第二章土中应力计算
岩土力学中应力计算
的原因 附加应力 土 中
由于外荷（静的或动的） 在土体内部引起的应力， 记为σZ。
应 力
有效应力
土粒所传递的粒间应力， 记为σ′。
按其传
递方式
孔隙水压力
土中水传递的 孔隙应力， 记
孔隙应力 孔隙气压力
为u。
土中气传递的 孔隙应力。
土中应力计算的基本假定
假定地基土是均匀、连续、各向同性的半无限弹性体。
【解】
本例题天然地面下第一层粉质黏土厚6m，其中地下水位以 上和以下的厚度分别为3.6m和2.4m；第二层为黏土层。依 次 计算2.5m、3.6m、5m、6m、9m各深度处的土中竖向自重 应 力，计算过程及自重应力分布图一并列于下图中。
粉 质 黏 土
黏 土
习题2-1图
三、土中附加应力计算
上部 结构
应力矩阵
ij yxx
xy y
xz yz
zx zy z
三维应力状态（轴对称应力状态）
应力条件
x y c
xy yz zx 0
水压 力c
应
c 0 0
力 矩
ij
0
c
0
阵
0 0 z
轴向力F
z
试 样
y
x
x y c
2、二维应力状态（平面应变状态）
o
y
z
x
1、当位于地下水位以下的土为砂土时，土中水为自由 水，计算时用土的浮重度。
2、当位于地下水位以下的土为坚硬黏土时（IL ≤ 0） ， 在饱和坚硬黏土中只含有结合水，对土体没有浮力 的作用，计算自重应力时应采用饱和重度。
3、地下水位以下黏土，当 IL > 1时，土处于流动状态， 土粒间存在大量的自由水，用土的浮重度。
土体中的应力计算
x 0xy 0 xz x 0yx y 0 yz y ij = 0zy z 0zx
理论研究和工程实践中广泛应用
三、土的应力-应变关系的假定
1、室内测定方法及一般规律
轴对称问题 常规三轴试验 侧限压缩试验
特殊应力状态
一维问题
2、应力计算时的基本假定 1）连续性假定 2）均质、各向同性假定 3）线性变形体假定 4）半无限体假定
x y ; z xy , yz , zx 0
x y ; z xy , yz , zx 0
x y , z ; x y , z
二、地基中常见的应力状态----三维问题图解
z
zx
xy
x
o x z
y yz
y
x xy xz ij = yx y yz zx zy z
本章重点
1、应力状态及应力应变关系
地基中的应力状态 土力学中应力符号的规定 应力应变关系 强度问题 变形问题
2、自重应力
建筑物修建以前，地基中由土体 本身的有效重量所产生的应力。 建筑物修建以后，建筑物重 量等外荷载在地基中引起的 应力，所谓的“附加”是指 在原来自重应力基础上增加 的压力。
3、附加应力
碎散体 非线性 弹塑性 成层土 各向异性
① 连续介质（宏观平均） ② 线弹性体（应力较小时）
线弹性体
③ 均匀一致各向同性体 （土层性质变化不大时）
Δσ
加 载
卸 载
E、
与(x, y, z)无关 与方向无关
εp
εe
ε
§3.2 土体自重应力的计算
一、水平地基中的自重应力
定义：在修建建筑物以前，地基中由土体本身的有效重量而 产生的应力。
土中应力的计算
m
x y
r 1 z
z M(x,y,z)
z
s
z
3 Pz 2 R
3 5
3 2
1
5
P
2 2
r 1 z
3
z
2
P z
2
1
5 2 2 r 1 z
二、基底压力的简化计算 实用上，通常将基底压力假设为线性分布情况 按下列公式进行简化计算： 1、中心荷载作用下基底 压力：
p F G A
b为荷载 偏心方 向
Байду номын сангаас
2、偏心荷载作用下基 底压力：
p max p min F G A M W
W
lb 6
2
二、基底压力的简化计算
