2012年广东高考理科数学试题及答案
2012年高考数学广东卷含参考答案(理科)
2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科A 卷）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i 为虚数单位，则复数56ii-= A ．65i +B ．65i -C ．65i -+D ．65i --2．设集合U {1,23,4,5,6}=，，M {1,2,4}=则M U =ðA ．UB ．{1,3,5}C ．{3,5,6}D ．{2,4,6}3．若向量(2,3)BA = ，(4,7)CA = ，则BC =A ．(2,4)--B ．(3,4)C ．(6,10)D ．(6,10)--4．下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是A ． ln(2)y x =+B y =C ． 1()2xy =D ． 1y x x=+5．已知变量,x y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值为A ．12B ．11C ．3D ．-16．某几何体的三视图如图1所示，它的体积为 A ．12π B ．45π C ．57π D ．81π7．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其中个位数为0的概率是 A ．49 B ．13 C ．29 D ．198．对任意两个非零的平面向量,αβ，定义αβαβββ⋅=⋅ ．若平面向量,a b 满足0a b ≥> ，a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且αβ 和βα 都在集合|2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中，则a b =A ．12 B ．1 C ．32 D ．52二、填空题：本大题共7小题．考生作答6小题．每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．不等式|2|||1x x +-≤的解集为___________． 10．261()x x+的展开式中3x 的系数为__________．（用数字作答） 11．已知递增的等差数列{}n a 满足11a =，2324a a =-，则n a =________． 12．曲线33y x x =-+在点(1,3)处的切线方程为__________．13．执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出s 的值为_______．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中xoy 中，曲线1C 和曲线2C 的 参数方程分别为⎩⎨⎧==ty t x （t 为参数）和⎪⎩⎪⎨⎧==θθsin 2cos 2y x （θ为参数），则曲线1C 和曲线2C 的交点坐标为 ．15．（几何证明选讲选做题）如图3，圆O 的半径为1，A ，B ，C 是圆上三点，且满足︒=∠30ABC ，过点A 做圆O 的切线与OC 的延长线交与点P ，则PA= ．图3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数)6cos(2)(πω+=x x f （其中R x ∈>,0ω）的最小正周期为π10．（1） 求ω的值；（2） 设,56)355(,2,0,-=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈παπβαf 1716)655(=-πβf ，求)cos(βα+的值． 17．（本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是： [40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100], (1)求图中x 的值;(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ，求ξ的数学期望．18．（本小题满分13分）如图5所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，点E 在线段PC 上，PC ⊥平面BDE ．（1）证明：BD ⊥平面PAC ；（2）若1PA =，2AD =，求二面角B PC A --的正切值．19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11221n n n S a ++=-+，*n N ∈，且123,5,a a a +成等差数列． （1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）证明：对一切正整数n ，有1211132n a a a ++⋅⋅⋅+<．20．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的离心率e =且椭圆C 上的点到点Q (0,2)的距离的最大值为3． （1） 求椭圆C 的方程（2） 在椭圆C 上，是否存在点(,)M m n ，使得直线:1l mx ny +=与圆22:1O x y +=相交于不同的两点A 、B ，且OAB ∆的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的OAB ∆的面积；若不存在，请说明理由．）21．（本小题满分14分）设1a <，集合2{0},{23(1)60}A x R x B x R x a x a =∈>=∈-++>，D A B = ． （1） 求集合D （用区间表示）；（2） 求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点．2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理科数学A 卷参考答案一、选择题：1. D2. C3. A4. A5. B6. C7. D8. C 二、填空题：9.12x x ⎧⎫≤-⎨⎬⎩⎭ 10. 20 11. 2n-1 12. y=2x+1 13. 814. （1，1） 15.三、解答题：16. 解：（1）由f(x)得： 其最小正周期（2）由（1）得：同理由：又17. 解：（1）由图得：（2）由图得：由题知：21105T w w ππ==⇒=15w ∴=0,w >又1()2cos()56f x x π=+515(5)2cos 53536f παπαπ⎡⎤⎛⎫∴+=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦62cos 25πα⎛⎫=+=-⎪⎝⎭3sin 5α⇒=5168(5)cos 61717f βπβ-==得：,0,παβ⎡⎤∈⎢⎥4cos 5α∴==15sin 17β=cos()cos cos sin sin αβαβαβ∴+=-483151351751785=⨯-⨯=-()0.0060.0060.010.0540.006101x +++++⨯=0.018x ⇒=()()8090100.18901000.006100.06P X x P X ≤<==≤<=⨯=[)8090∴⨯在，的学生人数为：0.1850=9[)90100⨯在，的学生人数为：0.0650=30,1,2ξ=()()()2122993322212121212910,1,2222222C C C C P P P C C C ξξξ=========18. 解： （1）证明：（2）由（1）得：在矩形ABCD 中，如图所示建立直角坐标系，由（1）知，所以，二面角B-PC-A 的正切值为：3。
2mxt-2012年广东高考理科数学试题与答案(解析版)
2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1、 答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、试室号、座位号，填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2、 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3、 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求做大的答案无效。
4、 作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5、 考生必须保持答题卡得整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：柱体的体积公式V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设i 为虚数单位，则复数56ii-=( )()A 65i + ()B 65i - ()C i -6+5()D i -6-5【解析】选D 依题意：256(56)65i i ii i i --==--，故选D . 2．设集合{1,2,3,4,5,6},{1,2,4}U M ==；则U C M =( )()A U ()B {1,3,5} ()C {,,}356 ()D {,,}246【解析】选C U C M ={,,}3563. 若向量(2,3),(4,7)BA CA ==u u u r u u u r；则BC =u u u r ( )()A (2,4)-- ()B (2,4) ()C (,)610()D (,)-6-10【解析】选A(2,4)BC BA CA =-=--u u u r u u u r u u u r 4. 下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是( )()A ln(2)y x =+ ()B y = ()C ()x y 1=2 ()D y x x1=+【解析】选A ln(2)y x =+区间(0,)+∞上为增函数，y =(0,)+∞上为减函数 ()xy 1=2区间(0,)+∞上为减函数，y x x1=+区间(1,)+∞上为增函数5. 已知变量,x y 满足约束条件241y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值为( )()A 12 ()B 11 ()C 3 ()D -1【解析】选B 约束条件对应ABC ∆边际及内的区域：53(2,2),(3,2),(,)22A B C则3[8,11]z x y =+∈6. 某几何体的三视图如图1所示，它的体积为( ) ()A 12π ()B 45π ()C π57 ()D π81 【解析】选C 几何体是圆柱与圆锥叠加而成它的体积为2222135353573V πππ=⨯⨯+⨯⨯-=7. 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个， 其个位数为0的概率是( )()A 49 ()B 13 ()C 29()D 19【解析】选D①个位数为1,3,5,7,9时，十位数为2,4,6,8，个位数为0,2,4,6,8时，十位数为1,3,5,7,9，共45个 ②个位数为0时，十位数为1,3,5,7,9，共5个别个位数为0的概率是51459=8. .对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβαβββ=g o g ；若平面向量,a b r r 满足0a b ≥>r r ，a r 与b r 的夹角(0,)4πθ∈，且,a b b a r r r r o o 都在集合}2nn Z ⎧∈⎨⎩中，则a b =r r o ( )()A 12()B 1 ()C 32()D 52【解析】选C21cos 0,cos 0()()cos (,1)2a b a b b a a b b a baθθθ=>=>⇒⨯=∈r r r r r r r r r r o o o o r r,a b b a r r r r o o 都在集合}2n n Z ⎧∈⎨⎩中得：*12123()()(,)42n n a b b a n n N a b ⨯=∈⇒=r r r r r r o o o(一）必做题（9-13题）9. 不等式21x x +-≤的解集为_____【解析】解集为_____1(,]2-∞-原不等式⇔2(2)1x x x ≤-⎧⎨-++≤⎩或2021x x x -<≤⎧⎨++≤⎩或021x x x >⎧⎨+-≤⎩,解得12x ≤-,10. 261()x x+的展开式中3x 的系数为______。
