土力学第四章土中应力计算(86页,附图丰富)
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土中应力计算课件
y
Rz
dzy
dzx dxz
M
dyz dy dyx
dxy
dx
z
3P z3
பைடு நூலகம்
3P
cos3
2 R5 2R 2
R r2 z2
z
3P z3
2 R5
z
3P
2
(r 2
z3 z2 )5/2
3
2
1 [(r / z)2 1]5/ 2
P z2
z
P z2
3.3.3 矩形和圆形荷载下地基附加应力计 算——积分法
3.3 土中附加应力
3.3.1 基本概念
1、定义
附加应力是因为外荷载作用，在地基中产生旳应力增量。
2、基本假定
地基土是各向同性旳、均质旳线性变形体，而且在深度和水平 方向上都是无限延伸旳。
3.3.2 竖向集中力作用时旳地基附加应 力布辛奈斯克解答
P
x
r x2 y2
r
y
x
R r2 z2
dz
z2
arctan
z
lb
]
(l 2 b2 z2 )
z c p0
c
1 2
(m2
mn(m2 2n2 1) n2 )(1 n2 ) m2 n2
1
arctan n
m ]
(m2 n2 1)
c ——均布矩形荷载角点下旳竖向附加应力系数，简称角点 应力系数，可查表得到。
* 对于均布矩形荷载附加应力计算点不位于角点下旳情况：
2z3 p
z b
b
d
0 [(x )2 z 2 ]2
z
p
[n(arctan
n m
arctan
土力学完整课件土中应力计算
3dP z 3 3 pxz3 d z 5 dxdy 5 2 R 2bR
积分,得
z t p
Y
t f (m l / b, n z / b)
三角分布矩形荷载角点下的竖向附加应 力系数.可查表. 注意l—荷载不变化边 的长度; b—荷载变化边的长度.
水平均布荷载
q
z
x z
2
2 pz 3
2
2
(二)条形荷载下的附加应力计算 1.均布条形荷载下的附加应力 p O x b/2 b/2 z x M z 2. 三角形荷载的附加应力 pt O x b z x M z
z u p
z x u f u m , n b b
l
pmax pmin
基础底面的抵 抗矩；矩形截 面W=(bl2)/6
讨论：
N 6e pmax 1 bl l min
当e<l/6时，pmax，pmin>0，基底压力呈梯形分布 当e=l/6时，pmax>0，pmin=0，基底压力呈三角形分布 当e>l/6时，pmax>0，pmin<0，基底出现拉应力，基底压力重分布
F=400kN/m 0.1m M=20kN •m/m
3.基底中点下附加压 力计算
1.5m 2m 112.6kPa
0 ＝18.5kN/m3
292.0kPa
179.4kPa
112.6kPa
分析步骤Ⅳ:
F=400kN/m 0.1m M=20kN •m/m
1.5m
1m 1m 2m 2m 2m
0 ＝18.5kN/m3
3． r 0 ，随 z 从 0 开始增大， z 先随之增大，后随之减小；
积分,得
z t p
Y
t f (m l / b, n z / b)
三角分布矩形荷载角点下的竖向附加应 力系数.可查表. 注意l—荷载不变化边 的长度; b—荷载变化边的长度.
水平均布荷载
q
z
x z
2
2 pz 3
2
2
(二)条形荷载下的附加应力计算 1.均布条形荷载下的附加应力 p O x b/2 b/2 z x M z 2. 三角形荷载的附加应力 pt O x b z x M z
z u p
z x u f u m , n b b
l
pmax pmin
基础底面的抵 抗矩；矩形截 面W=(bl2)/6
讨论：
N 6e pmax 1 bl l min
当e<l/6时，pmax，pmin>0，基底压力呈梯形分布 当e=l/6时，pmax>0，pmin=0，基底压力呈三角形分布 当e>l/6时，pmax>0，pmin<0，基底出现拉应力，基底压力重分布
F=400kN/m 0.1m M=20kN •m/m
3.基底中点下附加压 力计算
1.5m 2m 112.6kPa
0 ＝18.5kN/m3
292.0kPa
179.4kPa
112.6kPa
分析步骤Ⅳ:
F=400kN/m 0.1m M=20kN •m/m
1.5m
1m 1m 2m 2m 2m
0 ＝18.5kN/m3
3． r 0 ，随 z 从 0 开始增大， z 先随之增大，后随之减小；
土力学 第四章 土中应力计算
