2016年中考数学压轴题70题精选(含答案及解析)
2016年中考数学分类汇编二次函数压轴题含答案
2016年中考数学与二次函数有关的压轴题纵观2016年全国各省市中考数学试卷其中与二次函数有关的压轴题，其考点涉及：一次函数、二次函数的性质，函数图像上点的坐标与方程的关系；轴对称和等腰三角形的性质；特殊平行四边形性质；图形的旋转变换；相似三角形的性质；锐角三角函数应用；圆的性质；阅读理解，等.数学思想涉及：分类讨论；数形结合；转化，等.现选取部分省市的2016年中考题展示，以飨读者.一、与特殊平行四边形性质的有关综合题【题1】（2016•成都第28题）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a（x+1）2﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣），顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线l交抛物线于P，Q两点，点Q在y轴的右侧．（1）求a的值及点A，B的坐标；（2）当直线l将四边形ABCD分为面积比为3：7的两部分时，求直线l的函数表达式；（3）当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）把点C代入抛物线解析式即可求出a，令y=0，列方程即可求出点A、B坐标．（2）先求出四边形ABCD面积，分两种情形：①当直线l边AD相交与点M1时，根据S=×10=3，求出点M1坐标即可解决问题．②当直线l边BC相交与点M2时，同理可得点M2坐标．（3）设P（x1，y1）、Q（x2，y2）且过点H（﹣1，0）的直线PQ的解析式为y=kx+b，得到b=k，利用方程组求出点M坐标，求出直线DN解析式，再利用方程组求出点N坐标，列出方程求出k，即可解决问题．【解答】解：（1）∵抛物线与y轴交于点C（0，﹣）．∴a﹣3=﹣，解得：a=，∴y=（x+1）2﹣3当y=0时，有（x+1）2﹣3=0，∴x 1=2，x 2=﹣4， ∴A （﹣4，0），B （2，0）．（2）∵A （﹣4，0），B （2，0），C （0，﹣），D （﹣1，﹣3）∴S 四边形ABCD =S △ADH +S 梯形OCDH +S △BOC =×3×3+（+3）×1+×2×=10． 从面积分析知，直线l 只能与边AD 或BC 相交，所以有两种情况： ①当直线l 边AD 相交与点M 1时，则S =×10=3，∴×3×（﹣y）=3∴y=﹣2，点M 1（﹣2，﹣2），过点H （﹣1，0）和M 1（﹣2，﹣2）的直线l 的解析式为y =2x +2．②当直线l 边BC 相交与点M 2时，同理可得点M 2（，﹣2），过点H （﹣1，0）和M 2（，﹣2）的直线l 的解析式为y =﹣x ﹣．综上所述：直线l 的函数表达式为y =2x +2或y =﹣x ﹣．（3）设P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2）且过点H （﹣1，0）的直线PQ 的解析式为y =kx +b ， ∴﹣k +b =0， ∴b =k ， ∴y =kx +k ． 由，∴+（﹣k ）x ﹣﹣k =0，∴x 1+x 2=﹣2+3k ，y 1+y 2=kx 1+k +kx 2+k =3k 2，∵点M 是线段PQ 的中点，∴由中点坐标公式的点M （k ﹣1， k 2）． 假设存在这样的N 点如图，直线DN ∥PQ ，设直线DN 的解析式为y =kx +k ﹣3 由，解得：x 1=﹣1，x 2=3k ﹣1，∴N （3k ﹣1，3k 2﹣3）∵四边形DMPN 是菱形， ∴DN =DM ，∴（3k ）2+（3k 2）2=（）2+（）2，整理得：3k 4﹣k 2﹣4=0， ∵k 2+1＞0， ∴3k 2﹣4=0， 解得k =±，∵k＜0，∴k=﹣，∴P（﹣3﹣1，6），M（﹣﹣1，2），N（﹣2﹣1，1）∴PM=DN=2，∵PM∥DN，∴四边形DMPN是平行四边形，∵DM=DN，∴四边形DMPN为菱形，∴以DP为对角线的四边形DMPN能成为菱形，此时点N的坐标为（﹣2﹣1，1）．【题2】（2016•泰安第28题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y 轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B．（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行与y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形，且AE 为其一边，求点M、N的坐标．【考点】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数关系式，函数极值额确定方法，平行四边形的性质和判定，解本题的关键是建立函数关系式求极值．【分析】（1）设出抛物线解析式，用待定系数法求解即可；（2）先求出直线AB解析式，设出点P坐标（x，﹣x2+4x+5），建立函数关系式S四边形APCD=﹣2x2+10x，根据二次函数求出极值；（3）先判断出△HMN≌△AOE，求出M点的横坐标，从而求出点M，N的坐标．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+9，∵抛物线与y轴交于点A（0，5），∴4a+9=5，∴a=﹣1，y=﹣（x﹣2）2+9=﹣x2+4x+5，（2）当y=0时，﹣x2+4x+5=0，∴x1=﹣1，x2=5，∴E（﹣1，0），B（5，0），设直线AB的解析式为y=mx+n，∵A（0，5），B（5，0），∴m=﹣1，n=5，∴直线AB的解析式为y=﹣x+5；设P（x，﹣x2+4x+5），∴D（x，﹣x+5），∴PD=﹣x2+4x+5+x﹣5=﹣x2+5x，∵AC=4，∴S四边形APCD=×AC×PD=2（﹣x2+5x）=﹣2x2+10x，∴当x=﹣=时，∴S四边形APCD最大=，（3）如图，过M作MH垂直于对称轴，垂足为H，∵MN∥AE，MN=AE，∴△HMN≌△AOE，∴HM=OE=1，∴M点的横坐标为x=3或x=1，当x=1时，M点纵坐标为8，当x=3时，M点纵坐标为8，∴M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8），∵A（0，5），E（﹣1，0），∴直线AE解析式为y=5x+5，∵MN∥AE，∴MN的解析式为y=5x+b，∵点N在抛物线对称轴x=2上，∴N（2，10+b），∵AE2=OA2+0E2=26∵MN=AE∴MN2=AE2，∴MN2=（2﹣1）2+[8﹣（10+b）]2=1+（b+2）2∵M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8），∴点M1，M2关于抛物线对称轴x=2对称，∵点N在抛物线对称轴上，∴M1N=M2N，∴1+（b+2）2=26，∴b=3，或b=﹣7，∴10+b=13或10+b=3∴当M点的坐标为（1，8）时，N点坐标为（2，13），当M点的坐标为（3，8）时，N点坐标为（2，3），【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数关系式，函数极值额确定方法，平行四边形的性质和判定，解本题的关键是建立函数关系式求极值．【题2】（2016•东营第25题）参考答案：【题3】（2016•扬州第28题）如图1，二次函数2y ax bx =+的图像过点A （-1，3），顶点B 的横坐标为1.（1）求这个二次函数的表达式；（2）点P 在该二次函数的图像上，点Q 在x 轴上，若以A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标；（3）如图3，一次函数y kx =（k ＞0）的图像与该二次函数的图像交于O 、C 两点，点T 为该二次函数图像上位于直线OC 下方的动点，过点T 作直线TM ⊥OC ，垂足为点M ，且M 在线段OC 上（不与O 、C 重合），过点T 作直线TN ∥y 轴交OC 于点N 。
2016中考数学压轴题解析版
上所述，满足条件的点 P 的坐标为（﹣8，﹣15） 、 （2 ，﹣ ） 、 （10，﹣39） ．
．此时点 P 的坐标为（2 ，﹣ ） ． ，即 m 2﹣7m﹣30=0．
解得 m= ﹣3（舍去）或 m=10 ，此时点 P 的坐标为（10，﹣39） ．
6、十套模拟二：
8、山东模拟二：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A （3，0）、B（0，-3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛 物线于点M，设点P的横坐标为t． 2 y x 3 y x 2x 3 （1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式． （2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面 积． （3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四 边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
（3） 存在点 P ， 使得以点 P、 A、 N 为顶点的三角形与△MAO 相似． 设P （m， ） ．
在 Rt△MAO 中，AO=3MO ，要使两个三角形相似，由题意可知，点 P 不可能在第一象限．
①设点 P 在第二象限时，∵点 P 不可能在直线 MN 上，∴只能 PN=3NM， ∴ ，即 m 2+11m+24=0．解得 m=﹣3（舍去）或 m=﹣8．又﹣3
2
∴AO=1，OC=3， OB=3，P Ｍ= x 2 x 3 ，PN ＝x． ∴S 四边形 ABPC= S AOC + S POB + S POC
2
y M O N
C
第 25 题图 2(备用)
1 1 1 = AO·OC + OB·PM+ OC ·PN 2 2 2 1 1 1 2 = ×1×3+ ×3×( x 2 x 3 )+ ×3×x 2 2 2 3 2 9 = x x6 2 2 3 3 2 75 = (x ) . ………………………8 分 2 2 8
2016中考数学压轴题专项训练有答案
2016中考数学压轴题专项训练有答案2016中考压轴题专项训练训练目标1.熟悉题型结构，辨识题目类型，调用解题方法；2.书写框架明晰，踩点得分（完整、快速、简洁）。
题型结构及解题方法压轴题综合性强，知识高度融合，侧重考查学生对知识的综合运用能力，对问题背景的研究能力以及对数学模型和套路的调用整合能力。
考查要点常考类型举例题型特征解题方法问题背景研究求坐标或函数解析式，求角度或线段长已知点坐标、解析式或几何图形的部分信息研究坐标、解析式，研究边、角，特殊图形。
模型套路调用求面积、周长的函数关系式，并求最值速度已知，所求关系式和运动时间相关①分段：动点转折分段、图形碰撞分段；②利用动点路程表达线段长；③设计方案表达关系式。
坐标系下，所求关系式和坐标相关①利用坐标及横平竖直线段长；②分类：根据线段表达不同分类；③设计方案表达面积或周长。
求线段和（差）的最值有定点（线）、不变量或不变关系利用几何模型、几何定理求解，如两点之间线段最短、垂线段最短、三角形三边关系等。
套路整合及分类讨论点的存在性点的存在满足某种关系，如满足面积比为9:10①抓定量，找特征；②确定分类；.③根据几何特征或函数特征建等式。
图形的存在性特殊三角形、特殊四边形的存在性①分析动点、定点或不变关系（如平行）；②根据特殊图形的判定、性质，确定分类；根据几何特征或函数特征建等式。
三角形相似、全等的存在性①找定点，分析目标三角形边角关系；②根据判定、对应关系确定分类；③根据几何特征建等式求解。
答题规范动作1.试卷上探索思路、在演草纸上演草。
2.合理规划答题卡的答题区域：两栏书写，先左后右。
作答前根据思路，提前规划，确保在答题区域内写完答案；同时方便修改。
3.作答要求：框架明晰，结论突出，过程简洁。
23题作答更加注重结论，不同类型的作答要点：几何推理环节，要突出几何特征及数量关系表达，简化证明过程；面积问题，要突出面积表达的方案和结论；几何最值问题，直接确定最值存在状态，再进行求解；存在性问题，要明确分类，突出总结。
初中数学试卷中考压轴题精选(含详细答案)
精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！一．解答题（共30小题）1．（顺义区）如图，直线l1：y=kx+b平行于直线y=x﹣1，且与直线l2：相交于点P（﹣1，0）．（1）求直线l1、l2的解析式；（2）直线l1与y轴交于点A．一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B1处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l1上的点A1处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B2处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l1上的点A2处后，仍沿平行于x轴的方向运动，…照此规律运动，动点C依次经过点B1，A1，B2，A2，B3，A3，…，B n，A n，…①求点B1，B2，A1，A2的坐标；②请你通过归纳得出点A n、B n的坐标；并求当动点C到达A n处时，运动的总路径的长？2．（莆田）如图1，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=1，OC=2，点D在边OC上且OD=．（1）求直线AC的解析式；（2）在y轴上是否存在点P，直线PD与矩形对角线AC交于点M，使得△DMC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）抛物线y=﹣x2经过怎样平移，才能使得平移后的抛物线过点D和点E（点E在y轴的正半轴上），且△ODE沿DE折叠后点O落在边AB上O′处．3．（资阳）已知Z市某种生活必需品的年需求量y1（万件）、供应量y2（万件）与价格x （元/件）在一定范围内分别近似满足下列函数关系式：y1=﹣4x+190，y2=5x﹣170．当y1=y2时，称该商品的价格为稳定价格，需求量为稳定需求量；当y1＜y2时，称该商品的供求关系为供过于求；当y1＞y2时，称该商品的供求关系为供不应求．（1）求该商品的稳定价格和稳定需求量；（2）当价格为45（元/件）时，该商品的供求关系如何？为什么？4．（哈尔滨）如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（﹣3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．（1）求直线AC的解析式；（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．5．（桂林）如图已知直线L：y=x+3，它与x轴、y轴的交点分别为A、B两点．（1）求点A、点B的坐标．（2）设F为x轴上一动点，用尺规作图作出⊙P，使⊙P经过点B且与x轴相切于点F（不写作法，保留作图痕迹）．（3）设（2）中所作的⊙P的圆心坐标为P（x，y），求y关于x的函数关系式．（4）是否存在这样的⊙P，既与x轴相切又与直线L相切于点B？若存在，求出圆心P的坐标；若不存在，请说明理由．6．（防城港）如图，在平面直角坐标系，直线y=﹣（x﹣6）与x轴、y轴分别相交于A、D两点，点B在y轴上，现将△AOB沿AB翻折180°，使点O刚好落在直线AD的点C处．（1）求BD的长；（2）设点N是线段AD上的一个动点（与点A、D不重合），S△NBD=S1，S△NOA=S2，当点N运动到什么位置时，S1•S2的值最大，并求出此时点N的坐标；（3）在y轴上是否存在点M，使△MAC为直角三角形？若存在，请写出所有符合条件的点M的坐标，并选择一个写出其求解过程；若不存在，简述理由．7．（大兴安岭）直线y=kx+b（k≠0）与坐标轴分别交于A、B两点，OA、OB的长分别是方程x2﹣14x+48=0的两根（OA＞OB），动点P从O点出发，沿路线O⇒B⇒A以每秒1个单位长度的速度运动，到达A点时运动停止．（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）设点P的运动时间为t（秒），△OPA的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不必写出自变量的取值范围）；（3）当S=12时，直接写出点P的坐标，此时，在坐标轴上是否存在点M，使以O、A、P、M为顶点的四边形是梯形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．8．（云南）如图，在直角坐标系中，半圆直径为OC，半圆圆心D的坐标为（0，2），四边形OABC是矩形，点A的坐标为（6，0）．（1）若过点P（2，0）且与半圆D相切于点F的切线分别与y轴和BC边交于点H与点E，求切线PF所在直线的解析式；（2）若过点A和点B的切线分别与半圆相切于点P1和P2（点P1、P2与点O、C不重合），请求P1、P2点的坐标并说明理由．（注：第（2）问可利用备用图作答）．9．（厦门）如图，在直角梯形OABD中，DB∥OA，∠OAB=90°，点O为坐标原点，点A 在x轴的正半轴上，对角线OB，AD相交于点M．OA=2，AB=2，BM：MO=1：2．（1）求OB和OM的值；（2）求直线OD所对应的函数关系式；（3）已知点P在线段OB上（P不与点O，B重合），经过点A和点P的直线交梯形OABD 的边于点E（E异于点A），设OP=t，梯形OABD被夹在∠OAE内的部分的面积为S，求S关于t的函数关系式．10．（天门）如图①，在平面直角坐标系中，A点坐标为（3，0），B点坐标为（0，4）．动点M从点O出发，沿OA方向以每秒1个单位长度的速度向终点A运动；同时，动点N从点A出发沿AB方向以每秒个单位长度的速度向终点B运动．设运动了x秒．（1）点N的坐标为（_________，_________）；（用含x的代数式表示）（2）当x为何值时，△AMN为等腰三角形；（3）如图②，连接ON得△OMN，△OMN可能为正三角形吗？若不能，点M的运动速度不变，试改变点N的运动速度，使△OMN为正三角形，并求出点N的运动速度．11．（乐山）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的边AB在x轴上，且OA＞OB，以AB 为直径的圆过点C．若点C的坐标为（0，2），AB=5，A，B两点的横坐标x A，x B是关于x的方程x2﹣（m+2）x+n﹣1=0的两根．（1）求m，n的值；（2）若∠ACB平分线所在的直线l交x轴于点D，试求直线l对应的一次函数解析式；（3）过点D任作一直线l′分别交射线CA，CB（点C除外）于点M，N．则的是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．12．（黄冈）已知：如图，在直角梯形COAB中，OC∥AB，以O为原点建立平面直角坐标系，A，B，C三点的坐标分别为A（8，0），B（8，10），C（0，4），点D为线段BC 的中点，动点P从点O出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OABD的路线移动，移动的时间为t秒．（1）求直线BC的解析式；（2）若动点P在线段OA上移动，当t为何值时，四边形OPDC的面积是梯形COAB面积的；（3）动点P从点O出发，沿折线OABD的路线移动过程中，设△OPD的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；（4）试探究：当动点P在线段AB上移动时，能否在线段OA上找到一点Q，使四边形CQPD 为矩形？并求出此时动点P的坐标．13．（遵义）如图，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别相交于A，B两点，点C在AB上以每秒1个单位的速度从点B向点A运动，同时点D在线段AO上以同样的速度从点A向点O运动，运动时间用t（单位：秒）表示．（1）求AB的长；（2）当t为何值时，△ACD与△AOB相似并直接写出此时点C的坐标；（3）△ACD的面积是否有最大值？若有，此时t为何值；若没有，请说明理由．14．（株洲）已知Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，CD⊥AB于点D，以D为坐标原点，CD所在直线为y轴建立如图所示平面直角坐标系．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）若⊙O1，⊙O2分别为△ACD，△BCD的内切圆，求直线O1O2的解析式；（3）若直线O1O2分别交AC，BC于点M，N，判断CM与CN的大小关系，并证明你的结论．15．（镇江）探索、研究：下图是按照一定的规律画出的一列“树型”图，下表的n表示“树型”图的序号，a n表示第n个“树型”图中“树枝”的个数．图：表：n 1 2 3 4 …a n 1 3 7 15 …（1）根据“图”、“表”可以归纳出a n关于n的关系式为_________．若直线l1经过点（a1，a2）、（a2，a3），求直线l1对应的函数关系式，并说明对任意的正整数n，点（a n，a n+1）都在直线l1上．（2）设直线l2：y=﹣x+4与x轴相交于点A，与直线l1相交于点M，双曲线y=（x＞0）经过点M，且与直线l2相交于另一点N．①求点N的坐标，并在如图所示的直角坐标系中画出双曲线及直线l1、l2．②设H为双曲线在点M、N之间的部分（不包括点M、N），P为H上一个动点，点P的横坐标为t，直线MP与x轴相交于点Q，当t为何值时，△MQA的面积等于△PMA的面积的2倍又是否存在t的值，使得△PMA的面积等于1？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．③在y轴上是否存在点G，使得△GMN的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．16．（咸宁）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知矩形ABCD的边AB、AD分别在x轴、y轴上，点A与坐标原点重合，且AB=2，AD=1．操作：将矩形ABCD折叠，使点A落在边DC上．探究：（1）我们发现折痕所在的直线与矩形的两边一定相交，那么相交的情形有几种请你画出每种情形的图形；（只要用矩形草稿纸动手折一折你会有发现的！）（2）当折痕所在的直线与矩形的边OD相交于点E，与边OB相交于点F时，设直线的解析式为y=kx+b．①求b与k的函数关系式；②求折痕EF的长（用含k的代数式表示），并写出k的取值范围．17．（厦门）已知点P（m，n）（m＞0）在直线y=x+b（0＜b＜3）上，点A、B在x轴上（点A在点B的左边），线段AB的长度为b，设△PAB的面积为S，且S=b2+b．（1）若b=，求S的值；（2）若S=4，求n的值；（3）若直线y=x+b（0＜b＜3）与y轴交于点C，△PAB是等腰三角形，当CA∥PB时，求b的值．18．（乌鲁木齐）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，6），点B坐标为，BC∥y轴且与x轴交于点C，直线OB与直线AC相交于点P．（1）求点P的坐标；（2）若以点O为圆心，OP的长为半径作⊙O（如图2），求证：直线AC与⊙O相切于点P；（3）过点B作BD∥x轴与y轴相交于点D，以点O为圆心，r为半径作⊙O，使点D在⊙O 内，点C在⊙O外；以点B为圆心，R为半径作⊙B，若⊙O与⊙B相切，试分别求出r，R 的取值范围．19．（随州）如图，直角梯形ABCD的腰BC所在直线的解析式为y=﹣x﹣6，点A 与坐标原点O重合，点D的坐标为（0，﹣4），将直角梯形ABCD绕点O顺时针旋转180°，得到直角梯形OEFG（如图1）．（1）直接写出E，F两点的坐标及直角梯形OEFG的腰EF所在直线的解析式；（2）将图1中的直角梯形ABCD先沿x轴向右平移到点A与点E重合的位置，再让直角顶点A紧贴着EF，向上平移直角梯形ABCD（即梯形ABCD向上移动时，总保持着AB∥FG），当点A与点F重合时，梯形ABCD停止移动．观察得知：在梯形ABCD移动过程中，其腰BC始终经过坐标原点O．（如图2）①设点A的坐标为（a，b），梯形ABCD与梯形OEFG重合部分的面积为S，试求a与何值时，S的值恰好等于梯形OEFG面积的；②当点A在EF上滑动时，设AD与x轴的交点为M，试问：在y轴上是否存在点P，使得△PAM是底角为30°的等腰三角形？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．（利用图3进行探索）20．（邵阳）如图，直线y=﹣x+2与x轴，y轴分别相交于点A，B．将△AOB绕点O 按顺时针方向旋转α角（0°＜α≤360°），可得△COD．（1）求点A，B的坐标；（2）当点D落在直线AB上时，直线CD与OA相交于点E，△COD和△AOB的重叠部分为△ODE（图①）．求证：△ODE∽△ABO；（3）除了（2）中的情况外，是否还存在△COD和△AOB的重叠部分与△AOB相似，若存在，请指出旋转角α的度数；若不存在，请说明理由；（4）当α=30°时（图②），CD与OA，AB分别相交于点P，M，OD与AB相交于点N，试求△COD与△AOB的重叠部分（即四边形OPMN）的面积．21．（韶关）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，OA=4，AB=2，直线与坐标轴交于D、E．设M是AB的中点，P是线段DE上的动点．（1）求M、D两点的坐标；（2）当P在什么位置时，PA=PB求出此时P点的坐标；（3）过P作PH⊥BC，垂足为H，当以PM为直径的⊙F与BC相切于点N时，求梯形PMBH 的面积．22．（衢州）如图，点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3）…，B n（n，y n）（n是正整数）依次为一次函数y=x+的图象上的点，点A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0），…，A n（x n，0）（n是正整数）依次是x轴正半轴上的点，已知x1=a（0＜a＜1），△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…△A n B n A n+1分别是以B1，B2，B3，…，B n为顶点的等腰三角形．（1）写出B2，B n两点的坐标；（2）求x2，x3（用含a的代数式表示）；分析图形中各等腰三角形底边长度之间的关系，写出你认为成立的两个结论；（3）当a（0＜a＜1）变化时，在上述所有的等腰三角形中，是否存在直角三角形？若存在，求出相应的a的值；若不存在，请说明理由．23．（黔东南州）某商厦试销一种成本为50元/件的商品，规定试销时的销售单价不低于成本，又不高于80元/件，试销中销售量y（件）与销售单价x（元/件）的关系可近似的看作一次函数（如图）．（1）求y与x的关系式；（2）设商厦获得的毛利润（毛利润=销售额﹣成本）为s（元），则销售单价定为多少时，该商厦获利最大，最大利润是多少？此时的销售量是多少件？24．（牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6），点B，点C分别在x轴的负半轴和正半轴上，OB，OC的长分别是方程x2﹣4x+3=0的两根（OB＜OC）．（1）求B，C两点的坐标；（2）在坐标平面内是否存在点Q和点P（点P在直线AC上），使以O、P、C、Q为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若平面内有M（1，﹣2），D为线段OC上一点，且满足∠DMC=∠BAC，∠MCD=45°，求直线AD的解析式．25．（梅州）如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=6，AD=4，DC=3，动点P从点A出发，沿A→D→C→B方向移动，动点Q从点A出发，在AB边上移动．设点P移动的路程为x，点Q移动的路程为y，线段PQ平分梯形ABCD的周长．