1.2 计量地理学中的数学方法

i 1 n
变异系数表示地理数据的相对变化（波动） 程度，其计算公式
S 1 Cv 100% x x ( xi x ) 2 n 1 100%
（2.4.13）
例如：对于表2.4.2中的数据，分别计算极差、 离差、离差平方和、方差、标准差、标准差的 无偏估计，以及变异系数。
表2.4.2
地块编号 面积/hm2 1 12 2 83 3 50 4 35
某农场各农田地块的面积
5 55 6 50 7 72 8 40 9 85 10 29 11 65 12 75 平均值 54.25 中位 数 52.5 众 数 50
步骤 ： (1)按照公式（2.4.7）计算极差
R 85 12 73
离差
i
i
（2.4.7）
指每一个地理数据与平均值的差，计算公式为
离差平方和
di xi x
（2.4.8）
它从总体上衡量一组地理数据与平均值的离散程 度，其计算公式为
d2
(x
i 1
n
i
x)
（2.4.9）
• 方差与标准差 方差是从平均概况衡量一组地理数据与平 均值的离散程度。方差计算公式为
1 xi x g1 i 1 n
n
3
（2.4.14）
g1<0，表示负偏，即均值在峰值的左边；g1>0，表 示正偏，即均值在峰值的右边；g1=0，表示对称分 布（如下图）。
图2.4.3
偏度系数的三种情形
• 峰度系数 它测度了地理数据在均值附近的集中程度，其 计算公式为标准正态分布的峰度系数 g2 =0； g2>0， 表示地理数据分布的集中程度高于正态分布； g2<0， 表示地理数据分布的集中程度低于正态分布（图 2.4.4）。 4 n 1 xi x （2.4.15） 3 g2 i 1 n
多目标规划
非线性规划 动态规划 网络分析 层次分析法
用于研究有关规划与决策问题。
用于研究有关规划与决策问题。 用于有关多阶段地理决策问题的求解。 用于交通网络、通讯网络、河流水系等地理网 络的研究。 用于有关多层次、多要素战略决策问题的分析。
风 险 型 决 策 分 用于各种风险型地理决策问题的分析。 析法
众数
众数就是出现频数最多的那个数,计算 方法分为以下两种情况: ①未分组的地理数据，可以根据每一 个数据出现的频数大小直接确定众数。 ②对于已经分组的地理数据，中位数 的计算步骤如下： 确定频数最多的组为众数所在组。 按以下公式计算众数
1 M0 L d 1 2 2 M0 U d 1 2
第2节 计量地理学中的数学方法
数学方法
概率论
用途
用于地理现象、地理要素的随机分布研究。
抽样调查
相关分析 回归分析 方差分析 主成分分析
用于地理数据的采集和整理。 分析地理要素之间的相关关系。
拟合地理要素之间的数量关系、预测发展趋势。 研究地理数据分布的离散程度。 用于地理数据的降维处理及地理要素的因素分析 与综合评价。
第5节 地理数据分布的集中化 与均衡度指数
罗伦次曲线与集中化指数
ห้องสมุดไป่ตู้
基尼系数
锡尔系数
（一）罗伦次曲线 绘制罗伦次曲线实例
（1）将表2.5.1各产业部门的收入及其占总收 入比重（百分比），从大到小重新排序； （2）从大到小，逐次计算累计百分比； （3）以自然序号为横坐标(x)，累计百分比为 纵坐标(y)；以（部门代码，累计百分比）为坐标点， 连成一个上凸的曲线（图2.5.1和图2.5.2），即罗 伦次曲线。
(3) 计算众数 , 先确定众数所在组，再按 照公式（2.4.5）或（2.4.6）计算众数。
显然，众数所在组应该在第二组。
众数M0 =3 476.19 （元）。
（二）描述地理数据分布离散程度的指标
•
极差 指所有数据中最大值与最小值之差,计算公式为
R max {xi } min{xi }
•
用于有关地理系统、地理过程的组织与演化 问题研究。
用于有关地理系统、地理过程的自组织问题 研究。 用于灰色地理系统的分析、建模、控制与决 策研究。
系 统 动 力 学 方 用于对地理系统的仿真、模拟和预测。 法 分形理论 小波分析 人工神经网络 遗传算法 用于有关地理实体的形态及要素分布形态的 自相似机理研究。 用于多层次、多尺度、多分辨率的地理时空 过程的时频分析。 用于有关地理模式的识别、地理过程机制的 自学习及预测等。 用于复杂的非线性地理问题的计算。
表2.4.2
地块 编号 面积 /hm2 1 2 3 4 5
某农场各农田地块的面积
6 7 8 9 10 11 12 平均值 中位 数 52.5 众 数 50
12
83
50
35
55
