高等数学(上册)知识点汇总

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高等数学上册知识点

高等数学上册知识点文件编码（008-TTIG-UTITD-GKBTT-PUUTI-WYTUI-8256）高等数学上册第一章函数与极限（一）函数1、函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、反函数、复合函数、函数的运算；3、初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数；4、函数的连续性与间断点；函数)(x f 在0x 连续)()(00x f x f x=→第一类：左右极限均存在。

间断点可去间断点、跳跃间断点第二类：左右极限、至少有一个不存在。

无穷间断点、振荡间断点5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论。

（二）极限 1、定义 1）数列极限 2）函数极限左极限：)(lim )(00x f x f x x -→-= 右极限：)(lim )(00x f x f xx +→+= 2、极限存在准则1）夹逼准则：1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤2）a z y n n n n ==→∞→∞lim lima x n n =∞→lim2）单调有界准则：单调有界数列必有极限。

3、无穷小（大）量1）定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量。

2）无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小Th1 )(~ααββαo +=⇔;Th2 αβαβαβββαα''=''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、求极限的方法 1）单调有界准则； 2）夹逼准则；3）极限运算准则及函数连续性； 4）两个重要极限：a) 1sin lim 0=→xx x b)e x x xx xx =+=++∞→→)11(lim )1(lim 10 5）无穷小代换：（0→x ）a) x e x ~1- （a x a xln ~1-） b) x x ~)1ln(+ （a x x a ln ~)1(log +）第二章导数与微分（一）导数1、定义：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→左导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→- 右导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+函数)(x f 在0x 点可导)()(00x f x f +-'='⇔2、几何意义：)(0x f '为曲线)(x f y =在点())(,00x f x 处的切线的斜率。

高等数学(上册)重点总结

第一章函数、极限和连续§1.1 函数一、主要内容㈠函数的概念1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D定义域: D(f), 值域: Z(f).2.分段函数: ⎩⎨⎧∈∈=21)()(D x x g D x x f y3.隐函数: F(x,y)= 04.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y)y=f -1(x)定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的；则它必定存在反函数：y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X且也是严格单调增加(或减少)的。

㈡函数的几何特性1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2),则称f(x)在D 内单调增加( )；若f(x 1)≥f(x 2),则称f(x)在D 内单调减少( )；若f(x 1)＜f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调增加( )；若f(x 1)＞f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调减少( )。

2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x)3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b)㈢基本初等函数1.常数函数： y=c ， (c 为常数)2.幂函数： y=x n, (n 为实数)3.指数函数： y=a x, (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣复合函数和初等函数1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x)y=f[φ(x)] , x ∈X2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数§1.2 极限一、主要内容㈠极限的概念1. 数列的极限:A ynn =∞→lim称数列{}n y 以常数A 为极限;或称数列{}n y 收敛于A.定理: 若{}n y 的极限存在⇒{}n y 必定有界.2.函数的极限： ⑴当∞→x时，)(x f 的极限：Ax f A x f A x f x x x =⇔⎪⎪⎭⎫==∞→+∞→-∞→)(lim )(lim )(lim ⑵当0x x →时，)(x f 的极限：A x f xx =→)(lim 0左极限：A x f x x =-→)(lim 0右极限：A x f x x =+→)(lim 0⑶函数极限存的充要条件：定理：A x f x f A x f x x x x xx ==⇔=+-→→→)(lim )(lim )(lim 000㈡无穷大量和无穷小量 1．无穷大量：+∞=)(lim x f称在该变化过程中)(x f 为无穷大量。

高数上册知识点总结

高数重点知识总结1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(xa y =)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c) 2、分段函数不是初等函数。

3、无穷小：高阶+低阶=低阶例如：1lim lim020==+→→x xxx x x x 4、两个重要极限：()e x ex xxxx xx x =⎪⎭⎫⎝⎛+=+=∞→→→11lim 1lim )2(1sin lim )1(10 经验公式：当∞→→→)(,0)(,0x g x f x x ，[])()(lim )(0)(1lim x g x f x g x x x x ex f →=+→例如：()33lim 10031lim -⎪⎭⎫ ⎝⎛-→==-→e ex x x xx x5、可导必定连续，连续未必可导。

例如：||x y =连续但不可导。

6、导数的定义：()0000')()(lim)(')()(limx f x x x f x f x f xx f x x f x x x =--=∆-∆+→→∆7、复合函数求导：[][])(')(')(x g x g f dxx g df ∙= 例如：xx x x x x x y x x y ++=++=+=24122211', 8、隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出dy/dx例如：yxdx dy ydy xdx y xy yy x y x -=⇒+-=⇒=+=+22,),2('0'22,),1(122左右两边同时微分法左右两边同时求导解：法 9、由参数方程所确定的函数求导：若⎩⎨⎧==)()(t h x t g y ，则)(')('//t h t g dt dx dt dy dx dy ==，其二阶导数：()[])(')('/)('/)/(/22t h dt t h t g d dt dx dt dx dy d dx dx dy d dx y d === 10、微分的近似计算：)(')()(000x f x x f x x f ∙∆=-∆+ 例如：计算 ︒31sin11、函数间断点的类型：(1)第一类：可去间断点和跳跃间断点；例如：xxy sin =（x=0是函数可去间断点），)sgn(x y =（x=0是函数的跳跃间断点）(2)第二类：振荡间断点和无穷间断点；例如：⎪⎭⎫⎝⎛=x x f 1sin )(（x=0是函数的振荡间断点），x y 1=（x=0是函数的无穷间断点）12、渐近线：水平渐近线：c x f y x ==∞→)(lim铅直渐近线：.)(lim 是铅直渐近线，则若，a x x f ax =∞=→斜渐近线：[]ax x f b xx f a b ax y x x -==+=∞→∞→)(lim ,)(lim,即求设斜渐近线为例如：求函数11223-+++=x x x x y 的渐近线13、驻点：令函数y=f(x)，若f'(x0)=0，称x0是驻点。

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高等数学上册知识点第一章函数与极限、、、函数1、函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、反函数、复合函数、函数的运算；3、初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数；4、函数的连续性与间断点；函数在连续)(x f 0x )()(lim 00x f x f x x =→第一类：左右极限均存在。

间断点可去间断点、跳跃间断点第二类：左右极限、至少有一个不存在。

无穷间断点、振荡间断点5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论。

、、、极限1、定义1、数列极限εε<->∀N ∈∃>∀⇔=∞→a x N n N a x n n n , , ,0lim 2、函数极限εδδε<-<-<∀>∃>∀⇔=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00、、、左极限：右极限：)(lim )(00x f x f xx -→-=)(lim )(00x f x f xx +→+=)()( )(lim 000+-→=⇔=x f x f A x f x x 、、2、极限存在准则1、夹逼准则：1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤2）a z y n n n n ==→∞→∞lim lim ax n n =∞→lim 2、单调有界准则：单调有界数列必有极限。

3、无穷小（大）量1、定义：若则称为无穷小量；若则称为无穷大量。

0lim =α∞=αlim2、无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、阶无穷小k Th1;)(~ααββαo +=⇔Th2 （无穷小代换）αβαβαβββαα''=''''lim lim lim ,~,~、、、、4、求极限的方法1、单调有界准则；2、夹逼准则；3、极限运算准则及函数连续性；4、两个重要极限：a) b)1sin lim 0=→xxx e xx xx xx =+=++∞→→11(lim )1(lim 105、无穷小代换：（）0→x a)xx x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~b)221~cos 1x x -c)（）x e x ~1-a x axln ~1-d)（）x x ~)1ln(+axx a ln ~)1(log +e)xx αα~1)1(-+第二章导数与微分、、、导数1、定义：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→左导数：00)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→-右导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+函数在点可导)(x f 0x )()(00x f x f +-'='⇔2、几何意义：为曲线在点处的切线的斜率。

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高等数学上册第一章函数与极限（一）函数1、函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、反函数、复合函数、函数的运算；3、初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数； 4、函数的连续性与间断点；函数)(x f 在0x 连续 )()(lim 00x f x f xx =→第一类：左右极限均存在。

间断点可去间断点、跳跃间断点第二类：左右极限、至少有一个不存在。

无穷间断点、振荡间断点5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论。

（二）极限 1、定义 1）数列极限εε<->∀N ∈∃>∀⇔=∞→a x N n N a x n n n , , ,0lim 2）函数极限δδε-<-<∀>∃>∀⇔=→Ax f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00时，当左极限：)(lim )(00x f x f x x -→-= 右极限：)(lim )(00x f x f x x +→+= )()( )(lim 000+-→=⇔=x f x f A x f x x 存在2、极限存在准则 1）夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤2）a z y n n n n ==→∞→∞lim lim a x n n =∞→lim2）单调有界准则：单调有界数列必有极限。

3、无穷小（大）量1）定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量。

2）无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββαo +=⇔;Th2 αβαβαβββαα''=''''lim lim lim,~,~存在，则（无穷小代换）4、求极限的方法 1）单调有界准则； 2）夹逼准则；3）极限运算准则及函数连续性； 4）两个重要极限： a) 1sin lim 0=→xxxb)e xx xx xx =+=++∞→→)11(lim )1(lim 10 5）无穷小代换：（0→x ） a)x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~b) 221~cos 1x x -c) x e x~1- （a x a xln ~1-）d) x x ~)1ln(+ （a xx a ln ~)1(log +）e)x x αα~1)1(-+第二章导数与微分（一）导数1、定义：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→左导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→-右导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+函数)(x f 在0x 点可导)()(00x f x f +-'='⇔2、几何意义：)(0x f '为曲线)(x f y =在点())(,00x f x 处的切线的斜率。

