函数的极值与导数6
函数的极值与导数
x3 x4 b x
1.在点x1附近都有f(x)﹤f (x1), x1叫函数f(x)的一个极大值点, f (x1)叫做函数f (x)的极大值，记作y极大值= f (x1)；
2.在点x2附近都有f(x)>f (x2), x2叫函数f(x)的一个极小值点, f (x2)叫做函数f (x)的极小值，记作y极小值= f (x2)；
二、问题情境:
已知y=f(x)的函数图像如下，请观察后回答：
y
R
y=f(x)
f '(x1)= ?
S
P Q
极值点
o a x1 x2
x3 x4 b x
1. f '(x)>0 的区间有:__(a_,_x_1_),_(_x_2,_x_3_),_(_x4_,_b_) f '(x)<0 的区间有:____(x_1_, _x_2)_,(_x_3_, _x_4)___
2. f '(x1)=__0__ f '(x2)=0, f '(x3)=0, f '(x4)=0,
3. x1, x2, x3, x4这些点处相应的函数值还具有怎样的特点？
三、极值概念:
已知y=f(x)的函数图像如下，请观察后回答：
y
R
y=f(x)
f '(x1)= 0
S
自变量的值
P Q
极值点
o a x1 x2
函数的极值与导数
一、知识回顾:
函数的导数与单调性:
一般地,设函数y=f(x)在某个区间(a，b)内有导数,若：
f '(x)>0
y=f(x) 在(a，b)上增函数;
f '(x)<0
y=f(x) 在(a，b)上减函数
高考数学知识点：函数的极值与导数的关系_知识点总结
高考数学知识点：函数的极值与导数的关系_知识点总结高考数学知识点：函数的极值与导数的关系极值的定义：（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点；（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。
极值的性质：（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
判别f（x0）是极大、极小值的方法：若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。
求函数f（x）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；（2）求方程f′（x）=0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。
对函数极值概念的理解：极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图．③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，函数的最大值和最小值：在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
高考数学知识点：函数的极值与导数的关系
高考数学知识点：函数的极值与导数的关系高考数学知识点：函数的极值与导数的关系极值的定义：（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点；（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。
极值的性质：（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
判别f（x0）是极大、极小值的方法：若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。
求函数f（x）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；（2）求方程f′（x）=0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。
对函数极值概念的理解：极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b （因为在端点不可导）．如图②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图．③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，函数的最大值和最小值：在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
导数与函数的极值、最值
导数与函数的极值、最值一、基础知识1．函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.①函数f(x)在x0处有极值的必要不充分条件是f′(x0)＝0，极值点是f′(x)＝0的根，但f′(x)＝0的根不都是极值点(例如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点).②极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质.极值点是函数在区间内部的点，不会是端点.2．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．二、常用结论(1)若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值．(2)若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．(3)若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．考点一利用导数解决函数的极值问题考法(一)利用导数求函数的极值或极值点[典例](优质试题·天津高考改编)设函数f(x)＝(x－t1)·(x－t2)(x－t3)，其中t1，t2，t3∈R，且t1，t2，t3是公差为d的等差数列．