2016年高考文科数学真题全国卷1
2016年全国统一高考数学试卷文科全国一附带答案解析
2016年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=（）A．{1，3}B．{3，5}C．{5，7}D．{1，7}2．（5分）设（1+2i）（a+i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则a等于（）A．﹣3B．﹣2C．2D．33．（5分）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=，c=2，cosA=，则b=（）A．B．C．2D．35．（5分）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．6．（5分）将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（2x﹣）D．y=2sin（2x﹣）7．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π8．（5分）若a＞b＞0，0＜c＜1，则（）A．log a c＜log b c B．log c a＜log c b C．a c＜b c D．c a＞c b9．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．10．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x11．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）若函数f（x）=x﹣sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣1，]C．[﹣，]D．[﹣1，﹣]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）设向量=（x，x+1），=（1，2），且⊥，则x=．14．（5分）已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ﹣）=．15．（5分）设直线y=x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0相交于A，B两点，若|AB|=2，则圆C的面积为．16．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=，a nb n+1+b n+1=nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和．18．（12分）如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P 在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．（Ⅰ）证明：G是AB的中点；（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．19．（12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）若n=19，求y与x的函数解析式；（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？20．（12分）在直角坐标系xOy中，直线l：y=t（t≠0）交y轴于点M，交抛物线C：y2=2px（p＞0）于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H．（Ⅰ）求；（Ⅱ）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，OA为半径作圆．（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．2016年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=（）A．{1，3}B．{3，5}C．{5，7}D．{1，7}【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；29：规律型；5J：集合．【分析】直接利用交集的运算法则化简求解即可．【解答】解：集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B={3，5}．故选：B．【点评】本题考查交集的求法，考查计算能力．2．（5分）设（1+2i）（a+i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则a等于（）A．﹣3B．﹣2C．2D．3【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5N：数系的扩充和复数．【分析】利用复数的乘法运算法则，通过复数相等的充要条件求解即可．【解答】解：（1+2i）（a+i）=a﹣2+（2a+1）i的实部与虚部相等，可得：a﹣2=2a+1，解得a=﹣3．故选：A．【点评】本题考查复数的相等的充要条件的应用，复数的乘法的运算法则，考查计算能力．3．（5分）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（）A．B．C．D．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】12：应用题；34：方程思想；49：综合法；5I：概率与统计．【分析】确定基本事件的个数，利用古典概型的概率公式，可得结论．【解答】解：从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，有=6种方法，红色和紫色的花在同一花坛，有2种方法，红色和紫色的花不在同一花坛，有4种方法，所以所求的概率为=．另解：由列举法可得，红、黄、白、紫记为1，2，3，4，即有（12，34），（13，24），（14，23），（23，14），（24，13），（34，12），则P==．故选：C．【点评】本题考查等可能事件的概率计算与分步计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础．4．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=，c=2，cosA=，则b=（）A．B．C．2D．3【考点】HR：余弦定理．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；58：解三角形．【分析】由余弦定理可得cosA=，利用已知整理可得3b2﹣8b﹣3=0，从而解得b的值．【解答】解：∵a=，c=2，cosA=，∴由余弦定理可得：cosA===，整理可得：3b2﹣8b﹣3=0，∴解得：b=3或﹣（舍去）．故选：D．【点评】本题主要考查了余弦定理，一元二次方程的解法在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．5．（5分）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设出椭圆的方程，求出直线的方程，利用已知条件列出方程，即可求解椭圆的离心率．【解答】解：设椭圆的方程为：，直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，则直线方程为：，椭圆中心到l的距离为其短轴长的，可得：，4=b2（），∴，=3，∴e==．故选：B．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查点到直线的距离公式，椭圆的离心率的求法，考查计算能力．6．（5分）将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（2x﹣）D．y=2sin（2x﹣）【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】33：函数思想；48：分析法；57：三角函数的图像与性质．【分析】求得函数y的最小正周期，即有所对的函数式为y=2sin[2（x﹣）+]，化简整理即可得到所求函数式．【解答】解：函数y=2sin（2x+）的周期为T==π，由题意即为函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得图象对应的函数为y=2sin[2（x﹣）+]，即有y=2sin（2x﹣）．故选：D．【点评】本题考查三角函数的图象平移变换，注意相位变换针对自变量x而言，考查运算能力，属于基础题和易错题．7．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离．【分析】判断三视图复原的几何体的形状，利用体积求出几何体的半径，然后求解几何体的表面积．【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图：可得：=，R=2．它的表面积是：×4π•22+=17π．故选：A．【点评】本题考查三视图求解几何体的体积与表面积，考查计算能力以及空间想象能力．8．（5分）若a＞b＞0，0＜c＜1，则（）A．log a c＜log b c B．log c a＜log c b C．a c＜b c D．c a＞c b【考点】4M：对数值大小的比较．【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数的单调性结合换底公式，逐一分析四个结论的真假，可得答案．【解答】解：∵a＞b＞0，0＜c＜1，∴log c a＜log c b，故B正确；∴当a＞b＞1时，0＞log a c＞log b c，故A错误；a c＞b c，故C错误；c a＜c b，故D错误；故选：B．【点评】本题考查的知识点是指数函数，对数函数，幂函数的单调性，难度中档．9．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】27：图表型；48：分析法；51：函数的性质及应用．【分析】根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答案．【解答】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，故函数为偶函数，当x=±2时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2﹣e x，∴f′（x）=4x﹣e x=0有解，故函数y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，故选：D．【点评】本题考查的知识点是函数的图象，对于超越函数的图象，一般采用排除法解答．10．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；28：操作型；5K：算法和程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x，y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：输入x=0，y=1，n=1，则x=0，y=1，不满足x2+y2≥36，故n=2，则x=，y=2，不满足x2+y2≥36，故n=3，则x=，y=6，满足x2+y2≥36，故y=4x，故选：C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．11．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5G：空间角．【分析】画出图形，判断出m、n所成角，求解即可．【解答】解：如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1=60°．则m、n所成角的正弦值为：．故选：A．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．12．（5分）若函数f（x）=x﹣sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣1，]C．[﹣，]D．[﹣1，﹣]【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】35：转化思想；4C：分类法；53：导数的综合应用．【分析】求出f（x）的导数，由题意可得f′（x）≥0恒成立，设t=cosx（﹣1≤t ≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，对t讨论，分t=0，0＜t≤1，﹣1≤t＜0，分离参数，运用函数的单调性可得最值，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：函数f（x）=x﹣sin2x+asinx的导数为f′（x）=1﹣cos2x+acosx，由题意可得f′（x）≥0恒成立，即为1﹣cos2x+acosx≥0，即有﹣cos2x+acosx≥0，设t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，当t=0时，不等式显然成立；当0＜t≤1时，3a≥4t﹣，由4t﹣在（0，1]递增，可得t=1时，取得最大值﹣1，可得3a≥﹣1，即a≥﹣；当﹣1≤t＜0时，3a≤4t﹣，由4t﹣在[﹣1，0）递增，可得t=﹣1时，取得最小值1，可得3a≤1，即a≤．综上可得a的范围是[﹣，]．另解：设t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，由题意可得5﹣4+3a≥0，且5﹣4﹣3a≥0，解得a的范围是[﹣，]．故选：C．【点评】本题考查导数的运用：求单调性，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和换元法，考查函数的单调性的运用，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）设向量=（x，x+1），=（1，2），且⊥，则x=．【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】11：计算题；41：向量法；49：综合法；5A：平面向量及应用．【分析】根据向量垂直的充要条件便可得出，进行向量数量积的坐标运算即可得出关于x的方程，解方程便可得出x的值．【解答】解：∵；∴；即x+2（x+1）=0；∴．故答案为：．【点评】考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算，清楚向量坐标的概念．14．（5分）已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ﹣）=．【考点】GP：两角和与差的三角函数．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；56：三角函数的求值．【分析】由θ得范围求得θ+的范围，结合已知求得cos（θ+），再由诱导公式求得sin（）及cos（），进一步由诱导公式及同角三角函数基本关系式求得tan（θ﹣）的值．【解答】解：∵θ是第四象限角，∴，则，又sin（θ+）=，∴cos（θ+）=．∴cos（）=sin（θ+）=，sin（）=cos（θ+）=．则tan（θ﹣）=﹣tan（）=﹣=．故答案为：﹣．【点评】本题考查两角和与差的正切，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．15．（5分）设直线y=x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0相交于A，B两点，若|AB|=2，则圆C的面积为4π．【考点】J8：直线与圆相交的性质．【专题】11：计算题；35：转化思想；5B：直线与圆．【分析】圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0的圆心坐标为（0，a），半径为，利用圆的弦长公式，求出a值，进而求出圆半径，可得圆的面积．【解答】解：圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0的圆心坐标为（0，a），半径为，∵直线y=x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0相交于A，B两点，且|AB|=2，∴圆心（0，a）到直线y=x+2a的距离d=，即+3=a2+2，解得：a2=2，故圆的半径r=2．故圆的面积S=4π，故答案为：4π【点评】本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，点到直线的距离公式，难度中档．16．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000元．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；33：函数思想；35：转化思想．【分析】设A、B两种产品分别是x件和y件，根据题干的等量关系建立不等式组以及目标函数，利用线性规划作出可行域，通过目标函数的几何意义，求出其最大值即可；【解答】解：（1）设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元．由题意，得，z=2100x+900y．不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得：，A（60，100），目标函数z=2100x+900y．经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100=216000元．故答案为：216000．【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，不等式组解实际问题的运用，不定方程解实际问题的运用，解答时求出最优解是解题的关键．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=，a nb n+1+b n+1=nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和．【考点】8H：数列递推式．【专题】11：计算题；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）令n=1，可得a1=2，结合{a n}是公差为3的等差数列，可得{a n}的通项公式；（Ⅱ）由（1）可得：数列{b n}是以1为首项，以为公比的等比数列，进而可得：{b n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）∵a n b n+1+b n+1=nb n．当n=1时，a1b2+b2=b1．∵b1=1，b2=，∴a1=2，又∵{a n}是公差为3的等差数列，∴a n=3n﹣1，+b n+1=nb n．（Ⅱ）由（I）知：（3n﹣1）b n+1即3b n=b n．+1即数列{b n}是以1为首项，以为公比的等比数列，∴{b n}的前n项和S n==（1﹣3﹣n）=﹣．【点评】本题考查的知识点是数列的递推式，数列的通项公式，数列的前n项和公式，难度中档．18．（12分）如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P 在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．（Ⅰ）证明：G是AB的中点；（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；MK：点、线、面间的距离计算．【专题】11：计算题；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）根据题意分析可得PD⊥平面ABC，进而可得PD⊥AB，同理可得DE⊥AB，结合两者分析可得AB⊥平面PDE，进而分析可得AB⊥PG，又由PA=PB，由等腰三角形的性质可得证明；（Ⅱ）由线面垂直的判定方法可得EF⊥平面PAC，可得F为E在平面PAC内的正投影．由棱锥的体积公式计算可得答案．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵P﹣ABC为正三棱锥，且D为顶点P在平面ABC内的正投影，∴PD⊥平面ABC，则PD⊥AB，又E为D在平面PAB内的正投影，∴DE⊥面PAB，则DE⊥AB，∵PD∩DE=D，∴AB⊥平面PDE，连接PE并延长交AB于点G，则AB⊥PG，又PA=PB，∴G是AB的中点；（Ⅱ）在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC 内的正投影．∵正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，∴PB⊥PA，PB⊥PC，又EF∥PB，所以EF⊥PA，EF⊥PC，因此EF⊥平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影．连结CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心．由（Ⅰ）知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD=CG．由题设可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB，所以DE∥PC，因此PE=PG，DE=PC．由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6，可得DE=2，PG=3，PE=2．在等腰直角三角形EFP中，可得EF=PF=2．所以四面体PDEF的体积V=×DE×S=×2××2×2=．△PEF【点评】本题考查几何体的体积计算以及线面垂直的性质、应用，解题的关键是正确分析几何体的各种位置、距离关系．19．（12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）若n=19，求y与x的函数解析式；（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？【考点】3H：函数的最值及其几何意义；5C：根据实际问题选择函数类型；B8：频率分布直方图．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）若n=19，结合题意，可得y与x的分段函数解析式；（Ⅱ）由柱状图分别求出各组的频率，结合“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，可得n的最小值；（Ⅲ）分别求出每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件时的平均费用，比较后，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）当n=19时，y==（Ⅱ）由柱状图知，更换的易损零件数为16个频率为0.06，更换的易损零件数为17个频率为0.16，更换的易损零件数为18个频率为0.24，更换的易损零件数为19个频率为0.24又∵更换易损零件不大于n的频率为不小于0.5．