八年级数学下册1.1.4 等腰三角形(4)导学案北师大版
北师大版八年级数学(下)第一章 等腰三角形
1.1等腰三角形一、知识点梳理1.等腰三角形的性质定理：①等腰三角形的两底角相等（等边对等角）②等腰三角形的两腰相等（定义）③等腰三角形等角的平分线、底边上的中线及地边上的高线互相重合（三线合一）2.等边三角形的性质定理：①等边三角形的三条边都相等②等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°3.等腰三角形的判定定理：①有两条边相等的三角形是等腰三角形（定义）②有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）4.等边三角形的判定定理：①三条边都相等的三角形是等边三角形（定义）②三个角都相等的三角形是等边三角形③有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形5.反证法：证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法成为反证法。
6.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
7.直角三角形斜边的中线等于斜边的一半8.作图要求：掌握尺规作图用两条已知线段做等腰三角形二、经典题型总结题型一：利用等腰三角形的性质求角题型二：利用等腰三角形的性质求线段长度题型三：用反证法证明简单证明题题型四：利用等腰三角形的判定定理进行证明题型五：动点与等腰三角形题型题型六：与等腰三角形相关的综合提升题三、解题技巧点睛1.在做等腰三角形类问题时可以随时“标图”，把相等的角或者相等的边用相同的小符号标注，便于我们清晰的读图。
2.若题目中需要证明两条线段相等，通常会想到：①两条线段所在的两个三角形“全等”②两条线短可以平移为某个“等腰三角形”的两个腰3.在图形中如果涉及到求边长问题，我们通常首先想到：根据欲求边构建直角三角形运用“勾股定理”4.在求角度的题目中，若思路不清晰，则本着两个计算原则去列式：①三角形内角和等于180°②三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和5.特别注意几个特殊角：75°、105°、120°、135°、150°，若图形题中出现了这几个特殊角并且涉及到求线段，则很有可能需要我们做辅助线把75°角分成45°角和30°角；而把105°角分成60°角和45°角；把120°角分成90°角和30°角或两个60°角；把135°角分成90°角和45°角；把150°角分成90°角和60°角。
北师大版八年级下册数学 第一章 三角形的证明 等腰三角形(第4课时)
课堂小结
等腰三角形 的拓展
等边三角形 的判定
三条边都相等的三角形是等边三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
特殊的直角三 角形的性质
在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°,那 么它所对的直角边等于斜边的一半
探究新知
方法总结 选用等边三角形判定方法的技巧 (1)如果已知三边关系,则选用等边三角形定义来判定. (2)若已知三角关系,则选用三角相等的三角形是等边三 角形来判定. (3)若已知是等腰三角形,则选用有一个角是60°的等腰 三角形是等边三角形来判定.
巩固练习
变式训练
在△ABC中，∠A=60°，要使△ABC是等边三角形， 则需添加的一个条件是 AB＝AC或∠B＝∠C .
证明：∵△ABC为等边三角形, ∴∠BAC=∠ABC=60°,AB=AC=BC, ∴∠EAF=∠EBD=120°, ∵BE=CD,∴BE+AB=BC+CD,即AE=BD,
课堂检测
BE = AF， 在△AEF和△BDE中, ∠EBD =∠EAF， ∴△AEF≌△BDE(SASB),D∴=EFA=EE，D,
证明:∵AD∥BC,∠A=120°,∴∠A+∠ABC=180°. 即∠ABC=180°-∠A=180°-120°=60°, ∴∠ABD=∠DBC=30°. ∴△BDC是直角三角形(∠又BD∵C∠=9C0=°60).°, 又∵CD=4 cm，∴BC=2CD=2×4=8(cm).
课堂检测
拓广探索题
如图:△ABC是等边三角形,点D,E,F分别在BC,AB,CA边延 长线上,且BE=AF=CD. 求证:△DEF是等边三角形.
