中考数学几何证明压轴题之令狐文艳创作

北京优学教育中考专题训练

令狐文艳

1、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan ∠ADC=2.

(1) 求证：DC=BC; (2) E

是梯形内一点，F

是梯形外一点，且∠EDC=∠FBC ，

DE=BF ，试判断△ECF 的形状，并证明你的结论；

(3) 在（2）的条件下，当

BE ：CE=1：

2，∠BEC=135°时，求sin ∠BFE 的值.

2、已知：如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，AG ∥DB 交CB 的延长线于G ． （1）求证：△ADE ≌△CBF ；

（2）若四边形 BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论．

3、如图13－1，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O （点O 也是BD 中点）按顺时针方向旋转．

（1）如图13－2，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交

于点N 时，通过观察或测量BM ，FN 的长度，猜想BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想；

（2）若三角尺GEF 旋转到如图13－3FE 的延长线与AB 的延长线相交于点线与GF 的延长线相交于点N

E

B

F

C

D

A

4、如图，已知⊙O 的直径AB 垂直于弦CD 于E ，连结AD 、BD 、OC 、OD ，且OD ＝5。

（1）若sin ∠BAD =35

，求CD 的长；

（2）若∠ADO ：∠EDO ＝4：1，求扇形OAC （阴影部分）的面积（结果保留π）。

5、如图，已知：C 是以AB 为直径的半圆O 上一点，CH ⊥AB 于点H ，直线AC 与过B 点的切线相交于点D ，E 为CH 中点，连接AE 并延长交BD 于点F ，直线CF 交直线AB 于点G.

（1）求证：点F 是BD 中点； （2）求证：CG 是⊙O 的切线； （3）若FB=FE=2，求⊙O 的半径．

6、如图，已知O 为原点，点A 的坐标为（4，3），

⊙A 的半径为2．过A 作直线l 平行于x 轴，点P 在直线l 上运动．

（１）当点P 在⊙O 上时，请你直接写出它的坐标；

（２）设点P 的横坐标为12，试判断直线OP 与⊙A 的位置关系，并说明理由.

7、如图，延长⊙O 的半径OA 到B ，使OA=AB ，

DE 是圆的一条切线，E 是切点，过点B 作DE 的垂线，

垂足为点C .

求证：∠ACB=3

1∠OAC .

8、如图１，一架长4米的梯子AB 斜靠在

与

C

A

B

D

O

E

地面OM 垂直的墙壁ON 上，梯子与地面的倾斜角α为 60． ⑴求AO 与BO 的长；

⑵若梯子顶端A 沿NO 下滑，同时底端B 沿OM 向右滑行. ①如图2，设A 点下滑到C 点，B 点向右滑行到D 点，并且AC:BD=2:3，试计算梯子顶端A 沿NO 下滑多少米；

②如图３，当A 点下滑到A ’点，B 点向右滑行到B ’点时，梯子AB 的中点P 也随之运动到P ’点．若∠POP ’＝ 15，试求AA ’的长． [解析]

⑴AOB Rt ∆中,∠O=90,∠α= 60 ∴,∠OAB= 30，又ＡＢ＝4米，

1.[解析]（1）过A 作DC 的垂线AM 交DC 于M,

则AM=BC=2.

又tan ∠ADC=2,所以2

12

DM =

=.即DC=BC.

(2)等腰三角形.

证明：因为,,DE DF EDC FBC DC BC =∠=∠=. 所以，△DEC ≌△BFC

所以，,CE CF ECD BCF =∠=∠.

所以，90ECF BCF BCE ECD BCE BCD ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒ 即△ECF 是等腰直角三角形.

（3）设BE k =,则2CE CF k ==，所以2

2EF k =.

因为135BEC ∠=︒，又45CEF ∠=︒，所以90BEF ∠=︒.

所以22(22)3BF k k k =+= 所以1sin 33

k BFE k ∠=

=. 2.[解析]（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，

∴∠1＝∠C ，AD ＝CB ，AB ＝CD ． ∵点E 、F 分别是AB 、CD 的中点， ∴AE ＝21AB ，CF ＝2

1CD ． ∴AE ＝CF

∴△ADE ≌△CBF ．

（2）当四边形BEDF 是菱形时， 四边形 AGBD 是矩形．

∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ． ∵AG ∥BD ，

∴四边形 AGBD 是平行四边形． ∵四边形 BEDF 是菱形， ∴DE ＝BE ． ∵AE ＝BE ， ∴AE ＝BE ＝DE ．

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．

∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°， ∴2∠2＋2∠3＝180°． ∴∠2＋∠3＝90°． 即∠ADB ＝90°．

∴四边形AGBD 是矩形 3[解析]（1）BM =FN ．

证明：∵△GEF 是等腰直角三角形，四边形ABCD 是正方形，

∴∠ABD =∠F =45°，OB = OF ．

又∵∠BOM =∠FON ，∴△OBM ≌△OFN ．

∴BM =FN ．

（2） BM =FN 仍然成立．

（3） 证明：∵△GEF 是等腰直角三角形，四边形ABCD 是正方

形，

∴∠DBA =∠GFE =45°，OB =OF ． ∴∠MBO =∠NFO =135°．

又∵∠MOB =∠NOF ， ∴△OBM ≌△OFN ． ∴BM =FN ． [解析]（1）因为AB 是⊙O 的直径，OD ＝5 所以∠ADB ＝90°，AB ＝10

在Rt △ABD 中，sin ∠BAD BD

AB

=

又sin ∠BAD =35，所以BD 103

5

=，所以BD =6

因为∠ADB ＝90°，AB ⊥CD 所以DE AB AD BD CE DE ··，=

=

所以DE ⨯=⨯1086 所以DE =

245

所以CD DE ==

2485

（2）因为AB 是⊙O 的直径，AB ⊥CD 所以CB BD AC AD ⌒

⌒

⌒

⌒

，==

所以∠BAD ＝∠CDB ，∠AOC ＝∠AOD 因为AO ＝DO ，所以∠BAD ＝∠ADO 所以∠CDB ＝∠ADO

设∠ADO ＝4x ，则∠CDB ＝4x

由∠ADO ：∠EDO ＝4：1，则∠EDO ＝x