(1)若t2＝0，d＝1，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)若d＝3，求f(x)的极小值点及极大值．[解](1)由已知，可得f(x)＝x(x－1)(x＋1)＝x3－x，故f′(x)＝3x2－1.因此f(0)＝0，f′(0)＝－1.因此曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－f(0)＝f′(0)(x－0)，故所求切线方程为x＋y＝0.(2)由已知可得f(x)＝(x－t2＋3)(x－t2)(x－t2－3)＝(x－t2)3－9(x－t2)＝x3－3t2x2＋(3t22－9)x－t32＋9t2.故f′(x)＝3x2－6t2x＋3t22－9.令f′(x)＝0，解得x＝t2－3或x＝t2＋ 3.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以函数f (x )的极小值点为x ＝t 2＋3，极大值为f (t 2－3)＝(－3)3－9×(－3)＝6 3.[解题技法] 求函数的极值或极值点的步骤 (1)求导数f ′(x )，不要忘记函数f (x )的定义域； (2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)检查在方程的根的左右两侧f ′(x )的符号，确定极值点或函数的极值． 考法(二) 已知函数极值点或极值求参数的值或范围[典例] (优质试题·北京高考节选)设函数f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x ，若f (x )在x ＝1处取得极小值，求a 的取值范围．[解] 由f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x ， 得f ′(x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x ＝(ax －1)(x －1)e x . 若a >1，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，1时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在x ＝1处取得极小值．若a ≤1，则当x ∈(0,1)时，ax －1≤x －1<0， 所以f ′(x )>0.所以1不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是(1，＋∞)． [解题技法]已知函数极值点或极值求参数的2个要领[专题训练]1．设函数f (x )＝2x ＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点 C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点解析：选D ∵f (x )＝2x ＋ln x (x >0)， ∴f ′(x )＝－2x 2＋1x ，令f ′(x )＝0，则x ＝2. 当0<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0. 所以x ＝2为f (x )的极小值点．2．(优质试题·广州高中综合测试)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处的极值为10，则数对(a ，b )为( )A ．(－3,3)B ．(－11,4)C ．(4，－11)D ．(－3,3)或(4，－11)解析：选C f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b ＋a 2＝10，消去b 可得a 2－a －12＝0，解得a ＝－3或a ＝4，故⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11.当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，这时f (x )无极值，不合题意，舍去，故选C.3．设函数f (x )＝ax 3－2x 2＋x ＋c (a >0)．(1)当a ＝1，且函数f (x )的图象过点(0,1)时，求函数f (x )的极小值； (2)若f (x )在(－∞，＋∞)上无极值点，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1.(1)函数f (x )的图象过点(0,1)时，有f (0)＝c ＝1.当a ＝1时，f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋1，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1， 由f ′(x )>0，解得x <13或x >1； 由f ′(x )<0，解得13<x <1.所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13和(1，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1上单调递减，所以函数f (x )的极小值是f (1)＝13－2×12＋1＋1＝1. (2)若f (x )在(－∞，＋∞)上无极值点， 则f (x )在(－∞，＋∞)上是单调函数，即f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1≥0或f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1≤0恒成立． 因为a >0，所以f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1≥0在(－∞，＋∞)上恒成立， 则有Δ＝(－4)2－4×3a ×1≤0，即16－12a ≤0，解得a ≥43. 故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞.