直线和圆的方程测试题
(完整版)直线与圆的方程测试题(含答案)
直线与圆的方程测试题（本试卷满分150分，考试时间120分钟）一、单项选择题(本大题共18小题，每小题4分，共72分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出，错选、多选或未选均无分.1.点M 1(2,-5)与M 2(5,y)之间的距离是5，则y=（ ）A.-9B.-1C.-9或-1D. 122. 数轴上点A 的坐标是2，点M 的坐标是-3，则|AM|=（ ）A.5B. -5C. 1D. -13. 直线的倾斜角是，则斜率是（ ）32πA. B. C. D.3-3333-34. 以下说法正确的是（ ）A.任意一条直线都有倾斜角B. 任意一条直线都有斜率C.直线倾斜角的范围是(0,)D. 直线倾斜角的范围是(0,)2ππ5. 经过点(4, -3)，斜率为-2的直线方程是（ ）A. 2x+y+2=0B.2x-y-5=0C. 2x+y+5=0D. 2x+y-5=06. 过点(2,0)且与y 轴平行的直线方程是（ ）A.x=0B.y=0C.x=2D.y=27. 直线在y 轴上的截距是-2，倾斜角为0°，则直线方程是（）A.x+2=0B.x-2=0C.y+2=0D.y-2=08. “B ≠0”是方程“Ax+By+C=0表示直线”的（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分且必要条件D.非充分非必要条件9. 直线3x-y+=0与直线6x-2y+1=0之间的位置关系是（ ）21A.平行B.重合C.相交不垂直D.相交且垂直10.下列命题错误的是（ ）A. 斜率互为负倒数的两条直线一定互相垂直B. 互相垂直的两条直线的斜率一定互为负倒数C. 两条平行直线的倾斜角相等D. 倾斜角相等的两条直线平行或重合11. 过点(3,-4)且平行于直线2x+y-5=0的直线方程是（ ）A. 2x+y+2=0B. 2x-y-2=0C. 2x-y+2=0D.2x+y-2=012. 直线ax+y-3=0与直线y=x-1垂直，则a=（ ）21A.2B.-2C.D. 2121-13. 直线x=2与直线x-y+2=0的夹角是（ ）A.30°B. 45°C. 60°D. 90°14. 点P (2,-1)到直线l ：4x-3y+4=0的距离是（）A.1 B. C. D.35115315. 圆心在( -1,0)，半径为5的圆的方程是（）A.(x+1)2+y 2= B. (x+1)2+y 2=255C. (x-1)2+y 2= D. (x-1)2+y 2=25516. 直线3x+4y+6=0与圆(x-2)2+(y+3)2=1的位置关系是（ ）A.相交不过圆心B.相交且过圆心C.相切D.相离17. 方程x 2+y 2-2kx+4y+3k+8=0表示圆，则k 的取值范围是（ ）A.k<-1或k>4B. k=-1或k=4C. -1<k<4D. -1≤k≤418. 直线y=0与圆C:x 2+y 2-2x-4y=0相交于A 、B 两点，则△ABC 的面积是（）A.4B.3C.2D.1二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。
第二章 直线和圆的方程 专题测试(原卷版+解析版) (人教A版)高二数学选择性必修一
第二章直线和圆的方程专题测试(原卷版+解析版) (人教A版)高二数学选择性必修一第二章直线和圆的方程专题测试注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息。
2.请将答案正确填写在答题卡上。
第I卷（选择题）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分）1.（2020·福建高二学业考试）已知直线 $ $l_1\parallell_2$，则实数 $k=$（）。
A。
$-2$B。
$-1$C。
$1$D。
$2$2.（2020·XXX高一月考）直线$l_1:(a-2)x+(a+1)y+4=0$，$l_2:(a+1)x+ay-9=0$ 互相垂直，则 $a$ 的值是（）。
A。
$-0.25$B。
$1$C。
$-1$D。
$1$ 或 $-1$3.（2020·XXX高一月考）直线 $l:(m-1)x-my-2m+3=0$（$m\in R$）过定点 $A$，则点 $A$ 的坐标为（）。
A。
$(-3,1)$B。
$(3,1)$C。
$(3,-1)$D。
$(-3,-1)$4.（2020·广东高二期末）设 $a\in R$，则“$a=1$”是“直线$ax+y-1=0$ 与直线 $x+ay+1=0$ 平行”的（）。
A。
充分不必要条件B。
必要不充分条件C。
充分必要条件D。
既不充分也不必要条件5.（2020·黑龙江高一期末）若曲线 $y=4-x^2$ 与直线$y=k(x-2)+4$ 有两个交点，则实数 $k$ 的取值范围是（）。
A。
$\left[\frac{3}{4},1\right]$B。
$\left[\frac{3}{4},+\infty\right)$C。
$(1,+\infty)$D。
$(1,3]$6.（2020·XXX高三其他）已知直线 $x+y=t$ 与圆$x+y=2t-t^2$（$t\in R$）有公共点，则 $\frac{t(4-t)}{9}$ 的最大值为（）。
新人教版高中数学选修一第二单元《直线和圆的方程》测试题(含答案解析)
一、选择题1．直线()()()230x m x y m -+-+=∈R 过下面哪个定点（ ） A ．()4,0B ．()0,4C ．()2,5D ．()3,22．设点(1,2),(2,3)A B -，若直线10ax y ++=与线段AB 有交点，则a 的取值范围是（ ） A ．[3,2]- B ．[2,3]-C ．(,2][3,)-∞-⋃+∞D ．(,3][2,)-∞-⋃+∞3．已知两点()1,2A -、()2,1B ，直线l 过点()0,1P -且与线段AB 有交点，则直线l 的倾斜角的取值范围为（ ） A ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．30,,424πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ C ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ D ．3,,4224ππππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦4．已知圆M ：22(1)(2)5x y -+-=和点(3,5)P ，过点P 做圆M 的切线，切点分别为A 、B ，则下列命题：①4PA PB k k ⋅=-；②PA =；③AB 所在直线方程为：23130x y +-=；④PAB △外接圆的方程为2247130x y x y +--+=．其中真命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．赵州桥，是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的石拱桥，因赵具古称赵州而得名．赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥．小明家附近的一座桥是仿赵州桥建造的一座圆拱桥，已知在某个时间段这座桥的水面跨度是20米，拱顶离水面4米；当水面上涨2米后，桥在水面的跨度为（ ）A ．10米B ．米C ．米D ．6．已知点()1,0A m -，()()1,00B m m +>，若圆C ：2288280x y x y +--+=上存在一点P ，使得PA PB ⊥，则实数m 的取值范围是( ) A ．3m ≥ B ．3m 7≤≤ C ．27m -<≤D ．46m ≤≤7．在平面直角坐标系中，定义1212(,)||||d A B x x y y =-+-为两点11(,)A x y 、22(,)B x y 的“切比雪夫距离”，又设点P 及直线l 上任意一点Q ，称(,)d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作(,)d P l ，给出下列三个命题： ①对任意三点A 、B 、C ，都有(,)(,)(,)d C A d C B d A B +≥； ②已知点(3,1)P 和直线:210l x y --=，则4(,)3d P l =； ③定义(0,0)O ，动点(,)P x y 满足(,)1d P O =，则动点P 的轨迹围成平面图形的面积是4；其中真命题的个数（ ） A ．0B ．1C ．2D ．38．111222(,),(,)P a b P a b 是直线1y kx =+(k 为常数)上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a xb y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（ ）A ．无论12,,k P P 如何，总是无解B ．无论12,,k P P 如何，总有唯一解C ．存在12,,k P P ，使12x y =⎧⎨=⎩是方程组的一组解 D ．存在12,,k P P ，使之有无穷多解9．圆221:2410C x y x y ++++=与圆222:4410C x y x y +---=的公切线有几条（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条10．已知11(,)P x y 是直线1:(,)0l f x y =上一点，22(,)Q x y 是l 外一点，则方程(,)f x y =1122(,)(,)f x y f x y +表示的直线（ ）A ．与l 重合B ．与l 交于点PC ．过Q 与l 平行D ．过Q 与l 相交11．直线:210l x my m +--=与圆22:(2)4C x y +-=交于A B 、两点，则当弦AB 最短时直线l 的方程为（ ） A ．2410x y +-= B ．2430x y -+= C ．2410x y ++= D ．2430x y ++=12．曲线214y x ([]2,2x ∈-)与直线()24y k x =-+有两个公共点时，则实数k的取值范围是（ ） A ．50,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．13,34⎛⎫⎪⎝⎭C ．5,12⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．53,124二、填空题13．已知三条直线的方程分别为0y=0y -+=0y +-，那么到三条直线的距离相等的点的坐标为___________．14．已知点(4,0),(0,2)A B ，对于直线:0l x y m -+=的任意一点P ，都有22||||18PA PB +>，则实数m 的取值范围是__________.15．若实数x ，y 满足关系10x y ++=，则式子S =______．16．当直线:(21)(1)740()l m x m y m m R +++--=∈被圆22:(1)(2)25C x y -+-=截得的弦最短时，m 的值为____________.17．已知定点A 到动直线l ：()221420+---=mx m y m （m R ∈）的距离为一常数，则定点A 的坐标为________．18．已知点A (0，2)，O (0，0)，若圆()()22:21C x a y a -+-+=上存在点M ，使3MA MO ⋅=，则圆心C 的横坐标a 的取值范围为________________.19．数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，这条直线称为“欧拉线”.已知ABC 的顶点(2,0),(0,4)A B ，其“欧拉线”的直线方程为20x y -+=，则ABC 的顶点C 的坐标__________.20．直线2ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点(其中a ，b 是实数)，且AOB 是直角三角形(O 是坐标原点)，则点P (a ，b )与点(0，1)之间的距离的最大值为________.三、解答题21．已知一圆经过点()3,1A ，()1,3B -，且它的圆心在直线320x y --=上. （1）求此圆的方程；（2）若点D 为所求圆上任意一点，且点()3,0C ，求线段CD 的中点M 的轨迹方程. 22．在平面直角坐标系中，已知射线OA ：0(0)x y x -=≥，OB ：20(0)x y x +=≥．过点(1,0)P 作直线分别交射线,OA OB 于点A ，B ．（1）当AB 的中点在直线20x y -=上时，求直线AB 的方程； （2）当AOB 的面积取最小值时，求直线AB 的方程； （3）当||||PA PB ⋅取最小值时，求直线AB 的方程．23．已知直线l ：2830mx y m ---=和圆C ：22612200x y x y +-++=. （1）求圆C 的圆心、半径（2）求证：无论m 为何值，直线l 总与圆C 有交点；（3）m 为何值时，直线l 被圆C 截得的弦最短？求出此时的弦长.24．（1）已知点(,)a b 在直线3210x y ++=上，则直线20ax by ++=必过定点M ，求定点M 的坐标.（2）已知直线1l 过（1）中的定点M ，且与直线2:4l y x =相交于第一象限内的点A ，与x 正半轴交于点B ，求使△OAB 面积最小时的直线1l 的方程.25．△ABC 中∠C 的平分线所在直线方程为y x =，且A （－1，52），B （4，0）.（1）求直线AB 的截距式．．．方程； （2）求△ABC 边AB 的高所在直线的一般式．．．方程.26．在①经过直线1:20l x y -=与直线2:210l x y +-=的交点.②圆心在直线20x y -=上.③被y 轴截得弦长AB =；从上面这三个条件中任选一个，补充下面问题中，若问题中的圆存在，求圆的方程；若问题中圆不存在，请说明理由.问题：是否存在圆Q ，且点()2,1A --，()1,1B -均在圆上？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由恒等式的思想得出2030x x y -=⎧⎨-+=⎩，解之可得选项.【详解】由2030x x y -=⎧⎨-+=⎩，解得：25x y =⎧⎨=⎩，故直线过恒过点()2,5，故选：C. 【点睛】方法点睛：求直线恒过点的方法：方法一（换元法）：根据直线方程的点斜式直线的方程变成()y k x a b =-+，将x a =带入原方程之后，所以直线过定点()a b ，；方法二（特殊引路法）：因为直线的中的m 是取不同值变化而变化，但是一定是围绕一个点进行旋转，需要将两条直线相交就能得到一个定点.取两个m 的值带入原方程得到两个方程，对两个方程求解可得定点.2．D解析：D 【分析】求出线段AB 的方程，列方程组求得直线与线段交点坐标（横坐标），由21x -≤≤可求得a 的范围． 【详解】321213AB k -==---，∴AB 方程为12(1)3y x -=--，即370x y +-=，由10370ax y x y ++=⎧⎨+-=⎩，解得1013x a =-，（显然310a -≠），由102113a-≤≤-解得3a ≤-或2a ≥．【点睛】方法点睛：本题考查直线与线段有公共点问题，解题方法有两种：（1）求出直线AB 方程，由直线AB 方程知直线方程联立方程组求得交点坐标（只要求得横坐标），然后由横坐标在已知两个点的横坐标之间列不等式解之可得；（2）求出直线过定点P ，再求出定点P 与线段两端点连线斜率，结合图形可得直线斜率范围，从而得出参数范围．3．C解析：C 【分析】作出图形，求出直线PA 、PB 的斜率，数形结合可得出直线l 的斜率的取值范围，进而可求得直线l 的倾斜角的取值范围. 【详解】 如下图所示：直线PA 的斜率为21110PA k -+==--，直线PB 的斜率为11120PB k +==-， 由图形可知，当直线l 与线段AB 有交点时，直线l 的斜率[]1,1k ∈-. 因此，直线l 的倾斜角的取值范围是30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：求直线倾斜角的取值范围的关键就是求出直线的斜率的取值范围，结合图象，利用直线PA 、PB 的斜率可得所要求的斜率的取值范围.4．D解析：D 【分析】设出斜率k ，得出切线方程，利用相切可得2+2440k k -=，即可得出4PA PB k k ⋅=-，判断①；由22PA PM MA =-②；可得,,,P A B M 四点共圆，圆心为PM 中点，即72,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为1322PM =，写出圆的方程可判断④；两圆相减可得直线AB 方【详解】可知切线的斜率存在，设斜率为k ，则切线方程为53y k x ，即350kx y k ，=2+2440k k -=，可得,PA PB k k 是该方程的两个根，故4PA PB k k ⋅=-，故①正确； 又PM ==PA MA ⊥，PA ∴==故②正确；,PA MA PB MB ⊥⊥，,,,P A B M ∴四点共圆，且圆心为PM 中点，即72,2⎛⎫⎪⎝⎭，半径为22PM =， 故PAB △外接圆的方程为22713(2)()24x y -+-=，即2247130x y x y +--+=，故④正确；将两圆方程相减可得23130x y +-=，即直线AB 方程，故③正确. 故选：D. 【点睛】本题考查过圆外一点作圆的切线问题，解题的关键是利用相切关系得出圆心到直线的距离为半径，且,,,P A B M 四点共圆.5．C解析：C 【分析】根据题意，建立圆拱桥模型，设圆O 半径为R , 当水面跨度是20米，拱顶离水面4米，分析可得22100(4)R R =--，求出R ，当水面上涨2米后，可得跨度2CD CN =，计算可得解. 【详解】根据题意，建立圆拱桥模型，如图所示：设圆O 半径为R ,当水面跨度是20米，拱顶离水面4米，此时水面为AB ，M 为AB 中点，即20AB =，4OM R =-，利用勾股定理可知，22222AB AM OA OB ==-，即22100(4)R R =--，解得292R =，当水面上涨2米后，即水面到达CD ，N 为CD 中点，此时2ON R =-， 由勾股定理得2222(2)66CD CN R R ==--=.故选：C 【点睛】关键点睛：本题考查圆的弦长，解题的关键是利用已知条件建立模型，利用数形结合求解，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于基础题.6．B解析：B 【分析】根据题意，分析圆C 的圆心坐标以及半径，设AB 的中点为M ，由AB 的坐标分析M 的坐标以及|AB |的值，可得以AB 为直径的圆；进而分析，原问题可以转化为圆C 与圆M 有公共点，结合圆与圆的位置关系，分析可得答案． 【详解】根据题意，圆2288280C x y x y +--+=：，即()()22444x y -+-=；其圆心为()4,4，半径2r =， 设AB 的中点为M ，又由点()()1,0,1,0,A m B m -+则()1,0,2M AB m =， 以AB 为直径的圆为()2221x y m -+=，若圆2288280C x y x y +--+=：上存在一点P ，使得PA ⊥PB ，则圆C 与圆M 有公共点，又由22(14)(04)5MC =-+-=， 即有25m -≤且25m +≥,即37m ≤≤， 又0,37m m >∴≤≤，故选：B. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，注意将圆问题转化为圆与圆的位置关系，属于基础题．7．B解析：B 【分析】由新定义表示出三点,,A B C 两两之间的“切比雪夫距离”，然后根据绝对值的性质判断①，由新定义计算出(,)d P l ，判断②，根据新定义求出P 的轨迹方程，确定其轨迹，求得轨迹围成的图形面积判断③． 【详解】①设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，则1212(,)d A B x x y y =-+-，13132323(,)(,)d A C d B C x x y y x x y y +=-+-+-+-，显然1323132312()()x x x x x x x x x x -+-≥---=-，同理132312y y y y y y -+-≥-，∴(,)(,)(,)d C A d C B d A B +≥，①正确； ②设(,)P x y 是直线l 上任一点，则21y x =-，(,)31322d P l x y x x =-+-=-+-35,31,1353,1x x x x x x -≥⎧⎪=+≤<⎨⎪-<⎩，易知(,)d P l 在[1,)+∞上是增函数，在(,1)-∞上是减函数，∴1x =时，min (,)13222d P l =-+-=，②错； ③由(,)1d P O =得1x y +=，易知此曲线关于x 轴，y 轴，原点都对称，它是以(1,0),(0,1),(1,0),(0,1)--为顶点的正方形，其转成图形面积为12222S =⨯⨯=，③错．故选：B ． 【点睛】关键点点睛：本题考查新定义，解题关键是理解新定义，解题方法是把新概念转化为绝对值的问题，利用绝对值的性质求解．8．B解析：B 【分析】由点在直线上，点的坐标代入直线方程，确定1221a b a b -是否为0，不为0，方程组有唯一解，为0时，再讨论是否有无数解． 【详解】由题意112211b ka b ka =+⎧⎨=+⎩，则1221122112(1)(1)a b a b a ka a ka a a -=+-+=-，∵直线1y kx =+的斜率存在，∴12a a ≠，120a a -≠，∴方程组112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩总有唯一解．A ，D 错误，B 正确；若12x y =⎧⎨=⎩是方程组的一组解，则11222121a b a b +=⎧⎨+=⎩，则点1122(,),(,)a b a b 在直线21x y +=，即1122y x =-+上，但已知这两个在直线1y kx =+上，这两条直线不是同一条直线，∴12x y =⎧⎨=⎩不可能是方程组的一组解，C 错误．故选：B ． 【点睛】本题考查直线方程，考查方程组解的个数的判断．掌握直线方程是解题关键．9．C解析：C 【分析】将两圆化为标准形式,求出圆心距和两圆半径之和,判断即可. 【详解】圆221:(1)(2)4C x y +++=，圆心 1(1,2)C -- ，12r =， 圆222:(2)(2)9C x y -+-= ，圆心2C ()2,2，23r =，圆心距125C C ==1212C C r r =+,∴两圆外切，有3条公切线.故选:C. 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系,考查学生数形结合思想以及求解运算能力,属于基础题.10．C解析：C 【分析】由题意有可得1(f x ，1)0y =，2(f x ，2)0y ≠，根据当两直线方程的一次项系数相等，但常数项不相等时，两直线平行，得出结论． 【详解】解：由题意有可得1(f x ，1)0y =，2(f x ，2)0y ≠，则方程(f x ，1)(y f x -，12)(y f x -，2)0y =即(f x ，2)(y f x -，2)0y =，它与直线:(,)0l f x y =的一次项系数相等，但常数项不相等，故(f x ，2)(y f x -，2)0y =表示过Q 点且与l 平行的直线， 故选：C ． 【点睛】根据平行直线系方程，即两直线方程10Ax By C ++=与20Ax By C ++=互相平行.11．B解析：B 【分析】先求出直线经过定点1(,1)2P ，圆的圆心为()0,2C ，根据直线与圆的位置关系可知，当CP l ⊥时弦AB 最短，根据1CP l k k ⋅=-求出m 的值，即可求出直线l 的方程.【详解】解：由题得，(21)(1)0x m y -+-=，21010x y -=⎧∴⎨-=⎩，解得：121x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以直线l 过定点1(,1)2P ，圆22:(2)4C x y +-=的圆心为()0,2C ，半径为2，当CP l ⊥时，弦AB 最短，此时1CP l k k ⋅=-， 由题得212102CP k -==--，12l k ∴=， 所以212m -=，4m ∴=-， 所以直线l 的方程为：2430x y -+=.故选：B. 【点睛】本题考查直线过定点问题，考查直线方程的求法，以及直线和圆的位置关系，考查分析推理和化简运算能力.12．D解析：D 【分析】 易知曲线214y x 表示以()0,1 为圆心，以2为半径的半圆，直线()24y k x =-+过定点()2,4A ，然后在同一坐标系中作出直线与半圆的图象，利用数形结合法求解. 【详解】 曲线214y x 变形为22214141y x x y y 表示以()0,1 为圆心，以2为半径的半圆，直线()24y k x =-+过定点()2,4A ，在同一坐标系中作出直线与半圆的图象，如图所示：当直线()24y k x =-+与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，23221kk -=+，解得512k =，即512AC k ，又413224AB k ， 由图知：当曲线214y x ([]2,2x ∈-)与直线()24y k x =-+有两个公共点时：ACAB k kk ，即53124k <≤. 故选：D 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.二、填空题13．【分析】先画出图形求出再分四种情况讨论得解【详解】如图所示由题得的平分线：和的平分线：的交点到三条直线的距离相等联立两直线的方程解方程组得交点为；的外角平分线：和的外角平分线：的交点到三条直线的距离 解析：(0,3)30,33)(3)- 【分析】先画出图形，求出3),(1,0),(1,0)A B C -，再分四种情况讨论得解. 【详解】 如图所示，由题得3),(1,0),(1,0)A B C -,CAB ∠的平分线AO ：0x =和ACB ∠的平分线CD ：3(1)3y x =+的交点到三条直线的距离相等，联立两直线的方程解方程组03(1)3xy x =⎧⎪⎨=+⎪⎩得交点为3(0,)； ACB ∠的外角平分线CE ：3(1)y x =-+和ABC ∠的外角平分线BF ：3(1)y x =-的交点到三条直线的距离相等，联立两直线的方程解方程组3(1)3(1)y x y x ⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩得交点为(0,3)-；ACB ∠的外角平分线CG ：3(1)y x =-+和CAB ∠的外角平分线AG ：3y =的交点到三条直线的距离相等，联立两直线的方程解方程组3(1)3y x y ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩得交点为(2,3)-；ABC ∠的外角平分线BH ：3(1)y x =-和CAB ∠的外角平分线AG ：3y =的交点到三条直线的距离相等，联立两直线的方程解方程组3(1)3y x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩得交点为(2,3).故答案为：(0,3)-、30,3、(2,3)、(2,3)-【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用平面几何的知识分析找到四个点，再利用直线的知识解答即可.14．【分析】设根据条件可得即点P 在圆外故圆与直线相离根据直线与圆的位置关系可得答案【详解】设由可得即所以点P 在圆外又点P 在直线上所以圆与直线相离所以解得：或故答案为：【点睛】关键点睛：本题考查根据直线与 解析：(,12)(221,)-∞--⋃+∞【分析】设(),P x y ，根据条件可得()()22214x y -+->，即点P 在圆()()22214x y -+-=外，故圆()()22214x y -+-=与直线:0l x y m -+=相离，根据直线与圆的位置关系可得答案. 【详解】设(),P x y ，由22||||18PA PB +>可得()()22224218x y x y -+++->，即()()22214x y -+-> 所以点P 在圆()()22214x y -+-=外，又点P 在直线:0l x y m -+=上 所以圆()()22214x y -+-=与直线:0l x y m -+=相离所以2d r =>=，解得：1m >或1m <--故答案为：(,11,)-∞--⋃+∞ 【点睛】关键点睛：本题考查根据直线与圆的位置关系求参数范围，解答本题的关键是根据条件得到点P 在圆()()22214x y -+-=外，即圆()()22214x y -+-=与直线:0l x y m -+=相离，属于中档题.15．