1、中心荷载作用下基底压力：
采用弹性力学解答。
③基础刚度为零，即基底作用的是柔性荷载；
一、 竖向集中力P作用下的地基附加应力
以集中力P的作用点为原点,以P的作用线为Z轴建 立起三轴坐标系(Oxyz)，则M点的坐标为(x,y,z ) P
O x y θ R r
m
x y
z M(x,y,z)
z
布辛奈斯克推出了M点的σ与 τ的6个应力分量和三个 位移分量的表达式。对沉降计算意义最大的是法向应 力分量σz: 3 3 Pz 3 1 P sz 5 5 2 2 2R z 2 P 2
第三节 基础底面压力
建筑物荷载通过基础传递给地基的压力称为 基底压力，与此相对应的地基土对基础底面的 反作用力称为地基反力。 基础
F G
地基
第三节 基础底面压力
土中应力计算课件
y
Rz
dzy
dzx dxz
M
dyz dy dyx
dxy
dx
z
3P z3
பைடு நூலகம்
3P
cos3
2 R5 2R 2
R r2 z2
z
3P z3
2 R5
z
3P
2
(r 2
z3 z2 )5/2
3
2
1 [(r / z)2 1]5/ 2
P z2
z
P z2
3.3.3 矩形和圆形荷载下地基附加应力计 算——积分法
3.3 土中附加应力
3.3.1 基本概念
1、定义
附加应力是因为外荷载作用，在地基中产生旳应力增量。
2、基本假定
地基土是各向同性旳、均质旳线性变形体，而且在深度和水平 方向上都是无限延伸旳。
3.3.2 竖向集中力作用时旳地基附加应 力布辛奈斯克解答
P
x
r x2 y2
r
y
x
R r2 z2
dz
z2
arctan
z
lb
]
(l 2 b2 z2 )
z c p0
c
1 2
(m2
mn(m2 2n2 1) n2 )(1 n2 ) m2 n2
1
arctan n
m ]
(m2 n2 1)
c ——均布矩形荷载角点下旳竖向附加应力系数，简称角点 应力系数，可查表得到。
* 对于均布矩形荷载附加应力计算点不位于角点下旳情况：
2z3 p
z b
b
d
0 [(x )2 z 2 ]2
z
p
[n(arctan
n m
arctan
土体中的应力计算
土体中的应力计算在土体中，应力是指单位面积上的力的作用，可以分为垂直应力和水平应力。
垂直应力是指垂直于土体中其中一点的力的作用，通常用σ表示，单位为N/m²或Pa；水平应力是指与土体中其中一点切向的力的作用，通常用τ表示，单位为N/m²或Pa。
在计算土体中的应力时，需要先确定作用力的大小和方向。
作用力可以分为自重应力、表面荷载和边界条件所引起的应力。
自重应力是由土体自身的重力引起的应力，可以通过土体的密度和重力加速度来计算；表面荷载是由于外界施加在土体上的荷载，可以通过荷载的大小和分布情况来计算；边界条件所引起的应力是由于土体边界的约束而产生的应力，可以根据边界条件的空间限制来计算。
计算垂直应力时，需要将作用力作用在单位面积上，即垂直应力等于作用力的大小除以土体的面积。
例如，对于自重应力来说，垂直应力可以通过土体的密度乘以重力加速度来计算。
而对于表面荷载来说，垂直应力可以通过荷载的大小和分布情况来计算。
计算水平应力时，需要考虑土体的弹性特性。
根据弹性理论，水平应力的大小与垂直应力的大小和土体的弹性模量有关。
弹性模量是反映土体抵抗应力的能力的指标，可以通过试验或经验公式估算得到。
一般来说，弹性模量越大，土体的抵抗应力能力越强，水平应力的大小也越大。
在应力计算时，还需要考虑土体的变形特性。
土体的变形可以分为弹性变形和塑性变形两种。
弹性变形是指在荷载作用后，土体恢复到无荷载状态时的变形，是可逆的，可以通过应力和应变之间的线性关系进行计算。
