江苏省基地学校2021届高三上学期第一次大联考数学试题(12月)

2021届江苏基地学校高三第一次大联考数 学（考试时间：120分钟 满分：150分）U 4)， 4z =，则A ．1B C ．2 D3． 已知13212log 3b a bc a ===，，，则a b c ，，的大小关系是 A ．c a b >> B ．c b a >> C ．a c b >> D ．a b c >>4． 命题“[]12x ∀∈，，220x a -≤”为真命题的一个充分不必要条件是 A ．2a ≤ B ．2a ≥ C ．4a ≤ D ．4a ≥5． 有5名学生志愿者到2个小区参加疫情防控常态化宣传活动，每名学生只去1个小区，每个小区至少安排1名学生，则不同的安排方法为 A ．10种 B ．20种 C ．30种D ．40种 6． 函数12sin ()log |22|x x x f x -=-的部分图象可能是如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，用色墨水的签字笔将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

7．若双曲线221:13y xCa-=与双曲线222:169yxC-=的渐近线相同，则双曲线1C的离心率为A B CD8． 2013年9月7日，习近平总书记在哈萨克斯坦纳扎尔巴耶夫大学发表演讲并回答学生们提出的问题，在谈到环境保护问题时他指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山。

宁要绿水青山，不要金山银山，而且绿水青山就是金山银山。

”“绿水青山就是金山银山”这一科学论断，成为树立生态文明观、引领中国走向绿色发展之路的理论之基。

某市为了改善当地生态环境，2014年投入资金160万元，以后每年投入资金比上一年增加20万元，从2020年开始每年投入资金比上一年增加10%，到2024年底该市生态环境建设投资总额大约为A．2655万元B．2970万元C．3005万元D．3040万元二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

9． 2019年1月到2019年12月某地新能源汽车配套公共充电桩保有量如下：则下列说法正确的是A ．2019年各月公共充电桩保有量一直保持增长态势B ．2019年12月较2019年11月公共充电桩保有量增加超过2万台C ．2019年6月到2019年7月，公共充电桩保有量增幅最大D ．2019年下半年各月公共充电桩保有量均突破45万台10．设a b ∈R ，，则下列结论正确的是 A ．若0a b >>，则2211a b < B ．若0a b <<，则22(1)(1)a b -<-C ．若2a b +=，则224a b +≥D ．若211+2b a b a +>，则a b >11．如图，在半圆柱中，AB 为上底面直径，DC 为下底面直径，AD BC ，为母线，=AB2=AD ，点F 在AB 上，点G 在DC 上，1BF DG ==，P 为DC 的中点．则 A ．BF ∥PGB ．异面直线AF 与CG 所成角为60︒C ．三棱锥P ACG -3BFD．直线AP与平面ADG12．已知函数()2sin sin2f x x x=+，则下列结论正确的是A．函数()f x是周期函数 B．函数()f x在[]-ππ，上有4个零点C．函数()f x的图象关于(π对称 D．函数()f x的最大值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分。

13．已知向量(1)t=-，a，(31)=，b，且(2)-⊥a b b，则t=．14．设函数212()1(2)22⎧-⎪=⎨->⎪⎩x xf xf x x，≤，，，则((6))=f f．15．已知抛物线2:C y x=的直线l经过点(10)，，且与C交于A B，两点（其中A点在x轴上方）．若B点关于x轴的对称点为P，则APB△外接圆的方程为．16．某公司周年庆典活动中，制作的“水晶球”工艺品如图所示，底座是用一边长为2m的正方形钢板，按各边中点连线垂直折起四个小三角形制成，再将一个水晶玻璃球放入其中．若水晶球最高点到底座底面的距离为1)m，则水晶球的表面积为 m2．四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分）（第16题）sin cos A a C =，②πtan()24C +=+222a b c +=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．已知△ABC 中的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ．若4c =，105B =︒，，求a 和S ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n a S +=，21log nn n a b a +=-，*n ∈N ． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设112(2)n n n n n c b b +++=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：31164n T <≤．19．（本小题满分12分）近年来，我国肥胖人群的规模不断扩大，肥胖人群有很大的心血管安全隐患．目前，国际上常用身体质量指数（Body Mass Index ，缩写BMI ）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是22kg BMI=m 体重（单位：）身高（单位：）．中国成人的BMI 数值标准为：BMI<18.5为偏瘦；18.5≤BMI<24为正常；24≤BMI<28为偏胖；BMI ≥28为肥胖．某单位随机调查了100名员工，测量身高、体重并计算出BMI 值． （1）根据调查结果制作了如下22⨯列联表，请将22⨯列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为肥胖与不经常运动有关；取的3人中“经常运动且不肥胖”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．20．（本小题满分12分）如图，已知多面体ABCDEF 的底面ABCD 是边长为2的正方形，FA ⊥底面ABCD ，2AF =，且=(01)DE AF λλ<<． （1）求证：CE ∥平面ABF ；（2）若二面角B CF E --的大小为5π6，求λ的值．21．（本小题满分12分）已知O 为坐标原点，椭圆22:14x C y +=，点D M N ，，为C 上的动点，O M N ，，三点共线，直线DM DN ，的斜率分别为1212(0)k k k k ≠，． （1）证明：1214k k =-；（2）当直线DM 过点(10)，时，求1||DN 的最小值； （3）若120k k +=，证明：22||||OD OM +为定值． 22．（本小题满分12分）已知函数()ln(1)f x a x =+，()e x g x x =（1x >-）．A BCDEF（第20题）（1）当1a =时，证明：()()f x x g x ≤≤；（2）设函数()()()F x f x g x =-，若()F x 有极值，且极值为正数，求实数a 的取值范围．2021届江苏基地学校高三第一次大联考数学参考答案及评分建议一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

