人教版八年级数学下册《矩形中的折叠问题》
人教版-数学-八年级下册矩形中的折叠问题
对学生进行知识、方法、能力梳理，引导学生自己去发现问题，解决问题，从而形成能力。
进一步提高学生综合解决数学问题的能力，掌握数学方法和技能。
一共有四个问题，问题一为小组合作，大约十分钟后交流，分享成果，总结规律，找到方法。
然后从问题二至问题四自主尝试。
问题一：把一个矩形的纸片ABCD沿对角线BD折叠，使C落在E处，BE与AD交于M点，折叠后出现的相等的线段有______________________________________(不包括AB=CD，AD=BC)折叠后出现的相等的角有________________(不包括∠A=∠C和∠AMB=∠DME)（你是用什么方法得到的？）（1）你能从中找到全等三角形吗？若存在请证明。
（2）重合部分是什么图形？并说明理由。
（3）当AB=3,BC=4,重合部分面积是多少呢？设计意图：学生通过多种方法，合作探究，解决折叠问题中具有代表性的问题。
教师适时加以点拨，整理思路总结规律和方法。
成果展示，提炼方法展示环节是学生展示自我，体验成功的重要手段。
师生评价与生生评价相结合。
学生小结：通过这四个问题的解决，可以发现，解决图形中的折叠问题时，需要发现折叠后出现的等腰三角形、直角三角形是解决问题的关键。
自主尝试，运用方法问题二：折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=4，BC=5，求EC的长。
问题三：把矩形ABCD如图折叠，使顶点B和D重合，折痕为EF，（1）找出图中的全等的三角形，并证明。
（2）重合部分是什么图形？证明你的结论。
（3）连接BE，判断四边形BEDF是什么特殊四边形？BD与EF有什么关系？并证明（4）若AB=3,BC=4，求折痕EF的长？（你有几种求法？）问题四：折叠矩形ABCD的一边AB，使点B落在对角线AC上的点F处，若AB=3,BC=4，求折痕AE的长。
设计意图：举一反三，让学生运用学会的方法和思路来解决问题，形成触类旁通的数学能力。
人教版初二数学下册矩形中的折叠问题精选全文
精选全文完整版（可编辑修改）矩形中的折叠问题教学设计范卫光学习目标：通过本节课对矩形折叠问题的探究学习，达到总结折叠问题的规律提炼解决折叠问题的方法，并利用折叠的规律和方法进行计算和证明。
重、难点：综合运用知识挖掘矩形折叠问题中线段的数量关系。
预习交流：如果一个图形沿一条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做图形，这条直线叫做这时,我们也说这个图形关于这条直线对称.动手活动：如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD对折，使点C落在点C/处，BC/交于AD点E，你能发现哪些结论？例１、如图,矩形纸片ABCD中,AB=6cm,AD=8cm,在BC上找一点E，沿DE折叠矩形ABCD，使C点落在对角线BD上的点C/处，此时，求C/E的长是多少？例2、如图如图，矩形纸片ABCD的长AD＝9cm,宽AB＝3cm,将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长是多少？例3、如图，在矩形ABCD中，已知AB=8㎝， BC=10㎝，折叠矩形的一边BC，使点C落在AD边上的点C/处，折痕为BE，求CE的长。
例4、如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD对折, 使点C落在点C/处，AD交BC/于点E,若AB=4cm,AD=8cm。
①求DE的长？②求重叠部分△BED的面积。
谈谈你的收获？作业：如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的F点处。
（1）若∠BAF＝60°，求∠EAF的度数；（2）若AB＝6cm， AD＝10cm，求线段CE的长及△AEF的面积.在这一学年中，不仅在业务能力上，还是在教育教学上都有了一定的提高。
金无足赤，人无完人，在教学工作中难免有缺陷，例如，课堂语言平缓，语言不够生动，理论知识不够，教学经验不足，组织教学能力还有待提高。
在今后的工作中，我将更严格要求自己，努力工作，发扬优点，改正缺点。
矩形中的折叠问题 初中八年级下册数学教案教学设计课后反思 人教版
《矩形中的折叠问题》教学设计克拉玛依市第六中学 数学组 刘勤一、内容和内容解析（一）内容人教版八年级下册《矩形中的折叠问题》（二）内容解析在初中数学中，矩形的折叠问题是我们常见的一种数学问题，也是初中数学教材中的一个重要内容。
在中考中，常常以选择、填空的形式出现，这类问题经常通过折叠操作来考查学生的数、形结合的数学思想方法和空间想象能力，这类题目灵活多变，趣味性强，更为引导学生在数学学习与生活相联系中激发兴趣，体会数学学习的快乐。
矩形的折叠问题，实质上是轴对称问题。
解答这类问题的关键是根据轴对称的性质，找准折叠前后的两个全等图形，确定其中对应角相等、对应线段相等，折痕平分线段、平分角等条件，然后找到对应的直角三角形，用勾股定理建立方程，利用方程思想解决问题。
二、教学目标1. 掌握轴对称性质、几何图形（特殊三角形、特殊四边形）的性质等知识；2. 能够借助勾股定理解决矩形问题中的折叠问题.三、教学重难点教学重点：解决矩形中的折叠问题；教学难点：综合运用知识找出或构造基本图形，挖掘矩形折叠问题中角度和线段的数量关系.四、教学过程教学过程教学内容设计意图1.情境引入折叠问题1.动画演示四边形ABCD沿着AC折叠，让点D与点A重合，对称轴两边有怎样的特点？2.如图，有一张直角三角形的纸片，直角边AC=12，BC=9，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕是AD，求线段CD的长.分析：1.图中全等的图形有哪些？2.图中相等的线段有哪些？学生初遇翻折问题，往往一片茫然，但通过动画演示，让学生透过现象看本质：折叠即为轴对称，是一种全等变换，有相等的线段。