而塑性变形是指在荷载作用后，土体不完全恢复到无荷载状态时的变形，是不可逆的，需要通过试验或经验公式来确定。
总之，土体中的应力计算是根据应力平衡原理和弹性力学原理进行的，需要考虑土体的类型、作用力的大小和方向以及土体的弹性和变形特性。
通过合理的应力计算，可以为土壤工程和土木工程的设计和施工提供基础数据。
土体应力计算
第2章 土体应力计算2.1 自重应力 2.1.1 地基中的自重应力自重应力是由于地基土体本身的有效重量而产生的。
研究地基的自重应力是为了确定地基土体的应力状态。
计算地基中的自重应力时，一般将地基作为半无限弹性体来考虑，地基中的自重应力状态属于侧限应力状态，其内部任一水平面和垂直面上，均只有正应力而无剪应力。
1）垂直向自重应力．．．．．．．设地基中某单元距地面的距离为Z ，如图2－1所示，土的容重为 γ，则该单元上的垂向自重应力等于其单位面积上土柱的有效 重量，即：(2－1)单位以kPa 计。
从式（5－1）很容易得出，垂向自重应力随深度的增加而加大。
在均质地基中，垂直自重应力沿某一铅垂线上的分布是一条向下倾斜的直线,如图2－2所示。
若计算点在地下水位以下，由于水对土体有浮力作用，水下部分土柱的有效重量应采用土的浮容重γˊ计算。
如图2－2（a ）中位于地下水位以下的某点，在水位以下深度为 ,其竖向自重应力为：（2－2）式中，浮容重为 (2－3 )分析式（2－2）可知，自重应力的分布仍为直线，在地下水位处 发生转折，分布图见2－2（b ）若地基是由几种不同容重的土层组成时，如图2－2（b ），则任意深度Z 处的自重应力为：∑==++=ni ii sz h h h 12211γγγσ szσz sz γσ=i h 2'1h h s z γγσ+=ωγγγ-=sat '(2－4)式中，n 为地基中土的层数；为第i 层土的容重，单位：kN ∕ ； 为第i 层土的厚度，单位：m.。
成层土地基自重应力沿铅直线的分布图见图2－2(b),它是一条折线， 其转折点位于各不同容重土层的分界面上。
2）水平向自重应力 、在地面以下深度Z 处，由土的自重而产生的水平向应力，大小等于该点土的自重应力与土的侧压力系数 之乘积，即(2－5)土的静止侧压力系数 是指土体在无侧向变形条件下，水平向有效应力与垂直向有效应力之比值。
第2章 土中应力分布及计算
第二章土中应力分布及计算一、思考题1、自重应力，附加应力的大小与地基土的性质是否相关？2、自重应力与附加应力在地基中的分布各有何特点？3、基底压力分布的主要影响因素有哪些？4、在基底总压力不变的前提下，增大基础埋深对土中应力分布有什么影响？5、宽度相同的矩形和条形基础，其基底压力相同，在同一深度处，哪一个基础下产生的附加应力大？6、地下水位升降，对土中应力分布有何影响？7、自重应力，附加应力计算时的起算点是否相同？二、选择题1、有两个不同的基础，其基础总压力相同，问在同一深度处，哪一个基础产生的附加应力大？（）A、宽度小的基础产生的附加应力大B、宽度小的基础产生的附加应力小C、宽度大的基础产生的附加应力小D、两个基础产生的附加应力相等2、某场地自上而下的土层分布为：第一层粉土，厚3m，重度γ=18kN/m3；第二层粘土，厚5m，重度γ=18.4kN/m3，饱和重度γsat =19kN/m3，地下水位距地表5m，试求地表下6m处土的竖向自重应力（）A、99.8kPaB、109.8kPaC、111kPaD、109.2kPa3、成层地基土中的自重应力（）A、均匀分布B、直线分布C、曲线分布D、折线分布4、有一基础埋置深度d＝1.5m，建筑物荷载及基础和台阶土重传至基底总压力为100KN/m2，若基底以上土的重度为18 KN/m2，基底以下土的重度为17 