(完整版)高等数学(上)重要知识点归纳

高等数学（上)重要知识点归纳第一章函数、极限与连续一、极限的定义与性质 1、定义（以数列为例）,,0lim N a x n n ∃>∀⇔=∞→ε当N n >时，ε<-||a x n2、性质(1） )()()(lim 0x A x f A x f xx α+=⇔=→,其中)(x α为某一个无穷小。

（2)（保号性）若0)(lim 0>=→A x f xx ,则,0>∃δ当),(0δx U x o∈时，0)(>x f 。

（3)*无穷小乘以有界函数仍为无穷小。

二、求极限的主要方法与工具 1、＊两个重要极限公式 (1)1sin lim=∆∆→∆ （2)e =◊+◊∞→◊)11(lim 2、两个准则（1）＊夹逼准则（2)单调有界准则 3、＊等价无穷小替换法常用替换：当0→∆时（1)∆∆~sin (2)∆∆~tan(3)∆∆~arcsin (4)∆∆~arctan（5）∆∆+~)1ln( （6）∆-∆~1e （7）221~cos 1∆∆- （8）nn ∆-∆+~114、分子或分母有理化法5、分解因式法 6用定积分定义三、无穷小阶的比较＊高阶、同阶、等价1、连续的定义＊)(x f 在a 点连续)()()()()(lim 0lim 0a f a f a f a f x f y ax x ==⇔=⇔=∆⇔-+→→∆2、间断点的分类⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧其他震荡型（来回波动））无穷型（极限为无穷大第二类但不相等）跳跃型（左右极限存在可去型（极限存在）第一类 3、曲线的渐近线*ax x f A y A x f ax x =∞===→∞→则存在渐近线：铅直渐近线：若则存在渐近线：水平渐近线：若,)(lim )2(,)(lim )1(五、闭区间连续函数性质 1、最大值与最小值定理 2、介值定理和零点定理第二章导数与微分一、导数的概念 1、导数的定义＊a f x f a f x a f y dy a f y ax x x a x a x -=-∆+=∆=='='→→∆→∆==)()(lim )()(lim lim |)(|002、左右导数左导数ax a f x f x y a f a x x --=∆∆='--→→∆-)()(limlim)(0 右导数ax a f x f x y a f a x x --=∆∆='++→→∆+)()(limlim)(03、导数的几何意义＊k a f a x f y a x 处的切线斜率在点（曲线))(,)(|='=4、导数的物理意义加速度）速度）则若运动方程：()()()(,)(()()(t a t v t s t v t s t s s ='=''='= 5、可导与连续的关系：连续，反之不然。

(完整版)高等数学上册知识点

永不改变年轻时的梦想
10 页共 19 页 3、凹凸性及其判断，拐点 1）)(xf在区间I上连续，若2)()()2( ,,212121xfxfxxfIxx，则称)(xf在区间I 上的图形是凹的；若2)()()2( ,,212121xfxfxxfIxx，则称)(xf在区间I 上的图形是凸的。 2）判定定理：)(xf在],[ba上连续，在),(ba上有一阶、二阶导数，则 a) 若0)(),,(xfbax,则)(xf在],[ba上的图形是凹的； b) 若0)(),,(xfbax,则)(xf在],[ba上的图形是凸的。 3）拐点：设)(xfy在区间I上连续，0x是)(xf的内点，如果曲线)(xfy经过点))(,(00xfx时，曲线的凹凸性改变了，则称点))(,(00xfx为曲线的拐点。（五）不等式证明 1、利用微分中值定理； 2、利用函数单调性； 3、利用极值（最值）。（六）方程根的讨论
永不改变年轻时的梦想
7 页共 19 页（三） Taylor公式 n阶Taylor公式： 10)1(00)(200000)()!1()()(!)( )(!2)())(()()(nnnnxxnfxxnxfxxxfxxxfxfxf 在0x与x之间. 当00x时，成为n阶麦克劳林公式： 1)1()(2)!1()(!)0(!2)0(!1)0()0()(nnnnxnfxnfxfxffxf 在0与x之间. 常见函数的麦克劳林公式： 1）12)!1(!1!211nnxxnexnxxe
永不改变年轻时的梦想
1 页共 19 页高等数学上册第一章函数与极限（一）函数 1、函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、反函数、复合函数、函数的运算； 3、初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数； 4、函数的连续性与间断点；函数)(xf在0x连续 )()(lim00xfxfxx 第一类：左右极限均存在。间断点可去间断点、跳跃间断点第二类：左右极限、至少有一个不存在。无穷间断点、振荡间断点 5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论。（二）极限 1、定义 1）数列极限

高数(上)期末复习重点

高数〔上册〕期末复习要点第一章：1、极限〔夹逼准则〕2、连续〔学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型〕第二章：1、导数〔学会用定义证明一个函数是否可导〕注：连续不一定可导，可导一定连续2、求导法则〔背〕3、求导公式也可以是微分公式第三章：1、微分中值定理〔一定要熟悉并灵活运用--第一节〕2、洛必达法则3、泰勒公式拉格朗日中值定理4、曲线凹凸性、极值〔高中学过，不需要过多复习〕5、曲率公式曲率半径第四章、第五章：积分不定积分：1、两类换元法〔变dx/变前面〕2、分部积分法〔注意加C 〕〔最好都自己推导一遍，好记〕定积分： 1、定义 2、反常积分第六章：定积分的应用主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长第七章：向量问题不会有很难1、方向余弦2、向量积3、空间直线〔两直线的夹角、线面夹角、求直线方程〕 3、空间平面4、空间旋转面〔柱面〕高数解题技巧。

〔高等数学、考研数学通用〕高数解题的四种思维定势●第一句话：在题设条件中给出一个函数f(x)二阶和二阶以上可导，“不管三七二十一”，把f(x)在指定点展成泰勒公式再说。

●第二句话：在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则“不管三七二十一”先用积分中值定理对该积分式处理一下再说。

●第三句话：在题设条件中函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)＝f(b)=0，则“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理处理一下再说。

●第四句话：对定限或变限积分，假设被积函数或其主要部分为复合函数，则“不管三七二十一”先做变量替换使之成为简单形式f(u)再说。

线性代数解题的八种思维定势●第一句话：题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行(列)展开定理以及AA*=A*A=|A|E。

●第二句话：假设涉及到A、B是否可交换，即AB＝BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。

●第三句话：假设题设n阶方阵A满足f(A)=0，要证aA+bE可逆，则先分解因子aA+bE 再说。

高数上册知识点

高等数学（上册）知识考点一、函数1. 函数定义域：指使表达式及实际问题都有意义的自变量集合.例：21arccos()x f x -=反函数的图像、性质 2. 复合函数的分解(1) 分解原则：由外层向内层逐层分解，直到简单函数为止。

(2) 简单函数：由基本初等函数和常数经过四则运算而成。

4. 函数奇偶性（1）奇偶函数的判断：熟悉基本初等函数奇偶性，并经过四则运算和函数复合后，新函数的奇偶性。

例：()sin arctan f x x x =+, 2tan (),1x g x x=+ 3()sin()cos(tan )h x x x = (2) 奇偶函数在关于原点对称区间上定积分的求解，特别注意被积函数由奇、偶函数混合形成，注意分解。

⎰-+222sin )cos (ππdx x x x二、函数极限1. 分子、分母均为多项式的商式求极限（1）当x 时 (此时x 可用n 替换，方法类似)101010100, ,()lim ()lim , ,(), .m m m m n n x x n n n m P x a x a x a a f x n m P x b x b x b b n m --→∞→∞⎧>⎪+++⎪====⎨+++⎪⎪∞<⎩ (2) 当0x x ®时00()lim ()lim ()mx x x x nP x f x P x →→= ① ()n P x 极限不为0, 此时无论()m P x 极限是否为0, 用代值法.例：2323lim 1x x x x ®--- ② ()n P x 极限为0，若()m P x 极限不为0，则极限为无穷。

例：2123lim 1x x x x ®--=?- ③ ()m P x 、()n P x 同时趋于0，则为0""0型，可采用约去零因子、等价无穷小替换、罗比达法则等手段.2. 函数中含有根式，可考虑有理化例：2x → 3. 两个重要极限，掌握其广义应用，即x 可换成任意无穷小.例：52lim()1x x x x + +4. 无穷小(1) 无穷小阶的比较 0,lim ,,k b a ìïïï=íïï¥ïïî1k =时，称a b 、为等价无穷小.且当l i m 0k c b a =?时，称b 为a 的k 阶无穷小.(2) 有限个无穷小的和、积仍为无穷小，但无限个不成立. (3) 无穷小（不为零）、无穷大互为倒数. 例：2123lim 1x x x x ®--=?- （4）无穷小乘以有界量为无穷小，解决的关键是判断各因子的极限，确定类型. A. sin lim0x x x = B. 01lim sin 0x x x®= C. 1lim sin 1x x x = D. 20sin 1lim sin 2x x x x x ®+=+ (5) 求极限过程中，熟练掌握常见等价无穷小的代换，注意：只能对整个积、商的因子，作代换.（P19）例：0n l i x ®, 30tan sin lim x x x x®-,一、函数连续性1. 函数连续区间（1）初等函数：由基本初等函数和常数经过有限次四则运算和函数复合形成，并且可用一个式子表示的函数。

高等数学上册知识点[汇编]