如果求线段的长度，可利用已知条件和折叠，找到相应的直角三角形，通过设未知数，用勾股定理建立方程，利用方程思想解决问题.边AB上，将矩形AB=8，AD=6．将纸片折边上，折痕为AE，再将△AED沿DE ，求CF的长.，点E、F分别在边4.课堂小结：1.矩形的折叠一般有以下几种情况：2.通过折叠，找出全等图形、相等的线段、相等的、以及特殊图形；3.找到相应的直角三角形，通过设未知数，利用勾股定理列方程，解方程，进一步求解；4.几何图形当中的折叠，都可以用矩形的折叠去分析，去解决.折叠大致可分为以下三种情况：1.折叠后点落在三角形内部，落在对角线上，落在一边是，落在三角形外部；2.折叠后边与边重合3.折叠后点与点重合五．布置作业：课时作业：基础练习及巩固练习六．教学反思：今后的学习中，但凡出现折叠问题，我们要有一定的解题思路：首先：应当从折叠产生的轴对称图形和背景图形入手，找出全等图形、相等的线段、相等的角以及特殊图形等，这是解决问题的基本条件；其次，根据这些基本条件，再结合我们在几何中已有的知识经验，挖掘常见的基本图形，从而找到全等三角形、等腰三角形等特殊图形；最后，在特殊图形中借助勾股定理，运用方程思想，解决最终问题.其实，图形的折叠题型变化多端，但万变不离其宗，只要我们掌握了解决问题的一般思路，所有的题也就迎刃而解了。
人教版数学八年级下册专题训练：矩形中的折叠问题.doc
学校班级姓名思想方法专题：矩形中的折叠问题——体会折叠中的方程思想及数形结合思想 ◆类型一 折叠中求角度1．如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点C ′处，折痕为EF .若∠EFC ′＝125°，那么∠ABE 的度数为( )A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°第1题图 第2题图2．如图，某数学兴趣小组开展以下折纸活动：(1)对折矩形纸片ABCD ，使AD 和BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平；(2)再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上，并使折痕经过点B ，得到折痕BM ，同时得到线段BN .观察探究可以得到∠ABM 的度数是( )A ．25°B ．30°C ．36°D ．45° ◆类型二 折叠中求线段长 3．(2017·安顺中考)如图，在矩形纸片ABCD 中，AD ＝4cm ，把纸片沿直线AC 折叠，点B 落在E 处，AE 交DC 于点O ，若AO ＝5cm ，则AB 的长为( )A ．6cmB ．7cmC ．8cmD ．9cm第3题图 第4题图4．(2017·宜宾中考)如图，在矩形ABCD 中，BC ＝8，CD ＝6，将△ABE 沿BE 折叠，使点A 恰好落在对角线BD 上的F 处，则DE 的长是( )A ．3 B.245 C ．5 D.89165．★(2016·威海中考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，点E 为BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在矩形内的点F 处，连接CF ，则CF 的长为________．◆类型三折叠中求面积6．(2017·鄂州中考)如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于E.(1)求证：△AFE≌△CDE；(2)若AB＝4，BC＝8，求图中阴影部分的面积．7．★(2016·福州中考)如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M是边CD上的一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM.(1)当AN平分∠MAB时，求DM的长；(2)连接BN，当DM＝1时，求△ABN的面积．参考答案与解析1．B 解析：由折叠可知∠EFC ＝∠EFC ′＝125°.∵在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠DEF ＝180°－125°＝55°.根据折叠可知∠BEF ＝∠DEF ＝55°，∴∠BED ＝110°.∵四边形ABCD 为矩形，∠A ＝90°，∴∠ABE ＝110°－90°＝20°.故选B.2．B 3.C 4.C5.185解析：如图，连接BF 交AE 于H ，由折叠的性质可知BE ＝FE ，AB ＝AF ，∠BAE ＝∠F AE ，∴AH ⊥BF ，BH ＝FH .∵BC ＝6，点E 为BC 的中点，∴BE ＝12BC ＝3.又∵AB ＝4，∴在Rt △ABE 中，由勾股定理得AE ＝AB 2＋BE 2＝5.∵S △ABE ＝12AB ·BE ＝12AE ·BH ，∴BH ＝125，则BF ＝2BH ＝245.∵E 是BC 的中点，∴FE ＝BE ＝EC ，∴∠BFC ＝90°.在Rt △BFC 中，由勾股定理得CF ＝BC 2－BF 2＝62－⎝⎛⎭⎫2452＝185.6．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，∠B ＝∠D ＝90°.∵将矩形ABCD 沿对角线AC 翻折，点B 落在点F 处，∴∠F ＝∠B ，AB ＝AF ，∴AF ＝CD ，∠F ＝∠D .在△AFE 与△CDE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠F ＝∠D ，∠AEF ＝∠CED ，AF ＝CD ，∴△AFE ≌△CDE .(2)解：∵AB ＝4，BC ＝8，∴CF ＝AD ＝8，AF ＝CD ＝AB ＝4.∵△AFE ≌△CDE ，∴EF＝DE .在Rt △CED 中，由勾股定理得DE 2＋CD 2＝CE 2，即DE 2＋42＝(8－DE )2，∴DE ＝3，∴AE ＝8－3＝5，∴S 阴影＝12×4×5＝10.7．