则n≥19∴n的最小值为19件；（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，所须费用平均数为：（70×19×200+4300×20+4800×10）=4000（元）假设这100台机器在购机的同时每台都购买20个易损零件，所须费用平均数为（90×4000+10×4500）=4050（元）∵4000＜4050∴购买1台机器的同时应购买19台易损零件．【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，频率分布条形图，方案选择，难度中档．20．（12分）在直角坐标系xOy中，直线l：y=t（t≠0）交y轴于点M，交抛物线C：y2=2px（p＞0）于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H．（Ⅰ）求；（Ⅱ）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）求出P，N，H的坐标，利用=，求；（Ⅱ）直线MH的方程为y=x+t，与抛物线方程联立，消去x可得y2﹣4ty+4t2=0，利用判别式可得结论．【解答】解：（Ⅰ）将直线l与抛物线方程联立，解得P（，t），∵M关于点P的对称点为N，∴=，=t，∴N（，t），∴ON的方程为y=x，与抛物线方程联立，解得H（，2t）∴==2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知k MH=，∴直线MH的方程为y=x+t，与抛物线方程联立，消去x可得y2﹣4ty+4t2=0，∴△=16t2﹣4×4t2=0，∴直线MH与C除点H外没有其它公共点．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，正确联立方程是关键．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．【考点】52：函数零点的判定定理；6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】35：转化思想；48：分析法；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，讨论当a≥0时，a＜﹣时，a=﹣时，﹣＜a＜0，由导数大于0，可得增区间；由导数小于0，可得减区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）的单调区间，对a讨论，结合单调性和函数值的变化特点，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2，可得f′（x）=（x﹣1）e x+2a（x﹣1）=（x﹣1）（e x+2a），①当a≥0时，由f′（x）＞0，可得x＞1；由f′（x）＜0，可得x＜1，即有f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增（如右上图）；②当a＜0时，（如右下图）若a=﹣，则f′（x）≥0恒成立，即有f（x）在R上递增；若a＜﹣时，由f′（x）＞0，可得x＜1或x＞ln（﹣2a）；由f′（x）＜0，可得1＜x＜ln（﹣2a）．即有f（x）在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）递增；在（1，ln（﹣2a））递减；若﹣＜a＜0，由f′（x）＞0，可得x＜ln（﹣2a）或x＞1；由f′（x）＜0，可得ln（﹣2a）＜x＜1．即有f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a）），（1，+∞）递增；在（ln（﹣2a），1）递减；（Ⅱ）①由（Ⅰ）可得当a＞0时，f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增，且f（1）=﹣e＜0，x→+∞，f（x）→+∞；当x→﹣∞时f（x）＞0或找到一个x＜1使得f（x）＞0对于a＞0恒成立，f（x）有两个零点；②当a=0时，f（x）=（x﹣2）e x，所以f（x）只有一个零点x=2；③当a＜0时，若a＜﹣时，f（x）在（1，ln（﹣2a））递减，在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）递增，又当x≤1时，f（x）＜0，所以f（x）不存在两个零点；当a≥﹣时，在（﹣∞，ln（﹣2a））单调增，在（1，+∞）单调增，在（1n（﹣2a），1）单调减，只有f（ln（﹣2a））等于0才有两个零点，而当x≤1时，f（x）＜0，所以只有一个零点不符题意．综上可得，f（x）有两个零点时，a的取值范围为（0，+∞）．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间，考查函数零点的判断，注意运用分类讨论的思想方法和函数方程的转化思想，考查化简整理的运算能力，属于难题．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，OA为半径作圆．（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明．【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5M：推理和证明．【分析】（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK．根据等腰三角形AOB的性质知OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，则AB是圆O的切线．（Ⅱ）设圆心为T，证明OT为AB的中垂线，OT为CD的中垂线，即可证明结论．【解答】证明：（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK，∵OA=OB，∠AOB=120°，∴OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，∴直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）因为OA=2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心．设T是A，B，C，D四点所在圆的圆心．∵OA=OB，TA=TB，∴OT为AB的中垂线，同理，OC=OD，TC=TD，∴OT为CD的中垂线，∴AB∥CD．【点评】本题考查了切线的判定，考查四点共圆，考查学生分析解决问题的能力．解答此题时，充分利用了等腰三角形“三合一”的性质．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QE：参数方程的概念．【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5S：坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）把曲线C1的参数方程变形，然后两边平方作和即可得到普通方程，可知曲线C1是圆，化为一般式，结合x2+y2=ρ2，y=ρsinθ化为极坐标方程；（Ⅱ）化曲线C2、C3的极坐标方程为直角坐标方程，由条件可知y=x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，把C1与C2的方程作差，结合公共弦所在直线方程为y=2x可得1﹣a2=0，则a值可求．【解答】解：（Ⅰ）由，得，两式平方相加得，x2+（y﹣1）2=a2．∴C1为以（0，1）为圆心，以a为半径的圆．化为一般式：x2+y2﹣2y+1﹣a2=0．①由x2+y2=ρ2，y=ρsinθ，得ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a2=0；（Ⅱ）C2：ρ=4cosθ，两边同时乘ρ得ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，②即（x﹣2）2+y2=4．由C3：θ=α0，其中α0满足tanα0=2，得y=2x，∵曲线C1与C2的公共点都在C3上，∴y=2x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，①﹣②得：4x﹣2y+1﹣a2=0，即为C3 ，∴1﹣a2=0，∴a=1（a＞0）．【点评】本题考查参数方程即简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，训练了两圆公共弦所在直线方程的求法，是基础题．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．【考点】&2：带绝对值的函数；3A：函数的图象与图象的变换．【专题】35：转化思想；48：分析法；59：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）运用分段函数的形式写出f（x）的解析式，由分段函数的画法，即可得到所求图象；（Ⅱ）分别讨论当x≤﹣1时，当﹣1＜x＜时，当x≥时，解绝对值不等式，取交集，最后求并集即可得到所求解集．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=，由分段函数的图象画法，可得f（x）的图象，如右：（Ⅱ）由|f（x）|＞1，可得当x≤﹣1时，|x﹣4|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x≤﹣1；当﹣1＜x＜时，|3x﹣2|＞1，解得x＞1或x＜，即有﹣1＜x＜或1＜x＜；当x≥时，|4﹣x|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x＞5或≤x＜3．综上可得，x＜或1＜x＜3或x＞5．则|f（x）|＞1的解集为（﹣∞，）∪（1，3）∪（5，+∞）．【点评】本题考查绝对值函数的图象和不等式的解法，注意运用分段函数的图象的画法和分类讨论思想方法，考查运算能力，属于基础题．。
首发2016年高考全国卷一文科数学真题及答案.doc
首发2016年高考全国卷一文科数学真题及答案2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页．2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置．3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效．4．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设集合{1,3,5,7}A=，{|25}B x x=≤≤，则A B =（A）{1，3}（B）{3，5}（C）{5，7}（D）{1，7}（2）设(12i)(i)a++的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝（A）－3（B）－2（C）2（D）3（3）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，学．科．网余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（A）13（B）12（C）23（D）56（4）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=，2c=，2cos3A=，则b ＝（A B （C ）2（D ）3（5）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为（A ）13（B ）12（C ）23（D ）34（6）若将函数y ＝2sin （2x ＋π6）的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为（A ）y ＝2sin （2x ＋π4） （B ）y ＝2sin （2x ＋π3） （C ）y ＝2sin （2x –π4） （D ）y ＝2sin （2x –π3）（7）如图，学．科网某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π （8）若a>b>0，0<c<1，则 （A ）log a c函数y ＝2x 2–e |x|在[–2，2]的图像大致为（A ）（B ）（C ）（D ）（10）执行右面的程序框图，如果输入的0,1,x y ==n ＝1，则输出,x y 的值满足（A ）2y x =（B ）3y x =（C ）4y x =（D ）5y x =（11）平面α过正文体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A11//CB D α平面，ABCD m α=平面，11ABB A nα=平面，则m ，n 所成角的正弦值为（A）2（B）2（C）3（D ）13（12）若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是（A ）[]1,1-（B ）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（C ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（D ）11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题～第（24）题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共3小题，每小题5分（13）设向量a ＝（x ，x ＋1），b ＝（1，2），且a ⊥b ，则x ＝．（14）已知θ是第四象限角，且sin （θ＋π4）＝35，则tan （θ–π4）＝．（15）设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若，则圆C 的面积为。
2016年全国高考1卷文科数学试题及答案
2016年全国高考新课标1卷文科数学试题第Ⅰ卷考生注意：1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．A=B=xxAB=( )5}{，则|2≤1．设集合∩{1,3,5,7}，≤ B．{3,5} C{1,3}．{5,7} D．{1,7} A．ia+iaa=( )(1+2的实部与虚部相等，其中)(为实数，则)2．设A．-3 B．-2 C．2 D． 33．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )1125A． B． C． D．32362 cbBCaABCA已知，的对边分别为.Δ4．,的内角 ,,,?2,cos Aa?5,c?3b=( )则32 C．2 D．A．． 3B ll的距离为其短轴长经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到5．直线的1，则该椭圆的离心率为( )41123A． B． C． D．3234?1yx+)=2sin(2的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数6．若将函数46为( )???yxyxyxyx=2sin(2．=2sin(2A．–=2sin(2++) C．) D) B．=2sin(2 434?) –37．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个?28圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是，3则它的表面积( )A．17π B1 2 2<，，．0( )>0ccab cbcabacc B．log D<log< C．．A．log><log ccbax||2xy在[e–9．函数2,2]=2的图像大致为( ) –y y y y1 1 1 1O O O O 2 x -2 x x -2 2 -2 2 x 2 -2xyn=1，，=0， 10．执行右面的程序框图，如果输入的=1A D B C 开始xy 的值满足，则输出( )ny ,x ,输入yxyx =2=3 BA ．．n ?1yxyx =5 DC ．．=4x ?x ?,y ?ny n=n+1 2 ABCDABCDA ，．平面α过正方体- 的顶点111111否 22≥36? y +x CBDABCD=m ， ，α//平面α∩平面11ABBA=nmn 所成角的正弦值为( ) ∩平面，，则α是 11x ,y 输出3321A ． B ． C ． D ． 2323 结束1a ( )则的取值范围是)在．若函数(-∞,+∞单调递增，12x )f (x ?x-sin2x ?a sin 31111] ．[-1,-] C[-1,．[-,] DA ．[-1,1] B ． 3333 第Ⅱ卷题为必考题，每个试题考生2113题~第.本卷包括必考题和选考题两部分第.题为选考题，考生根据要求作答~第24都必须作答，第22题 分，共20分．把答案填在横线上．二、填空题：本大题共4小题，每小题5x bba xx a = . ⊥=(，，+1)2)=(1，，且，则13．设向量 ππ3)= . -tan()=θ是第四象限角，且．已知14θsin(+，则θ45422ayABCxyy=xaAB 23，两点，若-215．设直线|+2-2=0相交于与圆 ：，|=+C 的面积为则圆 .16．某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.只做6题，共70分. 17.（本题满分12分） 1abbbabbnb .=，是公差为3的等差数列，数列{+}满足==1，已知{}nnnnnn +12+11 3abn 项和的前求{. 求{}}的通项公式； (Ⅱ)(Ⅰ)nn18.（本题满分12分）PABCPAPABC 在平面=6如图，已知正三棱锥-，顶点的侧面是直角三角形，P DDPABE ，在平面内的正投影为点 ，内的正投影为点PEABG .并延长交连接于点GAB 的中点；是 (Ⅰ)证明E A C EPAC在平面）题图中作出点)在答题卡第（18(ⅡD G FPDEF的体积． )，并求四面体内的正投影说明作法及理由(B19.（本小题满分12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰. 机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元. 在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：yx台机器在表示记1表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，n. ，表示购机的同时购买的易损零件数购买易损零件上所需的费用（单位：元） nyx 的函数解析式；=19若，求与Ⅰ()nn的最，求Ⅱ)若要求“需更换的易损零件数不大于”的频率不小于0.5( 小值；个易损零件，或每台都台机器在购机的同时每台都购买19(Ⅲ)假设这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均个易损零件，分别计算这100购买20 20个易损零件？1台机器的同时应购买19个还是数，以此作为决策依据，购买分）20.（本小题满分122pCypxtxoylytyM>0)：在直角坐标系中，直线=2：，=(交抛物线≠0)交(轴于点HNONCPMP.，连结的对称点为于点于点，并延长交关于点OH CHMH.以外，直线与是否有其它公共点？说明理由(Ⅰ)；求 (Ⅱ)除ON12分）21.（本小题满分x2xeafxx.+ -2) -1)已知函数(()=(afx. )若有两个零点，求的取值范围Ⅰ()讨论( ()的单调性；Ⅱ请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分, 做答时请写清题号．22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲1OABAOBOOA为半径作圆为圆心，. 以如图，Δ.是等腰三角形，∠=120°2ABO相切；与⊙)证明：直线 (ⅠCDOABCDABCD. 上，且,四点共圆，证明：(Ⅱ)点,,∥在⊙,23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程x?a cos t?xoyCta>0）曲线为参数，的参数方程为（在直线坐标系.中，?1y?1?a sin t?xC：ρ=4cos在以坐标原点为极点，θ轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线.2CC的方程化为极坐标方程；是哪种曲线，并将Ⅰ)说明 (11C=CC与=2tanα的极坐标方程为θ，若曲线α，其中α)(Ⅱ直线满足210300Ca. 的公共点都在上，求3 24.（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲fx xx-3|.已知函数)=|(+1| -|2yfx)的图像；= ((Ⅰ)在答题卡第24题图中画出 fx)|>1的解集(. (Ⅱ)求不等式|2016年全国高考新课标1卷文科数学试题参考答案一、选择题，B ACD B D A B D C A C二、填空题：2413． 14． 15．4π 16．216000??33．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.只做6题，共70分. 1abbbbba=2 …2==，解得，分=117．解：(Ⅰ)依题， +12221113ann-1 …6-1)=3分通项公式为 =2+3(n11nbnbbbb}是公比为的等比数列.…=9，所以{(Ⅱ)由(Ⅰ)知3分= ，nnnnn+1+133n)?(1313bnS=}的前所以…12分 {项和??F nn11?n22?31?3E A CPDABCPDAB．，∴Ⅰ)证明：⊥平面⊥18．(D G DEPABDEABABPDE．…3．∴又分⊥平面⊥平面，∴⊥BPG PDEABPGPA=PBGAB的中点．…6．依题又分平面，∴，∴⊥是PABEFPAEF PBF，⊥（或(Ⅱ)解：在平面）垂足为内作//FEPAC内的正投影. …7在平面分则是点PCPAPCPB PCPABEF PC ∴⊥⊥平面，⊥⊥．，∴理由如下：∵EFPAEFPACFEPAC内的正投影.…，∴在平面⊥平面9．即分作是点⊥CGDABCDCGCDDG．=2，依题上，且是正Δ的重心，∴连接在中线22DEPCPC=PB=PADEPE=． //=2，，= 6，∴易知223?2PG??33PEFPF=EF=PEFS=2．的面积中， 2，∴Δ则在等腰直角Δ14PDEF的体积. …12分所以四面体?V?S?DE33xyxyxx-5700.=3800+500(>19时，Ⅰ)当≤19时，-19)=500=3800；当19．解：(x?193800,?yx 的函数解析式为…与3分所以*)?Ny?(x?500x?5700,x?19?(Ⅱ)由柱状图知，需更换的易损零件数不大于18为0.46，不大于19为0.7，n的最小值为19. …6分所以(Ⅲ)若每台机器都购买19个易损零件，则有70台的费用为3800，20台的费用为4300，10台的费用为4800，所以100台机器购买易损零件费用的1平均数为(3800×70+4300×20+4800×10)=4000. …9分100若每台机器都购买20个易损零件，则有90台的费用为4000，10台的费用为4500，所以100台机器购买易损零件费用的1平均数为(4000×90+4500×10)=4050. …11分100比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件.…12分22ttp ON t tNM tP.，()，,(,的方程为). ．解：20(Ⅰ)依题所以(0,)xy?p2pt22tytypxxyyy 分…=2=24 联立. 解得=2. ，消去=0整理得，212OHt2OHtNH的中点，所以=2. …6(,2分). 所以是所以pONp222ypxxyMHtyt=0. 整理得，联立+4=2(Ⅱ)直线-4的方程为，消去x?yt?2t yytMHCH.. 解得即直线=只有一个交点=2与21HMHC没有其它公共点. …12所以除分以外，直线与xx axR xx'xxeea f…2( -1)()=( -1)分∈++2(2 21．解：(Ⅰ) -2)=().af'xfx)单调递减；(( )<0， (1)当上，≥0时，在(-∞,1)'xffx)单调递增. …)>0，在(1,+∞)上，3(分('xxxaaf).=1((2)当或<0时，令)=0，解得=ln(-2e'xfxfaa)在(-∞(,+ ∞())≥0恒成立，所以①若上单=，ln(-2，) =1?2调递增.e'xfxaaaf)单调递减；，在(ln(-2(),1)上，)<0，②若(>，ln(-2)<1?2'xffax)单调递增)>0(1,+∞)上，，. (在(-∞, ln(-2())与e'xfaafxa)单调递减；))上，，(③若<，ln(-2()>1，在(1,ln(-2)<0?2'xfafx)单调递增.((…)>0在(-∞,1)与(ln(-2),+∞)上，，7分x exafx只有一个零点，不合要求. …)=(8 -2)(Ⅱ) (1)当分=0时， (afx)在(-∞,1)上单调递减；在(1,+由时，(Ⅰ)知∞()上单调递增(2)当.>0aa b<bebfef a.<ln<0，又且(2)=，若取>0，最小值(1)=-<022a322fxfb)有两个零点(. )>…，所以10从而(0?a(b1)??a(b?b)?(b?2)22分e afxafx)知在(恒成立；若)<0)≥，由(Ⅰ当(3)(-<0时，在∞,1]上，(?2e afxa?))上单调递减；)在上单调递增，(1,+∞)不存在两个零点.若<，(1,ln(-2(2a),+∞)(ln(-2在上单调递增，也不存在两个零点.a的取值范围是(0,1). …12综上分。
