考研2000—2010年历年上海大学数学分析.doc

2000—2010年历年上海大学数学分析真题上海大学2000年度研究生入学考试试题数学分析1、设122(1)nn x x nx y n n +++=+ ，若lim n n x a →∞=，证明：（1）当a 为有限数时，lim 2n n ay →∞=； （2）当a =+∞时，lim n n y →∞=+∞. 2、设()f x 在[]0,1上有二阶导数（端点分别指左、右导数），(0)(1)0f f ==，且[]0,1min()1f x =- 证明：[]0,1max ()8f x ''≥ 3、 证明：黎曼函数[]1, x=((),10,pq p q q q R x ⎧>⎪=⎨⎪⎩当为互质整数在上可积当x 为无理数. 4、 证明：12210()lim (0),t tf x dx f t x π+-→=+⎰其中()f x 在[]1,1-上连续. 5、 设()1ln 11n n p a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，讨论级数2n n a +∞=∑的收敛性.6、设()f x dx +∞⎰收敛且()f x 在[]0,+∞上单调，证明：01lim ()()h n h f nh f x dx ++∞+∞→==∑⎰.7、计算曲面2222x y z a ++=包含在曲面22221(0)x y b a a b+=<≤内的那部分的面积. 8、 将函数()f x x =在[]0,2π上展成Fourier 级数,并计算级数1sin k kk +∞=∑的值.上海大学2001年度研究生入学考试试题数学分析1、计算下列极限、导数和积分:(1) 计算极限10lim ();xx x +→(2) 计算20()()x x f t dt ϕ=⎰的导数()x ϕ',其中()f x 2,(1).1,(1)t t t t ≤⎧=⎨+>⎩(3) 已知()211arctan2tan 1sin 2x x '⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦,求积分2011sin I dx x π=+⎰. (4) 计算()()22222()0x y z t f t xyz dxdydz t ++≤=>⎰⎰⎰的导数()f t '(只需写出()f t '的积分表达式). 2、设()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 上可导，若()()0f a f b >且()02a bf +=，试证明必存在(),a b ξ∈使得()0f ξ'=. 3、令(),1y F x y y xe =+-(1)、证明:111311,0,,;,0,,.2121221212F x x F x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤<∈->∈- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦(2)、证明:对任意的11,1212x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,方程(),0F x y >在13,22y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭中存在唯一的解()y x .(3)、计算(0)y '和(0)y ''. 4、一致连续和一致收敛性(1)、函数2()f x x =在[]0,1上是一致连续的,对210ε-=,试确定0δ>,使得当1201x x ≤<≤,且12x x δ-<时有3321210x x --<.(2)、设[]2231(),0,1,1,2,,2n n x f x x n n x+=∈=+ 证明: ()n f x 在[]0,1上是内闭一致收敛的, 但不是一致收敛的. 5、曲线积分、格林公式和原函数. (1)计算第二型曲线积分()221,2L xdy ydx I x y π-=+⎰ 其中L 是逐段光滑的简单闭曲线,原点属于L 围成的内部区域,(L)的定向是逆时针方向. (2) 设(),p x y ,(),q x y 除原点外是连续的,且有连续的偏导数,若<a>()(),,0,0p qx y y x∂∂=≠∂∂ <b>()0,L pdy qdx c +=≠⎰ 其中(L)的参数方程cos ,(02)sin x tt y tπ=⎧≤≤⎨=⎩证明：存在连续可微函数()()(),,,0,0F x y x y ≠，使得()()2222,,,22F c y F c xp x y q x y x x y y x y ππ∂∂=+=-∂+∂+. 上海大学2002年度研究生入学考试题数学分析1、求α和β使得当x →+∞时，无穷小量112x x x ++--等价于无穷小量x βα. 2、求椭圆2221Ax Bxy Cy ++=所围成的面积S ,其中20,0,,,A A C B A B C >->均为常数.3、试给出三角级数01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑中系数的计算公式(不必求出具体值),使得该级数在[]0,1上一致收敛到2x ,并说明理论依据。

4、证明：sin () x e x x f x x x πππ⎧≤⎪=⎨>-⎪⎩当时，当时函数在()-∞+∞，上一致连续5、设()f x 在[]0,1上有连续的导函数()f x '，(0)0f =，证明：112201()()2f x dx f x dx '≤⎰⎰. 6、 证明:当x y ≤≤1,1时,有不等式22222()2.x y y x -≤+-7、设()f x 在(),a b 上连续,并且一对一,(即当()12,,,x x a b ∈且12x x ≠时有12()()f x f x ≠),证明: ()f x 在(),a b 上严格单调.上海大学2003年度研究生入学考试题数学分析1、证明与计算：（1）对于任意的0a >，证明：lim nn a →∞存在，并求之. （2）设()111,0,1,2,...,n n a k x k n n αα+==>=∑,证明: lim n n x →∞存在并求之.2、 判断下列结论是否正确,正确的请证明,错误的请举出反例.（3）存在级数1n n u ∞=∑,使得当n →+∞时, n u 不趋于0,但1n n u ∞=∑收敛.（4）20sin xdx +∞⎰是收敛的.(5) 211lim sin 0x x e nxdx --→∞=⎰(此题只需指明理论依据)3、 计算(6)32222,()Sxdydz ydzdx zdxdy x y z ++++⎰⎰其中S 为曲面: ()221,0z x y z -=+≥的上侧.