2012年广东高考理科数学试题及答案(含答案)
2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.把复数的共轭复数记作z ，设（1+2i ）z =4+3i ，其中i 为虚数单位，则z i = A ． 2- i B. 2+ i C.1+2 i Ｄ．-1+2i 2．已知集合A={x ∣f(x)=3+x +21+x }，B={x ∣3x-7≤8-2x}，则A B ⋂为 Ａ．[3,-3] Ｂ．[3,-2）U （-2，-3] Ｃ．[3,-2) Ｄ．[-2，-3] 3. 函数y=f(a+x)与函数y=f(a-x)的图像关于Ａ．直线x=a 对称 Ｂ．点（a ，0）对称 Ｃ．原点对称 Ｄ．Y 轴对称4.已知{}n a 是等比数列，且,20252,0645342=++>a a a a a a a n 那么，53a a +的值为Ａ．45 Ｂ．35 Ｃ．25 Ｄ．155. 在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC 与BD 的交点，E 是BC 边的中点，连接DE 交AC 于点F 。
已知→→→→==b AD a AB ,,则=→OFA ．→→+b a 6131B ．)(41→→+b aC ．)(61→→+b aD ．→→+b a 41616. 对于命题p 、q ，有p ∧q 是假命题，下面说法正确的是 A ．p ∨q 是真命题 B ．p ⌝是真命题 C ．q p ⌝⌝∧是真命题 D. q p ⌝⌝∨是真命题7. 如图是某几何体三视图的斜二测画法，正视图（主视图）是等腰三角形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为A.316B.16C.8D. 48.设集合X={-1,0,1},Y={-2,-1,0,1,2},从X 到Y 的映射f 满足条件：对于每个x ∈X ，恒有x+f(x)是奇函数，这样的映射一共有A.12个B.6个C.18个D.24个16. 填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。
2012年广东高考试题(理数)
2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）【整理】佛山市三水区华侨中学 骆方祥（lbylfx @sina ）本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1、 答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、试室号、座位号，填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2、 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3、 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求做大的答案无效。
4、 作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5、 考生必须保持答题卡得整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：柱体的体积公式V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设i 为虚数单位，则复数56ii-=( ) 【解析】选D 依题意：256(56)65i i ii i i--==--，故选D . 2．设集合{1,2,3,4,5,6},{1,2,4}U M ==；则U C M =( ) 【解析】选C U C M ={,,}3563. 若向量(2,3),(4,7)BA CA ==；则BC =( )【解析】选A (2,4)BC BA CA =-=--4. 下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是( )【解析】选A ln(2)y x =+区间(0,)+∞上为增函数，1y x =-+区间(0,)+∞上为减函数 ()xy 1=2区间(0,)+∞上为减函数，y x x1=+区间(1,)+∞上为增函数 5. 已知变量,x y 满足约束条件241y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值为( )【解析】选B 约束条件对应ABC ∆边际及内的区域：53(2,2),(3,2),(,)22A B C则3[8,11]z x y =+∈6. 某几何体的三视图如图1所示，它的体积为( ) 【解析】选C 几何体是圆柱与圆锥叠加而成它的体积为2222135353573V πππ=⨯⨯+⨯⨯-= 7. 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( ) 【解析】选D①个位数为1,3,5,7,9时，十位数为2,4,6,8，个位数为0,2,4,6,8时，十位数为1,3,5,7,9，共45个 ②个位数为0时，十位数为1,3,5,7,9，共5个别个位数为0的概率是51459= 8. .对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβαβββ=；若平面向量,a b 满足0a b ≥>， a 与b 的夹角(0,)4πθ∈，且,a b b a 都在集合}2nn Z ⎧∈⎨⎩中，则a b =( )【解析】选C,a b b a 都在集合}2nn Z ⎧∈⎨⎩中得：*12123()()(,)42n n a b b a n n N a b ⨯=∈⇒=二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。
2012年广东省高考数学试卷(理科)学生版
2012 年广东省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8 小题，每题 5 分，满分40 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1．（5 分）（2012?广东）设 i 是虚数单位，则复数=（）A．6+5i B．6﹣5i C．﹣ 6+5i D．﹣ 6﹣ 5i 2．（5 分）（2012?广东）设会合 U={ 1，2，3，4，5，6} ，M={ 1，2，4} ，则 ?U M=（）A．U B．{ 1，3，5} 3．（ 5 分）（2012?广东）若向量C．{ 3，5，6}，，向量D．{ 2，4，6}，，则=（）A．（﹣ 2，﹣ 4）B．（ 3， 4）C．（6，10）D．（﹣ 6，﹣ 10）4．（5 分）（2012?广东）以下函数，在区间（ 0，+∞）上为增函数的是（）A．y=ln（ x+2）B．C．D．，知足拘束条件，则 z=3x+y 的最5．（ 5 分）（2012?广东）已知变量 x y大值为（）A．12B．11C．3D．﹣ 16．（5 分）（2012?广东）某几何体的三视图如下图，它的体积为（）A．12πB．45πC．57πD．81π7．（5 分）（2012?广东）从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0 的概率是（）A．B．C．D．8．（5 分）（ 2012?广东）对随意两个非零的平面向量和，定义○ =，若平面向量、知足||≥| |＞0，与的夹角，，且○ 和○ 都在会合中，则○=（）A．B．1C．D．二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每题 5 分，满分 30 分．（一）必做题（ 9～13 题）（二）选做题（ 14～ 15 题，考生只好从中选做一题）9．（5 分）（2012?广东）不等式 | x+2| ﹣| x| ≤1 的解集为．10．（ 5 分）（2012?广东）中 x3的系数为．（用数字作答）11．（ 5分）（广东）已知递加的等差数列n}知足a1 ， 3 22﹣4，则2012?{ a=1 a =aa n=．12．（5 分）（2012?广东）曲线 y=x3﹣x+3 在点（1，3）处的切线方程为．13．（5 分）（ 2012?广东）履行如下图的程序框图，若输入n 的值为 8，则输出的 s 的值为．14．（5 分）（2012?广东）（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，曲线 C1与 C2的参数方程分别为（t为参数）和（θ为参数），则曲线 C1与 C2的交点坐标为．15．（ 2012?广东）（几何证明选讲选做题）如图，圆是圆周上的三点，知足∠ ABC=30°，过点 A 作圆点 P，则图 PA=．O 中的半径为 1，A、B、C O 的切线与 OC的延伸线交于三、解答题：本大题共6 小题，满分 80 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（ 12 分）（ 2012?广东）已知函数f（x）=2cos（ωx+ ）（此中ω＞ 0， x∈ R）的最小正周期为 10π．（ 1）求ω的值；（ 2）设α，β∈[ 0，] ，f（5α+ ）=﹣，f （5β﹣） = ，求 cos（α+β）的值．17．（ 13 分）（ 2012?广东）某班 50 位学生期中考试数学成绩的频次直方散布图如下图，此中成绩分组区间是： [ 40，50），[ 50，60），[ 60，70），[ 70，80）， [ 80，90），[ 90，100] ．（1）求图中 x 的值；（2）从成绩不低于 80 分的学生中随机选用 2 人，该 2 人中成绩在 90 分以上（含90 分）的人数记为ξ，求ξ的数学希望．18．（13 分）（2012?广东）如下图，在四棱锥 P﹣ ABCD中，底面 ABCD为矩形，PA⊥平面 ABCD，点 E 在线段 PC上， PC⊥平面 BDE．（1）证明： BD⊥平面 PAC；（2）若 PA=1，AD=2，求二面角 B﹣PC﹣ A 的正切值．19．（ 14 分）（ 2012?广东）设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n，知足 2S n=a n+1﹣2n+1+1，n∈N*，且 a1， a2+5，a3成等差数列．（1）求 a1的值；（2）求数列 { a n} 的通项公式；（ 3）证明：对全部正整数n，有＜．20．（ 14 分）（ 2012?广东）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C：＞＞的离心率，且椭圆 C 上的点到点 Q（0， 2）的距离的最大值为 3．（1）求椭圆 C 的方程；（2）在椭圆 C 上，能否存在点 M（m，n），使得直线 l ：mx+ny=1 与圆 O：x2+y2=1订交于不一样的两点A、B，且△ OAB 的面积最大？若存在，求出点 M 的坐标及对应的△ OAB的面积；若不存在，请说明原因．21．（14 分）（2012?广东）设 a＜1，会合 A={ x∈R| x＞0} ，B={ x∈R| 2x2﹣ 3（1+a）x+6a＞ 0} ，D=A∩B．（1）求会合 D（用区间表示）；（2）求函数 f（ x）=2x3﹣3（1+a）x2+6ax 在 D 内的极值点．。
1MXT-2012年广东高考理科数学试题及答案-免费
试卷类型：A2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）题目及答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 . 设i 为虚数单位，则复数56ii-= A 6+5i B 6-5i C -6+5i D -6-5i 2 . 设集合U={1,2,3,4,5,6}， M={1,2,4 } 则CuM= A .U B {1,3,5} C {3,5,6} D {2,4,6}3 若向量BA u u u r=（2,3），CA u u u r =（4,7），则BC uuu r = A （-2,-4） B (3,4) C (6,10 D (-6,-10) 4.下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是 A.y=ln （x+2） B.y=-1x + C.y=（12）x D.y=x+1x5.已知变量x ，y 满足约束条件，则z=3x+y 的最大值为A.12B.11C.3D.-1 6,某几何体的三视图如图1所示，它的体积为A ．12π B.45π C.57π D.81π7.从个位数与十位数之和为奇数的两位数种任取一个，其个位数万恶哦0的概率是A. 49B.13C.29D.198.对任意两个非零的平面向量α和β，定义。