（1）求y与x的函数关系式，并求出x，y的取值范围；（2）当PQ∥AC时，求x，y的值；（3）当P不在BC边上时，线段PQ能否平分梯形ABCD的面积？若能，求出此时x的值；若不能，说明理由．26．（聊城）某市为了进一步改善居民的生活环境，园林处决定增加公园A和公园B的绿化面积．已知公园A，B分别有如图1，图2所示的阴影部分需铺设草坪，在甲、乙两地分别有同种草皮1608m2和1200m2出售，且售价一样．若园林处向甲、乙两地购买草皮，其路程和运费单价见下表：公园A 公园B路程（千米）运费单价（元）路程（千米）运费单价（元）甲地30 0.25 32 0.25乙地22 0.3 30 0.3（注：运费单价指将每平方米草皮运送1千米所需的人民币）（1）分别求出公园A，B需铺设草坪的面积；（结果精确到1m2）（2）请设计出总运费最省的草皮运送方案，并说明理由．27．（佳木斯）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6），点B，点C分别在x轴的负半轴和正半轴上，OB，OC的长分别是方程x2﹣4x+3=0的两根（OB＜OC）．（1）求点B，点C的坐标；（2）若平面内有M（1，﹣2），D为线段OC上一点，且满足∠DMC=∠BAC，求直线MD 的解析式；（3）在坐标平面内是否存在点Q和点P（点P在直线AC上），使以O，P，C，Q为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．28．（济南）已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点A，C的坐标分别为A（﹣3，0），C（1，0），tan∠BAC=．（1）求过点A，B的直线的函数表达式；（2）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP=DQ=m，问是否存在这样的m，使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．29．（黑龙江）如图，点A为x轴负半轴上一点，点B为x轴正半轴上一点，OA，OB（OA ＜OB）的长分别是关于x的一元二次方程x2﹣4mx+m2+2=0的两根，C（0，3），且S△ABC=6 （1）求∠ABC的度数；（2）过点C作CD⊥AC交x轴于点D，求点D的坐标；（3）在第（2）问的条件下，y轴上是否存在点P，使∠PBA=∠ACB？若存在，请直接写出直线PD的解析式；若不存在，请说明理由．30．（哈尔滨）如图，梯形ABCD在平面直角坐标系中，上底AD平行于x轴，下底BC 交y轴于点E，点C（4，﹣2），点D（1，2），BC=9，sin∠ABC=．（1）求直线AB的解析式；（2）若点H的坐标为（﹣1，﹣1），动点G从B出发，以1个单位/秒的速度沿着BC边向C点运动（点G可以与点B或点C重合），求△HGE的面积S（S≠0）随动点G的运动时间t′秒变化的函数关系式（写出自变量t′的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当秒时，点G停止运动，此时直线GH与y轴交于点N．另一动点P开始从B出发，以1个单位/秒的速度沿着梯形的各边运动一周，即由B到A，然后由A到D，再由D到C，最后由C回到B（点P可以与梯形的各顶点重合）．设动点P 的运动时间为t秒，点M为直线HE上任意一点（点M不与点H重合），在点P的整个运动过程中，求出所有能使∠PHM与∠HNE相等的t的值．答案与评分标准一．解答题（共30小题）1．（顺义区）如图，直线l1：y=kx+b平行于直线y=x﹣1，且与直线l2：相交于点P（﹣1，0）．（1）求直线l1、l2的解析式；（2）直线l1与y轴交于点A．一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B1处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l1上的点A1处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B2处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l1上的点A2处后，仍沿平行于x轴的方向运动，…照此规律运动，动点C依次经过点B1，A1，B2，A2，B3，A3，…，B n，A n，…①求点B1，B2，A1，A2的坐标；②请你通过归纳得出点A n、B n的坐标；并求当动点C到达A n处时，运动的总路径的长？考点：一次函数综合题。
2016年广东省中考数学压轴题及答案
2016年广东省中考数学压轴题1．某商家经销一种绿茶，用于装修门面已投资3000元．已知绿茶成本50元/千克,在第一个月的试销时间内发现,销量w(kg）与销售单价x（元/kg)满足关系式：w=﹣2x+240．（1）设该绿茶的月销售利润为y（元）,求y与x之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围）,并求出x为何值时，y的值最大？(销售利润=单价×销售量﹣成本﹣投资）（2）若在第一个月里，按使y获得最大值的销售单价进行销售后，在第二个月里受物价部门干预，销售单价不得高于90元，要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元，那么第二个月里应该确定销售单价为多少元？2．如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡AB的坡比i=1：（指坡面的铅直高度与水平宽度的比）,且AB=20m．身高为1。
7m的小明站在大堤A点，测得髙压电线杆顶端点D 的仰角为30°．已知地面CB宽30m，求髙压电线杆CD的髙度（结果保留三个有效数字,≈1.732)．3．如图,矩形OABC在平面直角坐标系中,并且OA、OC的长满足：｜OA﹣2|+(OC﹣6）2=0．(1）求A、B、C三点的坐标．(2）把△ABC沿AC对折，点B落在点B1处，AB1与x轴交于点D，求直线BB1的解析式．(3)在直线AC上是否存在点P使PB1+PD的值最小？若存在，请找出点P的位置，并求出PB1+PD的最小值；若不存在，请说明理由．（4）在直线AC上是否存在点P使|PD﹣PB|的值最大？若存在，请找出点P的位置，并求出｜PD﹣PB|最大值．4．如图，抛物线y=ax 2+bx+1经过点（2,6),且与直线y=x+1相交于A ，B 两点,点A 在y 轴上，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C （4,0)．（1）求抛物线的解析式；（2）若P 是直线AB 上方该抛物线上的一个动点,过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，交AB 于点E ，求线段PE 的最大值；（3）在（2）的条件，设PC 与AB 相交于点Q,当线段PC 与BE 相互平分时，请求出点Q 的坐标．5．(本题满分9分)如图，已知直线x y 21=与双曲线xk y =交于A 、B 两点， 点B 的坐标为（-4，—2),C 为第一象限内双曲线xk y =上一点,且点C 在 直线x y 21=的上方． (1)求双曲线的函数解析式；(2）若△AOC 的面积为6,求点C 的坐标．y xO B A C第5题图参考答案:1。
2016年中考数学压轴题及分类汇编解读
2016中考数学压轴题:函数相似三角形问题(一) 例1直线113y x=-+分别交x轴、y轴于A、B两点，△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°后得到△COD，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A、C、D三点．(1) 写出点A、B、C、D的坐标；(2) 求经过A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标；(3) 在直线BG上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与△COD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“11闸北25”，拖动点Q在直线BG上运动，可以体验到，△ABQ的两条直角边的比为1∶3共有四种情况，点B上、下各有两种．思路点拨1．图形在旋转过程中，对应线段相等，对应角相等，对应线段的夹角等于旋转角．2．用待定系数法求抛物线的解析式，用配方法求顶点坐标．3．第（3）题判断∠ABQ＝90°是解题的前提．4．△ABQ 与△COD 相似，按照直角边的比分两种情况，每种情况又按照点Q 与点B 的位置关系分上下两种情形，点Q 共有4个．满分解答（1）A (3，0)，B (0，1)，C (0，3)，D (－1，0)．（2）因为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (3，0)、C (0，3)、D (－1，0) 三点，所以930,3,0.a b c c a b c ++=⎧⎪=⎨⎪-+=⎩ 解得1,2,3.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩所以抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，顶点G 的坐标为(1，4)． （3）如图2，直线BG 的解析式为y ＝3x ＋1，直线CD 的解析式为y ＝3x ＋3，因此CD //BG ．因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转角，所以AB ⊥CD ．因此AB ⊥BG ，即∠ABQ ＝90°．因为点Q 在直线BG 上，设点Q 的坐标为(x ，3x ＋1)，那么22(3)10BQ x x x =+=±． Rt △COD 的两条直角边的比为1∶3，如果Rt △ABQ 与Rt △COD 相似，存在两种情况：①当3BQ BA =时，10310x ±=．解得3x =±．所以1(3,10)Q ，2(3,8)Q --．②当13BQ BA =时，101310x ±=．解得13x =±．所以31(,2)3Q ，41(,0)3Q -．图2 图3考点伸展第（3）题在解答过程中运用了两个高难度动作：一是用旋转的性质说明AB ⊥BG ；二是BQ ==．我们换个思路解答第（3）题：如图3，作GH ⊥y 轴，QN ⊥y 轴，垂足分别为H 、N ．通过证明△AOB ≌△BHG ，根据全等三角形的对应角相等，可以证明∠ABG ＝90°． 在Rt △BGH 中，sin 1∠=cos 1∠=①当3BQ BA=时，BQ =．在Rt △BQN 中，sin 13QN BQ =⋅∠=，cos 19BN BQ =⋅∠=．当Q 在B 上方时，1(3,10)Q ；当Q 在B 下方时，2(3,8)Q --．②当13BQ BA =时，BQ =31(,2)3Q ，41(,0)3Q -．例2Rt △ABC 在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数(0)ky k x=≠在第一象限内的图像与BC 边交于点D （4，m ），与AB 边交于点E （2，n ），△BDE 的面积为2．（1）求m 与n 的数量关系；（2）当tan ∠A ＝12时，求反比例函数的解析式和直线AB 的表达式；（3）设直线AB 与y 轴交于点F ，点P 在射线FD 上，在（2）的条件下，如果△AEO 与△EFP 相似，求点P 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“11杨浦24”，拖动点A 在x 轴上运动，可以体验到，直线AB 保持斜率不变，n 始终等于m 的2倍，双击按钮“面积BDE ＝2”，可以看到，点E 正好在BD 的垂直平分线上，FD //x 轴．拖动点P 在射线FD 上运动，可以体验到，△AEO 与△EFP 相似存在两种情况．思路点拨1．探求m 与n 的数量关系，用m 表示点B 、D 、E 的坐标，是解题的突破口． 2．第（2）题留给第（3）题的隐含条件是FD //x 轴．3．如果△AEO 与△EFP 相似，因为夹角相等，根据对应边成比例，分两种情况．满分解答（1）如图1，因为点D （4，m ）、E （2，n ）在反比例函数ky x=的图像上，所以4,2.m k n k =⎧⎨=⎩ 整理，得n ＝2m ． （2）如图2，过点E 作EH ⊥BC ，垂足为H ．在Rt △BEH 中，tan ∠BEH ＝tan ∠A ＝12，EH ＝2，所以BH ＝1．因此D (4，m )，E (2，2m )，B (4，2m ＋1)． 已知△BDE 的面积为2，所以11(1)2222BD EH m ⋅=+⨯=．解得m ＝1．因此D (4，1)，E (2，2)，B (4，3)．因为点D（4，1）在反比例函数kyx=的图像上，所以k＝4．因此反比例函数的解析式为4yx =．设直线AB的解析式为y＝kx＋b，代入B(4，3)、E(2，2)，得34,22.k bk b=+⎧⎨=+⎩解得12k=，1 b=．因此直线AB的函数解析式为112y x=+．图2 图3 图4（3）如图3，因为直线112y x=+与y轴交于点F（0，1），点D的坐标为（4，1），所以FD// x轴，∠EFP＝∠EAO．因此△AEO与△EFP相似存在两种情况：①如图3，当EA EFAO FP=时，2552FP=．解得FP＝1．此时点P的坐标为（1，1）．②如图4，当EA FPAO EF=时，2525=．解得FP＝5．此时点P的坐标为（5，1）．考点伸展本题的题设部分有条件“Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图1所示”，如果没有这个条件限制，保持其他条件不变，那么还有如图5的情况：第（1）题的结论m与n的数量关系不变．第（2）题反比例函数的解析式为12yx=-，直线AB为172y x=-．第（3）题FD不再与x轴平行，△AEO与△EFP也不可能相似．图52016中考数学压轴题函数相似三角形问题(二) 例3如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标；（3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“10义乌24”，拖动点I上下运动，观察图形和图像，可以体验到，x2－x1随S的增大而减小．双击按钮“第（3）题”，拖动点Q在DM上运动，可以体验到，如果∠GAF＝∠GQE，那么△GAF与△GQE相似．思路点拨1．第（2）题用含S的代数式表示x2－x1，我们反其道而行之，用x1，x2表示S．再注意平移过程中梯形的高保持不变，即y2－y1＝3．通过代数变形就可以了．2．第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证．3．第（3）题的示意图，不变的关系是：直线AB与x轴的夹角不变，直线AB与抛物线的对称轴的夹角不变．变化的直线PQ的斜率，因此假设直线PQ与AB的交点G 在x轴的下方，或者假设交点G在x轴的上方．满分解答（1）抛物线的对称轴为直线1x =，解析式为21184y x x=-，顶点为M （1，18-）．（2） 梯形O 1A 1B 1C 1的面积12122(11)3()62x x S x x -+-⨯3==+-，由此得到1223s x x +=+．由于213y y -=，所以22212211111138484y y x x x x -=--+=．整理，得212111()()384x x x x ⎡⎤-+-=⎢⎥⎣⎦．因此得到2172x x S -=．当S =36时，212114,2.x x x x +=⎧⎨-=⎩ 解得126,8.x x =⎧⎨=⎩ 此时点A 1的坐标为（6，3）．（3）设直线AB 与PQ 交于点G ，直线AB 与抛物线的对称轴交于点E ，直线PQ 与x 轴交于点F ，那么要探求相似的△GAF 与△GQE ，有一个公共角∠G ．在△GEQ 中，∠GEQ 是直线AB 与抛物线对称轴的夹角，为定值．在△GAF 中，∠GAF 是直线AB 与x 轴的夹角，也为定值，而且∠GEQ ≠∠GAF ． 因此只存在∠GQE ＝∠GAF 的可能，△GQE ∽△GAF ．这时∠GAF ＝∠GQE ＝∠PQD ．由于3tan 4GAF ∠=，tan 5DQ t PQD QP t ∠==-，所以345t t =-．解得207t =．图3 图4考点伸展第（3）题是否存在点G 在x 轴上方的情况？如图4，假如存在，说理过程相同，求得的t 的值也是相同的．事实上，图3和图4都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图3．例4如图1，已知点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线22y mx mx n =++上． （1）求m 、n ；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′，若四边形A A ′B ′B 为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB ′ 的交点为C ，试在x 轴上找一个点D ，使得以点B ′、C 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似．图1动感体验请打开几何画板文件名“10宝山24”，拖动点A ′向右平移，可以体验到，平移5个单位后，四边形A A ′B ′B 为菱形．再拖动点D 在x 轴上运动，可以体验到，△B ′CD 与△ABC 相似有两种情况．思路点拨1．点A 与点B 的坐标在3个题目中处处用到，各具特色．第（1）题用在待定系数法中；第（2）题用来计算平移的距离；第（3）题用来求点B ′ 的坐标、AC 和B ′C 的长．2．抛物线左右平移，变化的是对称轴，开口和形状都不变．3．探求△ABC 与△B ′CD 相似，根据菱形的性质，∠BAC ＝∠CB ′D ，因此按照夹角的两边对应成比例，分两种情况讨论．满分解答(1) 因为点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线22y mx mx n =++上，所以444,20.m m n m m n -+=⎧⎨++=⎩ 解得43m =-，4n =． (2)如图2，由点A (-2，4) 和点B (1，0)，可得AB ＝5．因为四边形A A ′B ′B 为菱形，所以A A ′＝B ′B ＝ AB ＝5．因为438342+--=x x y ()2416133x =-++，所以原抛物线的对称轴x ＝－1向右平移5个单位后，对应的直线为x ＝4．因此平移后的抛物线的解析式为()3164342,+--=x y ．图2(3) 由点A (-2，4) 和点B′(6，0)，可得A B′＝45．如图2，由AM//CN，可得''''B N B CB M B A=，即2845=．解得'5B C=．所以35AC=．根据菱形的性质，在△ABC与△B′CD中，∠BAC＝∠CB′D．①如图3，当''AB B CAC B D=时，535=，解得'3B D=．此时OD＝3，点D的坐标为（3，0）．②如图4，当''AB B DAC B C=时，355=，解得5'3B D=．此时OD＝133，点D的坐标为（133，0）．图3 图4考点伸展在本题情境下，我们还可以探求△B′CD与△AB B′相似，其实这是有公共底角的两个等腰三角形，容易想象，存在两种情况．我们也可以讨论△B′CD与△C B B′相似，这两个三角形有一组公共角∠B，根据对应边成比例，分两种情况计算．2016中考数学压轴题函数相似三角形问题(三) 例5如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC 上方的抛物线是有一点D ，使得△DCA 的面积最大，求出点D 的坐标．,图1动感体验请打开几何画板文件名“09临沂26”，拖动点P 在抛物线上运动，可以体验到，△PAM 的形状在变化，分别双击按钮“P 在B 左侧”、“ P 在x 轴上方”和“P 在A 右侧”，可以显示△PAM 与△OAC 相似的三个情景．双击按钮“第(3)题”， 拖动点D 在x 轴上方的抛物线上运动，观察△DCA 的形状和面积随D 变化的图象，可以体验到，E 是AC 的中点时，△DCA 的面积最大．思路点拨1．已知抛物线与x 轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便． 2．数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长． 3．按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程． 4．把△DCA 可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA ．满分解答（1）因为抛物线与x 轴交于A (4，0)、B （1，0)两点，设抛物线的解析式为)4)(1(--=x x a y ，代入点C 的 坐标（0，－2），解得21-=a ．所以抛物线的解析式为22521)4)(1(212-+-=---=x x x x y ．（2）设点P 的坐标为))4)(1(21,(---x x x ．①如图2，当点P 在x 轴上方时，1＜x ＜4，)4)(1(21---=x x PM ，x AM -=4．如果2==CO AO PM AM ，那么24)4)(1(21=----x x x ．解得5=x 不合题意．如果21==CO AO PM AM ，那么214)4)(1(21=----x x x ．解得2=x ．此时点P 的坐标为（2，1）．②如图3，当点P 在点A 的右侧时，x ＞4，)4)(1(21--=x x PM ，4-=x AM ．解方程24)4)(1(21=---x x x ，得5=x ．此时点P 的坐标为)2,5(-．解方程214)4)(1(21=---x x x ，得2=x 不合题意．③如图4，当点P 在点B 的左侧时，x ＜1，)4)(1(21--=x x PM ，x AM -=4．解方程24)4)(1(21=---xx x ，得3-=x ．此时点P 的坐标为)14,3(--．解方程214)4)(1(21=---x x x ，得0=x ．此时点P 与点O 重合，不合题意．综上所述，符合条件的 点P 的坐标为（2，1）或)14,3(--或)2,5(-．图2 图3 图4 （3）如图5，过点D 作x 轴的垂线交AC 于E ．直线AC 的解析式为221-=x y ． 设点D 的横坐标为m )41(<<m ，那么点D 的坐标为)22521,(2-+-m m m ，点E 的坐标为)221,(-m m ．所以)221()22521(2---+-=m m m DE m m 2212+-=． 因此4)221(212⨯+-=∆m m S DAC m m 42+-=4)2(2+--=m ． 当2=m 时，△DCA 的面积最大，此时点D 的坐标为（2，1）．图5 图6考点伸展第（3）题也可以这样解：如图6，过D 点构造矩形OAMN ，那么△DCA 的面积等于直角梯形CAMN 的面积减去△CDN 和△ADM 的面积．设点D 的横坐标为（m ，n ）)41(<<m ，那么42)4(21)2(214)22(21++-=--+-⨯+=n m m n n m n S ． 由于225212-+-=m m n ，所以m m S 42+-=．例6如图1，△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，cos A ＝310．D 为射线BA 上的点（点D 不与点B 重合），作DE //BC 交射线CA 于点E .．(1) 若CE ＝x ，BD ＝y ，求y 与x 的函数关系式，并写出函数的定义域； (2) 当分别以线段BD ，CE 为直径的两圆相切时，求DE 的长度；(3) 当点D 在AB 边上时，BC 边上是否存在点F ，使△ABC 与△DEF 相似？若存在，请求出线段BF 的长；若不存在，请说明理由．图1 备用图备用图动感体验请打开几何画板文件名“09闸北25”，拖动点D可以在射线BA上运动．双击按钮“第（2）题”，拖动点D可以体验到两圆可以外切一次，内切两次．双击按钮“第（3）题”，再分别双击按钮“DE为腰”和“DE为底边”，可以体验到，△DEF为等腰三角形．思路点拨1．先解读背景图，△ABC是等腰三角形，那么第（3）题中符合条件的△DEF也是等腰三角形．2．用含有x的式子表示BD、DE、MN是解答第（2）题的先决条件，注意点E的位置不同，DE、MN表示的形式分两种情况．3．求两圆相切的问题时，先罗列三要素，再列方程，最后检验方程的解的位置是否符合题意．4．第（3）题按照DE为腰和底边两种情况分类讨论，运用典型题目的结论可以帮助我们轻松解题．满分解答（1）如图2，作BH⊥AC，垂足为点H．在Rt△ABH中，AB＝5，cosA＝310 AHAB=，所以AH＝32＝12AC．所以BH垂直平分AC，△ABC为等腰三角形，AB＝CB＝5．因为DE//BC，所以AB ACDB EC=，即53y x=．于是得到53y x=，（0x>）．（2）如图3，图4，因为DE//BC，所以DE AEBC AC=，MN ANBC AC=，即|3|53DE x-=，1|3|253xMN-=．因此5|3|3xDE-=，圆心距5|6|6xMN-=．图2 图3 图4 在⊙M中，115226Mr BD y x===，在⊙N中，1122Nr CE x==．①当两圆外切时，5162x x+5|6|6x-=．解得3013x=或者10x=-．如图5，符合题意的解为3013x=，此时5(3)15313xDE-==．②当两圆内切时，5162x x-5|6|6x-=．当x＜6时，解得307x=，如图6，此时E在CA的延长线上，5(3)1537xDE-==；当x＞6时，解得10x=，如图7，此时E在CA的延长线上，5(3)3533xDE-==．图5 图6 图7 （3）因为△ABC是等腰三角形，因此当△ABC与△DEF相似时，△DEF也是等腰三角形．如图8，当D 、E 、F 为△ABC 的三边的中点时，DE 为等腰三角形DEF 的腰，符合题意，此时BF ＝2.5．根据对称性，当F 在BC 边上的高的垂足时，也符合题意，此时BF ＝4.1．如图9，当DE 为等腰三角形DEF 的底边时，四边形DECF 是平行四边形，此时12534BF =．图8 图9 图10 图11考点伸展第（3）题的情景是一道典型题，如图10，如图11，AH 是△ABC 的高，D 、E 、F 为△ABC 的三边的中点，那么四边形DEHF 是等腰梯形．例 7如图1，在直角坐标系xOy 中，设点A （0，t ），点Q （t ，b ）．平移二次函数2tx y -=的图象，得到的抛物线F 满足两个条件：①顶点为Q ；②与x 轴相交于B 、C 两点（∣OB ∣<∣OC ∣），连结A ，B ．（1）是否存在这样的抛物线F ，使得OC OB OA ⋅=2？请你作出判断，并说明理由；（2）如果AQ ∥BC ，且tan ∠ABO ＝23，求抛物线F 对应的二次函数的解析式．图1动感体验请打开几何画板文件名“08杭州24”，拖动点A 在y 轴上运动，可以体验到，AQ 与BC 保持平行，OA ∶OB 与OA ∶OB ′保持3∶2．双击按钮“t ＝3”，“t ＝0．6”，“t ＝－0．6”，“t ＝－3”，抛物线正好经过点B （或B ′）．思路点拨1．数形结合思想，把OC OB OA ⋅=2转化为212t x x =⋅．2．如果AQ ∥BC ，那么以OA 、AQ 为邻边的矩形是正方形，数形结合得到t ＝b ． 3．分类讨论tan ∠ABO ＝23，按照A 、B 、C 的位置关系分为四种情况．A 在y 轴正半轴时，分为B 、C 在y 轴同侧和两侧两种情况；A 在y 轴负半轴时，分为B 、C 在y 轴同侧和两侧两种情况．满分解答（1）因为平移2tx y -=的图象得到的抛物线F 的顶点为Q （t ，b ），所以抛物线F 对应的解析式为b t x t y +--=2)(．因为抛物线与x 轴有两个交点，因此0>b t ．令0=y ，得-=t OB t b，+=t OC tb ． 所以-=⋅t OC OB (|||||tb)( +t t b)|-=2|t 22|OA t tb ==．即22bt t t-=±．所以当32t b =时，存在抛物线F 使得||||||2OC OB OA ⋅=． （2）因为AQ //BC ，所以t ＝b ，于是抛物线F 为t t x t y +--=2)(．解得1,121+=-=t x t x ．