解：(1)由折叠性质得△ANM ≌△ADM ，∴∠MAN ＝∠DAM .∵AN 平分∠MAB ，∴∠MAN ＝∠NAB ，∴∠DAM ＝∠MAN ＝∠NAB .∵四边形ABCD 是矩形，∴∠DAB ＝90°，∴∠DAM ＝30°，∴AM ＝2DM .在Rt △ADM 中，∵AD ＝3，∴由勾股定理得AM 2－DM 2＝AD 2，即(2DM )2－DM 2＝32，解得DM ＝ 3.(2)延长MN 交AB 的延长线于点Q ，如图所示．∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥DC ，∴∠DMA ＝∠MAQ ，由折叠性质得△ANM ≌△ADM ，∴∠ANM ＝∠D ＝90°，∠DMA ＝∠AMQ ，AN ＝AD ＝3，MN ＝MD ＝1，∴∠MAQ ＝∠AMQ ，∴MQ ＝AQ .设NQ ＝x ，则AQ ＝MQ ＝MN ＋NQ ＝1＋x .∵∠ANM ＝90°，∴∠ANQ ＝90°.在Rt △ANQ 中，由勾股定理得AQ 2＝AN 2＋NQ 2，即(x ＋1)2＝32＋x 2，解得x ＝4，∴NQ ＝4，AQ ＝5.∵△NAB 和△NAQ 在AB 边上的高相等，AB ＝4，AQ ＝5，∴S △NAB ＝45S △NAQ ＝45×12×AN ·NQ ＝45×12×3×4＝245.中考数学知识点代数式一、重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。
八年级数学人教版下册第十八章专题矩形中的折叠问题教学设计
1.激发学生对数学学习的兴趣，使其感受数学在生活中的实际应用。
2.培养学生勇于探索、敢于创新的精神，增强其解决问题的信心。
3.引导学生认识到矩形折叠问题在实际生活中的意义，体会数学的价值。
4.培养学生严谨、细致的学习态度，使其形成良好的学习习惯。
二、教学内容
1.矩形的基本性质复习：引导学生回顾矩形的定义、性质和判定方法。
6.课堂小结：总结本节课所学知识，强调矩形折叠问题的解决方法和技巧。
三、教学方法
1.采用启发式教学，引导学生主动探究折叠问题。
2.运用实际问题，激发学生的学习兴趣。
3.采用小组合作、讨论交流等形式，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
4.注重学生个体差异，因材施教，提高教学效果。
四、教学评价
1.课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、积极性和合作意识。
3.实践题：请同学们自己设计一个矩形折叠问题，并给出解题过程和答案。要求问题具有一定的挑战性，能够充分体现矩形折叠的特点。
实践题旨在培养学生的创新意识和问题设计能力。
4.小组合作题：分组讨论以下矩形折叠问题，共同完成解题过程。
（1）已知矩形ABCD，沿对边AD和BC折叠，使得点A和C重合，求证：折叠后的图形是等腰梯形。
4.作业完成后，请同学们认真检查，确保无误。
（二）过程与方法
1.通过动手操作、观察、讨论等教学活动，引导学生发现矩形折叠问题中的规律和性质。
2.引导学生运用数学语言表达折叠问题的解决过程，培养其数学表达能力和逻辑思维能力。
3.指导学生运用画图、列式、计算等方法，解决折叠问题，提高解决问题的能力。
4.通过小组合作、交流分享，培养学生团队协作能力和沟通能力。
人教版八年级数学下册-思想方法专题：矩形中的折叠问题
思想方法专题：矩形中的折叠问题——体会折叠中的方程思想及数形结合思想◆类型一折叠中求角度1．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF.若∠EFC′＝125°，那么∠ABE的度数为()A．15° B．20° C．25° D．30°第1题图第2题图2．如图，某数学兴趣小组开展以下折纸活动：(1)对折矩形纸片ABCD，使AD和BC 重合，得到折痕EF，把纸片展平；(2)再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN.观察探究可以得到∠ABM的度数是()A．25° B．30° C．36° D．45°◆类型二折叠中求线段长3．(2017·安顺中考)如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若AO＝5cm，则AB的长为()A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm第3题图第4题图4．(2017·宜宾中考)如图，在矩形ABCD 中，BC ＝8，CD ＝6，将△ABE 沿BE 折叠，使点A 恰好落在对角线BD 上的F 处，则DE 的长是( )A ．3 B.245 C ．5 D.89165．★(2016·威海中考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，点E 为BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在矩形内的点F 处，连接CF ，则CF 的长为________．◆类型三 折叠中求面积6．(2017·鄂州中考)如图，将矩形ABCD 沿对角线AC 翻折，点B 落在点F 处，FC 交AD 于E .(1)求证：△AFE ≌△CDE ；(2)若AB ＝4，BC ＝8，求图中阴影部分的面积．7．★(2016·福州中考)如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M是边CD上的一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM.(1)当AN平分∠MAB时，求DM的长；(2)连接BN，当DM＝1时，求△ABN的面积．参考答案与解析1．B解析：由折叠可知∠EFC＝∠EFC′＝125°.∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠DEF ＝180°－125°＝55°.