高等数学上册知识点[汇编]一、初等数学1、代数式：代数式是由变量和常数组成的一组等式或不等式，通过研究其意义来求解变量的值。

代数式简化、消去、变形也是研究问题的重要方式之一。

2、有理式：有理式是由有理数组成的一组等式或不等式，以求得变量的值。

它对变量的特性有相当深入的研究，并且可以进行更精确的判断和有效的解决问题。

易于理解，所得结果具有数学上的理论性。

3、函数：函数，通常指的是从一个变量到另一个变量的变换，这种变换具有一定的函数关系，一般也可以称为函数式，Mode等。

4、分式：分式是两个或多个有理式的分数的乘积或除法，是用来求值的重要工具。

分式可以根据特定情况进行加减乘除法，以达到简化和消去目的。

二、集合1、集合：集合是任意一组任意一些元素构成的具有特性的全体，可以构成任意的集合。

集合可以理解为元素间具有某种规律性的一个整体，对元素的运算可以使用其它的定义及一些证明的定理。

2、集合运算：集合运算指的是在集合中进行的一系列运算，包括交集、并集、补集等，又称为逻辑学运算。

它可以把不同类型的集合以及它们之间的关系表示出来，以帮助剖析集合问题。

3、集合多重性：集合多重性可以定义并比较集合大小，从而可以判断两个集合是否有关联性，以及推断集合问题的结果。

集合多重性也可以求解一组有关集合或数据的性质，而不要求考虑内部数据的具体内容。

三、统计1、概率：概率是数学中计算某一事件发生的可能性。

概率可以用来预测某事情发生的可能性以及预测某事情发生的结果，它可以根据大量实验数据来推断与探索现象的规律。

2、概率分布：概率分布是指每一次试验的结果的分布，可以具体表示为概率质量函数及概率密度函数。

它不仅可以表示出所有可能结果的概率，而且可以有效地生成理想的结果，从而获得更准确的数据分析结果。

3、统计推断：统计推断是从一组已知统计数据中推断一个均值或中心值的过程，包括抽样统计、估计、预测及分析等多种方式，以期获得可靠的数据分析结果。

(完整版)高数知识点总结(上册)

xfdy)('
)('xfdxdy
xffxf)0()0()(' xnxn111
xxsin（x用弧度） xxtan（x用弧度）
xe12 xx)1ln(
)(xf满足下列条件
（1）在闭区间ba,上连续
（2）在开区间ba,内具有导数
（3）在端点处函数值相等，即)()(bfaf，则在ba,内至少有一点，使0)('f
x处有定义
（2）当
xx时，)(xf的极限)(lim
xfxx存在
（3）极限值等于函数)(xf在点
x处的函数值)(0xf
如果函数)(xf在点
x处连续，由连续定义可知，当0xx时，)(xf的极限一定存在，反
分类：第一类间断点 (左右极限都存在) 第二类间断点(有一个极限不存在)
定理：如果函数)(xf、)(gx在点
如果（1）ax时，)(xf与)(x都趋于无穷大
（2）在点a的某领域（点a可除外）内，)('xf与)('x都存在且0)('x
（3）)()(lim''xxfax存在（或为），则则极限)()(limxxfax存在（或为），且)()(limxxfax
)()(lim''xxfax
2、x情形
x处连续，则他们的和、差、积、商（分母不为零）在
x也连续
定理：如果函数)(xfy在某区间上是单调增（或单调减）的连续函数，则它的反函数
(yx
定理：设函数)(xf在闭区间ba,上连续，则函数)(xf在闭区间ba,上必有最大值和最小
推论：如果函数)(xf在闭区间ba,上连续，则)(xf在ba,上有界
结论：如果函数)(xf在某区间上连续，则在这个区间上)(xf必有原函数

(完整版)高数上册知识点

高等数学上册知识点一、函数与极限（一）函数1、函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、反函数、复合函数、函数的运算；3、初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数；4、函数的连续性与间断点；函数)(x f 在0x 连续 )()(lim 00x f x f x x =→间断点第一类：左右极限均存在. ( 可去间断点、跳跃间断点)第二类：左右极限、至少有一个不存在. (无穷间断点、振荡间断点)5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论. （二）极限 1、定义1）数列极限 : εε<->∀N ∈∃>∀⇔=∞→a x N n N a x n n n , , ,0lim2）函数极限 :εδδε<-<-<∀>∃>∀⇔=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00时，当左极限：)(lim )(00x f x f x x -→-= 右极限：)(lim )(00x f x f x x +→+=)()( )(lim 000+-→=⇔=x f x f A x f x x 存在2、极限存在准则1）夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤2）a z y n n n n ==→∞→∞lim lim a x n n =∞→2）单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、无穷小（大）量1）定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量. 2）无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββαo +=⇔; Th2 αβαβαβββαα''=''''lim lim lim,~,~存在，则（无穷小代换） 4、求极限的方法1)单调有界准则； 2)夹逼准则； 3)极限运算准则及函数连续性；4) 两个重要极限： a) 1sin lim 0=→xx x b) e x x x x x x =+=++∞→→)11(lim )1(lim 15）无穷小代换：（0→x ） a)x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~ b) 221~cos 1x x - c) x ex~1-,（a x a x ln ~1-） d)x x ~)1ln(+ （ax x a ln ~)1(log +） e) x x αα~1)1(-+二、导数与微分（一）导数 1、定义：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→左导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→- , 右导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+函数)(x f 在0x 点可导)()(00x f x f +-'='⇔ 2、几何意义：)(0x f '为曲线)(x f y =在点())(,00x f x 处的切线的斜率.3、可导与连续的关系： 4、求导的方法1）导数定义； 2)基本公式； 3)四则运算； 4)复合函数求导（链式法则）； 5) 隐函数求导数； 6)参数方程求导； 7)对数求导法. 5、高阶导数1）定义：⎪⎭⎫ ⎝⎛=dx dy dx d dx y d 222)Leibniz 公式：()∑=-=nk k n k k n n v u C uv 0)()()( （二）微分1）定义：)()()(00x o x A x f x x f y ∆+∆=-∆+=∆，其中A 与x ∆无关. 2）可微与可导的关系：可微⇔可导，且dx x f x x f dy )()(00'=∆'=三、微分中值定理与导数的应用（一）中值定理1、 Rolle 定理：若函数)(x f 满足：1）],[)(b a C x f ∈； 2）),()(b a D x f ∈； 3）)()(b f a f =；则0)(),,(='∈∃ξξf b a 使. 2、 Lagrange 中值定理：若函数)(x f 满足：1）],[)(b a C x f ∈；2）),()(b a D x f ∈；则))(()()(),,(a b f a f b f b a -'=-∈∃ξξ使. 3、 Cauchy 中值定理：若函数)(),(x F x f 满足： 1）],[)(),(b a C x F x f ∈； 2）),()(),(b a D x F x f ∈；3）),(,0)(b a x x F ∈≠'则)()()()()()(),,(ξξξF f a F b F a f b f b a ''=--∈∃使（二）洛必达法则（三） Taylor 公式（四）单调性及极值1、单调性判别法：],[)(b a C x f ∈，),()(b a D x f ∈，则若0)(>'x f ，则)(x f 单调增加；则若0)(<'x f ，则)(x f 单调减少.2、极值及其判定定理：a) 必要条件：)(x f 在0x 可导，若0x 为)(x f 的极值点，则0)(0='x f . b) 第一充分条件：)(x f 在0x 的邻域内可导，且0)(0='x f ，则①若当0x x <时，0)(>'x f ，当0x x >时，0)(<'x f ，则0x 为极大值点；②若当0x x <时，0)(<'x f ，当0x x >时，0)(>'x f ，则0x 为极小值点；③若在0x 的两侧)(x f '不变号，则0x 不是极值点.c) 第二充分条件：)(x f 在0x 处二阶可导，且0)(0='x f ，0)(0≠''x f ，则 ①若0)(0<''x f ，则0x 为极大值点；②若0)(0>''x f ，则0x 为极小值点.3、凹凸性及其判断，拐点1）)(x f 在区间I 上连续，若2)()()2( ,,212121x f x f x x f I x x +<+∈∀，则称)(x f 在区间I 上的图形是凹的；若2)()()2(,,212121x f x f x x f I x x +>+∈∀，则称)(x f 在区间I 上的图形是凸的. 2）判定定理：)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 上有一阶、二阶导数，则 a) 若0)(),,(>''∈∀x f b a x ,则)(x f 在],[b a 上的图形是凹的； b) 若0)(),,(<''∈∀x f b a x ,则)(x f 在],[b a 上的图形是凸的.3）拐点：设)(x f y =在区间I 上连续，0x 是)(x f 的内点，如果曲线)(x f y =经过点))(,(00x f x 时，曲线的凹凸性改变了，则称点))(,(00x f x 为曲线的拐点.（五）不等式证明1、利用微分中值定理；2、利用函数单调性；3、利用极值（最值）. （六）方程根的讨论1、连续函数的介值定理；2、Rolle 定理；3、函数的单调性；4、极值、最值；5、凹凸性. （七）渐近线1、铅直渐近线：∞=→)(lim x f ax ，则a x =为一条铅直渐近线；2、水平渐近线：b x f x =∞→)(lim ，则b y =为一条水平渐近线；3、斜渐近线：k xx f x =∞→)(lim ,b kx x f x =-∞→])([lim 存在，则b kx y +=为一条斜渐近线.（八）图形描绘四、不定积分（一）概念和性质1、原函数：在区间I 上，若函数)(x F 可导，且)()(x f x F ='，则)(x F 称为)(x f 的一个原函数.2、不定积分：在区间I 上，函数)(x f 的带有任意常数的原函数称为)(x f 在区间I 上的不定积分.3、基本积分表（P188，13个公式）；4、性质（线性性）.（二）换元积分法1、第一类换元法（凑微分）：[])()(d )()]([x u du u f x x x f ϕϕϕ=⎰⎰='2、第二类换元法（变量代换）：[])(1d )()]([)(x t t t t f dx x f -='=⎰⎰ϕϕϕ（三）分部积分法：⎰⎰-=vdu uv udv（四）有理函数积分： 1、“拆”； 2、变量代换（三角代换、倒代换、根式代换等）.五、定积分（一）概念与性质：1、定义：∑⎰=→∆=ni i i ba x f dx x f 1)(lim )(ξλ2、性质：（7条）性质7 （积分中值定理）函数)(x f 在区间],[b a 上连续，则],[b a ∈∃ξ，使))(()(a b f dx x f ba-=⎰ξ（平均值：ab dx x f f ba-=⎰)()(ξ）（二）微积分基本公式（N —L 公式）1、变上限积分：设⎰=Φxa dt t f x )()(，则)()(x f x =Φ'推广：)()]([)()]([)()()(x x f x x f dt t f dxd x x ααβββα'-'=⎰ 2、N —L 公式：若)(x F 为)(x f 的一个原函数，则)()()(a F b F dx x f ba-=⎰（三）换元法和分部积分1、换元法：⎰⎰'=βαϕϕt t t f dx x f bad )()]([)( 2、分部积分法：[]⎰⎰-=baba ba vdu uv udv（四）反常积分1、无穷积分：⎰⎰+∞→+∞=tat adx x f dx x f )(lim)(, ⎰⎰-∞→∞-=btt bdx x f dx x f )(lim)(, ⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+=0)()()(dx x f dx x f dx x f2、瑕积分：⎰⎰+→=btat badx x f dx x f )(lim )(（a 为瑕点）, ⎰⎰-→=tabt badx x f dx x f )(lim )(（b 为瑕点）两个重要的反常积分：1) ⎪⎩⎪⎨⎧>-≤∞+=-∞+⎰1,11,d 1p p a p x x p a p 2) ⎪⎩⎪⎨⎧≥∞+<--=-=--⎰⎰1,1 ,1)()(d )(d 1q q qa b x b x a x x qb a q b a q六、定积分的应用（一）平面图形的面积1、直角坐标：⎰-=badx x f x f A )]()([122、极坐标：⎰-=βαθθϕθϕd A )]()([212122（二）体积1、旋转体体积：a)曲边梯形x b x a x x f y ,,),(===轴，绕x 轴旋转而成的旋转体的体积：⎰=bax dx x fV )(2πb)曲边梯形x b x a x x f y ,,),(===轴，绕y 轴旋转而成的旋转体的体积：⎰=b ay dx x xf V )(2π（柱壳法） 2、平行截面面积已知的立体：⎰=badx x A V )(（三）弧长1、直角坐标：[]⎰'+=badx x f s 2)(1 2、参数方程：[][]⎰'+'=βαφϕdt t t s 22)()(3、极坐标：[][]⎰'+=βαθθρθρd s 22)()(七、微分方程（一）概念1、微分方程：表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程. 阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数.2、解：使微分方程成为恒等式的函数.通解：方程的解中含有任意的常数，且常数的个数与微分方程的阶数相同. 特解：确定了通解中的任意常数后得到的解.（二）变量可分离的方程dx x f dy y g )()(=，两边积分⎰⎰=dx x f dy y g )()(（三）齐次型方程)(x y dx dy ϕ=，设xyu =，则dx du x u dx dy +=；或)(y x dy dx φ=，设y x v =，则dy dv y v dy dx += （四）一阶线性微分方程)()(x Q y x P dx dy =+ ，用常数变易法或用公式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-C dx e x Q e y dx x P dx x P )()()( （五）可降阶的高阶微分方程1、)()(x f yn =，两边积分n 次；2、),(y x f y '=''（不显含有y ），令p y ='，则p y '=''；3、),(y y f y '=''（不显含有x ），令p y ='，则dydp p y =''（六）线性微分方程解的结构1、21,y y 是齐次线性方程的解，则2211y C y C +也是；2、21,y y 是齐次线性方程的线性无关的特解，则2211y C y C +是方程的通解；3、*2211y y C y C y ++=为非齐次方程的通解，其中21,y y 为对应齐次方程的线性无关的解，*y 非齐次方程的特解.（七）常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性方程：0=+'+''qy y p y特征方程：02=++q pr r ，特征根： 21,r r（八）常系数非齐次线性微分方程 )(x f qy y p y =+'+''1、)()(x P e x f m xλ=，设特解)(*x Q e x y m xkλ=，其中 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=是重根是一个单根不是特征根, λ, λ, λk 210 2、()x x P x x P e x f n l x ωωλsin )(cos )()(+=设特解[]x x R x x R e x y m mx k ωωλsin )(cos )()2()1(*+=，其中 } ,max{n l m =，⎪⎩⎪⎨⎧++=是特征根不是特征根i i k ωλωλ ,1 ,0。