【分析】化简看成是一个动点到一个定点的距离结合点到直线的距离公式即可求解【详解】由题意化简可得所以上式可看成是一个动点到一个定点的距离从而即为点与直线：上任意一点的距离由点到直线的距离公式可得所以的解析：2【分析】=，看成是一个动点(),M x y 到一个定点()1,1N 的距离，结合点到直线的距离公式，即可求解.【详解】=，所以上式可看成是一个动点(),M x y 到一个定点()1,1N 的距离， 从而S 即为点N 与直线l ：10x y ++=上任意一点(),M x y 的距离，由点到直线的距离公式，可得2d ==，所以S 的最小值为min 2S d ==故答案为：2. 【点睛】形如：22()()x a y b -+-的形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题，结合两点间的距离公式或点到直线的距离公式进行求解.16．【分析】先求得直线过定点分析可知当直线与CM 垂直时直线被圆截得的弦长最短进而利用斜率的关系即可求得m 的值【详解】直线的方程可化为所以直线会经过定点解得定点坐标为圆C 圆心坐标为当直线与CM 垂直时直线被解析：34-【分析】先求得直线过定点()3,1M ，分析可知当直线l 与CM 垂直时，直线被圆截得的弦长最短 ，进而利用斜率的关系即可求得m 的值． 【详解】直线l 的方程可化为()2740x y m x y +-++-=所以直线l 会经过定点27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得定点坐标为()3,1M ，圆C 圆心坐标为()1,2当直线l 与CM 垂直时，直线被圆截得的弦长最短211132CM k -==-- ，211l m k m +=-+ 所以121121CM l m k k m +⎛⎫⎛⎫⨯=-⨯-=- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，解方程得34m =-【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，根据斜率关系求得参数的值，属于基础题．17．【解析】【分析】设出定点A 根据点到直线的距离公式求出点到直线l 的距离由距离为常数利用一般到特殊的思想令分析可得定点A 的坐标检验一般性可知动直线l 是以为圆心半径为的圆的切线系即可求出定点A 的坐标为【详 解析：()2,1【解析】 【分析】设出定点A ，根据点到直线的距离公式求出点A 到直线l 的距离，由距离为常数，利用一般到特殊的思想，令0,1,1m =-分析可得，定点A 的坐标，检验一般性可知，动直线l 是以()2,1 为圆心,半径为1的圆的切线系,即可求出定点A 的坐标为()2,1. 【详解】设定点A 为(),a b ，所以点A 到直线l 的距离d =无论m R ∈，d 为定值，所以令0m = 可得，2d b =-，令1m = 可得，3d a =-， 令1m =-可得，1d a =- ，由31a a -=- 可得，2a =，即有1b =或3b = ． 当定点A 为()2,1时，22111m d m +===+ ，符合题意； 当定点A 为()2,3 时，22131m d m -==+ ，显然d 的值随m 的变化而变化，不符题意，舍去．综上可知，动直线l 是以()2,1 为圆心,半径为1的圆的切线系，所以定点A 为2,1．故答案为：()2,1． 【点睛】本题主要考查直线系方程的识别和应用，点到直线的距离公式的应用，考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．18．【解析】【分析】设利用可得的轨迹方程以为圆心2为半径的圆利用圆上存在点可得两圆相交或相切建立不等式即可求出实数的取值范围【详解】解：设因为A(02)O(00)所以因为所以化简得：所以点的轨迹是以为圆 解析：[0,3]【解析】 【分析】设(),M x y ，利用 3MA MO ⋅= ，可得M 的轨迹方程以()0,1 为圆心，2为半径的圆，利用圆C 上存在点M ，可得两圆相交或相切，建立不等式，即可求出实数a 的取值范围. 【详解】解：设(),M x y ，因为 A (0，2)，O (0，0)， 所以(,2)MA x y =-- ，(,)MO x y =-- . 因为3MA MO ⋅= ，所以()()()()23x x y y --+--= ，化简得：22(1)4x y +-= ，所以M 点的轨迹是以()0,1 为圆心，2为半径的圆. 因为M 在()()22:21C x a y a -+-+= 上， 所以两圆必须相交或相切.所以13≤≤ ，解得03a ≤≤.所以圆心C 的横坐标a 的取值范围为： [0,3]. 故答案为：[0,3]. 【点睛】本题主要考查求轨迹方程，考查圆与圆的位置关系，确定M 的轨迹方程是解题的关键，属于中档题.19．【分析】设由题意结合重心的性质可得求得AB 的中垂线方程与欧拉线方程联立可得外心由外心的性质可得解方程即可得解【详解】设由重心坐标公式得的重心为代入欧拉线方程得整理得①因为AB 的中点为所以AB 的中垂线 解析：(4,0)-【分析】设(),C m n ，由题意结合重心的性质可得40m n -+=，求得AB 的中垂线方程，与欧拉=可得解. 【详解】设(),C m n ，由重心坐标公式得ABC 的重心为24,33m n ++⎛⎫⎪⎝⎭，代入欧拉线方程得242033m n++-+=整理得40m n -+=①， 因为AB 的中点为()1,2，40202AB k -==--，所以AB 的中垂线的斜率为12，所以AB 的中垂线方程为()1212y x -=-即230x y -+=， 联立23020x y x y -+=⎧⎨-+=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩，∴ABC 的外心为()1,1-，=，联立①②得4,0m n =-=或0,4m n ==， 当0,4m n ==时，点B 、C 两点重合，舍去； ∴4,0m n =-=即ABC 的顶点C 的坐标为()4,0-. 故答案为：()4,0-. 【点睛】本题考查了直线方程的求解与应用，考查了两点间距离公式的应用，关键是对题意的正确转化，属于中档题.20．【分析】根据AOB 是直角三角形解得圆心O 到直线ax ＋by ＝1距离即得ab 关系式再根据两点间距离公式代入消去根据二次函数性质以及的范围求最值【详解】因为是直角三角形且所以O 到直线ax ＋by ＝1距离为因1【分析】根据AOB 是直角三角形，解得圆心O ax ＋by ＝1距离，即得a ，b 关系式，再根据两点间距离公式，代入消去a ，根据二次函数性质以及b 的范围求最值 【详解】因为AOB 是直角三角形，且||||1AO OB ==,所以O ax ＋by ＝1，因此22222a b =+= 设点P (a ，b )与点(0，1)之间的距离为d ，d ====因为22,b b ≤≤≤b =d 取最大值为1=+1 【点睛】本题考查直线与圆位置关系、利用二次函数性质求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.三、解答题21．(1) 22(2)(4)10x y -+-=(2) ()2255222x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭ 【分析】（1）首先设出方程，将点坐标代入得到关于参数的方程组，通过解方程组得到参数值，从而确定其方程；（2）首先设出点M 的坐标，利用中点得到点D 坐标，代入圆的方程整理化简得到的中点M 的轨迹方程. 【详解】（1）由已知可设圆心N （a ，3a -2），又由已知得|NA |=|NB |，=，解得：a =2．于是圆N 的圆心N （2，4），半径r ==所以，圆N 的方程为22(2)(4)10x y -+-=,(2) 设M （x ，y ），D ()11,x y ，则由C （3，0）及M 为线段CD 的中点得：113202x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得11232x x y y=-⎧⎨=⎩又点D 在圆N ：22(2)(4)10x y -+-=上，所以有()()222322410x y --+-=，化简得：()2255222x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭． 故所求的轨迹方程为()2255222x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭．【点睛】方法点睛：与圆相关的点的轨迹问题，一般可以考虑转移法（相关点法），设动点的坐标，根据条件，用动点坐标表示圆上点的坐标，再根据圆上点的坐标满足圆的方程求解即可.22．（1）7470x y --=（2）440x y --=（3）3)10x y --= 【分析】（1）设11(,)A x x ，22(,2)B x x -，根据AB 的中点在直线20x y -=上求出125x x =，利用斜率公式求出直线AB 的斜率，再由点斜式可求出直线AB 的方程； （2）设直线AB 的方程为1x my =+，求出,A B 的坐标，利用AOBAOPBOPSSS=+求出面积关于m 的解析式，再根据基本不等式求最值可得m 和直线AB 的方程；（3）利用（2）中,A B 的坐标求出||PA 、||PB ，得到||||PA PB 关于m 的函数关系式，再换元利用基本不等式求出||||PA PB 取最小值时的m ，从而可得直线AB 的方程. 【详解】（1）设11(,)A x x ，22(,2)B x x -，则AB 的中点为12122(,)22x x x x +-， 因为AB 的中点在直线20x y -=上，所以121222022x x x x +--⨯=，即125x x =， 所以直线AB 的斜率12212227744x x x k x x x +===-， 所以直线AB 的方程为7(1)4y x =-，即7470x y --=. （2）设直线AB 的方程为1x my =+，联立10x my x y =+⎧⎨-=⎩，得11x y m ==-，所以11(,)11A m m --(1)m <， 联立120x my x y =+⎧⎨+=⎩，得121x m =+，221y m =-+1()2m >-，所以12(,)2121B m m -++， 所以AOB AOP BOP S S S =+112||()2121OP m m =+-+112221m m =+-+，因为220,210m m ->+>，所以112221m m +-+112221()22213m m m m -++=+⨯-+ 12122(11)32221m m m m +-=+++-+14(233≥+=， 当且仅当14m =时，等号成立， 所以AOB S的最小值为43，此时14m =，直线AB 的方程为114x y =+，即440x y --=.（3）由（2）知，||PA ==||PB =21m =+， 所以||||PA PB ⋅=222212121m m m m m +=-+-++222(1)2(1)3m m m +=-+++ 22321m m =+-++， 令53(,4)2m t +=∈，则2231(3)1m t m t +=+-+21106106t t t t t ==-++-≤=，当且仅当=t3m =时，231m m ++取得最大值，||||PA PB ⋅取得最小值，此时直线AB的方程为3)1x y =+，即3)10x y --=. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 23．（1）圆心(3,6)C -，半径5R =（2）证明见解析（3）16m =-时，直线l 被圆C 截得的弦最短，弦长为【分析】（1）利用6,12,20D E F =-==可求得结果； （2）利用直线l 经过的定点在圆C 内可证结论成立；（3）设圆心C 到直线l 的距离为d ，直线l 被圆C 截得的弦为AB ，根据弦长公式可知d 最大即CM l ⊥时，弦长最短，由此可求得结果. 【详解】（1）因为6,12,20D E F =-==所以6322D --=-=，12622E -=-=-，所以(3,6)C -，所以半径5R ===. （2）由2830mx y m ---=得(28)(3)0x m y --+=，由28030x y -=⎧⎨+=⎩得4,3x y ==-，所以直线l 经过定点M (4,3)-，5=<，所以定点M (4,3)-在圆C 内， 所以无论m 为何值，直线l 总与圆C 有交点.（3）设圆心C 到直线l 的距离为d ，直线l 被圆C 截得的弦为AB ，则||AB =d 最大值时，弦长||AB 最小，因为||d CM ≤==，当且仅当CM l ⊥时，d ，||AB取最小值=111236343CMm k =-=-=--+-，所以16m =-.所以16m =-时，直线l 被圆C 截得的弦最短，弦长为 【点睛】关键点点睛：第（2）问的关键是证明直线经过的定点在圆内，第（3）问的关键是推出CM l ⊥时，弦长最短.24．（1）(6,4)；（2）10x y +=.【分析】（1）点(,)a b 在直线3210x y ++=上，所以213b a +=-，代入直线20ax by ++=得6(32)0x b y x -+-=可得答案；（2）讨论直线的斜率存在和不存在情况，分别求出三角形的面积比较，并求较小时直线的【详解】（1）因为点(,)a b 在直线3210x y ++=上，所有3210a b ++=，即213b a +=-， 代入直线20ax by ++=得21203b x by +-++=，整理得6(32)0x b y x -+-=， 所以60320x y x -=⎧⎨-=⎩解得64x y =⎧⎨=⎩，定点(6,4)M . （2）设(,)A m n (0,0)m n >>，(,0)(0)B c c >，所以M 、A 、B 三点共线， 当1l 与x 轴垂直时，(4,24)A ，(4,0)B ，112444822OAB SOB AB =⨯⨯=⨯⨯=， 当1l 与x 轴不垂直时，所以AM BM k k =，即44066n m c --=--，644n m c n -=-， 因为在直线2:4l y x =上，所以4n m =，所以64541n m m c n m -==--， 因为0,0m c >>，所以501m c m =>-，所以1m ， 2115101101222111OAB A m m S y OB n m m m m ⎛⎫=⨯⨯=⨯⨯==-++ ⎪---⎝⎭()102240≥⨯+=，当且仅当111m m -=-即2m =时等号成立，此时48n m ==，所以(2,8)A ，因为48>40，所以△OAB 面积最小时直线1l 与x 轴不垂直，且1l 的斜率为84126AM k -==--，所以直线1l 的方程为8(2)y x -=--，即为100x y +-=. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.25．（1）142x y +=；（2）280x y -+=. 【分析】（1）设出直线的截距式方程1x y a b+=，代入点的坐标，求解出参数的值，从而截距式方程可求；（2）先求解出A 关于直线y x =的对称点A '，然后根据A '在BC 上求解出C 点坐标，再根据高所在直线的斜率与AB 斜率的关系，从而可求解出AB 的高所在直线的一般式方程.（1）设AB 的方程为1x y a b +=，代入点()51,,4,02A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以1512401a b a b-⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以42a b =⎧⎨=⎩，所以AB 的截距式方程为：142x y +=； （2）设A 关于y x =的对称点为A '，所以5,12A ⎛⎫'- ⎪⎝⎭且A '在直线BC 上， 又因为()4,0B ，所以()()01:04542A B l y x '---=--，即2833y x =-， 又因为C 在y x =上，也在2833y x =-上，所以2833y x y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以88x y =-⎧⎨=-⎩，所以()8,8C --， 又因为5012142AB k -==---，设AB 的高所在直线的一般式方程为20x y m -+=，代入点()8,8C --，所以1680m -++=，所以8m =，所以AB 的高所在直线的一般式方程为280x y -+=.【点睛】思路点睛：点关于直线l 的对称点坐标的求解步骤（直线的斜率存在且不为零，已知点()11,A x y ，直线l 的斜率k ）：（1）设出对称点的坐标(),A a b '；（2）AA '的中点11,22x a y b ++⎛⎫ ⎪⎝⎭必在l 上，由此得到第一个方程； （3）根据1AA k k '=-得到第二个方程；（4）两个方程联立可求解出(),A a b '.26．答案见解析【分析】由点()2,1A --，()1,1B -均在圆上，可知圆心在直线AB ：1y =-的垂直平分线上，即12x =-，设圆心坐标为1,2b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径为r ，若选①，求出直线1l 和2l 的交点为21,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，再利用两点之间的距离求出半径，即可求得圆的方程；若选②，由已知得圆心1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭，再利用两点之间的距离求出半径，即可求得圆的方程；若选③，由弦长AB =，可得半径及圆心，即可求出圆的方程.【详解】因为点()2,1A --，()1,1B -均在圆上，所以圆心在直线AB 的垂直平分线上， 又直线AB 的方程为1y =-，直线AB 垂直平分线所在直线方程为：21122x -+==-，则可设圆心坐标为1,2b ⎛⎫- ⎪⎝⎭；设圆的半径为r ， 若选①，存在圆Q ，使得点()2,1A --，()1,1B -均在圆上.由20210x y x y -=⎧⎨+-=⎩解得2515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即直线1l 和2l 的交点为21,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，则圆过点21,55⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以()222221211112552r b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-=--++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得1b =-，则294r =， 即存在圆Q ，且圆Q 的方程为()2219124x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭； 若选②，存在圆Q ，使得点()2,1A --，()1,1B -均在圆上. 由圆心在直线20x y -=上可得1202b ⎛⎫⨯--= ⎪⎝⎭，则1b =-， 所以()2221911124r ⎛⎫=--+-+= ⎪⎝⎭， 即存在圆Q ，且圆Q 的方程为()2219124x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭； 若选③，存在圆Q ，使得点()2,1A --，()1,1B -均在圆上. 若圆被y轴截得弦长AB =，根据圆的性质可得，22219224AB r ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由()222191124r b ⎛⎫=--++= ⎪⎝⎭，解得1b =-， 即存在圆Q ，且圆Q 的方程为()2219124x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭；综上，存在圆Q ，且圆Q 的方程为()2219124x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭ 【点睛】方法点睛：本题考查求圆的标准方程，常用的方法有：(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法：若已知条件与圆心(),a b 和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；。
中职数学：第八章 直线与圆的方程测试题(含答案)
中职数学：第八章直线与圆的方程测试题(含答案)第八章直线与圆的方程测试题班级。
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得分：选择题（共10题，每题10分）1、点（2，1）到直线4x-3y-1=0的距离等于（B）A、2/5.B、4/5.C、2.D、32、直线与x-y+3=0与圆(x-1)^2+(y-1)^2=1的位置关系是（C）A、相交。
B、相切。
C、相离。
D、无法判断3、求过三点O(0，0)，M1 (1，1)，M2（4，2）的圆的方程（A）A、x^2+y^2-8x+6y=。
B、x^2+y^2+8x+6y=。
C、(x-4)^2+(y-3)^2=25.D、(x+4)^2+(y+3)^2=254、已知直线l经过点M(2，-1)，且与直线2x+y-1=0垂直，求直线l的方程（C）A、x-2y+4=0.B、2x-y-4=0.C、x-2y-4=0.D、2x-y+4=05、求经过点P(-2，4)、Q (0，2)，并且圆心在x+y=0上的圆的方程（A）A、(x+2)^2+(y-2)^2=4.B、(x-2)^2+(y-2)^2=4.C、(x+2)^2+(y+2)^2=4.D、(x-2)^2+(y+2)^2=46、设圆过点（2，-1），又圆心在直线2x+y=0上，且与直线x-y-1=0相切，求该圆的方程（B）A、(x-1)^2+(y-2)^2=2或(x-9)^2+(y-18)^2=338.B、(x-1)^2+(y+2)^2=2或(x-9)^2+(y+18)^2=338.C、(x-2)^2+(y-1)^2=12或(x-18)^2+(y-9)^2=36.D、(x-1)^2+(y+2)^2=12或(x-9)^2+(y+18)^2=367、求以C(2，1)为圆心，且与直线2x+5y=0相切的圆的方程（C）A、(x-2)^2+(y-1)^2=1/29.B、(x+2)^2+(y+1)^2=1/29.C、(x-2)^2+(y-1)^2=81/29.D、(x+2)^2+(y+1)^2=81/298、设圆的圆心坐标为C（-1,2），半径r=5，弦AB的中点坐标为M（0,-1），求该弦的长度（D）A、√10.B、√15.C、2√10.D、2√159、求圆(x-3)^2+y^2=1关于点p(1,2)对称的圆的方程（B）A、(x-3)^2+(y-2)^2=1.B、(x+1)^2+(y-4)^2=1.C、(x+3)^2+(y+2)^2=1.D、(x-1)^2+(y+4)^2=1给定三角形ABC的三个顶点坐标A(4,5)。
人教版高中数学选修一第二单元《直线和圆的方程》测试(含答案解析)
一、选择题1．两圆222240x y ax a +++-=和2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，若a R ∈，b R ∈且0ab ≠，则2211a b+的最小值为（ ） A ．72B ．4C ．1D ．52．若平面上两点()2,0A -，()10B ,，则l ：()1y k x =-上满足2PA PB =的点P 的个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．与实数k 的取值有关3．点()4,2P -与圆224x y +=上任一点连线的中点轨迹方程是（ ） A ．()()22211x y -++= B ．()()22214x y -++= C ．()()22421x y ++-=D ．()()22211x y ++-=4．已知直线1:210l ax y +-=2:820l x ay a ++-=，若12l l //，则a 的值为（ ） A ．4±B ．－4C ．4D ．2±5．已知圆22:(1)1C x y +-=，点(3,0)A 在直线l 上，过直线l 上的任一点P 引圆C 的两条切线，若切线长的最小值为2，则直线l 的斜率k =（ ） A ．2B ．12C ．2-或12D ．2或12-6．点P 是直线2100x y ++=上的动点，直线PA ，PB 分别与圆224x y +=相切于A ，B 两点，则四边形PAOB （O 为坐标原点）的面积的最小值等于（ ） A ．8 B ．4C ．24D ．167．已知圆222:(1)(1)(0)C x y r r -+-=>，若圆C 上至少有3个点到直线20x y ++=，则实数r 的取值范围为（ ）A ．(0,B ．C ．)+∞D ．+∞[)8．在平面直角坐标系中，定义1212(,)||||d A B x x y y =-+-为两点11(,)A x y 、22(,)B x y 的“切比雪夫距离”，又设点P 及直线l 上任意一点Q ，称(,)d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作(,)d P l ，给出下列三个命题： ①对任意三点A 、B 、C ，都有(,)(,)(,)d C A d C B d A B +≥； ②已知点(3,1)P 和直线:210l x y --=，则4(,)3d P l =； ③定义(0,0)O ，动点(,)P x y 满足(,)1d P O =，则动点P 的轨迹围成平面图形的面积是4；其中真命题的个数（ ） A ．0B ．1C ．2D ．39．若过点(2,1)P 的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y -+=的距离是（ ）A B C D 10．已知点(1,1)A - 和圆221014700C x y x y +--+=: ，一束光线从点A 出发，经过x 轴反射到圆C 的最短路程是（ ） A ．6B ．7C ．8D ．911．曲线34y x x =-在点(1,3)--处的切线方程是（ ） A ．74y x =+B ．72y x =+C ．4y x =-D ．2y x =-12．设点()0,1M x ，若在圆22:1O x y +=上存在点N ，使得45OMN ︒∠=，则0x 的取值范围是（ ）A ．[0,1]B ．[1,1]-C ．⎡⎢⎣⎦D ．⎡⎢⎣⎦二、填空题13．已知过点()4,1P 的直线l 与x 轴，y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当AOB 的面积最小时，直线l 的方程为______． 14．直线360x y +-=和圆()2215x y +-=的位置关系为______.15．已知圆C 过点（8，1），且与两坐标轴都相切，则面积较小的圆C 的方程为________. 16．设圆222:()0O x y r r +=>，定点(3,4)A -，若圆O 上存在两点到A 的距离为2，则r 的取值范围是___________.17．直线()130m x my m ++++=被圆2225x y +=所截的弦长的最小值为________. 18．若P 为直线40x y -+=上一个动点，从点P 引圆2240y x C x +-=：的两条切线PM ，PN （切点为M ，N ），则MN的最小值是________.19．若直线y x b =+与曲线y =b 的范围______________.20．若实数,a b ∈R 且0b ≠，则()221a b a b ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的最小值为_______.三、解答题21．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 过点A （1，2），B （7，－6），且圆心在直线x ＋y －2＝0上.（1）求圆M 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于C ，D 两点，且CD =2OA ，求直线l 的方程. 22．已知直线l 经过直线10x y -+=与直线240x y +-=的交点，且()2,3M ，()4,5N -到l 的距离相等，求直线l 的方程.23．已知圆C 过A （1，5）、B （4，2）两点，且圆心在直线2y x =上，直线l 过点()3,2P --且与AB 平行．（1）求直线l 及圆C 的方程；（2）设点M 、N 分别是直线l 和圆C 上的动点，求|MN |的取值范围． 