2016年高考全国一卷文科数学及答案
2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.（1）设集合{1,3,5,7}A =，{|25}B x x =≤≤，则A B =（A ）{1,3}（B ）{3,5}（C ）{5,7}（D ）{1,7}(2)设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a=（A ）－3（B ）－2（C ）2（D ）3（3）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，学.科.网余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（A ）13（B ）12（C ）23（D ）56（4）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =2c =，2cos 3A =，则b=（ABC ）2（D ）3（5）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为（A ）13（B ）12（C ）23（D ）34（6）若将函数y =2sin (2x +π6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为（A ）y =2sin(2x +π4) （B ）y =2sin(2x +π3) （C ）y =2sin(2x –π4) （D ）y =2sin(2x –π3)（7）如图，学.科网某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π （8）若a>b>0，0<c<1，则（A ）log a c <log b c （B ）log c a <log c b （C ）a c <b c （D ）c a >c b （9）函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为（A ）（B ）（C ）（D ）（10）执行右面的程序框图，如果输入的0,1,x y ==n =1,则输出,x y 的值满足（A ）2y x = （B ）3y x = （C ）4y x = （D ）5y x =（11）平面α过正文体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A 11//CB D α平面,ABCD m α=平面，11ABB A n α=平面，则m ，n 所成角的正弦值为 （A ）32（B ）22（C ）33（D ）13（12）若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是 （A ）[]1,1-（B ）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（C ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（D ）11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分（13）设向量a =(x ，x +1)，b =(1，2)，且a ⊥b ，则x =. （14）已知θ是第四象限角，且sin(θ+π4)=35，则tan(θ–π4)=. （15）设直线y=x +2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ，B 两点，若，则圆C 的面积为。
2016年高考全国1卷文数试题(含参考答案)
绝密★启封并使用完毕前试题类型：2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(至5页. 2. 3.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回一. 选择题：本大题共12小题，每小题5 题目要求的.（1）设集合A B =（A）{1,3}(2)设(12i)(+a=（A ）－3（32种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花（A ）13（4）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =，2c =，2cos 3A =，则b= （A （B （C ）2（D ）3（5）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（A ）（B ）（C ）（D ）（6）若将函数y =2sin(2x +)的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为 （A ）y =2sin(2x +)（B ）y =2sin(2x +)（C ）y =2sin(2x –)（D ）y =2sin(2x –)（7）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是（A ）17π（B ）18π（C ）20π（D ）28π （8）若a>b>0，0<c<1，则（A ）log a c <log b c （B ）log c a <log c b （C ）a c <b c （D ）c a >c b （9）函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为（A ）（B ）（C ）（D ）（10（A ）2y x =（B ）3y x =（C ）4y x =（D ）5y x =（11）平面11CB D 平面,ABCD m α=平面，11α平面（A （B （C （D ）13（12）若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是（A ）[]1,1-（B ）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（C ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（D ）11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分（13）设向量a=(x，x+1)，b=(1，2)，且a⊥b，则x=.（14）已知θ是第四象限角，且sin(θ+π4)=35，则tan(θ–π4)=.（15）设直线y=x+2a与圆C：x2+y2-2ay-2=0相交于A，B两点，若，则圆C的面积为。
2016年高考文科数学真题答案全国卷1
2016 年高考文科数学真题及答案全国卷 1注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至3 页,第Ⅱ卷 3 至5 页.2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效.4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.（1）设集合A 1,3,5,7 , B x 2剟x 5 ,则A B（A）{1,3} （B）{3,5} （C）{5,7} （D）{1,7}【答案】B考点：集合的交集运算【名师点睛】集合是每年高考中的必考题,一般以基础题形式出现,属得分题.解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算,如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数集之间的运算,常借助数轴进行运算.(2) 设1 2i a i 的实部与虚部相等,其中 a 为实数,则a=（A）－3 （B）－2 （C）2 （D）3【答案】A【解析】试题分析：(1 2i)( a i) a 2 (1 2a)i ,由已知,得a 2 1 2a,解得a 3 ,故选 A.考点：复数的概念及复数的乘法运算【名师点睛】复数题也是每年高考必考内容,一般以客观题形式出现,属得分题.高考中复数考查频率较高的内容有：复数相等,复数的几何意义,共轭复数,复数的模及复数的乘除运算,这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是 2i 1中的负号易忽略,所以做复数题要注意运算的准确性.（3）为美化环境,从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中,余下的 2 种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（A）13（B）12（C）23（D）56【答案】A考点：古典概型【名师点睛】作为客观题形式出现的古典概型试题,一般难度不大,解答常见错误是在用列举法计数时出现重复或遗漏,避免此类错误发生的有效方法是按照一定的标准进行列举.（4）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a 5 ,c 2 , cos2A ,则b=3（A） 2 （B） 3 （C）2 （D）3 【答案】D【解析】试题分析：由余弦定理得 522 bb 4 2 2 ,解得b 3（31b 舍去）,故选 D.3考点：余弦定理【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于 b 的一元二次方程,再通过解方程求 b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！（5）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离心率为（A）13（B）1223（C）（D）34【答案】B 【解析】试题分析：如图,由题意得在椭圆中,1 1 OF c,OB b,OD 2b b4 2在R t OFB 中,|OF | | OB| |BF | |OD |,且2 2 2a b c ,代入解得2 2a 4c ,所以椭圆得离心率得 e 12,故选 B.yBDxF O考点：椭圆的几何性质【名师点睛】求椭圆或双曲线离心率是高考常考问题,求解此类问题的一般步骤是先列出等式, 再转化为关于a,c 的齐次方程,方程两边同时除以 a 的最高次幂,转化为关于 e 的方程,解方程求e .π（6）若将函数y=2sin (2x+)的图像向右平移6 14个周期后,所得图像对应的函数为ππππ（A）y=2sin(2 x+4) （B）y=2sin(2 x+3) （C）y=2sin(2 x–4) （D）y=2sin(2x–3)【答案】D考点：三角函数图像的平移【名师点睛】函数图像的平移问题易错点有两个,一是平移方向,注意“左加右减“二,是平移多少个单位是对x 而言的,不用忘记乘以系数.（7）如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28π,则它的表面积是3（A）17π（B）18π（C）20π（D）28π【答案】A【解析】考点：三视图及球的表面积与体积【名师点睛】由于三视图能有效的考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般常与几何体的表面积与体积交汇.由三视图还原出原几何体,是解决此类问题的关键.（8）若a b 0, 0 c 1,则c<b c （D）c a>c b （A）log a c<log b c （B）log c a<log c b （C）a【答案】B【解析】试题分析：由0 c 1可知logy x 是减函数,又a b 0,所以log c a log c b ．故选 B.本c题也可以用特殊值代入验证.考点：指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数单调性进行比较,若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.（9）函数 2 xy x e 在2,2 的图像大致为2（A）（B）（C）（D）【答案】D考点：函数图像与性质【名师点睛】函数中的识图题多次出现在高考试题中,也可以说是高考的热点问题,这类题目一般比较灵活,对解题能力要求较高,故也是高考中的难点,解决这类问题的方法一般是利用间接法,即由函数性质排除不符合条件的选项.（10）执行右面的程序框图,如果输入的x 0,y 1,n=1,则输出x, y 的值满足（A）y 2x （B）y 3x （C）y 4x （D）y 5x开始输入x,y,nn=n +1 x=x+ n-12，y=nyx2+y2≥36？输出x,y结束【答案】C【解析】试题分析：第一次循环：x0, y1,n2 ,第二次循环：1x, y2,n3, 2第三次循环：3 32 2 36x, y6,n3,此时满足条件x y,循环结束,x, y6,满足2 2y 4x ．故选C考点：程序框图与算法案例【名师点睛】程序框图基本是高考每年必考知识点,一般以客观题形式出现,难度不大,求解此类问题一般是把人看作计算机,按照程序逐步列出运行结果.（11）平面过正文体A BCD—A1B1C1D1 的顶点A //平面CB1D1 , 平面ABCD m , 平面ABB1A1 n ,则m,n 所成角的正弦值为（A）32 （B）22（C）33（D）13【答案】A考点：平面的截面问题,面面平行的性质定理,异面直线所成的角.【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形,解形求角、得钝求补.（12）若函数1f (x) x - sin 2x a sin x 在, 单调递增,则a 的取值范围是3（A）1,1 （B）1,13 （C） 1 ,13 3（D）1, 13【答案】C考点：三角变换及导数的应用【名师点睛】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查,有所创新,求解关键是把函数单调性转化为不等式恒成立,再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题,注意与三角函数值域或最值有关的问题,要注意弦函数的有界性.第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第(22) 题~第(24)题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题：本大题共 3 小题,每小题 5 分（13）设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a b,则x= .【答案】2 3【解析】试题分析：由题意, a b2 0,x 2(x 1) 0, x .3考点：向量的数量积及坐标运算【名师点睛】全国卷中向量大多以客观题形式出现,属于基础题.解决此类问题既要准确记忆公式,又要注意运算的准确性.本题所用到的主要公式是：若a x1, y1 ,b x2 ,y2 ,则a b x y x y1 12 2.（14）已知θ是第四象限角,且sin(θ+ π)=435π,则tan(θ–)=.4【答案】4 3【解析】试题分析：由题意sin sin4 4 2 cos34 5,因为2k 2k 2 k Z,所以272k 2k k Z,4 4 4从而sin44 5,因此tan44 3．故填43．考点：三角变换【名师点睛】三角函数求值,若涉及到开方运算,要注意根式前正负号的取舍,同时要注意角的灵活变换.2+y2-2ay-2=0 相交于A,B 两点,若,则圆C的面积为（15）设直线y=x+2a 与圆C：x【答案】 4考点：直线与圆【名师点睛】注意在求圆心坐标、半径、弦长时常用圆的几何性质,如圆的半径r、弦长l、圆2l2 2r d 2心到弦的距离 d 之间的关系：在求圆的方程时常常用到.（16）某高科技企业生产产品A需要甲材B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A和产品料1.5kg,乙材料1kg,用5 个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3 个工时, 2100 元,生产一件产品B的利润为900 元.该企业现有甲材料150kg,生产一件产品A的利润为元.B的利润之和的最大值为,生产产品A、产品过600 个工时的条件下乙材料90kg,则在不超【答案】216000【解析】A、产品B分别为x 、y 件,利润之和为z元,那么试题分析：设生产产品1.5x 0.5 y, 150,x 0.3y, 90,5x 3y, 600,①x 0,⋯y 0.⋯目标函数z 2100 x900 y .10x 3y 900.解方程组取得最大值,得M 的坐标(60,100) .5x 3y 600所以当x 60, y 100时,z max 2100 60 900 100 216000 .A、产品B的利润之和的最大值为216000元.故生产产品考点：线性规划的应用束【名师点睛】线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题形式出现,基本题型是给出约线的距离, 条件求目标函数的最值,常见的结合方式有：纵截距、斜率、两点间的距离、点到直.大,失分的一个主要原因是运算失误解决此类问题常利用数形结合.本题运算量较明,证明过程或演算步骤.三.解答题：解答应写出文字说（17）.（本题满分12 分）已知a是公差为3的等差数列,数列b n 满足n1b =1，b = ，a b b nb ,.1 2 n n 1 n 1 n3（I）求a的通项公式；n（II）求b的前n 项和.n【答案】（I） 3 1a n （II）n 3 1n2 2 31.bn（II）由（I）和a n b n 1 b n 1 nb n ,得b 1 ,因此b n 是首项为1,公比为n3 13的等比数列.记b 的前n 项和为S n ,则n1n1 ( )3 13 .Sn n 11 2 2 313考点：等差数列与等比数列【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程, 利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.（18）.（本题满分12 分）如图,在已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6,顶点P 在平面ABC内的正投影为点E,连接PE并延长交AB 于点G.（I）证明G 是AB 的中点；（II）在答题卡第（18）题图中作出点 E 在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由）,并求四面体PDEF的体积．PEAG D CB【答案】（I）见解析（II）作图见解析,体积为4 3试题解析：（I）因为P 在平面ABC内的正投影为 D ,所以AB PD.因为D 在平面PAB内的正投影为 E ,所以AB DE.所以AB 平面PED ,故A B PG.又由已知可得, PA PB,从而G 是A B 的中点.（II）在平面PAB内,过点E作P B的平行线交PA于点F, F即为E在平面PAC内的正投影.理由如下：由已知可得PB PA, PB PC ,又E F/ /PB,所以EF PC,因此EF平面PAC,即点F为E在平面PAC内的正投影.连接CG,因为P 在平面ABC内的正投影为 D ,所以D 是正三角形ABC的中心.由（I）知,G 是AB 的中点,所以D 在CG 上,故 2 .CD CG3由题设可得PC 平面PAB, DE 平面PAB,所以DE / /PC ,因此2 1PE PG, DE PC.3 3由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且PA 6,可得DE 2, PE 2 2. 在等腰直角三角形EFP 中,可得EF PF 2.所以四面体PDEF 的体积V 1 1 42 2 2 .3 2 3考点：线面位置关系及几何体体积的计算【名师点睛】文科立体几何解答题主要考查线面位置关系的证明及几何体体积的计算,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大, 以中档题为主.