①当0>t 时，由||||OC OB <，得)0,1(-t B ．如图2，当01>-t 时，由=∠ABO tan 23=||||OB OA =1-t t ，解得3=t ．此时二次函数的解析式为241832-+-=x x y ．如图3，当01<-t 时，由=∠ABO tan 23=||||OB OA =1+-t t ，解得=t 53．此时二次函数的解析式为-=y 532x ＋2518x ＋12548．图2 图3②如图4，如图5，当0<t 时，由||||OC OB <，将t -代t ,可得=t 53-，3-=t ．此时二次函数的解析式为=y 532x ＋2518x －12548或241832++=x x y ．图4 图5考点伸展第（2）题还可以这样分类讨论：因为AQ //BC ，所以t ＝b ，于是抛物线F 为2()y t x t t =--+．由3tan 2OA ABO OB ∠==，得23OB OA =． ①把2(,0)3B t 代入2()y t x t t =--+，得3t =±（如图2，图5）． ②把2(,0)3B t -代入2()y t x t t =--+，得35t =±（如图3，图4）．2016中考数学压轴题函数等腰三角形问题(一)例1如图1，已知正方形OABC 的边长为2，顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，M 是BC 的中点．P (0,m )是线段OC 上一动点（C 点除外），直线PM 交AB 的延长线于点D ．（1）求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；（2）当△APD 是等腰三角形时，求m 的值；（3）设过P 、M 、B 三点的抛物线与x 轴正半轴交于点E ，过点O 作直线ME 的垂线，垂足为H （如图2）．当点P 从O 向C 运动时，点H 也随之运动．请直接写出点H 所经过的路长（不必写解答过程）．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“11湖州24”，拖动点P 在OC 上运动，可以体验到，△APD 的三个顶点有四次机会可以落在对边的垂直平分线上．双击按钮“第(3)题”， 拖动点P 由O 向C 运动，可以体验到，点H 在以OM 为直径的圆上运动．双击按钮“第(2)题”可以切换．思路点拨1．用含m 的代数式表示表示△APD 的三边长，为解等腰三角形做好准备． 2．探求△APD 是等腰三角形，分三种情况列方程求解．3．猜想点H 的运动轨迹是一个难题．不变的是直角，会不会找到不变的线段长呢？Rt △OHM 的斜边长OM 是定值，以OM 为直径的圆过点H 、C ．满分解答（1）因为PC //DB ，所以1CP PM MC BD DM MB===．因此PM ＝DM ，CP ＝BD ＝2－m ．所以AD ＝4－m ．于是得到点D 的坐标为(2，4－m )．（2）在△APD 中，22(4)AD m =-，224AP m =+，222(2)44(2)PD PM m ==+-． ①当AP ＝AD 时，2(4)m -24m =+．解得32m =（如图3）．②当PA ＝PD 时，24m +244(2)m =+-．解得43m =（如图4）或4m =（不合题意，舍去）．③当DA ＝DP 时，2(4)m -244(2)m =+-．解得23m =（如图5）或2m =（不合题意，舍去）．综上所述，当△APD 为等腰三角形时，m 的值为32，43或23．图3 图4 图5（3）点H 5．考点伸展第（2）题解等腰三角形的问题，其中①、②用几何说理的方法，计算更简单： ①如图3，当AP ＝AD 时，AM 垂直平分PD ，那么△PCM ∽△MBA ．所以12PC MB CM BA ==．因此12PC =，32m =． ②如图4，当PA ＝PD 时，P 在AD 的垂直平分线上．所以DA ＝2PO ．因此42m m -=．解得43m =．第（2）题的思路是这样的：如图6，在Rt △OHM 中，斜边OM 为定值，因此以OM 为直径的⊙G 经过点H ，也就是说点H 在圆弧上运动．运动过的圆心角怎么确定呢？如图7，P 与O 重合时，是点H 运动的起点，∠COH ＝45°，∠CGH ＝90°．图6 图7例2如图1，已知一次函数y ＝－x ＋7与正比例函数43y x 的图象交于点A ，且与x 轴交于点B ．（1）求点A 和点B 的坐标；（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l //y 轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O —C —A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“11盐城28”，拖动点R由B向O运动，从图像中可以看到，△APR的面积有一个时刻等于8．观察△APQ，可以体验到，P在OC上时，只存在AP＝AQ的情况；P在CA上时，有三个时刻，△APQ是等腰三角形．思路点拨1．把图1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题．2．求△APR的面积等于8，按照点P的位置分两种情况讨论．事实上，P在CA上运动时，高是定值4，最大面积为6，因此不存在面积为8的可能．3．讨论等腰三角形APQ，按照点P的位置分两种情况讨论，点P的每一种位置又要讨论三种情况．满分解答（1）解方程组7,4,3y xy x=-+⎧⎪⎨=⎪⎩得3,4.xy=⎧⎨=⎩所以点A的坐标是(3，4)．令70y x=-+=，得7x=．所以点B的坐标是(7，0)．（2）①如图2，当P 在OC 上运动时，0≤t ＜4．由8APR ACP POR CORA S S S S =--=△△△梯形，得1113+7)44(4)(7)8222t t t t -⨯-⨯⨯--⨯-=（．整理，得28120t t -+=．解得t ＝2或t ＝6（舍去）．如图3，当P 在CA 上运动时，△APR 的最大面积为6．因此，当t ＝2时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8．图2 图3 图4②我们先讨论P 在OC 上运动时的情形，0≤t ＜4．如图1，在△AOB 中，∠B ＝45°，∠AOB ＞45°，OB ＝7，42AB =OB ＞AB ．因此∠OAB ＞∠AOB ＞∠B ．如图4，点P 由O 向C 运动的过程中，OP ＝BR ＝RQ ，所以PQ //x 轴．因此∠AQP ＝45°保持不变，∠PAQ 越来越大，所以只存在∠APQ ＝∠AQP 的情况． 此时点A 在PQ 的垂直平分线上，OR ＝2CA ＝6．所以BR ＝1，t ＝1． 我们再来讨论P 在CA 上运动时的情形，4≤t ＜7．在△APQ 中， 3cos 5A ∠=为定值，7AP t =-，5520333AQ OA OQ OA OR t =-=-=-．如图5，当AP ＝AQ 时，解方程520733t t -=-，得418t =．如图6，当QP ＝QA 时，点Q 在PA 的垂直平分线上，AP ＝2(OR －OP )．解方程72[(7)(4)]t t t -=---，得5t =．如7，当PA ＝PQ 时，那么12cos AQA AP ∠=．因此2cos AQ AP A =⋅∠．解方程52032(7)335t t -=-⨯，得22643t =．综上所述，t＝1或418或5或22643时，△APQ是等腰三角形．图5 图6 图7考点伸展当P在CA上，QP＝QA时，也可以用2cosAP AQ A=⋅∠来求解．2016中考数学压轴题函数等腰三角形问题(二) 例3如图1，在直角坐标平面内有点A(6, 0)，B(0, 8)，C(－4, 0)，点M、N分别为线段AC和射线AB上的动点，点M以2个单位长度/秒的速度自C向A方向作匀速运动，点N以5个单位长度/秒的速度自A向B方向作匀速运动，MN交OB于点P．(1)求证：MN∶NP为定值；(2)若△BNP与△MNA相似，求CM的长；(3)若△BNP是等腰三角形，求CM的长．图1动感体验请打开几何画板文件名“10闸北25”，拖动点M在CA上运动，可以看到△BNP 与△MNA的形状随M的运动而改变．双击按钮“△BNP∽△MNA”，可以体验到，此刻两个三角形都是直角三角形．分别双击按钮“BP＝BN，N在AB上”、“NB＝NP”和“BP＝BN，N在AB的延长线上”，可以准确显示等腰三角形BNP的三种情况．思路点拨1．第（1）题求证MN∶NP的值要根据点N的位置分两种情况．这个结论为后面的计算提供了方便．2．第（2）题探求相似的两个三角形有一组邻补角，通过说理知道这两个三角形是直角三角形时才可能相似．3．第（3）题探求等腰三角形，要两级（两层）分类，先按照点N的位置分类，再按照顶角的顶点分类．注意当N在AB的延长线上时，钝角等腰三角形只有一种情况．4．探求等腰三角形BNP ，N 在AB 上时，∠B 是确定的，把夹∠B 的两边的长先表示出来，再分类计算．满分解答(1)如图2，图3，作NQ ⊥x 轴，垂足为Q ．设点M 、N 的运动时间为t 秒． 在Rt △ANQ 中，AN ＝5t ，NQ ＝4t ，AQ ＝3t ．在图2中，QO ＝6－3t ，MQ ＝10－5t ，所以MN ∶NP ＝MQ ∶QO ＝5∶3． 在图3中，QO ＝3t －6，MQ ＝5t －10，所以MN ∶NP ＝MQ ∶QO ＝5∶3． (2)因为△BNP 与△MNA 有一组邻补角，因此这两个三角形要么是一个锐角三角形和一个钝角三角形，要么是两个直角三角形．只有当这两个三角形都是直角三角形时才可能相似．如图4，△BNP ∽△MNA ，在Rt △AMN 中，35AN AM =，所以531025t t =-．解得3031t =．此时CM 6031=．图2 图3 图4(3)如图5，图6，图7中，OP MP QN MN =，即245OP t =．所以85OP t =． ①当N 在AB 上时，在△BNP 中，∠B 是确定的，885BP t =-，105BN t =-．(Ⅰ)如图5，当BP ＝BN 时，解方程881055t t -=-，得1017t =．此时CM 2017=．(Ⅱ)如图6，当NB ＝NP 时，45BE BN =．解方程()1848105255t t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得54t =．此时CM 52=． (Ⅲ)当PB ＝PN 时，1425BN BP =．解方程()1481058255t t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得t 的值为负数，因此不存在PB ＝PN 的情况．②如图7，当点N 在线段AB 的延长线上时，∠B 是钝角，只存在BP ＝BN 的可能，此时510BN t =-．解方程885105t t -=-，得3011t =．此时CM 6011=．图5 图6 图7考点伸展如图6，当NB ＝NP 时，△NMA 是等腰三角形，1425BN BP =，这样计算简便一些．例4如图1，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y．（1）求y关于x的函数关系式；（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若12ym，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？图1动感体验请打开几何画板文件名“10南通27”，拖动点E在BC上运动，观察y随x变化的函数图像，可以体验到，y是x的二次函数，抛物线的开口向下．对照图形和图像，可以看到，当E是BC的中点时，y取得最大值．双击按钮“m＝8”，拖动E到BC的中点，可以体验到，点F是AB的四等分点．拖动点A可以改变m的值，再拖动图像中标签为“y随x”的点到射线y＝x上，从图形中可以看到，此时△DCE≌△EBF．思路点拨1．证明△DCE∽△EBF，根据相似三角形的对应边成比例可以得到y关于x的函数关系式．2．第（2）题的本质是先代入，再配方求二次函数的最值．3．第（3）题头绪复杂，计算简单，分三段表达．一段是说理，如果△DEF为等腰三角形，那么得到x＝y；一段是计算，化简消去m，得到关于x的一元二次方程，解出x的值；第三段是把前两段结合，代入求出对应的m的值．满分解答(1)因为∠EDC 与∠FEB 都是∠DEC 的余角，所以∠EDC ＝∠FEB ．又因为∠C ＝∠B ＝90°，所以△DCE ∽△EBF ．因此DC EBCE BF=，即8m x x y -=．整理，得y 关于x 的函数关系为218y x x m m=-+． (2)如图2，当m ＝8时，2211(4)288y x x x =-+=--+．因此当x ＝4时，y 取得最大值为2．(3) 若12y m =，那么21218x x m m m=-+．整理，得28120x x -+=．解得x ＝2或x ＝6．要使△DEF 为等腰三角形，只存在ED ＝EF 的情况．因为△DCE ∽△EBF ，所以CE ＝BF ，即x ＝y ．将x ＝y ＝2代入12y m =，得m ＝6（如图3）；将x ＝y ＝6代入12y m=，得m ＝2（如图4）．图2 图3 图4考点伸展本题中蕴涵着一般性与特殊性的辩证关系，例如： 由第（1）题得到218y x x m m =-+221116(8)(4)x x x m m m=--=--+，那么不论m 为何值，当x ＝4时，y 都取得最大值．对应的几何意义是，不论AB 边为多长，当E 是BC 的中点时，BF 都取得最大值．第（2）题m ＝8是第（1）题一般性结论的一个特殊性．再如，不论m 为小于8的任何值，△DEF 都可以成为等腰三角形，这是因为方程218x x x m m=-+总有一个根8x m =-的．第（3）题是这个一般性结论的一个特殊性．2016中考数学压轴题函数相似三角形问题(三)例5已知：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝2，OC ＝3，过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连接DC ，过点D 作DE ⊥DC ，交OA 于点E ．（1）求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式；（2）将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边与线段OC 交于点G ．如果DF 与（1）中的抛物线交于另一点M ，点M 的横坐标为56，那么EF ＝2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （3）对于（2）中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ，使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在成立，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“09重庆26”，拖动点G 在OC 上运动，可以体验到，△DCG 与△DEF 保持全等，双击按钮“M 的横坐标为1.2”，可以看到，EF ＝2，GO ＝1．拖动点P 在AB 上运动的过程中，可以体验到，存在三个时刻，△PCG 可以成为等腰三角形．思路点拨1．用待定系数法求抛物线的解析式，这个解析式在第（2）、（3）题的计算中要用到．2．过点M 作MN ⊥AB ，根据对应线段成比例可以求FA 的长． 3．将∠EDC 绕点D 旋转的过程中，△DCG 与△DEF 保持全等．4．第（3）题反客为主，分三种情况讨论△PCG 为等腰三角形，根据点P 的位置确定点Q 的位置，再计算点Q 的坐标．满分解答（1）由于OD 平分∠AOC ，所以点D 的坐标为（2，2），因此BC ＝AD ＝1． 由于△BCD ≌△ADE ，所以BD ＝AE ＝1，因此点E 的坐标为（0，1）．设过E 、D 、C 三点的抛物线的解析式为c bx ax y ++=2，那么⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=.039,224,1c b a c b a c 解得65-=a ，613=b 1=c ．因此过E 、D 、C 三点的抛物线的解析式为1613652++-=x x y ．（2）把56=x 代入1613652++-=xx y ，求得512=y ．所以点M 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛512,56． 如图2，过点M 作MN ⊥AB ，垂足为N ，那么DADNFA MN =，即25622512-=-FA ．解得1=FA ． 因为∠EDC 绕点D 旋转的过程中，△DCG ≌△DEF ，所以CG ＝EF ＝2．因此GO ＝1，EF ＝2GO ．（3）在第（2）中，GC ＝2．设点Q 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛++-161365,2x x x ． ①如图3，当CP ＝CG ＝2时，点P 与点B （3，2）重合，△PCG 是等腰直角三角形．此时G Q Q x x y -=，因此11613652-=++-x x x 。
2016年中考数学压轴题及解析分类汇编
中考数学压轴题及解析分类汇编2016年中考数学压轴题及解析分类汇编2016中考数学压轴：相似三角形问题2016中考数学压轴题函数相似三角形问题(一)2016中考数学压轴题函数相似三角形问题(二)2016中考数学压轴题函数相似三角形问题(三)2016中考数学压轴：等腰三角形问题2016中考数学压轴题函数等腰三角形问题(一)2016中考数学压轴题函数等腰三角形问题(二)2016中考数学压轴题函数等腰三角形问题(三)2016中考数学压轴：直角三角形问题2016中考数学压轴题函数直角三角形问题(一)2016中考数学压轴题函数直角三角形问题(二)2016中考数学压轴题函数直角三角形问题(三)2016中考数学压轴：平行四边形问题2016中考数学压轴题函数平行四边形问题(一)2016中考数学压轴题函数平行四边形问题(二) 2016中考数学压轴题函数平行四边形问题(三) 2016中考数学压轴：梯形问题2016中考数学压轴题函数梯形问题(一)2016中考数学压轴题函数梯形问题(二)2016中考数学压轴题函数梯形问题(三)2016中考数学压轴：面积问题2016中考数学压轴题函数面积问题(一)2016中考数学压轴题函数面积问题(二)2016中考数学压轴题函数面积问题(三)2016中考数学压轴题:函数相似三角形问题(一)例1、直线113y x=-+分别交x轴、y轴于A、B两点，△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°后得到△COD，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A、C、D三点．(1) 写出点A、B、C、D的坐标；(2) 求经过A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标；(3) 在直线BG上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与△COD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．。
细数2016十省中考压轴题(含解析)
细数2016十省中考压轴题（含解析）
2016中考已经结束，对于那些中考数学压轴题是怎样的呢？今天小编为大家整理了有关2016十省中考压轴题的相关内容，以供同学们阅读。
1、2016年四川省巴中市中考数学第31题2、2016年浙江省丽水市中考数学第24题3、2016年福建省福州市中考数学第27题4、2016年广东省广州市中考数学第27题5、2016年山东省滨州市中考数学第24题6、2016年山东省德州市中考数学第24题7、2016年四川省南充市2016年中考数学第25题8、2016年湖北省黄石市2016年中考数学第25题9、2016年浙江省衢州市2016年中考数学第24题10、2016年四川省内江市2016年中考数学第28题今天有关2016十省中考压轴题的内容就介绍到这里了。
2016年中考数学压轴题精选及详解
2016年中考数学压轴题精选解析Word 版中考压轴题分类专题三——抛物线中的等腰三角形基本题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若ABP ∆为等腰三角形，求点P 坐标。
分两大类进行讨论： （1）AB 为底时（即PA PB =）：点P 在AB 的垂直平分线上。
利用中点公式求出AB 的中点M ；利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出AB 的垂直平分线的斜率k ；利用中点M 与斜率k 求出AB 的垂直平分线的解析式；将AB 的垂直平分线的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。
（2）AB 为腰时，分两类讨论：①以A ∠为顶角时（即AP AB =）：点P 在以A 为圆心以AB 为半径的圆上。
②以B ∠为顶角时（即BP BA =）：点P 在以B 为圆心以AB 为半径的圆上。
利用圆的一般方程列出A (或B )的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。
中考压轴题分类专题四——抛物线中的直角三角形基本题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若ABP ∆为直角三角形，求点P 坐标。
分两大类进行讨论：（1）AB 为斜边时（即PA PB ⊥）：点P 在以AB 为直径的圆周上。
利用中点公式求出AB 的中点M ；利用圆的一般方程列出M 的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。
（2）AB 为直角边时，分两类讨论： ①以A ∠为直角时（即AP AB ⊥）： ②以B ∠为直角时（即BP BA ⊥）：利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出PA （或PB ）的斜率k ；进而求出PA （或PB ）的解析式；将PA （或PB ）的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P坐标。
2016年中考数学选择压轴题专题练习及解析
2016年中考数学《选择压轴题》专题练习1. （2015年广东3分）如图，已知正ΔABC 的边长为2，E ，F ，G 分别是AB ，BC ，CA 上的点，且AE =BF =CG ，设ΔEFG 的面积为y ，AE 的长为x ，则y 关于x 的函数图象大致是【 】A. B.C. D.2. （2015年广东深圳3分）如图，已知正方形ABCD 的边长为12，BE =EC ，将正方形边CD 沿DE 折叠到DF ，延长EF 交AB 于G ，连接DG ，现在有如下4个结论：①ADG FDG ∆∆≌；②2GB AG =；③GDE BEF ∆∆∽；④725BEF S ∆=.在以上4个结论中，正确的有【 】 A. 1 B. 2 C.3D. 43. （2015年广东汕尾4分）对于二次函数2 2y x x =-+有下列四个结论：①它的对称轴是直线1x =；②设22111222 2 2y x x y x x =-+=-+，，则当21>x x 时，有21>y y ；③它的图象与x 轴的两个交点是（0，0）和（2，0）；④当0<<2x 时，>0y .其中正确结论的个数为【 】 A. 1 B.2 C. 3 D. 44. （2015年广东广州3分）已知2是关于x 的方程2230x mx m -+=的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长，则三角形ABC 的周长为【 】A. 10B. 14C. 10或14D. 8或10 5. （2015年广东佛山3分）下列给出5个命题：①对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；②六边形的内角和等于720°； ③相等的圆心角所对的弧相等； ④顺次连结菱形各边中点所得的四边形是矩形；⑤三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等.其中正确命题的个数是【 】A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个 6. （2015年广东梅州3分）对于二次函数2 2y x x =-+有下列四个结论：①它的对称轴是直线1x =；②设22111222 2 2y x x y x x =-+=-+，，则当21>x x 时，有21>y y ；③它的图象与x 轴的两个交点是（0，0）和（2，0）；④当0<<2x 时，>0y .其中正确结论的个数为【 】 A. 1 B.2 C. 3 D. 47. （2015年浙江衢州）如图，已知等腰,ABC AB BC ∆= ，以AB 为直径的圆交AC 于点D ，过点D 的O e 的切线交BC 于点E ，若5,4CD CE == ，则O e 的半径是【 】 A. 3 B. 4 C.256 D. 2588. （2015年浙江绍兴4分）挑游戏棒是一种好玩的游戏，游戏规则：当一根棒条没有被其它棒条压着时，就可以把它往上拿走. 如图中，按照这一规则，第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，…，则第6次应拿走【 】 A. ②号棒 B. ⑦号棒 C. ⑧号棒 D. ⑩号棒 9. （2015年浙江台州4分）（2015年浙江义乌3分）某班有20位同学参加围棋、象棋比赛，甲说：“只参加一项的人数大于14人” ；乙说：“两项都参加的人数小于5人” .对于甲、乙两人的说法，有下列四个命题，其中真命题的是【 】A.若甲对，则乙对B.若乙对，则甲对C.若乙错，则甲错D.若甲粗，则乙对10. （2015年浙江温州4分）如图，C 是以AB 为直径的半圆O 上一点，连结AC ，BC ，分别以AC ，BC 为边向外作正方形ACDE ，BCFG ，DE ，FG ，»»AC BC，的中点分别是M ，N ，P ，Q. 若MP+NQ=14，AC+BC=18，则AB 的长是【 】 A.29 B.790C. 13D. 16 11. （2015年浙江舟山3分）（2015年浙江嘉兴4分） 如图，抛物线221y x x m =-+++交x 轴于点A （a ，0）和B （b ， 0），交y 轴于点C ，抛物线的顶点为D .下列四个命题：①当>0x 时，>0y ；②若1a =-，则4b =；③抛物线上有两点P （1x ，1y ）和Q （2x ，2y ），若12<1<x x ，且12>2x x +，则12>y y ；④点C 关于抛物线对称轴的对称点为E ，点G ，F 分别在x 轴和y 轴上，当2m =时，四边形EDFG周长的最小值为. 其中真命题的序号是【 】A. ①B. ②C. ③D. ④ 12.（2015年浙江杭州3分）设二次函数11212())0(()y a x x x x a x x =--≠≠，的图象与一次函数()20y dx e d =+≠的图象交于点1(0)x ，，若函数21y y y =+的图象与x 轴仅有一个交点，则【 】A. 12()a x x d -=；B. 21()a x x d -=； C. 212()a x x d -=；D. ()212a x x d +=（第11题） （第13题） （第14题） 13.（2015年浙江湖州3分）如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，点A 是函数1y x=(x <0)图象上一点，AO 的延长线交函数2k y x=（x >0，k 是不等于0的常数)的图象于点C ，点A 关于y 轴的对称点为A ′，点C 关于x 轴的对称点为C ′，连接CC ′，交x 轴于点B ，连结AB ，AA ′，A ′C ′，若ΔABC 的面积等于6，则由线段AC ，CC ′，C ′A ′，A ′A 所围成的图形的面积等于【 】【来A.8B.10C.D.14.（2015年浙江金华3分）如图，正方形ABCD 和正三角形AEF 都内接于⊙O ，EF 与BC ，CD 分别相交于点G ，H ，则EFGH的值是【 】【 A.26B. 2C. 3D. 215.