24．已知圆C 的圆心在直线2y x =-上，且过点(2,1),(0,3)-- （1）求圆C 的方程；（2）已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程. 25．已知直线:10l x y +-=与圆22:430C x y x +-+=相交于,A B 两点. （1）求||AB ；（2）若(,)P x y 为圆C 上的动点，求+1yx 的取值范围. 26．如图，已知ABC 的边AB 所在直线的方程为360x y --=，()2,0M 满足BM MC =，点()1,1T -在AC 边所在直线上且满足0AT AB ⋅=.（1）求AC 边所在直线的方程； （2）求ABC 外接圆的方程；（3）求过()2,0N -的ABC 外接圆的切线方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由题意可知两圆外切，可得出2249a b +=，然后将代数式2211a b +与2249a b +相乘，展开后利用基本不等式可求得2211a b +的最小值. 【详解】圆222240x y ax a +++-=的标准方程为()224x a y ++=，圆心为()1,0C a -，半径为12r =，圆2224140x y by b +--+=的标准方程为()2221x y b +-=，圆心为()20,2C b ，半径为21r =.由于圆222240x y ax a +++-=和2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，则这两圆外切，所以，1212C C r r =+3=，所以，2249a b +=，所以，222222222211411141551999a b a b a b a b b a ⎛⎛⎫+⎛⎫+=+=++≥⨯+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当222a b =时，等号成立，因此，2211a b +的最小值为1. 故选：C. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.2．C解析：C 【分析】首先利用直接法求点P 的轨迹方程，则转化为直线()1y k x =-与轨迹曲线的交点个数. 【详解】 设(),P x y ，2PA PB =，=整理为：()22224024x y x x y +-=⇔-+=， 即点P 的轨迹是以()2,0为圆心，2r为半径的圆，直线():1l y k x =-是经过定点()1,0，斜率存在的直线，点()1,0在圆的内部，所以直线():1l y k x =-与圆有2个交点，则l ：()1y k x =-上满足2PA PB =的点P 的个数为2个. 故选：C方法点睛：一般求曲线方程的方法包含以下几种：直接法：把题设条件直接“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程.定义法：运用解析几何中以下常用定义（如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发，直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.相关点法：首先要有主动点和从动点，主动点在已知曲线上运动，则可以采用此法.3．A解析：A 【分析】设圆上任意一点为()11,x y ，中点为(),x y ，则114222x x y y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，由此得解轨迹方程．【详解】设圆上任意一点为()11,x y ，中点为(),x y ，则114222x x y y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，112422x x y y =-⎧⎨=+⎩代入224x y +=得()()2224224x y -++=，化简得()()22211x y -++=．故选：A ． 4．B解析：B 【分析】由12l l //可得280,a a ⨯-⨯=解得4a =±，然后再检验,得出答案. 【详解】因为12l l //，所以280,4a a a ⨯-⨯=∴=±. 当4a =时，两直线重合，所以4a =舍去. 当4a =-时，符合题意. 所以4a =-. 故选：B 【点睛】易错点睛：已知直线1110a x b y c ++=和直线2220a x b y c ++=平行求参数的值时，除了要计算12210a b a b -=，还一定要把求出的参数值代入原直线方程进行检验，看直线是否重合.本题就是典型例子，否则容易出现错解，属于中档题5．C【分析】根据勾股定理由切线长最小值求出||PC C 到直线l 的距离为l 的方程，根据点到直线的距离列式可解得结果.【详解】圆22:(1)1C x y +-=的圆心为(0,1)C ，半径为1，因为切线长的最小值为2，所以min ||PC ==所以圆心C 到直线l ，所以直线必有斜率，设:(3)l y k x =-，即30kx y k --=，所以圆心(0,1)C 到直线30kx y k --===22320k k +-=，解得12k =或2k =-.故选：C 【点睛】关键点点睛：根据勾股定理由切线长的最小值求出||PC 的最小值，也就是圆心C 到直线l 的距离是解题关键.6．A解析：A 【分析】根据题意，得到四边形PAOB 的面积22PAOS S PA ===只需求PO 最小值，进而可求出结果. 【详解】因为圆224x y +=的圆心为()0,0O ，半径为2r，圆心()0,0O 到直线2100x y ++=的距离为2d ==>，所以直线2100x y ++=与圆224x y +=相离，又点P 是直线2100x y ++=上的动点，直线PA ，PB 分别与圆224x y +=相切于A ，B 两点，所以PA PB =，PA OA ⊥，PB OB ⊥，因此四边形PAOB 的面积为12222PAO PBOPAOS SSSPA r PA =+==⨯⨯== 为使四边形面积最小，只需PO 最小，又min PO 为圆心()0,0O 到直线2100x y ++=的距离d =所以四边形PAOB 的面积的最小值为8=. 故选：A. 【点睛】 关键点点睛：求解本题的关键在于根据圆的切线的性质，将四边形的面积化为2PAOS =求面积最值问题，转化为定点到线上动点的最值问题，即可求解.7．D解析：D 【分析】根据题意，得到直线不过圆心，且求得圆心到直线的距离，结合题中条件，得到实数r 的取值范围. 【详解】圆222:(1)(1)(0)C x y r r -+-=>的圆心(1,1)到直线20x y ++=为：d ==，且直线20x y ++=不过圆心，若圆222:(1)(1)(0)C x y r r -+-=>上至少有3个点到直线20x y ++=，则有r ≥=所以实数r 的取值范围为+∞[)， 故选：D. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关直线与圆的相关问题，解决该题的思路如下： （1）求得圆心到直线的距离，并且发现直线不过圆心； （2）结合题中条件，得到r 的取值范围.8．B解析：B 【分析】由新定义表示出三点,,A B C 两两之间的“切比雪夫距离”，然后根据绝对值的性质判断①，由新定义计算出(,)d P l ，判断②，根据新定义求出P 的轨迹方程，确定其轨迹，求得轨迹围成的图形面积判断③． 【详解】①设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，则1212(,)d A B x x y y =-+-，13132323(,)(,)d A C d B C x x y y x x y y +=-+-+-+-，显然1323132312()()x x x x x x x x x x -+-≥---=-，同理132312y y y y y y -+-≥-，∴(,)(,)(,)d C A d C B d A B +≥，①正确； ②设(,)P x y 是直线l 上任一点，则21y x =-，(,)31322d P l x y x x =-+-=-+-35,31,1353,1x x x x x x -≥⎧⎪=+≤<⎨⎪-<⎩，易知(,)d P l 在[1,)+∞上是增函数，在(,1)-∞上是减函数，∴1x =时，min (,)13222d P l =-+-=，②错； ③由(,)1d P O =得1x y +=，易知此曲线关于x 轴，y 轴，原点都对称，它是以(1,0),(0,1),(1,0),(0,1)--为顶点的正方形，其转成图形面积为12222S =⨯⨯=，③错．故选：B ． 【点睛】关键点点睛：本题考查新定义，解题关键是理解新定义，解题方法是把新概念转化为绝对值的问题，利用绝对值的性质求解．9．C解析：C 【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为(),,0a a a >，可得圆的半径为a ，写出圆的标准方程，利用点()2,1在圆上，求得实数a 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线230x y -+=的距离. 【详解】由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为(),a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=. 由题意可得()()22221a a a -+-=， 可得2650a a -+=，解得1a =或5a =， 所以圆心的坐标为()1,1或()5,5，圆心()1,1到直线230x y -+=的距离均为15d ==圆心()5,5到直线230x y -+=的距离均为25d ==圆心到直线230x y -+=的距离均为5d ==；所以，圆心到直线230x y -+=. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的圆心是解题的关键，考查计算能力.10．C解析：C 【分析】先将圆221014700C x y x y +--+=:化为标准方程,求出圆心和半径,再找出圆心O 关于x 轴对称的点'O ,最短距离即(1,1)A -和圆C 的圆心()5,7O 关于x 轴对称的点()'5,7O -的距离再减去半径的距离. 【详解】解:由题可知，圆221014700C x y x y +--+=:,整理得()()222572C x y -+-=:,圆心()5,7O ,半径2r最短距离即(1,1)A -和圆C 的圆心()5,7O 关于x 轴对称的点()'5,7O -的距离再减去半径的距离，所以21028d ==-=.故选:C 【点睛】本题主要考查圆的方程和直线与圆的位置关系,考查两点间的距离公式,属于简单题.11．D解析：D 【分析】已知点(1,3)--在曲线上，若求切线方程，只需求出曲线在此点处的斜率，利用点斜式求出切线方程． 【详解】由已知得：曲线为34y x x =-;则：对其进行求导得243y x '=-；当1x =-时，243(1)1y '=-⨯-=∴ 曲线34y x x =-在点(1,3)--处的切线方程为：31(1)y x +=⨯+化简得：2y x =-； 故选：D.【点睛】本题主要考查了求曲线切线方程，解题关键是掌握根据导数求切线的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.12．B解析：B 【分析】首先根据题中条件，可以判断出直线MN 与圆O 有公共点即可，从而可以断定圆心O 到直线MN 的距离小于等于半径，列出对应的不等关系式，求得结果. 【详解】依题意，直线MN 与圆O 有公共点即可， 即圆心O 到直线MN 的距离小于等于1即可，过O 作OA ⊥MN ，垂足为A ， 在Rt OMA ∆中，因为OMA ∠045=， 故02sin 452OA OM ==1≤， 所以2OM ≤2012x +≤，解得011x -≤≤．故选：B. 【点睛】该题考查的是有关直线与圆的问题，涉及到的知识点有直线与圆的位置关系，解直角三角形，属于简单题目.二、填空题13．【分析】由题意可知直线的斜率存在且不为零可设直线的方程为求出点的坐标结合已知条件可求得的取值范围并求出的面积关于的表达式利用基本不等式可求得面积的最小值及其对应的值由此可求得直线的方程【详解】由题意 解析：480x y +-=【分析】由题意可知，直线l 的斜率存在且不为零，可设直线l 的方程为()14y k x -=-，求出点A 、B 的坐标，结合已知条件可求得k 的取值范围，并求出AOB 的面积关于k 的表达式，利用基本不等式可求得AOB 面积的最小值及其对应的k 值 ，由此可求得直线l 的方程. 【详解】由题意可知，直线l 的斜率存在且不为零，可设直线l 的方程为()14y k x -=-，即14y kx k =+-. 在直线l 的方程中，令0x =，可得14y k =-；令0y =，可得41k x k-=. 即点41,0k A k -⎛⎫⎪⎝⎭、()0,14B k -，由题意可得410140k k k -⎧>⎪⎨⎪->⎩，解得0k <， AOB 的面积为()1411111481688222AOBk S k k k k ⎛-⎛⎫=⨯⨯-=--≥+= ⎪ ⎝⎭⎝△，当且仅当()1160k k k-=-<时，即当14k =-时，等号成立，所以，直线l 的方程为()1144y x -=--，即480x y +-=. 故答案为：480x y +-=. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下两点： （1）将三角形的面积利用k 加以表示；（2）在求解最值时，可充分利用基本不等式、导数、函数的单调性等知识来求解.14．相交【分析】由圆的标准方程求出圆心和半径根据圆心到直线的距离与半径的大小关系确定出直线与圆的位置关系【详解】解：圆的圆心坐标为半径则圆心到直线的距离直线与圆的位置关系是相交故答案为：相交【点睛】方法解析：相交 【分析】由圆的标准方程求出圆心和半径，根据圆心到直线的距离与半径的大小关系，确定出直线与圆的位置关系 【详解】解：圆()2215x y +-=的圆心坐标为(0,1)，半径r =则圆心到直线360x y +-=的距离d =< ∴直线360x y +-=与圆()2215x y +-=的位置关系是相交.故答案为：相交. 【点睛】方法点睛：判断直线与圆的位置关系，常用圆心到直线的距离d 与圆半径r 的大小比较：（1）若d r =，则直线与圆相切； （2）若d r <，则直线与圆相交； （3）若dr ，则直线与圆相离.15．【分析】设圆的方程为代入点求得或进而得到圆的方程【详解】由题意圆过点且与两坐标轴都相切设圆的方程为将点代入圆的方程可得整理得解得或当时圆的面积较小所以圆的方程为故答案为：【点睛】求解圆的方程的两种方 解析：()()225525x y -+-=【分析】设圆的方程为222()()(0)x a y a a a -+-=>，代入点(8,1)，求得5a =或13a =，进而得到圆的方程. 【详解】由题意，圆C 过点(8,1)，且与两坐标轴都相切， 设圆的方程为222()()(0)x a y a a a -+-=>， 将点(8,1)代入圆的方程，可得222(8)(1)a a a -+-=， 整理得218650a a -+=，解得5a =或13a =，当5a =时，圆C 的面积较小，所以圆的方程为()()225525x y -+-=. 故答案为：()()225525x y -+-=. 【点睛】求解圆的方程的两种方法：几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程； 待定系数法：①根据题意，选择标准方程与一般方程； ②根据条件列出关于,,a b r 或,,D E F 的方程组； ③解出,,a b r 或,,D E F 的值，代入标准方程或一般方程.16．【分析】将问题转化为以为圆心2为半径的圆为圆与圆相交问题再根据圆与圆的位置关系求解即可【详解】解：根据题意设以为圆心2为半径的圆为圆所以圆圆心为半径为则两圆圆心距为:因为圆上存在两点到的距离为2所以 解析：(3,7)【分析】将问题转化为以(3,4)A -为圆心，2为半径的圆为圆A 与圆O 相交问题，再根据圆与圆的位置关系求解即可. 【详解】解：根据题意设以(3,4)A -为圆心，2为半径的圆为圆A ， 所以圆222:(0),O x y r r +=> 圆心为(0,0),O 半径为r ， 则两圆圆心距为 : ||5OA = ， 因为圆O 上存在两点到A 的距离为2，所以圆O 与圆A 相交，所以252,r r -<<+ 解得 :37.r << 所以的取值范围是：(3,7). 故答案为：(3,7). 【点睛】圆与圆位置关系问题的解题策略：（1）判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法；（2）若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去22,x y 项得到.17．【分析】转化条件为直线过结合垂径定理可得当直线与直线垂直时弦长最小即可得解【详解】直线可变为由可得所以直线过定点又圆的圆心为半径所以点在圆内所以当直线与直线垂直时弦长最小此时弦长为故答案为：【点睛】解析：【分析】转化条件为直线过()3,2A -，结合垂径定理可得当直线AO 与直线()130m x my m ++++=垂直时，弦长最小，即可得解.【详解】直线()130m x my m ++++=可变为()130x y m x ++++=，由1030x y x ++=⎧⎨+=⎩可得32x y =-⎧⎨=⎩，所以直线()130m x my m ++++=过定点()3,2A -， 又圆2225x y +=的圆心为()0,0O ，半径=5r ，所以213AO =，点()3,2A -在圆内，所以当直线AO 与直线()130m x my m ++++=垂直时，弦长最小，此时弦长为==.故答案为： 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是找到直线经过的定点，再利用几何法转化出弦长.18．【分析】根据题意得当的长度最小时取最小值进而根据几何关系求解即可【详解】如图由题可知圆C 的圆心为半径要使的长度最小即要最小则最小因为所以当最小时最小因为所以当最小时最小因为所以所以由于所以故答案为：【分析】根据题意得当||MN 的长度最小时，||PC 取最小值，进而根据几何关系求解即可. 【详解】如图，由题可知圆C 的圆心为(2,0)C ，半径2r．要使||MN 的长度最小，即要MCN ∠最小，则MCP ∠最小． 因为||||tan 2PM PM MCP r ∠==， 所以当||PM 最小时，||MN 最小因为2||4PM PC =-∣， 所以当||PC 最小时，||MN 最小． 因为min ||3211PC ==+， 所以2cos 332MCP ∠==， 所以7sin 3MCP ∠=， 由于1in 2s 2MCP MN∠=所以min 47||MN =． 47. 【点睛】本题解题的关键是根据已知当||MN 的长度最小，即要MCN ∠最小，进而得当||PC 最小时，||MN 最小．由于||PC 的最小值为C 点到直线40x y -+=，故min ||32PC =.考查化归转化思想和运算能力，是中档题.19．或【分析】由曲线变形为画出的图象当直线经过时直线与曲线有两个公共点求出此时的以及直线过时的值再求出当直线与曲线相切时的的值数形结合即可得b 的范围【详解】由曲线变形为画出的图象①当直线经过时直线与曲线解析：22b -≤<或22b = 【分析】 由曲线24y x =-变形为()2204y x y +=≥，画出 y x b =+，()2204y x y +=≥的图 象，当直线经过()2,0A - ，()0,2B 时，直线与曲线有两个公共点，求出此时的b ，以及直线y x b =+过(2,0)C 时b 的值，再求出当直线与曲线相切时的b 的值，数形结合即可得b 的范围. 【详解】 由曲线24y x =-变形为()2204y x y +=≥，画出 y x b =+，()2204y x y +=≥的图象，①当直线经过()2,0A - ，()0,2B 时，直线与曲线有两个公共点，此时2b =， 当直线y x b =+过(2,0)C 时02b =+，得2b =-， 所以若直线与曲线有1个公共点，则22b -≤<. ②当直线与曲线相切时，联立224y x bx y =+⎧⎨+=⎩ ，化为222240x bx b ++-=， 令2248(4)0b b ∆=--=，解得：22b =，或22b =-（舍去）， 综上所述b 的范围: 22b -≤<或22b =. 故答案为：22b -≤<或22b =.【点睛】本题主要考查了直线与圆相交相切问题、采用数形结合思想，属于中档题.20．2【分析】根据两点间的距离公式的几何意义可知表示点到点的距离点在直线上点在曲线上通过平移法设曲线的切线方程联立切线方程和曲线方程通过求出可求出切线方程最后利用两平行线间的距离公式求出两平行直线与的距【分析】(),a a 到点1,b b ⎛⎫- ⎪⎝⎭的距离，点(),a a 在直线y x =上，点1,b b ⎛⎫- ⎪⎝⎭在曲线1y x =-上，通过平移法，设曲线1y x=-的切线方程y x m =+，联立切线方程和曲线方程，通过0∆=求出m ，可求出切线方程，最后利用两平行线间的距离公式，求出两平行直线0x y -=与20x y -+=的距. 【详解】表示点(),a a 到点1,b b ⎛⎫- ⎪⎝⎭的距离， 而点(),a a 在直线y x =上，点1,b b ⎛⎫- ⎪⎝⎭在曲线1y x=-上， 将直线y x =平移到与曲线1y x=-相切，设切线为y x m =+，切线方程和曲线方程联立，即1y x my x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩，得210x mx ++=，则240m ∆=-=，解得：2m =±，当2m =时，切线方程为：2y x =+，即20x y -+=， 所以两平行直线0x y -=与20x y -+=的距离为：d ==，所以()221a b a b ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的最小值为2. 故答案为：2. 【点睛】本题考查利用两点间距离的几何意义求最值，考查两点间的距离公式以及两平行线间的距离公式的应用，还涉及两平行线的斜率关系和一元二次方程根的判别式，考查转化思想和三、解答题21．（1）()()224225x y -++=；（2）2200x y --=. 【分析】（1）联立线段AB 的垂直平分线所在的方程与圆心所在直线方程，可得圆心坐标，进而求出圆的半径以及圆M 的标准方程；（2）设出直线l 的方程，由CD =2OA 可得弦长，利用点到直线的距离公式结合勾股定理列出方程，可得直线l 的方程． 【详解】（1）由题意可解得线段AB 的垂直平分线所在的方程为：y +2=34(x －4)，即354y x =-，因为圆心在直线x ＋y －2＝0上，且圆M 过点A （1，2），B （7，－6），则圆心为直线354y x =-与直线x ＋y －2＝0的交点，联立20354x y y x +-=⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得42x y =⎧⎨=-⎩，即圆心M 为（4，－2），半径为MA5=，所以圆M 的标准方程为()()224225x y -++=.（2）由直线l 平行于OA ，可设直线l 的方程为：20y x m m =+≠，，则圆心M 到直线l的距离为d ==CD =2OA =2525d +=，所以d ==，则解得m =－20或m =0（舍去），则直线l 的方程为2200x y --=. 【点睛】关键点点睛：本题考查圆的标准方程，考查圆的性质，解决本题的关键点是由已知求出弦长CD ，利用圆的弦长的一半，圆心到直线的距离和圆的半径构造直角三角形，结合勾股定理计算出参数的值，进而可得直线的方程，考查了学生计算能力，属于中档题． 22．3270x y +-=或460x y +-=. 【分析】根据题意求出交点坐标，由M ，N 到l 的距离相等，可判断直线有两种情况：①直线l 经过线段MN 的中点；②直线//l MN ，分别求解两种情况下的直线方程即可. 【详解】 联立10240x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得12x y =⎧⎨=⎩，所以直线10x y -+=与直线240x y +-=的交点为()1,2P ，由M ，N 到l 的距离相等，知直线l 经过线段MN 的中点，或者直线//l MN ，线段MN 的中点为()3,1Q -，35424MN k +==--， ∴过点P ，Q 的直线l 的方程为3270x y +-=，∴过点P 与直线MN 平行的直线l 的方程为460x y +-=， 综上，直线l 的方程为3270x y +-=或460x y +-=. 【点睛】本题考查直线方程的求法，考查两直线交点等基础知识，两个点到直线的距离相等，可以分为两种情况：①直线l 经过线段MN 的中点；②直线//l MN ；当MN 的中点()3,1Q -在直线l 上时，计算出斜率PQ k ，利用点斜式即可得出直线l 的方程；当//MN l时，计算出斜率MN k ，再根据斜率相等，利用点斜式即可得出直线l 的方程.23．（1）x +y +5=0，(x -1)2+(y -2)2=9；（2）)3,⎡+∞⎣. 【分析】（1）求出AB 的斜率，利用点斜式可得直线l 的方程，求出AB 的中垂线的方程，结合圆心在直线2y x =上可得圆心坐标，求出半径后可得所求的圆的方程. （2）求出圆心到直线l 的距离后可得|MN |的取值范围． 【详解】（1）∵1AB k =-， 直线l:y +2=-(x +3)，即l:x +y +5=0，AB 的中点为57,22⎛⎫⎪⎝⎭，故AB 的中垂线方程为57122y x x =-+=+，由21y x y x =⎧⎨=+⎩解得12x y =⎧⎨=⎩，∴圆心C (1，2)，半径3r CA ===， ∴圆C 的方程为：(x -1)2+(y -2)2=9.(2) ∵圆心C 到直线l 的距离为3d ==>，∴直线l 与圆C 相离,∴|MN |的最小值为3-，无最大值，∴|MN |的取值范围为)3,⎡+∞⎣. 【点睛】 方法点睛：（1）求圆的方程，关键是确定圆心坐标和圆的半径，前者的确定需要利用一些几何性质，如果圆心在弦的中垂线上，也在过切点且垂直于切线的直线上.（2）直线与圆的位置关系中的最值问题，往往转化为圆心到几何对象的距离问题. 24．（1）22(1)(2)2x y -++=；（2）0x =或34y x =-.【分析】（1）根据题意设圆心坐标为(,2)a a -，进而得222222(2)(12)(0)(32)a a r a a r ⎧-+-+=⎨-+-+=⎩，解得1,a r ==，故圆的方程为22(1)(2)2x y -++=（2）分直线l 的斜率存在和不存在两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）圆C 的圆心在直线2y x =-上，设所求圆心坐标为(,2)a a - ∵ 过点(2,1),(0,3)--，222222(2)(12)(0)(32)a a r a a r ⎧-+-+=∴⎨-+-+=⎩解得1,a r ==∴ 所求圆的方程为22(1)(2)2x y -++= （2）直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2 ①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =， 此时直线l 被圆C 截得的弦长为2，满足条件； ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx =，由于直线l 被圆C 截得的弦长为2，故圆心到直线l 的距离为1d = 故由点到直线的距离公式得：1d ==解得34k =-，所以直线l 的方程为34y x =- 综上所述，则直线l 的方程为0x =或34y x =- 【点睛】易错点点睛：本题第二问在解题的过程中要注意直线斜率不存在情况的讨论，即分直线l 的斜率存在和不存在两种，避免在解题的过程中忽视斜率不存在的情况致错，考查运算求解能力与分类讨论思想，是中档题.25．（1；（2）⎡⎢⎣⎦. 【分析】（1）求出圆的圆心与半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d ，由||AB =.（2）利用+1yx 表示圆上的点与原点构成直线的斜率即可求解. 【详解】（1）()222243021x y x x y +-+=⇒-+=，所以圆心为()2,0，半径1r =，则圆心到直线:10l x y +-=的距离：2d ==，所以||AB ===（2）+1yx 表示圆上的点(),x y 与()1,0-构成直线的斜率，当直线与圆相切时取得最值，设(1),1+1yk y k x x ==-=，，可得2291k k =+，218k =，k =±+1y x的取值范围为44⎡-⎢⎣⎦.【点睛】关键点睛：解题的关键在于利用几何法求弦长以及利用两点求斜率的计算公式得到+1yx 的取值范围26．（1）320x y ++=；（2）22(2)8x y -+=；（3）20x y -+=或20x y ++=. 【分析】（1）求出直线AC 的斜率后可得直线AC 的方程.（2）求出点A 的坐标，结合圆心坐标可求圆的半径，从而可得圆的方程. （3）利用点到直线的距离为半径可求切线的斜率，从而可得所求的切线的方程. 【详解】 （1）0AT AB ⋅=，AT AB ∴⊥，又T 在AC 上，AC AB ∴⊥，ABC ∴为Rt ABC ∆，又AB 边所在直线的方程为360x y --=，∴直线AC 的斜率为3-， 又点()1,1T -在直线AC 上，AC ∴边所在直线的方程为13(1)y x -=-+，即320x y ++=.（2）AC 与AB 的交点为A ，∴由360320x y x y --=⎧⎨++=⎩解得点A 的坐标为()0,2-，BM MC =，()2,0M ∴为Rt ABC 斜边上的中点，即为Rt ABC 外接圆的圆心，又||r AM === 从而ABC 外接圆的方程为22(2)8x y -+=. （3）设切线方程为(2)y k x =+=，解得1k =或1-.所以切线方程为20x y -+=或20x y ++=.【点睛】思路点睛：（1）确定直线的方程往往需要两个独立的条件，比如直线所过的两个不同点，或直线所过的一个点和直线的斜率；（2）确定圆的方程，关键是圆心坐标和半径的确定；（2）直线与圆的位置关系，往往通过圆心到直线的距离与半径的大小关系来判断.。