KN/m2，地下水位在地表处，则基底竖向附加压力为多少（）A、85 KN/m2B、73 KN/m2C、88 KN/m25、一矩形基础，短边b＝3m，长边l＝4m，在长边方向作用一偏心荷载F＋G=1200KN，偏心距为多少时，基底不会出现拉应力（）A、0.5mB、0.57mC、0.67m6、由建筑物荷载或其它外载在地基内产生的应力称为（）A、自重应力B、附加应力C、基底压力D、基底附加压力7、土的自重应力计算中假定的应力状态为（）A、σz ≠0、σx≠0、τxz≠0 B、σz≠0、σx≠0、τxz=0C、σz ≠0、σx=0、τxz=08、当上部结构荷载的合力不变时，荷载偏心距越大，则基底压力平均值（）A、越大B、越小C、不变9、基底总压力与基底附加压力哪一个大？（）A、基底附加压力B、基底总压力C、二者相等10、地下水位下降，则土中自重应力（）A、不变B、减小C、增大答案：B、A、D、C、C、B、B、C、B、C三、计算题1、某工程地基勘查结果：地表为杂填土，31/0.18mkN=γ，厚度mh50.11=；第二层土为粉土，32/0.19mkN=γ，厚度mh6.32=；第三层为中砂，33/5.19mkN=γ，厚度mh80.13=；第四层为坚硬岩石，地下水位1.5m。
第二章 土体中的应力
其中 cosβ=z/R1,同样可求得 x
2 p
R1
cos
sin 2
五、条形荷载作用 1.均布条形荷载作用
xz
zx
2 p R1
cos2
s in
z
p
[sin
1
cos1
sin
2
cos2
(1
2 )]
同理得： x
p
[ sin(1
2 ) cos(1
2 ) (1
2 )]
xz
p
说明；经常用到的是竖向自重应力，为简单起见，一律简写成 c ，即 c z 。
2.成层土条件下自重应力
设各层土的土层厚度分别为 h1、h2、h3,容重分别为 1、 2、 3，如图。分层
不影响对称性，仍用前述的方法截取土柱体，分段求合力，得 P=P1+P2+P3
即：P F 1 h1 F 2 h2 F 3 h3 由此得： c 1 h1 2 h2 3 h3
三、圆形面积上的荷载
1.均布荷载圆心点下
z
A
3 pZ3 2 R5
dF
o
p
ro
o
0
2 0
3 Z3
z
2 R5
dF
f( ) ro
0 —均布圆形荷载作用时中心点下的竖向附加应力系数其中的 ro 为荷载作用面半径,z 计算点至荷载作用面的距离。
2. 均布荷载任意点下
z p
其中
f(r , z) ro ro
=
M/N,则
pm ax
m in
N Lb
(1
6e L
)
(e
L) 6
此时，基底反力呈梯形或三角形分布，如图，当 e>L/6 时，按上式计算基底出现拉力，而基底只能承压不能受拉，
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§2 土中的应力计算 §2.2 土中自重应力的计算
分布规律
▪自重应力分布线的斜率是容重； ▪自重应力在等容重地基中随深度呈直线分布； ▪自重应力在成层地基中呈折线分布； ▪在土层分界面处和地下水位处发生转折。
均质地基
1 (1 2)
2
2
成层地基
五、例题分析
【例】一地基由多层土组成，地质剖面如下图所
假定：水平地基半无限空间体半无限弹性体 有侧限应变条件一维问题
计算：地下水位以上用天然容重，地下水位以下用浮容重
一、均质土中自重应力
土体中任意深度处的竖向自重应力等于单位面积上土柱
的有效重力
天然地面
cz
WzAz
AA
1
cz
1
z
cy
cz
w
cx
cz z
σcz= z
z cz z
二、成层土及土层中有地下水时的自重应力计算
剪应力
拉为正 顺时针为正 压为负 逆时针为负
