土力学 第四章 土中应力计算

•土类
地基条件 •密度
•土层结构
基底压力的分布与计算
基底压力分布
绝对柔性基础
基础的抗弯刚度EI→0； 基础变形完全贴合地基表面的变形; 基础底面的压力分布与荷载的分布 形状完全相同。
绝对刚性基础
基础的抗弯刚度EI→∞，不发生弯 曲变形； 基 础 底 面 的 压 力 分 布 为 马 鞍 形 ， 中间小而边缘大。
具有一定埋深的基础
p F G A
F—上部结构传至基础顶面的竖向 荷载（kN）；
G基—础基与础回自填重土及的其平上均回重填度土，的一总般重取，2G0kNγ/mG 3A，d，但其在中地下γG水为 面以下部分应该取有效重度，d 为基础埋深。
基底压力的分布与计算
基底压力的简化计算方法
偏心荷载作用
pmax
由试验确定，与土层应
力历史及土的类型、重 度等有关。
cx
cy
1
cz
cx cy K0 cz
土中自重应力计算
侧压力系数K0的典型值
土类 松砂
K0值 0.40～0.45
密砂
0.45～0.50
压实填土
0.8～1.5
正常固结粘土
0.5～0.6
超固结粘土
1.0～4.0
总结
土中自重应力的分布规律
若地下水位以下的土受到水的浮力作用，水下部分 土的重度按照浮重度计算。
土中自重应力计算
地下水位以下土层自重应力计算
不透水层及 层面以下的 自重应力应 按上覆土层 的水土总重 计算。
土中自重应力计算
均质土水平向自重应力计算
侧限应力状态
x
cx
E
E
cz cy
0
K0：侧压力系数，也称 静止土压力系数。其值
竖向集中力作用下附加应力计算 —布西奈斯克（Boussinesq）课题
Q
0.1Q 0.05Q 0.02Q
0.01Q
σz 等值线（应力泡）
集中荷载作用下的地面沉降
s Q(1 2 ) E0r
E0 —土的变形模量
—土的泊松比
例题 4.3
在地表面作用集中力Q＝200kN，计算地 面深度z=3m处水平面上竖向法向应力σz分 布，以及距Q作用点r=1m处竖直面上竖向 法向应力σz分布。
z
地基附加应力计算
竖向集中力作用下附加应力计算 —布西奈斯克（Boussinesq）课题
z
3Qz3
2R5
3
2
1
r
2
5
2
Q z2
z
2
1
3 r
2 5
2
z
应力系数 表 4-2
z
Q z2
土中附加应力 计算的基本公 式
地基附加应力计算
竖向集中力作用下附加应力计算 —布西奈斯克（Boussinesq）课题
均质土中自重应力呈直线分布，随深度增加而增大， 直线的斜率等于土的天然重度；
成层土中自重应力呈折线分布，在土层分界面处和 地下水位处发生转折。
1 (1 2)
2
2
例 题 4.1
例 题 4.2
计算如图所示地基中自重应力沿深度的分布。
a b c d
第三节 基础底面的压力分布与计算
基底压力的分布与计算
地基附加应力计算
矩形面积竖向均布荷载作用下附加应力计算
2. 矩形面积中点下竖向附加应力
z 0p
0
f
l b
,
z b
应力系数 表 4-8
地基附加应力计算
矩形面积竖向均布荷载作用下附加应力计算
3. 土中任意点的竖向附加应力——角点法
a
da
d
A
b
c
b
c
A
M M
地基附加应力计算
矩形面积竖向均布荷载作用下附加应力计算
2
1
3 r
2
5
2
z
0.5 0.4
α 0.3
0.2 0.1 0
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
r/z
地基附加应力计算
竖向集中力作用下附加应力计算
—布西奈斯克（Boussinesq）课题
对 σz的讨论
➢ Q作用线上（r 0）， 3 2，
z 0， z ；
Q
z ， z 0。
思路清晰，简单
弹性力学 基本理论
土中应力的解析解
土中应力计算的有关问题
土中一点的应力状态
x
正应力的下标 y 表示正应力的作用方向；
z τ zy
zx
τ xz
剪应力的第一个下标 表示剪应力作用面的
z τ yx
xy
x
法线方向，第二个下标
y yz
表示剪应力的作用方向。
土中应力计算的有关问题
土中应力状态的正负号规定
0zx 0zy z
σx
σy
ν 1
ν
σz
K 0σ z
K0 —侧压力系数
第二节 土中自重应力计算