根据折叠可知∠BEF＝∠DEF＝55°，∴∠BED＝110°.∵四边形ABCD为矩形，∠A＝90°，∴∠ABE＝110°－90°＝20°.故选B.2．B 3.C 4.C5. 185解析：如图，连接BF 交AE 于H ，由折叠的性质可知BE ＝FE ，AB ＝AF ，∠BAE ＝∠F AE ，∴AH ⊥BF ，BH ＝FH .∵BC ＝6，点E 为BC 的中点，∴BE ＝12BC ＝3.又∵AB ＝4，∴在Rt △ABE 中，由勾股定理得AE ＝AB 2＋BE 2＝5.∵S △ABE ＝12AB ·BE ＝12AE ·BH ，∴BH ＝125，则BF ＝2BH ＝245.∵E 是BC 的中点，∴FE ＝BE ＝EC ，∴∠BFC ＝90°.在Rt △BFC 中，由勾股定理得CF ＝BC 2－BF 2＝62－⎝⎛⎭⎫2452＝185.6．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，∠B ＝∠D ＝90°.∵将矩形ABCD 沿对角线AC 翻折，点B 落在点F 处，∴∠F ＝∠B ，AB ＝AF ，∴AF ＝CD ，∠F ＝∠D .在△AFE与△CDE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠F ＝∠D ，∠AEF ＝∠CED ，AF ＝CD ，∴△AFE ≌△CDE .(2)解：∵AB ＝4，BC ＝8，∴CF ＝AD ＝8，AF ＝CD ＝AB ＝4.∵△AFE ≌△CDE ，∴EF ＝DE .在Rt △CED 中，由勾股定理得DE 2＋CD 2＝CE 2，即DE 2＋42＝(8－DE )2，∴DE ＝3，∴AE ＝8－3＝5，∴S 阴影＝12×4×5＝10. 7．解：(1)由折叠性质得△ANM ≌△ADM ，∴∠MAN ＝∠DAM .∵AN 平分∠MAB ，∴∠MAN ＝∠NAB ，∴∠DAM ＝∠MAN ＝∠NAB .∵四边形ABCD 是矩形，∴∠DAB ＝90°，∴∠DAM ＝30°，∴AM ＝2DM .在Rt △ADM 中，∵AD ＝3，∴由勾股定理得AM 2－DM 2＝AD 2，即(2DM )2－DM 2＝32，解得DM ＝ 3.(2)延长MN 交AB 的延长线于点Q ，如图所示．∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥DC ，∴∠DMA ＝∠MAQ ，由折叠性质得△ANM ≌△ADM ，∴∠ANM ＝∠D ＝90°，∠DMA ＝∠AMQ ，AN ＝AD ＝3，MN ＝MD ＝1，∴∠MAQ ＝∠AMQ ，∴MQ ＝AQ .设NQ ＝x ，则AQ ＝MQ ＝MN ＋NQ ＝1＋x .∵∠ANM ＝90°，∴∠ANQ ＝90°.在Rt △ANQ 中，由勾股定理得AQ 2＝AN2＋NQ2，即(x＋1)2＝32＋x2，解得x＝4，∴NQ＝4，AQ＝5.∵△NAB和△NAQ在AB边上的高相等，AB＝4，AQ＝5，∴S△NAB＝45S△NAQ＝45×12×AN·NQ＝45×12×3×4＝245.19.2.3 一次函数与方程、不等式一．选择题（共8小题）1．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则方程kx+b=0的解为（）A．x=2B．y=2C．x=﹣1D．y=﹣12．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x 的方程kx+b=0的解为（）A．x=﹣1B．x=2C．x=0D．x=33．一元一次方程ax﹣b=0的解x=3，函数y=ax﹣b的图象与x轴的交点坐标为（）A．（3，0）B．（﹣3，0）C．（a，0）D．（﹣b，0）4．已知方程kx+b=0的解是x=3，则函数y=kx+b的图象可能是（）A．B．C．D．5．若方程x﹣3=0的解也是直线y=（4k+1）x﹣15与x轴的交点的横坐标，则k的值为（）A．﹣1B．0C．1D．±16．如图，直线y1=x+b与y2=kx﹣1相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．如图，直线y=﹣x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m ＞nx+4n＞0的整数解为（）A．﹣1B．﹣5 C．﹣4D．﹣38．如图，一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，则不等式kx+b＜0的解集是（）A．x＜0B．0＜x＜1C．x＜1 D．x＞1二．填空题（共10小题）9．若直线y=2x+b与x轴交于点（﹣3，0），则方程2x+b=0的解是_________．10．如图是一次函数y=kx+b的图象，则方程kx+b=0的解为_________．11．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为_________．12．如图，已知直线y=ax﹣b，则关于x的方程ax﹣1=b的解x=_________．13．如图，直线y=kx+b分别交x轴和y轴于点A、B，则关于x的方程kx+b=0的解为_________．14．如图，已知函数y=2x+b和y=ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），根据图象可得方程2x+b=ax﹣3的解是_________．15．如图，已知函数y=2x+b与函数y=kx﹣3的图象交于点P，则不等式kx﹣3＞2x+b的解集是_________．16．如图，直线y=kx+b过A（﹣1，2）、B（﹣2，0）两点，则0≤kx+b≤﹣2x的解集为_________．17．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则kx+b＞x+a的解集是_________．18．