高数重要知识点汇总

高等数学上册重要知识点第一章函数与极限一. 函数的概念1 两个无穷小的比拟设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =)()(lim〔1〕l = 0，称f (x )是比g (x )高阶的无穷小，记以f (x)= 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。

〔2〕l ≠0，称f (x )与g (x )是同阶无穷小。

〔3〕l = 1，称f (x )与g (x )是等价无穷小，记以f (x ) ~ g (x )2 常见的等价无穷小当x →0时sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x1−cos x ~ 2/2^x ， x e −1 ~ x ，)1ln(x +~ x ，1)1(-+αx ~ x α二求极限的方法1．两个准那么准那么1．单调有界数列极限一定存在准那么2．〔夹逼定理〕设g (x ) ≤f (x ) ≤h (x ) 放缩求极限假设A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，那么A x f =)(lim2．两个重要公式公式11sin lim0=→xxx公式2e x x x =+→/10)1(lim3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．★用泰勒公式当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次)()!12()1(...!5!3sin )(!...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n nxx o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n nn x o nx x x x x +-++-=++ )(!))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα)(12)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法那么定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足以下条件：〔1〕0)(lim 0=→x f x x ，0)(lim 0=→x F x x ；〔2〕)(x f 与)(x F 在0x〔3〕)()(lim 0x F x f x x ''→这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)(lim 0x F x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当)()(lim0x F x f x x ''→为无穷大时，)()(lim 0x F x f x x →也是无穷大．这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达〔H L 'ospital 〕法那么.例1计算极限0e 1lim x x x→-.解该极限属于“00〞型不定式，于是由洛必达法那么，得0e 1lim x x x→-0e lim 11x x →==. 例2计算极限0sin lim sin x axbx →．解该极限属于“0〞型不定式，于是由洛必达法那么，得00sin cos lim lim sin cos x x ax a ax a bx b bx b→→==．注假设(),()f x g x ''仍满足定理的条件，那么可以继续应用洛必达法那么，即()()()lim lim lim ()()()x a x a x a f x f x f x g x g x g x →→→'''==='''二、∞∞型未定式定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足以下条件：〔1〕∞=→)(lim 0x f x x ，∞=→)(lim 0x F x x ；〔2〕)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域可导，且0)(≠'x F ；〔3〕)()(lim 0x F x f x x ''→注：上述关于0x x →时未定式∞∞时未定式∞∞型同样适用．例3计算极限lim (0)nx x x n e →+∞>．解所求问题是∞∞型未定式，连续n 次施行洛必达法那么，有lim e n x x x →+∞1lim e n x x nx -→+∞=2(1)lim e n xx n n x -→+∞-= !lim 0e x x n →+∞===．使用洛必达法那么时必须注意以下几点：〔1〕洛必达法那么只能适用于“00〞和“∞∞〞型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“0〞或“∞∞〞型才能运用该法那么；〔2〕只要条件具备，可以连续应用洛必达法那么；〔3〕洛必达法那么的条件是充分的，但不必要．因此，在该法那么失效时并不能断定原极限不存在．7．利用导数定义求极限根本公式)()()(lim 0'000x f xx f x x f x =∆-∆+→∆(如果存在〕8．利用定积分定义求极限根本格式⎰∑==∞→101)()(1lim dx x f n kf n n k n 〔如果存在〕三．函数的连续点的分类函数的连续点分为两类：（1）第一类连续点设0x 是函数y = f (x )的连续点。