直线与圆的方程测试题
一、选择题(每题4分)1 .点A(4,0)关于直线5x+4y+21=0的对称点是( )A.(-6,8)B.(-8,-6)C.(6,8)D.(-6,-8)2 .经过点(2,1)的直线/到A(1,1)、B(3,5)两点的距离相等，那么直线/的方程为( )A.2x-y-3=OB.x=2C.2x-y-3=O或x=2D.都不对3 .圆心在y轴上，半径为1,且过点(1,2)的圆的方程是()A.x2+(y-2)2-lB./+(),+2)2=1C.(x-l)2÷(y-3)2=l D,x2÷(γ-3)2=l4,假设直线x+y+印=0与圆*+/=勿相切，那么卬为( ).A.0或2B.2C,√2D.无解5 .圆⅛-l)2+3+2)2=20在X轴上截得的弦长是().A.8B.6C.6V∑D.4V36 .两个圆G：%2+y+2Λ,+2y—2=0与G：x2+y—4x—2y+l=0的位置关系为( ).A.内切B.相交C,外切 D.相离x≤27 .假设x、y满足约束条件y≤2,那么z=x+2y的取值范围是〔)x+y≥2A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、(3,5]2x+y-6≥08,.不等式组卜+y-3≤0表示的平面区域的面积为()j≤2A、4B、1C、5D、无穷大9.圆元2+y2-ar+2=0与直线/相切于点A(3,l),那么直线/的方程为()A.2x-y-5=0B.x-2y-l=0C.x-y-2=0D.x+y-4=0x≥l10,(2011顺义二模文7)点PEy)的坐标满足条件y≥x,那么点P到直线x-2y+3≥031一4y一9=0的距离的最小值为()二、填空(每题4分)11 .∣S]x2÷r-4x=O在点P(l,√3)处的切线方程为.12 .当α二时，直线/1:x+αy=2α+2,直线“：依+y=〃+1平行.13 .直线2x+1Iy+16=O关于点P(O,1)的对称直线的方程是.14 .设圆*+/-4*一5=0的弦45的中点为尸(3,1),那么直线力6的方程是.15 .圆心为。
高二数学直线和圆的方程综合测试题
高二数学直线和圆的方程综合测试题一、选择题1. 直线的斜率为-2，过点（3，4），则直线的方程为（）。
A. y = -2x + 10B. y = -2x - 2C. y = 2x + 10D. y = 2x - 2答案：B2. 已知直线的斜率为1/3，过点（-1，2），则直线的方程为（）。
A. y = 1/3x + 5/3B. y = -1/3x + 5/3C. y = 1/3x - 5/3D. y = -1/3x - 5/3答案：C3. 已知点（2，3）和（-1，4）在直线上，则直线的方程为（）。
A. y = -x + 5B. y = -x + 1C. y = x + 5D. y = x + 1答案：A4. 直线y = 2x - 1与直线y = kx + 4平行，则k的值为（）。
A. 2B. -2C. 1D. -1答案：A5. 直线y = -3x + 2与直线y = kx + 1垂直，则k的值为（）。
A. 1/3B. -1/3C. 3D. -3答案：B二、填空题1. 过点（1，2）且与直线y = 3x + 1垂直的直线方程为__________。
答案：y = -1/3x + 7/32. 过点（2，-1）且与直线y = -2x + 5平行的直线方程为__________。
答案：y = -2x + 33. 过点（4，3）和（-2，1）的中点坐标为__________。
答案：(1, 2)4. 过点（-1，2）且与直线y = -3x + 4垂直的直线方程为__________。
答案：y = 1/3x + 7/35. 过点（3，-2）且与直线y = 2x - 1平行的直线方程为__________。
答案：y = 2x - 8三、解答题1. 已知直线L1过点（1，2）且与直线y = 2x + 3垂直，直线L2过点（-1，4）且与直线L1平行，求直线L2的方程。
解析：首先求出直线L1的斜率，由于直线L1与y = 2x + 3垂直，所以斜率为-1/2。
高中试卷-专题10 直线和圆的方程(单元测试卷)(含答案)
专题10 《直线和圆的方程》单元测试卷一、单选题1．（2019·全国高二月考（文））直线：的倾斜角为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】直线的斜率，设直线的倾斜角为，则，所以.故选：D.2．（2019·浙江省高二期中）圆心为，且过原点的圆的方程是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】根据题意.故选：.3．（2020·南京市江宁高级中学高一月考）如果直线(2a+5)x+(a －2)y+4=0与直线(2－a)x+(a+3)y －1=0互相垂直，则a 的值等于（ ）A ．2B ．－2C ．2,－2D ．2,0,－2【答案】C 【解析】(2a ＋5)(2－a )＋(a －2)(a ＋3)＝0，所以a ＝2或a ＝－2.4．（2019·山东省高一期中）圆与直线的位置关系( )A ．相切B ．相离C ．相交D ．不能确定【答案】Cx y +-0=30°45°60°135°0x y +=1k =-0x y +=1(080)a a °£<°tan 1a =-135a =°()2,2()()22228x y -+-=()()22222x y -+-=()()22228x y +++=()()22222x y +++=r ==()()22228x y -+-=A 22(1)5x y +-=120mx y m -+-=直线即即直线过点,把点代入圆的方程有,所以点在圆的内部,过点的直线一定和圆相交.故选:C.5．（2019·山东省高一期中）从点向圆引切线，则切线长的最小值( )A ．B ．5CD ．【答案】A【解析】设切线长为,则,故选:A.6．（2020·南京市江宁高级中学高一月考）已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数A ．1B ．C ．或1D ．2或1【答案】D 【解析】由题意，当，即时，直线化为，此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；当，即时，直线化为，由直线在两坐标轴上的截距相等，可得，解得；综上所述，实数或．故选：D ．7．（2019·山东省高一期中）若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为( )A ．B ．C ．D ．120mx y m -+-=()12y m x -=-()21，()21，405+<()21，()21，(,3)P m 22(2)(2)1x y +++=4+d 2222(2)51(2)24d m m =++-=++min d \=20ax y a +-+=(a =)1-2-2a 0-+=a 2=ax y 2a 0+-+=2x y 0+=2a 0-+¹a 2¹ax y 2a 0+-+=122x ya a a+=--2a2a a-=-a 1=a 2=a 1=(1,1)P 2240x y x +-=AB AB 20x y +-=0x y -=20x y -+=22(1)5x y +-=【解析】化为标准方程为.∵为圆的弦的中点,∴圆心与点确定的直线斜率为,∴弦所在直线的斜率为1，∴弦所在直线的方程为,即.故选:B.8．（2020·武威第六中学高三二模（文））过点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为（ ）AB ．1CD ．【答案】C 【解析】根据题意，设过点且倾斜角为的直线为 ,其方程为,即,变形可得，圆 的圆心为，半径 ,设直线与圆交于点,圆心到直线的距离,则，故选C.9．（2020·南京市江宁高级中学高一月考）已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为（ ）A ．B．2240x y x +-=()22-24x y +=()1,1P ()22-24x y +=AB P 01121k -==--AB AB 11y x -=-0x y -=()1,030o ()2221x y -+=()1,030o l ()tan 301y x =-o)1y x =-10x -=()2221x y -+=()2,01r =l AB 12d 2AB ==20kx y -+=()3,2M -()2,5N 32k £32k ³C ．D ．或【答案】C 【解析】因为直线恒过定点，又因为，，所以直线的斜率k 的范围为．故选：C ．10．（2020·四川省宜宾市第四中学校高二月考（理））已知圆，圆，、分别是圆、上动点，是轴上动点，则的最大值是( )A ．BC ．D【答案】D 【解析】如下图所示：4332k -££43k £-32k ³20kx y -+=()0,2A 43AM k =-32AN k =4332k -££()()221:231C x y -+-=()()222:349C x y -+-=M N 1C 2C P x PN PM -4+4+圆的圆心，半径为，圆的圆心，半径为，，由圆的几何性质可得，，，当且仅当、、三点共线时，取到最大值.故选：D.二、多选题11．（2019·辽宁省高二月考）在同一直角坐标系中，直线与圆的位置不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】ABD 【解析】直线经过圆的圆心，且斜率为.故选项满足题意.故选：.12．（2020·山东省高三期末）已知点是直线上一定点，点、是圆上1C ()12,3C 11r =2C ()23,4C 23r =12C C ==2223PN PC r PC £+=+1111PM PC r PC ³-=-2112444PN PM PC PC C C -£-+£+=1C P 2C PN PM -4+2y ax a =+222()x a y a ++=2y ax a =+222()x a y a ++=(),0a -a ,,A B D ABD A :0l x y +=P Q 221x y +=的动点，若的最大值为，则点的坐标可以是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】AC 【解析】如下图所示：原点到直线的距离为，则直线与圆相切，由图可知，当、均为圆的切线时，取得最大值，连接、，由于的最大值为，且，，则四边形为正方形，所以由两点间的距离公式得整理得，解得，因此，点的坐标为或.故选：AC.13．（2020·广东省高二期末）瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler ）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是（ ）A ．B ．C ．D ．PAQ Ð90o A (()1))1,1-l 1d ==l 221x y +=AP AQ 221x y +=PAQ ÐOP OQ PAQ Ð90o 90APO AQO Ð=Ð=o 1OP OQ ==APOQ OA =OA ==220t -=0t =A ()ABC D ()4,0-A ()0,4B 20x y -+=C ()2,0()0,2()2,0-()0,2-【答案】AD 【解析】设的垂直平分线为，的外心为欧拉线方程为与直线的交点为，，①由，，重心为，代入欧拉线方程，得，②由 ①②可得或 .故选:AD 三、填空题14．（2019·浙江省高二期中）直线过定点______；若与直线平行，则______.【答案】 【解析】(1),故.即定点为(2) 若与直线平行,则,故或.当时与直线重合不满足.故.故答案为：(1) ; (2)15．（2018·江苏省高二月考）已知以为圆心的圆与圆相内切，则圆C 的方程是________．【答案】(x －4)2＋(y ＋3)2＝36.(,),C x y AB y x =-ABC D 20x y -+=y x =-(1,1)M-22||||(1)(1)10MC MA x y \==\++-=()4,0A -()0,4B ABC D 44(,33x y -+20x y -+=20x y --=2,0x y ==0,2x y ==-()1:20l m x y m +--=()m R Î1l 2:310l x my --=m =()1,23-()1:20(1)20l m x y m m x x y +--=Þ-+-=101202x x x y y -==ììÞíí-==îî()1,21l 2:310l x my --=()()()()()2310130m m m m +---=Þ-+=1m =3m =-1m =1l 2l 3m =-()1,23-()4,3C -22:1O x y +=【解析】，设所求圆的半径为，由两圆内切的充分必要条件可得：，据此可得：，圆C 的方程是(x －4)2＋(y ＋3)2＝36.16．（2020·河南省高三二模（文））圆关于直线的对称圆的标准方程为__________．【答案】【解析】，圆心为，半径为，设圆心关于直线的对称点为，对称圆的标准方程为.故答案为：.17．（2020·四川省高三二模（文））已知、为正实数，直线截圆所得的弦长为，则的最大值为__________．【答案】【解析】因为直线截圆所得的弦长为,且圆的半径为2.故圆心到直线的距离.,因为、为正实数,故,所以.当且仅当时取等号.5=()0r r >15r -=6r =22230x y y ++-=10x y +-=22(2)(1)4x y -+-=Q 2222230(41)x y y x y ++-=Þ+=+\(0,1)-210x y +-=(,)x y \1(1)1,2,1.110,22y x xy x y +ì´-=-ï=ìïÞíí=-îï+-=ïî\22(2)(1)4x y -+-=22(2)(1)4x y -+-=a b 10x y ++=()()224x a y b -+-=ab 1410x y ++=(224x (),a b d ==a b 1a b +=2124a b ab +æö£=ç÷èø12a b ==故答案为：四、解答题18．（2020·吴江汾湖高级中学高一月考）求圆上与直线的距离最小的点的坐标.【答案】【解析】过圆心且与直线垂直的直线方程为，联立圆方程得交点坐标为，，又因为与直线的距离最小，所以.19．（2019·全国高二月考（文））已知直线过点.（1）若原点到直线的距离为，求直线的方程；（2）当原点到直线的距离最大时，求直线的方程.【答案】（1）或；（2）【解析】（1）①当直线的斜率不存在时，方程符合题意；14224x y +=43120x y +-=86,55P æöç÷èø43120x y +-=340x y -=224340x y x y ì+=í-=î86,55æöç÷èø86,55æö--ç÷èø43120x y +-=86,55P æöç÷èøl (2,1)P -O l 2l O l l 20x -=34100x y --=250.x y --=l 2x =②当直线的斜率存在时，设斜率为，则方程为，即，解得，则直线的方程为故直线的方程为或（2）当原点到直线的距离最大时，直线因为，所以直线的斜率所以其方程为，即20．（2020·吴江汾湖高级中学高一月考）在中，，边上的高所在的直线方程为，边上中线所在的直线方程为.（1）求点坐标；（2）求直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】（1）边上的高为，故的斜率为， 所以的方程为，即，因为的方程为解得所以.l k ()12y k x +=-210.kx y k ---=234k =l 34100.x y --=l 20x -=34100.x y --=O l .l OP ^011022OP k +==--l 2,k =()122y x +=-250.x y --=ABC D (1,2)A -AC BE 74460x y +-=AB CM 211540x y -+=C BC ()66C ，2180x y +-=AC 74460x y +-=AC 47AC ()4217y x -=+47180x y -+=CM 211540x y -+=21154047180x y x y -+=ìí-+=î，，66x y =ìí=î()66C ，（2）设，为中点，则的坐标为， 解得， 所以， 又因为，所以的方程为即的方程为.21．（2019·浙江省高二期中）如图，圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为（1）求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标；（2）若两条切线于轴分别交于两点，求面积的最小值．【答案】（1）见解析，（2【解析】（1）设，则以 为直径的圆的方程： ，与圆，两式相减得：，()00,B x y M AB M 0012,22x y -+æöç÷èø0000122115402274460x y x y -+ì-+=ïíï+-=î0028x y =ìí=î()2,8B ()6,6C BC ()866626y x --=--BC 2180x y +-=22:(2)1C x y -+=P :4l x =P C ,A BAB Q ,PA PB y ,M N QMN V 5,02Q æöç÷èø(4,)P t CP ()22232t x y æö-+-=ç÷èø22:(2)1C x y -+=:2(2)1AB l x ty -+=所以直线恒过定点.（2）设直线与的斜率分别为，与圆，即．所以，，22．（2020·江西省新余一中高一月考）已知点，，直线：，设圆的半径为，圆心在直线上．（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；（2）若圆上存在点，使，为坐标原点，求圆心的横坐标的取值范围．【答案】（1）或.（2）【解析】(1)由得：，所以圆C：..当切线的斜率存在时,设切线方程为，由，解得：当切线的斜率不存在时，即也满足所以切线方程为：或.5,02Qæöç÷èøAP BP12,k k(4)y t k x-=-C1=223410k tk t-+-=2121241,33-+=×=t tk k k k14My t k=-24Ny t k=-12||44=-==³MN k k()min1522MNQSD==(4,4)A(0,3)B l1y x=-C1C lC37y x=-A CC M2MB MO=O C a4x=3440x y-+=a££a££137y xy x=-ìí=-î()3,2C22(3)(2)1x y-+-=4(4)y k x-=-1d==34k=4x=4x=3440x y-+=(2)由圆心在直线l ：上，设设点，由化简得：，所以点M在以为圆心，2为半径的圆上. 又点M 在圆C 上，所以圆C 与圆D 有交点，则即，解得：23.（2019·山东省高一期中）已知点，点在圆上运动.（1）求过点且被圆截得的弦长为的直线方程；（2）求的最值.【答案】(1)或;(2)最大值为88,最小值为72.【解析】(1)依题意,直线的斜率存在,因为过点且被圆截得的弦长为,,设直线方程为,即,解得或所以直线方程为或.(2)设点坐标为则.因为,所以,即的最大值为88,最小值为72.C 1y x =-(,1)C a a -(,)M x y ||2||MB MO ==22(1)4x y ++=(0,1)D -1||3CD ££13££a ££a ££(2,2),(2,6),(4,2)A B C ----P 22:4E x y +=C E 222||||||PA PB PC ++7100x y ++=20x y +-=C E 2(4)y k x +=-420kx y k ---==17k =-1k =-7100x y ++=20x y +-=P (),x y 224x y +=222222222||||||(2)(2)(2)(6)(4)(2)PA PB PC x y x y x y ++=++++++-+-++()223468804x y y y=+-+=-22y -≤≤7280488y £-£222||||||PA PB PC ++。
直线与圆的方程测试题
直线与圆的方程测试题1. 的倾斜角为2.一直线的倾斜角α的正弦等于35, 此直线的斜率k = 3.若1(23)(32)2A B C m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，，，，三点共线，则m 的值为（ ） Ａ．12 Ｂ．12- Ｃ．2- Ｄ．2 4.已知三点,2A a ,5,1B ,C 4,2a 在同一直线上,a 的值为5.斜率k 的变化范围是⎡-⎣,则其倾斜角的变化范围是 （ D ） A ,43k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦ B ,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C 3,34ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ D 30,,34πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭6.已知点)0,1()01(B A 和，-. 若直线b x y +-=2与线段AB 相交，则b 的取值范围是_____________.7.已知点)3,2(-A 、)2,3(--B 直线l 过点)1,1(P ，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率 的取值k 范围是 （ ）A 、34k ≥或4k ≤-B 、34k ≥或14k ≤-C 、434≤≤-kD 、443≤≤k 8.过点()2,A m -和(),4B m 的直线与直线210x y +-=平行，则m 的值为（ ）A 0B 8-C 2D 109.12m =”是“直线()2310m x my +++=与直线 ()()2230m x m y -++-=相互垂直” 的 （ ）A 充分必要条件B 充分而不必要条件C 必要而不充分条件D 既不充分也不必要条件10.直线的倾斜角为060，直线2l 垂直于直线1l ，则直线2l 的斜率是（ ）A B C D -11.已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y 轴上的截距为31，则m ，n 的值分别为 ( )A.4和3B.-4和3C.- 4和-3D.4和-312．已知直线1:(2)(1)10l a x a y ++--=与直线2:(1)(23)20l a x a y -+++=垂直，求a 的值．13.已知点()1,2A ，()3,1B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ）A ．524=+y xB ．524=-y xC ．52=+y xD ．52=-y x14.圆2211x y 的圆心到直线33y x 的距离是 （ ）A 12B 2C 1D 15.若直线34120xy 与两坐标轴交点为A,B,则以线段AB 为直径的圆的方程是 （ ）A 22430xy x y B 22430x y x y C 224340x y x y D 224380x y x y16.过原点且圆2220x y x ）A y xB y =C y xD y x = 17.圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点()0,4A -,()0,2B -则圆C 的方程为18.12340670l x y l x y +-=++=两平行线，2之间距离为 19.求过点5,2A,且在x 轴y 轴上截距相等的直线方程 . 20.2220x y ax ay a ++-+=表示圆，则a 的取值范围21.22310x y x y ++--=的圆心坐标 ，半径22..直线240x y ++=截226210x y x y +-++=所得弦长为23.圆2220x y x +-=与圆2240x y y ++=的位置关系为24.在坐标平面内，与点()1,2A 距离为1，且与点()3,1B 距离为2的直线共有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条25.过点2,1的直线中,被22240xy x y 截得最长弦所在的直线方程为 （ ）A 350x yB 370x yC 330x yD 310x y 26.圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为 ( )A ．023=-+y xB ．043=-+y xC ．043=+-y xD ．023=+-y x27.已知圆的方程为22(1)(1)1x y -+-=，P 点坐标为(23)，，求圆过P 点的切线方程．28.圆C 与圆1)1(22=+-y x 关于直线x y -=对称，则圆C 的方程为( B )A ．1)1(22=++y xB ．122=+y xC ．1)1(22=++y xD ．1)1(22=-+y x 29.圆2268240x y x y +-++=关于直线0y =对称的圆的方程是（ ）A 22(3)(4)1x y ++-=B 22(4)(3)1x y -++=C 22(4)(3)1x y ++-=D 22(3)(4)1x y -+-=30.直线l 经过点P(3,2)且与x 轴y 轴的正半轴分别交与A,B 两点, ABO ∆的面积为12,直线l 的方程 .31.圆224120x y y +--=上的动点Q ，定点()8,0A ，线段AQ 的中点轨迹方程 32.不论m 为何值,直线()():1215l m x m y m -+-=-恒过一个定点,此点的坐标 .33.已知圆：2246120x y x y +--+=，（1）求过点(3,5)A 的圆的切线方程；（2）点(,)P x y 为圆上任意一点，求y x的最值。
直线与圆的方程单元测试题含答案
掌握直线与圆的位置关系判断是解决直线与圆相关问题的基础，对于提高解题能力和数学思 维能力有很大的帮助。
定义：直线方程的基本形式是y=kx+b，其中k是斜率，b是截距。
斜率：表示直线与x轴的夹角，当k>0时，夹角为锐角；当k<0时，夹角为钝角。 截距：表示直线与y轴的交点，当b>0时，交点在正半轴上；当b<0时，交点在负半轴 上。
圆的一般方程：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，其中D、E、F为常数
圆的参数方程：x=a+r*cosθ，y=b+r*sinθ，其中(a,b)为圆心，r为半径，θ为参数
圆的切线方程：在已知圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0上，切线的方程可表示为：D*x*x0+E*y*y0+F*x+E*y+C=0， 其中(x0,y0)为切点
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圆的直径的方程：$(x-\frac{x1+x2}{2})^2+(y\frac{y1+y2}{2})^2=(\frac{\sqrt{(x1-x2)^2+(y1-y2)^2}}{2})^2$，其中 $(x1,y1)$和$(x2,y2)$为直径的两个端点
联立方程法：通过将直线方程与圆方程联立，消元求解交点坐标
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01.