等腰三角形 第四课时 导学案
1.1 等腰三角形（四）一、学习准备：1、等边三角形的三个角都 ，并且每个角都等于 .2、已知：∠ABC,∠ACB 的平分线相交于F,过F 作DE ∥(1) 找出图中的等腰三角形(2) BD,CE,DE 之间存在着怎样的关系？ (3) 证明以上的结论。
二、学习目标：1、掌握等边三角形的判定定理及推论。
2、能利用所学定理解决简单的实际问题。
三、学习提示：阅读P10~12完成下列任务： 1，合作探究：（1）.一个等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形？（2）.你认为有一个角等于60°等腰三角形是等边三角形吗？你能证明你的结论吗？把你的思路与小组成员进行交流一下。
要求画出图形，写出已知、求证、然后再证明得到定理： .2、练习：证明：三个角都相等的三角形是等边三角形.3. 自主探究：用两个含30°的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由.由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角三角形与斜边有怎样的大小关系？能证明你的结论吗？如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，则∠B ＝60°。
延长BC 至D ，使CD ＝BC ，连接AD得到定理 .（1） （2）D图 1-74、练习：求证：等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半。
已知：如图1-8，在△ABC 中，已知AB ＝AC ，∠ABC ＝15°，CD 是腰AB 上的高， 求证：CD=21四、学习小结：你有哪些收获？ 五、夯实基础：（1）.等腰三角形的顶角为150°，腰长为10cm ，则这个三角形的面积为_______. （2）.若等腰三角形一腰上的高线平分这腰，则这个三角形是______三角形；若等腰三角形底边上的高等于一腰上的高，则这个三角形是____三角形. （3）.在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝60°，则△ABC 是 三角形. （4）、已知:如图,在△ABC 中,∠ACB ＝ 90°,∠A=30°,CD ⊥AB 于D. 求证:BD=41AB六、能力提升1、如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，连结PA 、PB 、PC ，•以BP 为边作∠PBQ=60°，且BP=BQ ，连结CQ ．(1)观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并证明你的结论． (2)若PA:PB:PC=3:4:5，连结PQ ，试判断△PQC 的形状，并说明理由．作业：P9习题1.3---1、2、4 【评价反思】 ：图1-8DB。
1.1等腰三角形的性质和判定导学案
CAB1.1 等腰三角形的性质和判定班级 姓名 学号 家长签字 完成时间45分钟 【学习目标】1.能证明等腰三角形的性质定理和判定定理.2.了解分析的思考方法.3.经历思考、猜想，并对操作活动的合理性进行证明过程，不断感受证明的必要性、感受合情推 理和演绎推理都是人们认识事物的重要途径.【重点、难点】了解分析的思考方法；合理添加辅助线． 【新知预习】1.以前，我们曾经学习过等腰三角形，你还记得等腰三角形的一些性质吗？不妨我们来回忆一下. 等腰三角形的性质：①等腰三角形的 角相等.（简称“ ”） ②等腰三角形的 、 、 互相重合.（简称“ ”） ③等腰三角形是 对称图形，它的对称轴是： .2.你能用刻度尺画一个等腰三角形，并用作垂线的方法画出它的顶角的平分线吗？若能，请画出并加以证明.【导学过程】活动一：证明：等腰三角形的两个底角相等. 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC. 求证：∠B=∠C活动二：证明：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.思考：如何证明文字命题的正确性?活动三：如何证明“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是正确的？ 要求：（1）写出它的逆命题： .（2）画出图形，写出已知、求证，并进行证明.例1.已知：如图∠EAC 是△ABC 的外角，AD 平分∠EAC，且AD∥BC . 求证：AB ＝AC2.拓展：在上图中，如果AB ＝AC ，AD∥BC，那么AD 平分∠EAC 吗？为什么？【反馈练习】1.完成第7页《练习》第1、2、3题.2.等腰三角形的一个角为50°，那么它的一个底角为______．3.在平面直角坐标系xOy 中，已知点P （2，2），点Q 在y 轴上，△PQO 是等腰三角形，则满足条件的点Q 共有______个．4.已知：如图，锐角△ABC 的两条高BE 、CD 相交于点O ，且OB=OC. 求证：△ABC 是等腰三角形．☆5.如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC ，一腰上的中线BD•将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长．【作业布置】1.1习题 第2、3、4、题.AB C D E2011-2012学年度第二学期八年级数学校本作业（41）1.1 等腰三角形的性质和判定 编写：宋爱霞 审阅：张元国班级 姓名 学号 家长签字 完成时间40分钟 1.若等腰三角形的周长为12，一边长为5，那么另两边长分别为 . 2.