土中自重应力计算
均质土自重应力计算公式
隔离柱体平衡条件：
cz F W zF
天然
cz z 重度
均 质 土 自 重 应 力 随 深 度 呈 线性增加，呈三角形分布。
土中自重应力计算
成层土自重应力计算公式
基底附加压力： 建筑物引起的基底压力中扣除基础埋深范围内土的 自重应力后，新增加于基础底面的压力。
N γAD
γAD
p0 A p γD
N
D
第四节 地基附加应力计算
地基附加应力计算
竖向集中力作用下附加应力计算
—布西奈斯克（Boussinesq）课题
Q
o
x
r
x
y
z
R
z
zx
y
M
xy
x
y yz
3. 土中任意点的竖向附加应力——角点法
基本方法：
将荷载作用 面积分块
各分块产生的 竖向附加应力
叠加
土中任意点的 竖向附加应力
角点下竖向附加 应力计算公式
地基附加应力计算
矩形面积竖向均布荷载作用下附加应力计算
3. 土中任意点的竖向附加应力——角点法
a
h d 情况一：M点投影在矩形
荷载作用面积范围之内
生变形的主要原因 稳定性问题
土中应力计算的有关问题
土中应力计算的基本假定
忽略土的分散性的影响，将土体作为连续体研究。 （建筑物的基础底面尺寸远远大于土颗粒尺寸，
宏观上的平均化处理。） 忽略土的非均匀和非线性性质，将土作为各向同性
的线弹性体进行研究。 （实际问题的应力水平较低。）
σ 线弹性体
加载
水平向集中力作用下附加应力计算 —西罗提（Cerruti）课题
Qo
x
r
x
y
z
R
z
zx
y
M
xy
x
y yz
z
地基附加应力计算
水平向集中力作用下附加应力计算 —西罗提（Cerruti）课题
z
3Q
2R5
xz 2
地基附加应力计算
竖向均布荷载作用下附加应力计算
竖向 均布荷载
作用在面积微元上 的集中荷载的集合
基底压力的分布与计算
基底压力的简化计算方法
圣维南 原理
基底压力分布形状对土中应力分 布的影响，只存在于一定深度范 围内。
近似认为基底压力为直线分布， 采用材料力学的公式进行计算。
基底压力的分布与计算
基底压力的简化计算方法
N 中心荷载作用
p N A
b
x
l
y
基底压力的分布与计算
基底压力的简化计算方法
土中应力分类：
➢ 自重应力
由土体自身的有效重 量所产生的应力。
➢ 附加应力
由建筑物等外荷载所 产生的应力。
所谓“附加”是指 在原来自重应力 的基础上新增加 的应力。
土中应力计算的有关问题
土中应力计算的目的
土中应力计算是研究土体的强度、变形和稳定性 问题的基础。
强度问题
土中应力计算
变形问题
附加应力是地基产
o
x
zx z
y
z
xz
x
土中应力计算的有关问题
地基中常见的应力状态
平面应变状态——平面问题，二维问题 对应的工程问题：条形基础，路堤，堤坝等
ij =
x 0xy xz 0yx 0 y 0 yz zx 0 zy z
ij=
x 0xy xz 0yx yy 0yz
zx 0zy z
土中应力计算的有关问题
zx
τ xz
z τ yx
xy
x
y yz
土中应力计算的有关问题
地基中常见的应力状态
空间应力状态——空间问题，三维问题
z τ zy
zx
τ xz
τ yx
xy
x
y yz
土中应力计算的有关问题
地基中常见的应力状态
空间应力状态——空间问题，三维问题 对应的工程问题：矩形基础，圆形基础
ij=
n
γ1
h1
σcz γ1h1 γ2h2 γnhn γihi
i 1
Z γ2 h2
γ3 h3
土中自重应力计算
地下水位以下土层自重应力计算
根据土的性质确定是否考虑水的浮力作用。 砂性土—考虑浮力作用 粘性土 IL ≥ 1 —考虑浮力作用 IL ≤ 0 —不考虑浮力作用 0 ≤ IL ≤ 1—按不利状态考虑。
解答
解答
例题 4.4
Βιβλιοθήκη Baidu
有一矩形基础，
b=2m，l=4m，作用
O
均布荷载p=10kPa，
计算矩形基础中点O
下 深 度 z=2m 及 10m
处的竖应力σz 值。
解答
Qi
z(m) r(m)
rz
zi
Qi z2
(kPa)
Qi
2
1.581 0.791 0.142
0.36
Qs
2
0.707 0.353 0.356
Boussinesq解 集中荷载作用下的附加应力