（2015年浙江丽水3分）如图，在方格纸中，线段a ，b ，c ，d 的端点在格点上，通过平移其中两条线段，使得和第三条线段首尾相接组成三角形，则能组成三角形的不同平移方法有【 】A. 3种B. 6种C. 8种D. 12种（第15题） （第16题）16.（2015年浙江宁波4分） 如图，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形. 若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形标号为【 】A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③ 17. （2015年安徽4分）如图，一次函数y 1＝x 与二次函数y 2＝ax 2＋bx ＋c 图象相交于P 、Q 两点，则函数y ＝ax 2＋(b －1)x ＋c 的图象可能是【 】A．B ．C ．D ．18. （2015年北京3分）一个寻宝游戏的寻宝通道如图1所示，通道由在同一平面内的AB ，BC ，CA ，OA ，OB ，OC 组成. 为记录寻宝者的进行路线，在BC 的中点M 处放置了一台定位仪器，设寻宝者行进的时间为x ，寻宝者与定位仪器之间的距离为y ，若寻宝者匀速行进，且表示y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示，则寻宝者的行进路线可能为【 】A 、A→O→B B 、B→A→CB 、C 、B→O→CD 、C→B→O19. （2015年上海4分）如图，已知在⊙O 中，AB 是弦，半径OC ⊥AB ，垂足为点D ，要使四边形OACB 为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是【 】A 、AD BD =B 、OD CD =C 、CAD CBD ∠=∠ D 、OCA OCB ∠=∠ 20. （2015年重庆A4分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 在第一象限内，边BC 与x 轴平行，A ，B 两点的纵坐标分别为3，1，反比例函数3y x=的图像经过A ，B 两点，则菱形ABCD 的面积为【 】A. 2 B. 4C.D.（第19题） （第20题） （第21题）21. （2015年重庆B4分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC 的顶点O 在坐标原点，边BO 在x 轴的负半轴上，∠BOC =60°，顶点C 的坐标为(m,，反比例函数ky x=的图像与菱形对角线AO 交于D 点，连接BD ，当BD ⊥x 轴时，k 的值是【 】A.B. -C.D. -22. （2015年江苏苏州3分）如图，在一笔直的海岸线l 上有A 、B 两个观测站，AB =2km ，从A 测得船C 在北偏东45°的方向，从B 测得船C 在北偏东22.5°的方向，则船C 离海岸线l 的距离（即CD 的长）为【 】A ．4km B．(2+km C． D．(4km（第22题） （第23题）23. （2015年江苏无锡3分）如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90º，AC ＝3，BC ＝4，将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处；再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B ′处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则线段B ′F 的长为【 】A.35 B. 45 C. 23D. 24. （2015年福建福州3分）已知一个函数图像经过()()1422-- ，，，两点，在自变量x 的某个取值范围内，都有函数值y 随x 的增大而减小，则符合上述条件的函数可能是【 】A. 正比例函数B. 一次函数C. 反比例函数D. 二次函数25. （2015年福建泉州3分）在同一平面直角坐标系中，函数2y ax bx =+与y bx a =+的图象可能是【 】A.B.C.D.26. （2015年福建厦门4分）如图，在ΔABC 中，AB ＝AC ，D 是边BC 的中点，一个圆过点A ，交边AB 于点E ，且与BC 相切于点D ，则该圆的圆心是【 】A ．线段AE 的中垂线与线段AC 的中垂线的交点B ．线段AB 的中垂线与线段AC 的中垂线的交点 C ．线段AE 的中垂线与线段BC 的中垂线的交点D ．线段AB 的中垂线与线段BC 的中垂线的交点（第26题） （第28题）27. （2015年内蒙古呼和浩特3分）函数22x xy x+=的图象为【 】A.B.C.D.28. （2015年江苏徐州3分）若函数y kx b =-的图像如图所示，则关于x 的不等式()3>0kx b --的解集为【 】A. <2xB. >2xC. <5xD. >5x 29.（2015年福建漳州4分）在数学活动课上，同学们利用如图的程序进行计算，发现无论x 取任何正整数，结果都会进入循环，下面选项一定不是该循环的是【 】A. 4，2，1B. 2，1，4C. 1，4，2D. 2，4，1 30. （2015年湖南株洲3分）有两个一元二次方程：M ：20ax bx c ++=N ：20cx bx a ++=，其中0a c +=，以下列四个结论中，错误的是【 】A 、如果方程M 有两个不相等的实数根，那么方程N 也有两个不相等的实数根；B 、如果方程M 有两根符号相同，那么方程N 的两根符号也相同；C 、如果5是方程M 的一个根，那么15是方程N 的一个根； D 、如果方程M 和方程N 有一个相同的根，那么这个根必是1x =.31. （2015年江西南昌3分）如图，在ΔABC 中，AB ＝BC ＝4，AO ＝BO ，P 是射线CO 上的一个动点，∠AOC ＝60°，则当ΔP AB 为直角三角形时，AP 的长为 ▲ ．（第31题） （第32题）32. （2015年江西3分）已知抛物线()20y ax bx c a ++>=过()()2023- ，，，两点，那么抛物线的对称轴【 】A. 只能是x ＝－1B. 可能是y 轴C. 在y 轴右侧且在直线x ＝2的左侧D. 在y 轴左侧 33. （2015年四川成都3分）如图，正六边形ABCDEF 内接于圆O ，半径为4，则这个正六边形的边心距OM 和弧BC 的长分别为【 】A.2、3πB. 32、π C. 3、23π D. 32、43π34. （2015年四川宜宾3分）在平面直角坐标系中，任意两点()()1122,,，A x y B x y 规定运算：①()1212,⊕=++A B x x y y ；②1212=⊗+A B x x y y ；③当x 1= x 2且y 1= y 2时，A =B.有下列四个命题： （1）若A (1，2)，B (2，–1)，则(),31⊕= A B ，0=⊗A B ；（2）若⊕=⊕A B B C ，则A =C ； （3）若=⊗⊗A B B C ，则A =C ； （4）对任意点A 、B 、C ，均有()()⊕⊕=⊕⊕A B C A B C 成立.其中正确命题的个数为【 】A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 35. （2015年四川资阳3分）如图，在ΔABC 中，∠ACB =90º，AC =BC =1，E 、F 为线段AB 上两动点，且∠ECF =45°，过点E 、F 分别作BC 、AC 的垂线相交于点M ，垂足分别为H 、G ．现有以下结论：①AB =②当点E 与点B 重合时，12MH =；③AF BE EF +=；④MG•MH =12，其中正确结论为【 】A. ①②③B. ①③④C. ①②④D. ①②③④ 36. （2015年四川泸州3分）在平面直角坐标系中，点A ，B ，动点C 在x 轴上，若以A 、B 、C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C 的个数为【 】A.2B.3C.4D.537. （2015年广东茂名3分）张三和李四两人加工同一种零件，每小时张三比李四多加工5个零件，张三加工120个这种零件与李四加工100个这种零件所用时间相等，求张三和李四每小时各加工多少个这种零件？若设张三每小时加工这种零件x 个，则下面列出的方程正确的是【 】A. 1201005x x =- B. 1201005x x =-C.1201005x x=+ D. 1201005x x =+（第35题） （第38题）38. （2015年广东珠海3分）如图，在⊙O 中，直径CD 垂直于弦AB ，若∠C=25°，则∠BOD 的度数是（ ） A. 25° B. 30° C. 40° D. 50°39. （2015年贵州铜仁4分）如图，在平面直角坐标系系中，直线12y k x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，与反比例函数2k y x=在第一象限内的图象交于点B ，连接BO ．若113OBCS tan BOC =∠=V ，，则k 2的值是【 】A. 3-B. 1C. 2D. 340. （2015年河南3分）如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O 1，O 2，O 3，… 组成一条平滑的曲线，点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒2π个单位长度，则第2015秒时，点P 的坐标是【 】A. （2014，0）B. （2015，-1）C. （2015，1）D. （2016，0）41. （2015年湖北黄冈3分）货车和小汽车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，小汽车到达乙地后，立即以相同的速度沿原路返回甲地，已知甲、乙两地相距180千米，货车的速度为60千米/小时，小汽车的速度为90千米/小时，则下图中能分别反映出货车、小汽车离乙地的距离y （千米）与各自行驶时间t （小时）之间的函数图象是【 】A. B. C. D. 42. （2015年湖北黄石3分）如图是自行车骑行训练场地的一部分，半圆O 的直径AB =100，在半圆弧上有一运动员C 从B 点沿半圆周匀速运动到M （最高点），此时由于自行车故障原地停留了一段时间，修理好继续以相同的速度运动到A 点停止．设运动时间为t ，点B 到直线OC 的距离为d ，则下列图象能大致刻画d 与t 之间的关系是【 】A.B.C.D.43. （2015年江苏连云港3分）如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y （单位：件）与时间t （单位；天）的函数关系，图②是一件产品的销售利润z （单位：元）与时间t （单位：天）的函数关系，已知日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润，下列结论错误的是【 】A. 第24天的销售量为200件；B. 第10天销售一件产品的利润是15元；C. 第12天与第30天这两天的日销售利润相等；D. 第30天的日销售利润是750元44. （2015年江苏南京2分）如图，在矩形ABCD 中，AB =4，AD =5，AD 、AB 、BC 分别与⊙O 相切于E 、F 、G 三点，过点D 作⊙O 的切线交BC 于点M ，则DM 的长为【 】 A.133 B. 92C.D.（第44题） （第45题）45. （2015年江苏泰州3分）如图，ΔABC 中，AB =AC ，D 是BC 的中点，AC 的垂直平分线分别交 AC 、AD 、AB 于点E 、O 、F ，则图中全等的三角形的对数是【 】 A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 46. （2015年陕西3分）下列关于二次函数()2211y ax ax a =-+＞的图象与x 轴交点的判断，正确的是【 】A. 没有交点B. 只有一个交点，且它位于y 轴右侧C. 有两个交点，且它们均位于y 轴左侧D. 有两个交点，且它们均位于y 轴右侧 47. （梅州市2015年3分）对于二次函数x x y 22+-=.有下列四个结论：①它的对称轴是直线1=x；②设12112x x y +-=，22222x x y +-=，则当12x x >时，有12y y >；③它的图象与x 轴的两个交点是（0，0）和（2，0）；④当20<<x 时，0>y .其中正确的结论的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 48. （3分）（2015•济南）如图，抛物线y=﹣2x 2+8x ﹣6与x 轴交于点A 、B ，把抛物线在x 轴及其上方的部分记作C 1，将C 1向右平移得C 2，C 2与x 轴交于点B ，D ．若直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（）A．﹣2＜m＜B．﹣3＜m＜﹣C．﹣3＜m＜﹣2 D．﹣3＜m＜﹣49.（2015•菏泽3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CB D．若点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为（）A．（﹣1，）B．（﹣2，）C．（﹣，1）D．（﹣，2）50.（2015年四川省自贡市3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的小值是（）A、2102-B、6 C、2132-D、4参考答案1.【答案】D.【考点】由实际问题列函数关系式（几何问题）；二次函数的性质和图象.【分析】根据题意，有AE=BF=CG，且正三角形ABC的边长为2，∴2===-BE CF AG x. ∴△AEG、△BEF、△CFG三个三角形全等．在△AEG 中，2==-，A E x A G x ，∴()1224=⋅⋅⋅=-V AEGS AE AG sinA x x .∴()2332442=-=-=-+V V ABC AEGy S S x x x x ．∴其图象为开口向上的二次函数.故选D. 2. 【答案】C.【考点】折叠问题；正方形的性质；全等、相似三角形的判定和性质；勾股定理.【分析】由折叠和正方形的性质可知，0,90D F D C D A D F C C ==∠=∠=， ∴090DFG A ∠=∠=.又∵DG DG =，∴()ADG FDG HL ∆∆≌. 故结论①正确.∵正方形ABCD的边长为12，BE =EC ，∴6BE EC EF ===.设AG FG x ==，则6,12E G x B G x =+=-，在Rt BEG ∆中，由勾股定理，得222EG BE BG =+，即()()222662x x +=+-，解得，4x =.∴4,8AG GF BG === .∴2GB AG =. 故结论②正确.∵6BE EF ==，∴BEF ∆是等腰三角形.易知GDE ∆不是等腰三角形，∴GDE ∆和BEF ∆不相似. 故结论③错误. ∵11682422BEG S BE BG ∆=⋅⋅=⋅⋅=，∴67224105BEFBEG EF S S EG ∆∆=⋅=⋅=.故结论④正确. 综上所述，4个结论中，正确的有①②④三个.故选C. 3. 【答案】C.【考点】二次函数的图象和性质.【分析】∵()22211y x x x =-+=--+，∴二次函数图象的对称轴是直线1x =.故结论①正确.∴当1x ≥时，y 随x 的增大而减小，此时，当21>x x 时，有21<y y .故结论②错误.∵2 20y x x =-+=的解为120,2x x == ，∴二次函数x 轴的两个交点是（0，0）和（2，0） .故结论③正确.∵二次函数图象与x 轴的两个交点是（0，0）和（2，0），且有最大值1，∴当0<<2x 时，>0y .故结论④正确. 综上所述，正确结论有①③④三个.故选C. 4. 【答案】B.【考点】一元二次方程的解和解一元二次方程；确定三角形的条件.【分析】∵2是关于x 的方程2230x mx m -+=的一个根，∴4430m m -+=，解得4m =. ∴方程为28120x x -+=，解得122,6x x == .∵这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长， ∴根据三角形三边关系，只能是6，6，2.∴三角形ABC 的周长为14.故选B.5.【答案】A.【考点】命题和定理；正方形的判定；多边形内角和定理；圆周角定理；三角形中位线定理；菱形的性质；矩形的判定；三角形的内心性质.【分析】根据相关知识对各选项进行分析，判作出断： ①对角线互相垂直且相等的平行四边形才是正方形，命题不正确.②根据多边形内角和公式，得六边形的内角和等于()62180720-⨯︒=︒，命题正确.③同圆或等圆满中，相等的圆心角所对的弧才相等，命题不正确.④根据三角形中位线定理、菱形的性质和矩形的判定可知：顺次连结菱形各边中点所得的四边形是矩形，命题正确. ⑤三角形的内心到三角形三边的距离相等，命题不正确.其中正确命题的个数是2个.故选A.6. 【答案】C.【考点】二次函数的图象和性质.【分析】∵()22211y x x x =-+=--+，∴二次函数图象的对称轴是直线1x =.故结论①正确. ∴当1x ≥时，y 随x 的增大而减小，此时，当21>x x 时，有21<y y .故结论②错误.∵220y x x =-+=的解为120,2x x == ，∴二次函数图象与x 轴的两个交点是（0，0）和（2，0） .故结论③正确.∵二次函数图象与x 轴的两个交点是（0，0）和（2，0），且有最大值1，∴当0<<2x 时，>0y .故结论④正确.综上所述，正确结论有①③④三个.故选C. 7. 【答案】D ．【考点】等腰三角形的性质；切线的性质；平行的判定和性质；矩形的判定和性质；勾股定理；方程思想的应用． 【分析】如答图，连接OD ，过点B 作BF OD ⊥于点F ， ∵AB BC =，∴A C ∠=∠.∵AO DO =，∴A ADO ∠=∠.∴C ADO ∠=∠.∴//OD BC .∵DE 是O e 的切线，∴DE OD ⊥.∴DE BC ⊥. ∴90CED ∠=︒，且四边形DEBF 是矩形. ∵5,4CD CE == ，∴由勾股定理，得3DE =. 设O e 的半径是x ， 则(),3,244OB x BF OF x BE x x x ===-=--=- .∴由勾股定理，得222OB OF BF =+，即()22234x x =+-，解得258x =.∴O e 的半径是258.故选D ． 8. 【答案】D.【考点】探索规律题（图形变化类）.【分析】当一根棒条没有被其它棒条压着时，就可以把它往上拿走. 如图中，按照这一规则，第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，第3次应拿走⑥号棒，第4次应拿走②号棒，第5次应拿走⑧号棒，第6次应拿走⑩号棒，故选D.9. 【答案】B.【考点】逻辑判断推理题型问题；真假命题的判定. 【分析】针对逻辑判断问题逐一分析作出判断：A.若甲对，即只参加一项的人数大于14人，等价于等于15或16或17或18或19人，则两项都参加的人数为5或4或3或2或1人，故乙不对；B.若乙对，即两项都参加的人数小于5人，等价于等于4或3或2或1人，则只参加一项的人数为等于16或17或18或19人，故甲对；C.若乙错，即两项都参加的人数大于或等于5人，则只参加一项的人数小于或等于15人，故甲可能对可能错；D.若甲粗，即只参加一项的人数\小于或等于14人，则两项都参加的人数大于或等于6人，故乙错.综上所述，四个命题中，其中真命题是“若乙对，则甲对”. 故选B.10. 【答案】C.【考点】正方形的性质；垂径定理；梯形的中位线定理；方程思想、转换思想和整体思想的应用.【分析】如答图，连接OP 、OQ ，∵DE ，FG ，»»AC BC，的中点分别是M ，N ，P ，Q ， ∴点O 、P 、M 三点共线，点O 、Q 、N 三点共线. ∵ACDE ，BCFG 是正方形， ∴AE=CD=AC ，BG=CF=BC.设AB=2r ，则,OM MP r ON NQ r =+=+ . ∵点O 、M 分别是AB 、ED 的中点， ∴OM是梯形ABDE的中位线.∴()()()1112222OM AE BD AE CD BC AC BC =+=++=+，即()122M P r A CB C +=+.同理，得()122NQ r BC AC +=+.两式相加，得()322MP NQ r AC BC ++=+.∵MP+NQ=14，AC+BC=18，∴3142182132r r +=⨯⇒=.故选C. 11. 【答案】C.【考点】真假命题的判断；二次函数的图象和性质；曲线上点的坐标与方程的关系；轴对称的应用（最短线路问题）；勾股定理.【分析】根据二次函数的图象和性质对各结论进行分析作出判断：①从图象可知当>>0x b 时，<0y ，故命题“当>0x 时，>0y ”不是真命题；②∵抛物线221y x x m =-+++的对称轴为212x =-=-，点A 和B 关于轴对称，∴若1a =-，则3b =，故命题“若1a =-，则4b =”不是真命题；③∵故抛物线上两点P （1x ，1y ）和Q （2x ，2y ）有12<1<x x ，且12>2x x +，∴211>1x x --，又∵抛物线221y x x m =-+++的对称轴为1x =，∴12>y y ，故命题“抛物线上有两点P （1x ，1y ）和Q （2x ，2y ），若12<1<x x ，且12>2x x +，则12>y y ” 是真命题；④如答图，作点E 关于x 轴的对称点M ，作点D 关于y 轴的对称点N ，连接MN ，ME 和ND 的延长线交于点P ，则MN 与x 轴和y 轴的交点G ，F 即为使四边形EDFG 周长最小的点.2∵2m =， ∴223y x x =-++的顶点D 的坐标为（1，4），点C 的坐标为（0，3）.∵点C 关于抛物线对称轴的对称点为E ，∴点E 的坐标为（2，3）.∴点M 的坐标为()2,3- ，点N 的坐标为()1,4- ，点P 的坐标为（2，4）.∴DE MN ==∴当2m =时，四边形EDFG 周长的最小值为DE MN +=故命题“点C 关于抛物线对称轴的对称点为E ，点G ，F 分别在x 轴和y 轴上，当2m =时，四边形EDFG 周长的最小值为 不是真命题. 综上所述，真命题的序号是③.故选C.12. 【答案】B.【考点】一次函数与二次函数综合问题；曲线上点的坐标与方程的关系.【分析】∵一次函数()20y dx e d =+≠的图象经过点1(0)x ，，∴110dx e e dx =+⇒=-.∴()211y dx dx d x x =-=-.∴()()[]2112112()()()y y y a x x x x d x x x x a x x d =+=--+-=--+.又∵二次函数112()()(0)y ax x x x a x x =--≠≠，的图象与一次函数()20y dx e d =+≠的图象交于点1(0)x ，，函数21y y y =+的图象与x 轴仅有一个交点，∴函数21y y y =+是二次函数，且它的顶点在x 轴上，即()2211y y y a x x =+=-.∴()[]()()212121()()x x a x x d a x x a x x d a x x --+=-⇒-+=-.. 令1x x =，得()1211()a x x d a x x -+=-，即1221()0()0a xx d ax x d -+=⇒--=.故选B. 13. 【答案】B.【考点】反比例函数综合题；曲线上点的坐标与方程的关系；轴对称的性质；特殊元素法和转换思想的应用. 【分析】如答图，连接A ′C ， ∵点A 是函数1y x= (x <0)图象上一点，∴不妨取点A ()1,1-- . ∴直线AB ：y x =.∵点C 在直线AB 上，∴设点C (),x x .∵△ABC 的面积等于6，∴()1162x x ⋅⋅+=，解得123,4x x ==- （舍去）.∴点C ()3,3 .∵点A 关于y 轴的对称点为A ′，点C 关于x 轴的对称点为C ′，∴点A ′()1,1- ，点C ′()3,3- .∴由线段AC ，CC ′，C ′A ′，A ′A 所围成的图形的面积等于'''1124621022AA C CA C S S ∆∆+=⨯⨯+⨯⨯=.故选B.14. 【答案】C.【考点】正方形和等边三角形的性质；圆周角定理；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；等腰直角三角形的判定和性质，特殊元素法的应用.【分析】如答图，连接AC,EC ，AC 与EF 交于点M .则根据对称性质，AC 经过圆心O ，∴AC 垂直 平分EF ，01EAC FAC EAF 302∠=∠=∠=.不妨设正方形ABCD 的边长为2，则A C =∵AC 是⊙O 的直径，∴0AEC 90∠=. 在Rt ACE ∆中，A E c o=⋅=1CE AC sin EAC 2=⋅∠=在Rt MCE ∆中，∵0FEC FAC 30∠=∠=，∴1CM CE sin EAC 2=⋅∠=易知G C H ∆是等腰直角三角形，∴GF 2CM ==又∵A EF ∆是等边三角形，∴EF AE ==.∴EF GH ==故选C. 15. 【答案】B ．【考点】网格问题；勾股定理；三角形构成条件；无理数的大小比较；平移的性质；分类思想的应用. 【分析】由图示，根据勾股定理可得：a b c d =∵<,<,,<<a b c a d c b d c b a d b d +++=-+ ，∴根据三角形构成条件，只有,,a b d 三条线段首尾相接能组成三角形.如答图所示，通过平移,,a b d 其中两条线段，使得和第三条线段首尾相接组成三角形，能组成三角形的不同平移方法有6种.故选B ．16. 【答案】A.【考点】多元方程组的应用（几何问题）.【分析】如答图，设原住房平面图长方形的周长为2l ，①的长和宽分别为,a b ，②③的边长分别为,c d .根据题意，得2a c d c b d a b c l =+⎧⎪=+⎨⎪++=⎩ ①②③，-①②，得2a c c b a b c -=-⇒+=，将2a b c +=代入③，得1422c l c l =⇒=（定值）， 将122c l =代入2a b c +=，得()122a b l a b l+=⇒+=（定值），而由已列方程组得不到d .∴分割后不用测量就能知道周长的图形标号为①②.故选A. 17. 【答案】A ．【考点】一次函数和二次函数综合问题；曲线上点的坐标与方程的关系；数形结合思想的应用． 【分析】∵y ＝ax 2＋(b －1)x ＋c ＝ax 2＋bx ＋c －x ，∴函数y ＝ax 2＋(b －1)x ＋c 的图象上点的纵坐标是二次函数y 2＝ax 2＋bx ＋c 图象上点的纵坐标与一次函数y 1＝x 图象上点的纵坐标之差．∵一次函数y 1＝x 与二次函数y 2＝ax 2＋bx ＋c 图象相交于P 、Q 两点，而P 、Q 两点都在第一象限，∴函数y ＝ax 2＋(b －1)x ＋c 的图象与x 轴相交于两点，且这两点都在x 轴的正方向．故选A ． 18. 【答案】C【考点】单动点问题；函数图象的识别；垂线段最短的性质；排他法的应用.【分析】从图2可知，寻宝者与定位仪器之间的距离开始和结束时是相同的，因此，可排除A 、D 选项；从图2可知，寻宝者与定位仪器之间的距离的最近点，相对于开始和结束时位置离中点更近，因此，如答图，过点M分别作,,,OB OC AB AC 的垂线，垂足分别为点,,,E F P Q ，此时，根据垂线段最短的性质，点,,,E F P Q 是寻宝者与定位仪器之间的距离的最近点. 显然，,OE OF BE CF AP =<==，即点,E F离中点的距离小于开始和结束时的距离；点,P Q离中点的距离大于开始和结束时的距离.∴寻宝者的行进路线可能为B→O→C. 故选C.19.【答案】B.【考点】菱形的判定；垂径定理；平行四边形的判定.【分析】要判定四边形OACB为菱形，根据菱形的判定可知，一组邻边相等的平行四边形是菱形，由于OA OB=，且半径OC⊥AB，根据垂径定理有AD BD=，从而根据对角线互相平分的四边形是平行四边形的判定，只要另一条对角线也平分即可，从而只要添加条件OD CD=即可. 因此，这个条件可以是OD CD=.故选B.20.【答案】D．【考点】反比例函数综合题；曲线上点的坐标与方程的关系；菱形的性质；勾股定理.【分析】∵A，B两点的纵坐标分别为3，1，反比例函数3 yx =的图像经过A，B两点，∴A（1，3），B（3，1）.∴AB=∵四边形ABCD是菱形，∴AD AB==AD 与BC的距离为2.