地基附加应力计算
矩形面积竖向均布荷载作用下附加应力计算
2. 矩形面积中点下竖向附加应力
z 0p
0
f
l b
,
z b
应力系数 表 4-8
地基附加应力计算
矩形面积竖向均布荷载作用下附加应力计算
3. 土中任意点的竖向附加应力——角点法
a
da
d
A
b
c
b
c
A
M M
地基附加应力计算
矩形面积竖向均布荷载作用下附加应力计算
0.89
Qi
10
1.581 0.158 0.449
0.045
Qs
10
0.707 0.071 0.471
0.047
解答
z 2m :
8
z zi 4 0.36 0.89 5.0kPa i 1
z 10m :
8
z zi 4 0.045 0.047 0.368kPa i 1
地基附加应力计算
o
x
zx z
y
z
xz
x
土中应力计算的有关问题
地基中常见的应力状态
平面应变状态——平面问题，二维问题 对应的工程问题：条形基础，路堤，堤坝等
ij =
x 0xy xz 0yx 0 y 0 yz zx 0 zy z
ij=
x 0xy xz 0yx yy 0yz
zx 0zy z
土中应力计算的有关问题
•土类
地基条件 •密度
•土层结构
基底压力的分布与计算
基底压力分布
绝对柔性基础
基础的抗弯刚度EI→0； 基础变形完全贴合地基表面的变形; 基础底面的压力分布与荷载的分布 形状完全相同。
第四章土体中的应力计算详解
第四章
土体中的应力计算
§4 土体中的应力计算
地基中的应力状态 应力应变关系 土力学中应力符号的规定
强度问题 变形问题
应力状态及应力应变关系
自重应力 附加应力
建筑物修建以前，地基 中由土体本身的有效重 量所产生的应力。
基底压力计算 有效应力原理
建筑物修建以后，建筑物 重量等外荷载在地基中引 起的应力，所谓的“附加” 是指在原来自重应力基础 上增加的压力。
§4 土体中的应力计算 §4.1 应力状态及应力应变关系
三. 土的应力-应变关系的假定 1、室内测定方法及一般规律 (2)侧限压缩试验
应力应变关系－以某种粘土为例
z p
非线性 弹塑性
1 Ee
1 Es
z
e0 (1 e0 )
侧限变形模量：
Es
z z
§4 土体中的应力计算 §4.1 应力状态及应力应变关系
三. 土的应力-应变关系的假定 1、室内测定方法及一般规律
常规三轴试验与侧限压缩试验应力应变关系曲线的比较
z p
侧限压缩试验
常规三轴试验
z
e0 (1 e0 )
§4 土体中的应力计算 §4.1 应力状态及应力应变关系
三. 土的应力-应变关系的假定 1、室内测定方法及一般规律
变形模量 E 与侧限变形模量 Es 之间的关系
§4 土体中的应力计算 §4.3 地基中附加应力的计算
一. 竖直集中力作用下的附加应力计算－布辛内斯克课题
P
o
αr
x R
y M’
βz
x
z
zx
y
xy
x
M
y yz
z
R2 r2 z2 x2 y2 z2 r / z tg
土体中的应力计算
§4 土体中的应力计算
地基中的应力状态 应力应变关系 土力学中应力符号的规定
强度问题 变形问题
应力状态及应力应变关系
自重应力 附加应力
建筑物修建以前，地基 中由土体本身的有效重 量所产生的应力。
基底压力计算 有效应力原理
建筑物修建以后，建筑物 重量等外荷载在地基中引 起的应力，所谓的“附加” 是指在原来自重应力基础 上增加的压力。
§4 土体中的应力计算 §4.1 应力状态及应力应变关系
三. 土的应力-应变关系的假定 1、室内测定方法及一般规律 (2)侧限压缩试验
应力应变关系－以某种粘土为例
z p
非线性 弹塑性
1 Ee
1 Es
z
e0 (1 e0 )
侧限变形模量：
Es
z z
§4 土体中的应力计算 §4.1 应力状态及应力应变关系
三. 土的应力-应变关系的假定 1、室内测定方法及一般规律
常规三轴试验与侧限压缩试验应力应变关系曲线的比较
z p
侧限压缩试验
常规三轴试验
z
e0 (1 e0 )
§4 土体中的应力计算 §4.1 应力状态及应力应变关系
三. 土的应力-应变关系的假定 1、室内测定方法及一般规律
变形模量 E 与侧限变形模量 Es 之间的关系
§4 土体中的应力计算 §4.3 地基中附加应力的计算
一. 竖直集中力作用下的附加应力计算－布辛内斯克课题
P
o
αr
x R
y M’
βz
x
z
zx
y
xy
x
M
y yz
z
R2 r2 z2 x2 y2 z2 r / z tg
第四章 土体中的应力计算.