02.
03.
定义：表示直线上的点与固定点之间的距离始终等于一个常数 形式：Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，且A和B不同时为0 分类：一般式、点斜式、斜截式、两点式和截距式 适用范围：适用于所有直线方程，是直线方程的基本形式
直线与圆的方程测试题(含答案)
直线与圆的方程测试题(含答案)直线和圆方程试题(本试卷满分为150分，考试时间为120分钟)1、选择题(共18题，每题4分，共72分)每题所列四个选项中只有一个符合题目要求，请选择。
如果点M1(2，-5)和M2(5，y)之间的距离为5，则y =()a-9 b-1c-9或-1d 122。
数轴上a点的坐标是2，m点的坐标是-3。
然后|上午|=()下午5点到下午5点1点到下午1点3点。
直线的倾角是2？3、坡度为()a-33b . 33 c？3 d.34 .下面的陈述是正确的()A。
任何直线都有倾角b，任何直线都有斜率c，直线的倾角范围是(0，？直线倾斜角的范围是(0？)5。
通过点(4，-3)，斜率为-2的线性方程为()a . 2x+y+2 = 0b . 2x-y-5 = 0c . 2x+y+5 = 0d . 2x+y-5 = 0.6。
交点(2，0)和平行于y轴的线性方程是()A.x=0 B.y=0 C.x=2 D.y=27。
y轴上直线的截距为-2，倾角为0。
那么线性方程是(a . x+2 = 0b . x-2 = 0c . y+2 = 0d . y-2 = 08。
“b ≠ 0”是等式“Ax+By+C=0代表直线”的()a。
充分和不必要条件b .必要和不充分条件c .充分和必要条件d .不充分和不必要条件9。
直线3x-y+12 = 0和直线6x-2y+1=0之间的位置关系是()a .平行b .重合c .相交不垂直d .相交和垂直10。
下面的命题是错误的..具有负倒数斜率的两条直线必须相互垂直b，相互垂直的两条直线的斜率必须为负倒数c，两条平行直线的倾角等于256°+°。
两条倾角相等的直线平行或重合11。
与直线2x+y-5=0平行的交叉点(3，-4)是()a . 2x+y+2 = 0b . 2x-y-2 = 0c . 2x-y+2 = 0d . 2x+y-2 = 012。
直线ax+y-3=0垂直于直线y=12x-1。
基础模块下册第六章直线与圆的方程综合测试题-高教版
直线与圆的方程学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知直线ll:yy=xx−8.则下列结论正确的是（）A．点(2,6)在直线ll上B．直线ll的倾斜角为ππ4C．直线ll在yy轴上的截距为8 D．直线ll的一个方向向量为vv⃗=(1,−1) 2．若直线x＋3y－9＝0与直线x＋3y－c＝0的距离为√10，则c的值为（）A．－1 B．19C．－1或19 D．1或－193．直线3xx+4yy+2=0与2xx+yy−2=0的交点坐标是A．(−2,1)B．(−2,6)C．(2,−2)D．(6,−5) 4．方程xx2+yy2−aaxx+bbyy+cc=0表示圆心为(1,2)，半径为1的圆，则a、b、c的值依次为()A．−2，−4，4B．2，−4，4C．2，−4，−4D．−2，4，−4 5．已知点(1,aa)(aa>0)到直线ll:xx+yy−2=0的距离为1，则aa的值为（）A．√2B．2−√2C．√2−1D．√2+16．经过点PP(0,−1)作直线ll，若直线ll与连接AA(1,−2),BB(2,1)的线段总有公共点，则ll的倾斜角的取值范围是（）A．�0,ππ4�B．�ππ4,3ππ4�C．�3ππ4,ππ�D．�0,ππ4�∪�3ππ4,ππ�7．点PP在直线3xx+yy−5=0上，且点PP到直线xx−yy−1=0的距离为√2，则PP点坐标为（）A．(1,2)B．(2,1)C．(1,2)或(2,−1)D．(2,1)或(−2,1)8．若直线yy=xx+bb与曲线xx=�1−yy2恰有一个公共点，则bb的取值范围是（）A．�−√2,√2�B．�−1,√2�C．�−1,√2�∪�√2�D．(−1,1]∪�−√2�9．已知圆CC与倾斜角为5ππ6的直线相切于点NN�3,−√3�，且与曲线(xx−1)2+yy2=1相外切，则圆CC的方程为（）A．(xx−4)2+yy2=4，xx2+(yy+2√3)2=12C．(xx+4)2+yy2=4，xx2+(yy−4√3)2=36D．(xx−4)2+yy2=4，xx2+(yy+4√3)2=3610．l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的范围是()A．0°≤α<90°B．90°≤α<180°C．90°<α<180°D．0°<α<180°11．在平面直角坐标系中，坐标原点OO到过点AA(cos130∘,sin130∘)，BB(cos70∘,sin70∘)的直线距离为（）A．12B．√22C．√32D．112．已知直线ll过AA(-2,1)，且在两坐标轴上的截距为相反数，那么直线ll的方程是（）．A．xx+2yy=0或xx-yy+3=0B．xx-yy-1=0或xx-yy+3=0C．xx-yy-1=0或xx+yy-3=0D．xx+2yy=0或xx+yy-3=013．在平面直角坐标系中，AA(0,1),BB(0,2)，若动点CC在直线yy=xx上，圆MM过AA､BB､CC三点，则圆MM的面积最小值为（）A．πB．2π3C．π2D．π414．在平面直角坐标系中，把横、纵坐标均为有理数的点称为有理点．若a为无理数，则在过点PP�aa,−12�的所有直线中，下列说法正确的（）A．有无穷多条直线，每条直线上至少存在两个有理点B．恰有nn(nn≥2)条直线，每条直线上至少存在两个有理点C．有且仅有一条直线至少过两个有理点D．每条直线至多过一个有理点15．若直线ll过点(−1,−1)和(2,5)，且点(1009,bb)在直线ll上，则bb的值为（）A．2019 B．2018 C．2017 D．2016 16．坐标原点到直线ll:kk2xx+xx+yy−kk2−2=0的距离的取值范围是（）A．(1,√2]B．[0,√2]C．(0,1)D．[0,+∞)17．已知直线ll1:aaxx+yy+1=0，ll2:2xx+(aa−1)yy+1=0，则“aa=−1”是“ll1∥ll2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件18．已知曲线CC:�xx=2cosααyy=2sinαα（αα为参数），点PP为在xx轴、yy轴上截距分别为8，-4的直线上的一个动点，过点PP向曲线引两条切线PPAA，PPBB，其中AA,BB为切点，则直线AABB恒过点A．(2,0)B．�√55,−25√5�C．(1,−1)D．�12,−1�19．设双曲线xx2aa2−yy2bb2=1(aa>0,bb>0)的右焦点为FF，右顶点为AA，过FF作AAFF的垂线与双曲线交于BB，CC两点，过BB，CC分别作AACC，AABB的垂线，两垂线交于点DD.若DD到直线BBCC的距离等于aa+√aa2+bb2，则该双曲线的离心率是（）A．√2B．√3C．2 D．√520．关于下列命题，正确的个数是（）（1）若点(2,1)在圆xx2+yy2+kkxx+2yy+kk2−15=0外，则kk>2或kk<−4；（2）已知圆MM:(xx+cosθθ)2+(yy−sinθθ)2=1，直线yy=kkxx，则直线与圆恒相切；（3）已知点PP是直线2xx+yy+4=0上一动点，PPAA、PPBB是圆CC:xx2+yy2−2yy=0的两条切线，AA、BB是切点，则四边形PPAACCBB的最小面积是2；（4）设直线系MM:xx cosθθ+yy sinθθ=2+2cosθθ，MM中的直线所能围成的正三角形面积都等于12√3．A．1B．2C．3D．4二、填空题21．已知直线ll1：xx−mmyy+1=0，ll2：2xx−6yy+5=0，且ll1//ll2，则mm的值为________．22．设若圆与圆的公共弦长为，则=______.23．已知直线ll1:xx+aayy+6=0与ll2:(aa−2)xx+yy+1=0互相垂直，则aa=_________. 24．过直线ll1:xx−2yy+3=0与直线ll2:2xx+3yy−8=0的交点，且到点PP(0,4)距离为2的直线方程为__________________.25．已知直线3xx-4yy-11=0和圆xx2+(yy-1)2=rr2(rr>0)相交于AA，BB两点.若|AABB|=2，则rr的值为___________.三、解答题26．已知三角形的三个顶点AA(−5,0),BB(3,−3),CC(0,2).（1）求BC边所在直线的方程；（2）求BC边上的高所在直线方程.27．求以CC(3,−4)为圆心，且与圆xx2+yy2=1相外切的圆C的方程．于M、N两点.(1)若∠CCMMNN=30°，求圆的半径；(2)若OOMM⊥OONN（OO为坐标原点），求圆CC的方程.29．已知MM(1,−1),NN(2,2),PP(3,1)，圆CC经过MM,NN,PP三点.（1）求圆CC的方程，并写出圆心坐标和半径的值；（2）若过点QQ(1,1)的直线ll与圆CC交于AA、BB两点，求弦AABB的长度|AABB|的取值范围. 30．已知圆C经过点A(﹣1，3)，B(3，3)两点，且圆心C在直线x﹣y+1＝0上．(1)求圆C的方程；(2)求经过圆上一点A(﹣1，3)的切线方程．参考答案：1．B【分析】逐个分析各个选项.【详解】对于A 项，当xx =2，yy =6时， 代入直线方程后得6≠2−8，∴点(2,6)不在直线l 上，故A 项错误；对于B 项，设直线l 的倾斜角为θθ，∵kk =1，∴tan θθ=1，又∵θθ∈[0,ππ)，∴θθ=π4，故B 项正确；对于C 项，令xx =0得：yy =−8，∴直线l 在y 轴上的截距为−8，故选项C 错误； 对于D 项，∵直线l 的一个方向向量为vv ⃗=(1,−1)，∴kk =−11=−1，这与已知kk =1相矛盾，故选项D 错误. 故选：B. 2．C【分析】由题意利用两条平行线间的距离公式，可的c 的值． 【详解】由两平行线间的距离公式得， d ＝|−cc−(−9)|√12+32＝√10，所以| c －9|＝10，得c ＝－1或c ＝19． 故选：C. 3．C【分析】直接联立方程组求解交点坐标即可． 【详解】解：由�3xx +4yy +2=02xx +yy −2=0 解得�xx =2yy =−2， ∴直线3xx +4yy +2=0与2xx +yy −2=0的交点坐标是(2,−2)， 故选C ．【点睛】本题考查两条直线交点坐标的求法，考查计算能力． 4．B【分析】根据题意，由圆的一般方程分析可得答案．【详解】解：根据题意，方程xx 2+yy 2−aaxx +bbyy +cc =0表示圆心为(1,2)，半径为1的圆，则⎩⎪⎨⎪⎧aa2=1−bb2=214(aa 2+bb 2−4cc )=1 ，解可得：aa=2，bb=−4，cc=4，故选B．【点睛】本题考查圆的一般方程，注意由圆的一般方程求圆心坐标、半径的方法，属于基础题．5．D【分析】根据点到直线的距离公式列式求解参数即可.【详解】由题,|1+aa−2|√12+12=1⇒aa=1±√2,因为aa>0,故aa=√2+1.故选：D【点睛】本题主要考查了点到线的距离公式求参数的问题,属于基础题.6．D【解析】结合图形利用PPAA,PPBB的斜率得到直线ll的斜率的取值范围，从而可得直线ll的倾斜角的取值范围.【详解】设直线ll的斜率为kk，倾斜角为αα，kk PPPP=−1−(−2)0−1=−1，kk PPPP=−1−10−2=1，由图可知，−1≤kk≤1，所以0≤αα≤ππ4或3ππ4≤αα<ππ.故选：D【点睛】关键点点睛：求直线倾斜角的取值范围的关键是求出直线的斜率的取值范围，结合图象，利用PPAA,PPBB的斜率可得所要求的斜率的取值范围.7．C【分析】设点PP的坐标，再代入点到直线的距离公式，即可得答案.【详解】∵点PP在直线3xx+yy−5=0上，∴设PP(xx,−3xx+5)，利用点到直线的距离公式得：√2=|xx+3xx−5−1|√2，解得：xx=1或xx=2，∴点PP的坐标为(1,2)或(2,−1).故选：C.【点睛】本题考查点到直线的距离公式，考查运算求解能力，属于基础题.8．D【分析】由题意，作图，根据直线与圆的位置关系，可得答案.【详解】由曲线xx=�1−yy2，可得xx2+yy2=1（xx≥0），表示以原点为圆心，半径为1的右半圆，yy=xx+bb是倾斜角为ππ4的直线与曲线xx=�1−yy2有且只有一个公共点有两种情况：①直线与半圆相切，根据dd=rr，所以dd=|bb|√2=1，结合图象可得bb=−√2；②直线与半圆的上半部分相交于一个交点，由图可知−1<bb≤1.综上可知：−1<bb≤1或bb=−√2.故选：D.9．D【分析】求出直线方程为xx+√3yy=0，设出圆CC的方程，构建方程组即可得到结果. 【详解】过点NN�3,−√3�且倾斜角为5ππ6的直线方程为yy=−√33(xx−3)−√3，即xx+√3yy=0，设圆CC的圆心为�mm，nn�，半径为RR，由题意直线NNCC垂直于直线xx+√3yy=0，故kk NNNN=nn+√3mm−3=√3，可得nn=√3mm−4√3，RR=|NNCC|=�(mm−3)2+�nn+√3�2=2|mm−3|，两圆相切，有�(mm−3)2+�nn+√3�2=1+RR=2|mm−3|，（1）mm≥3时，解得mm=4,nn=0,RR=2，圆CC的方程为(xx−4)2+yy2=4；（2）mm<3时，解得mm=0,nn=−4√3,RR=6，圆CC的方程为xx2+�yy+4√3�2=36；故选：D10．C【分析】由题意，直线l经过第二、四象限，根据直线的倾斜角的定义，即可得到答案．【详解】由题意，可得直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角αα的范围是90°<αα<180°，故选C.【点睛】本题主要考查了直线的倾斜角的定义，其中解答中熟记直线的倾斜角的概念，合理应用是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．11．C【解析】求出直线AABB的方程，然后利用点到直线的距离公式可计算出原点到直线AABB的距离. 【详解】kk PPPP=sin70∘−sin130∘sin20∘+sin40∘=cos20∘−2cos220∘+1cos70∘−cos130∘=cos20∘−cos40∘sin20∘+2sin20∘⋅cos20∘=1−cos20∘sin20∘=sin10∘cos10∘，根据诱导公式可知：BB(sin20∘,cos20∘)，所以经过AA、BB两点的直线方程为：yy−cos20∘=sin10∘cos10∘(xx−sin20∘)，即xx sin10∘−yy cos10∘+cos10∘cos20∘−sin10∘sin20∘=0，即xx sin10∘−yy cos10∘+cos(10∘+20∘)=0，即xx sin10∘−yy cos10∘+√32=0，所以原点OO到直线的距离为dd=√32√sin210∘+cos210∘=√32，故选：C．【点睛】本题考查点到直线距离的计算，涉及二倍角公式和两角和的余弦公式的应用，解题的关键就是求出直线的方程，考查计算能力，属于中等题.12．A【分析】根据直线在两坐标轴上的截距为相反数，可以分两种情况来讨论，两坐标轴上的截距都为0时和两坐标轴上的截距互为相反数且不等于0时，即可求解.【详解】（1）当坐标轴上的截距都为0时，直线过原点，设直线方程为yy=kkxx把点(-2,1)代入求出kk=-12，即直线方程为xx+2yy=0（2）当坐标轴上的截距互为相反数且不等于0时，设直线方程为xx aa+yy-aa=1，把点(-2,1)代入求出aa=-3，即直线方程为xx-yy+3=0综上，直线方程为xx+2yy=0或xx-yy+3=0故选：A13．C【分析】设CC(aa,aa)，讨论aa=1时和aa≠1时两种情况，分别求出或表示出半径的平方值，结合二次函数性质求得答案.【详解】因为AA(0,1),BB(0,2),若动点CC在直线yy=xx上，圆MM过AA､BB､CC三点，设CC(aa,aa)，显然aa≠0，圆心为线段AB的垂直平分线和AC的垂直平分线的交点，当aa=1时，CC(1,1)，则圆心为(12,32)，设圆的半径为r,则rr2=(12)2+(32−1)2=12，此时圆的面积为πrr2=π2；当aa≠1时，AC的垂直平分线方程为yy−aa+12=aa1−aa(xx−aa2)，令yy=32，则xx=aa+1aa−32，故圆心为(aa+1aa−32,32)，则rr2=(aa+1aa−32)2+(32−1)2=(aa+1aa−32)2+14，令tt=aa+1aa，由于aa≠1，aa>0时，aa+1aa>2；aa<0时，aa+1aa≤−2，故tt>2或tt≤−2，因此对于函数yy=(tt−32)2，yy>(2−32)2=14，即rr2>12，此时圆MM的面积πrr2>π2，综合上述，圆MM的面积最小值为π2，故选：C14．C【分析】分析斜率不存在的直线和斜率为0的直线上的有理点的个数，再在斜率存在且不为0的直线上假设有两个有理点MM(xx1,yy1),NN(xx2,yy2)，利用直线的斜率公式推导出矛盾，从而判断各选项．【详解】显然直线yy=−12过PP点且此直线上有无数个有理点，选项D错误；直线xx=aa上的所有点都不是有理点，其它过PP点斜率存在且不为0的直线上假如有两个有理点MM(xx1,yy1),NN(xx2,yy2)，xx1,yy1,xx2,yy2都是有理数，则此直线的斜率为kk MMNN=yy1−yy2xx1−xx2为有理数，又kk MMPP=yy1+12xx1−aa为无理数，显然kk MMNN≠kk MMPP，矛盾，因此此类直线上不可能有两个或以上的有理点．所以AB均错，C正确．故选：C．15．A【分析】根据直线ll过点(−1,−1)和(2,5)，由直线的两点式方程化简得yy=2xx+1，然后将点(1009,bb)代入方程yy=2xx+1，求解得出bb的值.【详解】解：因为直线ll过点(−1,−1)和(2,5)，由直线的两点式方程，得直线ll的方程为yy−(−1)5−(−1)=xx−(−1)2−(−1)，化简得：yy=2xx+1，由于点(1009,bb)在直线ll上，将点(1009,bb)代入方程yy=2xx+1，得bb=2×1009+1，解得：bb=2019.故选：A.【点睛】本题考查直线的两点式方程的求法和应用，属于基础题.16．A【分析】根据给定条件，利用点到直线距离公式列式，再求出函数的值域作答. 【详解】坐标原点到直线ll:(kk2+1)xx+yy−kk2−2=0的距离dd=kk2+2�(kk2+1)2+1，令tt=kk2+2≥2，则dd=tt�(tt−1)2+1=1�2tt2−2tt+1=1�2(1tt−12)2+12，因0<1tt≤12，则12≤2(1tt−12)2+12<1，当且仅当tt=12，即kk=0时取等号，即1<dd≤√2，所以原点到直线l的距离的取值范围为(1,√2].故选：A17．C【分析】先根据两直线平行，解得aa的值，再利用充分条件、必要条件的定义求解. 【详解】直线ll:aaxx+yy+1=0，ll:2xx+(aa−1)yy+1=0，ll1∥ll2的充要条件是�aa(aa−1)=2aa≠2，解得aa=−1因此得到“aa=−1”是“ll1∥ll2”的充分必要条件.故答案为：C.18．D【解析】根据条件转化得出曲线C和直线的直角坐标方程，根据题意设PP的坐标，由切线的性质得点AA、BB在以OOPP为直径的圆CC上，求出圆CC的方程，将两个圆的方程相减表示出公共弦AABB所在的直线方程，再求出直线AABB过的定点坐标．【详解】解：∵PP是直线xx−2yy−8=0的任一点，∴设PP(8+2mm,mm)，曲线CC:�xx=2cosααyy=2sinαα（αα为参数），即圆xx2+yy2=4，由题意知，∴OOAA⊥PPAA，OOBB⊥PPBB，则点AA,BB在以OOPP为直径的圆上，即AABB是圆OO和圆CC的公共弦，则圆心MM的坐标是MM�4+mm,mm2�，且rr2=OOMM2= (4+mm)2+mm24，∴圆MM的方程：(xx−4−mm)2+�yy−mm2�2=(4+mm)2+mm24①，又xx2+yy2=4②，②-①得，(8+2mm)xx+mmyy−4=0，即公共弦AABB所在的直线方程：(8+2mm)xx+mmyy−4=0即mm(2xx+yy)+(8xx−4)=0，由�2xx+yy=08xx−4=0解得�xx=12yy=−1：∴直线AABB恒过定点�12,−1�，故选DD.【点睛】本题考查了参数方程，圆的切线性质，圆和圆的位置关系，公共弦所在直线求法以及直线过定点问题，属于中档题．19．A【分析】依题意求得AA,BB,CC的坐标，求得直线BBDD,CCDD的方程，联立BBDD,CCDD的方程求得DD点坐标，根据DD到直线BBCC的距离等于aa+√aa2+bb2列方程，由此求得双曲线的离心率. 【详解】依题意可知AA(aa,0),BB�cc,bb2aa�,CC�cc,−bb2aa�，所以kk PPPP=bb2aa(cc−aa),kk NNCC=−aa(cc−aa)bb2，kk PPNN=−bb2aa(cc−aa),kk PPCC=aa(cc−aa)bb2，所以直线BBDD：yy−bb2aa=aa(cc−aa)bb2(xx−cc)①，直线CCDD：yy+bb2aa=−aa(cc−aa)bb2(xx−cc)②，①-②并化简得xx CC=bb4aa2(cc−aa)+cc.由于DD到直线BBCC的距离等于aa+√aa2+bb2=aa+cc，直线BBCC方程为xx=cc，所以xx CC=bb4aa2(cc−aa)+cc=−aa，化简得aa2=bb2,aa=bb，所以双曲线为等轴双曲线，离心率为√2.故选：A【点睛】本小题主要考查直线和直线交点坐标的求法，考查直线方程点斜式，考查两条直线垂直斜率的关系，考查双曲线离心率的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 20．A【分析】（1）根据一般方程表示圆和点(2,1)列不等式组可解出实数kk的取值范围，可判断出命题（1）的真假；（2）计算圆心到直线yy=kkxx的距离dd的取值范围，可判断出命题（2）的真假；（3）找出当切线PPAA、PPBB的长取得最小值时点PP的位置，计算出PPAA的长，并计算出此时四边形PPAACCBB的面积，可判断出命题（3）的真假；（4）由直线系方程可知，MM中所有直线都是定圆(xx−2)2+yy2=4的切线，易知MM中的直线所能围成的正三角形的面积不一定都相等，即可判断出命题（4）的真假.【详解】对于命题（1），由于方程xx2+yy2+kkxx+2yy+kk2−15=0表示圆，则kk2+4−4(kk2−15)>0，整理得3kk2−64<0，由于点(2,1)在该圆外，则kk2+2kk−8<0，所以{3kk2−64<0kk2+2kk−8>0，解得−8√33<kk<−4或2<kk<8√33，命题（1）为假命题；对于命题（2），直线yy=kkxx过原点OO，圆MM:(xx+cosθθ)2+(yy−sinθθ)2=1的圆心MM的坐标为(−cosθθ,sinθθ)，且|OOMM|=1，所以，圆心MM到直线yy=kkxx的距离dd≤1，则直线与圆相交或相切，命题（2）为假命题；对于命题（3），圆CC的标准方程为xx2+(yy−1)2=1，圆心CC的坐标为(0,1)，半径长为1，圆心CC到直线2xx+yy+4=0的距离为dd=5√22+12=√5，∴|PPCC|min=√5，则|PPAA|min=�(√5)2−12=2，∴四边形PPAACCBB的面积的最小值为2×12|PPAA|min⋅rr=2×1=2，命题（3）为真命题；对于命题（4），直线系MM的方程为(xx−2)cosθθ+yy sinθθ−2=0，由于点(2,0)到直线MM的距离为dd=2√cos2θθ+sin2θθ=2，直线系MM中所有的直线都是圆DD:(xx−2)2+yy2=4的切线，如下图，MM中的直线所能围成的正三角形AABBCC和AADDAA面积不相等，故（4）错误.如下图所示：因此，真命题的个数为1.