若平面向量a，b满足|a|≥|b|＞0，a与b的夹角，且a·b和b·a都在集合中，则A．12B.1C.32D.5216.填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。
(一）必做题（9-13题）9.不等式|x+2|-|x|≤1的解集为_____。
10. 的展开式中x³的系数为______。
（用数字作答）11.已知递增的等差数列{an }满足a1=1，a3=22a-4，则a n=____。
12.曲线y=x3-x+3在点（1，3）处的切线方程为。
13.执行如图2所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为。
2012年高考理科数学广东卷(含详细答案)
数学试卷 第1页（共42页）数学试卷 第2页（共42页）数学试卷 第3页（共42页）绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)本试卷共6页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的,答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.参考公式：柱体的体积公式V Sh =,其中S 为柱体的底面积,h 为柱体的高.锥体的体积公式13V Sh =,其中S 为锥体的底面积,h 为锥体的高.一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 设i 为虚数单位,则复数56ii-= （ ）A .65i +B .65i -C .65i -+D .65i -- 2. 设集合{1,2,3,4,5,6}U =,{1,2,4}M =,则U M =ð（ ）A .UB .{1,3,5}C .{3,5,6}D .{2,4,6}3. 若向量(2,3)BA =,(4,7)CA =,则BC = （ ） A .(2,4)-- B .(2,4) C .(6,10)D .(6,10)--4. 下列函数中,在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）A .ln(2)y x =+ B.y =C .1()2x y =D .1y x x=+5. 已知变量x ,y 满足约束条件211 y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩≤≥≤,则3z x y =+的最大值为（ ）A .12B .11C .3D .1- 6. 某几何体的三视图如图1所示,它的体积为（ ）A .12πB .45πC .57πD .81π7. 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个 位数为0的概率是（ ）A .49 B .13C .29D .198. 对任意两个非零的平面向量α和β,定义=αβαβββ.若平面向量a ,b 满足||||0a b ≥＞,a 与b 的夹角π(0,)4θ∈,且a b 和b a 都在集合{|}2nn ∈Z 中,则=a b （ ）A .12B .1C .32D .52二、填空题：本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分. （一）必做题（9～13题）9.不等式|2||1|x x +-≤的解集为_______.10.261()x x+的展开式中3x 的系数为_______.（用数字作答）11.已知递增的等差数列{}n a 满足11a =,2324a a =-,则n a =_______.12.曲线33y x x =-+在点(1,3)处的切线方程为________.13.执行如图2所示的程序框图,若输入n 的值为8,则输出s 的值为________.（二）选做题（14—15题,考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 和2C 的参数方程分别为x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩（t为参数）和x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）,则曲线1C 与2C 的交点坐标为________.15.（几何证明选讲选做题）如图3,圆O 的半径为1,A 、B 、C 是圆周上的三点,满足30ABC ∠=,过点A 作圆O 的切线与OC 的延长线交于点P ,则PA =_______.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________三、解答题：本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（本小题满分12分）已知函数π()2cos()6f x xω=+（其中0ω>,x∈R）的最小正周期为10π.（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）设π[0,]2αβ,∈,56(5π)35fα+=-,516(5π)617fβ-=,求cos()αβ+的值.17.（本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示,其中成绩分组区间是：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].（Ⅰ）求图中x的值；（Ⅱ）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ,求ξ的数学期望.18.（本小题满分13分）如图5所示,在四棱锥P ABCD-中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,点E在线段PC上,PC⊥平面BDE.（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若1PA=,2AD=,求二面角B PC A--的正切值.19.（本小题满分14分）设数列{}na的前n项和为nS,满足11221nn nS a++=-+,*n∈N,且1a,25a+,3a成等差数列.（Ⅰ）求1a的值；（Ⅱ）求数列{}n a的通项公式；（Ⅲ）证明：对一切正整数n,有1211132na a a+++＜.20.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C：22221x ya b+=（a b＞＞）的离心率e=且椭圆C上的点到点(0,2)Q的距离的最大值为3.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）在椭圆C上,是否存在点(,)M m n,使得直线l：1mx ny+=与圆O：221x y+=相交于不同的两点A、B,且OAB△的面积最大？若存在,求出点M的坐标及对应的OAB△的面积；若不存在,请说明理由.21.（本小题满分14分）设1a＜,集合{|0}A x x=∈＞R,2{|23(1)60}B x x a x a=∈-++＞R,D A B=.（Ⅰ）求集合D（用区间表示）；（Ⅱ）求函数32()23(1)6f x x a xax=-++在D内的极值点.数学试卷第4页（共42页）数学试卷第5页（共42页）数学试卷第6页（共42页）3 / 142012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)答案解析【答案】A【解析】(2,BC BA AC BA CA =+=-=-【提示】由向量(2,3)BA =，向量(4,7)CA =，知(2,AB =-，(4,7)AC =--，再由BC AC AB =-能求数学试卷 第10页（共42页） 数学试卷 第11页（共42页）数学试卷 第12页（共42页）||cos ||a b θ，||cos ||y b a θ，x ，，所以24cos ，所以cos θ5 / 143||||a b ，3||||b a ∈Z ， ||||0a b ≥>，所以||1||a b ≥，所以只能取||3||a b =，||1||3a b =， 则||cos 333||a ab b θ==⨯=．【提示】定义两向量间的新运算，根据数量积运算与新运算间的关系进行化简，再运用集合的知识求解即数学试卷 第16页（共42页） 数学试卷 第17页（共42页）数学试卷 第18页（共42页）60，所以60，因为直线是直角三角形，最后利用三角函数在直角三角形中的定义，结合题tan603=7 / 14（Ⅰ）10T =π=65f ⎛-= ⎝3sin 5α∴=16517f ⎛= ⎝cos β∴=110(0.054x f =-0.018x ∴=（Ⅱ）成绩不低于数学试卷 第22页（共42页） 数学试卷 第23页（共42页）数学试卷 第24页（共42页）PAPC P =，PAC ； ACBD O =，连结，OE ，BE ⊥BE ，所以(2,DB=-的一个法向量，(0,2,0)BC=，(2,0,1)BP=-设平面PBC的法向量为(,,)n x y z=202n BC yn BP x⎧==⎪⎨=-⎪⎩2，取(1,0,2)n=，的平面角为θ，2||||8510DB nDB n==所以二面角B PC A--的正切值为3．9 / 14数学试卷 第28页（共42页） 数学试卷 第29页（共42页）数学试卷 第30页（共42页）（Ⅰ）2n n S a +=17a a =⎧⎪-⇒⎨133n -，所以时，111a =1221122222n n n n n n n C C --++⋯++-122-1-1222222n n n n n n C C C +++>1)-数学试卷 第34页（共42页） 数学1||||sin 2OA OB AOB ∠的距离2d =，即12)(,)x +∞，2x <，所以2(,Ax B +∞=2)(,)x +∞，30a =>，所以2212339309339309(0,)(,)0,,44a a AB a a a a x x ⎛⎫⎛+--+++-++∞=+∞ ⎪⎪ ⎝⎝⎭=1<时，0∆<，则()0g x >恒成立，A B =(0,+∞综上所述，当0a ≤时，33a ⎫⎛++⎪⎪ ⎭⎝2)(,)x +∞的变化情况如下表：a极值即可．【考点】导数的运算，利用导数求函数的极值，解含参的一元二次不等式，集合的基本运算数学试卷第40页（共42页）数学。
2012年高考理科数学广东卷
题
--------------------
8. 对任意两个非零的平面向量 α 和 β ,定义 α β
ABC 30 ,过点 A 作圆 O 的切线与 OC 的延长线交于点 P ,则 PA _______.
5 6i i
C. 6 5i
U
（ D. 6 5i （
）
无
--------------------
B. 6 5i
2. 设集合 U {1,2,3,4,5,6} , M {1,2,4} ,则 A. U C. {3,5,6}
M
）
B. {1,3,5} D. {2,4,6}
π 若平面向量 a , b 满足 | a |≥ | b |＞0 , a 与 b 的夹角 (0, ) , 且 a b 和 b a 都在集合 4 n { | n Z} 中,则 a b （ ） 2 1 A. B.1 2 3 5 C. D. 2 2
此
--------------------
4. 下列函数中,在区间 (0, ) 上为增函数的是 A. y ln( x 2) B. y x 1
（
）
10. ( x 2 )6 的展开式中 x 3 的系数为_______.（用数 字作答）
2 11.已知递增的等差数列 {an } 满足 a1 1 , a3 a2 4,
段 PC 上, PC 平面 BDE . （Ⅰ）证明： BD 平面 PAC ； （Ⅱ）若 PA 1 , AD 2 ,求二面角 B PC A 的正切值.