（19）（本小题满分12 分）某公司计划购买 1 台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200 元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：频数24201610616 17 18 19 20 21更换的易损零件数记x 表示1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y 表示1 台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）, n 表示购机的同时购买的易损零件数.（I）若n =19,求y 与x 的函数解析式；（II）若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0.5,求n 的最小值；（III）假设这100 台机器在购机的同时每台都购买19 个易损零件,或每台都购买20 个易损零件,分别计算这100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1 台机器的同时应购买19 个还是20 个易损零件？3800, x 19,【答案】（I）y (x N) （II）19（III）19500x 5700, x 19,（Ⅱ）由柱状图知,需更换的零件数不大于18 的概率为0.46,不大于19 的概率为0.7,故n 的最小值为19.（Ⅲ）若每台机器在购机同时都购买19 个易损零件,则这100 台机器中有70 台在购买易损零件上的费用为3800,20 台的费用为4300,10 台的费用为4800,因此这100 台机器在购买易损零1件上所需费用的平均数为(4000 90 4500 10) 4050.100比较两个平均数可知,购买 1 台机器的同时应购买19 个易损零件.考点：函数解析式、概率与统计【名师点睛】本题把统计与函数结合在一起进行考查,有综合性但难度不大,求解关键是读懂题意,所以提醒考生要重视数学中的阅读理解问题.（20）（本小题满分12 分）在直角坐标系xOy 中,直线l:y=t(t≠0交) y 轴于点M,交抛物线C：2 2 ( 0)y px p 于点P,M 关于点P 的对称点为N,连结ON 并延长交 C 于点H.（I）求O HON；（II）除H 以外,直线MH 与C是否有其它公共点？说明理由. 【答案】（I）2（II）没有【解答】2pt2试题分析：先确定N(, ) , ON 的方程为xt y ,代入y 2pxp t2 t2 x整理得px 2 0 ,解得x 0 , 1 x222tp22t |OH |,得H ( ,2t) ,由此可得N 为OH 的中点,即 2p |ON |.（II）p2 2 ty t2把直线MH 的方程y t x y ,解得y1 y2 2t ,即,与y 2 px联立得 4 4 02t直线MH 与C 只有一个公共点,所以除H 以外直线MH 与C 没有其它公共点.（Ⅱ）直线MH 与C 除H以外没有其它公共点.理由如下：p 2t2MH y t x,即x ( y t) .代入y 2px2t p 2 ty t 2得y 4 4 0,解得y1 y2 2t,即直线MH 与C 只有一个公共点,所以除H 以外直线MH 与C 没有其它公共点.考点：直线与抛物线【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成；解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题.其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.（21）（本小题满分12 分）已知函数 2xf x x 2 e a x 1 ．(I)讨论 f x 的单调性；(II)若 f x 有两个零点,求a 的取值范围.【答案】见解析(II) 0, 【解析】x试题分析：(I)先求得 f ' x x 1 e 2a .再根据1,0,2a 的大小进行分类确定 f x 的单调性；(II)借助第一问的结论,通过分类讨论函数单调性,确定零点个数,从而可得 a 的取值范围为0, .x x试题解析：(I) f ' x x 1 e 2a x 1 x 1 e 2a .(i)设a 0,则当x ,1 时, f ' x 0；当x 1, 时, f ' x 0 .所以在,1 单调递减,在1, 单调递增.(ii)设a0,由f ' x 0得x=1 或x=ln(-2a).①若exa ,则f ' x x 1 e e ,所以f x 在, 单调递增.2②若ea ,则ln(-2a)<1,故当x ,ln 2a 1,时, f ' x 0；2当x ln 2a ,1 时, f ' x 0 ,所以 f x 在,ln 2a , 1, 单调递增,在ln 2a ,1 单调递减.③若ea ,则ln 2a 1,故当x ,1 ln 2a , 时, f ' x 0 ,当2x 1,ln 2a 时, f ' x 0,所以f x 在,1 , ln 2a , 单调递增,在1,ln 2a 单调递减.考点：函数单调性,导数应用【名师点睛】本题第一问是用导数研究函数单调性,对含有参数的函数单调性的确定,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；第二问是求参数取值范围, 由于这类问题常涉及到导数、函数、不等式等知识,越来越受到高考命题者的青睐,解决此类问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号（22）（本小题满分10 分）选修4-1：几何证明选讲如图,△OAB 是等腰三角形,∠AOB=120°.以O 为圆心, 12OA为半径作圆.(I)证明：直线AB 与O 相切；(II)点C,D 在⊙O 上,且A,B,C,D 四点共圆,证明：AB∥CD.D COAB 【答案】(I)见解析(II)见解析在R t AOE 中,1OE AO,即O 到直线AB的距离等于圆O的半径,所以直线AB与⊙O相2切．D COO'AEB（Ⅱ）因为OA 2OD ,所以O不是A, B,C ,D四点所在圆的圆心,设O' 是A,B,C,D 四点所在圆的圆心,作直线OO'．由已知得O 在线段AB的垂直平分线上,又O'在线段AB的垂直平分线上,所以OO' AB．同理可证, OO' CD ．所以AB // CD ．考点：四点共圆、直线与圆的位置关系及证明【名师点睛】近几年几何证明题多以圆为载体命制,在证明时要抓好“长度关系”与“角度关系的转化”熟,悉相关定理与性质.该部分内容命题点有：平行线分线段成比例定理；三角形的相似与性质；四点共圆；圆内接四边形的性质与判定；切割线定理.（23）（本小题满分10 分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系x y 中,曲线C1 的参数方程为x a costy 1 asin t（t 为参数,a＞0）．在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2：ρ=4 cos .（I）说明C1是哪一种曲线,并将C1 的方程化为极坐标方程；（II）直线C3 的极坐标方程为0 ,其中0 满足tan 0 =2,若曲线C1 与C2 的公共点都在C3 上,求a．【答案】（I）圆, 2 22 sin 1 a 0（II）1试题解析：⑴x a costy 1 a sin t（t 均为参数）,∴ 22 1 2x y a ①∴ C 为以0 ，1 为圆心, a 为半径的圆．方程为12 2 2x y 2y 1 a 0∵ 2 2 2 sin x y ，y ,∴2 2 sin 1 a2 0 即为C 的极坐标方程1⑵C2 ：4cos ,两边同乘得2 4 cos 2 x2 y2 ，cos x2 2x y 4x ,即2 2x 2 y 4 ②C ：化为普通方程为y 2x ,由题意：C1 和C2 的公共方程所在直线即为C33①—②得： 24x 2 y 1 a 0 ,即为C3∴ 21 a 0 ,∴a 1考点：参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用【名师点睛】“互化思想”是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想,解题时应熟记极坐标方程与参数方程的互化公式及应用.（24）（本小题满分10 分）,选修4—5：不等式选讲已知函数f x x 1 2x 3 .（I）在答题卡第（24）题图中画出y f x 的图像；（II）求不等式 f x 1的解集．【答案】（I）见解析（II）1，，，1 3 5 3试题解析：⑴如图所示：考点：分段函数的图像,绝对值不等式的解法【名师点睛】不等式证明选讲多以绝对值不等式为载体命制试题,主要涉及图像、解不等式、由不等式恒成立求参数范围等.解决此类问题通常转换为分段函数求解,注意不等式的解集一定要写出集合形式.。
2016年高考全国1新课标Ⅰ卷文科数学真题-【全解析精美题图】
2016年全国高考卷（Ⅰ）文数试题及解析一、选择题（1）设集合{=A 1，3，5，7}，2|{x B =≤x ≤5}，则=B A （ ） （A ）{1，3} （B ）{3，5} （C ）{5，7} （D ）{1，7} 【解析】借助数轴，据交集定义得{=B A 3，5}. 故选（B ）.（2）设))(21(i a i ++的实部和虚部相等，其中a 为实数，则=a （ ） （A ）3- （B ）2- （C ）2 （D ）3 【解析】i a a i a i )12()2())(21(++-=++，∵实部和虚部相等，∴122+=-a a ，解得 3-=a . 故选（D ）.（3）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的 两种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 （ ） （A ）31 （B ）21 （C ）32 （D ）65【解析】从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花共有6种选法：红黄，红白，红紫，黄白，黄紫，白紫. 其中红色和紫色的花种在同一花坛的情况有2种，故红色和紫 色的花不在同一花坛的概率是32621=-=P . 故选（C ）. （4）ABC ∆的内角C B A ，，的对边分别为c b a ，，，已知25==c a ，，32cos =A ， 则=b （ ） （A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）3【解析】由余弦定理A bc c b a cos 2222-+=，得32222)5(222⨯⨯⨯-+=b b ，化简得 03832=--b b ，0)3)(13(=-+b b ，∵0>b ，∴3=b . 故选（D ）. （5）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆的中心到l 的距离为其短轴长的41， 则该椭圆离心率为（ ） （A ）31 （B ）21 （C ）32 （D ）43 【解析】不妨设椭圆的焦点在x 轴上，其方程为)0(12222>>=+b a by a x ，l 的方程为：1=+b y c x 即0=-+bc cy bx ，依题意，412||22⨯=+b cb bc ，∴21=a c . 故选（B ）.2（6）将函数)62sin(2π+=x y 的图象向右平移41个周期后，所得图象对应的函数为（ ） （A ）)42sin(2π+=x y （B ）)32sin(2π+=x y（C ）)42sin(2π-=x y （D ）)32sin(2π-=x y 【解析】易知函数)62sin(2π+=x y 的周期为π，将其图象向右平移41个周期后，所得函数解析式为)32s i n (2]6)4(2s i n [2πππ-=+-=x x y . 故选（D ）. （7）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径. 若该几何体的体积是328π，则它的表面积是 （ ） （A ）π17 （B ）π18 （C ）π20 （D ） π28【解析】根据三视图，该空间几何体是一个球切除掉它的81后剩余部分，依题意，得32834873ππ=⨯R （R 为球的半径），∴2=R . 该几何体的表面积为：球表面积的87加上一个球大圆面积的43，即ππππ1741743487222==⨯+⨯R R R . 故选（A ）. （8）若0>>b a ，10<<c ，则 （ ） （A ）c c b a log log < （B ）b a c c log log < （C ）c c b a < （D ）ba c c > 【解析】对于（A ），根据对数函数的图象在第一象限内的分布情况（底大头高），知 c cb a l o g l o g >，故（A ）错误. 对于（B ），当10<<c 时，函数x y c log =是减 函数，∵0>>b a ，b a c c l o g l o g >. 故（B ）是正确的. 对于（C ），考察幂函数 αx y =，当10<<α时，为增函数，∴c c b a >. 故（C ）错误.对于（D ），∵10<<c ，∴xc y =是递减函数，ba c c <，故（D ）错误.（9）函数||22x e x y -=在2[-，]2的图象大致为 （ ）∙2 ∙-2Oxy⋅1)(A)(B∙2 ∙-2Oxy⋅1)(C ∙2 ∙-2Oxy⋅1)(D∙2 ∙-2Oxy⋅1肖斌学院：3【解析】易知为偶函数，当0>x 时，x e x y -=22，x e x y -='4，结合x y 4=及2e y =的图象，知当)0(0x x ，∈时，0<'y ；当]20(，∈x ，0>'y ，且当2=x 时，0>y ，且100<<x ，0x 为函数x e x y -=22的极小值点. 结合选项可知（D ）符合.（10）执行右边的程序框图，如果输入的110===n y x ，，， 则输出y x ，的值满足 （ ） （A ）x y 2= （B ）x y 3= （C ）x y 4= （D ）x y 5=【解析】开始110===n y x ，，，第一次循环：210===n y x ，，；第二次循环：3221===n y x ，，； 第三次循环：4623===n y x ，，，此时满足3622≥+y x ，循环结束， 623==y x ，，满足x y 4=. 故选（C ）. （11）平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，//α平面11D CB ， α平面ABCD m =， α平面n A A B B =11，则n m ，所成角的正弦值为 （ ）（A ）23 （B ）22 （C ）33 （D ）31【解析】过顶点A 分别作直线111//D C m ，111//B D n ，由11n m ，确定的平面即为α，又 α平面ABCD m =，根据线面平行的性质定理知，111////D C m m ，同理111////B D n n ，因此，11D C 与11B D 即为n m ，所成的角，在等边三角形11B CD 中，︒=∠6011B CD ，所以n m ，所成角的正弦值 为23. 故选（A ）. 是否开始n y x ，，输入 ny y n x x =-+=，213622≥+y x y x ，输出结束1+=n n1nA1AB1BC1CD 1D1m4（12）若函数x a x x x f sin 2sin 31)(+-=在)(∞+-∞，上单调递增，则a 的取值范围（ ） （A ）1[-，]1 （B ）1[-，]31 （C ）31[-，]31 （D ）1[-，]31- 【解析】函数x a x x x f sin 2sin 31)(+-=在)(∞+-∞，上单调递增，即)(x f '≥0对R x ∈恒 成立， 即5cos 3cos 42--x a x ≤0对R x ∈恒成立. 令t x =cos ，则1-≤t ≤1，亦即5342--at t ≤0对1-≤t ≤1恒成立，只需⎩⎨⎧≤-⨯-⨯≤-⨯--⨯051314053)1(422a t a ，解得 3131≤≤-a . 故选（C ）. 二、填空题（13）设向量)1(+=x x a ，，1(=b ，)2，且b a ⊥，则=x .【解析】32-. ∵b a ⊥，∴02)1(=⨯++x x ，解得32-=x . （14）已知θ是第四象限角，且53)4sin(=+πθ，则=-)4tan(πθ .【解析】34-.∵53)4sin(=+πθ，∴53)cos (sin 22=+θθ，∴523cos sin =+θθ，又1c o s s i n 22=+θθ，且θ是第四象限角，解得1027cos 102sin =-=θθ，， ∴71t a n -=θ，34711171t a n 11t a n )4t a n(-=---=+-=-θθπθ. （15）设直线a x y 2+=与圆02222=--+ay y x C ：相交于B A ，两点，若32||=AB ， 则圆C 的面积为 .【解析】圆02222=--+ay y x C ：，即2)(222+=-+a a y x ，圆心C 到直线a x y 2+=的 距离为2||2|2a a -0|a =+，由2)3()2||(222+=+a a ，解得22=a ，∴圆C 的面 积为ππ4)2(2=+a .（16）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料。
2016年高考文科数学全国卷1(含详细答案)
数学试卷 第1页（共39页） 数学试卷 第2页（共39页）数学试卷 第3页（共39页）绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)文科数学使用地区：山西、河南、河北、湖南、湖北、江西、安徽、福建、广东本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页，满分150分. 考生注意：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效.3. 考试结束，监考员将本试题卷、答题卡一并收回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{1,3,5,7}A =，{|25}B x x =≤≤，则A B = （ ）A. {1,3}B. {3,5}C. {5,7}D. {1,7}2. 设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则=a（ ）A. 3-B. 2-C. 2D. 33. 为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 （ ）A.13 B.12 C. 23D. 564. ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a =，2c =，2cos 3A =，则b =（ ）A.B.C. 2D. 35. 直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为（ ）A.13 B.12 C. 23D. 346. 将函数2sin(2)6y x π=+的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为（ ）A. 2sin(2)4y x π=+ B. 2sin(2)3y x π=+ C. 2sin(2)4y x π=-D. 2sin(2)3y x π=-7. 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π，则它的表面积是 （ ）A. 17πB. 18πC. 20πD. 28π 8. 若0a b >>，01c <<，则（ ）A. log log a b c c <B. log log c c a b <C. cca b <D. ab c c>9. 函数2|x|2y x e =-在[2,2]-的图象大致为（ ）ABC D10. 执行如图的程序框图，如果输入的0x =，1y =，1n =，则输出x ，y 的值满足 （ ）A. 2y x =B. 3y x =C. 4y x =D. 5y x =11. 平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，//α平面11CB D ，α平面=ABCD m ，α平面11=ABB A n ，则m ，n 所成角的正弦值为（ ）A.B.C.D.1312. 若函数1()sin 2sin 3f x x x a x =-+在(,)-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是（ ）A. []1,1-B. 11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. 11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第4页（共39页） 数学试卷 第5页（共39页） 数学试卷 第6页（共39页）第II 卷注意事项：第Ⅱ卷共3页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效.本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13. 设向量a 1(),x x =+，b (1,2)=，且a ⊥b ，则x = .14. 已知θ是第四象限角，且3sin()45πθ+=，则tan()4πθ-= . 15. 设直线2y x a =+与圆22:220C x y ay +--=相交于,A B 两点，若||AB =则圆C的面积为 .16. 某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b 满足11b =，213b =，11n n n n a b b nb +++=. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求{}n b 的前n 项和. 18.（本小题满分12分）如图，已知正三棱锥P ABC -的侧面是直角三角形，6PA =．顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面PAB 内的正投影为点E ，连接PE 并延长交AB 于点G . （Ⅰ）证明：G 是AB 的中点；（Ⅱ）在图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F （说明作法及理由），并求四面体PDEF 的体积．19.（本小题满分12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n 表示购机的同时购买的易损零件数. （Ⅰ）若19n =，求y 与x 的函数解析式；（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0.5，求n 的最小值； （Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？20.（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，直线:(0)l y t t =≠交y 轴于点M ，交抛物线2:2C y px =(0)p >于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H .（Ⅰ）求||||OH ON ；（Ⅱ）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.请考生在第22～24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.（本小题满分10分）选修41-：几何证明选讲如图，OAB △是等腰三角形，120AOB ∠=.以O 为圆心，12OA 为半径作圆. （Ⅰ）证明：直线AB 与⊙O 相切；（Ⅱ）点,C D 在⊙O 上，且,,,A B C D 四点共圆，证明：AB CD ∥.23.（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程在直线坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,1sin ,x a t y a t =⎧⎨=+⎩（t 为参数，0a >）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:4cos C ρθ=. （Ⅰ）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线3C 的极坐标方程为0θα=，其中0α满足0tan 2α=，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a .24.（本小题满分10分），选修45-：不等式选讲已知函数()|1||23|f x x x =+--. （Ⅰ）画出()y f x =的图象； （Ⅱ）求不等式|()|1f x >的解集.{3,5}A B=a-=，由已知，得213/ 13数学试卷 第10页（共39页）数学试卷 第11页（共39页） 数学试卷 第12页（共39页）平面ABB1D平面1n所成角等于所成角的正弦值为5/ 13数学试卷 第16页（共39页）数学试卷 第17页（共39页） 数学试卷 第18页（共39页）【解析】由题意，0a b x =+，3【提示】根据向量垂直的充要条件便可得出0a b =，进行向量数量积的坐标运算即可得出关于的值.【考点】向量的数量积，坐标运算7/ 13作出二元一次不等式组①表示的平面区域，即可行域，如图中阴影部分所示.7z77z数学试卷第22页（共39页）数学试卷第23页（共39页）数学试卷第24页（共39页）18.【答案】（Ⅰ）因为P在平面ABC内的正投影为D，所以AB PD⊥.9/ 13数学试卷第29页（共39页）数学试卷第30页（共39页）11 / 13))(1,)+∞时，(,ln(2)),1,+a -,1)(ln(2),)a -+∞时，单调递增，在1,ln((2))a -单调递减)在(,1)-∞ln 2a ，则f数学试卷 第34页（共39页）数学试卷 第35页（共39页） 数学试卷 第36页（共39页）同理可证，'OO CD ⊥，所以//AB CD .13/ 13。