考点二 利用导数解决函数的最值问题[典例] (优质试题·北京高考)已知函数f (x )＝e x cos x －x . (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值． [解] (1)因为f (x )＝e x cos x －x ，所以f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，f ′(0)＝0. 又因为f (0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1. (2)设h (x )＝e x (cos x －sin x )－1，则h ′(x )＝e x (cos x －sin x －sin x －cos x )＝－2e x sin x .当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，h ′(x )＜0，所以h (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减．所以对任意x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，有h (x )＜h (0)＝0，即f ′(x )＜0.所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减．因此f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为f (0)＝1，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－π2.[解题技法]导数法求给定区间上函数的最值问题的一般步骤(1)求函数f (x )的导数f ′(x )；(2)求f (x )在给定区间上的单调性和极值； (3)求f (x )在给定区间上的端点值；(4)将f (x )的各极值与f (x )的端点值进行比较，确定f (x )的最大值与最小值； (5)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范． [专题训练]1.(优质试题·珠海摸底)如图，将一张16 cm ×10 cm 的长方形纸片剪下四个全等的小正方形，使得剩余部分经过折叠能糊成一个无盖的长方体纸盒，则这个纸盒的最大容积是________ cm 3.解析：设剪下的四个小正方形的边长为x cm ，则经过折叠以后，糊成的长方体纸盒是一个底面是长为(16－2x ) cm ，宽为(10－2x ) cm 的长方形，其面积为(16－2x )(10－2x )cm 2，长方体纸盒的高为x cm ，则体积V ＝(16－2x )(10－2x )×x ＝4x 3－52x 2＋160x (0<x <5)cm 3，所以V ′＝12(x －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －203，由V ′>0，得0<x <2，则函数V ＝4x 3－52x 2＋160x (0<x <5)在(0,2)上单调递增；由V ′<0，得2<x <5，则函数V ＝4x 3－52x 2＋160x (0<x <5)在(2,5)上单调递减，所以当x ＝2时，V max ＝144(cm 3)．答案：1442．已知函数f (x )＝ln x －ax .(1)若a >0，试判断f (x )在定义域内的单调性； (2)若f (x )在[1，e]上的最小值为32，求实数a 的值．解：(1)由题意得f (x )的定义域是(0，＋∞)，且f ′(x )＝x ＋ax 2， 因为a >0，所以f ′(x )>0， 故f (x )在(0，＋∞)上单调递增． (2)由(1)可得f ′(x )＝x ＋ax 2， 因为x ∈[1，e]，①若a ≥－1，则x ＋a ≥0，即f ′(x )≥0在[1，e]上恒成立， 此时f (x )在[1，e]上单调递增， 所以f (x )min ＝f (1)＝－a ＝32， 所以a ＝－32(舍去)．②若a ≤－e ，则x ＋a ≤0，即f ′(x )≤0在[1，e]上恒成立， 此时f (x )在[1，e]上单调递减， 所以f (x )min ＝f (e)＝1－a e ＝32， 所以a ＝－e2(舍去)．③若－e<a <－1，令f ′(x )＝0，得x ＝－a ，当1<x<－a时，f′(x)<0，所以f(x)在(1，－a)上单调递减；当－a<x<e时，f′(x)>0，所以f(x)在(－a，e)上单调递增，所以f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝32，所以a＝－ e.综上，a＝－ e.[课时跟踪检测]A级1．(优质试题·辽宁鞍山一中模拟)已知函数f(x)＝x3－3x－1，在区间[－3,2]上的最大值为M，最小值为N，则M－N＝()A．20B．18C．3 D．0解析：选A∵f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，∴f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减，又∵f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，∴M＝1，N＝－19，M－N＝1－(－19)＝20.2．(优质试题·梅州期末)函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是()A．(－1,3)为函数y＝f(x)的单调递增区间B．(3,5)为函数y＝f(x)的单调递减区间C．函数y＝f(x)在x＝0处取得极大值D．函数y＝f(x)在x＝5处取得极小值解析：选C由函数y＝f(x)的导函数的图象可知，当x<－1或3<x<5时，f′(x)<0，y＝f(x)单调递减；当x>5或－1<x<3时，f′(x)>0，y＝f(x)单调递增．所以函数y＝f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3,5)，单调递增区间为(－1,3)，(5，＋∞)．函数y＝f(x)在x＝－1,5处取得极小值，在x＝3处取得极大值，故选项C 错误．