高等数学(一)上知识点归纳

第一讲: 极限与连续一. 数列函数: 1. 类型:(1)数列: ()n a f n =; 1()n n a f a += (2)初等函数:(3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤⎧=⎨>⎩; *00()(),x x f x F x x x a ≠⎧=⎨=⎩;*(4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ϕ== (5)隐式(方程): (,)0F x y =(6)参式: ()()x x t y y t =⎧⎨=⎩(7)变限积分函数: ()(,)xaF x f x t dt =⎰2. 特征(几何):(1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ⇒∀--定号) (2)奇偶性与周期性(应用).3. 反函数与直接函数: 11()()()y f x x f y y f x --=⇔=⇒=二. 极限性质:1. 类型: lim n n a →∞; l i m ()x f x→∞(含x →±∞); 0l i m ()x x f x →(含0x x ±→) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型:000,,1,,0,0,0∞∞∞-∞⋅∞∞∞4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性三. 常用结论:1,1n n n →∞→， 1(0)1n a a >→, 1()max{,,}nnn na b c a b c ++→, ()00!na a n >→1(0)x x →→∞, 0lim 1xx x +→=, l i m 0n x x x e →+∞=, ln lim 0n x x x →+∞=, 0l i m l n 0n x x x +→=, 0,xx e x →-∞⎧→⎨+∞→+∞⎩四. 必备公式:1. 等价无穷小: 当()0u x →时,s i n ()()u x u x ; tan ()()u x u x ; 211cos ()()2u x u x - ; ()1()u x eu x - ; ln(1())()u x u x + ; (1())1()u x u x αα+- ;a r c s i n ()(u x u x ; arctan ()()u x u x 2*. 泰勒公式:(1)2211()2!x e x x o x =+++; (2)221ln(1)()2x x x o x +=-+;(3)341sin ()3!x x x o x =-+;(4)24511cos 1()2!4!x x x o x =-++;(5)22(1)(1)1()2!x x x o x αααα-+=+++.五. 常规方法: 前提: (1)准确判断0,,1,0M α∞∞∞(其它如:00,0,0,∞-∞⋅∞∞); (2)变量代换(如:1t x=) 1. 抓大弃小()∞∞,2. 无穷小与有界量乘积 (M α⋅) (注:1sin1,x x≤→∞) 3. 1∞处理(其它如:00,∞)4. 左右极限(包括x →±∞):(1)1(0)x x→; (2)()xe x →∞; 1(0)x e x →; (3)分段函数: x , []x , max ()f x5. 无穷小等价替换(因式中的无穷小)(注: 非零因子)6. 洛必达法则 (1)先”处理”,后法则(00最后方法); (注意对比: 1ln lim 1x x x x →-与0ln lim 1x x x x→-)(2)幂指型处理: ()()ln ()()v x v x u x u x e=(如: 1111111(1)x x x x xee e e-++-=-)(3)含变限积分;(4)不能用与不便用7*. 泰勒公式(皮亚诺余项): 处理和式中的无穷小 8. 极限函数: ()lim (,)n f x F x n →∞=(⇒分段函数)六. 非常手段 1. 收敛准则:(1)()lim ()n x a f n f x →+∞=⇒(2)双边夹: *?n n n b a c ≤≤, *,?n n b c a →(3)单边挤: 1()n n a f a += *21?a a ≥ *?n a M ≤ *'()0?f x >2. 导数定义(洛必达?): 00l i m'()x ff x x→= 3. 积分和: 10112l i m [()()()]()n nf f f f x d x n n n n→∞+++=⎰ , 4. 中值定理: lim [()()]lim '()x x f x a f x a f ξ→+∞→+∞+-=七. 常见应用:1. 无穷小比较(等价,阶): *(),(0)?nf x kx x → (1)(1)()(0)'(0)(0)0,(0)n n f f f f a -=====⇔ ()()!!n n n a af x x x x n n α=+ (2)()xxn f t dt kt dt ⎰⎰2. 渐近线(含斜):(1)()lim,lim[()]x x f x a b f x ax x→∞→∞==-()f x ax b α⇒++(2)()f x ax b α=++,(10x→)3. 连续性: (1)间断点判别(个数); (2)分段函数连续性(附:极限函数, '()f x 连续性) 八. [,]a b 上连续函数性质1. 连通性: ([,])[,]f a b m M = (注:01λ∀<<, “平均”值:0()(1)()()f a f b f x λλ+-=)2. 介值定理: (附: 达布定理)(1)零点存在定理: ()()0f a f b <0()0f x ⇒=(根的个数); (2)()0(())'0xaf x f x dx =⇒=⎰.第二讲:导数及应用(一元)(含中值定理)一. 基本概念:1. 差商与导数: '()f x =0()()limx f x x f x x→+- ; 0'()f x =000()()lim x x f x f x x x →--(1)0()(0)'(0)limx f x f f x →-= (注:0()lim (x f x A f x→=连续)(0)0,'(0)f f A ⇒==)(2)左右导: ''00(),()f x f x -+;(3)可导与连续; (在0x =处, x 连续不可导; x x 可导)2. 微分与导数: ()()'()()'()f f x x f x f x x o x df f x dx =+-=+⇒= (1)可微⇔可导; (2)比较,f df ∆与"0"的大小比较(图示); 二. 求导准备:1. 基本初等函数求导公式; (注: (())'f x )2. 法则: (1)四则运算; (2)复合法则; (3)反函数1'dx dy y = 三. 各类求导(方法步骤):1. 定义导: (1)'()f a 与'()x a f x =; (2)分段函数左右导; (3)0()()limh f x h f x h h→+--(注: 0()(),x x F x f x x x a ≠⎧=⎨=⎩, 求:0'(),'()f x f x 及'()f x 的连续性) 2. 初等导(公式加法则):(1)[()]u f g x =, 求:0'()u x (图形题); (2)()()xaF x f t dt =⎰, 求:'()F x (注: ((,))',((,))',(())'x b baaaf x t dt f x t dt f t dt ⎰⎰⎰)(3)0102(),()x x f x y x x f x <⎧=⎨≥⎩,求''00(),()f x f x -+及0'()f x (待定系数)3. 隐式((,)0f x y =)导: 22,dy d y dx dx (1)存在定理;(2)微分法(一阶微分的形式不变性). (3)对数求导法.4. 参式导: ()()x x t y y t =⎧⎨=⎩, 求:22,dy d ydx dx5. 高阶导()()n f x 公式:()()ax n n axe a e =; ()11!()()n n n b n a bx a bx +=--; ()(sin )sin()2n n ax a ax n π=+⨯; ()(cos )cos()2n n ax a ax n π=+⨯()()1(1)2(2)()'"n n n n n n uv u v C u v C u v --=+++注: ()(0)n f与泰勒展式: 2012()nn f x a a x a x a x =+++++ ()(0)!n n f a n ⇒=四. 各类应用:1. 斜率与切线(法线); (区别: ()y f x =上点0M 和过点0M 的切线)2. 物理: (相对)变化率-速度;3. 曲率:ρ=曲率半径, 曲率中心, 曲率圆)五. 单调性与极值(必求导) 1. 判别(驻点0'()0f x =):(1) '()0()f x f x ≥⇒ ; '()0()f x f x ≤⇒ ; (2)分段函数的单调性(3)'()0f x >⇒零点唯一; "()0f x >⇒驻点唯一(必为极值,最值). 2. 极值点:(1)表格('()f x 变号); (由0002'()'()''()lim0,lim 0,lim 00x x x x x x f x f x f x x x x x →→→≠≠≠⇒=的特点)(2)二阶导(0'()0f x =)注(1)f 与',"f f 的匹配('f 图形中包含的信息);(2)实例: 由'()()()()f x x f x g x λ+=确定点“0x x =”的特点. (3)闭域上最值(应用例: 与定积分几何应用相结合, 求最优) 3. 不等式证明(()0f x ≥)(1)区别: *单变量与双变量? *[,]x a b ∈与[,),(,)x a x ∈+∞∈-∞+∞? (2)类型: *'0,()0f f a ≥≥; *'0,()0f f b ≤≥*"0,(),()0f f a f b ≤≥; *00"()0,'()0,()0f x f x f x ≥=≥ (3)注意: 单调性⊕端点值⊕极值⊕凹凸性. (如: max ()()f x M f x M ≤⇔=) 4. 函数的零点个数: 单调⊕介值六. 凹凸与拐点(必求导!): 1. "y ⇒表格; (0"()0f x =)2. 应用: (1)泰勒估计; (2)'f 单调; (3)凹凸. 七. 罗尔定理与辅助函数: (注: 最值点必为驻点) 1. 结论: ()()'()()0F b F a F f ξξ=⇒== 2. 辅助函数构造实例: (1)()f ξ⇒()()xaF x f t dt =⎰(2)'()()()'()0()()()f g f g F x f x g x ξξξξ+=⇒= (3)()'()()()'()0()()f x f g f g F x g x ξξξξ-=⇒= (4)'()()()0f f ξλξξ+=⇒()()()x dxF x e f x λ⎰=;3. ()()0()n ff x ξ=⇔有1n +个零点(1)()n f x -⇔有2个零点4. 特例: 证明()()n fa ξ=的常规方法:令()()()n F x f x P x =-有1n +个零点(()n P x 待定)5. 注: 含12,ξξ时,分家!(柯西定理)6. 附(达布定理): ()f x 在[,]a b 可导,['(),'()]c f a f b ∀∈,[,]a b ξ∃∈,使:'()f c ξ= 八. 拉格朗日中值定理1. 结论: ()()'()()f b f a f b a ξ-=-; (()(),'()0a b ϕϕξϕξ<⇒∃∍>)2. 估计: '()f f x ξ=九*. 泰勒公式(连接,',"f f f 之间的桥梁) 1. 结论: 2300000011()()'()()"()()"'()()2!3!f x f x f x x x f x x x f x x ξ=+-+-+-; 2. 应用: 在已知()f a 或()f b 值时进行积分估计十. 积分中值定理(附:广义): [注:有定积分(不含变限)条件时使用]第三讲: 一元积分学一. 基本概念: 1. 原函数()F x :(1)'()()F x f x =; (2)()()f x dx dF x =; (3)()()f x dx F x c =+⎰注(1)()()xaF x f t dt =⎰(连续不一定可导);(2)()()()()xx aax t f t dt f t dt f x -⇒⇒⎰⎰ (()f x 连续)2. 不定积分性质:(1)(())'()f x dx f x =⎰; (())()d f x dx f x dx =⎰(2)'()()f x dx f x c =+⎰; ()()d f x f x c=+⎰ 二. 不定积分常规方法1. 熟悉基本积分公式2. 基本方法: 拆(线性性)1212(()())()()kf x k gx d x k f x d x k g x d x+=+⎰⎰⎰3. 凑微法(基础): 要求巧,简,活(221sin cos x x =+)如: 211(),,ln ,2dxdx d ax b xdx dx d x a x =+==2=(1ln )(ln )x dx d x x =+=4. 变量代换:(1)常用(三角代换,根式代换,倒代换): 1sin ,,,x t t t t x====(2)作用与引伸(化简): x t =5. 分部积分(巧用):(1)含需求导的被积函数(如ln ,arctan ,()xax x f t dt ⎰);(2)“反对幂三指”: ,ln ,n axnx edx xxdx ⎰⎰(3)特别:()xf x dx ⎰ (*已知()f x 的原函数为()F x ; *已知'()()f x F x =)6. 特例: (1)11sin cos sin cos a x b x dx a x b x++⎰; (2)(),()sin kxp x e dx p x axdx ⎰⎰快速法; (3)()()n v x dx u x ⎰三. 定积分: 1. 概念性质:(1)积分和式(可积的必要条件:有界, 充分条件:连续) (2)几何意义(面积,对称性,周期性,积分中值)*20(0)8a a π>=⎰; *()02baa bx dx +-=⎰ (3)附:()()baf x dx M b a ≤-⎰,()()()bbaaf xg x dx M g x dx ≤⎰⎰)(4)定积分与变限积分, 反常积分的区别联系与侧重2: 变限积分()()xax f t dt Φ=⎰的处理(重点)(1)f 可积⇒Φ连续, f 连续⇒Φ可导 (2)(())'xaf t dt ⎰()f x =; (()())'()x xaax t f t dt f t dt -=⎰⎰;()()()xaf x dt x a f x =-⎰(3)由函数()()xaF x f t dt =⎰参与的求导, 极限, 极值, 积分(方程)问题3. N L -公式:()()()baf x dx F b F a =-⎰(()F x 在[,]a b 上必须连续!)注: (1)分段积分, 对称性(奇偶), 周期性 (2)有理式, 三角式, 根式 (3)含()baf t dt ⎰的方程.4. 变量代换: ()(())'()baf x d x f u t u t d tβα=⎰⎰(1)00()()()aa f x dx f a x dx x a t =-=-⎰⎰,(2)()()()[()()]aaaaaf x dx f x dx x t f x f x dx --=-=-=+-⎰⎰⎰ (如:4411sin dx x ππ-+⎰)(3)2201sin n n n n I xdx I nπ--==⎰, (4)2200(sin )(cos )f x dx f x dx ππ=⎰⎰;20(sin )2(sin )f x dx f x dx ππ=⎰⎰,(5)(sin )(sin )2xf x dx f x dx πππ=⎰⎰,5. 分部积分(1)准备时“凑常数” (2)已知'()f x 或()xaf x =⎰时, 求()baf x dx ⎰四. 反常积分: 1. 类型: (1)(),(),()aaf x dx f x dx f x dx +∞+∞-∞-∞⎰⎰⎰(()f x 连续)(2)()baf x dx ⎰: (()f x 在,,()x a x b x c a c b ===<<处为无穷间断)2. 敛散;3. 计算: 积分法⊕N L -公式⊕极限(可换元与分部)4. 特例: (1)11pdx x +∞⎰; (2)101p dx x ⎰五. 应用: 1. 面积, (1)[()()];baS f x g x dx =-⎰(2)1()dcS f y dy -=⎰;(3)21()2S r d βαθθ=⎰;2. 体积: (1)22[()()]bx aV f x g x dx π=-⎰; (2)12[()]2()dby caV f y dy xf x dx ππ-==⎰⎰(3)0x x V =与0y y V = 3. 弧长: ds =(1)(),[,]y f x x a b =∈)as d x=⎰(2)12(),[,]()x x t t t t y y t =⎧∈⎨=⎩21t t s =⎰ (3)(),[,]r r θθαβ=∈:s βαθ=⎰4. 物理：功,引力,水压力,质心,5. 平均值(中值定理):(1)1[,]()baf a b f x dx b a =-⎰;(2)0()[0)limxx f t dt f x→+∞+∞=⎰, (f 以T 为周期:0()Tf t dt fT=⎰)第四讲: 微分方程一. 基本概念1. 常识: 通解, 初值问题与特解(注: 应用题中的隐含条件) 2*. 变换方程:(1)令()'""x x t y Dy =⇒=(如欧拉方程)(2)令(,)(,)'u u x y y y x u y =⇒=⇒(如伯努利方程) 3. 建立方程(应用题)的能力二. 一阶方程:1. 形式: (1)'(,)y f x y =; (2)(,)(,)0M x y dx N x y dy +=; (3)()y a b =2. 变量分离型: '()()y f x g y =解法:()()()()dyf x dx G y F x Cg y =⇒=+⎰⎰3. 一阶线性(重点): '()()y P x y Q x +=(1)解法(积分因子法): 000()()0[()]xxx x P x dxP x dxx x y eQ x edx y --⎰⎰⇒=+⎰(2)变化: '()()x p y x q y +=;(3)推广: 伯努利(数一) '()()y p x y q x y α+= 4. 齐次方程: '()y y x=Φ (1)解法: '(),()ydu dxu u xu u x u u x =⇒+=Φ=Φ-⎰⎰(2)特例:111222a xb yc dy dx a x b y c ++=++ 三. 二阶降阶方程1. "()y f x =: 12()y F x c x c =++2. "(,')y f x y =: 令'()"(,)dpy p x y f x p dx=⇒== 3. "(,')y f y y =: 令'()"(,)dpy p y y pf y p dy=⇒== 四. 高阶线性方程: ()"()'()()a x y b x y c x y f x ++=高等数学（一）上知识点归纳11 1. 通解结构:(1)齐次解: 01122()()()y x c y x c y x =+(2)非齐次特解: 1122()()()*()y x c y x c y x y x =++2. 常系数方程: "'()y py qy f x ++=(1)特征方程与特征根: 20r pr q ++= (2)齐次通解: 121212121212,(),(cos sin ),r x r x rx x C e C e r r y C C x e r r r e C x C x r iα⎧+≠⎪=+==⎨⎪β+β=α±β⎩(3)非齐次特解形式确定: 待定系数;A)()()xm f x P x e λ= *()k x m y x Q x e λ=，其中λ非特征根，0k =；λ单特征根，1k =；λ重特征根，2k =；令()()k m Q x x Q x =，代入方程求解：2()(2)()()()()m Q x p Q x r pr q Q x P x '''+++++=λ B)()[()cos ()sin ]x n l f x e P x x P x x λ=ω+ω *[()cos ()sin ]k x m m y x e R x x Q x x λ=ω+ωi λ±ω非特征根，0k =；i λ±ω单特征根，1k =；max{,}m n l =。