2016年高考真题文科数学(全国Ⅰ卷)含答案
2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.（1）设集合，，则（A ）{1,3} （B ）{3,5} （C ）{5,7} （D ）{1,7}(2)设的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a =（ ）（A ）－3 （B ）－2 （C ）2 （D ）3 （3）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（ ） （A ）31 （B ）21 （C ） 32 （D ）65 （4）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知，，32cos =A ，则b=（ ）（A ）（B ）（C ）2 （D ）3（5）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到的l 距离为其短轴长的41，则该椭圆的离心率为（ ）（A ）31 （B ）21 （C ）32 （D ）43（6）若将函数y =2sin (2x +6π)的图像向右平移41个周期后，所得图像对应的函数为（ ）（A ）y =2sin(2x +4π) （B ）y =2sin(2x +3π) （C ）y =2sin(2x –4π) （D ）y =2sin(2x –3π) )（7）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是328π，则它的表面积是（ ） （A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π（8）若a>b>0，0<c<1，则（ ）（A ）log a c <log b c （B ）log c a <log c b （C ）a c <b c （D ）c a >c b （9）函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ） （10）执行右面的程序框图，如果输入的1,0==y x n =1,则输出y x ,的值满足（ ）（A ）（B ）（C ）（D ）（11）平面过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A ，,，，则m ，n 所成角的正弦值为（A ）（B ） （C ） （D ）（12）若函数在单调递增，则a 的取值范围是 （A ）（B ） （C ） （D ）第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 （13）设向量a =(x ，x +1)，b =(1，2)，且a b ，则x =（14）已知θ是第四象限角，且sin(θ+4π)=53，则tan(θ–4π)=.（15）设直线y=x +2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ，B两点，若32AB =，则圆C 的面积为 （16）某企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料。
2016年高考文科数学全国卷1(含详细答案)
数学试卷 第1页（共39页） 数学试卷 第2页（共39页）数学试卷 第3页（共39页）绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)文科数学使用地区：山西、河南、河北、湖南、湖北、江西、安徽、福建、广东本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页，满分150分. 考生注意：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效.3. 考试结束，监考员将本试题卷、答题卡一并收回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{1,3,5,7}A =，{|25}B x x =≤≤，则A B = （ ）A. {1,3}B. {3,5}C. {5,7}D. {1,7}2. 设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则=a（ ）A. 3-B. 2-C. 2D. 33. 为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 （ ）A.13 B.12 C. 23D. 564. ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a =，2c =，2cos 3A =，则b =（ ）A.B.C. 2D. 35. 直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为（ ）A.13 B.12 C. 23D. 346. 将函数2sin(2)6y x π=+的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为（ ）A. 2sin(2)4y x π=+ B. 2sin(2)3y x π=+ C. 2sin(2)4y x π=-D. 2sin(2)3y x π=-7. 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π，则它的表面积是 （ ）A. 17πB. 18πC. 20πD. 28π 8. 若0a b >>，01c <<，则（ ）A. log log a b c c <B. log log c c a b <C. cca b <D. ab c c>9. 函数2|x|2y x e =-在[2,2]-的图象大致为（ ）ABC D10. 执行如图的程序框图，如果输入的0x =，1y =，1n =，则输出x ，y 的值满足 （ ）A. 2y x =B. 3y x =C. 4y x =D. 5y x =11. 平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，//α平面11CB D ，α平面=ABCD m ，α平面11=ABB A n ，则m ，n 所成角的正弦值为（ ）A.B.C.D.1312. 若函数1()sin 2sin 3f x x x a x =-+在(,)-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是（ ）A. []1,1-B. 11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. 11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第4页（共39页） 数学试卷 第5页（共39页） 数学试卷 第6页（共39页）第II 卷注意事项：第Ⅱ卷共3页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效.本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13. 设向量a 1(),x x =+，b (1,2)=，且a ⊥b ，则x = .14. 已知θ是第四象限角，且3sin()45πθ+=，则tan()4πθ-= . 15. 设直线2y x a =+与圆22:220C x y ay +--=相交于,A B 两点，若||AB =则圆C的面积为 .16. 某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b 满足11b =，213b =，11n n n n a b b nb +++=. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求{}n b 的前n 项和. 18.（本小题满分12分）如图，已知正三棱锥P ABC -的侧面是直角三角形，6PA =．顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面PAB 内的正投影为点E ，连接PE 并延长交AB 于点G . （Ⅰ）证明：G 是AB 的中点；（Ⅱ）在图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F （说明作法及理由），并求四面体PDEF 的体积．19.（本小题满分12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n 表示购机的同时购买的易损零件数. （Ⅰ）若19n =，求y 与x 的函数解析式；（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0.5，求n 的最小值； （Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？20.（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，直线:(0)l y t t =≠交y 轴于点M ，交抛物线2:2C y px =(0)p >于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H .（Ⅰ）求||||OH ON ；（Ⅱ）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.请考生在第22～24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.（本小题满分10分）选修41-：几何证明选讲如图，OAB △是等腰三角形，120AOB ∠=.以O 为圆心，12OA 为半径作圆. （Ⅰ）证明：直线AB 与⊙O 相切；（Ⅱ）点,C D 在⊙O 上，且,,,A B C D 四点共圆，证明：AB CD ∥.23.（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程在直线坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,1sin ,x a t y a t =⎧⎨=+⎩（t 为参数，0a >）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:4cos C ρθ=. （Ⅰ）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线3C 的极坐标方程为0θα=，其中0α满足0tan 2α=，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a .24.（本小题满分10分），选修45-：不等式选讲已知函数()|1||23|f x x x =+--. （Ⅰ）画出()y f x =的图象； （Ⅱ）求不等式|()|1f x >的解集.{3,5}A B=a-=，由已知，得213/ 13数学试卷 第10页（共39页）数学试卷 第11页（共39页） 数学试卷 第12页（共39页）平面ABB1D平面1n所成角等于所成角的正弦值为5/ 13数学试卷 第16页（共39页）数学试卷 第17页（共39页） 数学试卷 第18页（共39页）【解析】由题意，0a b x =+，3【提示】根据向量垂直的充要条件便可得出0a b =，进行向量数量积的坐标运算即可得出关于的值.【考点】向量的数量积，坐标运算7/ 13作出二元一次不等式组①表示的平面区域，即可行域，如图中阴影部分所示.7z77z数学试卷第22页（共39页）数学试卷第23页（共39页）数学试卷第24页（共39页）18.【答案】（Ⅰ）因为P在平面ABC内的正投影为D，所以AB PD⊥.9/ 13数学试卷第29页（共39页）数学试卷第30页（共39页）11 / 13))(1,)+∞时，(,ln(2)),1,+a -,1)(ln(2),)a -+∞时，单调递增，在1,ln((2))a -单调递减)在(,1)-∞ln 2a ，则f数学试卷 第34页（共39页）数学试卷 第35页（共39页） 数学试卷 第36页（共39页）同理可证，'OO CD ⊥，所以//AB CD .13/ 13。
2016年高考文科数学全国Ⅰ卷试题及答案
绝密★启封并使用完毕前试题类型：2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.（1）设集合{1,3,5,7}A =，{|25}B x x =≤≤，则A B =（A ）{1,3}（B ）{3,5}（C ）{5,7}（D ）{1,7}(2)设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a=（A ）－3（B ）－2（C ）2（D ）3（3）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，学.科.网余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（A ）13（B ）12（C ）23（D ）56（4）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =，2c =，2cos 3A =，则b= （A ）2（B ）3（C ）2（D ）3（5）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为（A ）13（B ）12（C ）23（D ）34（6）若将函数y =2sin (2x +π6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为（A ）y =2sin(2x +π4) （B ）y =2sin(2x +π3) （C ）y =2sin(2x –π4) （D ）y =2sin(2x –π3)（7）如图，学.科网某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π （8）若a>b>0，0<c<1，则（A ）log a c <log b c （B ）log c a <log c b （C ）a c <b c （D ）c a >c b （9）函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为（A ）（B ）（C ）（D ）（10）执行右面的程序框图，如果输入的0,1,x y ==n =1,则输出,x y 的值满足（A ）2y x =（B ）3y x = （C ）4y x = （D ）5y x =（11）平面α过正文体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A 11//CB D α平面,ABCD m α= 平面，11ABB A n α= 平面，则m ，n 所成角的正弦值为（A ）32（B ）22（C ）33（D ）13（12）若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是 （A ）[]1,1-（B ）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（C ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（D ）11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分（13）设向量a =(x ，x +1)，b =(1，2)，且a ⊥b ，则x =. （14）已知θ是第四象限角，且sin(θ+π4)=35，则tan(θ–π4)=. （15）设直线y=x +2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ，B 两点，若，则圆C 的面积为。
2016年高考 全国一卷 文科数学 (原题+解析)
2016年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ)文数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={1,3,5,7},B={x|2≤x≤5},则A∩B=()A.{1,3}B.{3,5}C.{5,7}D.{1,7}2.设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中a为实数,则a=()A.-3B.-2C.2D.33.为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是()A.13B.12C.23D.564.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=5,c=2,cos A=23,则b=()A.2B.3C.2D.35.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离心率为()A.13B.12C.23D.346.将函数y=2sin2x+π6的图象向右平移14个周期后,所得图象对应的函数为()A.y=2sin2x+π4B.y=2sin2x+π3C.y=2sin2x-π4D.y=2sin2x-π37.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3,则它的表面积是()A.17πB.18πC.20πD.28π8.若a>b>0,0<c<1,则()A.log a c<log b cB.log c a<log c bC.a c<b cD.c a>c b9.函数y=2x2-e|x|在[-2,2]的图象大致为()10.执行下面的程序框图,如果输入的x=0,y=1,n=1,则输出x,y的值满足()A.y=2xB.y=3xC.y=4xD.y=5x11.平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为()A.32B.22C.33D.1312.若函数f(x)=x-13sin2x+asin x在(-∞,+∞)单调递增,则a的取值范围是()A.[-1,1]B.-1,13C.-13,13D.-1,-13第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22~24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本题共4小题,每小题5分.13.设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a⊥b,则x=.14.已知θ是第四象限角,且sin θ+π4=35,则tan θ-π4=.15.设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=23,则圆C的面积为.16.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知{a n}是公差为3的等差数列,数列{b n}满足b1=1,b2=13,a n b n+1+b n+1=nb n.(Ⅰ)求{a n}的通项公式;(Ⅱ)求{b n}的前n项和.18.(本小题满分12分)如图,已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6.顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D在平面PAB内的正投影为点E,连结PE并延长交AB于点G.(Ⅰ)证明:G是AB的中点;(Ⅱ)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.19.(本小题满分12分)某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元),n表示购机的同时购买的易损零件数.(Ⅰ)若n=19,求y与x的函数解析式;(Ⅱ)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值;(Ⅲ)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件?20.(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p>0)于点P,M关于点P的对称点为N,连结ON并延长交C于点H.