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查命题真假的判断，解题的关键是掌握点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系的应用，考查了转化和数形结合思想等数学思想方法，属于难题. 21．3【分析】由两直线平行有2mm−6=0，即可求参数m.【详解】由ll1//ll2，则有2mm−6=0，解得mm=3.故答案为：322．a=1由已知，两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为yy=1aa,【详解】利用圆心（0，0）到直线的距离d=|1aa|√1为�22-√32=1,解得aa=1.23．1【解析】根据两直线垂直的条件AA1AA2+BB1BB2=0，即可求解.【详解】因为线ll1:xx+aayy+6=0与ll2:(aa−2)xx+yy+1=0互相垂直，所以aa−2+aa=0，即aa=1，故答案为：1【点睛】本题主要考查了两直线垂直的条件AA1AA2+BB1BB2=0，属于容易题.24．yy=2或4xx−3yy+2=0【分析】求得直线ll1与ll2的交点坐标，对所求直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点PP到所求直线的距离为2可求得所求直线的方程.【详解】由�xx−2yy+3=02xx+3yy−8=0，得�xx=1yy=2，所以，直线ll1与ll2的交点为(1,2).当所求直线的斜率不存在时，所求直线的方程为xx=1，点PP到该直线的距离为1，不合乎题意；当所求直线的斜率存在时，设所求直线的方程为yy−2=kk(xx−1)，即kkxx−yy−kk+2=0，由于点PP(0,4)到所求直线的距离为2，可得2=|−2−kk|√1+kk2，整理得3kk2−4kk=0，解得kk=0或kk=43.综上所述，所求直线的方程为yy=2或4xx−3yy+2=0.故答案为：yy=2或4xx−3yy+2=0.【点睛】本题考查利用点到直线的距离公式求直线的方程，同时也考查了直线交点坐标的求解，考查计算能力，属于中等题.25．√10【分析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离dd，进而利用弦长公式|AABB|=2√rr2-dd2，即可求得rr．【详解】因为圆心(0,1)到直线3xx-4yy-11=0的距离dd=|-4-11|√9+16=3，由|AABB|=2√rr2-dd2可得2=2√rr2-32，解得rr=√10．故答案为：√10．26．（1）5xx+3yy−6=0（2）3xx−5yy+15=0【分析】（1）由已知条件结合直线的两点式方程的求法求解即可；（2）先求出直线BC的斜率，再求出BC边上的高所在直线的斜率，然后利用直线的点斜式方程的求法求解即可.【详解】解：（1）∵BB(3,−3)，CC(0,2)，∴直线BC的方程为yy+32+3=xx−30−3，即5xx+3yy−6=0. （2）∵kk PPNN=−53，∴直线BC边上的高所在的直线的斜率为35，又AA(−5,0)，∴直线BC边上的高的方程为: yy−0=35(xx+5)，即BC边上的高所在直线方程为3xx−5yy+15=0.【点睛】本题考查了直线的两点式方程的求法，重点考查了直线的位置关系及直线的点斜式方程的求法，属基础题.27．(xx−3)2+(yy+4)2=16【分析】根据圆心距等于半径和求解得圆C的半径RR=4，再求解方程即可.【详解】解：由题知xx2+yy2=1的圆心为OO(0,0)，rr=1，因为以CC(3,−4)为圆心，且与圆xx2+yy2=1相外切，设圆C的半径为RR，所以|CCOO|=rr+RR，即5=1+RR，所以RR=4，所以圆C的方程为(xx−3)2+(yy+4)2=1628．(1)65√10；(2)(xx−1)2+(yy−2)2=195.【分析】（1）根据已知，可在直角三角形中求解出圆的半径；������⃗⋅OONN������⃗=0，（2）联立直线与圆的方程，根据韦达定理，用mm表示出坐标关系.由已知可得，OOMM代入坐标，即可求得mm的值，从而得到圆的方程.【详解】（1）如图，DD是MMNN的中点，则∠CCMMDD=30∘，CCDD⊥MMNN.由xx2+yy2−2xx−4yy+mm=0得(xx−1)2+(yy−2)2=5−mm，圆心为CC(1,2).圆心CC(1,2)到直线xx+3yy−1=0的距离为dd=|CCDD|=|1+6−1|√10=3√105.在Rt△CCDDMM中，有∠CCMMDD=30∘，|CCDD|=3√105，sin∠CCMMDD=|NNCC||NNMM|=3√105rr=sin30∘=12，所以rr=65√10，故圆的半径为rr=65√10.（2）由xx2+yy2−2xx−4yy+mm=0得(xx−1)2+(yy−2)2=5−mm，∴5−mm>0，即mm<5，由题意联立�xx2+yy2−2xx−4yy+mm=0xx+3yy−1=0，可得10yy2−4yy+mm−1=0.则Δ=(−4)2−4×10(mm−1)=−40�mm−7�>0，所以mm<7.设MM(xx1,yy1)、NN(xx2,yy2)，由韦达定理可得yy1+yy2=25，yy1yy2=mm−110，������⃗⋅OONN������⃗=0，则xx1xx2+yy1yy2=0，因为OOMM⊥OONN，所以OOMM又xx1=1−3yy1，xx2=1−3yy2，即有(1−3yy1)(1−3yy2)+yy1yy2=0，整理可得10yy1yy2−3(yy1+yy2)+1=0，即有10×mm−110−3×25+1=0，解得mm=65，满足mm<5，且mm<75.则圆CC的方程为(xx−1)2+(yy−2)2=195.29．（1）圆CC：xx2+yy2−3xx−yy=0，圆心CC�32,12�，半径rr=√102；（2）2√2≤|AABB|≤√10. 【解析】（1）由题意设圆CC方程为xx2+yy2+DDxx+AAyy+FF=0，待定系数法求DD,AA,FF的值，再把圆的方程化为标准式，即得圆心坐标和半径；（2）设圆心到直线ll的距离为dd，判断点QQ在圆内，数形结合可知，当直线ll过圆心时，dd min=0；当ll⊥CCQQ时，dd max=√22.由弦长|AABB|=2√rr2−dd2可得|AABB|的取值范围.【详解】（1）设圆CC：xx2+yy2+DDxx+AAyy+FF=0.∵圆CC过MM，NN，PP三点，∴�1+1+DD−AA+FF=04+4+2DD+2AA+FF=09+1+3DD+AA+FF=0解得�DD=−3AA=−1FF=0∴圆CC：xx2+yy2−3xx−yy=0，化为标准式得�xx−32�2+�yy−12�2=52，∴圆心CC�32,12�，半径rr=√102.（2）设圆心到直线ll的距离为dd，点QQ(1,1)到圆心的距离为|CCQQ|=��1−32�2+�1−12�2=√22<√102=rr.∴点QQ在圆内，∴|AABB|=2�52−dd2.结合图形，可知0≤dd≤|CCQQ|=√22（ll过圆心时，dd=0；ll⊥CCQQ时，dd=√22）.∴2√2≤|AABB|≤√10.【点睛】本题考查待定系数法求圆的一般方程，考查直线和圆的位置关系，用到数形结合的数学思想，属于中档题.30．(1)(x﹣1)2+(y﹣2)2＝5；(2)2x﹣y+5＝0．【分析】(1)根据题意，设圆心的坐标为(a，b)，则有a﹣b+1＝0，由AB的坐标可得AB的垂直平分线的方程，联立两直线方程可得圆心的坐标，则有r2＝|AC|2，计算可得圆的半径，由圆的标准方程的形式分析可得答案；(2)根据题意，A(﹣1，3)在圆C上，求出AC的斜率，由垂直可得切线的斜率，由直线的点斜式方程即可得切线的方程．【详解】解：(1)根据题意，设圆心的坐标为(a，b)，圆心C在直线x﹣y+1＝0上，则有a﹣b+1＝0，圆C经过点A(﹣1，3)，B(3，3)两点，则AB的垂直平分线的方程为x＝1，则有a＝1，则有�aa−bb+1=0aa=1，解可得b＝2；则圆心的坐标为(1，2)，半径r2＝|AC|2＝4+1＝5，则圆C的方程为(x﹣1)2+(y﹣2)2＝5；(2)根据题意，圆C的方程为(x﹣1)2+(y﹣2)2＝5，有A(﹣1，3)在圆C上，有KAC=3−2−1−1=−12，则切线的斜率k＝2，则切线的方程为y﹣3＝2(x+1)，变形可得2x﹣y+5＝0．【点睛】本题考查求圆的标准方程和圆的切线方程，求圆的标准方程，一般是确定圆心坐标和半径，由圆的性质知圆心一定在弦的中垂线上．圆的切线与过切点的半径垂直，由此可求出切线斜率得切线方程．。
直线和圆的方程测试题
直线和圆的方程测试题题目一：直线的方程1. 给定两个点A(2, 3)和B(4, 1)，求过这两个点的直线方程。
解析：首先计算两点的斜率k\[k = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{1-3}{4-2} = -1\]进一步，我们可以使用点斜式方程:\[y-y_1 = k(x-x_1)\]\[y-3 = -1(x-2)\]\[y-3 = -x+2\]\[x+y = 5\]所以，过点A(2, 3)和B(4, 1)的直线方程为 \(x+y = 5\)。
题目二：圆的方程2. 以点C(5, 3)为圆心，半径为r = 2的圆，求圆的方程。
解析：对于以点C(x, y)为圆心，半径为r的圆，圆的方程可以表示为：\[(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2\]将圆心C(5, 3)和半径r=2代入，得到:\[(x-5)^2 + (y-3)^2 = 4\]所以，以点C(5, 3)为圆心，半径为r = 2的圆的方程为 \((x-5)^2 + (y-3)^2 = 4\)。
题目三：直线和圆的交点3. 已知直线方程为 \(3x-y = 2\)，以点D(1, 0)为圆心，半径为r = 1的圆。
求直线和圆的交点坐标。
解析：我们可以使用联立方程的方法来求解直线和圆的交点。
首先，将直线方程转换为一般式方程:\[3x-y-2 = 0\]然后，将直线方程带入圆的方程:\[(x-1)^2 + (y-0)^2 = 1\]通过联立这两个方程，我们可以得到交点的坐标。
将直线方程改写为 \(y = 3x-2\)，然后代入圆的方程:\[(x-1)^2 + (3x-2-0)^2 = 1\]展开并整理方程，得到二次方程:\[10x^2 - 22x + 11 = 0\]解这个二次方程，可以得到两个解x1和x2:\[x_1 = \frac{11}{10}, \quad x_2 = 1\]将x值代入直线方程，可以得到对应的y值:\[y_1 = 3\left(\frac{11}{10}\right)-2 = \frac{13}{10}, \quad y_2 = 3(1)-2 = 1\]所以，直线 \(3x-y = 2\) 和圆 \((x-1)^2 + (y-0)^2 = 1\) 的交点坐标为\(\left(\frac{11}{10}, \frac{13}{10}\right)\) 和 (1, 1)。
直线和圆的方程测试题
直线和圆的方程测试题1. 直线方程部分1.1 点斜式方程直线L通过已知点P(x₁, y₁)且斜率为k，求直线L的方程。
解析：直线L的点斜式方程为：y - y₁ = k(x - x₁)1.2 斜截式方程直线L的斜截式方程为y = kx + b，已知直线L经过点P(x₁, y₁)，求直线L的方程。
解析：直线L的斜率k可通过已知点P(x₁, y₁)和直线方程的斜率形式得到。
将已知点P(x₁, y₁)代入直线方程中，得到方程：y₁ = kx₁ + b从而求解得到斜截式方程y = kx + b。
2. 圆方程部分2.1 标准方程圆C的圆心为点O(h, k)，半径为r，求圆C的方程。
解析：圆C的标准方程为：(x - h)² + (y - k)² = r²2.2 一般方程圆C的圆心为点O(h, k)，半径为r，求圆C的一般方程。
解析：一般方程形式为：x² + y² + Dx + Ey + F = 0带入圆心坐标O(h, k)，得到方程：(x - h)² + (y - k)² = r²展开并整理，可得一般方程。
3. 测试题部分测试题一：已知圆C的圆心为O(-2, 3)，半径为5，请写出圆C的标准方程和一般方程。
解析：圆C的标准方程为：(x - (-2))² + (y - 3)² = 5²展开并整理得到：x² + y² + 4x - 6y - 12 = 0因此，圆C的一般方程为：x² + y² + 4x - 6y - 12 = 0测试题二：已知直线L通过点P(3, 4)且斜率为 -2，请写出直线L的点斜式方程和斜截式方程。
解析：直线L的点斜式方程为：y - 4 = -2(x - 3)直线L的斜截式方程为：y = -2x + b为了求解斜截式方程中的截距b，将已知点P(3, 4)代入斜截式方程中得：4 = -2(3) + b求解得到b = 10因此，直线L的斜截式方程为：y = -2x + 10通过以上题目和解析，我们掌握了直线和圆的方程及其不同形式的表示方法。
直线和圆的方程综合能力测试及答案
直线和圆的方程综合能力测试本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(每小题只有一个选项是正确的，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1．(2009·湖北荆州质检二)过点P (1,2)，且方向向量v ＝(－1,1)的直线的方程为( )A ．x －y －3＝0B ．x ＋y ＋3＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋3＝0 答案：C解析：方向向量为v ＝(－1,1)，则直线的斜率为－1，直线方程为y －2＝－(x －1)即x ＋y －3＝0，故选C.2．(2009·重庆市高三联合诊断性考试)将直线l 1：y ＝2x 绕原点逆时针旋转60°得直线l 2，则直线l 2到直线l 3：x ＋2y －3＝0的角为 ( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 答案：A解析：记直线l 1的斜率为k 1，直线l 3的斜率为k 3，注意到k 1k 3＝－1，l 1⊥l 3，依题意画出示意图，结合图形分析可知，直线l 2到直线l 3的角是30°，选A.3．(2009·东城3月)设A 、B 为x 轴上两点，点P 的横坐标为2，且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程为 ( )A ．2x ＋y －7＝0B ．2x －y －1＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．x ＋y －5＝0 答案：D解析：因k P A ＝1，则k PB ＝－1，又A (－1,0)，点P 的横坐标为2，则B (5,0)，直线PB 的方程为x ＋y －5＝0，故选D.4．过两点(－1,1)和(0,3)的直线在x 轴上的截距为 ( )A ．－32 B.32 C ．3 D ．－3答案：A解析：由两点式，得y －31－3＝x －0－1－0，即2x －y ＋3＝0，令y ＝0，得x ＝－32，即在x 轴上的截距为－32.5．直线x ＋a 2y ＋6＝0和(a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0无公共点，则a 的值是 ( ) A ．3 B ．0 C ．－1 D ．0或－1 答案：D解析：当a ＝0时，两直线方程分别为x ＋6＝0和x ＝0，显然无公共点；当a ≠0时，－1a 2＝－a －23a，∴a ＝－1或a ＝3.而当a ＝3时，两直线重合，∴a ＝0或－1.6．两直线2x －my ＋4＝0和2mx ＋3y －6＝0的交点在第二象限，则m 的取值范围是( )A ．－32≤m ≤2B ．－32＜m ＜2C ．－32≤m ＜2D ．－32＜m ≤2答案：B解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2x －my ＋4＝0，2mx ＋3y －6＝0，解得两直线的交点坐标为(3m －6m 2＋3，4m ＋6m 2＋3)，由交点在第二象限知横坐标为负、纵坐标为正，故3m －6m 2＋3＜0且4m ＋6m 2＋3＞0⇒－32＜m ＜2.7．(2009·福建，9)在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0，(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为( ) A ．－5 B ．1C ．2D ．3答案：D解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0所围成的区域如图所示．∵其面积为2，∴|AC |＝4，∴C 的坐标为(1,4)，代入ax －y ＋1＝0， 得a ＝3.故选D. 8．(2009·陕西，4)过原点且倾斜角为60°的直线被圆x 2＋y 2－4y ＝0所截得的弦长为( )A. 3 B ．2 C. 6 D ．2 3 答案：D解析：∵直线的方程为y ＝3x ，圆心为(0,2)，半径r ＝2.由点到直线的距离公式得弦心距等于1，从而所求弦长等于222－12＝2 3.故选D. 9．(2009·西城4月，6)与直线x －y －4＝0和圆x 2＋y 2＋2x －2y ＝0都相切的半径最小的圆的方程是 ( )A ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y ＋1)＝4 答案：C解析：圆x 2＋y 2＋2x －2y ＝0的圆心为(－1,1)，半径为2，过圆心(－1,1)与直线x －y －4＝0垂直的直线方程为x ＋y ＝0，所求的圆的圆心在此直线上，排除A 、B ，圆心(－1,1)到直线x －y －4＝0的距离为62＝32，则所求的圆的半径为2，故选C.10．(2009·安阳，6)已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A 、B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O 为原点，则实数a 的值为 ( )A ．2B ．－2C ．2或－2 D.6或－ 6 答案：C解析：由|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|得|OA →＋OB →|2＝|OA →－OB →|2，OA →·OB →＝0，OA →⊥OB →，三角形AOB 为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为2，即|a |2＝2，a ＝±2，故选C.11．(2009·河南实验中学3月)若直线l ：ax ＋by ＝1与圆C ：x 2＋y 2＝1有两个不同交点，则点P (a ，b )与圆C 的位置关系是 ( )A ．点在圆上B ．点在圆内C ．点在圆外D ．不能确定 答案：C解析：直线l ：ax ＋by ＝1与圆C ：x 2＋y 2＝1有两个不同交点，则1a 2＋b 2＜1，a 2＋b 2＞1，点P (a ，b )在圆C 外部，故选C.12．(2010·保定市高三摸底考试)从原点向圆x 2＋(y －6)2＝4作两条切线，则这两条切线夹角的大小为 ( )A.π6B.π2 C ．arccos 79 D ．arcsin 229 答案：C解析：如图，sin ∠AOB ＝26＝13，cos ∠BOC ＝cos2∠AOB ＝1－2sin 2∠AOB ＝1－29＝79，∴∠BOC ＝arccos 79，故选C.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在题中的横线上。
高中数学必修二--直线与方程及圆与方程测试题
一选择题（共55分，每题5分）1. 已知直线经过点A(0,4)和点B （1，2），则直线的斜率为（ ）A.3 2 C. 2 D. 不存在 2．过点(1,3)-且平行于直线032=+-y x 的直线方程为（ ）A ．072=+-y xB ．012=-+y xC ．250x y --=D ．052=-+y x3. 在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与y x a =+正确的是（ ）x y O x y O x y O xyOA B C D 4．若直线2=0和231=0互相垂直，则（ ） A ．32- B ．32 C ．23- D ．23 5.过(x 1，y 1)和(x 2，y 2)两点的直线的方程是( )112121112112211211211211...()()()()0.()()()()0y y x x A y y x x y y x x B y y x x C y y x x x x y y D x x x x y y y y --=----=-------=-----=6、若图中的直线L 1、L 2、L 3）A 、K 1﹤K 2﹤K 3B 、K 2﹤K 1﹤K 3C 、K 3﹤K 2﹤K 1xoD 、K 1﹤K 3﹤K 27、直线235=0关于直线对称的直线方程为（ ） A 、325=0 B 、235=0 C 、325=0 D 、325=08、与直线236=0关于点(11)对称的直线是（ ） A.326=0 B.237=0 C. 3212=0 D. 238=09、直线5210=0在x 轴上的截距为a,在y 轴上的截距为b,则（ ） 25; 25-; 2-5; 2-5-.10、直线27与直线327=0的交点是（ ） A (31) B (-1,3) C (-31) D (3,1)11、过点P(41)且与直线346=0垂直的直线方程是（ ） A 4313=0 B 4319=0 C 3416=0 D 348=0二填空题（共20分，每题5分）12. 过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 _ ；13两直线23y －0和x －12=0的交点在y 轴上，则k 的值是L 114、两平行直线0962043=-+=-+y x y x 与的距离是 。
人教版高中数学选修一第二单元《直线和圆的方程》测试题(有答案解析)
