，设木棒为AB ，油桶壁为AC ，底面直径BC 浸油部分为BE ，作ED ⊥BC 于D ，

因为DE ∥AC ，所以△BDE ～△BCA ，所以

令油高为x 米，（即DE=x ）

则，x=0.375

所以，桶内油的高度为0.375米.

例4. 如图，点E 是正方形ABCD 的边AB 上一点，且AE ：AB=1：4，F 为边AD 上一点，问：当F 在AD 上的什么位置时，△AEF ∽△CDF 。

分析：已知△AEF 与△CDF 中，∠A=∠D ，所以只需证明夹这两个角的边对应成比例即可。但这个对应关系并不唯一。

解：不妨设正方形的边长为1，AF=

则FD=

∵△AEF 与∠CDF 中，∠A=∠D ，∴若△AEF ∽△CDF ，则

或

成

立，即或成立。

解之得或

∴当AF ：FD=1：4或AF ：FD=1：1时，△AEF ∽△CDF 典例剖析

如图2，ABC △是一块等腰三角形的废铁料．已知BAC ∠是锐角，量得底边BC 的长为60cm ，BC 边上的高为40cm ，用它截一块一边长为30cm 的矩形．

（要求：使矩形的一边与ABC △的一边重合，而矩形的另两个顶点分别在ABC △的另两边上）

（1）问一共有几种不同的截法，请在样图中画出所有截法的示意图，并在图中标明30cm 的那条边．

（2）试求出以上你所画的各种截法中，所截得的矩形的另一边长．