y 0;
x , z , xz ; x , z , xz ; F( x, z )
xy yz 0; zx 0
y x z
0
x 0xy xz yz y 0 0yx 0 ij = zy z zx 0
x 0xy 0 xz x 0yx y 0 yz y ij = 0zy z 0zx
§4 土体中的应力计算
1、室内测定方法及一般规律
§4.1 应力状态及应力应变关系
三. 土的应力-应变关系的假定
轴对称问题 特殊应力状态 一维问题
常规三轴试验
侧限压缩试验
2、应力计算时的基本假定
压力室
透水石 排水管
橡皮膜 压力水
阀门
§4 土体中的应力计算
§4.1 应力状态及应力应变关系
三. 土的应力-应变关系的假定 1、室内测定方法及一般规律 (1)常规三轴试验 a) 固结排水试验
应力应变关系－以某种粘土为例
•与围压有关 •非线性 •剪胀性
v
§4 土体中的应力计算
§4.1 应力状态及应力应变关系
y
z
zx
z
y 0;
yx yz 0; zx 0
zx
z xz x
y yz
xy
x
§4 土体中的应力计算 §4.1
应变条件
应力状态及应力应变关系 二. 地基中常见的应力状态 4. 平面应变条件——二维问题 应力条件 y y x z E E 独立变量
§4 土体中的应力计算
§4.1 应力状态及应力应变关系 §4.2 自重应力 §4.3 附加应力
土力学1-第4章-土中应力计算
a
a
a
a
σ σ' u
更直观？
课堂讨论：有效应力原理的不同形式
26
§3.2 有效应力原理 A： 土单元的断面积 As：颗粒截面的面积 Aw： 孔隙水的断面积 a-a 断面竖向力平衡： A 外荷载 总应力 A
A As Aw
P
sv
+u Aw
a
a
As A
P
As
太沙基–土力学的奠基人
17
§3.2 有效应力原理
土体是由固体颗粒骨架、孔隙流
体（水和气）三相构成的碎散材 料，受外力作用后，总应力由土 骨架和孔隙流体共同承受
• 对所受总应力，骨架和孔隙 流体如何分担？ • 它们如何传递和相互转化？ • 它们对土的变形和强度有何 影响？
外荷载 总应力
Terzaghi的有效应力原理和固结理论
有效应力原理的讨论
23
§3.2 有效应力原理
孔隙水压 力的作用 有效应力 的作用 简单实例
讨论：
海底与土粒间的接触压力 哪一种情况下大？
1m
σz=u=0.01MPa
104m
σz=u=100MPa
有效应力原理的讨论
24
• 一个例子——深海底的土层是否要承受很大的压力？
总应力
w H sat h
应力正负号规定-应力计算
6
§3.1 地基中的应力状态
三维应力状态（一般应力状态）
o
y
x
yz
z
zx xy
γ xy εy
1 2
z
σx σ ij τ yx τ zx τ xy σy τ zy τ xz τ yz σz
第四章土体中的应力计算----新
P Pv Ph
P’
P’ 条 形 B
p P B
P’ B
p( x) P Mx B I
B
P’—单位长 度上的荷载
P Pv Ph
土力学 第四章 土体中的应力计算
取室内外平 均埋深计算
20KN/m3
G= GAd
若是条形基础， F,G取单位长 度基底面积计 算
x y ; z xy , yz , zx 0 zx
y yz
x
独立变量： x y , z ;
x y , z
xy
x
x xy xz 0 0 0 0 ij = yx y yz zx 0 zy z 0
x xy xz 0 0 0 0 ij = yx yy yz zx zy z 0 0
土力学 第四章 土体中的应力计算
第四章 土体中的应力计算
土力学 第四章 土体中的应力计算
4.1 概述
强度问题 地基中的应力状态 应力应变关系 土力学中应力符号的规定 变形问题
应力状态及应力应变关系 自重应力 附加应力
建筑物修建以前，地基 中由土体本身的有效重 量所产生的应力。
基底压力计算 有效应力原理
3P yz 2 zy 2 R 5
3P xz 2 zx 2 R 5
z : zy : zx z : y : x
R 2 r 2 z 2 x2 y 2 z 2
理论 ——弹性力学解求解“弹性”土体中的应力
方法 ——解析方法优点：简单，易于绘成图表等
土力学 第四章 土体中的应力计算
4.2 地基中自重应力的计算
水平地基中的自重应力 土体中任意深度处 的竖向自重应力等于单 位面积上土柱的有效重 量
土力学第四章 土中应力计算