如图，函数y=kx和的图象相交于A （a，2），则不等式的解集为_________．三．解答题（共4小题）19．如图，根据函数y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）的图象，求：（1）方程kx+b=0的解；（2）式子k+b的值；（3）方程kx+b=﹣3的解．20．如图，直线l1：y=2x与直线l2：y=kx+3在同一平面直角坐标系内交于点P．（1）写出不等式2x＞kx+3的解集：_________；（2）设直线l2与x轴交于点A，求△OAP的面积．21．在平面直角坐标系x0y中，直线y=kx+b（k≠0）过（1，3）和（3，1）两点，且与x轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≤0的解．22．在直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）经过（﹣2，1）和（2，3）两点，且与x 轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≥0的解集．19.2.3 一次函数与方程、不等式一．选择题（共8小题）1．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则方程kx+b=0的解为（）A．x=2B．y=2C．x=﹣1D．y=﹣12．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x 的方程kx+b=0的解为（）A．x=﹣1B．x=2C．x=0D．x=33．一元一次方程ax﹣b=0的解x=3，函数y=ax﹣b的图象与x轴的交点坐标为（）A．（3，0）B．（﹣3，0）C．（a，0）D．（﹣b，0）4．已知方程kx+b=0的解是x=3，则函数y=kx+b的图象可能是（）A．B．C．D．5．若方程x﹣3=0的解也是直线y=（4k+1）x﹣15与x轴的交点的横坐标，则k的值为（）A．﹣1B．0C．1D．±16．如图，直线y1=x+b与y2=kx﹣1相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．如图，直线y=﹣x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m ＞nx+4n＞0的整数解为（）A．﹣1B．﹣5 C．﹣4D．﹣38．如图，一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，则不等式kx+b＜0的解集是（）A．x＜0B．0＜x＜1C．x＜1 D．x＞1二．填空题（共10小题）9．若直线y=2x+b与x轴交于点（﹣3，0），则方程2x+b=0的解是_________．10．如图是一次函数y=kx+b的图象，则方程kx+b=0的解为_________．11．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为_________．12．如图，已知直线y=ax﹣b，则关于x的方程ax﹣1=b的解x=_________．13．如图，直线y=kx+b分别交x轴和y轴于点A、B，则关于x的方程kx+b=0的解为_________．14．如图，已知函数y=2x+b和y=ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），根据图象可得方程2x+b=ax﹣3的解是_________．15．如图，已知函数y=2x+b与函数y=kx﹣3的图象交于点P，则不等式kx﹣3＞2x+b的解集是_________．16．如图，直线y=kx+b过A（﹣1，2）、B（﹣2，0）两点，则0≤kx+b≤﹣2x的解集为_________．17．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则kx+b＞x+a的解集是_________．18．如图，函数y=kx和的图象相交于A （a，2），则不等式的解集为_________．三．解答题（共4小题）19．如图，根据函数y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）的图象，求：（1）方程kx+b=0的解；（2）式子k+b的值；（3）方程kx+b=﹣3的解．20．如图，直线l1：y=2x与直线l2：y=kx+3在同一平面直角坐标系内交于点P．（1）写出不等式2x＞kx+3的解集：_________；（2）设直线l2与x轴交于点A，求△OAP的面积．21．在平面直角坐标系x0y中，直线y=kx+b（k≠0）过（1，3）和（3，1）两点，且与x轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≤0的解．22．在直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）经过（﹣2，1）和（2，3）两点，且与x 轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≥0的解集．。
2020-2021学年人教版数学八年级下册专题：矩形中的折叠问题(教案)
二、核心素养目标
1.培养学生空间观念，提高几何直观能力，通过矩形折叠问题，深化对平面几何图形的理解和运用；
2.发展学生逻辑推理能力，运用折叠性质分析、解决矩形相关问题，培养严谨的数学思维；
首先，对于矩形折叠性质的理解，部分学生仍然感到困难。在今后的教学中，我需要更加注重直观演示和实际操作，让学生能够更直观地感受折叠过程中几何关系的变化。
其次，在小组讨论环节，我发现有些学生参与度不高，可能是因为他们对问题本身不够了解，或者是对讨论主题不感兴趣。为了提高学生的参与度，我计划在下次的教学中，设计更多有趣、贴近生活的讨论主题，激发学生的兴趣和积极性。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调折叠过程中对应角和对应边的关系，以及如何将这些性质应用到实际问题中。对于难点部分，我会通过实际操作和图示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与矩形折叠相关的实际问题，如如何将矩形纸片折叠成一定体积的盒子。