效
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2012广东高考数学(理科)参考答案mianfai
2012广东高考数学(理科)参考答案mianfai2012广东高考数学（理科）参考答案 选择题答案：1-8： DCAAB CDC填空题答案： 9. 1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ 10. 2011. 21n -12. 21y x =+ 13. 814. ()1,1 15. 3解答题16.（1）15ω= （2）代入得62cos 25πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭3sin 5α⇒= 162cos 17β=8cos 17β⇒= ∵ ,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴ 415cos ,sin 517αβ== ∴ ()4831513cos cos cos sin sin 51751785αβαβαβ+=-=⨯-⨯=- 17.（1）由300.006100.01100.054101x ⨯+⨯+⨯+=得0.018x =（2）由题意知道：不低于80分的学生有12人，90分以上的学生有3人 随机变量ξ的可能取值有0,1,2()292126011C P C ξ=== ()11932129122C C P C ξ===解得：2123a a =+，31613a a =+又()21325a a a +=+解得11a =（2）由11221n n n S a ++=-+212221n n n S a +++=-+得12132n n n a a +++=+又121,5a a ==也满足12132a a =+所以132nn n a a n N *+=+∈对成立∴ ()11+232n n n n a a ++=+∴ 23n n n a +=∴ 32n n n a =-（3）（法一）∵()()123211323233232...23n nn n n n n n a -----=-=-+⨯+⨯++≥∴ 1113n n a -≤ ∴21123111311111113...1 (1333213)nn n a a a a -⎛⎫⎛⎫⨯- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+++≤++++=<-（法二）∵1111322322n n n n n n a a ++++=->⨯-=∴ 11112n na a +<⋅当2n ≥时，321112a a <⋅431112a a <⋅541112a a <⋅………11112n n a a -<⋅累乘得： 221112n n a a -⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭ ∴212311111111173...1...5252552n n a a a a -⎛⎫+++≤++⨯++⨯<< ⎪⎝⎭20.（1）由23e =223a b =，椭圆方程为22233x y b +=椭圆上的点到点Q 的距离()()222222332d x y b y y =+-=-+-)222443y y b b y b =--++-≤≤当①1b -≤-即1b ≥,2max 633d b =+=得1b =当②1b ->-即1b <,2max 443d b b ++=得1b =（舍）∴ 1b =∴ 椭圆方程为2213x y += （2）11sin sin 22AOB S OA OB AOB AOB ∆=⋅∠=∠当90AOB ∠=，AOB S ∆取最大值12，点O 到直线l 距离2222d m n ==+∴222m n +=又∵2213m n +=解得：2231,22m n ==所以点M 的坐标为62626262,22222222⎛⎫⎛⎛⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭或或或 AOB ∆的面积为1221.（1）记()()()223161h x x a x a a =-++<()()()291483139a a a a ∆=+-=-- ① 当0∆<，即113a <<，()0,D =+∞ ② 当103a <≤， 22339309339309a a a a a a D ⎛⎫+--+++-+=⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭③ 当0a ≤，2339309a a a D ⎫++-+=+∞⎪⎪⎝⎭（2）由()()266160=1f x x a x a x a '=-++=得，得① 当113a <<，()D f x a 在内有一个极大值点，有一个极小值点1 ② 当103a <≤，∵()()12316=310h a a a =-++-≤ ()()222316=30h a a a a a a a =-++->∴ 1,D a D ∉∈∴ ()D f x a 在内有一个极大值点③ 当0a ≤，则a D ∉又∵()()12316=310h a a a =-++-<∴ ()D f x 在内有无极值点理科数学试卷评析——汪治平1.整体分析：试卷难度偏易，题型较正统，解答题考查了常见六大板块：三角函数、概率统计、立体几何、数列、解析几何、函数与导数。
2012年高考广东数学(理)试卷解析学生版
2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）B 数学（理科）一 、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.3 若向量BA =（2,3），CA =（4,7），则BC =A （-2,-4）B (3,4)C (6,10D (-6,-10)4.下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是 A.-1x +12）x 1x5.已知变量x ，y 满足约束条件241y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则z=3x+y 的最大值为.11 C7.从个位数与十位数之和为奇数的两位数种任取一个，其个位数为0的概率是A. 49B. 13C. 29D. 198. 对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβαβββ=；若平面向量,a b 满足0a b ≥>，a 与b 的夹角(0,)4πθ∈，且a b 和b a 都在集合}2n n Z ⎧∈⎨⎩中，则a b =( )A ．12 C. 32 D. 52二、填空题：本大题共7小题，考生答6小题，每小题5分，满分30分。
（一）必做题（9-13题）9.不等式|x+2|-|x|≤1的解集为_____.13.执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出s 的值为 .（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）三、解答题：本大题共6小题，满分80分。
解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
17. （本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[40,50][50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]。
（1）求图中x 的值；（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求的数学期望.19. （本小题满分14分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n =an+1-2n+1，n ∈N ﹡,且a 1，a 2+5，a 3成等差数列。
2012广东高考理科数学试卷(工整排版)
2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）A数学（理科）本试卷共4页，21题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔盒涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5.考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：柱体的体积公式V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高。
锥体的体积公式为13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设i 为虚数单位，则复数56ii-= A. 65i + B. 65i - C. 65i -+ D. 65i --2.设集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,2,4M =，则U C M =A. UB. {}1,3,5C. {}3,5,6D. {}2,4,6 3.若向量(2,3),(4,7)B A C A ==，则BC =A. (2,4)--B. (2,4)C. (6,10)D. (6,10)--4.下列函数中，在区间0+∞（，）上为增函数的是A. ln(2)y x =+B. 1y x =-+C. 1()2x y = D. 1y x x =+5.已知变量,x y 满足约束条件211x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值为A.12B.11C.3D. 1- 6.某几何体的三视图如图1所示，它的体积为A. 12πB. 45πC. 57πD. 81π7.从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是 A.49B. 13C. 29D. 198.对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβαβββ⋅*=⋅。
2012年高考数学理(广东卷)及答案!!!!
2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）A数学（理科）本试卷共4页，21题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔盒涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5.考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：主体的体积公式V=Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高。
锥体的体积公式为13V sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高。
一 、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设i 为虚数单位，则复数56ii-= A ． 65i + B ．65i - C ．65i -+ D ．65i -- 2．设集合U={1,2,3,4,5,6}， M={1,2,4 } 则U C M =A ．UB ．{1,3,5}C ．{3,5,6}D ．{2,4,6}3．若向量BA=（2,3），CA =（4,7），则BC =A ．（-2,-4）B ．(2,4)C ．(6,10)D ．(-6,-10) 4．下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是A ．ln(2)y x =+B ．y =C ．y=12x⎛⎫⎪⎝⎭D ．1y x x =+5．已知变量x ，y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则z=3x+y 的最大值为A ．12B ．11C ．3D ．1- 6．某几何体的三视图如图1所示，它的体积为 A ．12π B.45π C.57π D.81π7．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个， 其个位数为0的概率是 A.49 B. 13 C. 29 D. 198.对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβαβββ⋅=⋅．若平面向量,a b 满足0a b ≥> ，a 与b 的夹角(0,)4πθ∈，且a b 和b a 都在集合2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中，则a b =A ．12 B.1 C. 32 D. 52二、填空题：本大题共7小题，考生答6小题，每小题5分，满分30分。