(Ⅰ)求|OH|;(Ⅱ)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=(x-2)e x+a(x-1)2.(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.请考生在第22~24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,△OAB是等腰三角形,∠AOB=120°.以O为圆心,1OA为半径作圆.2(Ⅰ)证明:直线AB与☉O相切;(Ⅱ)点C,D在☉O上,且A,B,C,D四点共圆,证明:AB∥CD.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=a cos t,y=1+a sin t(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cosθ.(Ⅰ)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;(Ⅱ)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tanα0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.(Ⅰ)画出y=f(x)的图象;(Ⅱ)求不等式|f(x)|>1的解集.2016年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ)一、选择题1.B∵A={1,3,5,7},B={x|2≤x≤5},∴A∩B={3,5},故选B.2.A∵(1+2i)(a+i)=(a-2)+(2a+1)i,∴a-2=2a+1,解得a=-3,故选A.3.C从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种有以下选法:(红黄)、(红白)、(红紫)、(黄白)、(黄紫)、(白紫),共6种,其中红色和紫色的花不在同一花坛(亦即黄色和白色的花不在同一花坛)的选法有4种,所以所求事件的概率P=46=23,故选C.4.D由余弦定理得5=22+b2-2×2bcos A,∵cos A=23,∴3b2-8b-3=0,∴b=3 b=-13舍去.故选D.5.B如图,|OB|为椭圆中心到l的距离,则|OA|·|OF|=|AF|·|OB|,即bc=a·b2,所以e=ca=12.故选B.6.D该函数的周期为π,将其图象向右平移π4个单位后,得到的图象对应的函数为y=2sin2 x-π4+π6=2sin2x-π3,故选D.7.A由三视图知该几何体为球去掉了18所剩的几何体(如图),设球的半径为R,则78×43πR3=28π3,故R=2,从而它的表面积S=78×4πR2+34×πR2=17π.故选A.8.B∵0<c<1,∴当a>b>1时,log a c>log b c,A项错误;∵0<c<1,∴y=log c x在(0,+∞)上单调递减,又a>b>0,∴log c a<log c b,B项正确;∵0<c<1,∴函数y=x c在(0,+∞)上单调递增,又∵a>b>0,∴a c>b c,C项错误;∵0<c<1,∴y=c x在(0,+∞)上单调递减,又∵a>b>0,∴c a<c b,D项错误.故选B.9.D当x=2时,y=8-e2∈(0,1),排除A,B;易知函数y=2x2-e|x|为偶函数,当x∈[0,2]时,y=2x2-e x,求导得y'=4x-e x,当x=0时,y'<0,当x=2时,y'>0,所以存在x0∈(0,2),使得y'=0,故选D.10.C执行程序框图:当n=1时,x=0,y=1,此时02+12≥36不成立;当n=2时,x=12,y=2,此时1 22+22≥36不成立;当n=3时,x=32,y=6,此时322+62≥36成立,结束循环,输出x的值为32,y的值为6,满足y=4x,故选C.11.A设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a.将正方体ABCD-A1B1C1D1补成棱长为2a的正方体,如图所示.正六边形EFGPQR所在的平面即为平面α.点A为这个大正方体的中心,直线GR为m,直线EP为n.显然m与n所成的角为60°.所以m,n所成角的正弦值为32.故选A.12.C f'(x)=1-23cos2x+acos x=1-23(2cos2x-1)+acos x=-43cos2x+acos x+53,f(x)在R上单调递增,则f'(x)≥0在R上恒成立,令cos x=t,t∈[-1,1],则-43t2+at+53≥0在[-1,1]上恒成立,即4t2-3at-5≤0在[-1,1]上恒成立,令g(t)=4t2-3at-5,则g(1)=4-3a-5≤0,解得-13≤a≤13,故选C.二、填空题13.答案-23解析因为a⊥b,所以x+2(x+1)=0,解得x=-23.14.答案-43解析解法一:∵sin θ+π4=22×(sinθ+cosθ)=35,∴sinθ+cosθ=325①,∴2sinθcosθ=-725.∵θ是第四象限角,∴sinθ<0,cosθ>0,∴sinθ-cosθ=-1-2sinθcosθ=-425②,由①②得sinθ=-10,cosθ=710,∴tanθ=-17,∴tan θ-π4=tanθ-11+tanθ=-43.解法二:∵ θ+π4+π4-θ =π2,∴sin θ+π4=cosπ4-θ =35,又2kπ-π2<θ<2kπ,k∈Z,∴2kπ-π4<θ+π4<2kπ+π4,k∈Z,∴cos θ+π4=45,∴sinπ4-θ =45,∴tanπ4-θ =sinπ4-θcosπ-θ=43,∴tan θ-π4=-tanπ4-θ =-43.15.答案4π解析把圆C的方程化为x2+(y-a)2=2+a2,则圆心为(0,a),半径r= a2+2.圆心到直线x-y+2a=0的距离d=2.由r2=d2+|AB|22,得a2+2=a22+3,解得a2=2,则r2=4,所以圆的面积S=πr2=4π.16.答案216000解析设生产产品A x件,生产产品B y件,利润之和为z元,则z=2100x+900y.根据题意得1.5x+0.5y≤150,x+0.3y≤90,5x+3y≤600,x,y∈N,即3x+y≤300,10x+3y≤900,5x+3y≤600,x,y∈N,作出可行域(如图).由10x+3y=900,5x+3y=600得x=60,y=100.当直线2100x+900y-z=0过点A(60,100)时,z取得最大值,z max=2100×60+900×100=216 000.故所求的最大值为216000元.三、解答题17.解析(Ⅰ)由已知,a 1b2+b2=b1,b1=1,b2=13,得a1=2,(3分)所以数列{a n}是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为a n=3n-1.(5分)(Ⅱ)由(Ⅰ)和a n b n+1+b n+1=nb n得b n+1=b n3,(7分)因此{b n}是首项为1,公比为13的等比数列.(9分)记{b n}的前n项和为S n,则S n=1-1 3n1-1=32-12×3n-1.(12分)18.解析(Ⅰ)证明:因为P在平面ABC内的正投影为D,所以AB⊥PD.因为D在平面PAB内的正投影为E,所以AB⊥DE.(2分)又PD∩DE=D,所以AB⊥平面PED,故AB⊥PG.又由已知可得,PA=PB,从而G是AB的中点.(4分)(Ⅱ)在平面PAB内,过点E作PB的平行线交PA于点F,F即为E在平面PAC内的正投影.(5分)理由如下:由已知可得PB⊥PA,PB⊥PC,又EF∥PB,所以EF⊥PA,EF⊥PC,又PA∩PC=P,因此EF⊥平面PAC,即点F为E在平面PAC内的正投影.(7分)连结CG,因为P在平面ABC内的正投影为D,所以D是正三角形ABC的中心,由(Ⅰ)知,G是AB的中点,所以D在CG上,故CD=23CG.(9分)由题设可得PC⊥平面PAB,DE⊥平面PAB,所以DE∥PC,因此PE=23PG,DE=13PC.由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6,可得DE=2,PE=22.在等腰直角三角形EFP中,可得EF=PF=2,(11分)所以四面体PDEF的体积V=13×12×2×2×2=43.(12分)19.解析(Ⅰ)当x≤19时,y=3800;当x>19时,y=3800+500(x-19)=500x-5700,所以y与x的函数解析式为y=3 800,x≤19,500x-5 700,x>19(x∈N).(4分)(Ⅱ)由柱状图知,需更换的零件数不大于18的频率为0.46,不大于19的频率为0.7,故n的最小值为19.(5分)(Ⅲ)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件,则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3800元,20台的费用为4300元,10台的费用为4800元,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(3800×70+4300×20+4800×10)=4000(元).(7分)若每台机器在购机同时都购买20个易损零件,则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000元,10台的费用为4 500元,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(4 000×90+4 500×10)=4 050(元).(10分)比较两个平均数可知,购买1台机器的同时应购买19个易损零件.(12分)20.解析 (Ⅰ)由已知得M(0,t),P t 22p ,t .(1分)又N 为M 关于点P 的对称点,故N t 2p ,t ,ON 的方程为y=p t x,代入y 2=2px 整理得px 2-2t 2x=0,解得x 1=0,x 2=2t 2p . 因此H 2t 2p ,2t .(4分)所以N 为OH 的中点,即|OH ||ON |=2.(6分)(Ⅱ)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点.(7分)理由如下:直线MH 的方程为y-t=p 2t x,即x=2t p (y-t).(9分)代入y 2=2px 得y 2-4ty+4t 2=0,解得y 1=y 2=2t,即直线MH 与C 只有一个公共点,所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点.(12分)21.解析 (Ⅰ)f '(x)=(x-1)e x +2a(x-1)=(x-1)(e x +2a).(i)设a ≥0,则当x ∈(-∞,1)时, f '(x)<0;当x ∈(1,+∞)时, f '(x)>0.所以f(x)在(-∞,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增.(2分)(ii)设a<0,由f '(x)=0得x=1或x=ln(-2a).①若a=-e 2,则f '(x)=(x-1)(e x -e),所以f(x)在(-∞,+∞)单调递增.②若a>-e 2,则ln(-2a)<1,故当x ∈(-∞,ln(-2a))∪(1,+∞)时, f '(x)>0;当x ∈(ln(-2a),1)时, f '(x)<0.所以f(x)在(-∞,ln(-2a)),(1,+∞)单调递增,在(ln(-2a),1)单调递减.(4分)③若a<-e 2,则ln(-2a)>1,故当x ∈(-∞,1)∪(ln(-2a),+∞)时, f '(x)>0;当x ∈(1,ln(-2a))时, f '(x)<0.所以f(x)在(-∞,1),(ln(-2a),+∞)单调递增,在(1,ln(-2a))单调递减.(6分)(Ⅱ)(i)设a>0,则由(Ⅰ)知, f(x)在(-∞,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增.又f(1)=-e, f(2)=a,取b 满足b<0且b<ln a 2,则f(b)>a 2(b-2)+a(b-1)2=a b 2-32b >0, 所以f(x)有两个零点.(8分)(ii)设a=0,则f(x)=(x-2)e x ,所以f(x)只有一个零点.(9分)(iii)设a<0,若a ≥-e 2,则由(Ⅰ)知, f(x)在(1,+∞)单调递增,又当x ≤1时f(x)<0,故f(x)不存在两个零点;(10分)若a<-e 2,则由(Ⅰ)知, f(x)在(1,ln(-2a))单调递减,在(ln(-2a),+∞)单调递增,又当x ≤1时f(x)<0,故f(x)不存在两个零点.(11分)综上,a 的取值范围为(0,+∞).(12分)22.证明 (Ⅰ)设E 是AB 的中点,连结OE.因为OA=OB,∠AOB=120°,所以OE ⊥AB,∠AOE=60°.(2分)在Rt △AOE 中,OE=12AO,即O 到直线AB 的距离等于☉O 半径,所以直线AB 与☉O 相切.(5分)(Ⅱ)因为OA=2OD,所以O不是A,B,C,D四点所在圆的圆心.设O'是A,B,C,D四点所在圆的圆心,作直线OO'.(7分)由已知得O在线段AB的垂直平分线上,又O'在线段AB的垂直平分线上,所以OO'⊥AB.同理可证,OO'⊥CD.所以AB∥CD.(10分)23.解析(Ⅰ)消去参数t得到C1的普通方程:x2+(y-1)2=a2.C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.(2分)将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为ρ2-2ρsinθ+1-a2=0.(4分)(Ⅱ)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组ρ2-2ρsinθ+1-a2=0,ρ=4cosθ.(6分)若ρ≠0,由方程组得16cos2θ-8sinθcosθ+1-a2=0,(8分)由已知tanθ=2,可得16cos2θ-8sinθcosθ=0,从而1-a2=0,解得a=-1(舍去)或a=1.a=1时,极点也为C1,C2的公共点,在C3上.所以a=1.(10分)24.解析(Ⅰ)f(x)=x-4,x≤-1,3x-2,-1<x ≤32,-x+4,x>32,(4分)y=f(x)的图象如图所示.(6分) (Ⅱ)由f(x)的表达式及图象知,当f(x)=1时,可得x=1或x=3;或x=5,(8分)当f(x)=-1时,可得x=13故f(x)>1的解集为{x|1<x<3};f(x)<-1的解集为 x|x<1或x>5.(9分)3所以|f(x)|>1的解集为 x|x<1或1<x<3或x>5.(10分)3。
2016年全国高考文科数学试题及答案-全国卷1
绝密★启封并使用完毕前试题类型：2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.（1）设集合{1,3,5,7}A =，{|25}B x x =≤≤，则A B =I（A ）{1,3} （B ）{3,5} （C ）{5,7} （D ）{1,7} （2）设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a=（A ）－3 （B ）－2 （C ）2 （D ）3（3）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（A ）13 （B ）12 （C ）23（D ）56（4）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =，2c =，2cos 3A =，则b=（A（B（C ）2 （D ）3（5）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34（6）若将函数y =2sin (2x +π6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为（A ）y =2sin(2x +π4) （B ）y =2sin(2x +π3) （C ）y =2sin(2x –π4) （D ）y =2sin(2x –π3) （7）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π （8）若a>b>0，0<c<1，则（A ）log a c <log b c （B ）log c a <log c b （C ）a c <b c （D ）c a >c b （9）函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为（A ）（B ）（C ） （D ）（10）执行右面的程序框图，如果输入的0,1,x y ==n =1,则输出,x y 的值满足结束（A ）2y x = （B ）3y x = （C ）4y x = （D ）5y x =（11）平面α过正文体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A,11//CB D α平面,ABCD m α=I 平面，11ABB A n α=I 平面，则m ，n 所成角的正弦值为（A）2 （B ）2 （C ）3 （D ）13（12）若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是 （A ）[]1,1- （B ）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（C ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （D ）11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13) ~ (21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22) ~ (24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分（13）设向量a =(x ，x +1)，b =(1，2)，且a ⊥b ，则x =___________ （14）已知θ是第四象限角，且sin(θ+π4)=35，则tan(θ–π4)=___________.（15）设直线y=x +2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ，B 两点，若，则圆C 的面积为_________（16）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料。
2016年高考文科数学真题答案全国卷1
2016 年高考文科数学真题及答案全国卷 1注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至3 页,第Ⅱ卷 3 至5 页.2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效.4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.（1）设集合A 1,3,5,7 , B x 2剟x 5 ,则A B（A）{1,3} （B）{3,5} （C）{5,7} （D）{1,7}【答案】B考点：集合的交集运算【名师点睛】集合是每年高考中的必考题,一般以基础题形式出现,属得分题.解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算,如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数集之间的运算,常借助数轴进行运算.(2) 设1 2i a i 的实部与虚部相等,其中 a 为实数,则a=（A）－3 （B）－2 （C）2 （D）3【答案】A【解析】试题分析：(1 2i)( a i) a 2 (1 2a)i ,由已知,得a 2 1 2a,解得a 3 ,故选 A.考点：复数的概念及复数的乘法运算【名师点睛】复数题也是每年高考必考内容,一般以客观题形式出现,属得分题.高考中复数考查频率较高的内容有：复数相等,复数的几何意义,共轭复数,复数的模及复数的乘除运算,这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是 2i 1中的负号易忽略,所以做复数题要注意运算的准确性.（3）为美化环境,从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中,余下的 2 种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（A）13（B）12（C）23（D）56【答案】A考点：古典概型【名师点睛】作为客观题形式出现的古典概型试题,一般难度不大,解答常见错误是在用列举法计数时出现重复或遗漏,避免此类错误发生的有效方法是按照一定的标准进行列举.（4）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a 5 ,c 2 , cos2A ,则b=3（A） 2 （B） 3 （C）2 （D）3 【答案】D【解析】试题分析：由余弦定理得 522 bb 4 2 2 ,解得b 3（31b 舍去）,故选 D.3考点：余弦定理【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于 b 的一元二次方程,再通过解方程求 b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！（5）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离心率为（A）13（B）1223（C）（D）34【答案】B 【解析】试题分析：如图,由题意得在椭圆中,1 1 OF c,OB b,OD 2b b4 2在R t OFB 中,|OF | | OB| |BF | |OD |,且2 2 2a b c ,代入解得2 2a 4c ,所以椭圆得离心率得 e 12,故选 B.yBDxF O考点：椭圆的几何性质【名师点睛】求椭圆或双曲线离心率是高考常考问题,求解此类问题的一般步骤是先列出等式, 再转化为关于a,c 的齐次方程,方程两边同时除以 a 的最高次幂,转化为关于 e 的方程,解方程求e .π（6）若将函数y=2sin (2x+)的图像向右平移6 14个周期后,所得图像对应的函数为ππππ（A）y=2sin(2 x+4) （B）y=2sin(2 x+3) （C）y=2sin(2 x–4) （D）y=2sin(2x–3)【答案】D考点：三角函数图像的平移【名师点睛】函数图像的平移问题易错点有两个,一是平移方向,注意“左加右减“二,是平移多少个单位是对x 而言的,不用忘记乘以系数.（7）如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28π,则它的表面积是3（A）17π（B）18π（C）20π（D）28π【答案】A【解析】考点：三视图及球的表面积与体积【名师点睛】由于三视图能有效的考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般常与几何体的表面积与体积交汇.