50
72
40
85
29
65
75
54.25
应按照未分组数据计算其平均值、 中位数和众数，计算结果见上表最后三 列。
例2:表2.4.3给出了中国西部地区某城市2000年家 庭月收入的抽样调查结果，试计算其平均值、中 位数和众数。
1 n x xi n i 1
(2.4.1)
② 分组的地理数据
x
fx
i i 1 m
m
i
f
i 1
(2.4.2)
i
• 中位数
① 对于未分组的地理数据，样本数n为奇数时， 中位数是位置排在第(n+1)/2位的数据；样本数n为偶 数时，中位数是排在中间位置的两个数据的平均值。 ②分组的地理数据，中位数的计算方法: 确定中位数所在的组位置,按下述公式计算中位数
(2)按照公式（2.4.8）计算离差，结果见表 2.4.4。
表2.4.4
序号 面积 1 12 2 83 3 50 4 35 5 55
地理数据的离差
6 50 7 72 8 40 9 85 10 29 11 65 12 75
离差
-42.25
28.75
-4.25
-19.25
0.75
-4.25
17.75
-14.25
(2.4.5) (2.4.6)
或
在式(2.4.5)和 (2.4.6)中:
M0代表众数；
L为众数所在组的下限值；
U为众数所在组的上限值； ∆1为众数组频数与下一组频数之差； ∆2为众数组频数与上一组频数之差； d为众数所在组的组距。
例1：表2.4.2给出了某农场各农田地块的面积， 试计算其平均值、中位数和众数。
时间序列分析 用于地理过程时间序列的预测与控制研究。
聚类分析 判别分析
趋势面分析
用于各种地理要素分类、各种地理区域划 分。 用于判别地理要素、地理单元的类型归属。
用于拟合地理要素的空间分布形态。
协方差与变异函 用于研究地理要素的空间相关性及空间分 数 布的数量规律。 克立格法 马尔可夫过程 线性规划 投入产出分析 用于地理要素分布的空间局部估计与局部 插值。 用于研究随机地理过程、预测随机地理事 件。 用于研究有关规划与决策问题。 用于产业部门联系分析、劳动地域构成分 析、区域相互作用分析。
图2.4.5 1978—2002年中国大陆省份人均GDP的变异系数
从图2.4.5中可以看出，在1978—2002年 期间，人均GDP的变异系数，以1990年为转折 点，呈现出一个 U 形曲线。即：人均 GDP 的变 异系数，在 1978—1990 年期间基本上呈现下 降趋势，而在 1990—2002 年期间则基本上呈 现上升趋势。 这说明，在 1978—1990 年期间，中国大 陆经济发展的省际差异，基本上呈缩小趋势， 而 1990—2002 年期间则基本上呈扩大趋势。 这一变化与国家宏观经济政策变动的时间、 趋势大体一致。
30.75
-25.25
10.75
20.75
(3)按照公式（2.4.9）计算离差平方和
d d i 5 666.25
2 12
(4)按照公式（2.4.10）计算方差
i 1

2
(5)按照公式（2.4.11）计算标准差 (6)按照公式（2.4.12）计算标准差的无偏估计
S
1 2 d 472 .19 12
6 000～7 000
7 000～8 000 8 000～9 000 合 计
100
50 30 2130
2 050
2 100 2 130 —
180
80 30 —
解题步骤:
(1)用公式（2.4.2）计算平均数
x =3 899.06（元）
(2)计算中位数。先确定中位数所在 组的位置，再按照公式（2.4.3）或者 （2.4.4）计算中位数 Me =3 588.46（元）
非 确 定 型 决 策 用于各种非确定型地理决策问题的分析。 分析法
模糊数学方法
控制论 信息论 突变论
用于各种模糊地理现象、地理过程、地理决策 和系统评价研究。
用于地理过程、地理系统的调控研究。 用于各种地理信息的分析、处理。 用于有关突发性地理现象、地理事件的研究。
耗散结构理论
协同学 灰色系统方法
σ 2 472.19 21.73
(7)按照公式（2.4.13）计算变异系数
Cv S 100 % 0.418 4 x
d2 21.729 9 12 1
（三）描述地理数据分布特征的参数
• 偏度系数 测度地理数据分布的不对称性情况，刻画以平 均值为中心的偏向情况，计算公式为
表2.4.3
家庭月收入/元
2 000～3 000 3 000～4 000 4 000～5 000 5 000～6 000
中国西部地区某城市2000年家庭月收入的 抽样调查结果