2012广东高考数学试题及答案
2012广东高考数学试题及答案2012年广东省高考数学试题一、选择题（每题3分，共36分）1. 下列哪个选项是最小的正整数？A. 0B. 1C. -1D. 22. 已知函数f(x) = 2x + 3，求f(-1)的值。
A. -1B. 1C. 3D. 53. 不等式3x - 5 > 2x + 1的解集是：A. x > 3B. x > 6C. x < 3D. x < 64. 已知三角形ABC中，∠BAC = 90°，AB = 3cm，AC = 4cm，求BC的长。
A. 5cmB. 6cmC. 7cmD. 8cm5. 圆的方程为(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9，求圆心到直线x + y - 6 = 0的距离。
A. 3B. 4C. 5D. 66. 已知数列1, 3, 5, 7, ...，其第15项的值为：A. 29B. 30C. 31D. 327. 函数y = |x - 1| + |x + 2|的最小值是：A. 0B. 1C. 3D. 48. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A∪B。
A. {1, 2, 3}B. {1, 2, 3, 4}C. {2, 3}D. {1, 2, 3, 4, 5}9. 根据题目信息，下列哪个选项是错误的？A. 正确B. 错误C. 无法判断D. 正确10. 已知复数z = 2 + 3i，求其共轭复数。
A. 2 - 3iB. 3 + 2iC. 3 - 2iD. -2 + 3i11. 一个袋子里有3个红球和2个蓝球，随机抽取2个球，抽到一个红球和一个蓝球的概率是：A. 1/2B. 3/5C. 2/5D. 3/1012. 已知向量a = (1, 2)，b = (3, 4)，求a·b。
A. 5B. 6C. 8D. 10二、填空题（每题4分，共24分）13. 已知等差数列的前三项和为24，第二项为8，求首项a1。
2012年高考数学理(广东)
2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）A数学（理科）本试卷共4页，21题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔盒涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5.考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：主体的体积公式V=Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高。
锥体的体积公式为，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高。
一 、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 设i 为虚数单位，则复数56i i-=A 6+5iB 6-5iC -6+5iD -6-5i2 设集合U={1,2,3,4,5,6}， M={1,2,4 } 则CuM= A .U B {1,3,5} C {3,5,6} D {2,4,6}3 若向量BA=（2,3），C A =（4,7），则BC =A （-2,-4）B (3,4)C (6,10D (-6,-10)4.下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是A.y=ln （x+2）B.y=-C.y=（12）xD.y=x+1x5.已知变量x ，y 满足约束条件，则z=3x+y 的最大值为A.12B.11C.3D.-16,某几何体的三视图如图1所示，它的体积为A．12π B.45π C.57π D.81π7.从个位数与十位数之和为奇数的两位数种任取一个，其个位数万恶哦0的概率是A. 49B.13C.29D.198.对任意两个非零的平面向量α和β，定义。
2012广东高考理数含答案
正视图侧视图.2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．设i 为虚数单位,则复数56ii-=( ) A.65i +B ．65i -C ．65i -+D ．65i --【解析】D ；()5656566511i i i i i i --+===----,故选D ． 2．设集合{1,23,4,5,6}U =，,{1,2,4}M =,则M U =ð( )A ．UB ．{1,3,5}C ．{3,5,6}D ．{2,4,6}【解析】C ；送分题,直接考察补集的概念,{}M 3,5,6U =ð,故选C ．3．若向量(2,3)BA = ,(4,7)CA = ,则BC =( )A ．(2,4)--B ．(3,4)C ．(6,10)D ．(6,10)--【解析】A ；考察向量的运算法则,()()()2,34,72,4BC BA AC =+=+--=--,故选A ．4．下列函数中,在区间(0,)+∞上为增函数的是( )A ．ln(2)y x =+B ．y =C ．1()2xy =D ．1y x x=+【解析】A ；函数ln(2)y x =+的图像可由函数ln y x =的图像向左平移2个单位得到,显然满足题意.5．已知变量,x y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩,则3z x y =+的最大值为( ) A ．12 B ．11 C ．3 D ．1- 【解析】B ；画出可行域如图所示,将“三角”区域的角点代入比较可知, 当3,2x y ==时,3z x y =+取得最大值为11. 6．某几何体的三视图如图所示,它的体积为( )A ．12πB ．45πC ．57πD ．81π 【解析】C ；三视图对应的实物图为“上部分为圆锥,下部分为圆柱”的几何体,易得圆锥的高为4,所以2213435573V πππ=⋅⋅⋅+⋅⋅=.7．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其中个位数为0的概率是( ) A ．49 B ．13 C ．29 D ．19【解析】D ；首先求“个位数与十位数之和为奇数的两位数”的个数,利用“奇数+偶数=奇数”分两种情况求:①即十位数字分别为1,3,5,7,9时,个位数字可以为:0,2,4,6,8,此时有5525⨯=个；②十位数字为2,4,6,8时,个位数字可以为:1,3,5,7,9,此时有4520⨯=个；故“个位数与十位数之和为奇数的两位数”的个数有252045+=个,从中任取一个,个位数为0的数有5个,故所求概率为51459=,选D . 8．对任意两个非零的平面向量,αβ,定义αβαβββ⋅=⋅ .若平面向量,a b 满足0a b ≥> ,a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且a b 和b a都在集合|2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中,则a b =( )A ．12B ．1C ．32D ．52【解析】C ；因为||cos cos 1||b a b b a a a a θθ⋅==≤<⋅ ,且a b 和b a 都在集合|2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中,所以12b a = ,||12cos ||b a θ= ,所以2||cos 2cos 2||a ab b θθ==<,且22cos 1a b θ=> ,所以12a b << ,故有32a b = ,选C .【另解】C ；1||cos 2||k a a b b θ== ,2||cos 2||k b b a a θ==,两式相乘得212cos 4k k θ=,因为0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,12,k k 均为正整数,于是cos 1θ<=<,所以1224k k <<,所以123k k =,而0a b ≥> ,所以123,1k k ==,于是32a b = ,选C .二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分(一)必做题(9～13题)9．不等式|2|||1x x +-≤的解集为___________．【解析】1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦；“|2|||x x +-”的几何意义为“点x 到2-和0的距离之差”,画出数轴,先找出临界“|2|||1x x +-=的解为12x =-”,然后可得解集为10．261()x x+的展开式中3x 的系数为__________．（用数字作答）B.第15题图AC PO【解析】20；通项()621231661rrr r rr T C x C xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭,令1233r -=得 3r =,此时对应系数为3620C =.11．已知递增的等差数列{}n a 满足11a =,2324a a =-,则n a =________. 【解析】21n -；设公差为()0d d >,依题意可得()21214d d +=+-,解得2d =(2-舍去),所以21n a n =-.12．曲线33y x x =-+在点(1,3)处的切线方程为__________． 【解析】21y x =+；求导得231y x '=-,1|2x y ='=,由直线的点斜式 方程得()321y x -=-,整理得21y x =+.13．执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为8,则输出s 的值为____．【解析】8；第一次循环得2,4,2s i k ===;第二次循环得4s =,6,3i k ==;第三次循环得8,8,4s i k ===,此时不满足8i <,输出8s =.（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14. (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系中xOy 中,曲线1C 和曲线2C 的参数方程分别为⎩⎨⎧==t y t x （t 为参数）和⎪⎩⎪⎨⎧==θθsin 2cos 2y x (θ为参数),则曲线1C 和曲线2C 的交点坐标为 .【解析】()1,1；对应的普通方程分别为y =和222x y +=,联立得交点坐标为()1,1.15. (几何证明选做题)如图,圆O 的半径为1,,,A B C 是圆上三点,且满足︒=∠30ABC ,过点A 作圆O 的切线与OC 的延长线交 于点P ,则PA = ．,OA AC ,易得60,30AOC CAP ∠=︒∠=︒,在 直角三角形OAP 中,根据题中的数量关系易得PA =三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）已知函数()2cos(6f x x πω=+(其中R x ∈>,0ω)的最小正周期为π10．(Ⅰ) 求ω的值；(Ⅱ) 设,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,56(5)35f πα+=-,516(5)617f πβ-=,求cos()αβ+的值． 【解析】(Ⅰ)由210ππω=得15ω=. (Ⅱ)由(Ⅰ)知1()2cos()56f x x π=+,由56516(5),(5)35617f f ππαβ+=--=得第17题图P ABCDE第18题图3sin 5α=,8cos 17β=.又,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以4cos 5α=,15sin 17β=, 所以324513cos()cos cos sin sin 858585αβαβαβ+=-=-=-17．（本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所 示,其中成绩分组区间是:[40,50][50,60][60,70][70,80][80,90][90,100](Ⅰ) 求图中x 的值;(Ⅱ) 从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ,求ξ的数学期望． 【解析】(Ⅰ) 由()0.00630.010.054101x ⨯+++⨯= 解得0.018x =.(Ⅱ)成绩不低于80分的学生人数有()500.0180.0061012⨯+⨯=人. 成绩在90分以上（含90分）的人数有500.006103⨯⨯=人. 随机变量ξ的可能取值为0,1,2,且()292126011C P C ξ===,()11392129122C C P C ξ===,()232121222C P C ξ===, 所以ξ的分布列为ξ的数学期望0121122222E ξ=⨯+⨯+⨯=.18．（本小题满分13分）如图所示,在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，点 E 在线段PC 上，PC ⊥平面BDE 。