压为正 逆时针为正 拉为负 顺时针为负
§2 土中的应力计算 §2.1 应力状态及应力应变关系
二. 地基中常见的应力状态
1.一般应力状态——三维问题
z
zx
zy xz
yx
xy
x
y yz
o x
z y
ij =
x xy xz yx y yz
zx zy z
地下水位升降对地基自重应力的影响
四、水平向自重应力（侧向自重应力）
天然地面
z
cz z cxc y K0cz
cz cx
静止侧压
力系数 K 0 1
（0.33~0.72），通过实验测定
cy
§2 土中的应力计算 §2.2 土中自重应力的计算
计算公式
均质地基
成层地基
竖直向：sz z
sz W A zA A z
§2 土中的应力计算 §2.1 应力状态及应力应变关系
三. 土的应力-应变关系的假定 1、室内测定方法及一般规律 (1)常规三轴试验 a) 固结排水试验
应力应变关系－以某种粘土为例
•与围压有关
•非线性
•剪胀性
v
§2 土中的应力计算 §2.1 应力状态及应力应变关系
三. 土的应力-应变关系的假定 1、室内测定方法及一般规律 (1)常规三轴试验 a) 固结排水试验
由虎克定律: z E z E x y
侧限条件下: 则:
x y 0;
x
y
1
z
பைடு நூலகம்
z z E 1 E 1 2 E z 11 2 2
E
z z
1
22 1
EEs,
122 1 1
E < Es
§2 土中的应力计算 §2.1 概述
三. 土的应力-应变关系的假定 2、应力计算时的基本假定
传压板 水槽 环刀 内环
试样
§2 土中的应力计算 §2.1 应力状态及应力应变关系
三. 土的应力-应变关系的假定 1、室内测定方法及一般规律 (2)侧限压缩试验
应力应变关系－以某种粘土为例
z p
非线性 弹塑性
1 Ee
1 Es
z
e0 (1e0)
侧限变形模量：
Es
z z
§2 土中的应力计算 §2.1 应力状态及应力应变关系
0zx 0 zy z
ij =
x 0xy 0xz 0yx y 0yz
0zx 0zy z
§2 土中的应力计算 §2.1 应力状态及应力应变关系
三. 土的应力-应变关系的假定
1、室内测定方法及一般规律
轴对称问题
特殊应力状态
一维问题
常规三轴试验 侧限压缩试验
2、应力计算时的基本假定
§2 土中的应力计算 §2.1 应力状态及应力应变关系
示，试计算并绘制自重应力σcz沿深度的分布图
五、例题分析
57.0kPa 80.1kPa 103.1kPa 150.1kPa 194.1kPa
n cz1 h 12h 2nh n ih i i 1
§2 土中的应力计算
§2.1 应力状态及应力应变关系 §2.2 土中自重应力 §2.3 基础底面压力及其简化计算 §2.4 竖向荷载作用下地基附加应力计算 §2.5 水平荷载作用下地基附加应力计算 §2.6 有效应力原理
zx zy
xz
地基：半无限空间
yx
xy
x
y
y yz
∞
o
∞
x z
∞
ij =
x xy xz yx y yz
zx zy z
§2 土中的应力计算 §2.1 应力状态及应力应变关系
一. 土力学中应力符号的规定
摩尔圆应力分析
- zx
z +
材料力学
xz
x
z
- zx +
土力学
xz
x
正应力
水平向：sxsyK0sz
K0
1
竖直向： sz iHi sz 1 H 1 2 H 2 3 H 3 ;
γ1
Z γ2
H 1 水平向： s x s yK 0 s zK 0 iH i
容重：地下水位以上用天然容重γ
H2
地下水位以下用浮容重γ’
γ3 H 3
思考题：水位骤降后，原水位到现水位之间 的饱和土层用什么容重？
zx 0zy z