一、选择题1．若圆22220x y x y k +---=上的点到直线100x y +-=的最大距离为k 的值是（ ）A ．2-B ．2C ．2-或2D ．2-或02．过点)引直线l 与曲线y =A ，B 两点，O 为坐标原点，当AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于（ ）A ．B ．3±C ．D3．已知(,0)A a ，(3,0)B a +，直线1x =上存在唯一一点P ，使得||2||PB PA =，则a 的值为（ ）A ．6-B ．2-或6C ．2或6-D ．2-4．已知(1,1)P ，(2,3)Q --，点P ，Q 到直线l 的距离分别为2和4，则满足条件的直线l的条数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．45．直线220ax by -+=被222440x y x y ++--=截得弦长为6，则ab 的最大值是（ ） A ．9B ．4C ．12D ．146．已知圆C ：()()22232++-=x y ，从点()1,3P 发出的光线，经直线1y x =+反射后，光线恰好平分圆C 的周长，则入射光线所在直线的斜率为（ ）A ．2-B ．12-C ．4-D ．14- 7．已知直线l ：(3)(2)20m x m y m ++---=，点()21A --，，(22)B -，，若直线l 与线段AB 相交，则m 的取值范围为（ ）A ．(4][4)-∞-⋃+∞，， B ．(22)-， C ．3[8]2-，D ．(4)+∞，8．在平面直角坐标系xOy 中，直线240x y +-=与两坐标轴分别交于点A 、B ，圆C 经过A 、B ，且圆心在y 轴上，则圆C 的方程为（ ） A ．226160x y y ++-= B ．226160x y y +--= C ．22890x y y ++-=D ．22890x y y +--=9．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为221x y +≤，若将军从点(4,3)A -处出发，河岸线所在直线方程为4x y +=，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A ．8B ．7C ．6D ．510．已知11(,)P x y 是直线1:(,)0l f x y =上一点，22(,)Q x y 是l 外一点，则方程(,)f x y =1122(,)(,)f x y f x y +表示的直线（ ）A ．与l 重合B ．与l 交于点PC ．过Q 与l 平行D ．过Q 与l 相交11．设点()0,1M x ，若在圆22:1O x y +=上存在点N ，使得45OMN ︒∠=，则0x 的取值范围是（ ）A ．[0,1]B ．[1,1]-C ．22⎡-⎢⎣⎦D ．2⎡⎢⎣⎦12．曲线214y x ([]2,2x ∈-)与直线()24y k x =-+有两个公共点时，则实数k的取值范围是（ ）A ．50,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．13,34⎛⎫⎪⎝⎭C ．5,12⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．53,124二、填空题13．直线360x y +-=和圆()2215x y +-=的位置关系为______.14．已知圆()222:2400C x y mx y m m +--+=>被直线:30l x y -+=截得的弦长为，则m =______．15．已知直线y x b =+与曲线x =恰有两个交点，则实数b 的取值范围为______. 16．已知k ∈R ，过定点A 的动直线10kx y +-=和过定点B 的动直线30x ky k --+=交于点P ，则22PA PB +的值为__________.17．以(1,3)N 为圆心，并且与直线3470x y --=相切的圆的方程为__________． 18．在平面直角坐标系xOy 中，点()0,3A -，若圆()()22:21C x a y a -+-+=上存在一点M 满足2=MA MO ，则实数a 的取值范围是__________．19．直线l 过点()2,3P -且与x 轴、y 轴分别交于,A B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，则直线l 的方程为_________．20．已知直线3y ax =+与圆22280x y x ++-=相交于A ，B 两点，点()00,P x y 在直线2y x =上，且PA PB =，则0x 的取值范围为______．三、解答题21．已知一圆经过点()3,1A ，()1,3B -，且它的圆心在直线320x y --=上. （1）求此圆的方程；（2）若点D 为所求圆上任意一点，且点()3,0C ，求线段CD 的中点M 的轨迹方程.22．如图，已知圆22:414450C x y x y +--+=及点(2,3)Q -.（1）若点(,1)P m m +在圆C 上，求直线PQ 的斜率以及直线PQ 与圆C 的相交弦PE 的长度；（2）若(,)N x y 是直线10x y ++=上任意一点，过N 作圆C 的切线，切点为A ，当切线长NA 最小时，求N 点的坐标，并求出这个最小值； （3）若(,)M x y 是圆上任意一点，求32y x -+的最大值和最小值. 23．已知一个动点M 在圆2216x y +=上运动，它与定点()8,0Q 所连线段的中点为P ． （1）求点P 的轨迹方程；（2）若点P 的轨迹的切线在两坐标轴上有相等的截距，求此切线方程.24．已知ABC 的顶点(5,1)A ，直线BC 的方程为6590x y AB --=，边上的中线CM 所在直线方程为250x y --=． （1）求顶点C 的坐标；（2）求AC 边上的高所在直线方程．25．已知圆心为C 的圆经过A （1，1）和B （2，－2），且圆心C 在直线l ：10x y -+=上.（1）求圆心为C 的圆的一般式．．．方程； （2）是否存在过原点的直线l ′与⊙C 交于E 、F 两点且使EF 为直径的圆过点M （230），若存在，求出直线l ′方程，若不存在说明理由.26．已知圆C ：(x ＋3)2＋(y －4)2＝16，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m －2)y －3m －4＝0(m ∈R ). （1）若圆C 截直线l 所得弦AB 的长为211m 的值；（2）若圆C 与直线l 相离，设MN 为圆C 的动直径，作MP ⊥l ，NQ ⊥l ，垂足分别为P ，Q ，当m 变化时，求四边形MPQN 面积的最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B 解析：B 【分析】将圆的方程化成标准方程，求出圆心及半径r ，圆心到直线的距离为d ，则圆上的点到直线的最大距离为d r + 【详解】圆22220x y x y k +---=化成标准形式()()22112x y k -+-=+，圆心()1,1，半径r =2k >-；圆心()1,1到直线100x y +-=的距离===d圆上的点到直线的最大距离为+==d r=，解得：2k =或2k =-（舍去） 故选：B 【点睛】结论点睛：本题考查直线与圆的位置关系，求圆上点到直线的最大距离与最小距离常用的结论：设圆的半径r ，圆心到直线的距离为d ， （1）当dr 时，圆上的点到直线的最大距离为d r +，最小距离为d r -；（2）当d r ≤时，圆上的点到直线的最大距离为d r +，最小距离为0； 2．A解析：A 【分析】由y =221x y +=()0y ≥，由题知直线斜率存在，设直线l 的斜率为k ，10k -<<，设直线l 为0(y k x -=，然后根据圆的弦长公式||AB =以及圆心O 到直线l 的距离d =12AOBSd AB =，进而化简求解即可 【详解】由y =221x y +=()0y ≥，∴曲线y =x 轴上方的部分（含与x 轴的交点），由题知，直线斜率存在，设直线l 的斜率为k 若直线与曲线有两个交点，且直线不与x 轴重合，则10k -<<，∴直线l 的方程为：0(y k x -=-，即0kx y --=则圆心O 到直线l 的距离d ==直线l被半圆所截得的弦长为||AB===12AOBS d AB====令211tk=+则AOBS=，当3t4=，即21314k=+时，AOBS有最大值为12此时，21314k=+3k∴=±又10k-<<，k∴=综上所述，直线l的斜率是故答案为：A【点睛】关键点睛：通过圆的弦长公式||AB=和圆心O到直线l的距离d=得出12AOBS d AB==211tk=+，可得AOBS=，进而利用二次函数的性质求解即可，属于中档题3．B解析：B【分析】设(),P x y ，由||2||PB PA =可得()2214x a y -++=，则本题等价于直线1x =与圆()2214x a y -++=相切，利用圆心到直线的距离等于半径即可求解. 【详解】设(),P x y ，由||2||PB PA =可得()()2222344x a y x a y --+=-+，整理可得()2214x a y -++=，则直线1x +=上存在唯一一点P ，使得||2||PB PA =，等价于直线1x =与圆()2214x a y -++=相切，2=，解得2a =-或6.故选：B. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是将题转化为直线1x +=与圆()2214x a y -++=相切，利用圆心到直线的距离等于半径求解.4．B解析：B 【分析】以P 为圆心，以2为半径的圆记为圆P ，以Q 为圆心，以4为半径的圆记为圆Q ，利用圆P 与圆Q 相交，两圆有两条公切线，可得结果.【详解】||5PQ ==，以P 为圆心，以2为半径的圆记为圆P ，以Q 为圆心，以4为半径的圆记为圆Q ， 因为42-<524<+，所以圆P 与圆Q 相交，所以两圆有两条公切线， 所以满足条件的直线l 的条数是2. 故选：B 【点睛】关键点点睛：转化为判断两个圆的公切线的条数是解题关键.5．D解析：D 【分析】根据弦长可知直线过圆心，再利用基本不等式求ab 的最大值. 【详解】将222440x y x y ++--=化为标准形式：22(1)(2)9x y ++-=， 故该圆圆心为(1,2)-，半径为3. 因为直线截圆所得弦长为6，故直线过圆心，所以2220a b --+=，即1a b +=，所以2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭（当且仅当12a b ==时取等号），故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆相交，基本不等式求最值，本题的关键是根据弦长判断直线过圆心，这样问题就变得简单易求.6．C解析：C 【分析】根据光路可逆，易知圆心()2,3C -关于直线1y x =+的对称点M ，在入射光线上，由此可求得结果. 【详解】圆C ：()()22232++-=x y ，圆心为()2,3C -，由已知，反射光线经过()2,3C -，故C 点关于直线1y x =+的对称点M 在入射光线上．设(),M a b ，则31232122b a b a -⎧=-⎪⎪+⎨+-⎪=+⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=-⎩，即()2,1M -，且光源()1,3P ，所以入射光线的斜率13421k --==--， 故选：C. 【点睛】 关键点点睛：（1）由光线恰好平分圆C 的周长，得出所在直线经过圆心； （2）入（反）射光线关于反射面的对称直线即为反（入）射光线.7．C解析：C 【分析】根据题意得直线l 恒过点4155C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，进而得直线l 的斜率k 的取值范围为：116k ≤-或37k ≥，再根据32m k m +=--，解不等式即可得答案. 【详解】直线l 方程变形得：(1)(322)0x y m x y +-+--=.由103220x yx y+-=⎧⎨--=⎩得4515xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线l恒过点4155C⎛⎫⎪⎝⎭，，11354725ACk+==+，121154625BCk+==--，由图可知直线l的斜率k的取值范围为：116k≤-或37k≥，又32mkm+=--，∴11263mm≤--+-或3273mm-≥+-，即28m<≤或322m-≤<，又2m=时直线的方程为45x=，仍与线段AB相交，∴m的取值范围为382⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，.故选：C.【点睛】本题解题的关键在于根据直线系方程(1)(322)0x y m x y+-+--=得直线l恒过点4155C⎛⎫⎪⎝⎭，.考查数形结合思想，运算求解能力，是中档题.8．A解析：A【分析】求出点A、B的坐标，设圆心坐标为()0,b，由AC BC=可求出圆心C的坐标，并求出圆的半径，由此可求得圆C的方程.【详解】易知，直线240x y +-=交x 轴于点()4,0A ，交y 轴于点()0,2B ，设圆心C 的坐标为()0,b ，由AC BC =2b =-，解得3b =-， 所以，圆C 的半径为325BC =--=，因此，圆C 的方程为()22325x y ++=，即为226160x y y ++-=.故选：A. 【点睛】求圆的方程，主要有两种方法：（1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线；（2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．9．C解析：C 【分析】求出A 关于y 4x +=的对称点A ',根据题意，1A C '-为最短距离，求出即可. 【详解】设点A 关于4x y +=的对称点(,)A a b '，设军营所在区域为的圆心为C ,根据题意，1A C '-为最短距离，∴AA '的中点为43,22a b +-⎛⎫⎪⎝⎭，，直线'AA 的斜率为1, ∴434,22,31,4a b b a +-⎧+=⎪⎪⎨+⎪=⎪-⎩解得：7,0a b ==, ∴1716A C '-=-=，故选: C. 【点睛】本题考查点关于直线对称，点与圆心的距离，考查运算求解能力，求解时注意对称性的应用.10．C解析：C 【分析】由题意有可得1(f x ，1)0y =，2(f x ，2)0y ≠，根据当两直线方程的一次项系数相等，但常数项不相等时，两直线平行，得出结论． 【详解】解：由题意有可得1(f x ，1)0y =，2(f x ，2)0y ≠，则方程(f x ，1)(y f x -，12)(y f x -，2)0y =即(f x ，2)(y f x -，2)0y =，它与直线:(,)0l f x y =的一次项系数相等，但常数项不相等，故(f x ，2)(y f x -，2)0y =表示过Q 点且与l 平行的直线， 故选：C ． 【点睛】根据平行直线系方程，即两直线方程10Ax By C ++=与20Ax By C ++=互相平行.11．B解析：B 【分析】首先根据题中条件，可以判断出直线MN 与圆O 有公共点即可，从而可以断定圆心O 到直线MN 的距离小于等于半径，列出对应的不等关系式，求得结果. 【详解】依题意，直线MN 与圆O 有公共点即可， 即圆心O 到直线MN 的距离小于等于1即可，过O 作OA ⊥MN ，垂足为A ， 在Rt OMA ∆中，因为OMA ∠045=， 故02sin 452OA OM ==1≤， 所以2OM ≤2012x +≤，解得011x -≤≤．故选：B. 【点睛】该题考查的是有关直线与圆的问题，涉及到的知识点有直线与圆的位置关系，解直角三角形，属于简单题目.12．D解析：D 【分析】易知曲线214y x 表示以()0,1 为圆心，以2为半径的半圆，直线()24y k x =-+过定点()2,4A ，然后在同一坐标系中作出直线与半圆的图象，利用数形结合法求解. 【详解】 曲线214y x 变形为22214141y x x y y 表示以()0,1 为圆心，以2为半径的半圆，直线()24y k x =-+过定点()2,4A ，在同一坐标系中作出直线与半圆的图象，如图所示：当直线()24y k x =-+与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径， 23221k k -=+，解得512k =，即512AC k ，又413224AB k ， 由图知：当曲线214y x ([]2,2x ∈-)与直线()24y k x =-+有两个公共点时：ACAB k kk ，即53124k <≤. 故选：D 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.二、填空题13．相交【分析】由圆的标准方程求出圆心和半径根据圆心到直线的距离与半径的大小关系确定出直线与圆的位置关系【详解】解：圆的圆心坐标为半径则圆心到直线的距离直线与圆的位置关系是相交故答案为：相交【点睛】方法解析：相交 【分析】由圆的标准方程求出圆心和半径，根据圆心到直线的距离与半径的大小关系，确定出直线与圆的位置关系 【详解】解：圆()2215x y +-=的圆心坐标为(0,1)，半径r =则圆心到直线360x y +-=的距离d =< ∴直线360x y +-=与圆()2215x y +-=的位置关系是相交.故答案为：相交. 【点睛】方法点睛：判断直线与圆的位置关系，常用圆心到直线的距离d 与圆半径r 的大小比较： （1）若d r =，则直线与圆相切； （2）若d r <，则直线与圆相交； （3）若dr ，则直线与圆相离.14．1【分析】根据题意求出圆的圆心与半径由直线与圆的位置关系可得圆心到直线l 的距离d 利用点到直线的距离公式可得解可得m 的值即可得答案【详解】根据题意圆即其圆心C 为半径若圆C 被直线截得的弦长为则圆心到直线解析：1 【分析】根据题意，求出圆的圆心与半径，由直线与圆的位置关系可得圆心到直线l 的距离d ，利用点到直线的距离公式可得d ==m 的值，即可得答案.【详解】根据题意，圆()222:2400C x y mx y m m +--+=>，即()()2224-+-=x m y ，其圆心C 为()m,2，半径2r，若圆C 被直线:30l x y -+=截得的弦长为则圆心到直线l 的距离d ==圆心到直线l 的距离d ==，则有=1m =或-3（舍），故1m =， 故答案为：1． 【点睛】思路点睛：涉及直线与圆相交的弦长问题，主要是利用垂径定理，即圆心到直线的距离、弦长的一半以及圆的半径构成直角三角形来解.15．【分析】由曲线方程可知其曲线为半圆进而画出曲线来要使直线与曲线恰有两个交点可以通过数形结合分析得解【详解】曲线有即表示一个半圆（单位圆左半部分）如图当直线经过点点时求得；当直线和半圆相切时由圆心到直 解析：)1,2⎡⎣【分析】由曲线方程可知其曲线为半圆，进而画出曲线来，要使直线与曲线恰有两个交点，可以通过数形结合分析得解. 【详解】曲线2x 1y =--有即221x y +=(0)x ，表示一个半圆（单位圆左半部分）．如图，(0,1)A 、(1,0)B -、(0,1)C -，当直线y x b =+经过点B 、点A 时，01b =-+，求得1b =； 当直线y x b =+和半圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径，可得12=，求得2b =，或2b =-（舍去），故要求的实数b 的范围为12b <， 故答案为：)1,2⎡⎣【点睛】易错点睛：本题在把方程2x 1y =--化简找其对应的曲线时，容易漏掉0x ≤，从而把曲线的范围扩大为整个单位圆，导致结果出错.在把方程转化时，一定要注意变量范围的等价性.16．13【分析】由两直线方程可得定点再联立两直线方程解出的坐标然后由两点间距离公式可得进而可以求解【详解】动直线过定点动直线过定点联立方程解得则由两点间距离公式可得：故答案为：13【点睛】本题考查了直线解析：13【分析】由两直线方程可得定点(0,1)A ，(3,1)B --，再联立两直线方程解出P 的坐标，然后由两点间距离公式可得2PA ，2PB ，进而可以求解． 【详解】动直线10kx y +-=过定点(0,1)A 动直线30x ky k --+=过定点(3,1)B -- 联立方程1030kx y x ky k +-=⎧⎨--+=⎩，解得223(1k P k -+，2231)1k k k -+++， 则由两点间距离公式可得：222222331(0)(1)11k k k PA k k --++=-+-++， 222222331(0)(1)11k k k PB k k--++=-+-++ 2432432222222222224129412991249124()()(1)(1)(1)(1)k k k k k k k k k k PA PB k k k k -+-+++++∴+=+++++++422213(21)13(1)k k k ++==+，故答案为：13． 【点睛】本题考查了直线中定点问题以及两点间距离公式，考查了学生的运算能力，属于基础题．17．【解析】试题分析：由题意得圆心到直线的距离即为半径此题只要求出半径即可试题解析：22256(1)(3)25x y -+-=【解析】试题分析：由题意得，圆心到直线的距离即为半径，此题只要求出半径即可． 试题 因为点到直线的距离由题意得圆的半径则所求的圆的方程为考点：1．直线与圆的相切的应用；2．圆的方程；18．【分析】设点的坐标为根据可得点的轨迹方程为然后将问题转化为两圆有公共点的问题解决根据圆心距和半径的关系可得结果【详解】由题意得圆的圆心为半径为1设点的坐标为∵∴整理得故点的轨迹是以为圆心2为半径的圆 解析：[0,3]【分析】设点M 的坐标为(),x y ，根据2MA MO =可得点M 的轨迹方程为()2214x y +-=，然后将问题转化为两圆有公共点的问题解决，根据圆心距和半径的关系可得结果． 【详解】由题意得圆()()22:21C x a y a -+-+=的圆心为(),2a a -，半径为1．设点M 的坐标为(),x y ， ∵2MA MO =，∴=整理得()2214x y +-=，故点M 的轨迹是以()0,1为圆心，2为半径的圆． 由题意得圆C 和点M 的轨迹有公共点，∴13≤≤，解得03a ≤≤．∴实数a 的取值范围是[]0,3． 【点睛】本题考查两圆位置关系的判断和利用，解题的关键是根据题意得到点M 的轨迹方程，然后将问题转化为两圆有公共点的问题出处理，再利用代数法求解可得所求的结果．19．3x ﹣2y+12=0【详解】设A （x0）B （0y ）由中点坐标公式得：解得：x=﹣4y=6由直线过点（﹣23）（﹣40）∴直线的方程为：即3x ﹣2y+12=0故答案为3x ﹣2y+12=0解析：3x ﹣2y+12=0 【详解】设A （x ，0）、B （0，y ），由中点坐标公式得：002322x y++=-=， 解得：x=﹣4，y=6，由直线l 过点（﹣2，3）、（﹣4，0），∴直线l 的方程为：320342y x -+=--+， 即3x ﹣2y+12=0． 故答案为3x ﹣2y+12=020．（﹣10）∪（02）【分析】由题意可得CP 垂直平分AB 且y0＝2x0由•a ＝﹣1解得x0把直线y ＝ax+3代入圆x2+y2+2x ﹣8＝0化为关于x 的一元二次方程由△＞0求得a 的范围从而可得x0的取值解析：（﹣1，0）∪（0，2） 【分析】由题意可得CP 垂直平分AB ，且 y 0＝2x 0．由00201x x -+•a ＝﹣1，解得x 0121a -=+，把直线y ＝ax +3代入圆x 2+y 2+2x ﹣8＝0化为关于x 的一元二次方程，由△＞0，求得a 的范围，从而可得x 0的取值范围． 【详解】解：圆x 2+y 2+2x ﹣8＝0 即 （x +1）2+y 2＝9，表示以C （﹣1，0）为圆心，半径等于3的圆．∵|PA |＝|PB |，∴CP 垂直平分AB ， ∵P （x 0，y 0）在直线y ＝2x 上，∴y 0＝2x 0．又CP 的斜率等于00201x x -+，∴00201x x -+•a ＝﹣1，解得x 0121a -=+．把直线y ＝ax +3代入圆x 2+y 2+2x ﹣8＝0可得，（a 2+1）x 2+（6a +2）x +1＝0． 由△＝（6a +2）2﹣4（a 2+1）＞0，求得 a ＞0，或a 34-＜． ∴﹣1121a -+＜＜0，或 0121a -+＜＜2． 故x 0的取值范围为 （﹣1，0）∪（0，2）， 故答案为：（﹣1，0）∪（0，2）． 【点睛】本题主要考查直线和圆相交的性质，不等式的性质应用，属于中档题．三、解答题21．(1) 22(2)(4)10x y -+-=(2) ()2255222x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭【分析】（1）首先设出方程，将点坐标代入得到关于参数的方程组，通过解方程组得到参数值，从而确定其方程；（2）首先设出点M 的坐标，利用中点得到点D 坐标，代入圆的方程整理化简得到的中点M 的轨迹方程. 【详解】（1）由已知可设圆心N （a ，3a -2），又由已知得|NA |=|NB |，=，解得：a =2．