∴菱形ABCD的面积为2=故选D．21.【答案】D．【考点】反比例函数综合题；曲线上点的坐标与方程的关系；菱形的性质；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值.【分析】如答图，AC交y轴于点H，则CH⊥y轴.∵∠BOC=60°，∴∠COH=30°，∵点C的坐标为(m,)，∴,CH m OH==∴6cosOHOCCOH===∠.∵四边形ABOC是菱形，∴6OB OC==，∠BOD=30°.∵BD⊥x轴，∴6BD OB tan BOD=⋅∠==∴点D的坐标为(6,-.∵点D在反比例函数kyx=的图像上，∴()6-⋅=-故选D．22.【答案】B．【考点】解直角三角形的应用（方向角问题）；矩形的判定和性质；等腰直角三角形的判定和性质.【分析】如答图，过点B作BE⊥AC交AC于点E，过点E作EF⊥CD交CD于点F，则根据题意，四边形BDEF是矩形，△ABE、△EFC和△ADC都是等腰直角三角形，∵AB=2，∴DF=BF= AB=2，AE=∵∠EBC=∠BCE=22.5°，∴CE=BE=2.∴CF==∴2CD DF CF=+=km）.∴船C离海岸线l的距离为(2+km.故选B．23.【答案】B．【考点】翻折变换（折叠问题）；折叠的性质；等腰直角三角形的判定和性质；勾股定理．【分析】根据折叠的性质可知34CD AC B C BC ACE DCE BCF B CF CE A=='==∠=∠∠=∠'⊥，，，，，∴431B D DCE B CF ACE BCF '=-=∠+∠'=∠+∠，.∵90ACB ∠=︒，∴45ECF ∠=︒. ∴ECF V 是等腰直角三角形. ∴45EF CE EFC =∠=︒，.∴135BFC B FC ∠=∠'=︒. ∴90B FD ∠'=︒. ∵1122ABC S AC BC AB CE =⋅⋅=⋅⋅V ，∴AC BC AB CE ⋅=⋅.在Rt ABC V 中，根据勾股定理，得A B=5，∴123455CE CE ⋅=⋅⇒=.∴125EF CE ==. 在Rt AECV 中，根据勾股定理，得95AE ==，∴95ED AE ==.∴35DF EF ED =-=.在Rt B FD 'V 中，根据勾股定理，得45B F '==.故选B ．24. 【答案】D.【考点】正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数的图象和性质.【分析】∵函数图像经过()()1422-- ，，，两点，∴该函数不可能是正比例函数.∵若一次函数的图像经过()()1422-- ，，，两点，则函数值y 随x 的增大而增大， ∴该函数不可能是一次函数.∵若反比例函数的图像经过()()1422-- ，，，两点，则函<0和>0x 两个范围内，函数值y 随x的增大而增大，∴该函数不可能是反比例函数.∵若二次函数的图像经过()()1422-- ，，，两点，则当图像开口向下，对称轴在2x =右侧时，在对称轴右侧，函数值y 随x 的增大而减小；当图像开口向上，对称轴在1x =左侧时，在对称轴左侧，函数值y 随x 的增大而减小.2∴该函数可能是二次函数.故选D. 25. 【答案】C ．【考点】一次函数、二次函数图象与系数的关系. 【分析】根据一次函数、二次函数图象与系数的关系对各选项逐一分析，作出判断：A 、对于直线y bx a =+来说，由图象可以判断，00a b ＞，＞；而当00a b ＞，＞时，对于抛物线2y ax bx=+来说，对称轴02bx a=-＜，应在y 轴的左侧，故不合题意，图形错误．B 、对于直线y bx a =+来说，由图象可以判断，00a b ＜，＜；而当0a ＜时，对于抛物线2y ax bx =+来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误．C 、对于直线y bx a =+来说，由图象可以判断，00a b ＜，＞；而当00a b ＜，＞时，对于抛物线2y ax bx=+来说，图象开口向下，对称轴>02bx a=-位于y 轴的右侧，故符合题意.D 、对于直线y bx a =+来说，由图象可以判断，00a b ＞，＞；而当0a ＞时，对于抛物线2y ax bx =+来说，图象开口向下，故不合题意，图形错误．故选C ．26. 【答案】C.【考点】线段中垂线的性质；切线的性质；垂径定理. 【分析】根据线段中垂线的性质、切线的性质和垂径定理，该圆的圆心是线段AE 的中垂线与线段BC 的中垂线的交点. 故选C. 27. 【答案】D.【考点】代数式化简；一次函数的图象；分类思想的应用.【分析】∵()()22>022<0x x x x y x x x ⎧++⎪==⎨--⎪⎩，∴当>0x 时，函数的图象为直线2y x =+的一部分；当<0x 时，函数的图象为直线2y x =--的一部分.符合此条件的是图象D.故选D.。
2016年中考数学压轴题精选精析(word版_收录最全)[1]
![2016年中考数学压轴题精选精析(word版_收录最全)[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/03b0207da98271fe910ef9d5.png)
问题2：由问题1的结果和所给结论（2）有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比，可得。
问题3：由问题2的结果经过等量代换可求。
问题4：由问题2可知S1＋S4 ＝S2＋S3＝ 。
28．（2011•江苏南通）如图，已知直线l经过点A(1，0)，与双曲线y＝
．
综上所述，
（）
理由如下：
如图，延长 至 ，使 ，连结 、
、 互相平分， 四边形 是平行四边形， 】相似三角形的判定,。
【分析】（1）由 得到
从而
（2）①由于 厘米，点 从点 出发沿射线 以每秒 厘米的速度运动，故点 从点 出发沿射线 到达点 的时间为4秒,从而应分两种情况 和 分别讨论。②分两种情况 和 ，把 。
2011全国各省市中考数学压轴题精选精析（按省市归类）
25、（2011•北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，我把由两条射线AE，BF和以AB为直径的半圆所组成的图形叫作图形C（注：不含AB线段）．已知A（﹣1，0），B（1，0），AE∥BF，且半圆与y轴的交点D在射线AE的反向延长线上．
（1）求两条射线AE，BF所在直线的距离；
28．（2011•江苏杨州）在 中， 是 边的中点， 交 于点 ．动点 从点 出发沿射线 以每秒 厘米的速度运动．同时，动点 从点 出发沿射线 运动，且始终保持 设运动时间为 秒（ ）．
（1） 与 相似吗？以图１为例说明理由；
（2）若 厘 米．
①求动点 的运动速度；
②设 的面积为 （平方厘米），求 与 的函数关系式；
当点M在弧RB上时，如图5，
直线PQ必在直线AM的下方，
2016中考数学压轴题汇编及答案
2016年中考数学压轴题汇编（1）一．解答题（共30小题）1．(2016•模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4,0），B（0，﹣4)，C(2，0）三点．(1）求抛物线的解析式；(2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．（3）若点P是抛物线上的动点,点Q是直线y=﹣x上的动点,判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q的坐标．2．（2015•）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A(，）和B(4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1)求抛物线的解析式;（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在,请说明理由；(3)求△PAC为直角三角形时点P的坐标．3．(2015•）如图,在直角坐标系中,抛物线经过点A（0，4），B（1，0)，C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．(1）求抛物线的解析式和对称轴；（2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标;若不存在，请说明理由；(3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2015•）如图,抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在抛物线上,且S△AOP=4S BOC，求点P的坐标；（3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值．5．（2015• )如图，⊙E的圆心E(3,0），半径为5,⊙E与y轴相交于A、B两点（点A在点B的上方），与x轴的正半轴交于点C，直线l的解析式为y=x+4，与x轴相交于点D，以点C为顶点的抛物线过点B．(1)求抛物线的解析式；（2）判断直线l与⊙E的位置关系，并说明理由；(3)动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时．求出点P的坐标及最小距离．6．（2015•荆门）如图，在矩形OABC中，OA=5，AB=4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在边OA上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．（1)求OE的长及经过O,D，C三点抛物线的解析式;(2）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，DP=DQ；（3）若点N在（1）中抛物线的对称轴上，点M在抛物线上,是否存在这样的点M与点N，使M，N,C,E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由．7．（2015•盘锦）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A（﹣1，0）和B（5，0）两点，交y轴于点C，点D是线段OB上一动点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE,过点E作直线l⊥x轴于H，过点C作CF⊥l于F．（1）求抛物线解析式；（2）如图2,当点F恰好在抛物线上时，求线段OD的长；(3）在（2）的条件下：①连接DF，求tan∠FDE的值；②试探究在直线l上，是否存在点G，使∠EDG=45°？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在,请说明理由．8．（2015•益阳）已知抛物线E1：y=x2经过点A（1，m），以原点为顶点的抛物线E2经过点B（2，2），点A、B关于y 轴的对称点分别为点A′,B′．（1)求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式；（2）如图1，在第一象限内，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q、B、B′为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，P为第一象限内的抛物线E1上与点A不重合的一点，连接OP并延长与抛物线E2相交于点P′，求△PAA′与△P′BB′的面积之比．9．（2015•徐州）如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0）,以OA为直径在第一象限内作半圆，B为半圆上一点,连接AB并延长至C，使BC=AB，过C作CD⊥x轴于点D，交线段OB于点E,已知CD=8，抛物线经过O、E、A三点．（1)∠OBA=°．（2）求抛物线的函数表达式．（3)若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P、O、A、E为顶点的四边形面积记作S,则S取何值时，相应的点P有且只有3个?10．（2015•乌鲁木齐）抛物线y=x2﹣x+2与x轴交于A，B两点(OA＜OB），与y轴交于点C．(1）求点A，B，C的坐标;（2）点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点E也从点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动,设点P的运动时间为t秒(0＜t＜2）．①过点E作x轴的平行线，与BC相交于点D（如图所示)，当t为何值时，+的值最小，求出这个最小值并写出此时点E，P的坐标；②在满足①的条件下,抛物线的对称轴上是否存在点F，使△EFP为直角三角形？若存在,请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．11．（2015•佛山）如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x2+4x刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画．（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标;（2)小球的落点是A，求点A的坐标;（3）连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA，求△POA的面积;（4）在OA上方的抛物线上存在一点M(M与P不重合）,△MOA的面积等于△POA的面积．请直接写出点M 的坐标．12．（2015•天水）在平面直角坐标系中，已知y=﹣x2+bx+c(b、c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），点C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限．（1)如图，若抛物线经过A、B两点，求抛物线的解析式．（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离为时,试证明:平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点．（3）在（2）的情况下，若沿AC方向任意滑动时，设抛物线与直线AC的另一交点为Q，取BC的中点N,试探究NP+BQ是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由．13．(2015•常德）如图,曲线y1抛物线的一部分，且表达式为：y1=(x2﹣2x﹣3）(x≤3)曲线y2与曲线y1关于直线x=3对称．（1)求A、B、C三点的坐标和曲线y2的表达式；（2)过点D作CD∥x轴交曲线y1于点D，连接AD，在曲线y2上有一点M，使得四边形ACDM为筝形（如果一个四边形的一条对角线被另一条对角线垂直平分，这样的四边形为筝形），请求出点M的横坐标;（3)设直线CM与x轴交于点N，试问在线段MN下方的曲线y2上是否存在一点P，使△PMN的面积最大？若存在,求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．14．（2015•自贡）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0)，C（0，3）两点，与x轴交于点B．(1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；(2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点,求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．15．（2015•凉山州）如图，已知抛物线y=x2﹣（m+3）x+9的顶点C在x轴正半轴上，一次函数y=x+3与抛物线交于A、B两点，与x、y轴交于D、E两点．（1）求m的值．(2）求A、B两点的坐标．（3)点P（a，b）(﹣3＜a＜1）是抛物线上一点,当△PAB的面积是△ABC面积的2倍时，求a，b的值．16．（2015•铜仁市）如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(1，0）和点B与y轴交于点C （0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式;（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形?若存在．请求出点P的坐标)；(3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动,另一个点N从点D与点M同时出发,以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动,问点M、N运动到何处时,△MNB面积最大，试求出最大面积．17．（2015•资阳）已知直线y=kx+b（k≠0）过点F（0，1），与抛物线y=x2相交于B、C两点．（1)如图1，当点C的横坐标为1时，求直线BC的解析式；（2）在（1）的条件下，点M是直线BC上一动点，过点M作y轴的平行线，与抛物线交于点D，是否存在这样的点M，使得以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3）如图2，设B(m．n)（m＜0）,过点E（0．﹣1)的直线l∥x轴，BR⊥l于R,CS⊥l于S，连接FR、FS．试判断△RFS的形状，并说明理由．18．（2015•苏州)如图,已知二次函数y=x2+（1﹣m）x﹣m（其中0＜m＜1）的图象与x轴交于A、B两点(点A 在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．设P为对称轴l上的点，连接PA、PC，PA=PC（1）∠ABC的度数为;（2）求P点坐标（用含m的代数式表示）;(3)在坐标轴上是否存在着点Q(与原点O不重合）,使得以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，且线段PQ 的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．19．（2015•临沂）在平面直角坐标系中，O为原点，直线y=﹣2x﹣1与y轴交于点A，与直线y=﹣x交于点B，点B关于原点的对称点为点C．(1）求过A，B,C三点的抛物线的解析式;（2）P为抛物线上一点,它关于原点的对称点为Q．①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标;②若点P的横坐标为t(﹣1＜t＜1），当t为何值时,四边形PBQC面积最大？并说明理由．20．（2015•巴中）如图,在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx﹣4（a≠0)的图象与x轴交于A（﹣2，0)、C(8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．（1）求该二次函数的解析式；(2）如图1，连结BC,在线段BC上是否存在点E,使得△CDE为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，若点P(m，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中m＞0,n＜0），连结PB，PD,BD，求△BDP面积的最大值及此时点P的坐标．21．（2015•黔东南州)如图，已知二次函数y1=﹣x2+x+c的图象与x轴的一个交点为A（4，0),与y轴的交点为B,过A、B的直线为y2=kx+b．（1）求二次函数y1的解析式及点B的坐标；（2)由图象写出满足y1＜y2的自变量x的取值范围;(3）在两坐标轴上是否存在点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形?若存在，求出P的坐标；若不存在,说明理由．22．（2015•孝感）在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C,直线y=x+4经过A，C两点．（1）求抛物线的解析式;(2）在AC上方的抛物线上有一动点P．①如图1,当点P运动到某位置时,以AP，AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上，求出此时点P 的坐标；②如图2，过点O，P的直线y=kx交AC于点E，若PE：OE=3：8,求k的值．23．（2015•眉山)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点D的坐标为（1，﹣），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，A点的坐标为（4，0）．P点是抛物线上的一个动点,且横坐标为m．（l）求抛物线所对应的二次函数的表达式；（2）若动点P满足∠PAO不大于45°，求P点的横坐标m的取值范围；（3）当P点的横坐标m＜0时，过P点作y轴的垂线PQ,垂足为Q．问：是否存在P点,使∠QPO=∠BCO？若存在,请求出P点的坐标;若不存在，请说明理由．24．（2015•桂林）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，8）、B（8,0）和点E，动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动，动点C、D同时出发,当动点D到达原点O时，点C、D停止运动．（1）直接写出抛物线的解析式：;（2)求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式；当t为何值时，△CED的面积最大？最大面积是多少? （3）当△CED的面积最大时,在抛物线上是否存在点P(点E除外），使△PCD的面积等于△CED的最大面积？若存在,求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．25．(2015•遂宁)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣2，0），B（4,0），C（0，3）三点．(1）求该抛物线的解析式;（2）在y轴上是否存在点M,使△ACM为等腰三角形?若存在，请直接写出所有满足要求的点M的坐标；若不存在,请说明理由;(3）若点P（t，0）为线段AB上一动点（不与A，B重合）,过P作y轴的平行线，记该直线右侧与△ABC围成的图形面积为S，试确定S与t的函数关系式．26．（2015•重庆)如图,抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴交于点E．（1)求直线AD的解析式;(2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值;（3）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点,以A,M，P，Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形．若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标．27．（2015•兰州)已知二次函数y=ax2的图象经过点（2，1）．（1）求二次函数y=ax2的解析式；（2)一次函数y=mx+4的图象与二次函数y=ax2的图象交于点A(x1、y1）、B（x2、y2)两点．①当m=时（图①），求证：△AOB为直角三角形；②试判断当m≠时(图②），△AOB的形状，并证明；（3）根据第（2）问，说出一条你能得到的结论．（不要求证明)28．（2015•丹东）如图，已知二次函数y=ax2+x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C 坐标为（8,0），连接AB、AC．（1）请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式;（2)判断△ABC的形状，并说明理由；（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点N的坐标; （4）若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合)，过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时,求此时点N的坐标．29．（2015•潍坊）如图,在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2﹣8mx+4m+2（m＞0）与y轴的交点为A,与x轴的交点分别为B(x1，0），C(x2，0)，且x2﹣x1=4，直线AD∥x轴，在x轴上有一动点E(t，0）过点E作平行于y 轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q．(1）求抛物线的解析式；（2)当0＜t≤8时，求△APC面积的最大值;（3）当t＞2时，是否存在点P,使以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．30．（2015•珠海）如图，折叠矩形OABC的一边BC，使点C落在OA边的点D处，已知折痕BE=5，且=，以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线l:y=﹣x2+x+c经过点E，且与AB边相交于点F．（1)求证：△ABD∽△ODE；（2）若M是BE的中点，连接MF，求证：MF⊥BD;（3)P是线段BC上一点，点Q在抛物线l上，且始终满足PD⊥DQ,在点P运动过程中，能否使得PD=DQ？若能，求出所有符合条件的Q点坐标；若不能，请说明理由．2015年中考数学压轴题汇编（1）参考答案与试题解析一．解答题（共30小题)1．(2016•贵阳模拟)在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(﹣4，0)，B（0，﹣4），C（2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；(2）若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．（3）若点P是抛物线上的动点,点Q是直线y=﹣x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．【考点】二次函数综合题；待定系数法求二次函数解析式．【专题】压轴题．【分析】（1）先假设出函数解析式，利用三点法求解函数解析式．（2）设出M点的坐标，利用S=S△AOM+S△OBM﹣S△AOB即可进行解答；（3）当OB是平行四边形的边时,表示出PQ的长，再根据平行四边形的对边相等列出方程求解即可；当OB是对角线时，由图可知点A与P应该重合．【解答】解：(1）设此抛物线的函数解析式为:y=ax2+bx+c(a≠0)，将A（﹣4，0)，B（0，﹣4），C（2，0）三点代入函数解析式得:解得,所以此函数解析式为：y=；（2）∵M点的横坐标为m，且点M在这条抛物线上,∴M点的坐标为:（m,），∴S=S△AOM+S△OBM﹣S△AOB=×4×(﹣m2﹣m+4）+×4×（﹣m)﹣×4×4=﹣m2﹣2m+8﹣2m﹣8=﹣m2﹣4m，=﹣（m+2）2+4，∵﹣4＜m＜0，当m=﹣2时，S有最大值为：S=﹣4+8=4．答：m=﹣2时S有最大值S=4．(3）设P（x，x2+x﹣4)．当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQ∥OB,且PQ=OB,∴Q的横坐标等于P的横坐标,又∵直线的解析式为y=﹣x，则Q（x，﹣x）．由PQ=OB,得|﹣x﹣（x2+x﹣4)｜=4，解得x=0，﹣4，﹣2±2．x=0不合题意，舍去．如图，当BO为对角线时，知A与P应该重合,OP=4．