土体在自身重力、建筑物荷载、交通荷载或其他因素（如地下水渗流、地 震等）作用下，均可产生土中应力。土中应力将引起土体或地基变形，使土 工构筑物（如路堤、土坝等）或建筑物（如房屋、桥梁、涵洞等）产生沉降 、倾斜以及水平位移。土体或地基的变形过大时，往往会影响路堤、房屋和 桥梁等的正常使用。土中应力过大时，又会导致土体的强度破坏，使土工构 筑物发生土坡失稳或使建筑物地基的承载力不足而发生失稳。
建 筑
上部结构 （a）理想柔性基础； （b）路堤下的基底压力
物
设
基础
计
地基
（2）刚性基础。基底压力大小、分布状况与上部荷载的大小、分布状况 不相同。
例如：砂土地基 黏性土地基
— 荷载较小 — 荷载较大
砂性土地基
— 接近弹性解 — 马鞍型 — 抛物线型 — 倒钟型
粘性土地基
三、基底压力的简化计算
1、中心荷载下的基底压力
1H1
sz
2H2
2H3
sy
sx
z
说明：
1.地下水位以上土层采用天然重度，地下水位以下土层采用浮重度 2.非均质土中自重应力沿深度呈折线分布
均质地基
1 (1 2)
2
2
成层地基
例题分析
【例4.1】某地基土层情况及其物理性质指标如下图所示，试计算 a、b、c三个点 处的自重应力，并画出应力分布图。 【解】 首先确定各层土的重度。 粗砂：在水下且透水，采用浮重度，有
2）基础的刚度、平面形状、尺寸大小、埋置深度有关；
3）作用在基础上的荷载性质、大小和分布情况有关；
4）地基土的性质有关。
二、基底压力的分布规律
基础按刚度分为：（1）柔性基础（抗弯曲变形能力为0） （2）刚性基础（抗弯曲变形能力为∞） （3）有限刚性基础（弹性地基上梁板分析方法）
建 筑
上部结构 （a）理想柔性基础； （b）路堤下的基底压力
物
设
基础
计
地基
（2）刚性基础。基底压力大小、分布状况与上部荷载的大小、分布状况 不相同。
例如：砂土地基 黏性土地基
— 荷载较小 — 荷载较大
砂性土地基
— 接近弹性解 — 马鞍型 — 抛物线型 — 倒钟型
粘性土地基
三、基底压力的简化计算
1、中心荷载下的基底压力
1H1
sz
2H2
2H3
sy
sx
z
说明：
1.地下水位以上土层采用天然重度，地下水位以下土层采用浮重度 2.非均质土中自重应力沿深度呈折线分布
均质地基
1 (1 2)
2
2
成层地基
例题分析
【例4.1】某地基土层情况及其物理性质指标如下图所示，试计算 a、b、c三个点 处的自重应力，并画出应力分布图。 【解】 首先确定各层土的重度。 粗砂：在水下且透水，采用浮重度，有
2）基础的刚度、平面形状、尺寸大小、埋置深度有关；
3）作用在基础上的荷载性质、大小和分布情况有关；
4）地基土的性质有关。
二、基底压力的分布规律
基础按刚度分为：（1）柔性基础（抗弯曲变形能力为0） （2）刚性基础（抗弯曲变形能力为∞） （3）有限刚性基础（弹性地基上梁板分析方法）
土中应力的计算资料
1
9.0米处
' sat w 18.9 10 8.9KN / m3
n
cz3 i hi 18.0 3.6 8.4 2.4 3 8.9 111 .7kPa
1
4.3 基底压力
什么是基底压力？
4.3 基底压力
基底压力与基底反力
一对作用力与反 作用力，可通 过现场测试与 理论计算确定
2(F G) 3bk
2(F G) 3b(l / 2 e)
4.3 基底压力
双向心荷载下的基底压力
基底附加压力P0
例题
课堂练习
偏心
合力F+G偏心距e:
比较e与L/6的大小
M F e (F G)e
e F e F G
pmax
pm in
F G lb
(1
6e ) l
pmax
2(F G) 3bk
n
cz ihi
1
3.6米处 cz1 1h1 18.0 3.6 64.8kPa
6.0米处
e ds (1 w)w 1 2.70(1 0.35) 1 1.025
1.80
' (ds 1) w (2.70 1) 10 8.4KN / m3
1 e
1 1.025
n
cz2 i hi 18.0 3.6 8.4 2.4 85.0kPa
4.3 基底压力的简化计算
一、中心荷载下的基底压力P(kPa)
室内设计地面
F
+0.00
G
+0.00
F
室外设计地面
G
d d
b p
(a)
b
p
(b)
p F G A
d — 基础埋深 (m)；必须从设 计地面或室内 外平均设计地 面算起。
9.0米处
' sat w 18.9 10 8.9KN / m3
n
cz3 i hi 18.0 3.6 8.4 2.4 3 8.9 111 .7kPa