由三视图还原出原几何体,是解决此类问题的关键.（8）若a b 0, 0 c 1,则c<b c （D）c a>c b （A）log a c<log b c （B）log c a<log c b （C）a【答案】B【解析】试题分析：由0 c 1可知logy x 是减函数,又a b 0,所以log c a log c b ．故选 B.本c题也可以用特殊值代入验证.考点：指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数单调性进行比较,若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.（9）函数 2 xy x e 在2,2 的图像大致为2（A）（B）（C）（D）【答案】D考点：函数图像与性质【名师点睛】函数中的识图题多次出现在高考试题中,也可以说是高考的热点问题,这类题目一般比较灵活,对解题能力要求较高,故也是高考中的难点,解决这类问题的方法一般是利用间接法,即由函数性质排除不符合条件的选项.（10）执行右面的程序框图,如果输入的x 0,y 1,n=1,则输出x, y 的值满足（A）y 2x （B）y 3x （C）y 4x （D）y 5x开始输入x,y,nn=n +1 x=x+ n-12，y=nyx2+y2≥36？输出x,y结束【答案】C【解析】试题分析：第一次循环：x0, y1,n2 ,第二次循环：1x, y2,n3, 2第三次循环：3 32 2 36x, y6,n3,此时满足条件x y,循环结束,x, y6,满足2 2y 4x ．故选C考点：程序框图与算法案例【名师点睛】程序框图基本是高考每年必考知识点,一般以客观题形式出现,难度不大,求解此类问题一般是把人看作计算机,按照程序逐步列出运行结果.（11）平面过正文体A BCD—A1B1C1D1 的顶点A //平面CB1D1 , 平面ABCD m , 平面ABB1A1 n ,则m,n 所成角的正弦值为（A）32 （B）22（C）33（D）13【答案】A考点：平面的截面问题,面面平行的性质定理,异面直线所成的角.【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形,解形求角、得钝求补.（12）若函数1f (x) x - sin 2x a sin x 在, 单调递增,则a 的取值范围是3（A）1,1 （B）1,13 （C） 1 ,13 3（D）1, 13【答案】C考点：三角变换及导数的应用【名师点睛】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查,有所创新,求解关键是把函数单调性转化为不等式恒成立,再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题,注意与三角函数值域或最值有关的问题,要注意弦函数的有界性.第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第(22) 题~第(24)题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题：本大题共 3 小题,每小题 5 分（13）设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a b,则x= .【答案】2 3【解析】试题分析：由题意, a b2 0,x 2(x 1) 0, x .3考点：向量的数量积及坐标运算【名师点睛】全国卷中向量大多以客观题形式出现,属于基础题.解决此类问题既要准确记忆公式,又要注意运算的准确性.本题所用到的主要公式是：若a x1, y1 ,b x2 ,y2 ,则a b x y x y1 12 2.（14）已知θ是第四象限角,且sin(θ+ π)=435π,则tan(θ–)=.4【答案】4 3【解析】试题分析：由题意sin sin4 4 2 cos34 5,因为2k 2k 2 k Z,所以272k 2k k Z,4 4 4从而sin44 5,因此tan44 3．故填43．考点：三角变换【名师点睛】三角函数求值,若涉及到开方运算,要注意根式前正负号的取舍,同时要注意角的灵活变换.2+y2-2ay-2=0 相交于A,B 两点,若,则圆C的面积为（15）设直线y=x+2a 与圆C：x【答案】 4考点：直线与圆【名师点睛】注意在求圆心坐标、半径、弦长时常用圆的几何性质,如圆的半径r、弦长l、圆2l2 2r d 2心到弦的距离 d 之间的关系：在求圆的方程时常常用到.A需要甲材（16）某高科技企业生产产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A和产品料1.5kg,乙材料1kg,用5 个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3 个工时, 2100 元,生产一件产品B的利润为900 元.该企业现有甲材料150kg,生产一件产品A的利润为B的利润之和的最大值为元.,生产产品A、产品过600 个工时的条件下乙材料90kg,则在不超【答案】216000【解析】A、产品B分别为x 、y 件,利润之和为z元,那么试题分析：设生产产品1.5x 0.5 y, 150,x 0.3y, 90,5x 3y, 600,①x 0,⋯y 0.⋯目标函数z 2100 x900 y .10x 3y 900.解方程组取得最大值,得M 的坐标(60,100) .5x 3y 600所以当x 60, y 100时,z max 2100 60 900 100 216000 .A、产品B的利润之和的最大值为216000元.故生产产品考点：线性规划的应用束【名师点睛】线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题形式出现,基本题型是给出约线的距离, 条件求目标函数的最值,常见的结合方式有：纵截距、斜率、两点间的距离、点到直.大,失分的一个主要原因是运算失误解决此类问题常利用数形结合.本题运算量较明,证明过程或演算步骤.三.解答题：解答应写出文字说（17）.（本题满分12 分）已知a是公差为3的等差数列,数列b n 满足n1b =1，b = ，a b b nb ,.1 2 n n 1 n 1 n3（I）求a的通项公式；n（II）求b的前n 项和.n【答案】（I） 3 1a n （II）n 3 1n2 2 31.bn（II）由（I）和a n b n 1 b n 1 nb n ,得b 1 ,因此b n 是首项为1,公比为n3 13的等比数列.记b 的前n 项和为S n ,则n1n1 ( )3 13 .Sn n 11 2 2 313考点：等差数列与等比数列【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程, 利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.（18）.（本题满分12 分）如图,在已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6,顶点P 在平面ABC内的正投影为点E,连接PE并延长交AB 于点G.（I）证明G 是AB 的中点；（II）在答题卡第（18）题图中作出点 E 在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由）,并求四面体PDEF的体积．PEAG D CB【答案】（I）见解析（II）作图见解析,体积为4 3试题解析：（I）因为P 在平面ABC内的正投影为 D ,所以AB PD.因为D 在平面PAB内的正投影为 E ,所以AB DE.所以AB 平面PED ,故A B PG.又由已知可得, PA PB,从而G 是A B 的中点.（II）在平面PAB内,过点E作P B的平行线交PA于点F, F即为E在平面PAC内的正投影.理由如下：由已知可得PB PA, PB PC ,又E F/ /PB,所以EF PC,因此EF平面PAC,即点F为E在平面PAC内的正投影.连接CG,因为P 在平面ABC内的正投影为 D ,所以D 是正三角形ABC的中心.由（I）知,G 是AB 的中点,所以D 在CG 上,故 2 .CD CG3由题设可得PC 平面PAB, DE 平面PAB,所以DE / /PC ,因此2 1PE PG, DE PC.3 3由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且PA 6,可得DE 2, PE 2 2. 在等腰直角三角形EFP 中,可得EF PF 2.所以四面体PDEF 的体积V 1 1 42 2 2 .3 2 3考点：线面位置关系及几何体体积的计算【名师点睛】文科立体几何解答题主要考查线面位置关系的证明及几何体体积的计算,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大, 以中档题为主.（19）（本小题满分12 分）某公司计划购买 1 台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200 元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：频数24201610616 17 18 19 20 21更换的易损零件数记x 表示1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y 表示1 台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）, n 表示购机的同时购买的易损零件数.（I）若n =19,求y 与x 的函数解析式；（II）若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0.5,求n 的最小值；（III）假设这100 台机器在购机的同时每台都购买19 个易损零件,或每台都购买20 个易损零件,分别计算这100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1 台机器的同时应购买19 个还是20 个易损零件？3800, x 19,【答案】（I）y (x N) （II）19（III）19500x 5700, x 19,（Ⅱ）由柱状图知,需更换的零件数不大于18 的概率为0.46,不大于19 的概率为0.7,故n 的最小值为19.（Ⅲ）若每台机器在购机同时都购买19 个易损零件,则这100 台机器中有70 台在购买易损零件上的费用为3800,20 台的费用为4300,10 台的费用为4800,因此这100 台机器在购买易损零1件上所需费用的平均数为(4000 90 4500 10) 4050.100比较两个平均数可知,购买 1 台机器的同时应购买19 个易损零件.考点：函数解析式、概率与统计【名师点睛】本题把统计与函数结合在一起进行考查,有综合性但难度不大,求解关键是读懂题意,所以提醒考生要重视数学中的阅读理解问题.（20）（本小题满分12 分）在直角坐标系xOy 中,直线l:y=t(t≠0交) y 轴于点M,交抛物线C：2 2 ( 0)y px p 于点P,M 关于点P 的对称点为N,连结ON 并延长交 C 于点H.（I）求O HON；（II）除H 以外,直线MH 与C是否有其它公共点？说明理由. 【答案】（I）2（II）没有【解答】2pt2试题分析：先确定N(, ) , ON 的方程为xt y ,代入y 2pxp t2 t2 x整理得px 2 0 ,解得x 0 , 1 x222tp22t |OH |,得H ( ,2t) ,由此可得N 为OH 的中点,即 2p |ON |.（II）p2 2 ty t2把直线MH 的方程y t x y ,解得y1 y2 2t ,即,与y 2 px联立得 4 4 02t直线MH 与C 只有一个公共点,所以除H 以外直线MH 与C 没有其它公共点.（Ⅱ）直线MH 与C 除H以外没有其它公共点.理由如下：p 2t2MH y t x,即x ( y t) .代入y 2px2t p 2 ty t 2得y 4 4 0,解得y1 y2 2t,即直线MH 与C 只有一个公共点,所以除H 以外直线MH 与C 没有其它公共点.考点：直线与抛物线【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成；解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题.其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.（21）（本小题满分12 分）已知函数 2xf x x 2 e a x 1 ．(I)讨论 f x 的单调性；(II)若 f x 有两个零点,求a 的取值范围.【答案】见解析(II) 0,【解析】x试题分析：(I)先求得 f ' x x 1 e 2a .再根据1,0,2a 的大小进行分类确定 f x 的单调性；(II)借助第一问的结论,通过分类讨论函数单调性,确定零点个数,从而可得 a 的取值范围为0, .x x试题解析：(I) f ' x x 1 e 2a x 1 x 1 e 2a .(i)设a 0,则当x ,1 时, f ' x 0；当x 1, 时, f ' x 0 .所以在,1 单调递减,在1, 单调递增.(ii)设a0,由f ' x 0得x=1 或x=ln(-2a).①若exa ,则f ' x x 1 e e ,所以f x 在, 单调递增.2②若ea ,则ln(-2a)<1,故当x ,ln 2a 1,时, f ' x 0；2当x ln 2a ,1 时, f ' x 0 ,所以 f x 在,ln 2a , 1, 单调递增,在ln 2a ,1 单调递减.③若ea ,则ln 2a 1,故当x ,1 ln 2a , 时, f ' x 0 ,当2x 1,ln 2a 时, f ' x 0,所以f x 在,1 , ln 2a , 单调递增,在1,ln 2a 单调递减.考点：函数单调性,导数应用【名师点睛】本题第一问是用导数研究函数单调性,对含有参数的函数单调性的确定,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；第二问是求参数取值范围, 由于这类问题常涉及到导数、函数、不等式等知识,越来越受到高考命题者的青睐,解决此类问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号（22）（本小题满分10 分）选修4-1：几何证明选讲如图,△OAB 是等腰三角形,∠AOB=120°.以O 为圆心, 12OA为半径作圆.(I)证明：直线AB 与O 相切；(II)点C,D 在⊙O 上,且A,B,C,D 四点共圆,证明：AB∥CD.D COAB 【答案】(I)见解析(II)见解析在R t AOE 中,1OE AO,即O 到直线AB的距离等于圆O的半径,所以直线AB与⊙O相2切．D COO'AEB（Ⅱ）因为OA 2OD ,所以O不是A, B,C ,D四点所在圆的圆心,设O' 是A,B,C,D 四点所在圆的圆心,作直线OO'．由已知得O 在线段AB的垂直平分线上,又O'在线段AB的垂直平分线上,所以OO' AB．同理可证, OO' CD ．所以AB // CD ．考点：四点共圆、直线与圆的位置关系及证明【名师点睛】近几年几何证明题多以圆为载体命制,在证明时要抓好“长度关系”与“角度关系的转化”熟,悉相关定理与性质.该部分内容命题点有：平行线分线段成比例定理；三角形的相似与性质；四点共圆；圆内接四边形的性质与判定；切割线定理.（23）（本小题满分10 分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系x y 中,曲线C1 的参数方程为x a costy 1 asin t（t 为参数,a＞0）．在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2：ρ=4 cos .（I）说明C1是哪一种曲线,并将C1 的方程化为极坐标方程；（II）直线C3 的极坐标方程为0 ,其中0 满足tan 0 =2,若曲线C1 与C2 的公共点都在C3 上, 求a．【答案】（I）圆, 2 22 sin 1 a 0（II）1试题解析：⑴x a costy 1 a sin t（t 均为参数）,∴ 22 1 2x y a ①∴ C 为以0 ，1 为圆心, a 为半径的圆．方程为12 2 2x y 2y 1 a 0∵ 2 2 2 sin x y ，y ,∴2 2 sin 1 a2 0 即为C 的极坐标方程1⑵C2 ：4cos ,两边同乘得2 4 cos 2 x2 y2 ，cos x2 2x y 4x ,即2 2x 2 y 4 ②C ：化为普通方程为y 2x ,由题意：C1 和C2 的公共方程所在直线即为C33①—②得： 24x 2 y 1 a 0 ,即为C3∴ 21 a 0 ,∴a 1考点：参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用【名师点睛】“互化思想”是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想,解题时应熟记极坐标方程与参数方程的互化公式及应用.（24）（本小题满分10 分）,选修4—5：不等式选讲已知函数f x x 1 2x 3 .（I）在答题卡第（24）题图中画出y f x 的图像；（II）求不等式 f x 1的解集．【答案】（I）见解析（II）1，，，1 3 5 3试题解析：⑴如图所示：考点：分段函数的图像,绝对值不等式的解法【名师点睛】不等式证明选讲多以绝对值不等式为载体命制试题,主要涉及图像、解不等式、由不等式恒成立求参数范围等.解决此类问题通常转换为分段函数求解,注意不等式的解集一定要写出集合形式.。
2016年高考文科数学真题答案全国卷1
2016 年高考文科数学真题及答案全国卷 1注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至3 页,第Ⅱ卷 3 至5 页.2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效.4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.（1）设集合A 1,3,5,7 , B x 2剟x 5 ,则A B（A）{1,3} （B）{3,5} （C）{5,7} （D）{1,7}【答案】B考点：集合的交集运算【名师点睛】集合是每年高考中的必考题,一般以基础题形式出现,属得分题.解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算,如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数集之间的运算,常借助数轴进行运算.(2) 设1 2i a i 的实部与虚部相等,其中 a 为实数,则a=（A）－3 （B）－2 （C）2 （D）3【答案】A【解析】试题分析：(1 2i )(a i) a 2 (1 2a)i ,由已知,得a 2 1 2a ,解得a 3 ,故选 A. 考点：复数的概念及复数的乘法运算【名师点睛】复数题也是每年高考必考内容,一般以客观题形式出现,属得分题.高考中复数考查频率较高的内容有：复数相等,复数的几何意义,共轭复数,复数的模及复数的乘除运算,这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是 2i 1中的负号易忽略,所以做复数题要注意运算的准确性.（3）为美化环境,从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中,余下的 2 种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（A）13（B）12（C）23（D）56【答案】A考点：古典概型【名师点睛】作为客观题形式出现的古典概型试题,一般难度不大,解答常见错误是在用列举法计数时出现重复或遗漏,避免此类错误发生的有效方法是按照一定的标准进行列举.（4）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a 5 ,c 2 , cos2A ,则b=3（A） 2 （B） 3 （C）2 （D）3 【答案】D【解析】试题分析：由余弦定理得 522 bb 4 2 2 ,解得b 3（31b 舍去）,故选 D.3考点：余弦定理【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于 b 的一元二次方程,再通过解方程求 b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！（5）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离心率为（A）13（B）1223（C）（D）34【答案】B 【解析】试题分析：如图,由题意得在椭圆中,1 1 OF c,OB b,OD 2b b4 2在Rt OFB 中,|OF | | OB| |BF | | OD |,且 2 2 2a b c ,代入解得2 2a 4c ,所以椭圆得离心率得 e 12,故选 B.yBDxF O考点：椭圆的几何性质【名师点睛】求椭圆或双曲线离心率是高考常考问题,求解此类问题的一般步骤是先列出等式, 再转化为关于a,c 的齐次方程,方程两边同时除以 a 的最高次幂,转化为关于 e 的方程,解方程求e .π（6）若将函数y=2sin (2x+6)的图像向右平移14个周期后,所得图像对应的函数为ππππ（A）y=2sin(2 x+) （B）y=2sin(2 x+ ) （C）y=2sin(2 x–) （D）y=2sin(2x–)4 3 4 3【答案】D考点：三角函数图像的平移【名师点睛】函数图像的平移问题易错点有两个,一是平移方向,注意“左加右减“二,是平移多少个单位是对x 而言的,不用忘记乘以系数.（7）如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28π3 ,则它的表面积是（A）17π（B）18π（C）20π（D）28π【答案】A【解析】考点：三视图及球的表面积与体积【名师点睛】由于三视图能有效的考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般常与几何体的表面积与体积交汇.由三视图还原出原几何体,是解决此类问题的关键.（8）若 a b 0, 0 c 1,则c<b c （D）c a>c b （A）log a c<log b c （B）log c a<log c b （C）a【答案】B【解析】试题分析：由0 c 1可知logy x 是减函数,又a b 0 ,所以log c a log c b．故选 B.本c题也可以用特殊值代入验证.考点：指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数单调性进行比较,若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.（9）函数 2 xy 2x e 在2,2 的图像大致为（A）（B）（C）（D）【答案】D考点：函数图像与性质【名师点睛】函数中的识图题多次出现在高考试题中,也可以说是高考的热点问题,这类题目一般比较灵活,对解题能力要求较高,故也是高考中的难点,解决这类问题的方法一般是利用间接法,即由函数性质排除不符合条件的选项.