§2 土中的应力计算
二. 地基中常见的应力状态
§2.1 应力状态及应力应变关系
4.侧限应力状态——一维问题
o x
yz
•水平地基半无限空间体； •半无限弹性地基内的自重应力只与Z有关； •土质点或土单元不可能有侧向位移侧限应变条件； •任何竖直面都是对称面
A
B
sA sB
▪应变条件
y x 0; xyyzzx0
闭，可连接孔压传感器， 量测剪切过程中产生的超 静孔隙水压力 u
轴向加压杆 顶帽
有机玻璃罩
压力室
测定： 轴向应变 轴向应力 孔隙水压力
橡皮膜 压力水
试
样
透水石
排水管 阀门
量测孔隙水压力
§2 土中的应力计算 §2.1 应力状态及应力应变关系
三. 土的应力-应变关系的假定 1、室内测定方法及一般规律 (1)常规三轴试验 a) 固结不排水试验
§2 土中的应力计算
§2.1 应力状态及应力应变关系 §2.2 土中自重应力 §2.3 基础底面压力及其简化计算 §2.4 竖向荷载作用下地基附加应力计算 §2.5 水平荷载作用下地基附加应力计算 §2.6 有效应力原理
§2 土中的应力计算
z
§2.1 应力状态及应力应变关系
一. 土力学中应力符号的规定
应力应变关系－以某种粘土为例
u
§2 土中的应力计算 §2.1 应力状态及应力应变关系
三. 土的应力-应变关系的假定 1、室内测定方法及一般规律
(2)侧限压缩试验
测定：
•施加荷载，静置至变形稳定 轴向应力
•逐级加大荷载
轴向变形
试验结果：
百分表
P
Se
e0
p2
p1
e1
e2 s2
s1
t s3
e3
t
透水石
h3 3
1 h1 + 2h2 + 3h3
地下水位位于同一土层中， 计算自重应力时，地下水位面 应作为分层的界面。
二、成层土及土层中有地下水时的自重应力计算
在地下水位以下， 如埋藏有不透水层 (例如岩层或只含结 合水的坚硬粘土层 IL≤0)，由于不透水层 中不存在水的浮力， 所以不透水层层面及 层面以下的自重应力 应按上覆土层的水土 总重计算，如图中虚
n 说明：
cz1h12h2nhn
i1
ihi1.地下水位以上土层采用
天然地面
天然重度，地下水位以下
土层应根据土的性质确定
h1 1
是否需要考虑水的浮力作
1 h1
用。若受到水的浮力作用， 则水下部分重度采用浮重
h2 2 水位面
度（有效重度）
1 h1 + 2h2 2.非均质土中自重应力沿 深度呈折线分布
碎散体
非线性 弹塑性
① 连续介质 （宏观平均）
② 线弹性体 （应力较小时）
Δσ
线弹性体
加载
成层土 各向异性
③ 均匀一致各向同性体 （土层性质变化不大时）
E、
与(x, y, z)无关 与方向无关
卸载
εp
εe
ε
理论 ——弹性力学解求解“弹性”土体中的应力 方法 ——解析方法优点：简单，易于绘成图表等
§2 土中的应力计算
o x
沿长度方向有足够长度，
L/B≧10；
平面应变条件下，土体在x, z平
y
z
面内可以变形，但在y方向没有
变形。
y 0;
yx yz 0; zx 0
zx z
zx
zy xz
yx
xy
x
y yz xz x
§2 土中的应力计算 §2.1 应力状态及应力应变关系
二. 地基中常见的应力状态 3. 平面应变条件——二维问题
▪应变条件
y 0; xy yz 0; zx 0
▪应力条件
y
y E
E
x
z
0
yxz
▪独立变量
x , z , xz ; x , z , xz ; F(x,z)
ij =
x 0xy xz 0yx 0 y 0 yz zx 0 zy z
ij =
x 0xy xz 0yx y 0yz
y yz
x y, z
ij =
x 0xy 0xz 0yx y 0yz 0zx 0 zy z