于是圆N 的圆心N （2，4），半径r ==所以，圆N 的方程为22(2)(4)10x y -+-=,(2) 设M （x ，y ），D ()11,x y ，则由C （3，0）及M 为线段CD 的中点得：113202x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得11232x x y y=-⎧⎨=⎩又点D 在圆N ：22(2)(4)10x y -+-=上，所以有()()222322410x y --+-=，化简得：()2255222x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭． 故所求的轨迹方程为()2255222x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭．【点睛】方法点睛：与圆相关的点的轨迹问题，一般可以考虑转移法（相关点法），设动点的坐标，根据条件，用动点坐标表示圆上点的坐标，再根据圆上点的坐标满足圆的方程求解即可.22．（1）13k =；5PE =；（2）()3,2N -，3）最大值为2+，最小值为2. 【分析】（1）通过点(,1)P m m +在圆C 上，求出4m =，推出P 的坐标，求出直线PQ 的斜率，得到直线PQ 的方程，利用圆心(2,7)到直线的距离d ，求解即可；（2）判断当NC 最小时，NA 最小，结合当NC l ⊥时，NC 最小，求出NC 的最小值，然后求解直线方程；（3）利用32MQ y k x -=+，题目所求即为直线MQ 的斜率k 的最值，且当直线MQ 为圆的切线时，斜率取最值.设直线MQ 的方程为3(2)y k x -=+，利用圆心到直线的距离求解即可.【详解】 （1）点(,1)P m m +在圆C 上，代入圆C 的方程，解得4m =，(4,5)P ∴，故直线PQ 的斜率5314(2)3k -==--.因此直线PQ 的方程为15(4)3y x -=-.即3110x y -+=，而圆心(2,7)到直线的距离5d ===所以||55PE ====.（2）NA ==∴当NC 最小时，NA 最小，又知当NC l ⊥时，NC 最小，∴NC d ==由题得过C 且与直线10x y ++=垂直的直线方程为50x y -+=，(3,2)N ∴-（3）32MQ y k x -=+， ∴题目所求即为直线MQ 的斜率k 的最值，且当直线MQ 为圆的切线时，斜率取最值.设直线MQ 的方程为3(2)y k x -=+，即230kx y k -++=.当直线与圆相切时，圆心到直线的距离d r ===两边平方，即22(44)8(1)k k -=+，解得2k=2k =+所以32y x -+的最大值和最小值分别为2+2. 【点睛】方法点睛：求最值常用的方法有：（1）函数法（利用函数的单调性求解最值）；（2）导数法（利用导数求函数的单调性即得最值）；（3）数形结合法（通过“数”和“形”的有机结合求解最值）；（4）基本不等式法（利用基本不等式求解最值）.要根据数学情景灵活选择方法解答.本题的最值就利用了数形结合的方法. 23．（1）22(4)4x y -+=；（2）y x=或4x y +=± 【分析】（1）设(),P x y ，()00,M x y ，用,x y 表示出00,x y ，把00(,)x y 代入已知圆方程化简后可得P 点轨迹方程；（2）截距均为0时，设切线y kx =，截距相等且不为0时，设切线(0)x y a a +=≠，由圆心到切线的距离等于半径求出参数即得切线方程． 【详解】解：（1）设(),P x y ，()00,M x y ，根据中点公式得008202x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得00282x x y y =-⎧⎨=⎩．由220016x y +=，得22(28)(2)16x y -+=∴点P 的轨迹方程是22(4)4x y -+=．（2）当切线在两坐标轴上截距均为0时，设切线y kx =2=∴3k =±，所以切线方程为3y x =±，当切线在两坐标轴上截距相等且不为0时，设切线(0)x y a a +=≠2=，∴4a =±4x y +=±综上：切线方程为3y x =±或4x y +=± 【点睛】关键点点睛：求动点轨迹方程的方法：直接法：设曲线上动点坐标为(,)x y 后，就可根据命题中的已知条件，研究动点形成的几何特征，在此基础上运用几何或代数的基本公式、定理等列出含有,x y 的关系式。
第二章 直线和圆的方程 综合能力测试 - 高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
第二章 直线和圆的方程一、单选题1．圆2)1(22=++y x 的圆心到直线3+=x y 的距离为（ ）。
A 、1B 、2C 、2D 、222．若平面内两条平行线1l ：02)1(=+-+y a x 与2l ：012=++y ax 间的距离为553，则实数=a （ ）。
A 、2-B 、1-C 、1D 、23．过点P -且倾斜角为135的直线方程为（ ）A ．30x y --=B ．0x y --=C ．0x y +=D ．0x y ++= 4．圆1C ：221x y +=与圆2C ：()224310x y k x y +++-=（k ∈R ，0k ≠）的位置关系为（ ）A ．相交B ．相离C ．相切D ．无法确定5．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知ABC 的顶点()2,0A ，()0,4B ，AC BC =，则ABC 的欧拉线方程为（ ） A ．230x y +-=B ．230x y -+=C ．230x y --=D ．230x y -+= 6．若直线l 将圆()()22129x y -++=平分，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为（ ）A ．10x y ++=或20x y +=B ．10x y -+=或20x y +=C ．10x y -+=或20x y -=D ．10x y --=或20x y -= 7．过坐标原点O 作圆()()22341x y -+-=的两条切线，切点为,A B ，直线AB 被圆截得弦AB 的长度为( )A BC D 8．已知圆M 的方程为22680x y x y +--=，过点()0,4P 的直线l 与圆M 相交的所有弦中，弦长最短的弦为AC ，弦长最长的弦为BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ） A ．30B ．40C ．60D ．80 二、多选题9. 下列说法中，正确的有（ ）A. 过点P (1，2)且在x ，y 轴截距相等的直线方程为30x y +-=B. 直线y ＝3x -2在y 轴上的截距为-2C. 直线 10x -+=的倾斜角为60°D. 过点(5，4)并且倾斜角为90°的直线方程为x -5＝010. 如果0AB <，0BC <，那么直线0Ax By C ++=经过（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限11．已知圆O ：x 2+y 2＝4和圆M ：x 2+y 2﹣2x +4y +4＝0相交于A 、B 两点，下列说法正确的是（ ）A ．圆M 的圆心为（1，﹣2），半径为1B ．直线AB 的方程为x ﹣2y ﹣4＝0C ．线段AB 的长为2√55D ．取圆M 上点C （a ，b ），则2a ﹣b 的最大值为4+√512．已知圆C ：（x ﹣5）2+（y ﹣5）2＝16与直线l ：mx +2y ﹣4＝0，下列选项正确的是（（ ）A ．直线l 与圆C 不一定相交B ．当m ≥1615时，圆C 上至少有两个不同的点到直线l 的距离为1C ．当m ＝﹣2时，圆C 关于直线1对称的圆的方程是（x +3）2+（y +3）2＝16D ．当m ＝1时，若直线l 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，P 为圆C 上任意一点，当|PB |＝3√2时，∠PBA 最小三、填空题13．已知点()P x y ，在直线10x y ＝++上运动，则()()2211x y +－－取得最小值时点P 的坐标为_______．14．已知P 是直线l : 260x y ++=上一动点，过点P 作圆C :22230x y x ++-=的两条切线，切点分别为A 、B .则四边形PACB 面积的最小值为___________.15．已知圆心为(),0a 的圆C 与倾斜角为56π的直线相切于点(3,N ，则圆C 的方程为___________16．直线3y x =+D ：(()2213x y +-=交与A ，B 两点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为_____________．四、解答题17．实数x ，y 满足x 2+y 2+2x ﹣4y +1＝0，求：（1）y x−4的最大值和最小值；（2）2x +y 的最大值和最小值．18.已知点)2212(-+，P ，点)13(，M ，圆C ：4)2()1(22=-+-y x 。
(完整版)直线与圆的方程测试题(含答案)
直线与圆的方程测试题（本试卷满分150分，考试时间120分钟）一、单项选择题(本大题共18小题，每小题4分，共72分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出，错选、多选或未选均无分.1.点M 1(2,-5)与M 2(5,y)之间的距离是5，则y=（ ）A.-9B.-1C.-9或-1D. 122. 数轴上点A 的坐标是2，点M 的坐标是-3，则|AM|=（ ）A.5B. -5C. 1D. -13. 直线的倾斜角是32π，则斜率是（ ） A.3-3B.33C.3-D.34. 以下说法正确的是（ ）A.任意一条直线都有倾斜角B. 任意一条直线都有斜率C.直线倾斜角的范围是(0,2π) D. 直线倾斜角的范围是(0,π)5. 经过点(4, -3)，斜率为-2的直线方程是（ ）A. 2x+y+2=0B.2x-y-5=0C. 2x+y+5=0D. 2x+y-5=06. 过点(2,0)且与y 轴平行的直线方程是（ ）A.x=0B.y=0C.x=2D.y=27. 直线在y 轴上的截距是-2，倾斜角为0°，则直线方程是（） A.x+2=0 B.x-2=0 C.y+2=0 D.y-2=08. “B ≠0”是方程“Ax+By+C=0表示直线”的（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分且必要条件D.非充分非必要条件9. 直线3x-y+21=0与直线6x-2y+1=0之间的位置关系是（ ）A.平行B.重合C.相交不垂直D.相交且垂直10.下列命题错误．．的是（ ）A. 斜率互为负倒数的两条直线一定互相垂直B. 互相垂直的两条直线的斜率一定互为负倒数C. 两条平行直线的倾斜角相等D. 倾斜角相等的两条直线平行或重合11. 过点(3,-4)且平行于直线2x+y-5=0的直线方程是（ ）A. 2x+y+2=0B. 2x-y-2=0C. 2x-y+2=0D.2x+y-2=012. 直线ax+y-3=0与直线y=21x-1垂直，则a=（ ）A.2B.-2C. 21D. 21-13. 直线x=2与直线x-y+2=0的夹角是（ ）A.30°B. 45°C. 60°D. 90°14. 点P (2,-1)到直线l ：4x-3y+4=0的距离是（ ）A.1B.511 C.53 D.3 15. 圆心在( -1,0)，半径为5的圆的方程是（ ）A.(x+1)2+y 2=5B. (x+1)2+y 2=25C. (x-1)2+y 2=5D. (x-1)2+y 2=2516. 直线3x+4y+6=0与圆(x-2)2+(y+3)2=1的位置关系是（ ）A.相交不过圆心B.相交且过圆心C.相切D.相离17. 方程x 2+y 2-2kx+4y+3k+8=0表示圆，则k 的取值范围是（ ）A.k<-1或k>4B. k=-1或k=4C. -1<k<4D. -1≤k ≤418. 直线y=0与圆C:x 2+y 2-2x-4y=0相交于A 、B 两点，则△ABC 的面积是（ ）A.4B.3C.2D.1二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。
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西中高一（14）（15）班《直线与圆的方程》单元测试 韩世强时间：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 1．在直角坐标系中，直线033=-+y x 的倾斜角是（ ）A ．6π B ．3π C ．65π D ．32π 2．如下图，在同一直角坐标系中表示直线y ＝ax 与y ＝x ＋a ，正确的是( )3．若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于（ ）A ．1B ．13-C ．23- D ．2-4． 若直线023022=--=++y x y ax 与直线 平行，那么系数a 等于()A ．3-B ．6-C ．23-D ．32 5. 圆x 2+y 2－4x =0在点P （1，3）处的切线方程为（）+3y －2=0 +3y －4=0 －3y +4=0 －3y +2=06 若圆C 与圆1)1()2(22=-++y x 关于原点对称，则圆C 的方程是（）A ．1)1()2(22=++-y x B ．1)1()2(22=-+-y x C ．1)2()1(22=++-y xD ．1)2()1(22=-++y x7．已知两圆的方程是x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－6x －8y ＋9＝0，那么这两个圆的位置关系是( )A ．相离B ．相交C ．外切D ．内切8．过点(2,1)的直线中，被圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0截得的最长弦所在的直线方程为( ) A ．3x －y －5＝0 B ．3x ＋y －7＝0 C ．x ＋3y －5＝0D ．x －3y ＋1＝09．若点A 是点B (1,2,3)关于x 轴对称的点，点C 是点D (2，－2,5)关于y 轴对称的点，则|AC |＝( )A ．5 C ．1010．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝1相交于P 、Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为坐标原点)，则k 的值为( )或－ 3和－211．当点P 在圆x 2＋y 2＝1上变动时，它与定点Q (3,0)的连结线段PQ 的中点的轨迹方程是( )A ．(x ＋3)2＋y 2＝4 B ．(x －3)2＋y 2＝1 C ．(2x －3)2＋4y 2＝1D ．(2x ＋3)2＋4y 2＝112．设圆222(3)(5)(0)x y r r -++=>上有且仅有两个点到直线4320x y --=的距离等于1，则圆半径r 的取值范围是（ ）A ．35r <<B ．46r <<C ．4r >D ．5r >二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上. 13 以点)1,5()3,1(-和为端点的线段的中垂线的方程是14．圆x 2＋y 2＝1上的点到直线3x ＋4y －25＝0的距离最小值为____________．15.（2004年上海，理8）圆心在直线2x －y －7=0上的圆C 与y 轴交于两点A （0，－4）、 B （0，－2），则圆C 的方程为____________.16．设有一组圆224*:(1)(3)2()k C x k y k k k -++-=∈N ．下列四个命题：Ａ．存在一条定直线与所有的圆均相切 Ｂ．存在一条定直线与所有的圆均相交 Ｃ．存在一条定直线与所有的圆均不．相交 Ｄ．所有的圆均不．经过原点 其中真命题的代号是．（写出所有真命题的代号）西中高一（14）（15）班《直线与圆的方程》单元测试 答题卡班级 学号 姓名 得分 一.选择题（每小题5分，12个小题共60分）二.填空题（每小题5分，4个小题共20分）13. 14.15. 16.三、解答题（共6小题，计70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
）17．(本小题满分10分)如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点M (2,0)，AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，点T (－1,1)在AD 边所在直线上．(1)求AD 边所在直线的方程； (2)求矩形ABCD 外接圆的方程．18.(本小题满分12分)求经过点)1,2(-A ，和直线1=+y x 相切，且圆心在直线x y 2-=上的圆方程．19 (本小题满分12分)已知圆C ：（x －1）2＋（y －2）2＝25，直线l ：（2m +1）x +（m +1）y －7m －4=0（m ∈R ）.（1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点； （2）求直线被圆C 截得的弦长最小时l 的方程.20． (本小题满分12分)设圆C 满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长之比为3：1；③圆心到直线:20l x y -=C 的方程．（21）（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上． （I ）求圆C 的方程；（II ）若圆C 与直线0x y a -+=交于A ，B 两点，且,OA OB ⊥求a 的值．22.(本小题满分12分)已知直线l :y=k (x+22)与圆O:4y x 22=+相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，三角形ABO的面积为S.（1）试将S 表示成的函数S （k ），并求出它的定义域； （2）求S 的最大值，并求取得最大值时k 的值.西中高一《直线与圆的方程》单元测试答案班级 学号 姓名 得分 一.选择题（每小题5分，12个小题共60分）13. 02=--y x15. （x －2）2+（y +3）2=5 16.B D ，三.解答题（第17、18、19、20、21小题每小题12分, 第22小题14分,6个小题共74分）17解析：(1)因为AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，且AD 与AB 垂直，所以直线AD 的斜率为－3.又因为点T (－1,1)在直线AD 上，所以AD 边所在直线的方程为y －1＝－3(x ＋1)， 即3x ＋y ＋2＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －6＝03x ＋y ＋2＝0解得点A 的坐标为(0，－2)，因为矩形ABCD 两条对角线的交点为M (2,0)， 所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心． 又|AM |＝(2－0)2＋(0＋2)2＝22，从而矩形ABCD 外接圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.18.求经过点)1,2(-A ，和直线1=+y x 相切，且圆心在直线x y 2-=上的圆方程． . 【解】：2)2()1(22=++-y x19已知圆C ：（x －1）2＋（y －2）2＝25，直线l ：（2m +1）x +（m +1）y －7m －4=0（m ∈R ）. （1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点； （2）求直线被圆C 截得的弦长最小时l 的方程.剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得. （1）证明：l 的方程（x +y －4）+m （2x +y －7）=0.2x +y －7=0， x =3， x +y －4=0， y =1， 即l 恒过定点A （3，1）.∵圆心C （1，2），｜AC ｜＝5＜5（半径）， ∴点A 在圆C 内，从而直线l 恒与圆C 相交于两点. （2）解：弦长最小时，l ⊥AC ，由k AC ＝－21，∴l 的方程为2x －y －5=0. 20．设圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长之比为3：1；③圆心到直线:20l x y -=的距离为5，求该圆的方程． 解．设圆心为(,)a b ，半径为r ，由条件①：221r a =+，由条件②：222r b =，从而有：2221b a -=．|2|1a b =⇒-=，解方程组2221|2|1b a a b ⎧-=⎨-=⎩可得：∵m ∈R ，∴ 得11a b =⎧⎨=⎩或11a b =-⎧⎨=-⎩，所以2222r b ==．故所求圆的方程是22(1)(1)2x y -+-=或22(1)(1)2x y +++=．21解（Ⅰ）曲线162+-=x x y 与y 轴的交点为（0，1），与x 轴的交点为（).0,223(),0,223-+故可设C 的圆心为（3，t ），则有,)22()1(32222t t +=-+解得t=1.则圆C 的半径为.3)1(322=-+t 所以圆C 的方程为.9)1()3(22=-+-y x （Ⅱ）设A （11,y x ），B （22,y x ），其坐标满足方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-.9)1()3(,022y x a y x ，消去y ，得到方程 .012)82(222=+-+-+a a x a x 由已知可得，判别式.0416562>--=∆a a因此，,441656)28(22,1a a a x --±-=从而2120,422121+-=-=+a a x x a x x①由于OA⊥OB，可得,02121=+y y x x 又,,2211a x y a x y +=+=所以.0)(222121=+++a x x a x x②由①，②得1-=a ，满足,0>∆故.1-=a22.【解】：:如图,(1)直线l 议程 ),0(022≠=+-k k y kx 原点O 到l 的距离为2122kk oc +=弦长222218422KK OC OA AB +-=-=△ABO 面积2221)1(2421K K K OC AB S +-==),0(11,0≠<<-∴>K K AB Θ)011(1)1(24)(222≠<<-+-=∴K k kk k k S 且(2) 令.81)43(224132241)1(24)(22222+--=-+-=+-=∴t t t k k k k S∴当t=43时, 33,31,431122±===+k k k时, 2max =S●典例剖析【例1】 已知圆x 2+y 2+x －6y +m =0和直线x +2y －3=0交于P 、Q 两点，且OP ⊥OQ （O 为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.剖析：由于OP ⊥OQ ，所以k OP ·k OQ =－1，问题可解.解：将x =3－2y 代入方程x 2+y 2+x －6y +m =0，得5y 2－20y +12+m =0. 设P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2），则y 1、y 2满足条件y 1+y 2=4，y 1y 2=512m+. ∵OP ⊥OQ ，∴x 1x 2+y 1y 2=0. 而x 1=3－2y 1，x 2=3－2y 2， ∴x 1x 2=9－6（y 1+y 2）+4y 1y 2.,121,112<<=+t t k∴m =3，此时Δ＞0，圆心坐标为（－21，3），半径r =25. 例2.如图，过圆O ：x 2+y 2=4与y 轴正半轴交点A 作此圆的切线，M 为上任一点，过M 作圆O 的另一条切线，切点为Q ，求△MAQ 垂心P 的轨迹方程。