3.增强学生数学建模素养，将实际问题抽象为数学模型，运用所学知识解决生活中的折叠问题；
4.提高学生数学应用意识，将所学知识运用到实际情境中，感受数学与生活的紧密联系，激发学习兴趣。
围绕新教材要求，注重培养学生的学科核心素养，使学生在掌握矩形折叠问题的同时，全面提升数学思维能力、应用能力和创新能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-矩形折叠性质：理解并掌握矩形在折叠过程中，对应角、对应边的关系，以及如何运用这些性质解决相关问题。
-实际应用：将矩形折叠性质应用于解决生活中的实际问题，如包装设计、建筑结构等。
八年级数学《矩形中的折叠与动点问题》
矩形中的折叠与动点问题： 如图，矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，点E 是BC 边上的一点，联接AE,把角B 沿AE 折叠，使点B 落在点B'(1)当点E 是BC 的中点,判断AE 和CB'的位置关系,并说明理由(2)联接BB',若点B'在矩形ABCD 的内部（不包括边界），设BE=X,BB'=Y ，写出y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）若三角形CEB'是直角三角形，求BE 的长解：（1）由折叠可知B ’E =B E ∠A E B =∠A E B ’=01(180')2CEB -∠ ∵ 点E 是BC 的中点，∴ BE=CE∴CE=B ’E∴△CEB ’是等腰三角形∴ ∠ECB ’=01(180')2CEB -∠ ∴∠AEB=∠ECB ’∴ AE ∥CB（2）(联接BB',若点B'在矩形ABCD 的内部（不包括边界），设BE=X,BB'=Y ，写出y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；解：y 关于x 的函数解析式，21236xy x =+定义域是（0<x<6)理由是：由勾股定理的AE=222636x x +=+Rt △ABE 面积是6x÷2=3x由折叠可知BB ’被AE 垂直平分所以BB ’=2BF 21236xx =+，即21236x y x =+当x=6时，点B ’恰好在AD 上，因此，x 的取值范围是（0<x<6)（3）若三角形CEB'是直角三角形，求BE 的长分类讨论：①∠ECB ’=01(180')2CEB -∠不会是直角，②由（2）知，当∠CEB ’为直角时，点B ’在A D 上，此时四边形ABEB ’为正方形，BE=6 ③当 ∠EB ’C 是直角时，点A 、B ’、C 在一条直线上由勾股定理得AC=226810+=此时AB ’=AB=6CB ’=10-6=4设BE=x 则由勾股定理得222''B E B C EC +=即2224(8)x x +=-解得 x=3。
人教版八年级下册矩形矩形的折叠与线段和问题课件
课堂小结
知识点： 解题关键： 数学方法（思想）：
矩形性质
—线段和问题
课程目标
能够利用矩形的性质推导矩形中三角形的面积 能够运用等面积法求线段长度
知识讲解
利用矩形的性质可知
S △ACD=
1 2
CD×AD=
S△AOD=
1 2
S△ACD=
1 4
1 S矩形ABCD 2
S矩形ABCD
知识讲解
三角形的 #43;PF)
目标直角三角形：利用勾股定理+
方程思想，列方程，求解
应用练习
如图，将矩形ABCD沿AE折叠后，点D落在BC边的一点F上，已知AB=8cm， BC=10cm,则EC=（ ）
A.3cm B.5cm C.4cm
D.6cm
应用练习
如图，将矩形ABCD沿AE折叠后，点D落在BC边的一点F上，已知AB=8cm， BC=10cm,则EC=（ ）
∵OA=OD
1 ∴S△AOD= 2 ×OA×(PE+PF) 在Rt△ABD中,BD= AB2 + AD2 =10
∵O为BD中点
∴OA= 1 BD=5，1 ×5×(PE+PF)=12
2
2
∴PE+PF=4.8
解题方法
要点一：由垂线段想到三角形的面积； 要点二：利用S△OAD=S△OAP+S△ODP,结合矩形的对角线互相平分且相等得到
课堂小结
知识点： 解题关键： 数学方法（思想）：
应用练习
如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在BC、CD上，将AB、AD分别 沿AE、AF折叠，点B、D恰好都落在点G处，已知BE=1. （1）求EF的长； （2）求△AEF的面积.
矩形中的折叠问题--教学设计(汪丽莉)
《矩形中的折叠问题》教学设计一、内容和内容解析（一）内容人教版八年级下册《矩形中的折叠问题》(二)内容解析在初中数学中，矩形的折叠是我们常见的一种数学问题，也是初中数学新教材中的一个重要内容，在中考中常以选择、填空的形式出现.这类问题的解决是有规可循的，由于矩形的折叠只改变图形的位置，不改变图形的形状及大小，因而在矩形的折叠变换中，保持了许多图形定量的不变性，如图形中线段的长短不变，图形中角的大小不变等.这些图形定量的不变性，在初中几何全等型问题的解决中，具有很重要的运用价值，一些要通过作辅助线进行全等证明的数量关系，由图形的折叠变换就可以直接得到. 矩形折叠问题中蕴含着重要的轴对称知识，因此，解决这类问题的关键是弄清折痕(即对称轴)及其两侧的全等图形，然后利用勾股定理的性质，还可以连接对称点，利用轴对称的性质进行推理、计算。
本节课选择矩形折叠中最常见求角度、求线段长两类题型为学习内容。
(三)教学重点熟练掌握矩形折叠问题中求角度和求线段长的方法。
二、目标和目标解析（一）目标新课程标准注重教学内容与现实生活的联系，注重学生经历观察、操作、推理、想像等探索过程。