若等腰三角形有两边长为2和5，那么周长 为 .3.若等腰三角形有一个外角等于50°，那么另两个角为 .4.若等腰三角形有一个角等于120°，那么另两个角为 . ★5．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角等于30°，那么这个等腰三角形的顶角为 . ★6.若等腰三角形的周长等于12cm ，那么腰长x 的取值范围是 .7.如图在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A＝50°，BD 为∠ABC 的平分线，则∠BDC＝_ ____°． 8.如图在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为AC 边上一点，且BD ＝BC ＝AD ．•则∠A 等于 （ ）A ．30° B．36° C．45° D．72°9.已知：如图，AB=AC ．（1）若CE=BD ，求证：GE=GD ；（2）若CE=mBD （m 为正数），试猜想GE 与GD 有何关系（只写结论，不证明）．10.如图，在△ABC 中，点O 在AC 上，过点O 作MN ∥BC ，CE与MN 分别交于E 、F ，求证：OE=OF.11.已知△ABC 中，AB ＝AC ，过△ABC 的一个顶点的一条直线，把△ABC 分成两个小三角形，使得这两个小三角形也是等腰三角形.试画出所有符合条件的图形，并写出被分成的两个小等腰三角形中相等的线段及△ABC 各内角的度数．第9题图 第7题图 第8题图。
北师大版八年级下册数学1.1等腰三角形第3课时 教案设计
课时课题：第一章第一节等腰三角形第3课时教学目标：1.能够用综合法证明等腰三角形的判定定理，进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式，体会证明的必要性.2.初步了解反证法的含义，并能利用反证法证明简单的命题.3.体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性．教学重点与难点：重点：等腰三角形的判定定理的证明.难点：反证法的含义，利用反证法证明简单的命题.教法与学法指导：本节应用“启迪诱导—自主探究”教学模式.教师在教学过程中起到引导释疑的作用:引导学生观察、思考、分析、讨论、形成结论，并让学生在应用中体会所得知识,学会应用所学知识解决问题的方法.本节课关注了问题的变式与拓广，引领学生经历了提出问题、解决问题的过程，因而较好地提高了学生的研究能力、自主学习能力.课前准备：多媒体课件教学过程：第一环节回顾旧知复习导入师：请同学们回顾一下，前面我们学习了等腰三角形的哪些性质。
生1：等腰三角形两底角相等，就是“等边对等角”。
生2：“三线合一”。
生3：等腰三角形两腰上的高相等，两腰上的中线相等，两底角的平分线相等。
师：非常好！同学们概括的很全面。
那么对于等腰三角形的性质定理：等腰三角形两底角相等，这个命题的题设和结论是什么？ 生：题设：等腰三角形。
结论：两底角相等。
师：我们把性质定理的条件和结论反过来还成立么？如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等？ 生：完全成立，可以证明出来。
设计意图：设计成问题串是为引出等腰三角形的判定定理埋下伏笔。
学生独立思考是对上节课内容有效地检测手段。
第二环节 合作探究 展示交流师：以前我们通过改变问题条件，得出了很多类似的结论，这是研究问题的一种常用方法，除此之外，我们还可以“反过来”思考问题，这也是获得数学结论的一条途径．比如“等边对等角”，反过来成立吗?也就是：有两个角相等的三角形是等腰三角形吗?下面我们来一起证明一下这个结论。
请同学们画出图形，写出已知、求证。
(北师大版)数学八年级下册同步导学案汇总(全书完整版)
（2）等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的腰长为.
4.△ABC中， AB=AC, 且BD=BC=AD，求∠A的度数.
5.如图，已知D.E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=A E,求证:BD=CE
中考真题：已 知：如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE, DG⊥CE,G是垂足，求证：
2.D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E.F，且DE=DF，
求证BF=CE[解析]本题解决的关键是利用“HL”证明△BFD≌△CED
三、例题展示：
1.下列各选项中的两个直角三角形不一定全等的是（）
A.两条直角边对应相等的两个直角三角形.
B.两条锐角边对应相等的两个直角三角形.
二、基础训练：
观察勾股定理及上述定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系？然后观察下列每组命题，是否也在类似关系
（1）如果两个角是对顶角，那么它们相等.
如果两个角相等，那么它们 是对顶角.
（2）如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧.
如果小明发烧，那么他一定患了肺炎.
（3）三角形中相等的边所对的角相等.
三角形中相等的角所对的边相等.
已知：
求证：
证明：
得出定理： .
问题：等腰三角形两条腰上的中线相等吗？高呢？还有其他的结论吗？请你证明它们，并与同 伴交流.
二、基 础训练；
1. 请同学们阅读P6的问题（1）.（2），由此得到什么结论？
2. 我们知道等腰三角形的两个底角相等，反过来此命题成立吗？并与同伴交流，由此得到什么结论？
得出定理：；简称：.
