2.1.2指数函数及其性质

练习 下列表达式是指数函数的是
( 2) y x
4
(3) y 4 (7) y x x
x
(4) y (4) (8) y 2 x
x
(5) y 2 3 x
( 6) y 2 x 1

为什么概念中明确规定a>0,且 a≠1 ?
当x 0时,a x 0. (1) 若a 0, x 当x 0时,a 无意义. 1 1 x (2) 若a＜0，如 y (2) 这时对于x= , 在实数范围内的值不存在. 2 4
g (x)是减函数 y f [ g ( x)]是减函数
复合函数的单调性的判断法 --同增异减
y=f(x) t=g(x) 增 增 减 减 减 减
增
增
增
减
减
增
y=f[g(x)]
练习 求下列函数的单调区间 --同增异减
(1) y 3
x 4 x 3
2
定义域 增区间
1 (2) y 2
2 2
(3)设f(x)=ax+b满足f(0)=0，f(x+1)=2f(x)+1,求f(x)的解析式. f(x)=2x-1
例3 求下列函数的定义域：
（1） y 0.4
1 x 1
பைடு நூலகம்
x x 1
1 x x 5
（2） y 3
5 x 1
练习 教材 P58 练习题2 教材 P59 习题2.1 A组 T5
2.1.2
指数函数及其性质
1.了解指数函数的实际背景，认识学习指数函数的必要性； 2.理解指数函数的含义，观察图象的变化、探索其性质；
3.学会运用所学知识解决相关问题，发展思维能力。
问题1:某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，1个 这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系 式是什么？
练习
1 函数 f ( x) 1 3
2 x 1
的定义域是
1 [ ,) 2
.
例4 比较下列各题中两个值的大小：
(1) 1.72.5,1.73
(2) 0.8-0.1,0.8-0.2
(3) 1.70.3,0.93.1
y 1.7
x
y 0.8
x
y ?
x
★不能看作同一个指数函数的两个函数值，可将这两 个数值与1比较大小，然后确定原来两个数值的大小关系。 练习 比较下列各题中两个值的大小：
(2) f ( x) 1 2 x
1 1 (2)定义域x [ ,), 任取 x1 x2 2 2 则f ( x1 ) f ( x2 ) 1 2 x1 1 2 x2
1 2 x1 (1 2 x2 ) 2( x1 x2 ) 1 2 x1 1 2 x2 1 2 x1 1 2 x2 x1 x2 1, x2 x1 0, 1 x1 1 x2 0 1 x1 x2 , x1 x2 0, 1 2 x1 1 2 x2 0 2 f ( x1 ) f ( x2 ) 0, 即f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) 0, 即f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x)在定义域(,1]上是减函数. 1 f ( x)在定义域[ ,)上是增函数. 2
1 2
x
1 y 2
x
问题3 这两个关系式有什么共同特征？
y2
x
1 y 2
x
对于这两个关系式，每给自变量x的一个值，y都有唯 一确定的值和它对应.(自变量在指数上;底数是确定的常数, 可以大于1也可以大于0小于1) 如果用字母a 来代替数2和 ，那么以上两个函数都可 以表示为：形如的 y=ax 函数，其中自变量x是指数，底数a 是一个大于0且不等于1的变量。
1 (1) y 关于y轴对称 3 (2) y 3 x 2 向右平移2个单位 (3) y 3 x 1 向上平移1个单位 (4) y 3| x|
x 3 的图象如何得到下列函数的图象？
x
原图y轴左侧图 象被覆盖了
将y轴右侧的图象关于y轴对称，两部分一起组成
(5) y | 3 x 1 |将x轴下侧的图象翻折到x轴上方，与原来上方的
x>0,y>1;
x<0, 0<y<1
在 R 上是
增函数
x<0,y>1;
x>0,0<y<1
在 R 上是
减函数
例1 指数函数y=ax,y=bx,y=cx,y=dx的图象如下图所示， 则底数a,b,c,d与0、1的大小关系是
y
0 b a 1 d c.
yc
x
y b
x
y ax
1
yd
y=1
0
y轴右侧， 从下到上， x a逐渐增大。
观察以上四个函数的图象,你发现了什么特征?有何异同?
a>1
y
0<a<1
y=ax y=ax
y
(0,1)
图 象 性 质
y=1
(0,1)
y=1 x
0
x
0
定义域: R (0,+ ∞ ) 值 域: 必过 点： ( 0 , 1 ) ,即 x = 0 时, y = 1 .
