九年级数学锐角三角函数知识点与典型例题

锐角三角函数：

知识点一：锐角三角函数的定义： 一、 锐角三角函数定义：

在Rt △ABC 中，∠C=900, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ， 则∠A 的正弦可表示为：sinA=， ∠A 的余弦可表示为cosA=

∠A 的正切：tanA= ，它们弦称为∠A 的锐角三角函数 2、取值范围】

例1．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．

第1题图

①斜边

)

(sin =

A ＝______， 斜边)(sin =

B ＝______； ②斜边

)(

cos =A ＝______，

斜边

)

(cos =B ＝______；

③的邻边A A ∠=

)

(tan ＝______，

)

(tan 的对边

B B ∠=

＝______．

例2. 锐角三角函数求值：

在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝9，b ＝12，则c ＝______，

sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______．

例3．已知：如图，Rt △TNM 中，∠TMN ＝90°，MR ⊥TN 于R 点，TN ＝4，MN ＝3．

求：sin ∠TMR 、cos ∠TMR 、tan ∠TMR ．

典型例题：

类型一：直角三角形求值

1．已知Rt △ABC 中，,12,4

3

tan ,90==︒=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ．

2．如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，

⋅=

∠4

3

sin AOC 求AB 及OC 的长．

3．已知：⊙O 中，OC ⊥AB 于C 点，AB ＝16cm ，⋅=∠5

3

sin AOC

(1)求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ； (2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC ．

4. 已知A ∠是锐角，17

8

sin =A ，求A cos ，A tan 的值

对应训练：

1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若BC ＝1，AB =5，则tan A 的值为

A ．

5B ．25 C ．12

D ．2 2．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=5

3

，那么tan A 的值等于（ ）.

A ．35

B .45

C .34

D . 43

类型二. 利用角度转化求值：

1．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点．

DE ∶AE ＝1∶2．求：sin B 、cos B 、tan B ．

2． 如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ，

和点(00)O ，，与x 轴的正半轴交于点D ，B 是y 轴右侧圆弧上一点，则cos ∠OBC 的值为（ ） A ．

12

B ．32

C ．35

D ．4

5

D C B A O

y x

第8题图

A D E

C

B F

D

A

B

C

3.如图，角α的顶点为O

，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一点P （3，4），则

sin α=．

4.如图，菱形ABCD 的边长为10cm ，DE ⊥AB ，3

sin 5

A =

，则这个菱形的面积=cm 2． 5.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为3

2

，

2AC =，则sin B 的值是（）

A ．

23B ．32 C ．34 D ．43

6. 如图6，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已

知8AB =，10BC =，AB=8,则tan EFC ∠的值为 ( ) Ａ．

34 Ｂ．43

Ｃ．

35 Ｄ．45

7. 如图7，在等腰直角三角形ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，D 为AC 上一点，若

1

tan 5

DBA ∠= ，则AD 的长为( )

A ．2

B ．2

C ．1

D ．22

8. 如图8，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，∠A 的平分线AD =

3

3

16求∠B 的度数及边BC 、AB 的长.

类型三. 化斜三角形为直角三角形

例1如图，在△ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB 的长．

例2．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5．

求：sin∠ABC的值．

对应训练

1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求△ABC的周长．（结果保留根号）

2．已知：如图，△ABC中，AB＝9，BC＝6，△ABC的面积等于9，求sin B．

3. ABC中，∠A=60°，AB=6 cm，AC=4 cm，则△ABC的面积是

A.23cm2 .43cm2C.63cm2 D.12 cm2

类型四：利用网格构造直角三角形

例1 如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）

A．

1

2

B．

5

5

C．

10

10

D．

25

5

对应练习：

1．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______.

2．如图，A、B、C三点在正方形网络线的交点处，若将ABC

∆绕着

点A逆时针旋转得到'

'B

AC

∆，则'

tan B的值为

A.

4

1

B.

3

1

C.

2

1

D.1

3．正方形网格中，AOB

∠如图放置，则tan AOB

∠的值是（）

A．

5

5 B.

2 5

5 C.

1

2 D. 2

C

B

A

A

B

O