(完整版)高数上册知识点

高等数学上册知识点第一章函数与极限（一）函数1、函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、反函数、复合函数、函数的运算；3、初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数； 4、函数的连续性与间断点；函数)(x f 在0x 连续 )()(lim 00x f x f xx =→第一类：左右极限均存在。

间断点可去间断点、跳跃间断点第二类：左右极限、至少有一个不存在。

无穷间断点、振荡间断点5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论。

（二）极限 1、定义 1）数列极限εε<->∀N ∈∃>∀⇔=∞→a x N n N a x n n n , , ,0lim2）函数极限εδδε<-<-<∀>∃>∀⇔=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00时，当左极限：)(lim )(00x f x f x x -→-= 右极限：)(lim )(00x f x f xx +→+= )()( )(lim 000+-→=⇔=x f x f A x f x x 存在2、极限存在准则 1）夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤2）a z y n n n n ==→∞→∞lim lim a x n n =∞→lim2）单调有界准则：单调有界数列必有极限。

3、无穷小（大）量1）定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量。

2）无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββαo +=⇔;Th2 αβαβαβββαα''=''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、求极限的方法 1）单调有界准则； 2）夹逼准则；3）极限运算准则及函数连续性； 4）两个重要极限：a) 1sin lim 0=→xx x b)e x x xx xx =+=++∞→→)11(lim )1(lim 10 5）无穷小代换：（0→x ） a)x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~b) 221~cos 1x x -c) x e x ~1- （a x a x ln ~1-） d) x x ~)1ln(+ （ax x a ln ~)1(log +）e) x x αα~1)1(-+第二章导数与微分（一）导数1、定义：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→ 左导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→-右导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+ 函数)(x f 在0x 点可导)()(00x f x f +-'='⇔2、几何意义：)(0x f '为曲线)(x f y =在点())(,00x f x 处的切线的斜率。

高等数学上册知识点(供参考)(精品文档)

间断点可去间断点、跳跃间断点第二类：左右极限、至少有一个不存在。

无穷间断点、振荡间断点5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论。

3、无穷小（大）量1）定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量。

2）无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββαo +=⇔;Th2 αβαβαβββαα''=''''lim lim lim,~,~存在，则（无穷小代换）4、求极限的方法 1）单调有界准则； 2）夹逼准则；3）极限运算准则及函数连续性； 4）两个重要极限： a) 1sin lim 0=→xxxb)e xx xx xx =+=++∞→→)11(lim )1(lim 10 5）无穷小代换：（0→x ） a)x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~b) 221~cos 1x x -c) x e x~1- （a x a xln ~1-）d) x x ~)1ln(+ （a xx a ln ~)1(log +）e)x x αα~1)1(-+第二章导数与微分（一）导数1、定义：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→左导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→-右导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+函数)(x f 在0x 点可导)()(00x f x f +-'='⇔2、几何意义：)(0x f '为曲线)(x f y =在点())(,00x f x 处的切线的斜率。