四边形PBQO为平行四边形则BQ=OP=4，Q横坐标为4,代入y=﹣x得出Q为（4，﹣4）．由此可得Q（﹣4，4）或（﹣2+2,2﹣2)或（﹣2﹣2，2+2）或（4,﹣4）．【点评】本题考查了三点式求抛物线的方法，以及抛物线的性质和最值的求解方法．2．（2015•枣庄)如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)相交于A(，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在,求出这个最大值；若不存在,请说明理由；(3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．【考点】二次函数综合题．【专题】几何综合题；压轴题．【分析】（1）已知B(4,m)在直线y=x+2上,可求得m的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中,通过联立方程组即可求得待定系数的值．（2）要弄清PC的长，实际是直线AB与抛物线函数值的差．可设出P点横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，进而得到关于PC与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出PC的最大值．（3）当△PAC为直角三角形时，根据直角顶点的不同,有三种情形，需要分类讨论，分别求解．【解答】解：（1)∵B（4，m）在直线y=x+2上,∴m=4+2=6，∴B(4,6），∵A（，)、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx+6上，∴,解得,∴抛物线的解析式为y=2x2﹣8x+6．（2)设动点P的坐标为（n,n+2），则C点的坐标为（n，2n2﹣8n+6)，∴PC=（n+2）﹣(2n2﹣8n+6），=﹣2n2+9n﹣4，=﹣2（n﹣)2+,∵PC＞0，∴当n=时，线段PC最大且为．（3）∵△PAC为直角三角形，i)若点P为直角顶点，则∠APC=90°．由题意易知,PC∥y轴，∠APC=45°，因此这种情形不存在；ii）若点A为直角顶点，则∠PAC=90°．如答图3﹣1,过点A（,)作AN⊥x轴于点N，则ON=，AN=．过点A作AM⊥直线AB，交x轴于点M,则由题意易知,△AMN为等腰直角三角形，∴MN=AN=，∴OM=ON+MN=+=3，∴M（3，0）．设直线AM的解析式为：y=kx+b,则：，解得,∴直线AM的解析式为：y=﹣x+3 ①又抛物线的解析式为:y=2x2﹣8x+6 ②联立①②式，解得：x=3或x=(与点A重合，舍去)∴C（3，0）,即点C、M点重合．当x=3时,y=x+2=5，∴P1（3，5)；iii）若点C为直角顶点，则∠ACP=90°．∵y=2x2﹣8x+6=2（x﹣2）2﹣2,∴抛物线的对称轴为直线x=2．如答图3﹣2,作点A（，）关于对称轴x=2的对称点C，则点C在抛物线上,且C（,）．当x=时，y=x+2=．∴P2（，）．∵点P1（3，5）、P2（，）均在线段AB上，∴综上所述，△PAC为直角三角形时，点P的坐标为（3,5）或（，）．【点评】此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识．3．（2015•酒泉)如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0)，C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．（1）求抛物线的解析式和对称轴;（2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小?若存在，请求出点P的坐标；若不存在,请说明理由；(3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大?若存在,请求出点N的坐标;若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）抛物线经过点A(0，4），B（1，0），C（5，0）,可利用两点式法设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x﹣5)，代入A（0，4）即可求得函数的解析式，则可求得抛物线的对称轴；(2）点A关于对称轴的对称点A′的坐标为（6，4），连接BA′交对称轴于点P，连接AP，此时△PAB的周长最小，可求出直线BA′的解析式，即可得出点P的坐标．（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．设N点的横坐标为t，此时点N(t，t2﹣t+4)（0＜t＜5），再求得直线AC的解析式，即可求得NG的长与△ACN的面积，由二次函数最大值的问题即可求得答案．【解答】解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a(x﹣1)（x﹣5），把点A（0,4）代入上式得：a=，∴y=（x﹣1）(x﹣5）=x2﹣x+4=（x﹣3)2﹣，∴抛物线的对称轴是：x=3；（2）P点坐标为（3，）．理由如下：∵点A（0,4)，抛物线的对称轴是x=3，∴点A关于对称轴的对称点A′的坐标为(6,4）如图1，连接BA′交对称轴于点P，连接AP，此时△PAB的周长最小．设直线BA′的解析式为y=kx+b，把A′(6,4），B（1，0）代入得,解得，∴y=x﹣，∵点P的横坐标为3，∴y=×3﹣=，∴P（3,）．（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．设N点的横坐标为t,此时点N（t，t2﹣t+4）（0＜t＜5)，如图2，过点N作NG∥y轴交AC于G；作AD⊥NG于D,由点A（0,4)和点C（5，0)可求出直线AC的解析式为：y=﹣x+4，把x=t代入得：y=﹣t+4,则G（t，﹣t+4),此时:NG=﹣t+4﹣（t2﹣t+4)=﹣t2+4t，∵AD+CF=CO=5，∴S△ACN=S△ANG+S△CGN=AD×NG+NG×CF=NG•OC=×（﹣t2+4t)×5=﹣2t2+10t=﹣2（t﹣）2+，∴当t=时，△CAN面积的最大值为，由t=，得：y=t2﹣t+4=﹣3，∴N(，﹣3）．【点评】本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键是方程思想与数形结合思想的灵活应用．4．(2015•阜新）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0)和点B，交y轴于点C（0,3）．（1)求抛物线的函数表达式;（2)若点P在抛物线上，且S△AOP=4S BOC，求点P的坐标；（3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1)把点A、C的坐标分别代入函数解析式,列出关于系数的方程组，通过解方程组求得系数的值; （2）设P点坐标为（x，﹣x2﹣2x+3），根据S△AOP=4S△BOC列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标;（3)先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=x+3,再设Q点坐标为（x,x+3)，则D点坐标为（x，x2+2x﹣3），然后用含x的代数式表示QD,根据二次函数的性质即可求出线段QD长度的最大值．【解答】解：(1）把A（﹣3，0），C（0,3）代入y=﹣x2+bx+c，得:，解得．故该抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3．（2）由（1）知，该抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3，则易得B（1，0）．∵S△AOP=4S△BOC，∴×3×｜﹣x2﹣2x+3｜=4××1×3．整理，得（x+1）2=0或x2+2x﹣7=0，解得x=﹣1或x=﹣1±2．则符合条件的点P的坐标为：(﹣1,4）或（﹣1+2，﹣4）或(﹣1﹣2,﹣4)；（3）设直线AC的解析式为y=kx+t，将A（﹣3，0）,C（0，3）代入，得，解得．即直线AC的解析式为y=x+3．设Q点坐标为(x，x+3），(﹣3≤x≤0），则D点坐标为（x，﹣x2﹣2x+3），QD=(﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3)=﹣x2﹣3x=﹣（x+）2+,∴当x=﹣时,QD有最大值．【点评】此题考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质以及三角形面积、线段长度问题．此题难度适中,解题的关键是运用方程思想与数形结合思想．5．(2015•济宁）如图，⊙E的圆心E（3，0）,半径为5,⊙E与y轴相交于A、B两点(点A在点B的上方），与x 轴的正半轴交于点C，直线l的解析式为y=x+4，与x轴相交于点D，以点C为顶点的抛物线过点B．（1）求抛物线的解析式；（2）判断直线l与⊙E的位置关系，并说明理由;（3）动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时．求出点P的坐标及最小距离．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】(1）连接AE，由已知得:AE=CE=5,OE=3,利用勾股定理求出OA的长，结合垂径定理求出OC的长,从而得到C点坐标，进而得到抛物线的解析式；（2)求出点D的坐标为（﹣，0)，根据△AOE∽△DOA，求出∠DAE=90°，判断出直线l与⊙E相切与A．（3)过点P作直线l的垂线段PQ，垂足为Q，过点P作直线PM垂直于x轴，交直线l于点M．设M(m，m+4）,P （m,﹣m2+m﹣4)，得到PM=m+4﹣（﹣m2+m﹣4）=m2﹣m+8=（m﹣2）2+,根据△PQM的三个内角固定不变，得到PQ最小=PM最小•sin∠QMP=PM最小•sin∠AEO=×=,从而得到最小距离．【解答】解：（1）如图1，连接AE，由已知得:AE=CE=5，OE=3，在Rt△AOE中，由勾股定理得，OA===4，∵OC⊥AB,∴由垂径定理得,OB=OA=4，OC=OE+CE=3+5=8，∴A（0，4),B（0，﹣4），C(8,0）,∵抛物线的定点为C，∴设抛物线的解析式为y=a（x﹣8）2,将点B的坐标代入上解析的式,得64a=﹣4,故a=﹣，∴y=﹣（x﹣8）2，∴y=﹣x2+x﹣4为所求抛物线的解析式，（2）在直线l的解析式y=x+4中,令y=0，得x+4=0，解得x=﹣，∴点D的坐标为（﹣，0）,当x=0时，y=4,∴点A在直线l上，在Rt△AOE和Rt△DOA中，∵=，=,∴=，∵∠AOE=∠DOA=90°,∴△AOE∽△DOA，∴∠AEO=∠DAO，∵∠AEO+∠EAO=90°，∴∠DAO+∠EAO=90°，即∠DAE=90°,因此，直线l与⊙E相切与A．(3）如图2,过点P作直线l的垂线段PQ，垂足为Q,过点P作直线PM垂直于x轴，交直线l于点M．设M(m，m+4），P（m，﹣m2+m﹣4），则PM=m+4﹣(﹣m2+m﹣4)=m2﹣m+8=(m﹣2）2+，当m=2时，PM取得最小值，此时，P（2，﹣)，对于△PQM，∵PM⊥x轴，∴∠QMP=∠DAO=∠AEO，又∠PQM=90°,∴△PQM的三个内角固定不变，∴在动点P运动的过程中，△PQM的三边的比例关系不变，∴当PM取得最小值时，PQ也取得最小值,PQ最小=PM最小•sin∠QMP=PM最小•sin∠AEO=×=，∴当抛物线上的动点P的坐标为（2，﹣）时,点P到直线l的距离最小，其最小距离为．【点评】本题考查了二次函数综合题，涉及勾股定理、待定系数法求二次函数解析式、切线的判定和性质、二次函数的最值等知识，在解答（3)时要注意点P、点M坐标的设法，以便利用二次函数的最值求解．6．（2015•荆门）如图,在矩形OABC中，OA=5，AB=4，点D为边AB上一点,将△BCD沿直线CD折叠,使点B 恰好落在边OA上的点E处，分别以OC,OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．（1）求OE的长及经过O,D，C三点抛物线的解析式；(2）一动点P从点C出发,沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动,同时动点Q从E点出发,沿EC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒,当t为何值时，DP=DQ；（3）若点N在（1)中抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N,使M,N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标;若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）由折叠的性质可求得CE、CO，在Rt△COE中，由勾股定理可求得OE，设AD=m，在Rt△ADE 中，由勾股定理可求得m的值,可求得D点坐标，结合C、O两点，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2)用t表示出CP、BP的长,可证明△DBP≌△DEQ，可得到BP=EQ，可求得t的值；(3）可设出N点坐标,分三种情况①EN为对角线，②EM为对角线，③EC为对角线，根据平行四边形的性质可求得对角线的交点横坐标，从而可求得M点的横坐标,再代入抛物线解析式可求得M点的坐标．【解答】解：（1）∵CE=CB=5，CO=AB=4，∴在Rt△COE中，OE===3,设AD=m，则DE=BD=4﹣m，∵OE=3,∴AE=5﹣3=2，在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2+AE2=DE2，即m2+22=（4﹣m）2,解得m=，∴D（﹣，﹣5），∵C（﹣4，0），O(0，0），∴设过O、D、C三点的抛物线为y=ax(x+4），∴﹣5=﹣a(﹣+4）,解得a=，∴抛物线解析式为y=x(x+4）=x2+x;（2）∵CP=2t,∴BP=5﹣2t，在Rt△DBP和Rt△DEQ中,，∴Rt△DBP≌Rt△DEQ（HL)，∴BP=EQ，∴5﹣2t=t，∴t=;（3）∵抛物线的对称为直线x=﹣2，∴设N（﹣2,n)，又由题意可知C（﹣4,0），E（0，﹣3），设M（m，y），①当EN为对角线，即四边形ECNM是平行四边形时，则线段EN的中点横坐标为=﹣1，线段CM中点横坐标为，∵EN，CM互相平分，∴=﹣1,解得m=2,又M点在抛物线上,∴y=×22+×2=16，∴M（2,16）；②当EM为对角线，即四边形ECMN是平行四边形时，则线段EM的中点横坐标为，线段CN中点横坐标为=﹣3，∵EN，CM互相平分，∴=﹣3,解得m=﹣6,又∵M点在抛物线上，∴y=×（﹣6）2+×(﹣6）=16，∴M（﹣6，16）；③当CE为对角线，即四边形EMCN是平行四边形时，则M为抛物线的顶点，即M（﹣2，﹣）．综上可知，存在满足条件的点M，其坐标为（2,16）或（﹣6,16）或(﹣2，﹣）．【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、全等三角形的判定和性质、折叠的性质、平行四边形的性质等知识点．在（1）中求得D点坐标是解题的关键，在(2）中证得全等，得到关于t的方程是解题的关键,在（3)中注意分类讨论思想的应用．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．。
2016年中考数学试题分项版解析(第02期)专题16 压轴题
专题16 压轴题一、选择题1．（2016四川省凉山州）已知，一元二次方程28150x x -+=的两根分别是⊙O 1和⊙O 2的半径，当⊙O 1和⊙O 2相切时，O 1O 2的长度是（ ）A ．2B ．8C ．2或8D ．2＜O 2O 2＜8 【答案】C ．考点：1．圆与圆的位置关系；2．根与系数的关系；3．分类讨论．2．（2016四川省宜宾市）如图，点P 是矩形ABCD 的边AD 上的一动点，矩形的两条边AB 、BC 的长分别是6和8，则点P 到矩形的两条对角线AC 和BD 的距离之和是（ ）A ．4.8B ．5C ．6D ．7.2 【答案】A ． 【解析】试题分析：首先连接OP ，由矩形的两条边AB 、BC 的长分别为3和4，可求得OA =OD =5，△AOD 的面积，然后由S △A O D =S △A O P +S △D O P =12OA •PE +OD •PF 求得答案． 试题解析：连接OP ，∵矩形的两条边AB 、BC 的长分别为6和8，∴S 矩形A B C D=AB •BC =48，OA =OC ，OB =OD ，AC =BD =10，∴OA =OD =5，∴S △A C D =12S 矩形A B C D=24，∴S △A O D =12S △A C D =12，∵S △A O D =S △A O P +S △D O P =12OA •PE +12OD •PF =12×5×PE +12×5×PF =52（PE +PF ）=12，解得：PE +PF =4.8．故选A ．考点：1．矩形的性质；2．和差倍分；3．定值问题．3．（2016四川省宜宾市）宜宾市某化工厂，现有A种原料52千克，B种原料64千克，现用这些原料生产甲、乙两种产品共20件．已知生产1件甲种产品需要A种原料3千克，B种原料2千克；生产1件乙种产品需要A种原料2千克，B种原料4千克，则生产方案的种数为（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B．故选B．考点：1．二元一次方程组的应用；2．方案型．4．（2016四川省泸州市）以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（）A B C．D【答案】D ．考点：1．正多边形和圆；2．分类讨论．5．（2016四川省自贡市）圆锥的底面半径为4cm ，高为5cm ，则它的表面积为（ ）A ．12πcm 2B ．26πcm 2C cm 2D ．16)πcm 2【答案】D ． 【解析】试题分析：利用勾股定理求得圆锥的母线长，则圆锥表面积=底面积+侧面积=π×底面半径2+底面周长×母线长÷2．试题解析：底面半径为4cm ，则底面周长=8πcm ，底面面积=16πcm 2；由勾股定理得，母线长cm ，圆锥的侧面面积=182π⨯=cm 2，∴它的表面积=16π+=16)π cm 2，故选D ． 考点：1．圆锥的计算；2．压轴题．6．（2016甘肃省白银市）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BC=4，点P是△ABC边上一动点，沿B→A→C的路径移动，过点P作PD⊥BC于点D，设BD=x，△BDP的面积为y，则下列能大致反映y与x函数关系的图象是（）A．B．C．D．【答案】A．当2＜x≤4时，如图2，∵∠C=45°，∴PD=CD=4﹣x，∴y=12•（4﹣x）•x=2122x x-+，故选A．考点：1．动点问题的函数图象；2．分类讨论．二、填空题7．（2016四川省凉山州）如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=CD=P是四边形ABCD四条边上的一个动点，若P到BD的距离为52，则满足条件的点P有个．【答案】2．考点：1．点到直线的距离；2．分类讨论．8．（2016四川省宜宾市）如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC边上一动点（不含B、C两点），将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处；在CD上有一点M，使得将△CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA，NA．则以下结论中正确的有（写出所有正确结论的序号）①△CMP∽△BPA；②四边形AMCB的面积最大值为10；③当P为BC中点时，AE为线段NP的中垂线；④线段AM的最小值为⑤当△ABP≌△ADN时，BP=4．【答案】①②⑤．考点：相似形综合题．9．（2016四川省自贡市）如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x﹣6上时，线段BC扫过的面积为cm2．【答案】16．考点：1．一次函数综合题；2．压轴题．10．（2016江苏省宿迁市）如图，在矩形ABCD中，AD=4，点P是直线AD上一动点，若满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，则AB的长为．【答案】4．考点：1．矩形的性质；2．等腰三角形的性质；3．勾股定理；4．分类讨论．11．（2016江西省）如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB=8，AD=7，E为AB上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是．【答案】5．【解析】试题分析：分情况讨论：①当AP=AE=5时，则△AEP是等腰直角三角形，得出底边PE AE=②当PE=AE=5时，求出BE，由勾股定理求出PB，再由勾股定理求出等边AP即可；③当PA=PE时，底边AE=5；即可得出结论．试题解析：如图所示：①当AP=AE=5时，∵∠BAD=90°，∴△AEP是等腰直角三角形，∴底边PE AE=②当PE=AE=5时，∵BE=AB﹣AE=8﹣5=3，∠B=90°，∴PB==4，∴底边考点：1．矩形的性质；2．等腰三角形的性质；3．勾股定理；4．分类讨论．12．（2016甘肃省兰州市）对于一个矩形ABCD 及⊙M 给出如下定义：在同一平面内，如果矩形ABCD 的四个顶点到⊙M 上一点的距离相等，那么称这个矩形ABCD 是⊙M 的“伴侣矩形”．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：3y =-交x 轴于点M ，⊙M 的半径为2，矩形ABC D 沿直线运动（BD 在直线l 上），BD =2，AB ∥y 轴，当矩形ABCD 是⊙M 的“伴侣矩形”时，点C 的坐标为 ．【答案】（12，2-）或（32，2）． 【解析】试题分析：根据“伴侣矩形”的定义可知：圆上的点一定在矩形的对角线交点上，因为只有对角线交点到四个顶点的距离相等，由此画出图形，先求出直线与x 轴和y 轴两交点的坐标，和矩形的长和宽；有两种情况：①矩形在x 轴下方时，作辅助线构建相似三角形得比例式，分别求出DG 和DH 的长，从而求出CG 的长，根据坐标特点写出点C 的坐标；②矩形在x 轴上方时，也分别过C 、B 两点向两坐标轴作垂线，利用平行相似得比例式，求出C 的坐标．考点：1．圆的综合题；2．新定义；3．分类讨论．三、解答题13．（2016上海市）如图，抛物线25y ax bx =+-（a ≠0）经过点A （4，﹣5），与x 轴的负半轴交于点B ，与y 轴交于点C ，且OC =5OB ，抛物线的顶点为点D ．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结AB 、BC 、CD 、DA ，求四边形ABCD 的面积；（3）如果点E 在y 轴的正半轴上，且∠BEO =∠ABC ，求点E 的坐标．【答案】（1）245y x x =--；（2）18；（3）E （0，32）．（2）由245y x x =--，得顶点D 的坐标为（2，﹣9）．连接AC ，∵点A 的坐标是（4，﹣5），点C 的坐标是（0，﹣5），又S △ABC =12×4×5=10，S △ACD =12×4×4=8，∴S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD =18； （3）过点C 作CH ⊥AB ，垂足为点H ．∵S △ABC =12×AB ×CH =10，AB =，∴CH =，在RT △BCH 中，∠BHC =90°，BC =，BH ==，∴tan ∠CBH =23CH BH =．∵在RT △BOE 中，∠BOE =90°，tan ∠BEO =BO EO，∵∠BEO =∠ABC ，∴BO EO =23，得EO =32，∴点E 的坐标为（0，32）． 考点：二次函数综合题．14．（2016上海市）如图所示，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠B =90°，AD =15，AB =16，BC =12，点E 是边AB 上的动点，点F 是射线CD 上一点，射线ED 和射线AF 交于点G ，且∠AGE =∠DAB ．（1）求线段CD 的长；（2）如果△AEC 是以EG 为腰的等腰三角形，求线段AE 的长；（3）如果点F 在边CD 上（不与点C 、D 重合），设AE =x ，DF =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围．【答案】（1）7；（2）15或252；（3）22518x y x -=（2592x <<）．考点：1．四边形综合题；2．相似三角形综合题；3．分类讨论；4．压轴题．15．（2016北京市）在等边△ABC中：（1）如图1，P，Q是BC边上的两点，AP=AQ，∠BAP=20°，求∠AQB的度数；（2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与点B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP=AQ，点Q关于直线AC 的对称点为M，连接AM，PM．①依题意将图2补全；②小茹通过观察、实验提出猜想：在点P，Q运动的过程中，始终有PA=PM，小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：要证明PA=PM，只需证△APM是等边三角形；想法2：在BA上取一点N，使得BN=BP，要证明PA=PM，只需证△ANP≌△PCM；想法3：将线段BP绕点B顺时针旋转60°，得到线段BK，要证PA=PM，只需证PA=CK，PM=CK…请你参考上面的想法，帮助小茹证明PA=PM（一种方法即可）．【答案】（1）40°；（2）①作图见解析；②证明见解析．考点：三角形综合题．16．（2016北京市）在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为（1x ，1y ），点Q 的坐标为（2x ，2y ），且12x x ≠，12y y ≠，若P ，Q 为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P ，Q 的“相关矩形”．下图为点P ，Q 的“相关矩形”的示意图．（1）已知点A 的坐标为（1，0）．①若点B 的坐标为（3，1）求点A ，B 的“相关矩形”的面积；②点C 在直线x =3上，若点A ，C 的“相关矩形”为正方形，求直线AC 的表达式；（2）⊙O M 的坐标为（m ，3）．若在⊙O 上存在一点N ，使得点M ，N 的“相关矩形”为正方形，求m 的取值范围．【答案】（1）①2；②1y x =- 或 1y x =-+；（2）1≤m ≤5 或者51m -≤≤-．考点：1．圆的综合题；2．新定义．17．（2016吉林省长春市）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=8，∠BAD=60°，点E从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，当点E不与点A重合时，过点E作EF⊥AD于点F，作EG∥AD交AC于点G，过点G作GH⊥AD交AD（或AD的延长线）于点H，得到矩形EFHG，设点E运动的时间为t秒（1）求线段EF的长（用含t的代数式表示）；（2）求点H与点D重合时t的值；（3）设矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形的面积与S平方单位，求S与t之间的函数关系式；（4）矩形EFHG的对角线EH与FG相交于点O′，当OO′∥AD时，t的值为；当OO′⊥AD时，t的值为．