2012年广东省高考数学试卷(理科)教师版
2012 年广东省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8 小题，每题 5 分，满分 40 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1．（5 分）（2012?广东）设 i 是虚数单位，则复数=（）A．6+5i B．6﹣5i C．﹣ 6+5i D．﹣ 6﹣ 5i【剖析】把的分子分母同时乘以i，获得，利用虚数单位的性质，得，由此能求出结果．【解答】解：===﹣6﹣5i．应选： D．2．（5 分）（2012?广东）设会合 U={ 1，2，3，4，5，6} ，M={ 1，2，4} ，则 ?U M=（）A．U B．{ 1，3，5}C．{ 3，5，6}D．{ 2，4，6}【剖析】直接利用补集的定义求出 C U M ．【解答】解：∵会合 U={ 1，2，3，4，5，6} ，M={ 1，2，4} ，则?U，，，M={3 56}应选： C．3．（ 5 分）（2012?广东）若向量，，向量，，则=（）A．（﹣ 2，﹣ 4）B．（3，4）C．（6，10）D．（﹣ 6，﹣ 10）【剖析】由向量，，向量，，知，，，，再由，能求出结果．【解答】解：∵向量，，向量，，∴，，，，∴=（﹣ 4，﹣ 7）﹣（﹣ 2，﹣ 3）=（﹣ 2，﹣ 4）．应选： A．4．（5 分）（2012?广东）以下函数，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．y=ln（ x+2）B．C．D．【剖析】利用对数函数的图象和性质可判断A 正确；利用幂函数的图象和性质可判断 B 错误；利用指数函数的图象和性质可判断 C 正确；利用“对勾”函数的图象和性质可判断 D 的单一性【解答】解： A，y=ln（ x+2）在（﹣ 2，+∞）上为增函数，故在（0， +∞）上为增函数， A 正确；B，在[ ﹣1，+∞）上为减函数；清除BC，在 R 上为减函数；清除CD，在（ 0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，清除D应选： A．，知足拘束条件，则 z=3x+y 的最5．（ 5 分）（2012?广东）已知变量 x y大值为（）A．12B．11C．3D．﹣ 1【剖析】先画出线性拘束条件表示的可行域，在将目标函数给予几何意义，数形联合即可得目标函数的最值【解答】解：画出可行域如图暗影部分，由得 C（3，2）目标函数 z=3x+y 可看做斜率为﹣ 3 的动直线，其纵截距越大，z 越大，由图数形联合可适当动直线过点 C 时， z 最大 =3× 3+2=11应选： B．6．（5 分）（2012?广东）某几何体的三视图如下图，它的体积为（）A．12πB．45πC．57πD．81π【剖析】由题设知，组合体上部是一个母线长为5，底面圆半径是 3 的圆锥，下部是一个高为 5，底面半径是 3 的圆柱，分别依据两几何体的体积公式计算出它们的体积再相加即可获得正确选项【解答】解：由三视图可知，此组合体上部是一个母线长为5，底面圆半径是3的圆锥，下部是一个高为5，底面半径是 3 的圆柱故它的体积是5×π×32+π×32×=57π应选： C．7．（5 分）（2012?广东）从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0 的概率是（）A．B．C．D．【剖析】先求个位数与十位数之和为奇数的两位数的个数n，而后再求个位数与十位数之和为奇数的两位数的个数，由古典概率的求解公式可求【解答】解：个位数与十位数之和为奇数的两位数中，其个位数与十位数有一个为奇数，一个为偶数，共有=45记：“个位数与十位数之和为奇数的两位数中，其个位数为0”为事件 A，则 A 包含的结果： 10，30，50，70，90 共 5 个由古典概率的求解公式可得，P（A）=应选： D．8．（5 分）（ 2012?广东）对随意两个非零的平面向量和，定义○ =，若平面向量、知足||≥|| ＞0，与的夹角，，且○和○都在会合中，则○=（）A．【剖析】由题意可得B．1○ =C．= ，同理可得○=D．=，故有n≥m且 m、n∈z．再由 cos2θ=，与的夹角θ∈（ 0，），可得 cos2θ∈（，1），即∈（， 1），由此求得【解答】解：由题意可得n、m 的值，进而获得○===○==的值．= ， n∈ Z．同理可得○====，m∈Z．因为| | ≥|| ＞ 0，∴ n≥m 且 m、n∈z．∴ cos2θ=．再由与的夹角θ∈（ 0，），可得 cos2θ∈（，1），即∈（，1）．故有 n=3，m=1，∴○ = =，应选： C．二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每题 5 分，满分 30 分．（一）必做题（ 9～13 题）（二）选做题（ 14～ 15 题，考生只好从中选做一题）9．（5 分）（2012?广东）不等式 | x+2| ﹣| x| ≤1 的解集为，．【剖析】由题意，可先将不等式左侧变形为分段函数的形式，而后再分三段解不等式，将每一段的不等式的解集并起来即可获得所求不等式的解集，【解答】解：∵ | x+2| ﹣| x| =，＜＜，∴x≥0 时，不等式 | x+2| ﹣ | x| ≤ 1 无解；当﹣ 2＜x＜ 0 时，由 2x+2≤1 解得 x≤，即有﹣ 2＜x≤；当 x≤﹣ 2，不等式 | x+2| ﹣ | x| ≤ 1 恒成立，综上知不等式 | x+2| ﹣ | x| ≤1的解集为，故答案为，10．（ 5 分）（2012?广东）中 x3的系数为 20 ．（用数字作答）【剖析】由题意，可先给出二项式的通项，再由通项确立出x3是睁开式中的第几项，进而得出其系数【解答】解：由题意，的睁开式的通项公式是 Tr+1== x12﹣3r令 12﹣ 3r=3 得 r=3因此中 x3的系数为 =20故答案为 20．（分）（广东）已知递加的等差数列{ a n } 知足 a1， 3 22﹣4，则 a n11 52012?=1 a =a=2n﹣ 1 ．【剖析】由题意，设公差为 d，代入，直接解出公式 d，再由等差数列的通项公式求出通项即可获得答案【解答】解：因为等差数列 { a n } 知足 a1，，令公差为d=1因此 1+2d=（1+d）2﹣4，解得 d=±2又递加的等差数列 { a n } ，可得 d=2因此 a n=1+2（n﹣1）=2n﹣ 1故答案为： 2n﹣ 1．12（．5 分）（2012?广东）曲线 y=x3﹣x+3 在点（ 1，3）处的切线方程为2x﹣y+1=0．【剖析】先求出导函数，而后将x=1 代入求出切线的斜率，利用点斜式求出直线的方程，最后化成一般式即可．【解答】解： y′=3x2﹣ 1，令 x=1，得切线斜率 2，因此切线方程为y﹣ 3=2（x﹣1），即 2x﹣y+1=0．故答案为： 2x﹣y+1=0．n 的值为8，则输出13．（5 分）（ 2012?广东）履行如下图的程序框图，若输入的 s 的值为8．【剖析】由已知中的程序框图及已知中输入8，可得：进入循环的条件为i＜8，即 i=2， 4， 6 模拟程序的运转结果，即可获得输出的s 值．【解答】解：当 i=2， k=1 时， s=2，；当 i=4，k=2 时， s= （2×4）=4；当 i=6，k=3 时， s= （4×6）=8；当 i=8，k=4 时，不知足条件“i＜8”，退出循环，则输出的 s=8故答案为： 814．（5 分）（2012?广东）（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C1与C2的参数方程分别为（t为参数）和（θ为参数），则曲线C1与C2的交点坐标为（1，1）．【剖析】把曲线 C1与 C2的参数方程分别化为一般方程，解出对应的方程组的解，即得曲线 C1与 C2的交点坐标．【解答】解：在平面直角坐标系xOy 中，曲线 C1与 C2的一般方程分别为 y2=x，x 2+y2．=2解方程组可得，故曲线 C1与 C2的交点坐标为（ 1， 1），故答案为（ 1， 1）．15．（ 2012?广东）（几何证明选讲选做题）如图，圆O 中的半径为 1，A、B、C 是圆周上的三点，知足∠ ABC=30°，过点 A 作圆 O 的切线与 OC的延伸线交于点 P，则图 PA=．【剖析】连结 OA，依据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，获得∠ AOC=60°．因为直线 PA与圆 O 相切于点 A，且 OA 是半径，获得△ PAO是直角三角形，最后利用三角函数在直角三角形中的定义，联合题中数据可得PA=OAtan60°= ．【解答】解：连结 OA，∵圆 O 的圆周角∠ ABC对弧 AC，且∠ ABC=30°，∴圆心角∠ AOC=60°．又∵直线 PA与圆 O 相切于点 A，且 OA 是半径，∴OA⊥ PA，∴Rt△PAO中， OA=1，∠ AOC=60°，∴PA=OAtan60°=故答案为：三、解答题：本大题共6 小题，满分 80 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（ 12 分）（ 2012?广东）已知函数f（x）=2cos（ωx+ ）（此中ω＞ 0， x∈ R）的最小正周期为 10π．（ 1）求ω的值；（ 2）设α，β∈[ 0，] ，f（5α+ ）=﹣，f （5β﹣） = ，求 cos（α+β）的值．【剖析】（1）由题意，因为已经知道函数的周期，可直接利用公式ω== 解出参数ω 的值；（ 2）由题设条件，可先对，与出α与β两角的函数值，再由作弦的和角公式求出【解答】解：（1）由题意，函数小正周期为 10π因此ω== ，即因此（2）因为，，，，分别代入得及∵ ，，∴，∴进行化简，求cos（α+β）的值．（此中ω＞0，x∈R）的最17．（ 13 分）（ 2012?广东）某班 50 位学生期中考试数学成绩的频次直方散布图如下图，此中成绩分组区间是： [ 40，50），[ 50，60），[ 60，70），[ 70，80），[ 80，90），[ 90，100] ．（1）求图中 x 的值；（2）从成绩不低于 80 分的学生中随机选用 2 人，该 2 人中成绩在 90 分以上（含90 分）的人数记为ξ，求ξ的数学希望．【剖析】（1）依据因此概率的和为 1，即所求矩形的面积和为1，成立等式关系，可求出所求；（ 2）不低于 80 分的学生有 12 人， 90 分以上的学生有 3 人，则随机变量ξ的可能取值有 0，1，2，而后依据古典概型的概率公式求出相应的概率，进而可求出数学希望．【解答】解：（1）由 30×0.006+10×0.01+10×0.054+10x=1，得 x=0.018（2）由题意知道：不低于 80 分的学生有 12 人， 90 分以上的学生有 3 人随机变量ξ的可能取值有 0，1，2∴18．（13 分）（2012?广东）如下图，在四棱锥 P﹣ ABCD中，底面 ABCD为矩形，PA⊥平面 ABCD，点 E 在线段 PC上， PC⊥平面 BDE．（1）证明： BD⊥平面 PAC；（2）若 PA=1，AD=2，求二面角 B﹣PC﹣ A 的正切值．