1
4.3 基底压力
什么是基底压力？
4.3 基底压力
基底压力与基底反力
一对作用力与反 作用力，可通 过现场测试与 理论计算确定
2(F G) 3bk
2(F G) 3b(l / 2 e)
4.3 基底压力
双向心荷载下的基底压力
基底附加压力P0
例题
课堂练习
偏心
合力F+G偏心距e:
比较e与L/6的大小
M F e (F G)e
e F e F G
pmax
pm in
F G lb
(1
6e ) l
pmax
2(F G) 3bk
n
cz ihi
1
3.6米处 cz1 1h1 18.0 3.6 64.8kPa
6.0米处
e ds (1 w)w 1 2.70(1 0.35) 1 1.025
1.80
' (ds 1) w (2.70 1) 10 8.4KN / m3
1 e
1 1.025
n
cz2 i hi 18.0 3.6 8.4 2.4 85.0kPa
4.3 基底压力的简化计算
一、中心荷载下的基底压力P(kPa)
室内设计地面
F
+0.00
G
+0.00
F
室外设计地面
G
d d
b p
(a)
b
p
(b)
p F G A
d — 基础埋深 (m)；必须从设 计地面或室内 外平均设计地 面算起。
土力学-土体应力计算
4.2 土体自重应力大小计算
1、深度z处单元体的竖向自重应力
cz:
cz = z (kpa)
水平方向法向应力,即侧压力cx:
cx= cy=k0 cz
k0 :静止侧压力系数, 与土的性质有关, 0.33---0.72
单元体各面上的剪应力均为零:
xy= yz= zx=0 成层土及有地下水时时的计算 cz = Σihi 2、主应力 和主平面: 为零的平面上的法向应力是 主应力,法向应力作用的平面称为主平面.
4.5 分布荷载作用下土中应力计算
• 4.5.1 平面应变问题的附加应力
• 1、矩形均布荷载任意点下的应力. • 计算原则：角法点
研究方法：取基础角点为坐标原点o， 在基础底面取微元面积dxdy, 则此面 积上的集中力为p* dxdy ，可利用 刚才1 情况的结果，再积分。结果
• 角点下： σz=a p0 a=f(l/b,z/b) 查表4.4
1、线荷载作用下土中应力计算 P102 2、条形面积受竖向均布荷载作用时
条形基础：指l/b10的矩形基础。 举例：房屋的墙基、挡土墙的墙基等
研究方法： 坐标原点o在b/2处。
结果： σz=up0 u=f(x/b,z/b) 查表4.12 参见P104,105
表中 x/b >=0 ，对称性，坐标原点左右相同距离处，在同一深
第四章 土体中的应力计算
•基本内容： 应力状态 土中应力计算 自重应力 附加应力 接触应力 有效应力原理 地基中的应力计算 （ 集中荷载作用、分
布荷载）
•重点内容： 有效应力原理 各种应力计算
4.1 概述
基本概念 – 土的压缩性较大: 多孔介质,散体材料,孔隙可被压
缩
– 地基产生沉降或变形的内因和外因: 内因: 地基土本身具有压缩性 外因: 建筑物荷载在地层中引起附加应力
土质土力学04土中应力计算
集中荷载 竖直 集中力
分布荷载 矩形面积竖直均布荷载 矩形面积竖直三角形荷载 竖直线布荷载 条形面积竖直均布荷载 圆形面积竖直均布荷载
水平 集中力
矩形面积水平均布荷载 特殊面积、特殊荷 载
地基附加应力计算总体思路：
竖直 集中力 矩形面积竖直三角形荷载 矩形内积分
矩形面积竖直均布荷载
圆内积分
竖直线布荷载
• 引起地基土压缩的是附加压力，而不是接触压 力，因为土的自重通常不会引起土的压缩。因 此，计算土的压缩时，应扣除基础埋深范围内 的土的自重(这部分的土在修建基础时已挖去)。
开挖前后地基土中压力变化情况示意图 （a）开挖前 （b）开挖后 （c）修建建筑物后
4 土中应力计算 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 土中自重应力计算 基础底面的压力分布与计算 竖向集中力作用下土中应力计算 竖向分布荷载作用下土中应力计算 应力计算的其他一些问题 有效应力原理
刚性基础的刚度有限时，基底压力分布取
决于基础与地基相对刚度及荷载的大小：
荷载小
— 荷载较小 — 荷载较大 砂性土地基
— 接近弹性解 — 马鞍型 — 抛物线型 — 倒钟型
荷载大
粘性土地基
3)基底压力计算