1~4 D B C D 5~8 C B B C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

9．A B 10．A C 11．A B D 12．A C D 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分。

13．8 14．71615．2213133()636x y -+= 16．4π8． 【解析】设2014年到2024年每年的投入资金分别为126125a a a b b b ，，，，，，．由已知，126a a a ，，，为等差数列，16160260==a a ，，其和为11260=S 万元；125b b b ，，为等比数列，1260 1.1=⨯b ，公比为 1.1=q ，其和为552 1.1(1 1.1)2602860(1.11)1 1.1-=⨯=⨯--S ．又55122335551.1(10.1)10.10.10.1 1.61=+≈+⨯+⨯+⨯=C C C ，所以21744.8≈S 万元，所以投资总额大约为3005万元．选C ．12．【解析】对于A ，函数()f x 的最小正周期为2π，所以A 正确；对于B ，令()0=f x ，得2sin 3sin 2=x x ，函数()f x 的零点个数可转化为两函数2sin 3sin 2==y x y x ，图象交点个数，画图可知，图象在[]-ππ，上有只有2个交点，所以B 错误；对于C ，由(2π)sin 2-=-f x x x ，所以(2π)()-+=f x f x 以函数()f x 的图象关于(π对称，C 正确；对于D ，由()2cos 2cos22(cos 1)(2cos 1)'=-+=-+f x x x x x ，取一个周期[]-ππ，， 令()0'=f x ，得0332π2π=-x ，，，且当32π⎡⎤∈-π-⎢⎥⎣⎦x ，时，()0'>f x ，当332π2π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦x ，时， ()0'<f x ，当32π⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦x ，时，()0'>f x ，所以函数()f x 在32π=-x 时取极大值．由于()(π)32π-=>=f f 所以函数()f x ，D 正确．所以本题选ACD ．16．【解析】四个小三角形的顶点所在平面截球面得小圆的的半径．设球的半径为R ，由条件，得1R ，解得1=R ，所以水晶球的表面积为4πm 2． 四、解答题：本题共6小题，共70分。