【剖析】（ 1）由题设条件及图知，可先由线面垂直的性质证出PA⊥ BD 与 PC⊥BD，再由线面垂直的判断定理证明线面垂直即可；（ 2）由图可令 AC与 BD 的交点为 O，连结 OE，证明出∠ BEO为二面角 B﹣PC﹣A的平面角，而后在其所在的三角形中解三角形即可求出二面角的正切值．【解答】解：（1）∵ PA⊥平面 ABCD∴PA⊥BD∵PC⊥平面 BDE∴PC⊥BD，又 PA∩PC=P∴BD⊥平面 PAC（2）设 AC 与 BD交点为 O，连 OE∵PC⊥平面 BDE∴PC⊥平面 BOE∴PC⊥BE∴∠ BEO为二面角 B﹣ PC﹣ A 的平面角∵BD⊥平面 PAC∴BD⊥AC∴四边形 ABCD为正方形，又 PA=1，AD=2，可得 BD=AC=2 ，PC=3∴OC=在△ PAC∽△ OEC中，又 BD⊥ OE，∴∴二面角 B PC A 的平面角的正切319．（ 14 分）（ 2012?广）数列 { a n } 的前 n 和 S n，足 2S n=a n+12n+1+1， n∈N*，且a1， a2+5，a3成等差数列．（1）求 a1的；（2）求数列 { a n} 的通公式；（ 3）明：全部正整数n，有＜．【剖析】（ 1）在 2S n=a n+12n+1+1 中，令分令 n=1，2，可求得 a2=2a1+3，a3=6a1+13，又 a1，a2+5， a3成等差数列，进而可求得a1；（ 2）由 2S n n+12n+1+1，n+2n+1+2n+1①，a n+1n +2n =a得 a=3a=3a②，由①②可知 { a n+2n} 首是 3，3 公比的等比数列，进而可求a n；（ 3）由 a n 2n（）（n﹣1+3n﹣2× 2+3n﹣3× 22+⋯+2n﹣1）≥3n﹣1可得≤，n=3=323累加后利用等比数列的乞降公式可得；【解答】解：（1）在 2S n=a n+12n+1+1 中，令 n=1 得： 2S1=a2 22 +1，令 n=2 得： 2S2=a3 23 +1，解得： a2=2a1+3，a3=6a1+13又 2（a2+5） =a1+a3解得 a1=1（2）由 2S n=a n+1 2n+1+1，①2S n﹣1=a n 2n+1（n≥2），②① ②得： a n+1=3a n+2n，又 a1=1， a2=5 也足 a2=3a1+21，因此 a n+1=3a n +2n n∈N* 成立∴a n+1+2n+1=3（ a n+2n），又 a1=1，a1+21=3，∴a n+2n=3n，∴a n=3n 2n；（3）∵ a n =3n 2n=（3 2）（ 3n﹣1+3n﹣2×2+3n﹣3×22+⋯+2n﹣1）≥ 3n﹣1∴≤，∴+ + +⋯+≤1+++⋯+=＜．20．（ 14 分）（ 2012?广）在平面直角坐系xOy 中，已知C：＞＞的离心率，且C上的点到点Q（0，2）的距离的最大3．（1）求 C 的方程；（2）在 C 上，能否存在点 M（m，n），使得直 l ：mx+ny=1 与 O：x2+y2=1订交于不一样的两点 A、B，且△ OAB 的面最大？若存在，求出点 M 的坐及的△ OAB 的面；若不存在，明原因．【剖析】（1）由得a2=3b2，方程x2+3y2=3b2，求出上的点到点Q的距离，利用配方法，确立函数的最大，即可求得方程；（2）假 M （m，n）存在，有 m2+n2＞1，求出 | AB| ，点 O 到直 l 距离，表示出头，利用基本不等式，即可确立三角形面的最大，进而可求点M的坐．【解答】解：（1）由得a2=3b2，方程x2+3y2=3b2上的点到点Q的距离=①当﹣ b≤﹣ 1 时，即 b≥1，②当﹣ b＞﹣ 1 时，即 b＜1，∴b=1∴椭圆方程为（ 2）假定 M （m，n）存在，则有 m2 +n2＞ 1∵ | AB| =，点O到直线l距离得 b=1得 b=1（舍）∴=∵m2+n2＞1∴0＜＜1，∴＞当且仅当，即 m2+n2＞时，△AOB取最大值，=2 1S又∵解得：，因此点 M 的坐标为，或，或，或，，△AOB的面积为．＜，会合A={ x∈R| x＞0}2﹣ 3（1+a）21．（14 分）（2012?广东）设 a1，B={ x∈R| 2x x+6a＞ 0} ，D=A∩B．（1）求会合 D（用区间表示）；（2）求函数 f（ x）=2x3﹣3（1+a）x2+6ax 在 D 内的极值点．【剖析】（1）依据方程 2x2﹣ 3（ 1+a）x+6a=0 的鉴别式议论 a 的范围，求出相应D即可；（2）由 f ′（x）=6x2﹣6（1+a）x+6a=0 得 x=1，a，而后依据（ 1）中议论的 a 的取值范围分别求出函数极值即可．【解答】解：（1）记 h（x）=2x2﹣3（1+a）x+6a（a＜1）△=9（1+a）2﹣48a=（3a﹣ 1）（3a﹣9），当△＜ 0，即＜＜，D=（0，+∞），当＜，，，当 a≤0，，．（2）由 f ′（x）=6x2﹣ 6（ 1+a）x+6a=0 得 x=1，a，①当＜＜，f（x）在D内有一个极大值点a，有一个极小值点；②当＜，∵ h（1）=2﹣3（1+a）+6a=3a﹣1≤ 0，h（a）=2a2﹣3（1+a）a+6a=3a﹣a2＞0，∴1?D，a∈D，∴f（x）在 D 内有一个极大值点a．③当 a≤0，则 a?D，又∵ h（1）=2﹣ 3（1+a） +6a=3a﹣1＜0．∴f（x）在 D 内有无极值点．。
2012年高考理科数学广东卷有答案
数学试卷 第1页（共18页）数学试卷 第2页（共18页）数学试卷 第3页（共18页）绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)本试卷共6页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的,答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.参考公式：柱体的体积公式V Sh =,其中S 为柱体的底面积,h 为柱体的高.锥体的体积公式13V Sh =,其中S 为锥体的底面积,h 为锥体的高.一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 设i 为虚数单位,则复数56ii-= （ ）A .65i +B .65i -C .65i -+D .65i -- 2. 设集合{1,2,3,4,5,6}U =,{1,2,4}M =,则U M =ð（ ）A .UB .{1,3,5}C .{3,5,6}D .{2,4,6}3. 若向量(2,3)BA =,(4,7)CA =,则BC = （ ） A .(2,4)-- B .(2,4) C .(6,10)D .(6,10)--4. 下列函数中,在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）A .ln(2)y x =+ B.y =C .1()2x y =D .1y x x=+5. 已知变量x ,y 满足约束条件211 y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩≤≥≤,则3z x y =+的最大值为（ ）A .12B .11C .3D .1- 6. 某几何体的三视图如图1所示,它的体积为（ ）A .12πB .45πC .57πD .81π7. 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个 位数为0的概率是（ ）A .49 B .13C .29D .198. 对任意两个非零的平面向量α和β,定义=αβαβββ.若平面向量a ,b 满足||||0a b ≥＞,a 与b 的夹角π(0,)4θ∈,且a b 和b a 都在集合{|}2nn ∈Z 中,则=a b （ ）A .12B .1C .32D .52二、填空题：本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分. （一）必做题（9～13题）9.不等式|2||1|x x +-≤的解集为_______.10.261()x x+的展开式中3x 的系数为_______.（用数字作答）11.已知递增的等差数列{}n a 满足11a =,2324a a =-,则n a =_______.12.曲线33y x x =-+在点(1,3)处的切线方程为________.13.执行如图2所示的程序框图,若输入n 的值为8,则输出s 的值为________.（二）选做题（14—15题,考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 和2C 的参数方程分别为x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩t为参数）和x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）,则曲线1C 与2C 的交点坐标为________.15.（几何证明选讲选做题）如图3,圆O 的半径为1,A 、B 、C 是圆周上的三点,满足30ABC ∠=,过点A 作圆O 的切线与OC 的延长线交于点P ,则PA =_______.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________三、解答题：本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（本小题满分12分）已知函数π()2cos()6f x xω=+（其中0ω>,x∈R）的最小正周期为10π.（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）设π[0,]2αβ,∈,56(5π)35fα+=-,516(5π)617fβ-=,求cos()αβ+的值.17.（本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示,其中成绩分组区间是：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].（Ⅰ）求图中x的值；（Ⅱ）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ,求ξ的数学期望.18.（本小题满分13分）如图5所示,在四棱锥P ABCD-中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,点E在线段PC上,PC⊥平面BDE.（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若1PA=,2AD=,求二面角B PC A--的正切值.19.（本小题满分14分）设数列{}na的前n项和为nS,满足11221nn nS a++=-+,*n∈N,且1a,25a+,3a成等差数列.（Ⅰ）求1a的值；（Ⅱ）求数列{}n a的通项公式；（Ⅲ）证明：对一切正整数n,有1211132na a a+++＜.20.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C：22221x ya b+=（a b＞＞）的离心率e=且椭圆C上的点到点(0,2)Q的距离的最大值为3.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）在椭圆C上,是否存在点(,)M m n,使得直线l：1mx ny+=与圆O：221x y+=相交于不同的两点A、B,且OAB△的面积最大？若存在,求出点M的坐标及对应的OAB△的面积；若不存在,请说明理由.21.（本小题满分14分）设1a＜,集合{|0}A x x=∈＞R,2{|23(1)60}B x x a x a=∈-++＞R,D A B=.（Ⅰ）求集合D（用区间表示）；（Ⅱ）求函数32()23(1)6f x x a x ax=-++在D内的极值点.数学试卷第4页（共18页）数学试卷第5页（共18页）数学试卷第6页（共18页）数学试卷 第7页（共18页）数学试卷 第8页（共18页）数学试卷 第9页（共18页）2012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)答案解析【答案】A【解析】()2,4BC BA AC BA CA =+=-=--．【提示】由向量(2,3)BA =，向量(4,7)CA =，知(2,AB =-，(4,7)AC =--BC AC AB =-能求出结果．4.【答案】A借助于图像可知：当3x =，2y =时，max 11z =．||cos ||a b θ，||cos ||y b a θ，x ，，所以4cos Z ，所以cos θ2223||||a b ，3||||b a ∈Z ， ||||0a b ≥>，所以||1||a b ≥，所以只能取||3||a b =，||1||3a b =， 则||cos 33322||a ab b θ==⨯=．