根据圣维南原理，基底压力的具体分布形式对地基应 力计算的影响仅局限于一定深度范围（一般距基底的 深度不超过基础宽度的1.5~2倍）；超出此范围以后， 地基中附加应力的分布将与基底压力的分布关系不大， 而只取决于荷载的大小、方向和合力的位置。
(3)条形基础的基底压力，取基础长度l=1m
进行计算，计算方法同上。
条形基础竖直偏心荷载 e
P B
基础边缘处基底压力：
P 6e pmax 1 B B min
土力学 第4章 土中应力计算
（课本第50页）
若是条形基础，F、 G取单位长度(1m)基
底面积计算
d取室外设计地面或室内 外平均埋深计算
G= GAd(kN)
γG =20kN/m3 地下水位以下扣除浮力
p F G A
变为矩形 进行计算
1m
2、竖向偏心荷载作用
（课本第50页）
当上部结构空间较大时，上部荷载F的重心与柱子的 形心不重合，柱子所承受的力F将出现竖向偏心荷载。
计算的基本假定： 地基是连续、均匀、各向同性 的半无限完全弹性体。
应用弹性力学方法解得在集中 力下地基中任意一点的应力。
把基底附加应力看成是由 无数个单独集中力组成
1、竖向集中力作用时的地基附加应力
当地基表面作用有一个竖向集中力时，地基下某一点M的 受力情况如何求解呢？
M点有9个应力分量和3个位移分量。
（2）当修建建筑物之后，地基土将再承受建筑物的 附加应力。
（课本第45页）
自重应力——是指土体受到自身重力作用而存在 的应力。一般而言，土体在自重作用下，在漫长的 地质历史上已压缩稳定，不再引起土的变形（新沉 积土或近期人工充填土除外）。
附加应力——是指土体受到外荷以及地下水渗流、 地震、风、雪等作用下附加产生的应力增量。它是 使地基失去稳定和产生变形的主要原因。
地下水位
z
F
持力层
怎么解答？
？
本讲重点解决这些问题！
下卧层
第一节 土中应力计算的工程意义
（课本第45页）
在自然界中，非边坡状态下土体均处于稳定状态， 不会产生破坏；但修建建筑物后，地基土体将产生 应力变化，进而产生变形沉降。
地基土层受荷以后将产生应力和变形，给建筑物 带来两个工程问题，即土体稳定问题和变形问题。
土力学-土力学-4.土中应力计算
土力学中，土中应力是指土体在各种作用下产生的应力，分为自重应力和附加应力。自重应力是土体本身自重引起的，而附加应力则是外荷载引起的。土中一点应力状态可用正六面体单元体上的应力表示，包括三个法向应力和六个剪应力分量。竖向自重应力等于单位面积上土柱的有效重量，成层土及有地下水时，需特别注意地下水位以上土层采用天然重度，以下采用浮重度。水平向自重应力与竖向自重应力存绘制自重应力沿深度的分布图，这有助于理解土中应力的分布规律和计算方法，为土力学相关工程实践提供理论基础。
土力学 土中应力计算
F1 F2 z
两个集中力 作用下σz的 叠加
1
2
多个集中力及不规则分布荷载作用
等代荷载法
Fn F1 F2 1 z 1 2 2 2 .... n 2 2 z z z z
i 1
n
n
Fn
积分法求分布荷载下地基附加应力
3z 3 p ( x, y ) dd z d z d z 5 A A 2 [( x ) 2 ( y ) 2 z 2 ] 2
4 应力符号的规定： 土是散粒体，不能承受拉应力；
求土中应力时应力符号的规定法则与弹性力学相同，但
正负与弹性力学相反；正面指某截面的外法线方向沿着 坐标轴的正方向；正面上的应力分量沿坐标轴正方向为
负，沿坐标轴的负方向为正。莫尔圆中，法向应力以压
为正，剪应力以逆时针方向为正与材料力学相反（以顺 时针方向为正）。
第三章
土中应力计算
福州大学土木工程学院
轨道与地下工程系 岩土工程研究所
概述 §3.1 §3.2 §3.3 §3.4
土的自重应力 基底压力 地基附加应力 有效应力原理
概述
地基土层受荷以后将产生应力和变形，给建 筑物带来两个工程问题，即土体稳定问题和变形 问题。 如果地基内部所产生的应力在土的强度所允
x
q
R
r
y M(x,y,0) z M(x,y,z)
F z 2 z
y z
对竖向应力进行推导可得
z
3 1 5/ 2 2 r 2 1 ( z )
3F z 3 3F 1 F 5 2 2 5/ 2 2 R 2 z z r 2 1 ( z )
两个集中力 作用下σz的 叠加
1
2
多个集中力及不规则分布荷载作用
等代荷载法
Fn F1 F2 1 z 1 2 2 2 .... n 2 2 z z z z
i 1
n
n
Fn
积分法求分布荷载下地基附加应力
3z 3 p ( x, y ) dd z d z d z 5 A A 2 [( x ) 2 ( y ) 2 z 2 ] 2