根据学生现有的知识水平，依据课程标准的要求，我确定了以下的教学目标。
知识与技能：1.掌握折叠问题的方法；2.掌握折叠问题中求角度和求线段长的方法。
过程与方法：通过探究和推理论证，发展学生的分析问题和解决问题的能力；通过经历矩形折叠问题的探究，掌握探究问题的方法；体会利用方程思想、转化思想解决折叠问题的一般方法.情感态度价值观：提供探究问题的机会，让学生体验数学活动中充满着探索与创新，激发学生学习几何的兴趣，获得解决问题的成功体验。
（二）目标解析1.通过探究使学生得到解决折叠问题的方法。
2.让学生经历折叠——观察——验证——归纳的认知过程，培养学生解决问题的能力。
3.让学生通过探究，寻找到解决折叠问题的思路，并且从中体会探究过程中所渗透的数学思想。
矩形中的折叠问题
第56课时 课题：矩形中的折叠问题教学目标：1、灵活运用矩形的性质，会解决矩形中的简单的折叠的问题;2、经过观察、动手操作、猜想、验证、证明的过程进一步体会对称的思想解决折叠问题的一般思路和方法；3、在自己动手操作、合作交流中，学习兴趣得到进一步的激发，感受动态的数学思维，进一步积累数学活动的经验；教学重点：矩形中的折叠问题教学难点：综合运用知识解决矩形折叠问题中的角度和线段的问题 教学方式：启发式、合作式、探究式 教学过程： 1、动手折一折如图矩形ABCD ，在边BC 上找一点E ，边AD 上找一点F ， 将矩形沿着直线EF 折叠，使点A 对应点A ′落在BC 边上.2、合作探究一若矩形ABCD 中，AD=5，AB=3（1）如图2， BA ’= 。
（2）如图3， BA ’= 。
（3）设BA ’=x ，当x 的取值范围是 时，四边形AEA ’F 是菱形。
D CB AA'F E D CB A图1A'(E)F D CB A图2B'(A')FED CBA图33、合作探究二矩形ABCD 中，AD=5，AB=3，若点E ，点F 分别是边AB ，边AD 上的点，将⊿AEF 沿EF对折，使点A 落在边BC 上，记为A ′．观察图形，请回答下列问题： （1）如图1，BA ’ = 。
（2）如图5，BA ’ = ， AE = 。
（3）如图4，A ’B 的范围是 。
4、中考改编在平面直角坐标系中，O 为原点，矩形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上， OA=4，OC=2，点P ，点Q 分别是边BC ，边AB 上的点，连结AC ，PQ ，点B1是点B 关于PQ 的对称点。
(1) 如图1，①求点B 的坐标；②若BQ:BP=1:2，且点B1落在OA 上，求点B1的坐标；(2)过点B1作B1F ∥x 轴，与对角线AC 、边OC 分别交于点E 、点F 。
若B1E: B1F=1:3，点B1的横坐标为m ，求点B1的纵坐标。
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《矩形中的折叠问题》教学设计一、内容和内容解析（一）内容人教版八年级下册《矩形中的折叠问题》(二)内容解析在初中数学中，矩形的折叠是我们常见的一种数学问题，也是初中数学新教材中的一个重要内容，在中考中常以选择、填空的形式出现.这类问题的解决是有规可循的，由于矩形的折叠只改变图形的位置，不改变图形的形状及大小，因而在矩形的折叠变换中，保持了许多图形定量的不变性，如图形中线段的长短不变，图形中角的大小不变等.这些图形定量的不变性，在初中几何全等型问题的解决中，具有很重要的运用价值，一些要通过作辅助线进行全等证明的数量关系，由图形的折叠变换就可以直接得到. 矩形折叠问题中蕴含着重要的轴对称知识，因此，解决这类问题的关键是弄清折痕(即对称轴)及其两侧的全等图形，然后利用勾股定理的性质，还可以连接对称点，利用轴对称的性质进行推理、计算。
本节课选择矩形折叠中最常见求角度、求线段长两类题型为学习内容。
(三)教学重点熟练掌握矩形折叠问题中求角度和求线段长的方法。
二、目标和目标解析（一）目标新课程标准注重教学内容与现实生活的联系，注重学生经历观察、操作、推理、想像等探索过程。
根据学生现有的知识水平，依据课程标准的要求，我确定了以下的教学目标。
知识与技能：1.掌握折叠问题的方法；2.掌握折叠问题中求角度和求线段长的方法。
过程与方法：通过探究和推理论证，发展学生的分析问题和解决问题的能力；通过经历矩形折叠问题的探究，掌握探究问题的方法；体会利用方程思想、转化思想解决折叠问题的一般方法.情感态度价值观：提供探究问题的机会，让学生体验数学活动中充满着探索与创新，激发学生学习几何的兴趣，获得解决问题的成功体验。
（二）目标解析1.通过探究使学生得到解决折叠问题的方法。
2.让学生经历折叠——观察——验证——归纳的认知过程，培养学生解决问题的能力。
3.让学生通过探究，寻找到解决折叠问题的思路，并且从中体会探究过程中所渗透的数学思想。
4.探究过程中引导学生自己去发现问题，解决问题，从而培养学生分析问题，解决问题的能力。
5.在展示环节中鼓励学生勇于展示，善于展示，让学生体验成功，激发学生的探究精神和几何学习的兴趣。
三、教学问题诊断分析（1）认知基础：学生已经学习过全等三角形、轴对称以及矩形，对全等三角形、轴对称以及矩形的性质有一定的认识，同时在探究等腰三角形性质的过程中已经有了折纸的经验，所以对于本节课的探究学生应该拥有相应的知识和经验基础。
（2）心理特征：八年级学生处于青春期，好动，好表现，求知欲望高，有较强的动手能力，获得外界评价的意识强。
同时学生又缺乏将动手过程转化为几何语言的能力。
从学生的认知基础和心里特征不难看出学生已经拥有了相应的知识基础和探究经验，但同时学生又普遍缺乏透过现象看本质，寻找出折叠的规律。
课堂教学中要对学生进行知识、方法、能力方面的梳理，引导学生自己去发现问题，解决问题，从而形成能力。
进一步提高学生综合解决数学问题的能力，掌握数学方法和技能。
要尽量多地引导学生通过多种方法，合作探究，解决折叠问题中具有代表性的问题。
教师适时加以点拨，整理思路，总结规律。
展示环节是学生展示自我，体验成功的重要手段。
教师要鼓励学生勇于展示，善于展示。