【答案】（1）EF=t；（2）t=83；（3）228(0)383 (4)3tSt⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩；（4）t=4；t=3．考点：1．四边形综合题；2．动点型；3．分类讨论；4．分段函数；5．压轴题．18．（2016吉林省长春市）如图，在平面直角坐标系中．有抛物线2(3)4y a x =-+和2()y a x h =-.抛物线2(3)4y a x =-+经过原点，与x 轴正半轴交于点A ，与其对称轴交于点B ．P 是抛物线2(3)4y a x =-+上一点，且在x 轴上方．过点P 作x 轴的垂线交抛物线2()y a x h =-于点Q ．过点Q 作PQ 的垂线交抛物线2()y a x h =-于点'Q （不与点Q 重合），连结'PQ .设点P 的横坐标为m ．（1）求a 的值；（2）当抛物线2()y a x h =-经过原点时，设△'PQQ 与△OAB 重叠部分图形的周长为l ．②求l 与m 之间的函数关系式；（3）当h 为何值时，存在点P ，使以点O 、A 、Q 、'Q 为顶点的四边形是轴对称图形？直接写出h 的值．【答案】（1）49a =-；（2）①43；②24 (03)1171010(36)163m m l m m m <≤⎧⎪=⎨-++<<⎪⎩；（3）h =3或3-3+考点：1．二次函数综合题；2．分类讨论；3．压轴题．19．（2016四川省凉山州）为了更好的保护美丽图画的邛海湿地，西昌市污水处理厂决定先购买A、B两型污水处理设备共20台，对邛海湿地周边污水进行处理，每台A型污水处理设备12万元，每台B型污水处理设备10万元．已知1台A型污水处理设备和2台B型污水处理设备每周可以处理污水640吨，2台A型污水处理设备和3台B型污水处理设备每周可以处理污水1080吨．（1）求A、B两型污水处理设备每周分别可以处理污水多少吨？（2）经预算，市污水处理厂购买设备的资金不超过230万元，每周处理污水的量不低于4500吨，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少？【答案】（1）A型污水处理设备每周每台可以处理污水240吨，B型污水处理设备每周每台可以处理污水200吨；（2）共有三种方案，详见解析，购买A型污水处理设备13台，则购买B型污水处理设备7台时，所需购买资金最少，最少是226万元．即A型污水处理设备每周每台可以处理污水240吨，B型污水处理设备每周每台可以处理污水200吨；考点：1．一元一次不等式组的应用；2．二元一次方程组的应用；3．最值问题；4．方案型．20．（2016四川省凉山州）如图，已知抛物线2y ax bx c =++（a ≠0）经过A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣3）三点，直线l 是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当点P 到点A 、点B 的距离之和最短时，求点P 的坐标； （3）点M 也是直线l 上的动点，且△MAC 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标．【答案】（1）223y x x =--；（2）P （1，0）；（3）． 【解析】试题分析：（1）直接将A 、B 、C 三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可；（2）由图知：A ．B 点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知，直线l 与x 轴的交点，即为符合条件的P 点；（3）由于△MAC 的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA =AC 、②MA =MC 、③AC =MC ；可先设出M 点的坐标，然后用M 点纵坐标表示△MAC 的三边长，再按上面的三种情况列式求解．试题解析：（1）将A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣3）代入抛物线2y ax bx c =++中，得：09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩考点：1．二次函数综合题；2．分类讨论；3．综合题；4．动点型．21．（2016四川省宜宾市）如图，已知二次函数21y a x b x =+过（﹣2，4），（﹣4，4）两点．（1）求二次函数1y 的解析式；（2）将1y 沿x 轴翻折，再向右平移2个单位，得到抛物线2y ，直线y =m （m ＞0）交2y 于M 、N 两点，求线段MN 的长度（用含m 的代数式表示）；（3）在（2）的条件下，1y 、2y 交于A 、B 两点，如果直线y =m 与1y 、2y 的图象形成的封闭曲线交于C 、D 两点（C 在左侧），直线y =﹣m 与1y 、2y 的图象形成的封闭曲线交于E 、F 两点（E 在左侧），求证：四边形CEFD 是平行四边形．【答案】（1）21132y x x =--；（2）（3）证明见解析．CD =12x x -==，由219(1)22y m y x =-⎧⎪⎨=+-⎪⎩，消去y 得到22820x x m +-+=，设两个根为1x ，2x ，则EF =12x x -==∴EF =CD ，EF ∥CD ，∴四边形CEFD 是平行四边形．考点：二次函数综合题．22．（2016四川省巴中市）已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，延长BA 至点E ，使AE +CD =AD ．连结CE ，求证：C E 平分∠BCD ．【答案】证明见解析．考点：1．平行四边形的性质；2．和差倍分．23．（2016四川省巴中市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线245y mx mx m =+-（m ＜0）与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），该抛物线的对称轴与直线3y x =相交于点E ，与x 轴相交于点D ，点P 在直线y x =上（不与原点重合），连接PD ，过点P 作PF ⊥PD 交y 轴于点F ，连接DF ．（1）如图①所示，若抛物线顶点的纵坐标为 （2）求A 、B 两点的坐标；（3）如图②所示，小红在探究点P 的位置发现：当点P 与点E 重合时，∠PDF 的大小为定值，进而猜想：对于直线3y x =上任意一点P （不与原点重合），∠PDF 的大小为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由．【答案】（1）2333y x x =--+；（2）A （﹣5，0）、B （1，0）；（3）∠PDF =60°．考点：1．二次函数综合题；2．定值问题．24．（2016四川省广安市）如图，抛物线2y x bx c =++与直线132y x =-交于A 、B 两点，其中点A 在y 轴上，点B 坐标为（﹣4，﹣5），点P 为y 轴左侧的抛物线上一动点，过点P 作PC ⊥x 轴于点C ，交AB 于点D ．（1）求抛物线的解析式；（2）以O ，A ，P ，D 为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由． （3）当点P 运动到直线AB 下方某一处时，过点P 作PM ⊥AB ，垂足为M ，连接PA 使△PAM 为等腰直角三角形，请直接写出此时点P 的坐标．【答案】（1）2932y x x =+-；（2）P （2-1--，（﹣1，132-），（﹣3，152-）；（3）P （32-，152-）． 【解析】试题分析：（1）先确定出点A 坐标，然后用待定系数法求抛物线解析式；（2）先用m 表示出PD ，当PD =OA =3，故存在以O ，A ，P ，D 为顶点的平行四边形，得到243m m +=，分两种情况进行讨论计算即可；（3）由△PAM 为等腰直角三角形，得到∠BAP =45°，从而求出直线AP 的解析式，最后求出直线AP 和抛物线的交点坐标即可． 试题解析：（1）∵直线132y x =-交于A 、B 两点，其中点A 在y 轴上，∴A （0，﹣3），∵B （﹣4，﹣5），考点：1．二次函数综合题；2．动点型；3．存在型；4．分类讨论；5．压轴题．25．（2016四川省成都市）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，以CB 为半径作⊙C ，交AC 于点D ，交AC 的延长线于点E ，连接ED ，BE ． （1）求证：△ABD ∽△AEB ； （2）当43AB BC 时，求tanE ； （3）在（2）的条件下，作∠BAC 的平分线，与BE 交于点F ，若AF =2，求⊙C 的半径．【答案】（1）证明见解析；（2）12；（3）8．考点：圆的综合题．26．（2016四川省成都市）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(1)3y a x =+-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C （0，83-），顶点为D ，对称轴与x 轴交于点H ，过点H 的直线l 交抛物线于P ，Q 两点，点Q 在y 轴的右侧． （1）求a 的值及点A ，B 的坐标；（2）当直线l 将四边形ABCD 分为面积比为3：7的两部分时，求直线l 的函数表达式；（3）当点P 位于第二象限时，设PQ 的中点为M ，点N 在抛物线上，则以DP 为对角线的四边形DMPN 能否为菱形？若能，求出点N 的坐标；若不能，请说明理由．【答案】（1）13a =，A （－4，0），B （2，0）；（2）y ＝2x ＋2或4433y x =--；（3）存在，N （－132-， 1）． 【解析】由⎪⎩⎪⎨⎧-+=+=3832312x x y k kx y ，∴038)32(312=---+k x k x ，∴1223x x k+=-+，212123y y kx k kx k k +=+++=，∵点M 是线段PQ 的中点，∴由中点坐标公式的点M （312k -，232k ）．假设存在这样的N 点如图，直线DN ∥PQ ，设直线DN 的解析式为y =kx +k ﹣3，由⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=38323132x x y k kx y ，解考点：1．二次函数综合题；2．压轴题．27．（2016四川省攀枝花市）如图，在△AOB中，∠AOB为直角，OA=6，OB=8，半径为2的动圆圆心Q从点O出发，沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从点A出发，沿着AB方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t≤5）以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为C、D，连结CD、QC．（1）当t为何值时，点Q与点D重合？（2）当⊙Q经过点A时，求⊙P被OB截得的弦长．（3）若⊙P与线段QC只有一个公共点，求t的取值范围．【答案】（1）3011；（2；（3）0＜t ≤1813或3011＜t ≤5．考点：1．圆的综合题；2．分类讨论；3．动点型；4．压轴题．28．（2016四川省攀枝花市）如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，B 点坐标为（3，0），与y 轴交于点C （0，﹣3） （1）求抛物线的解析式；（2）点P 在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC 的面积最大时，求点P 的坐标和四边形ABPC 的最大面积．（3）直线l 经过A 、C 两点，点Q 在抛物线位于y 轴左侧的部分上运动，直线m 经过点B 和点Q ，是否存在直线m ，使得直线l 、m 与x 轴围成的三角形和直线l 、m 与y 轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m 的解析式，若不存在，请说明理由．【答案】（1）223y x x =--；（2）P 点坐标为（32，154-）时，四边形ABPC 的面积最大，最大面积为758；（3）存在，113y x =-．在223y x x =--中，令y =0可得2023x x =--，解得x =﹣1或x =3，∴A 点坐标为（﹣1，0），∴AB =3﹣（﹣1）=4，且OC =3，∴S △ABC =12AB •OC =12×4×3=6，∵B （3，0），C （0，﹣3），∴直线BC 解析式为y =x ﹣3，设P 点坐标为（x ，223x x --），则M 点坐标为（x ，x ﹣3），∵P 点在第四限，∴PM =23(23)x x x ----=23x x -+，∴S △PBC =12PM •OH +12PM •HB =12PM •（OH +HB ）=12PM •OB =32PM ，∴当PM 有最大值时，△PBC 的面积最大，则四边形ABPC 的面积最大，∵PM =23x x -+=239()24x --+，∴当x =32时，PM max =94，则S △PBC =3924⨯=278，此时P 点坐标为（32，154-），S 四边形ABPC =S △ABC +S △PBC =6+278=758，即当P 点坐标为（32，154-）时，四边形ABPC 的面积最大，最大面积为758；考点：1．二次函数综合题；2．存在型；3．最值问题；4．二次函数的最值；5．动点型；6．压轴题．29．（2016四川省泸州市）如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，BD与AC相交于点H，AC的延长线与过点B的直线相交于点E，且∠A=∠EBC．（1）求证：B E是⊙O的切线；（2）已知CG∥EB，且CG与BD、BA分别相交于点F、G，若BG•BA=48，FG=，DF=2BF，求AH的值．【答案】（1）证明见解析；（2）考点：1．圆的综合题；2．三角形的外接圆与外心；3．切线的判定．30．（2016四川省泸州市）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l与抛物线2=+相交于A（1，，B（4，0）两点．y mx nx（1）求出抛物线的解析式；（2）在坐标轴上是否存在点D，使得△ABD是以线段AB为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；（3）点P是线段AB上一动点，（点P不与点A、B重合），过点P作PM∥OA，交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于点N，若△BCN、△PMN的面积S△B C N、S△P M N满足S△B C N=2S△P M N，求出MNNC的值，并求出此时点M的坐标．【答案】（1）2y=+；（2）D（1，0）或（0）或（0）；（3），M（1，）．综上可知存在满足条件的D 点，其坐标为（1，0）或（0，2）或（0，2）；（3）如图2，过P 作PF ⊥CM 于点F ，∵PM ∥OA ，∴Rt △ADO ∽Rt △MFP ，∴MF ADPF OD==∴MF =，在Rt △ABD 中，BD =3，AD =∴tan ∠ABD =∴∠ABD =60°，设BC =a ，则CN =a ，在Rt △PFN 中，∠PNF =∠BNC =30°，∴tan ∠PNF =3PF PN =，∴FN =，∴MN =MF +FN =PF ，∵S △B C N =2S △P M N ，∴22122=⨯⨯，∴a =PF ，∴NC =a =PF ，∴MNNC ==，∴MN =NC ==a ，∴MC =MN +NC =（）a ，∴M 点坐标为（4﹣a ，（）a ），又M 点在抛物线上，代入可得2))a a -+-=（）a ，解得a =3或a =0（舍去），OC =4﹣a =1，MC =，∴点M 的坐标为（1，）．考点：1．二次函数综合题；2．分类讨论；3．动点型；4．存在型；5．压轴题． 31．（2016四川省资阳市）已知抛物线与x 轴交于A （6，0）、B （54-，0）两点，与y 轴交于点C ，过抛物线上点M （1，3）作MN ⊥x 轴于点N ，连接OM ．（1）求此抛物线的解析式；（2）如图1，将△OMN 沿x 轴向右平移t 个单位（0≤t ≤5）到△O ′M ′N ′的位置，MN ′、M ′O ′与直线AC 分别交于点E 、F ．①当点F 为M ′O ′的中点时，求t 的值；②如图2，若直线M ′N ′与抛物线相交于点G ，过点G 作GH ∥M ′O ′交AC 于点H ，试确定线段EH 是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）241921515y x x =-++；（2）①1；②t =2时，EH 最大值为考点：1．二次函数综合题；2．最值问题；3．二次函数的最值；4．存在型；5．平移的性质；6．压轴题．32．（2016山东省临沂市）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．小明计划给朋友快递一部分物品，经了解有甲、乙两家快递公司比较合适．甲公司表示：快递物品不超过1千克的，按每千克22元收费；超过1千克，超过的部分按每千克15元收费．乙公司表示：按每千克16元收费，另加包装费3元．设小明快递物品x千克．（1）请分别写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用y（元）与x（千克）之间的函数关系式；（2）小明选择哪家快递公司更省钱？【答案】（1）22 (01)157 (1)x xyx x<<⎧=⎨+>⎩甲，=163y x+乙；（2）当12＜x＜4时，选乙快递公司省钱；当x=4或x=12时，选甲、乙两家快递公司快递费一样多；当0＜x＜12或x＞4时，选甲快递公司省钱．当0＜x ＜12或x ＞4时，选甲快递公司省钱． 考点：1．一次函数的应用；2．分段函数；3．方案型．33．（2016山东省临沂市）如图，在平面直角坐标系中，直线y =﹣2x +10与x 轴，y 轴相交于A ，B 两点，点C 的坐标是（8，4），连接AC ，BC ．（1）求过O ，A ，C 三点的抛物线的解析式，并判断△ABC 的形状；（2）动点P 从点O 出发，沿OB 以每秒2个单位长度的速度向点B 运动；同时，动点Q 从点B 出发，沿BC 以每秒1个单位长度的速度向点C 运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t 秒，当t 为何值时，PA =QA ？（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M ，使以A ，B ，M 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）21566y x x =-，直角三角形；（2）103；（3）M 1（52），M 2（52，M 3（52，2），M 4（52，2-）．（3）存在，∵21566y x x =-，∴抛物线的对称轴为x =52，∵A （5，0），B （0，10），∴AB = 设点M （52，m ）；①若BM =BA 时，∴225()(10)1252m +-=，∴m 1=202+，m 2=202-M 1（52，202+），M 2（52②若AM =AB 时，∴225()1252m +=，∴m 3=2，m 4=2-，∴M 3（52，2），M 4（52，2-）； ③若MA =MB 时，∴222255(5)()(10)22m m -+=+-，∴m =5，∴M （52，5），此时点M 恰好是线段AB 的中点，构不成三角形，舍去；∴点M 的坐标为：M 1（52，202+），M 2（52，202-），M 3（52，2），M 4（52，2-）．考点：1．二次函数综合题；2．动点型；3．存在型；4．分类讨论；5．压轴题．34．（2016山东省德州市）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AE 平分∠BAC 交⊙O 于点E ，交BC 于点D ，过点E做直线l∥BC．（1）判断直线l与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠ABC的平分线BF交AD于点F，求证：B E=EF；（3）在（2）的条件下，若DE=4，DF=3，求AF的长．【答案】（1）直线l与⊙O相切；（2）证明见解析；（3）214．∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE，∴BE CE，∴∠BOE=∠COE．又∵OB=OC，∴OE⊥BC．∵l∥BC，∴OE⊥l，∴直线l与⊙O相切．（2）∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF．又∵∠CBE=∠CAE=∠BAE，∴∠CBE+∠CBF=∠BAE+∠ABF．又∵∠EFB =∠BAE +∠ABF ，∴∠EBF =∠EFB ，∴BE =EF ．（3）由（2）得BE =EF =DE +DF =7．∵∠DBE =∠BAE ，∠DEB =∠BEA ，∴△BED ∽△AEB ，∴DE BE BE AE =，即477AE=，解得；AE =494，∴AF =AE ﹣EF =494﹣7=214． 考点：圆的综合题．35．（2016山东省德州市）已知，m ，n 是一元二次方程2+430x x +=的两个实数根，且|m |＜|n |，抛物线2y x bx c =++的图象经过点A （m ，0），B （0，n ），如图所示．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x 轴的另一个交点为抛物线的顶点为D ，试求出点C ，D 的坐标，并判断△BCD 的形状；（3）点P 是直线BC 上的一个动点（点P 不与点B 和点C 重合），过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点M ，点Q 在直线BC 上，距离点P个单位长度，设点P 的横坐标为t ，△PMQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式．【答案】（1）223y x x =--；（2）△BCD 是直角三角形；（3）S =2213(03)2213 (03)22t t t t t t t ⎧-+<<⎪⎪⎨⎪-<>⎪⎩或．考点：1．二次函数综合题；2．分类讨论．36．（2016江苏省宿迁市）如图，在平面直角坐标系xOy 中，将二次函数21y x =-的图象M 沿x 轴翻折，把所得到的图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度，得到二次函数图象N ． （1）求N 的函数表达式；（2）设点P （m ，n ）是以点C （1，4）为圆心、1为半径的圆上一动点，二次函数的图象M 与x 轴相交于两点A 、B ，求22PA PB +的最大值；（3）若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点称为整点．求M 与N 所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数．【答案】（1）245y x x =-++；（2）38+（3）25．。
2016年中考数学压轴题精编--甘肃篇(试题及答案)
2016年中考数学压轴题精编—甘肃篇1．（甘肃省兰州市）如图1，已知矩形ABCD 的顶点A 与点O 重合，AD 、AB 分别在x 轴、y 轴上，且AD ＝2，AB ＝3；抛物线y ＝－x2＋bx ＋c 经过坐标原点O 和x 轴上另一点E （4，0）． （1）当x 取何值时，该抛物线有最大值，最大值是多少？（2）将矩形ABCD 以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x 轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P 也以相同的速度．．．．．从点A 出发向B 匀速移动．设它们运动的时间为t 秒（0≤t ≤3），直线AB 与该抛物线的交点为N （如图2所示）．①当t ＝411时，判断点P 是否在直线ME 上，并说明理由；②以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积是否可能为5，若有可能，求出此时N 点的坐标；若无可能，请说明理由．1．解：（1）∵抛物线y ＝－x2＋bx ＋c 经过坐标原点O （0，0）和点E （4，0）∴c ＝0，b ＝4∴抛物线的解析式为y ＝－x2＋4x ············································· 1分∵y ＝－x2＋4x ＝－(x－2)2＋4∴当x ＝2时，该抛物线有最大值，最大值是4 ····························· 2分 （2）①点P 不在直线ME 上∵M （2，4），E （4，0），设直线ME 的关系式为y ＝kx ＋b则⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝02k ＋b ＝4 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2b ＝8 所以直线ME 的关系式为y ＝－2x ＋8 ········································· 3分 由已知条件易得，当t ＝411时，OA ＝AP ＝411∴P （411，411） ···································································· 4分 ∴当x ＝411时，y ＝－2×411＋8＝25≠411∴当x ＝411时，点P 不在直线ME 上 ········································· 5分 ②以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积可能为5∵点A 在x 轴的非负半轴上，且N 在抛物线上，∴OA ＝AP ＝t∴点P ，N 的坐标分别为（t ，t ）、（t ，－t2＋4t ） ··························· 6分图1图2∴AN ＝－t2＋4t （0≤t ≤3）∴AN －AP ＝(－t2＋4t)－t ＝－t2＋3t ＝t (3－t )≥0∴PN ＝－t2＋3t ···································································· 7分（ⅰ）当PN ＝0，即t ＝0或t ＝3时，以点P ，N ，C ，D 为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为AD∴S ＝21DC ·AD ＝21×3×2＝3 （ⅱ）当PN ≠0时，以点P ，N ，C ，D 为顶点的多边形是梯形 ∵PN ∥CD ，AD ⊥CD ∴S ＝21(CD ＋PN )·AD ＝21(3－t2＋3t )×2＝－t2＋3t ＋3 ·························· 8分 当－t2＋3t ＋3＝5时，解得t ＝1或t ＝2 ················································ 9分 因为1、2都在0≤t ≤3范围内，故以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积为5 综上所述，当t ＝1或t ＝2时，以点P ，N ，C ，D 为顶点的多边形面积为5 当t ＝1时，N 点的坐标为（1，3） ···················································· 10分 当t ＝2时，N 点的坐标为（2，4） ···················································· 11分说明：（ⅱ）中的关系式，当t ＝0和t ＝3时也适合（故在阅卷时没有（ⅰ），只有（ⅱ）也可以，不扣分）2．