(7)将把()f x x =在[],ππ-上展成Fourier 级数,并由此计算211nk k=∑. 4、证明:(8)设函数(,),f x y xy =证明:它在()0,0上连续且有偏导数()()0,0,0,0,x y f f 但是(,)f x y 在()0,0不可微.(9)设函数()f x 在[]0,1上黎曼可积,证明: 2()f x 在[]0,1上也是黎曼可积.(10)当0x >时,证明: ()1ln 11xx +<. (11)设()f x '在[]0,a 上连续,其中0a >,证明:001(0)()()aa f f x dx f x dx a'≤+⎰⎰ (12)设函数(),,F u v w 有连续的偏导数,证明:曲面,,0y z x F x y z⎛⎫= ⎪⎝⎭上各点的切平面都交于一点,并求出交点坐标(13)设闭曲线L: 2221Ax Bxy Cy ++=,其中20,0,,,A AC B A B C >->均为常数.记()11,x y 和()22,x y 分别表示曲线的最高点和最低点,证明: 120y y <. (14)如果函数列(),1,2,...,n f x n =在[]0,1上一致收敛,证明: {}()n f x 在[]0,1上一致有界,即:存在0,M >使得(),n f x M ≤对[]0,1,x n ∀∈∀成立.(此题好象缺少条件)进一步问,如果函数列在[]0,1上点点收敛,结论是否成立,请证明你的结论.(15) 设函数()f x 在[0,)+∞上连续,()g x dx +∞⎰绝对收敛,证明:200lim ()()(0)()nn xf g x dx f g x dx n+∞→∞=⎰⎰ 上海大学2004年度研究生入学考试题数学分析1、判断数列{}n S 是否收敛,其中111,231nn k S k k =⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭∑证明你的结论. 2、在[]0,1区间上随机地选取无穷多个数构成一个数列{}n a ,请运用区间套定理或有限覆盖定理证明该数列{}n a 必有收敛子列. 3、设函数在[]0,1上连续, (0)(1)f f =,证明方程1()()3f x f x =+在[]0,1上一定有根.4、证明:达布定理:设()f x 在(),a b 上可微, ()12,,x x a b ∈,如果12()()0,f x f x ''<则在12,x x 之间存在一点ξ,使得()0f ξ'=.5、给出有界函数()f x 在闭区间[],a b 上黎曼可积的定义,并举出一个[],a b 有界但是不可积的函数的例子,并证明你给的函数不是黎曼可积的.6、 闭区间[],a b 上的连续函数()f x ,如果积分()()0ba f x x dx ϕ=⎰对于所有具有连续一 阶导数并且()()0a b ϕϕ==的函数）（x ϕ都成立，证明：()f x 0=.7、判别广义积分dx xx⎰+∞0sin 的收敛性和绝对收敛性，证明你的结论. 8、证明：2cos 1220limπ=+⎰+→dt t x t x x 9、计算：∑+∞=++-01121n n n ）（.10、试将函数x x f =)(在],0[π上展开成余弦级数，并由此计算: ++++++222)12(151311k 11、函数列 ,2,1)(=n x f n ，，在]1,0[上连续，且对任意的),()(],1,0[x f x f x n n −−→−∈∞→，问)(x f 是否也在]1,0[上连续，证明你的结论.12、设函数,3),(33xy y x y x f -+=请在平面上每一点指出函数增加最快的方向，并计算出函数在该方向的方向导数.13、求解viviani 问题，计算球体2222a z y x ≤++被柱面ax y x =+22所截出的那部分体积.14、曲线积分⎰++Lyx ydyxdx 22是否与路径无关，其中曲线L 不过原点，证明你的结论.15、设函数)(x f 可微，若0)(2)(−−→−'++∞→x x f x f ，证明：0)(lim =+∞→x f x .上海大学2005年度研究生入学考试题数学分析1、设函数)(x f 在），（∞+0内连续，,0)(lim='+∞→x f x 求.)(lim xx f x +∞→ 2、设函数)(x f 在[]20，有二阶导数，在[]20，上，，1)(1)(≤''≤x f x f 求证：2)(≤'x f .3、若dx x f ⎰+∞0)(收敛，0)(lim=+∞→x f x 一定成立吗？举例并说明理由. 4、求证：⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∏=+∞→2005)(ln 20051)2005(lim odx x f nnk x en f . 5、证明：dx xe ax ⎰+∞-0在+∞<≤<a a 00上一致收敛，但+∞<<a 0上不一致收敛.6、给出在I 上一直连续的定义，并证明)1()(-=x x x g 在），∞+0[上一致连续.7、,01lim 2=--+++∞→b ax x x x 求b a ,的值.8、把[](]ππ，，0001)(-∈⎩⎨⎧=x x f 展成fourier 级数，并证明： .12)1s i n (233s i n1s i n 4⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++= n n π 9、求2222222)()()(:,R c z b y a x dxdy z dzdx y dydz x =-+-+-++∑⎰⎰外侧. 10、02222=++Cz By Ax 是椭圆方程，求证：椭圆的长半轴kl 1=.其中k 是方程022=++Bk CC A k 的最小根.11、,)(lim 21a a a a n n =++++∞→ 证明:nna a a nn ++++∞→ 212lim 存在，并求之.12、,00 01sin)(=≠⎪⎩⎪⎨⎧=x x x x x f a问a 在什么范围内，)(x f 在0=x 可导：在什么范围内)(x f 在 0=x 连续. 13、,)(ln )(1⎰+=edx x f x x f 求.)(1⎰edx x f14、已知)(x f ，)(x g 在[]b a ,上连续，)(,0)(x g x f >不变号，求.)()(l i m dx x g x f bann ⎰+∞→15、)(x f 在I 上连续，)1( )()(),()(111≥==⎰+n dt t F x F x f x F xn n 求证：{})(x F n 在I 上一致连续.上海大学2006年度研究生入学考试题数学分析计算1、 求极限41sin 2limxe x x x x -+-→ 2、 求级数...)13()23(1...1071741411++⨯-++⨯+⨯+⨯n n 的和。