要教会学生举一反三，让学生运用学会的方法和思路来解决问题，形成触类旁通的数学能力。
要充分相信学生，多数题目学生可以当“老师”，完全可以讲明白，在不断学习中使数学能力得到提高。
四、教学支持条件分析根据本节课内容的特点，为了更直观、形象的突出重点、突破难点，提高课堂效率，采用以观察发现，合作探究的教学组织方式，在教学过程中，通过设置一系列学生的探究活动，创设问题情境，启发学生思考，让学生亲身体验知识的产生、发展和形成的过程．五、【教学过程设计】教学程序教学内容设计说明1、创设情景，引入新课创设情景布置课前作业：用一张矩形纸片，制作一件手工折纸作品.欣赏、赞美学生的作品，我们同学的作品，是用矩形纸片，经过适当的裁剪和若干次的折叠得到，今天我们来学习矩形中的折叠问题.创设生动活泼、贴近学生的问题情境，让学生主动参与，乐于探究，在不断观察、动手地学习过程中，激发学习动机和好奇心。
同时让学生在亲身动手体验中透过现象看本质：折叠的实质就是轴对称变换2、师生互动,探究新知：探究新知探究活动一:如图所示，在矩形ABCD中，把△ACD沿AC折叠到△ACD′，AD′与BC交于点E.〖分析过程：〗1.图中全等的图形有哪些？(由折叠就会出现全等，本题目的折叠特殊性，出现了两个全等的三角形.)2.图中相等的线段有哪些?相等的角有哪些?(由全等三角形的性质得到对应边相等，对应角相等。
由矩形的性质得到对边相等，对角相等。
)3.图中还有那些特殊的三角形？(有平行线和角分线就会出现等腰三角形，有矩形就会出现直角三角形。
)探究活动二：在矩形纸片ABCD中，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF.分析：1.图中全等的图形有哪些？2.图中相等的线段有哪些?相等的角有哪些?3.图中还有哪些特殊的三角形？图形是沿着某一直线折叠，使矩形对角的顶点互相重合.我们仍然找到了相等的线段、角，全等三角形，等腰三角形，还有特殊的四边形——菱形.学生初遇翻折问题，往往一片茫然，不知从何下手，究其原因是对由折叠产生的相等的线段和相等的角这个条件找的不好。
另外，因为折叠而形成的图形较抽象，需要一定的空间想象能力，而这方面能力是学生较欠缺的。
通过两个活动的设计降低折叠的难度，教会学生解决折叠问题的方法。
关注基础薄弱的学生，给予鼓励和信心。
再一次强调折叠得全等，全等得边等、角等。
抓住不变量。
弄清折叠的本质，折叠过程中的变量和不变量. 通过及时的帮助学生梳理知识和方法，掌握解题方法和技巧，探究新知（图形是沿着某一直线折叠，使矩形对角的顶点互相重合.我们仍然找到了相等的线段、角，全等三角形，等腰三角形。
）总结：以上两个探究活动体现了折叠问题中的基本折法，通过两个探究活动，我们今后再遇到此类问题应该有了一定的解题思路.首先，我们应该从由折叠产生的轴对称图形和背景图形的性质入手，找出全等图形，找出相等的线段、角等，这些是我们解决问题的基本条件.其次，根据这些基本条件，再结合我们在几何中已有的知识经验，挖掘常见的基本图形，从而找到直角三角形、等腰三角形等特殊图形，这些是解决问题的关键.探究新知应用：在矩形纸片ABCD中，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF.1．角度的计算若∠EFD＝75°，求∠AED。
（折叠得全等，全等得角等，再利用矩形的对边平行的性质可以求出角的度数。
）2．线段的计算若AD＝3，AB＝9，求AE的长．（在矩形中求边的长度，要把矩形中的折叠问题和勾股定理紧密结合，运用方程来解决问题.）讲练结合，让学生在动手做题的过程中悟出解答矩形折叠问题中求角度问题的依据和关键一题多变，图形不变，条件变，培养学生灵活运用知识的能力。
此题目的设计，达到学生能够熟悉利用勾股定理，建立方程的解题方法和思路。
探究新知3．面积的计算若AD＝3，AB＝9，求：四边形DEBF的面积．(连接BF,则四边形DEBF是特殊的四边形菱形，计算面积的方法有底×高，割补法，对角线乘积的一半。
)4．折痕计算若AD＝3，AB＝9，求EF的长．方法一：构造直角三角形方法二：等积法方法三：菱形的对角线将矩形按不同要求进行折叠，就会产生丰富多彩的几何问题，而这些问题中往往融入了丰富的对称思想，综合了三角形、四边形的诸多知识，千变万化，趣味性很强。
一题多解，本环节的设计，调动学生的积极性.培养学生挖掘图形的所有价值的能力.通过及时的帮助学生梳理知识和方法，掌握解题方法和技巧，进一步培养学生分析问题和决问题的能力3、小结归纳总结感悟与收获通过本次探究谈谈你的收获？以小组合作形式进行的。
全员参与，理清知识脉络，让学生明确本次探究获得的新知，同时让学生体会本次探究中获得的经验和方法，从而体会探究中所蕴含的数学思想。
培养学生语言表达及概括能力。
活跃课堂气氛。
4、目标检测D C FE B AB C A D F E D'C'G 目标 检 测1． 将长方形ABCD 的纸片，沿EF 折成如图所示；已知∠EFG=55º，则∠FGE= 2．如图，矩形ABCD 沿BE 折叠，使点C 落在AD边上的F 点处，如果∠ABF=60º，则∠CBE=第1题 第2题3．折叠矩形ABCD ，让点B 落在对角线AC 上，如图，若AD=4，AB=3，请求出线段EF=________。
第3题4．如图，矩形纸片ABCD 中，AB=3厘米，BC=4厘米， 现将A 、C 重合，再将纸片折叠压平. （1）△AEF 是_________三角形. （2）AE=_______.（3）试确定重叠部分△AEF 的面积.第4题（1）（2）题进一步 加强学生对折叠中简单的角度计算的理解，利用轴对称图形的对称性和平行线的性质作联系找等角来计算相关的度数。
（3）在矩形中求边的长度，要把矩形中的折叠问题和勾股定理紧密结合，运用方程来解决问题.进一步巩固本课的解决线段长度问题的 （4）题再一次回到基本模型，强调折叠前后的变量和不变量，由矩形性质、折叠找线段等，设未知数，选择恰当的直角三角形，利用勾股定理建立方程，解方程。
内化本节课的知识体系，并熟练掌握。
A B C D E F。