积 分
竖向均布荷载作用下的附加应力
地基附加应力计算
矩形面积竖向均布荷载作用下附加应力计算
1. 矩形面积角点下竖向附加应力
dP pdxdy
dP p
Y
d z
3dP
2
z3 R5
3p
2
z3 R5
dxdy
x
l
b z
M
bl
z 0 0 d z
z
地基附加应力计算
矩形面积竖向均布荷载作用下附加应力计算
1. 矩形面积角点下竖向附加应力
z
p
1
2
mn(1 n2 2m2 )
arctan
1 m2 n2 (m2 n2 )a(1 m2 )
m
n
1 m2 n2
z a p
a
f n
l, b
m z b
应力系数 表 4-9
注：l为矩形面积 长边，b为短边。
地基中常见的应力状态
侧限应力状态——一维问题
水平地基半无限空间体
地基内部任意的土质点或土
单元不可能有侧向位移和侧向
变形。
侧限应力状态
土中应力计算的有关问题
地基中常见的应力状态
侧限应力状态——一维问题
ij =
0 x 0xy 0xz 0yx 0 y 0yz
0zx 0 zy z
ij=
xx 0xy 0xz 0yx yy 0yz
正应力以压应力为正，拉应力为负。
剪应力作用面的外法线方向与坐标轴正方向一致， 剪应力方向与坐标轴正方向一致时为负，与坐标轴 正方向相反时为正；
剪应力作用面的外法线方向与坐标轴正方向相反， 剪应力方向与坐标轴正方向一致时为正，与坐标轴 正方向相反时为负。
土中应力计算的有关问题
x
y
z τ zy
x xy xz yx y yz
zx zy z
ij =
x xy xz yx y yz
zx zy z
土中应力计算的有关问题
地基中常见的应力状态
平面应变状态——平面问题，二维问题
长宽比足 够大 ， L/B≥10； 在长度方向的任意断面的 几何形状均相同，长度方 向的荷载分布规律相同。
第四章 土中应力计算
内容提要
土中应力计算的有关问题 土中自重应力计算 基础底面的压力分布与计算 地基附加应力计算 饱和土有效应力原理
第一节 土中应力计算的有关问题
土中应力计算的有关问题
土中应力：
是指在自身重力、构筑物荷载以及其他因素（如 土中水渗流、地震等）作用下，土体内部所产生的 应力。
0.89
Qi
10
1.581 0.158 0.449
0.045
Qs
10
0.707 0.071 0.471
0.047
解答
z 2m :
8
z zi 4 0.36 0.89 5.0kPa i 1
z 10m :
8
z zi 4 0.045 0.047 0.368kPa i 1
地基附加应力计算
卸载
卸载
加载
弹塑性体
εp
ε
ε
e
土中应力计算的有关问题
土中应力计算的基本假定
将地基土视为半无限体。
地基土在水平方向 和深度方向的尺度 远大于建筑物基础 的尺寸。
∞
o
∞
x
∞
y z
土中应力计算的有关问题
土中应力的计算方法
实际 土体
三个基本假定
各向同性的线性弹性 半无限连续体
弹 性 力 学 中 已 有 较 为成熟的解析解；
上部结构 基础
地基
上部结构的自重 及各种荷载都是 通过基础传递到 地基中的。
基础底面的压力分布形式将对土中应力产生影响
基底压力的分布与计算
基底压力
基底压力：基础底面传递给地基表 面的压力，也称基底接触压力。
附加应力
荷载条件
•大小 •方向 •分布
基底压力 地基沉降变形 影响因素
基础条件
•刚度 •形状 •尺寸 •埋深
m in
N A
M W
N 1 6e A b
基底压力的分布与计算
N
N
N
b
b
b
e
x
y
e lx
y
Ke lx
l
K=b/2-e
3K y pmin 0
pmax
pmin 0 pmax
pmin 0
e < b/6
e = b/6
pmax
pmax
2N 3Kl
2N 3(b 2 e)l
e > b/6
基底附加压力（基底净压力）
地基附加应力计算
竖向集中力作用下附加应力计算
—布西奈斯克（Boussinesq）课题
对 σz的讨论
➢ 在某一水平面上（z为常数），r 0 时，α 最大。 随着 r 增大， z 逐渐减小。
➢ 在某一圆柱面上（r为常数），
Q
z 0时， z 0 。
随着 z增大， z先增大
后减小。
地基附加应力计算