4 应力符号的规定： 土是散粒体，不能承受拉应力；
求土中应力时应力符号的规定法则与弹性力学相同，但
正负与弹性力学相反；正面指某截面的外法线方向沿着 坐标轴的正方向；正面上的应力分量沿坐标轴正方向为
负，沿坐标轴的负方向为正。莫尔圆中，法向应力以压
为正，剪应力以逆时针方向为正与材料力学相反（以顺 时针方向为正）。
第三章
土中应力计算
福州大学土木工程学院
轨道与地下工程系 岩土工程研究所
概述 §3.1 §3.2 §3.3 §3.4
土的自重应力 基底压力 地基附加应力 有效应力原理
概述
地基土层受荷以后将产生应力和变形，给建 筑物带来两个工程问题，即土体稳定问题和变形 问题。 如果地基内部所产生的应力在土的强度所允
x
q
R
r
y M(x,y,0) z M(x,y,z)
F z 2 z
y z
对竖向应力进行推导可得
z
3 1 5/ 2 2 r 2 1 ( z )
3F z 3 3F 1 F 5 2 2 5/ 2 2 R 2 z z r 2 1 ( z )
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e > b/6
基底附加压力（基底净压力）
基底附加压力： 建筑物引起的基底压力中扣除基础埋深范围内土的 自重应力后，新增加于基础底面的压力。
γAD
p0
N
γAD A
p γD
N
D
第四节 地基附加应力计算
地基附加应力计算
竖向集中力作用下附加应力计算
—布西奈斯克（Boussinesq）课题
1 m2 n2
x
y
z τ zy
zx
τ xz
z τ yx
xy
x
y yz
土中应力计算的有关问题
地基中常见的应力状态
空间应力状态——空间问题，三维问题
z τ zy
zx
τ xz
τ yx
xy
x
y yz
土中应力计算的有关问题
地基中常见的应力状态
空间应力状态——空间问题，三维问题 对应的工程问题：矩形基础，圆形基础
基底压力 地基沉降变形 影响因素
基础条件
•刚度 •形状 •尺寸 •埋深
•土类
地基条件 •密度
•土层结构
基底压力的分布与计算
基底压力分布
绝对柔性基础
基础的抗弯刚度EI→0； 基础变形完全贴合地基表面的变形; 基础底面的压力分布与荷载的分布 形状完全相同。
绝对刚性基础
基础的抗弯刚度EI→∞，不发生弯 曲变形； 基 础 底 面 的 压 力 分 布 为 马 鞍 形 ， 中间小而边缘大。
对 σz的讨论
在某一水平面上（z为常数），r 0 时，α 最大。 随着 r 增大， z 逐渐减小。
在某一圆柱面上（r为常数），
Q
z 0时， z 0 。
随着 z增大， z先增大
后减小。
地基附加应力计算
竖向集中力作用下附加应力计算 —布西奈斯克（Boussinesq）课题
具有一定埋深的基础
p F G A
F—上部结构传至基础顶面的竖向 荷载（kN）；
G基—础基与础回自填重土及的其平上均回重填度土，的一总般重取，2G0kNγ/mG 3A，d，但其在中地下γG水为 面以下部分应该取有效重度，d为基础埋深。
基底压力的分布与计算
基底压力的简化计算方法
偏心荷载作用
pmax
思路清晰，简单
弹性力学 基本理论
土中应力的解析解
土中应力计算的有关问题
土中一点的应力状态
x
正应力的下标 y 表示正应力的作用方向；
z τ zy
zx
τ xz
剪应力的第一个下标 表示剪应力作用面的
z τ yx
xy
x
法线方向，第二个下标
y yz
表示剪应力的作用方向。
土中应力计算的有关问题
dxdy
x
l
b
z
M
bl
z 0 0 d z
z
地基附加应力计算
矩形面积竖向均布荷载作用下附加应力计算
1. 矩形面积角点下竖向附加应力
z
p
1
2
mn(1 n2 2m2 )
arctan
1 m2 n2 (m2 n2 )a(1 m2 )
m
n
加载
卸载
卸载
加载
弹塑性体
εp
εe
ε
土中应力计算的有关问题
土中应力计算的基本假定
将地基土视为半无限体。
地基土在水平方向 和深度方向的尺度 远大于建筑物基础 的尺寸。
∞
o
∞
x
∞
y z
土中应力计算的有关问题
土中应力的计算方法
实际 土体
三个基本假定
各向同性的线性弹性 半无限连续体
弹 性 力 学 中 已 有 较 为成熟的解析解；
均 质 土 自 重 应 力 随 深 度 呈 线性增加，呈三角形分布。
土中自重应力计算
成层土自重应力计算公式
n
γ1
h1