17．（本小题满分10分）sin cos A a C =及正弦定理sin sin a c AC=，sin sin cos C A A C =，所以tan C =． …… 3分因为0πC <<，所以30C =︒． …… 5分又105B =︒，所以45A =︒， …… 6分结合4c =，可得sin sin c A a C== …… 8分所以△ABC中的面积11sin 4sin10522S ac B ==⨯⨯︒(sin 45cos60cos 45sin 60)=︒︒+︒︒4=．…… 10分若选②，由πtan tan πtan 14tan()24π1tan 1tan tan 4C C C CC +++===+--可得tan C =．下同① …… 3分若选③，由222a b c +=，得222cos 2a b c C ab +-==， …… 3分因为0πC <<，所以30C =︒．下同① …… 5分 18．（本小题满分12分）【解】（1）因为1n n a S +=，所以当1n =时，121a =，即112a =． …… 1分 当2n ≥时，有111n n a S --+=，所以110n n n n a a S S ---+-=，即112n n a a -=，即112n n aa -=（2n ≥），所以{}n a 是首项为112a =，公比为12的等比数列， …… 4分所以1111()()222n nn a -=⨯=．所以121log 2n nn n a b n a ++=-=⋅． …… 6分 （2）1111212(2)2(2)11122(1)2(2)(1)2n n n n n n n n n n n c b b n n n n ++++++⎡⎤++===-⎢⎥⋅+⋅⎡⎤⋅⋅+⋅⎣⎦⎣⎦．…… 8分 所以123n n T c c c c =++++12231111111111()()222122222322(1)2n n n n +⎡⎤=-+-++-⎢⎥⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⎣⎦112111112412(1)2(1)2n n n n ++⎡⎤=-=-⎢⎥⨯++⋅⎣⎦， …… 10分可知{}n T 为递增数列，所以11211113441616(11)2n T T +=-=-=+⋅≥．又210(1)2n n +>+⋅，所以14n T <，所以31164nT <≤． …… 12分 19．（本小题满分12分） 【解】（1）填表如下：…… 2分所以22100(20162440) 6.92660404456K ⨯-⨯==⨯⨯⨯． …… 5分因为6.926 6.635>，所以有99%的把握认为肥胖与不经常运动有关．…… 6分（2）“经常运动且不肥胖”的频率为4021005=． …… 8分 现随机抽取3人，“经常运动且不肥胖”的人数为X 可能的取值为0，1，2，3．03032227(0)(1)()55125P X C ==-=，12132254(1)(1)()55125P X C ==-=， 21232236(2)(1)()55125P X C ==-=，3033228(3)(1)()55125P X C ==-=． …… 10分所以随机变量X 的分布列为X275436886()01231251251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯==．… 12分20．（本小题满分12分）【证】（1）因为=DE AF λ，所以//DE AF ，又因为DE ⊄平面ABF ，AF ⊂平面ABF ， 所以//DE 平面ABF ． …… 2分因为底面ABCD 是正方形，所以//CD AB ， 又因为CD ⊄平面ABF ，AB ⊂平面ABF ， 所以//CD 平面ABF ． …… 4分因为CD ⊂平面CDE ，DE ⊂平面CDE ，CD DE D =，所以平面CDE ∥平面ABF ． 因为CE ⊂平面CDE ， 所以CE∥平面ABF ． …… 6分【解】（2）以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AF 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图空间直角坐标系． 由2AB AD AF ===得，(000)A ，，，(200)B ，，，(220)C ，，， (002)F ，，，(020)D ，，，(022)E λ，，．设平面BCF 的法向量为1111()x y z =，，n ，由已知得，(202)FB =-，，，(222)FC =，，-， 由1100FB FC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 得111112202220.x z x y z -=⎧⎨+-=⎩，不妨取11x =，则1101y z ==，， 从而平面BCF的一个法向量为1(101)=，，n ． …… 8分设平面ECF 的法向量为2222()x y z =，，n ，又(202)CE λ=-，，，由2200FC CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 得222222202220.x z x y z λ-+=⎧⎨+-=⎩，不妨取21z =，则221x y λλ==-，， 所以平面ECF的一个法向量为2(11)λλ=-，，n ． …… 10分所以12cos ,<>=n n ．因为二面角B EC F --的大小为5π6，22520λλ-+=，解得12λ=或2λ=（舍去）．…… 12分21．（本小题满分12分）【解】（1）由题知M N，关于原点对称，则可设112222()()()D x y M x y N x y--，，，，，．因为点D M，在椭圆C上，所以222212121144x xy y+=+=，，所以222212121144x xy y=-=-，，所以22122212121212222212121212(1)(1)1444x xy y y y y yk kx x x x x x x x----+-=⋅===--+--．…… 2分（2）设直线1:(1)DM y k x=-，代入2214x y+=可得，2222111(14)8440k x k x k+-+-=，所以211221814kx xk+=+，因此12121()DN x x=--=+=…… 4分因为1214k k=-，所以2DN=．设(1)t=+∞，，则21416828||2t tDN t t++==+≥，等号当仅当2t=时取，即2k=所以1||DN+的最小值为8． …… 7分（3）不妨设1200k k ><，，由1214k k =-，120k k +=， 所以121122k k ==-，． 8分 将直线DM 的方程为111()2y y x x -=-代入2214x y +=可得，22111+4()42x x x y ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦，即22211111122(2)4440x y x x x y x y +-++--=．因为221144x y +=，所以方程可化为21111(2)20x y x x x y +--=．所以12112x x x y =-，即212x y =-，所以2112y x =-，即111(2)2M y x --，．10分所以2222222211111115||||()(2)()+5524OD OM x y y x x y ⎡⎤+=++-+-==⎢⎥⎣⎦．… 12分 22．（本小题满分12分）【解】（1）当1a =时，设()ln(1)h x x x =-+，所以1()111x h x x x '=-=++，令()0h x '=，得0x =．当0x >时，()0h x '>，()h x 单调递增；当10x -<<时，()0h x '<，()h x 单调递减， 所以()(0)0h x h =≥，即()f x x ≤． …… 2分又()(e 1)x g x x x -=-，因为e 1x -与x 同号（当0x =时，e 10x x -==）所以()0g x x -≥，即()x g x ≤．综上可知，()()f x x g x ≤≤． …… 4分（2）()ln(1)e x F x a x x =+-（1x >-），所以()(1)e 1x a F x x x '=-++．当0a ≤时，()0F x '<，()F x 在(1)-+∞，上单调递减，所以()F x 无极值．5分当0a >时，记()()F x x ϕ'=，所以2()(2)e 0(1)x a x x x ϕ'=--+<+，所以()x ϕ即()F x '在(1)-+∞，上单调递减． 又(0)1F a '=-，1(1)1e a F a a -'-=-． …… 7分①当01a <<时，(0)0F '<，(1)0F a '->，所以在(1)-+∞，上存在唯一的(10)a α∈-，，使得()0F α'=． 当1x α-<<，()0F x '>，所以()F x 单调递增； 当x α>，()0F x '<，所以()F x 单调递减，所以()F x 的极大值为()(0)0F F α>=，符合题意． …… 10分②当1a >时，(0)0F '>，(1)0F a '-<，同理符合题意．③当1a =时，由（1）知()0F x ≤，不合题意．综上，实数a的取值范围是a >且1a ≠． …… 12分。