【提示】定义两向量间的新运算，根据数量积运算与新运算间的关系进行化简，再运用集数学试卷 第10页（共18页）数学试卷 第11页（共18页）数学试卷 第12页（共18页）60，所以60，因为直是直角三角形，最后利用三角函数tan603=【考点】同弧所对的圆周角与圆心角的关系，切线的有关性质 （Ⅰ）10T =π=65f ⎛-= ⎝3sin 5α∴=1617f ⎛= ⎝cos β∴=110(0.054x f =-0.018x ∴=（Ⅱ）成绩不低于PA PC P =，PAC ； ACBD O =，连结数学试卷 第13页（共18页）数学试卷 第14页（共18页） 数学试卷 第15页（共18页）所以(0,0,1)P ，(0,2,0)，所以(2,DB =-的一个法向量，(0,2,0)BC =，(2,0,1)BP =-设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =22n BC y n BP x z ⎧==⎪⎨=-+⎪⎩2，取(1,0,2)n =，PC A -的平面角为θ，21||||8510DB n DB n ==所以二面角BPC A --的正切值为3．（Ⅰ）2n n S a +=127a a ⎧⎪-⇒⎨⎪133n -，所以1221122222n n n n n n n C C --++⋯++- 122-1-1222222n n n n n n C C C +++>1)-522(21)=>⨯⨯-，数学试卷 第16页（共18页）数学试卷 第17页（共18页）数学试卷 第18页（共18页）1||||sin 2OA OB AOB ∠点O 到直线AB 的距离d 1)x a+2)(,)x +∞，，2(,A x B +∞=13a <≤时，2)(,)x +∞，30a =>，所以2212339309339309(0,)(,)0,,44a a AB a a a a x x ⎛⎫⎛+--+++-++∞=+∞ ⎪⎪ ⎝⎝⎭=()0g x >AB =(0,+∞综上所述，当0a ≤时，33a ⎫⎛++⎪ ⎪ ⎭⎝2)(,)x +∞，()f x 随x 的变化情况如下表：a。
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2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）题目及答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 . 设i 为虚数单位，则复数56i i-=A 6+5iB 6-5iC -6+5iD -6-5i 2 . 设集合U={1,2,3,4,5,6}， M={1,2,4 } 则CuM= A .U B {1,3,5} C {3,5,6} D {2,4,6}3 若向量BA=（2,3），C A=（4,7），则BC=A （-2,-4）B (3,4)C (6,10D (-6,-10) 4.下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是A.y=ln （x+2）（12）xD.y=x+1x5.已知变量x ，y 满足约束条件，则z=3x+y 的最大值为A.12B.11C.3D.-1 6,某几何体的三视图如图1所示，它的体积为A ．12π B.45π C.57π D.81π7.从个位数与十位数之和为奇数的两位数种任取一个，其个位数万恶哦0的概率是A. 49 B. 13C. 29D. 198.对任意两个非零的平面向量α和β，定义。
若平面向量a，b满足|a|≥|b|＞0，a与b的夹角，且a·b和b·a都在集合中，则A．12 B.1 C. 32D. 52二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。
(一）必做题（9-13题）9.不等式|x+2|-|x|≤1的解集为_____。
10. 的展开式中x³的系数为______。
（用数字作答）11.已知递增的等差数列{a n}满足a1=1，a3=22a-4，则a n=____。
12.曲线y=x3-x+3在点（1，3）处的切线方程为。
13.执行如图2所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为。
（二）选做题（14 - 15题，考生只能从中选做一题）14，（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为和，则曲线C1与C2的交点坐标为_______。
15.（几何证明选讲选做题）如图3，圆O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，满足∠ABC=30°，过点A做圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA=_____________。
三．解答题。
本大题共6小题，满分80分。
解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。
16.（本小题满分12分）已知函数，（其中ω＞0，x∈R）的最小正周期为10π。
（1）求ω的值；（2）设，，，求cos（α＋β）的值。
17. （本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[40,50][50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]。
（1）求图中x的值；（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求得数学期望。
18.（本小题满分13分）如图5所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点 E在线段PC上，PC⊥平面BDE。
（1）、证明：BD⊥平面PAC；（2）、若PA=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值；19. （本小题满分14分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n =an+1-2n+1，n ∈N ﹡,且a 1，a 2+5，a 3成等差数列。
（1）、求a 1的值；（2）、求数列{a n }的通项公式。
（3）、证明：对一切正整数n ，有.20.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：22221(0)xy a b a b+=>>的离心率e=32，且椭圆C 上的点到Q （0，2）的距离的最大值为3. （1）求椭圆C 的方程；（2）在椭圆C 上，是否存在点M （m,n ）使得直线l ：mx+ny=1与圆O ：x 2+y 2=1相交于不同的两点A 、B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及相对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由。
21.（本小题满分14分） 设a ＜1，集合（1）求集合D （用区间表示） （2）求函数在D 内的极值点。
2012年广东高考理科数学参考答案一、选择题二、填空题 ９.1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦； 10. 20； 11. 2n-1； 12. y=2x+1； 13. 16； 14. )1,1(；15.3；三、解答题 16．解：(1)=51,2==ωωπT(2)851317155317854)cos(-=⨯-⨯=+βα17.（1）由300.006100.01100.054101x ⨯+⨯+⨯+=得0.018x =（2）由题意知道：不低于80分的学生有12人，90分以上的学生有3人 随机变量ξ的可能取值有0,1,2()292126011C P C ξ===()11932129122C C P C ξ===()232121222C P Cξ===∴ 69110121122222E ξ=⨯+⨯+⨯=18.（1）∵ PA ABCD ⊥平面∴ PA BD ⊥ ∵ PC BDE ⊥平面 ∴ PC BD ⊥ ∴ BD PAC ⊥平面（2）设AC 与BD 交点为O ，连O E∵ PC BDE ⊥平面 ∴ PC O E ⊥ 又∵ BO PAC ⊥平面 ∴ PC BO ⊥ ∴ PC BOE ⊥平面∴ P C B E ⊥∴ B E O ∠为二面角B P C A --的平面角 ∵ BD PAC ⊥平面 ∴ B D A C ⊥∴ ABCD 四边形为正方形∴ BO =在PAC ∆中，133O E P A O E O CA C =⇒=⇒=∴ tan 3B O B E O O E∠==∴ 二面角B P C A --的平面角的正切值为3 19.（1）在11221n n n S a ++=-+中 令1n =得：212221S a =-+ 令2n =得：323221S a =-+解得：2123a a =+，31613a a =+ 又()21325a a a +=+ 解得11a =（2）由11221n n n S a ++=-+212221n n n S a +++=-+得12132n n n a a +++=+又121,5a a ==也满足12132a a =+所以132n n n a a n N *+=+∈对成立 ∴ ()11+232n n n n a a ++=+ ∴ 23n n n a += ∴ 32n n n a =- （3）（法一）∵()()123211323233232...23n n n n n n n n a -----=-=-+⨯+⨯++≥∴1113n na -≤∴21123111311111113...1 (13)33213nn na a a a -⎛⎫⎛⎫⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+++≤++++=<-（法二）∵1111322322n n n n n n a a ++++=->⨯-=∴11112n n a a +<⋅当2n ≥时，321112a a <⋅431112a a <⋅541112a a <⋅………11112n n a a -<⋅累乘得：221112n n a a -⎛⎫<⋅⎪⎝⎭∴212311111111173...1 (52525)52n n a a a a -⎛⎫+++≤++⨯++⨯<<⎪⎝⎭20.（1）由e =223a b =，椭圆方程为22233x y b +=椭圆上的点到点Q 的距离d ==)b y b =-≤≤当①1b -≤-即1b ≥,max 3d ==得1b =当②1b ->-即1b <,max 3d ==得1b =（舍） ∴ 1b = ∴ 椭圆方程为2213xy +=（2）11sin sin 22A OB S O A O B AO B AO B∆=⋅∠=∠当90AOB ∠= ，AOB S ∆取最大值12，点O 到直线l 距离2d ==∴222m n += 又∵2213mn +=解得：2231,22m n ==所以点M 的坐标为,,22222222⎛⎫⎛⎛⎛----⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭或或或 A O B∆的面积为1221.（1）记()()()223161h x x a x a a =-++<()()()291483139a a a a ∆=+-=-- ① 当0∆<，即113a <<，()0,D =+∞② 当103a <≤，33330,44a a D ⎛⎛⎫+-++=⋃+∞ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭③当0a ≤，4D ⎛⎫=+∞⎪⎪⎝⎭（2）由()()266160=1f x x a x a x a '=-++=得，得① 当113a <<，()D f x a 在内有一个极大值点，有一个极小值点1② 当103a <≤，∵()()12316=310h a a a =-++-≤()()222316=30h a a a a a a a =-++->∴ 1,D a D ∉∈∴ ()D f x a 在内有一个极大值点 ③ 当0a ≤，则a D ∉又∵()()12316=310h a a a =-++-<∴ ()D f x 在内有无极值点。