（10）执行右面的程序框图,如果输入的x 0, y 1,n=1,则输出x, y 的值满足（A）y 2x（B）y 3x （C）y 4x（D）y 5x开始输入x,y,nn=n +1 x=x+ n-12，y=nyx2+y2≥36？输出x,y结束【答案】C【解析】试题分析：第一次循环：x0, y1,n2 ,第二次循环：1x, y2,n3, 2第三次循环：3 32 2 36x, y6,n3,此时满足条件x y,循环结束,x, y6,满足2 2y 4x ．故选C考点：程序框图与算法案例【名师点睛】程序框图基本是高考每年必考知识点,一般以客观题形式出现,难度不大,求解此类问题一般是把人看作计算机,按照程序逐步列出运行结果.（11）平面过正文体A BCD—A1B1C1D1 的顶点A //平面CB1D1, 平面ABCD m , 平面ABB1A1 n ,则m,n 所成角的正弦值为（A）32 （B）22（C）33（D）13【答案】A考点：平面的截面问题,面面平行的性质定理,异面直线所成的角.【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形,解形求角、得钝求补.（12）若函数1f (x) x - sin 2x a sin x 在, 单调递增,则a 的取值范围是3（A）1,1 （B）1,13 （C） 1 ,13 3（D）1, 13【答案】C考点：三角变换及导数的应用【名师点睛】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查,有所创新,求解关键是把函数单调性转化为不等式恒成立,再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题,注意与三角函数值域或最值有关的问题,要注意弦函数的有界性.第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第(22) 题~第(24)题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题：本大题共 3 小题,每小题 5 分（13）设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a b,则x= .【答案】2 3【解析】试题分析：由题意, a b2 0,x 2(x 1) 0, x .3考点：向量的数量积及坐标运算【名师点睛】全国卷中向量大多以客观题形式出现,属于基础题.解决此类问题既要准确记忆公式,又要注意运算的准确性.本题所用到的主要公式是：若a x1,y1 ,b x2 ,y2 ,则a b x y x y1 12 2.（14）已知θ是第四象限角,且sin(θ+ π)=435π,则tan(θ–)=.4【答案】4 3【解析】试题分析：由题意sin sin4 4 2 cos34 5,因为2k 2k 2 k Z,所以272k 2k k Z,4 4 4从而sin44 5,因此tan44 3．故填43．考点：三角变换【名师点睛】三角函数求值,若涉及到开方运算,要注意根式前正负号的取舍,同时要注意角的灵活变换.2+y2-2ay-2=0 相交于A,B 两点,若,则圆C的面积为（15）设直线y=x+2a 与圆C：x【答案】 4考点：直线与圆【名师点睛】注意在求圆心坐标、半径、弦长时常用圆的几何性质,如圆的半径r、弦长l、圆2l2 2r d 2心到弦的距离 d 之间的关系：在求圆的方程时常常用到.A需要甲材B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A和产品（16）某高科技企业生产产品料1.5kg,乙材料1kg,用5 个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3 个工时, 生产一件产品A的利润为2100 元,生产一件产品B的利润为900 元.该企业现有甲材料150kg,B的利润之和的最大值为,生产产品A、产品元.乙材料90kg,则在不超过600 个工时的条件下【答案】216000【解析】A、产品B分别为x、y 件,利润之和为z元,那么试题分析：设生产产品1.5x 0.5 y, 150,x 0.3 y, 90,5x 3y, 600,①x⋯0,y 0.⋯目标函数z 2100 x900 y .10x 3y 900取得最大值.解方程组,得M 的坐标(60,100) .5x 3y 600所以当x 60 , y 100时,z max 2100 60 900 100 216000.故生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000 元.考点：线性规划的应用束【名师点睛】线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题形式出现,基本题型是给出约线的距离, 条件求目标函数的最值,常见的结合方式有：纵截距、斜率、两点间的距离、点到直.大,失分的一个主要原因是运算失误解决此类问题常利用数形结合.本题运算量较明,证明过程或演算步骤.三.解答题：解答应写出文字说（17）.（本题满分12 分）已知a是公差为3的等差数列,数列b n 满足n1b =1，b = ，a b b nb ,.1 2 n n 1 n 1 n3（I）求a的通项公式；n（II）求b的前n 项和.n【答案】（I）a3n 1（II）n 3 1n2 2 31.bn（II）由（I）和a n b n 1 b n 1 nb n ,得b 1 ,因此b n 是首项为1,公比为n3 13的等比数列.记b 的前n项和为S n ,则n1n1 ( )3 13 .Sn n1 2 2 3 113考点：等差数列与等比数列【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程, 利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.（18）.（本题满分12 分）如图,在已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6,顶点P 在平面ABC内的正投影为点E,连接PE并延长交AB 于点G.（I）证明G 是AB 的中点；（II）在答题卡第（18）题图中作出点 E 在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由）,并求四面体PDEF的体积．PEAG D CB【答案】（I）见解析（II）作图见解析,体积为4 3试题解析：（I）因为P 在平面ABC 内的正投影为 D ,所以AB PD.因为D 在平面PAB 内的正投影为 E ,所以AB DE .所以AB 平面PED ,故AB PG.又由已知可得, PA PB ,从而G 是AB 的中点.（II）在平面PAB 内,过点E作PB的平行线交PA于点F, F即为E在平面PAC内的正投影.理由如下：由已知可得PB PA, PB PC ,又EF/ /PB,所以EF PC,因此EF平面PAC,即点F为E在平面PAC内的正投影.连接CG,因为P 在平面ABC 内的正投影为 D ,所以 D 是正三角形ABC的中心.由（I）知,G 是AB 的中点,所以D 在CG 上,故2CD CG.3由题设可得PC 平面PAB , DE 平面PAB ,所以DE / /PC ,因此2 1PE PG, DE PC.3 3由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且PA 6,可得DE 2, PE 2 2. 在等腰直角三角形EFP 中,可得EF PF 2.所以四面体PDEF 的体积V 1 1 42 2 2 .3 2 3考点：线面位置关系及几何体体积的计算【名师点睛】文科立体几何解答题主要考查线面位置关系的证明及几何体体积的计算,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大, 以中档题为主.（19）（本小题满分12 分）某公司计划购买 1 台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200 元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：频数24201610616 17 18 19 20 21更换的易损零件数记x 表示1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y 表示1 台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）, n 表示购机的同时购买的易损零件数.（I）若n =19,求y 与x 的函数解析式；（II）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值；（III）假设这100 台机器在购机的同时每台都购买19 个易损零件,或每台都购买20 个易损零件,分别计算这100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1 台机器的同时应购买19 个还是20 个易损零件？3800, x 19,【答案】（I）y (x N) （II）19（III）19500x 5700, x 19,（Ⅱ）由柱状图知,需更换的零件数不大于18 的概率为0.46,不大于19 的概率为0.7,故n 的最小值为19.（Ⅲ）若每台机器在购机同时都购买19 个易损零件,则这100 台机器中有70 台在购买易损零件上的费用为3800,20 台的费用为4300,10 台的费用为4800,因此这100 台机器在购买易损零1件上所需费用的平均数为(4000 90 4500 10) 4050.100比较两个平均数可知,购买 1 台机器的同时应购买19 个易损零件.考点：函数解析式、概率与统计【名师点睛】本题把统计与函数结合在一起进行考查,有综合性但难度不大,求解关键是读懂题意,所以提醒考生要重视数学中的阅读理解问题.（20）（本小题满分12 分）在直角坐标系xOy 中,直线l:y=t(t≠0交) y 轴于点M,交抛物线C：2 2 ( 0)y px p 于点P,M 关于点P 的对称点为N,连结ON 并延长交 C 于点H.（I）求O H ON；（II）除H 以外,直线MH 与C是否有其它公共点？说明理由. 【答案】（I）2（II）没有【解答】2t p2 试题分析：先确定N( ,t) , ON 的方程为y x,代入y 2pxp t2 t2 x整理得px 2 0,解得x 0 , 1 x222tp22t |OH |,得H ( ,2t ) ,由此可得N 为OH 的中点,即2p |ON |.（II）p2把直线MH 的方程y t x ,与y 2px2t 2 ty t2联立得y 4 4 0,解得y y 2t1 ,即2直线MH 与 C 只有一个公共点,所以除H 以外直线MH 与 C 没有其它公共点.（Ⅱ）直线MH 与 C 除H 以外没有其它公共点.理由如下：p 2t2直线MH 的方程为y t x ,即x (y t) .代入y 2px2t p2 ty t 2得y 4 4 0,解得y1 y2 2t,即直线MH 与C 只有一个公共点,所以除H 以外直线MH 与C 没有其它公共点.考点：直线与抛物线【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成；解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题.其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.（21）（本小题满分12 分）已知函数2xf x x 2 e a x 1 ．(I)讨论 f x 的单调性；(II)若 f x 有两个零点,求a的取值范围.【答案】见解析(II) 0,【解析】x试题分析：(I)先求得 f ' x x 1 e 2a .再根据1,0,2a 的大小进行分类确定 f x 的单调性；(II)借助第一问的结论,通过分类讨论函数单调性,确定零点个数,从而可得 a 的取值范围为0, .x x试题解析：(I) f ' x x 1 e 2a x 1 x 1 e 2a .(i)设a 0 ,则当x ,1 时, f ' x 0；当x 1, 时, f ' x 0.所以在,1 单调递减,在1, 单调递增.(ii)设a 0,由f ' x 0得x=1 或x=ln(-2a).①若exa ,则f ' x x 1 e e ,所以f x 在, 单调递增.2②若ea ,则ln(-2a)<1,故当x ,ln 2a 1,时, f ' x 0；2当x ln 2a ,1 时, f ' x 0,所以 f x 在,ln 2a , 1, 单调递增,在ln 2a ,1 单调递减.③若ea ,则ln 2a 1,故当x ,1 ln 2a , 时, f ' x 0,当2x 1,ln 2a 时, f ' x 0,所以f x 在,1 , ln 2a , 单调递增,在1,ln 2a 单调递减.考点：函数单调性,导数应用【名师点睛】本题第一问是用导数研究函数单调性,对含有参数的函数单调性的确定,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；第二问是求参数取值范围, 由于这类问题常涉及到导数、函数、不等式等知识,越来越受到高考命题者的青睐,解决此类问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号（22）（本小题满分10 分）选修4-1：几何证明选讲如图,△OAB 是等腰三角形,∠AOB=120°.以O 为圆心, 12OA为半径作圆.(I)证明：直线AB 与O 相切；(II)点C,D 在⊙O 上,且A,B,C,D 四点共圆,证明：AB∥CD.D COAB 【答案】(I)见解析(II)见解析在Rt AOE 中,1OE AO,即O 到直线AB 的距离等于圆O的半径,所以直线AB 与⊙O 相2切．D COO'AEB（Ⅱ）因为OA 2OD ,所以O不是A, B,C, D 四点所在圆的圆心,设O'是A,B,C,D 四点所在圆的圆心,作直线OO '．由已知得O 在线段AB 的垂直平分线上,又O'在线段AB 的垂直平分线上,所以OO ' AB ．同理可证, OO ' CD ．所以AB // CD ．考点：四点共圆、直线与圆的位置关系及证明【名师点睛】近几年几何证明题多以圆为载体命制,在证明时要抓好“长度关系”与“角度关系的转化”熟,悉相关定理与性质.该部分内容命题点有：平行线分线段成比例定理；三角形的相似与性质；四点共圆；圆内接四边形的性质与判定；切割线定理.（23）（本小题满分10 分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系x y 中,曲线C1 的参数方程为x a costy 1 asin t（t 为参数,a＞0）．在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2：ρ=4 cos .（I）说明C1是哪一种曲线,并将C1 的方程化为极坐标方程；（II）直线C3 的极坐标方程为0,其中0 满足tan 0 =2,若曲线C1 与C2 的公共点都在C3 上,。
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2016年全国高考新课标1卷文科数学试题
第Ⅰ卷
一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合A={1,3,5,7}，B={x |2≤x ≤5}，则A ∩B=( )
A ．{1,3}
B ．{3,5}
C ．{5,7}
D ．{1,7} 2．设(1+2i )(a+i )的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a=( )
A ．-3
B ．-2
C ．2
D ． 3
3．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，
余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )
A ．13
B ．12
C ．23
D ．56
4．ΔABC 的角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知2
2,cos 3
a c A ===，
则b=( )
A ． C ．2 D ．3
5．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的
1
4
，则该椭圆的离心率为( ) A ．13 B ．12 C ．23 D ．34
6．若将函数y =2sin (2x +6
π
)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数
为
( )
A ．y =2sin(2x +4π)
B ．y =2sin(2x +3π)
C ．y =2sin(2x –4π
)
D ．y =2sin(2x –3
π
)
7．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个
圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283
π
，
则它的表面积是( )
A ．17π B．18π C．20π D．28π 8．若a >b >0，0<c <1，则( )
A ．log a c <log b c
B ．log c a <log c b
C ．a c <b c
D ．c a >c b 9．函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为( )
10．执行右面的程序框图，如果输入的x =0，y =1，
则输出x ，y 的值满足( )
A ．y =2x
B ．y =3x
C ．y =4x
D ．y =5x
11．平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ， α//平面CB 1D 1，α∩平面ABCD=m ，
α∩平面ABB 1A 1=n ，则m ，n 所成角的正弦值为A ．2 C ．1
312．若函数1
()sin 2sin 3
f x x -x a x =+在(-∞,+∞)单调递增，则a 的取值围是( )
A ．[-1,1]
B ．[-1,13]
C ．[-13,13]
D ．[-1,-1
3
]
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上． 13．设向量a =(x ，x +1)，b =(1，2)，且a ⊥b ，则x = .
14．已知θ是第四象限角，且sin(θ+π4)=35，则tan(θ-π
4
)= .
15．设直线y=x +2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ，B 两点，若|AB |=
则圆C 的面积为 .
16．某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A
需要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.只做6题，共70分. 17.（本题满分12分）
B
E
G
P D C A 已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1=1，b 2=3
1
，a n b n +1+b n +1=nb n .
(Ⅰ)求{a n }的通项公式； (Ⅱ)求{b n }的前n 项和.
18.（本题满分12分）
如图，已知正三棱锥P -ABC 的侧面是直角三角形，PA =6，顶点P 在平面ABC
的正投影为点D ，D 在平面PAB 的正投影为点E ，
连接PE 并延长交AB 于点G .
(Ⅰ)证明G 是AB 的中点；
(Ⅱ)在答题卡第（18）题图中作出点E 在平面PAC
的正投影F (说明作法及理由)，并求四面体PDEF 的体积．
19.（本小题满分12分）
某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰. 机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元. 在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期更换的易损零件数，得下面柱状图：
记x 表示1台机器在三年使用期需更换的易损零件数，y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n 表示购机的同时购买的易损零件数.
(Ⅰ)若n =19，求y 与x 的函数解析式；
(Ⅱ)若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0.5，求n 的最
小值；
(Ⅲ)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？
20.（本小题满分12分）
在直角坐标系xoy中，直线l：y=t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2=2px(p>0)于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H.
(Ⅰ)求OH
ON
； (Ⅱ)除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.
21.（本小题满分12分）
已知函数f(x)=(x -2)e x+a(x -1)2.
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性； (Ⅱ)若有两个零点，求a的取值围.
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，ΔOAB是等腰三角形，∠AOB=120°.以O为圆心，1
2
OA为半径作圆.
(Ⅰ)证明：直线AB与⊙O相切；
(Ⅱ)点C,D在⊙O上，且A,B,C,D四点共圆，证明：AB∥CD.
23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直线坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为
cos
1sin
x a t
y a t
=
⎧
⎨
=+
⎩
（t为参数，a>0）.
在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ.
(Ⅰ)说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
(Ⅱ)直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.
24.（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲
已知函数f(x)=| x+1| -|2x-3|.
(Ⅰ)在答题卡第24题图中画出y=f(x)的图像；
(Ⅱ)求不等式| f(x)|>1的解集.。