σcz γ1h1 γ2h2 γnhn γihi
i 1
Z γ2 h2
γ3 h3
土中自重应力计算
地下水位以下土层自重应力计算
根据土的性质确定是否考虑水的浮力作用。 砂性土—考虑浮力作用 粘性土 IL ≥ 1 —考虑浮力作用 IL ≤ 0 —不考虑浮力作用 0 ≤ IL ≤ 1—按不利状态考虑。
地基附加应力计算
水平向集中力作用下附加应力计算 —西罗提（Cerruti）课题
Qo
x
r
x
y
z
R
z
zx
y
M
xy
x
y yz
z
地基附加应力计算
水平向集中力作用下附加应力计算 —西罗提（Cerruti）课题
z
3Q
2R5
xz 2
地基附加应力计算
竖向均布荷载作用下附加应力计算
生变形的主要原因 稳定性问题
土中应力计算的有关问题
土中应力计算的基本假定
忽略土的分散性的影响，将土体作为连续体研究。 （建筑物的基础底面尺寸远远大于土颗粒尺寸，
宏观上的平均化处理。） 忽略土的非均匀和非线性性质，将土作为各向同性
的线弹性体进行研究。 （实际问题的应力水平较低。）
σ 线弹性体
m in
N A
M W
N 1 6e A b
基底压力的分布与计算
N
N
N
b
b
b
e
x
y
e lx
y
Ke lx
l
K=b/2-e
3K y pmin 0
pmax
pmin 0 pmax
pmin 0
e < b/6
e = b/6
pmax
pmax
2N 3Kl
2N 3(b 2 e)l
第三节 基础底面的压力分布与计算
基底压力的分布与计算
上部结构 基础
地基
上部结构的自重 及各种荷载都是 通过基础传递到 地基中的。
基础底面的压力分布形式将对土中应力产生影响
基底压力的分布与计算
基底压力
基底压力：基础底面传递给地基表 面的压力，也称基底接触压力。
附加应力
荷载条件
•大小 •方向 •分布
解答
解答
例题 4.4
有一矩形基础，
b=2m，l=4m，作用
O
均布荷载p=10kPa，
计算矩形基础中点O
下 深 度 z=2m 及 10m
处的竖应力σz 值。
解答
Qi
z(m) r(m) r z
zi
Qi z2
(kPa)
Qi
2
1.581 0.791 0.142
0.36
Qs
2
0.707 0.353 0.356
zx 0zy z
土中应力计算的有关问题
地基中常见的应力状态
侧限应力状态——一维问题
水平地基半无限空间体
地基内部任意的土质点或土
单元不可能有侧向位移和侧向
变形。
侧限应力状态
土中应力计算的有关问题
地基中常见的应力状态
侧限应力状态——一维问题
ij =
0 x 0xy 0xz 0yx 0 y 0yz
基底压力的分布与计算
基底压力的简化计算方法
圣维南 原理
基底压力分布形状对土中应力分 布的影响，只存在于一定深度范 围内。
近似认为基底压力为直线分布， 采用材料力学的公式进行计算。
基底压力的分布与计算
基底压力的简化计算方法
N 中心荷载作用
p N A
b
x
l
y
基底压力的分布与计算
基底压力的简化计算方法
土中应力状态的正负号规定
正应力以压应力为正，拉应力为负。
剪应力作用面的外法线方向与坐标轴正方向一致， 剪应力方向与坐标轴正方向一致时为负，与坐标轴 正方向相反时为正；
剪应力作用面的外法线方向与坐标轴正方向相反， 剪应力方向与坐标轴正方向一致时为正，与坐标轴 正方向相反时为负。
土中应力计算的有关问题
第四章 土中应力计算
内容提要
土中应力计算的有关问题 土中自重应力计算 基础底面的压力分布与计算 地基附加应力计算 饱和土有效应力原理
第一节 土中应力计算的有关问题
土中应力计算的有关问题
土中应力：
是指在自身重力、构筑物荷载以及其他因素（如 土中水渗流、地震等）作用下，土体内部所产生的 应力。
ij=
x xy xz yx y yz
zx zy z
ij =
x xy xz yx y yz
zx zy z
土中应力计算的有关问题
地基中常见的应力状态
平面应变状态——平面问题，二维问题
长宽比足 够大 ，L/B≥10； 在长度方向的任意断面的 几何形状均相同，长度方 向的荷载分布规律相同。
竖向 均布荷载
作用在面积微元上 的集中荷载的集合
Boussinesq解 集中荷载作用下的附加应力
积 分
竖向均布荷载作用下的附加应力
地基附加应力计算
矩形面积竖向均布荷载作用下附加应力计算
1. 矩形面积角点下竖向附加应力
dP pdxdy
dP p
Y
d z
3dP
2
z3 R5
3p
2
z3 R5
2
z
应力系数 表 4-2
z