高等数学上知识点汇总

（ lim f(x ) 不表示f(x )的极限存在，仅仅表示一种趋势）
x x0
4、函数为无穷大则必定无界。
1
5、无穷大与无穷小的关系：在 x 的某趋限过程中，①若f(x )是无穷大，则
是无穷小。②若f(x )是
f（x）
1
无穷小，且f(x )不等于 0，则
是无穷大。
f（x）
6、无穷大的运算性质：①有界量加无穷大还是无穷大。②无界量乘无穷大是无穷大。③有界量乘无穷大未必是无穷大。
≠0，那末在(a，b)内至少有一点 c，使
3.1.1 微分的应用
微分是表示函数增量的线性主部.计算函数的增量，有时比较困难，但计算微分则比较简单，为此我们用函数的微分来近似的代替函数的增量，这就是微分在近似计算中的应用.
3.1.2 函数微分的定义：设函数在某区间内有定义，x0 及 x0+△x 在这区间内，若函数的增量可表
示为
，其中 A 是不依赖于△x 的常数，是△x 的高阶无穷小，则称函数
3.1.3 基本初等函数的微分公式
由于函数微分的表达式为：
，于是我们通过基本初等函数导数的公式可
得出基本初等函数微分的公式，下面我们用表格来把基本初等函数的导数公式与微分公式
对比一下：(部分公式)
导数公式
微分公式
6 / 27
微分运算法则
由函数和、差、积、商的求导法则，可推出相应的微分法则.为了便于理解，下面我们用表格来把微
数是否为同一函数。 4、函数的表示方法：解析法（常用），列表法、图形法。 5、几个特殊的分段函数：符号函数 y=sgnx 、取整函数 y=[x] 、最值函数
y=max{F(x),G(x)},y=min{F(x),G(x)}。

高数上册内容总结

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第三章内容小结：
一、微分中值定理：
罗尔(Rolle)中值定理：若 f ( x ) 在 [a , b ] 上连续，在 ( a , b ) 内可导，且 f (a ) = f (b)，则在 (a , b ) 内至少存在一点 ξ(a < ξ < b )，使得： f ′(ξ ) = 0
2、复合函数求导要熟练掌握； 3、求分段函数在分段点处得到是要用定义。
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4、高阶导数
(二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数)
f ′( x + Δ x ) − f ′( x ) 二阶导数 f ′′( x ) = lim , Δx → 0 Δx 一般地 , 函数 f ( x ) 的 n − 1 阶导数的导数称为函数 f ( x ) 的 n 阶导数 , 记作
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3、求导法则
(1) 函数的和、差、积、商的求导法则
设 u = u( x ), v = v ( x ) 可导，则（1）( u ± v )′ = u′ ± v ′ , （2）( cu)′ = cu′ ( c 是常数),
′ ′ （3）( uv )′ = u′v + uv ′ , （4）( u )′ = u v −2 uv (v ≠ 0). v v
函数和、差、积、商的微分法则
d ( u ± v ) = du ± dv d ( uv ) = vdu + udv d (Cu) = Cdu u vdu − udv d( ) = v v2
微分形式的不变性
无论 x 是自变量还是中间变量 , 函数 y = f ( x ) 的微分形式总是 dy = f ′( x )dx

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三角函数公式等比数列的求和公式：x x=x1−x x x1−x=x1(1−x x)1−x等差数列求和公式：x x=x(x1−x x)2=xx1+x(x−1)2x立方和差公式：x3−x3=(x−x)(x2+xx+x2)x3+x3=(x+x)(x2−xx+x2)x x−x x=(x−x)[x x−1+xx x−2+⋯+xx x−2+x x−1]对数的概念：如果x（x>0，且x≠1）的x次幂等于x，即x x=x，那么数x叫做以x为底x的对数，记作：logxx=x.由定义知：（1）负数和零没有对数；（2）x>0，且x≠1，x>0；（3）logx 1=0，logxx=1，logxx x=x，x log x x=x.对数函数的运算法则：（）logx (x∙x)=logxx+logxx（）logx (x÷x)=logxx−logxx（）logxx x=x log x x（）logx x=log x xlog x x（）logx x x x=xxlogxx三角函数值导数公式：（1）(x)′=0（2）(x x)′=xx x−1（3）(sin x)′=cos x（4）(cos x)′=−sin x （5）(tan x)′=sec2x（6）(cot x)′=−csc2x （7）(sec x)′=sec x tan x（8）(csc x)′=−csc x cot x（9）(x x)′=x x ln x（10）(x x)′=x x（11）(logx x)′=1x ln x（12）(ln x)′=1x（13）(xxx sin x)′=√1−x2（14）(xxx cos x)′=√1−x2（15）(xxx tan x)′=11+x2（16）(xxx cot x)′=−11+x2基本积分表：（1）∫x d x=xx+x（x是常数），（2）∫x x d x=x x+1x+1+x(x≠1)（3）∫d xx=ln|x|+x（4）∫d x1+x2=xxx tan x+x （5）∫tan x d x=−ln|cos x|+x （6）∫cot x d x=ln|sin x|+x（7）∫sec x d x=ln|sec x+tan x|+x （8）∫csc x d x=ln|csc x−cot x|+x（9）∫d xx2+x2=1xarctan xx+x（10）∫d xx2−x2=12xln|x−xx+x|+x（11）∫√x2−x2=arcsin xx+x（12）∫d x√x2+x2=ln(x+√x2+x2)+x（13）∫d x√x2−x2=ln|x+√x2−x2|+x第一章函数与极限第一节映射与函数一、集合如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a ∈ A；如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a ∉ A.全体非负整数即自然数的集合记作N，即N={0，1，2，…，n，…}；全体正整数的集合为x+={1，2，…，n，…}；全体整数的集合记作Z，即Z={…，−n，…，−2，−1，0，1，2，…，n，…}；全体有理数的集合记作Q，即Q={xx| x∈x，q∈x+且p与q互质}；全体实数的集合记作R.如果集合A与集合B互为子集，即A ⊂ B且B ⊂ A，则称集合A与集合B相等，记作A= B.例如，设A={1，2}，B={x | x2−3x+2=0}.则A=B若A ⊂ B且A ≠ B，则称A是B的真子集，记作A⊊ B.不含任何元素的集合称为空集，规定空集Φ是任何集合A的子集，即Φ ⊂ A.设A、D、C为任意三个集合，则有下列法则成立:（1）交换律A ∪ B = B ∪ A，A ∩ B = B ∩ A;（2）结合律(x∪x)∪x=x∪(x∪x)，(x∩x)∩x=x∩(x∩x)（3）分配律(x∪x)∩x=(x∩x)∪(x∩x)，(x∩x)∪x=(x∪x)∩(x∪x)（4）对偶律(x∪x)x=x x∩x x，(x∩x)x=x x∪x x二、映射定义设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对X中每个元素x，，按法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作f：X → Y其中y称为元素x（在映射f下）的像，并记作了f(x)，即y=f(x)而元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像；集合X称为映射f的定义域，记作x x，即x x=x；X 中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域，记作x x或f(x)，即x x=x(x)={x(x)|x∈x}三、函数定义设数集D⊂R，则称映射f：D→R为定义在D上的函数，通常简记为y=x(x)，x∈D其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，记作x x，即x x=x.如果两个函数的定义域相同，对应法则也相同，那么这两个函数就是相同的，否则就是不同的.在自变量的不同变化围中，对应法则用不同式子来表示的函数，通常称为分段函数.函数的几种特性：（1）函数的有界性如果存在正数M，使得|x(x)|≤x对任一x∈x都成立，则称函数x(x)在x上有界·如果这样的x不存在，就称函数x(x)在x上无界;这就是说，如果对于任何正数x，总存在x1∈x，使|x(x1)|>x，那么函数x(x)在x上无界.容易证明，函数x(x)在x上有界的充分必要条件是它在x上既有上界又有下界.（2）函数的单调性（3）函数的奇偶性设函数x(x)的定义域D关于原点对称.如果对干任一x∈D，x(−x)=x(x)恒成立，则称x(x)为偶函数. 如果对干任一x∈D，x(−x)=−x(x)恒成立，则称x(x)为奇函数.偶函数的图形关于y轴是对称的，奇函数的图形关于原点是对称的，反函数的图形关于y = x对称.函数y=sin x是奇函数.函数y=cos x是偶函数.函数y=sin x+cos x既非奇函数，也非偶函数.（4）函数的周期性设函数x(x)的定义域为D.如果存在一个正数l，使得对于任一x∈D有(x±x)∈x且x(x+x)=x(x)恒成立，则称x(x)为周期函数,x称为x(x)的周期，通常我们说周期函数的周期是指最小正周期. 初等函数：幂函数：y=x x（μ∈R是常数）指数函数：y=x x(x>0且a≠1)x(x>0且a≠1，特别当a=e时，记为y=ln x)对数函数：y=logx三角函数：y=sin x反三角函数：y=arcsin x以上这五类函数统称为基本初等函数.由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数.对数函数与指数函数当x>0且x≠1，N=x x等价于x=log x x，对数函数是指数函数的反函数.第二节数列的极限定义设{x x}为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数ϵ（不论它多么小），总存在正整数N，使得当n > N时，不等式|x−x|<xx都成立，那么就称常数a是数列{x x}的极限，或者称数列{x x}收敛于a，，记为x x=xlimx→∞x x 如果不存在这样的常数a，就说数列{x x}没有极限，或者说数列{x x}是发散的，习惯上也说limx→∞不存在.定理1（极限的唯一性）如果数列{x x}收效，那么它的极限唯一.定理2（收敛数列的有界性）如果数列{x x}收效，那么数列{x x}一定有界.根据上述定理，如果数列{x x}无界，那么数列{x x}一定发散，但是，如果数列{x x}有界。