法二：指数函数图象分布规律: 当底数不同，指数相同时. 法三：与1比较大小: 当底数不同，指数也不同时.
1 0 2a 1 1 a 1 2
练习 求满足下列条件的实数x的范围： x x≤3 (1)2 8
2 3 x 1 2 2 x ，y ( ) , 思考 设y ( ) 1 2 3 3 当x为何值时，分别有 :练习 教材 P60 B组 T1 T4 （ ）y1 y2 ; (2) y1 y2 ; (3) y1 y2 1 1 1 1 x x 5 5 5
(1) 22.5,23
(2) 0.5-0.1,0.5-0.2
(3) 1.50.3,0.53.1
比较两个幂值大小的方法： 法一：构造函数法: 数的特征是同底数不同指数. (1)构造指数函数并指明其单调性； (2)自变量的大小比较； (3)函数值的大小比较. 练习 若指数函数y=(2a-1)x是减函数,求实数a的取值范围.
2
0
1
1
0.5
2
0.25
y
1 x y( ) 2
y=2x
4 3 2 1
-3
-2
-1
-1
0
1
2
3
x
1 x y＝ ( ) y 10 y = 10x
y＝
1 x ( ) 3
y = 3x
左右无限上冲天， y = 2x 永与横轴不沾边. 大 1 增，小 1 减，
y＝
1 x ( ) 2
图象恒过(0,1)点.
（0,1）
(3)若a=1时，函数值y=1，没有研究的必要.
二、指数函数的图象：
x x 与y 1 的图象. 在同一坐标系中画出函数 y 2 2 列表 描点 连线 描点法作图
x 2x … …
… …
-2 0.25
-1 0.5
0 1
1 2
2 4
… …
… …
x 1 x ( ) 2
-2
4
-1
图象一起组成
原图x轴下方图 象没有了
图象变换法：常用变换方法有两种，即平移和对称翻折
(1)平移：由y=f(x)的图象变换获得y=f(x+a)+b的图象， 其步骤是： y=f(x) 沿x轴向左(a＞0)或 向右(a＜0)平移|a|个单位 沿y轴向上(b＞0)或 向下(b＜0)平移|b|个单位
y=f(x+a)
| x|
(3) y x 4 x 3
2
R
[2,) (,2]
R (,0]
[0,)
(,1] [3,) [2,) [3,) (,2] (,1]
1 (4) y 2 x 2x 3
R (,1]
[1,)
减区间
指数函数性质的综合应用-图象
1.由函数 y
2.（1）函数y=2x-3+3的图象恒过定点
.
解：函数y=2x-3+3的图象可由函数y=2x的图象向右平移3个单 位，然后再向上平移3个单位而得，则点(0,1)向右平移3 个单位，然后再向上平移3个单位得(3,4).
（2）已知m为实数，讨论关于x的方程|2x-1|=m的实根个数.
解：m 1或m 0时, 实根个数为1 0 m 1时, 实根个数为2 m 0时, 实根个数为0
1 2
一、指数函数的概念
y a x (a 0且a 1) 的函数称为指数函数. 1.定义:形如
其中x是自变量，函数的定义域是R.
“形” （1）ax为一个整体，前面系数为1 (2) a>0,且 a≠1 ; (3) 自变量x在幂指数的位置且为单个x或－x (4)常数项为0
(1) y 4
x
3.函数y=2-x-1+1的图象可由函数y=2-x的图象( B ) A.向右平移一个单位,再向上平移一个单位得到 B.向左平移一个单位,再向上平移一个单位得到 C.向右平移一个单位,再向下平移一个单位得到 D.向左平移一个单位,再向下平移一个单位得到
4.若函数y=5x+1+b的图象不经过第二象限,则b的取值范围是____. y轴 5. ⑴函数y=3x与函数y=3-x 的图象关于_____对称； x轴 函数 y=3x 与函数y=-3x的图象关于_____对称.
1 x ( 2)( ) 27 x<－3 3
练习 教材 P59 A组 T8