（甘肃省天水市、庆阳市、定西市、白银市、嘉峪关市等九市联考）如图，抛物线与x 轴交于A （－1，0）、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，－3），设抛物线的顶点为D ． （1）求该抛物线的解析式与顶点D 的坐标；（2）以B 、C 、D 为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？（3）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以P 、A 、C 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，请指出符合条件的点P 的位置，并直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2．解：（1）设该抛物线的解析式为y ＝ax2＋bx ＋c由抛物线与y 轴交于点C （0，－3），可知c ＝－3即抛物线的解析式为y ＝ax2＋bx －3 ···························································· 1分把A （－1，0）、B （3，0）代入，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b －3＝09a ＋3b －3＝0解得a ＝1，b ＝－2∴抛物线的解析式为y ＝x2－2x －3 ······························································ 3分∵y ＝x2－2x －3＝(x －1)2－4∴顶点D 的坐标为（1，－4） ····································································· 4分（2）以B 、C 、D 为顶点的三角形是直角三角形 ································· 5分理由如下：如图1，过点D 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为E 、F在Rt △BOC 中，OB ＝OC ＝3，∴BC 2＝18 ···················································· 6分 在Rt △CDF 中，DF ＝1，CF ＝OF －OC ＝4－3＝1，∴CD 2＝2 ··························· 7分 在Rt △BDE 中，DE ＝4，BE ＝OB －OE ＝3－1＝2，∴BD 2＝20 ·························· 8分 ∴BC 2＋CD 2＝CE 2，∴△BCD 为直角三角形 ··············································· 9分（3）如图2，连接AC ，可知Rt △COA ∽Rt △BCD ，得符合条件的点为O （0，0）········································································· 10分过A 作AP 1⊥AC 交y 轴正半轴于P1，可知Rt △CAP 1∽Rt △COA ∽Rt △BCD求得符合条件的点为P 1（0，21）······························································· 11分 过C 作CP 2⊥AC 交x 轴正半轴于P 2，可知Rt △P 2CA ∽Rt △COA ∽Rt △BCD求得符合条件的点为P 2（9，0） ································································ 12分∴符合条件的点有三个：O （0，0），P 1（0，21），P 2（9，0）3．（甘肃省陇南市）如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝4，将一个30°角的顶点P 放在AB 边上滑动，保持30°角的一边平行于BC ，且交边AC 于点E ，30°角的另一边交射线BC 于点D ，连结ED ．（1）当四边形PEDC 为平行四边形时，求AP 的长；（2）设AP ＝x ，动角和△ABC 重叠部分的图形的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）△PED 能否成为等腰三角形？若能，求出AP 的长；若不能，请说明理由．3．解：（1）设AP ＝x ，则BP ＝4－x∵∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝4，∴BC ＝2，∠B ＝60° ∵PE ∥BC ，∴∠APE ＝∠B ＝60°，∠AEP ＝∠C ＝90°∴PE ＝21x ··································································· 1分 ∴∠BPD ＝90°，∠BDP ＝30°，∴BD ＝2BP ＝8－2x ∴CD ＝BD －BC ＝8－2x －2＝6－2x ····································· 2分 262为直角梯形PDCE∵DC ＝BC －BD ＝2－(8－2x )＝2x －6 ∴y ＝21(DC ＋PE )·EC ＝21(2x －6＋21x )·23(4－x )＝－835x2＋34x －36B AP E 30° B A备用图 B A P E 30° 图1O图3（3）能．设AP ＝x ⅰ）当点D 在BC 上时若PD ＝ED ，如图3，则∠PED ＝∠DPE ＝30°，∴∠EDC ＝30° ∴DC ＝23ED ，∴2x －6＝23·3(4－x ) 解得x ＝724··································································· 9分若PD ＝PE ，如图4，则3(4－x )＝21x 解得x ＝113848- ·························································· 10分 若PE ＝DE ，则PE 2＝DE 2＝DC 2＋EC 2∴(21x )2＝(2x －6)2＋[23(4－x )]2整理得：3x2－20x ＋32＝0，解得x 1＝4（舍去），x 2＝38（舍去）································································ 11分ⅱ）当点D 在BC 延长线上时，如图5∵∠PED ＞90°，∴若△PED 为等腰三角形，只能PE ＝DE ∴∠PDE ＝∠DPE ＝30°，∴∠PED ＝120°，∴∠CED ＝30° ∴DE ＝2CD ，∴21x ＝2[2((4－x )－2] 解得x ＝38····························································································· 12分综上所述，当AP ＝24或3848-或8时，△PED 能成为等腰三角形4．解：（1）在y ＝ax2－5ax ＋4中， 令x ＝0，得y ＝4，∴C （0，4）∵抛物线的对称轴为：x ＝－a a 25-＝25，∴B （5，4） B AD C PE30°图5又BC ∥x 轴，AB 平分∠CAO ，∴∠CAB ＝∠BAO ＝∠CBA[来源:学+科+网]∴AC ＝BC ＝5 ························································································ 2分 在Rt △CAO 中，∵AC ＝5，OC ＝4，∴OA ＝3 ∴A （－3，0），代入y ＝ax2－5ax ＋4，得a ＝－61··········································· 3分 ∴抛物线的解析式为y ＝－61x2＋65x ＋4 ························································ 4分 （2）∵点P 是抛物线对称轴上的动点，故可设P （5，m ） 22若点P 在x 轴下方，则BA 延长线与x 轴夹角的角平分线与抛物线对称轴的交点即为P 2点 易知AP 2⊥AP 1∴Rt △AP 2E ∽Rt △P 1AE ，∴AE E P 2＝E P AE1即211y -＝112511211-，解得y ＝－2511－11 故存在点P 1（25，2511－11），P 2（25，－2511－11），使得以P 为圆心的圆既与直线AB 相切，又与＝43，∴OBOA ＝43∴OA ＝43OB ＝6，∴A （6，0） 又 OB ＝4OC ，∴OC ＝2，∴C （－2，0） 设该抛物线的解析式为y ＝a (x ＋2)(x －6) 把B （0，－8）代入，得：－8＝a (0＋2)(0－6)，解得a ＝32∴该抛物线的解析式为y ＝32(x ＋2)(x －6) 即y ＝32x2－38x －8 ···················································· 4分 （2）∵y ＝32x2－38x －8＝32(x －2)2－332，∴D （2，－332）如图1，过D 作DE ⊥x 轴于E则OE ＝2，DE ＝332，AE ＝6－2＝4 S 四边形OADB＝S 梯形OEDB＋S △ADE ＝21×(8＋332)×2＋21×4×332 ＝40 ························································· 6分 （3）①∵AB2＝OA2＋OB2＝62＋82＝100，∴AB ＝10设t 秒时，P 、Q 两点相遇，则： 2t －6＋4t －8＝10，解得：t ＝4（s ） 点P 在OA 上运动的时间为：6÷2＝3（s ） 点Q 在OB 上运动的时间为：8÷4＝2（s ）当0≤t ≤2时，如图2，点P 在OA 上，点Q 在OB 上， OP ＝2t ，OQ ＝4t ∴S ＝21OP ·OQ ＝21×2t ×4t ＝4t2 即S 关于t 的函数关系式为：S ＝4t2（0≤t ≤2） (7)当2＜t ≤3时，如图3，点P 在OA 上，点Q 在BA 上， OP ＝2t ，BQ ＝4t －8过点Q 作QF ⊥OB 于F ，由△QFB ∽△AOB 得：BQ FB ＝BAOB即84-t FB ＝108，∴FB ＝54(4t －8)，∴OF ＝8－54(4t －8) ∴S ＝21OP ·OF ＝21×2t ×[8－54(4t －8)]＝－516t2＋572t 即S 关于t 的函数关系式为：S ＝－516t2＋572t （2＜t ≤3） ································ 8分 当3＜t ≤4时，如图4，P 、Q 两点都在AB 上，AP ＝2t －6，BQ ＝4t －8 PQ ＝AB －(AP ＋BQ )＝10－(2t －6＋4t －8)＝24－6t △AOB 的AB 边上的高＝1086⨯＝524 ∴S ＝21×(24－6t )×524＝－572t ＋5288即S 关于t 的函数关系式为：S ＝－572t ＋5288（3＜t ≤4）图1················································································· 9分 ②当0≤t ≤2时，S 最大＝4×22＝16当2＜t ≤3时，S ＝－516t2＋572t ＝－516(t －49)2＋581当t ＝49时，S 最大＝581当3＜t ≤4时，S 最大＝－572×3＋5288＝572 综上所述，当t ＝49时，△OPQ 的面积最大，最大面积为581 ···························· 12分。
2016中考数学压轴题(完整版)
2016中考数学压轴题（完整版）A级基础题1.要使分式1x-1有意义，则x的取值范围应满足()A.x=1B.x0C.x1D.x=02.(2013年贵州黔西南州)分式x2-1x+1的值为零，则x的值为()A.-1B.0C.1D.13.(2013年山东滨州)化简a3a，正确结果为()A.aB.a2C.a-1D.a-24.约分：56x3yz448x5y2z=________;x2-9x2-2x-3=________.5.已知a-ba+b=15，则ab=__________.6.当x=______时，分式x2-2x-3x-3的值为零.7.(2013年广东汕头模拟)化简：1x-4+1x+42x2-16.8.(2012年浙江衢州)先化简x2x-1+11-x，再选取一个你喜欢的数代入求值.9.先化简，再求值：m2-4m+4m2-1m-2m-1+2m-1，其中m=2.B级中等题10.(2012年山东泰安)化简：2mm+2-mm-2mm2-4=________.11.(2013年河北)若x+y=1，且x0，则x+2xy+y2xx+yx的值为________.12.(2013年贵州遵义)已知实数a满足a2+2a-15=0，求1a+1-a+2a2-1a+1a+2a2-2a+1的值.C级拔尖题13.(2012年四川内江)已知三个数x，y，z满足xyx+y=-2，yzz+y=34，zxz+x=-34，则xyzxy+yz+zx的值为________.14.先化简再求值：ab+ab2-1+b-1b2-2b+1，其中b-2+36a2+b2-12ab=0.分式1.C2.D3.B4.7z36x2yx+3x+15.326.-17.解：原式=x+4+x-4x+4x-4x+4x-42=x+4+x-42=x.8.解：原式=x2-1x-1=x+1，当x=2时，原式=3(除x=1外的任何实数都可以).9.解：原式=m-22m+1m-1m-1m-2+2m-1=m-2m+1+2m-1=m-2m-1+2m+1m+1m-1=m2-m+4m+1m-1，当m=2时，原式=4-2+43=2.10.m-611.112.解：原式=1a+1-a+2a+1a-1a-12a+1a+2=1a+1-a-1a+12=2a+12，∵a2+2a-15=0，(a+1)2=16.原式=216=18.13.-4解析：由xyx+y=-2，得x+yxy=-12，裂项得1y+1x=-12.同理1z+1y=43，1x+1z=-43.所以1y+1x+1z+1y+1x+1z=-12+43-43=-12，1z+1y+1x=-14.于是xy+yz+zxxyz=1z+1y+1x=-14，所以xyzxy+yz+zx=-4.14.解：原式=ab+1b+1b-1+b-1b-12=ab-1+1b-1=a+1b-1.由b-2+36a2+b2-12ab=0，得b-2+(6a-b)2=0，b=2,6a=b，即a=13，b=2.原式=13+12-1=43.这篇中考数学压轴题的内容，希望会对各位同学带来很大的帮助。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2016年中考数学压轴题70题精选（含答案）【001】如图13，二次函数)0(2<++=p q px x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，-1），ΔABC 的面积为45。
（1）求该二次函数的关系式；（2）过y 轴上的一点M （0，m ）作y 轴的垂线，若该垂线与ΔABC 的外接圆有公共点，求m 的取值范围；（3）在该二次函数的图象上是否存在点D ，使四边形ABCD 为直角梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由。
【002】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点.(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC 于点E，①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形? 请直接写出相应的t值。
【003】抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的顶点为M ，与x 轴的交点为A 、B （点B 在点A 的右侧），△ABM 的三个内角∠M 、∠A 、∠B 所对的边分别为m 、a 、b 。
若关于x 的一元二次方程0)(2)(2=+++-a m bx x a m 有两个相等的实数根。
（1）判断△ABM 的形状，并说明理由。
（2）当顶点M 的坐标为（－2，－1）时，求抛物线的解析式，并画出该抛物线的大致图形。
（3）若平行于x 轴的直线与抛物线交于C 、D 两点，以CD 为直径的圆恰好与x 轴相切，求该圆的圆心坐标。
【004】一次函数y ax b =+的图象分别与x 轴、y 轴交于点,M N ，与反比例函数ky x=的图象相交于点,A B ．过点A 分别作AC x ⊥轴，AE y ⊥轴，垂足分别为,C E ；过点B 分别作BF x ⊥轴，BD y ⊥轴，垂足分别为F D ，，AC 与BD 交于点K ，连接CD ． （1）若点A B ，在反比例函数ky x=的图象的同一分支上，如图1，试证明： ①AEDK CFBK S S =四边形四边形； ②AN BM =．（2）若点A B ，分别在反比例函数ky x=的图象的不同分支上，如图2，则AN 与BM 还相等吗？试证明你的结论．)【005】如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A 的坐标为（－3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．（1）求直线AC的解析式；（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S 与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．【006】如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于C 点，且经过点(23)a -，，对称轴是直线1x =，顶点是M ． （1）求抛物线对应的函数表达式；（2）经过C,M 两点作直线与x 轴交于点N ，在抛物线上是否存在这样的点P ，使以点P A C N ，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设直线3y x =-+与y 轴的交点是D ，在线段BD 上任取一点E （不与B D ，重合），经过AB E ，，三点的圆交直线BC 于点F ，试判断AEF △的形状，并说明理由； （4）当E 是直线3y x =-+上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出结论）．【007】如图9，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点(33)A ，． （1）求正比例函数和反比例函数的解析式；（2）把直线O A 向下平移后与反比例函数的图象交于点(6)B m ，，求m 的值和这个一次函数的解析式；（3）第（2）问中的一次函数的图象与x 轴、y 轴分别交于C 、D ，求过A 、B 、D 三点的二次函数的解析式；（4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E ，使四边形O ECD 的面积1S 与四边形O ABD 的面积S 满足：123S S？若存在，求点E 的坐标； 若不存在，请说明理由．【008】如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为1的圆的圆心O 在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A B C D 、、、四点．抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于点D ，与直线y x =交于点M N 、，且MA NC 、分别与圆O 相切于点A 和点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴交x 轴于点E ，连结DE ，并延长DE 交圆O 于F ，求EF 的长． （3）过点B 作圆O 的切线交DC 的延长线于点P ，判断点P 是否在抛物线上，说明理由．【009】如图，抛物线经过(40)(10)(02)A B C -，，，，，三点． （1）求出抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与OAC △相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC 上方的抛物线上有一点D ，使得DCA △的面积最大，求出点D 的坐标．【010】如图，抛物线24y ax bx a =+-经过(10)A -，、(04)C ，两点，与x 轴交于另一点B ．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点(1)D m m +，在第一象限的抛物线上，求点D 关于直线BC 对称的点的坐标；（3）在（2）的条件下，连接BD ，点P 为抛物线上一点， 且45DBP ∠=°，求点P 的坐标．7)，且顶点C的横坐标为4，该图象在【011】如图，二次函数的图象经过点D(0，39x 轴上截得的线段AB的长为6.⑴求二次函数的解析式；⑵在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；⑶在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．【012】如图，已知抛物线2y x bx c =++经过(10)A ，，(02)B ，两点，顶点为D ． （1）求抛物线的解析式；（2）将OAB △绕点A 顺时针旋转90°后，点B 落到点C 的位置，将抛物线沿y 轴平移后经过点C ，求平移后所得图象的函数关系式；（3）设（2）中平移后，所得抛物线与y 轴的交点为1B ，顶点为1D ，若点N 在平移后的抛物线上，且满足1NBB △的面积是1NDD △面积的2倍，求点N 的坐标．（第26【013】如图，点P 是双曲线11(00)k y k x x=<<，上一动点，过点P 作x 轴、y 轴的垂线，分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，交双曲线y =xk 2（0＜k 2＜|k 1|）于E 、F 两点． （1）图1中，四边形PEOF 的面积S 1= ▲ (用含k 1、k 2的式子表示)； （2）图2中，设P 点坐标为（－4，3）． ①判断EF 与AB 的位置关系，并证明你的结论；②记2PEF OEF S S S ∆∆=-，S 2是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请说明理由。
【014】一开口向上的抛物线与x轴交于A(m－2，0)，B(m＋2，0)两点，记抛物线顶点为C，且AC⊥BC．(1)若m为常数，求抛物线的解析式；(2)若m为小于0的常数，那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？(3)设抛物线交y轴正半轴于D点，问是否存在实数m，使得△BCD为等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【015】如图，已知抛物线与x交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与y轴交于点B(0，3)。
（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积；（3）△AOB与△DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。
【016】如图，已知ABC ∆为直角三角形，90ACB ∠=︒，AC BC =,点A 、C 在x 轴上，点B 坐标为（3，m ）（0m >），线段AB 与y 轴相交于点D ，以P （1，0）为顶点的抛物线过点B 、D ．（1）求点A 的坐标（用m 表示）； （2）求抛物线的解析式；（3）设点Q 为抛物线上点P 至点B 之间的一动点，连结PQ 并延长交BC 于点E ，连结 BQ 并延长交AC 于点F ，试证明：()FC AC EC +为定值．【017】阅读材料：如图12-1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 21=∆，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 解答下列问题：如图12-2，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0)，交y 轴于点B . (1)求抛物线和直线AB 的解析式；(2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ∆； (3)是否存在一点P ，使S △PAB =89S △CAB ，若存在,求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.图12-2 xCOy ABD1 1【018】已知二次函数22-++=a ax x y 。
（1）求证：不论a 为何实数，此函数图象与x 轴总有两个交点。
（2）设a<0，当此函数图象与x 轴的两个交点的距离为13时，求出此二次函数的解析式。
（3）若此二次函数图象与x 轴交于A 、B 两点，在函数图象上是否存在点P ，使得△PAB 的面积为2133，若存在求出P 点坐标，若不存在请说明理由。
【019】如图，已知射线DE 与x 轴和y 轴分别交于点(30)D ，和点(04)E ，．动点C 从点(50)M ，出发，以1个单位长度/秒的速度沿x 轴向左作匀速运动，与此同时，动点P 从点D 出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE 的方向作匀速运动．设运动时间为t 秒．（1）请用含t 的代数式分别表示出点C 与点P 的坐标；（2）以点C 为圆心、12t 个单位长度为半径的C ⊙与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），连接PA 、PB ．①当C ⊙与射线DE 有公共点时，求t 的取值范围； ②当PAB △为等腰三角形时，求t 的值．【020】已知抛物线22y x x a =-+（0a <）与y 轴相交于点A ，顶点为M .直线12y x a =-分别与x 轴，y 轴相交于B C ，两点，并且与直线AM 相交于点N . (1)填空：试用含a 的代数式分别表示点M 与N 的坐标，则()()M N ， ， ， ； (2)如图，将NAC △沿y 轴翻折，若点N 的对应点N ′恰好落在抛物线上，AN ′与x 轴交于点D ，连结CD ，求a 的值和四边形ADCN 的面积；(3)在抛物线22y x x a =-+（0a <）上是否存在一点P ，使得以P A C N ，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，试说明理由.第（2）题备用图（第24题）【021】已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3．过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G．如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为65，那么EF=2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ 与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．26题图x【022】已知平行于x 轴的直线)0(≠=a a y 与函数x y =和函数xy 1=的图像分别交于点A 和点B ，又有定点P （2，0） .（1）若0>a ，且tan ∠POB=91，求线段AB 的长；（2）在过A ，B 两点且顶点在直线x y =上的抛物线中，已知线段AB=38，且在它的对称轴左边时，y 随着x 的增大而增大，试求出满足条件的抛物线的解析式； （3）已知经过A ，B ，P 三点的抛物线，平移后能得到259x y =的图像，求点P 到直线AB 的距离。