却不能断定数列{x x}一定收敛，所以数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件.x x=x，且a>0(或a<0)，那么存在正整数N > 0，当定理3（收敛数列的保号性）如果limx→∞n > N时，都要x x>0(或x x<0).定理4（收效数列与其子数列间的关系）如果数列{x x}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a.第三节函数的极限定义1 设函数f(x)在点x0的某一去心邻域有定义.如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数δ，使得当x满足不等式0<|x−x0|<x时，对应的函数值x(x)都满足不等式|x(x)−x|<x那么常数A就叫做函数f(x)当x→x0时的极限，记作x(x)=x或f(x)→x(当x→x0)limx→x0我们指出，定义中0<|x−x0|表示x≠x0，所以x→x0时x(x)有没有极限，与x(x)在点x0是否有定义并无关系.定义2 设函数f(x)在当|x|大于某一正数时有定义.如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在着正数X，使得当x满足不等式|x|>x时，对应的函数值x(x)都满足不等式|x(x)−x|<x那么常数A就叫做函数x(x)当x→∞时的极限，记作limx→∞x(x)=x或f(x)→x(当x→∞)定理1（函数极限的唯一性）如果limx→x0x(x)存在，那么这极限唯一.定理2（函数极限的局部有界性）如果limx→x0x(x)=x，那么存在常数M > 0和δ > 0，使得当0<|x−x0|<δ时，有|x(x)|≤x.定理3（函数极限的局部保号性）如果limx→x0x(x)=x，且A > 0（或A < 0），,那么存在常数δ> 0，使得当0<|x−x0|<x时，有x(x)>0（或x(x)<0）.第四节无穷小与无穷大定义1如果函数x(x)当x→x0（或x→∞）时的极限为零，那么称函数x(x)为当x→x0（或x→∞）时的无穷小特别地，以零为极限的数列{x x}称为n→∞时的无穷小.定理1在自变量的同一变化过程x→x0（或x→∞）中，函数x(x)具有极限A的充分必要条件是了x(x)=x+x，其中x是无穷小.定义2设函数x(x)在x0的某一去心邻域有定义（或|x|大于某一正数时有定义），如果对于任意给定的正数M（不论它多么大），总存在正数δ（或正数x），只要x适合不等式0<|x−x0|<x（或|x|>x），对应的函数值x(x)总满足不等式|x(x)|>x则称函数x(x)为当x→x0（或x→∞）时的无穷大.定理2在自变量的同一变化过程中，如果x(x)为无穷大，则1x(x)为无穷小;反之，如果x(x)为无穷小，且x(x)≠0，则1x(x)为无穷大.第五节极限运算法则定理1有限个无穷小的和也是无穷小.定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论1常数与无穷小的乘积是无穷小.推论2有限个无穷小的乘积也是无穷小.定理3如果lim x(x)=x，lim x(x)=x，那么（1）lim[x(x)±x(x)]=lim x(x)±lim x(x)=x±x （2）lim[x(x)∙x(x)]=lim x(x)∙lim x(x)=x∙x （3）若又有B ≠ 0，则xxx x(x)x(x)=xxxx(x)xxxx(x)=xx推论1如果lim x(x)存在，而c为常数，则lim[xx(x)]=x lim x(x).推论2如果lim x(x)存在，而n是正整数，则lim[x(x)]x=[xxxx(x)]x定理6（复合函数的极限运算法则）设函数x=x[x(x)]是由函数x=x(x)与函数x=x(x)复合而成，x[x(x)]在点x0的某去心邻域有定义，若limx→x0x(x)=x0，limx→x0x(x)=x，且存在x0>0，当x∈x(x0，x0)时，有x(x)≠x0，则limx→x0x[x(x)]=limx→x0x(x)=x第六节极限存在准则两个重要极限两个重要极限：lim x→0sin x=1lim x→∞(1+1x)x=x准则Ⅰ如果数列{x x}、{x x}及{x x}满足下列条件：（1）从某项起，即∃x0∈x，当x>x0时，有x x≤x x≤x x（2）limx→∞x x=x，limx→∞x x=x那么数列{x x}的极限存在，且limx→∞x x=x（称为：夹逼准则）准则Ⅱ单调有界数列必有极限柯西极限存在准则数列{x x}收敛的充分必要条件是:对于任意给定的正数ε，存在着这样的正整数N，使得当x>N，x>x时，就有|xx−x x|<x这准则的几何意义表示，数列{x x}收敛的充分必要条件是:对于任意给定的正数ε，在数轴上一切具有足够大的点x x中，任意两点间的距离小于ε.柯西极限存在准则有时也叫做柯西审敛原理.第七节无穷小的比较定义:如果lim xx=0，就说β是比α高阶的无穷小，记作β = o（α）如果lim xx=∞，就说β是比α低阶的无穷小.如果lim xx=x≠0，就说β是比α同阶的无穷小.如果lim xx=x≠0，x>0，就说β是关于α的x阶无穷小.如果lim xx=1，就说β与α是等价的无穷小，记作α ~ β.等价无穷小：(1+x)1x−1~1x x，x~sin x，x~tan x，x~arc sin x，1−cos x~12x2，ln(x+1)~x，x x~1+x定理1β与α是等价无穷小的充分必要条件为：β=α+o(x)定理2 设α ~ x′，β ~ x′，且lim x ′x存在，则lim xx=limx′x′第八节函数的连续性与间断点定义设函数x=x(x)在点x0的某一领域有定义，如果lim ∆x→0∆x=lim∆x→0[x(x0+∆x)−x(x0)]=0那么就称函数x=x(x)在点x0连续.所以，函数x=x(x)在点x0连续的定义又可叙述如下：设函数x=x(x)在点x0的某一领域有定义，如果：limx→x0x(x)=x(x0)那么就称函数x(x)在点x0连续.设函数x(x)在点x0的某去心邻域有定义.在此前提下，如果函数x(x)有下列三种情形之一：（1）在x=x0没有定义；（2）虽在x=x0有定义，但limx→x0x(x)不存在；（3）虽在x=x0有定义，且limx→x0x(x)存在，但limx→x0x(x)≠x(x0)，则函数x(x)在点x0为不连续，而点x0称为函数x(x)的不连续点或间断点.函数间断点的几种常见类型：（1）无穷间断点（2）震荡间断点（3）可去间断点（4）跳跃间断点通常把间断点分成两类：如果x0是函数x(x)的间断点，但左极限x(x0−)及右极限x(x0+)都存在，那么x0称为函数x(x)的第一类间断点.不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点.可去间断点和跳跃间断点为第一类间断点.无穷间断点和震荡间断点显然是第二类间断点.第九节连续函数的运算与初等函数的连续性定理1设函数x(x)和x(x)在点x0连续，则它们的和（差）、积及商都在点x0连续.定理2如果函数x=x(x)在区间x x上单调增加（或单调减少）且连续，那么它的反函数x= x−1(x)也在对应的区间x x={x | x=x(x)，x∈x x}上单调增加（或单调减少）且连续.一般的，对于形如x(x)x(x)（x(x)>0，x(x)≢1）的函数（通常称为幂指函数），如果lim x(x)=x>0，lim x(x)=x那么lim x(x)x(x)=x x第十节闭区间上连续函数的性质定理1（有界性与最大值最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值.定理2（零点定理）设函数x(x)在闭区间[ x，b ]上连续，且x(x)与x(x)异号，那么在开区间(x，b)至少有一点ξ，使x(x)=0定理3（介值定理）设函数x(x)在闭区间[ x，b ]上连续，且在这区间的端点取不同的函数值x(x)=x及x(x)=x那么，对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(x，b)至少有一点ξ，使得x(x)=x(x<x<x)推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.第二章导数与微分第一节导数概念定义设函数x=x(x)在点x0的某个邻域有定义，当自变量x在x0处取得增量∆x（点x0+∆x仍在该邻域）时，相应的函数取得增量∆x=x(x0+∆x)−x(x0)；如果∆x与∆x之比当∆x→0时的极限存在，则称函数x=x(x)在点x0处可导，并称这个极限为函数x=x(x)在点x0处的导数，记为x′(x0)，即x′(x0)=lim∆x→0∆x∆x=lim∆x→0x(x0+∆x)−x(x0)∆xx′(x0)=limx→0x(x0+x)−x(x0)xx′(x0)=limx→x0x(x)−x(x0)x−x0也可记作x ′ | x = x 0，xx xx | x = x 0，xx (x )xx | x = x 0常数和基本初等函数的导数公式：（1）(x )′=0（2）(x x )′=xxx −1（3）(sin x )′=cos x（4）(cos x )′=−sin x （5）(tan x )′=sec 2x（6）(cot x )′=−csc 2x （7）(sec x )′=sec x tan x （8）(csc x )′=−csc x cot x （9）(x x )′=x xln x（10）(x x )′=x x（11）(log x x )′=1x ln x（12）(ln x )′=1x（13）(xxx sin x )′=√1−x2（14）(xxx cos x )′=√1−x 2（15）(xxx tan x )′=11+x2（16）(xxx cot x )′=−11+x2函数的和、差、积、商的求导法则： (x ±x )′=x ′±x ′ (xx )′=xx ′(xx )′=x ′x +xx ′(x x )′=x ′x −xx′x2 极限存在的充分必要条件是左、右极限都存在且相等。

高等数学(上册)知识点汇总