北师大版八年级数学下册1.1等腰三角形(第2课时)优秀教学案例
3.鼓励学生提出自己的问题，培养学生的提问能力和批判性思维。
（三）小组合作
1.将学生分成小组，每组成员共同讨论和探索等腰三角形的性质。
2.设计具有合作性的任务，如共同完成一个等腰三角形的拼图游戏，或者一起解决一个实际问题。
4.教师通过观察学生的学习行为和表现，了解学生的学习状况，及时调整教学策略，提高教学效果。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体展示一些生活中常见的等腰三角形形状的物体，如金字塔、梯子等，引发学生对等腰三角形的关注。
2.提出与等腰三角形相关的问题，如“你们观察过这些物体的形状吗？它们有什么特点？”等，激发学生的思考和探索兴趣。
2.问题导向的教学策略：通过设计具有挑战性和启发性的问题，引导学生主动思考和探索，培养了学生的逻辑思维能力和问题解决能力。同时，教师还鼓励学生提出自己的问题，培养了学生的提问能力和批判性思维。
3.小组合作的学习方式：通过小组合作，学生能够共同探索等腰三角形的性质，培养团队合作意识和沟通能力。同时，小组合作也能够激发学生的学习积极性和主动性，提高学习效果。
4.教师在课后与学生进行交流，了解学生在作业过程中遇到的问题，给予针对性的指导和建议。
五、案例亮点
1.生活情境的创设：通过引入金字塔、梯子等实际生活中的等腰三角形形状的物体，激发了学生的学习兴趣，使学生能够更好地理解和应用所学的数学知识。这种生活情境的创设，不仅能够激发学生的学习兴趣，还能够让学生认识到数学与生活实际的联系，提高学生运用数学解决问题的能力。
本节课的教学目标是让学生掌握等腰三角形的性质，并能够运用这些性质解决实际问题。同时，通过小组合作、讨论交流等方式，培养学生的团队合作意识和沟通能力。在教学过程中，我将以学生为主体，注重启发式教学，引导学生主动探索、发现和总结等腰三角形的性质，从而提高他们的数学素养和解决问题的能力。
新版北师大版八年级下册第一章三角形的证明导学案集体备课版
12 3
B
D
C
模块二 合作探究 9、如图，已知∠D =∠C，∠A =∠B，且 AE = BF。求证：AD = BC。
C
D
D 为 AC 上一点，并且 AB = AD，DB = DC，若∠C = 29°，求∠A。
A D
B
C
模块三 形成提升 1、 填空： （1）如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D 在 AC 上，且 BD = BC = AD。 请找出所有的等腰三角形 _________ 。 （2）等腰三角形的顶角为 50°，则它的底角为 _________ 。 （3）等腰三角形的一个角为 40°，则另两个角为 _ 。 （4）等腰三角形的一个角为 100°，则另两个角为 _ 。 （5）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于 __ 度。 2、如图，在△ABC 中，AB = AC，D 是 BC 边上的中点，且 DE⊥AB，DF⊥AC。 求证：∠1 =∠2。
达州耀华育才学校八年级集体备课教案导学案 主备教师：喻茂伦
C
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实践练习: 1、等腰三角形的两边分别是 7 cm 和 3 cm，则周长为 ____ 。 2、如图在△ABC 中，AB = AC，AD⊥AC，∠BAC = 100°。求：∠1、∠B 的度数。
B
归纳：1、等腰三角形性质定理： （简称“等边对等角” ） ； 推理格式：∵AB=AC，∴_________（等边对等角） 2、推论（三线合一） ： ； 推理格式： ①∵AB=AC,AD⊥BC, ②∵AB=AC, BD=DC, ③∵AB=AC,___平分____, ∴BD=DC,AD 平分_____, ∴___⊥___,___平分_____, ∴________________,
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1.1.4 等腰三角形（4）
本课时学习要点：等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质
本课时学习目标：
【知识与技能】等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质。
【过程与方法】将探索、发现、猜想、证明有机结合起来，使数学思维的创造性和严谨性协调发展。
【情感、态度与价值观】培养学生深入思考能力和质疑精神。
本课时学习安排：
课前准备：
1、已知△ABC中，AB=AC=5cm，请增加一个条件使它变为等边三角形。
2、利用刻度尺两测量一下含300角的三角板的斜边和较短的直角边，与同伴比较结果，交
流其关系。
课中学习：
活动一：等边三角形的判定
等边三角形的定义：三边都是等边三角形。
定理1：三个角都相等的三角形是三角形。
定理2：有一个角的等腰三角形是等边三角形。
例1、如图，在△ABC中，D为AC边上的一点，DE⊥AB于点E，ED的延长线交BC的延长线于点F，CD＝CF，且∠F＝30°.求证：△ABC是等边三角形.
活动二：含30°角的直角三角形的性质
做一做：用两个含300角的全等三角尺，你能拼出一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？由此你能发现什么结论？说说你的理由。
定理：在直角三角形中，300角所对直角边等于斜边的。
已知：
求证：
例2、已知：如图，△ABC中，BC⊥AC,DE⊥AC，点D是AB的中点，∠A=300，DE=1.8，
求AB的长。
课后巩固：
☆1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900, ∠A =300,
CD⊥AB,BD=1,则AB= 。
☆2、在△ABC中，AB=AC,∠BAC=1200,D是BC的中点，DE⊥AC,则AE:EC= 。
☆☆3、已知如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在AC、BC上，
且CD=BE，则∠AFD= ．
☆☆4、如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作
EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；（2）若CD=2，求DF的长．
☆☆☆5、如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，求OM的长。