上海中国中学数学几何模型压轴题单元综合测试(Word版 含答案)
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上海中国中学数学几何模型压轴题单元综合测试(Word版含答
案)
一、初三数学旋转易错题压轴题(难)
1.如图,在矩形ABCD中,6
AB cm
=,8
AD cm
=,连接BD,将ABD
△绕B点作顺时针方向旋转得到A B D
'''
△(B′与B重合),且点D'刚好落在BC的延长上,A D''与CD相交于点E.
(1)求矩形ABCD与A B D
'''
△重叠部分(如图1中阴影部分A B CE
'')的面积;(2)将A B D
'''
△以每秒2cm的速度沿直线BC向右平移,如图2,当B′移动到C点时停止移动.设矩形ABCD与A B D
'''
△重叠部分的面积为y,移动的时间为x,请你直接写出y关于x的函数关系式,并指出自变量x的取值范围;
(3)在(2)的平移过程中,是否存在这样的时间x,使得AA B''
△成为等腰三角形?若存在,请你直接写出对应的x的值,若不存在,请你说明理由.
【答案】(1)2
45
2
cm;(2)
2
2
3316
24(0)
225
88020016
(4)
3335
x x x
y
x x x
⎧
--+≤<
⎪⎪
=⎨
⎪-+≤≤
⎪⎩
;(3)存在,使得AA B''
△成为等腰三角形的x的值有:0秒、
3
2
669
-
.
【解析】
【分析】
(1)先用勾股定理求出BD的长,再根据旋转的性质得出10
B D BD cm
''==,
2
CD B D BC cm
'=''-=,利用B D A
∠'''的正切值求出CE的值,利用三角形的面积差即可求阴影部分的面积;
(2)分类讨论,当
16
5
x
≤<时和当
16
4
5
x
≤≤时,分别列出函数表达式;
(3)分类讨论,当AB A B
'=''时;当AA A B
'=''时;当AB AA
'='时,根据勾股定理列方程即可.
【详解】
解:(1)6
AB cm
=,8
AD cm
=,
10
BD cm
∴=,
根据旋转的性质可知10
B D BD cm
''==,2
CD B D BC cm
'=''-=,
tan A B CE
B D A A D CD '''''∠=='''
, 682
CE ∴=, 3
2CE cm ∴=,
()286345
22222
A B CE A B D CED S S S cm ''''''⨯∴==
-⨯÷=-; (2)①当1605x ≤<
时,22CD x '=+,3
2
CE x =, 233
+22
CD E S x x '∴=
△, 221333
68242222
y x x x ∴=⨯⨯-=--+;
②当
1645x ≤≤时,102BC x =-,()4
1023
CE x =- ()2
21488020010223333
y x x x ∴=⨯-=-+.
(3)①如图1,当AB A B '=''时,0x =秒;
②如图2,当AA A B '=''时,1825A N BM BB B M x '=='+'=+
,24
5
A M N
B '==, 2236AN A N +'=,
22
2418623655x ⎛
⎫⎛⎫∴-++= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭,
解得:95x =
秒,(9
5
x -=舍去); ③如图2,当AB AA '='时,1825A N BM BB B M x '=='+'=+
,24
5
A M N
B '==, 2222AB BB AN A N +'=+'
22
2
24183646255x x ⎛
⎫⎛⎫∴+=-++ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
解得:3
2
x =
秒.
综上所述:使得AA B ''△成为等腰三角形的x 的值有:0秒、
32秒、95
.
【点睛】
本题主要考查了图形的平移变换和旋转变换,能够数形结合,运用分类讨论的思想方法全面的分析问题,思考问题是解决问题的关键.
2.如图1,在正方形ABCD中,点E、F分别在边BC,CD上,且BE=DF,点P是AF的中点,点Q是直线AC与EF的交点,连接PQ,PD.
(1)求证:AC垂直平分EF;
(2)试判断△PDQ的形状,并加以证明;
(3)如图2,若将△CEF绕着点C旋转180°,其余条件不变,则(2)中的结论还成立吗?若成立,请加以证明;若不成立,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)△PDQ是等腰直角三角形;理由见解析(3)成立;理由见解析.
【解析】
试题分析:(1)由正方形的性质得出AB=BC=CD=AD,∠B=∠ADF=90°,
∠BCA=∠DCA=45°,由BE=DF,得出CE=CF,△CEF是等腰直角三角形,即可得出结论;(2)由直角三角形斜边上的中线的性质得出PD=AF,PQ=AF,得出PD=PQ,再证明
∠DPQ=90°,即可得出结论;
(3)由直角三角形斜边上的中线的性质得出PD=AF,PQ=AF,得出PD=PQ,再证明点A、F、Q、P四点共圆,由圆周角定理得出∠DPQ=2∠DAQ=90°,即可得出结论.
试题解析:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠ADF=90°,∠BCA=∠DCA=45°,
∵BE=DF,
∴CE=CF,