3．(优质试题·湖北襄阳四校联考)函数f(x)＝12x2＋x ln x－3x的极值点一定在区间()A．(0,1)内B．(1,2)内C．(2,3)内D．(3,4)内解析：选B函数的极值点即导函数的零点，f′(x)＝x＋ln x＋1－3＝x＋ln x －2，则f′(1)＝－1<0，f′(2)＝ln 2>0，由零点存在性定理得f′(x)的零点在(1,2)内，故选B.4．已知函数f(x)＝x3＋3x2－9x＋1，若f(x)在区间[k,2]上的最大值为28，则实数k的取值范围为()A．[－3，＋∞) B．(－3，＋∞)C．(－∞，－3) D．(－∞，－3]解析：选D由题意知f′(x)＝3x2＋6x－9，令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝－3，所以f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：又f(－3)＝28，f(1)＝－4，f(2)＝3，f(x)在区间[k,2]上的最大值为28，所以k≤－3.5．(优质试题·皖南八校联考)已知函数f (x )＝－13x 3＋bx 2＋cx ＋bc 在x ＝1处有极值－43，则b ＝( )A ．－1B ．1C ．1或－1D ．－1或3解析：选A f ′(x )＝－x 2＋2bx ＋c ，因为f (x )在x ＝1处有极值－43，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝－1＋2b ＋c ＝0，f (1)＝－13＋b ＋c ＋bc ＝－43，Δ＝4b 2＋4c >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝3，故选A.6．设直线x ＝t 与函数h (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |最小时t 的值为( )A ．1 B.12 C.52D.22解析：选D 由已知条件可得|MN |＝t 2－ln t ， 设f (t )＝t 2－ln t (t >0)，则f ′(t )＝2t －1t ， 令f ′(t )＝0，得t ＝22，当0<t <22时，f ′(t )<0；当t ＞22时，f ′(t )＞0.∴当t ＝22时，f (t )取得最小值，即|MN |取得最小值时t ＝22.7．(优质试题·江西阶段性检测)已知函数y ＝ax －1x 2在x ＝－1处取得极值，则a ＝________.解析：因为y ′＝a ＋2x 3，所以当x ＝－1时，a －2＝0，所以a ＝2，经验证，。
导数与函数极值最值
导数与函数的极值与最值1. 函数的极值⑴．判断 f (x 0)是极值的方法一般地，当函数 y ＝f (x )在点 x 0 处连续时，①．如果在 x 0 附近的左侧 f ′(x )＞0，右侧 f ′(x )＜0，那么 f (x 0)是极大值； ②．如果在 x 0 附近的左侧 f ′(x )＜0，右侧 f ′(x )＞0，那么 f (x 0)是极小值． ⑵．求可导函数极值的步骤：①．求 f ′(x )；②．求方程 f ′(x )＝0 的根；③．检查 f ′(x )在方程 f ′(x )＝0 的根左右值的符号．如果左正右负，那么 y ＝f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 y ＝f (x )在这个根处取得极小值，如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点．2. 函数的最值⑴．在闭区间[a ，b ]上连续的函数 y ＝f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．⑵．若函数 f (x )在[a ，b ]上单调递增，则 f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数 f (x )在[a ，b ]上单调递减，则 f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．⑶．设函数 f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，求 f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤如下： ①．求 f (x )在(a ，b )内的极值；②．将 f (x )的各极值与 f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 3. 利用极值求参数1. 极值点使得导函数为0，即极值点为导函数的零点.2. 极值点的个数就是导函数变号零点的个数3. 方法：①直接法：直接求方程，得到方程的根，在通过解不等式确定参数取值范围； ②分离参数法：将参数分离，构造新函数转化成求最值或者值域的问题； ③数形结合：先对解析式变形，在坐标系中画出函数图像，通过找交点求解.题型一 求极值【例1】(1)（2019·湖北高二期末）函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，则（ ）A ．12为()f x 的极大值点 B ．2-为()f x 的极大值点 C ．2为()f x 的极大值点D ．45为()f x 的极小值点 (2)（2019·黑龙江铁人中学高二期中（文））函数()()2312f x x =-+的极值点是（ ） A ．0x =B ．1x =C ．1x =-或1D ．1x =或0【解析】(1)对于A 选项，当122x -<<时，()0f x '>，当122x <<时，()0f x '<，12为()f x 的极大值点，A 选项正确；对于B 选项，当2x <-时，()0f x '<，当122x -<<时，()0f x '>，2-为()f x 的极小值点，B 错误； 对于C 选项，当122x <<时，()0f x '<，当2x >时，()0f x '>，2为()f x 的极小值点，C 选项错误； 对于D 选项，由于函数()y f x =为可导函数，且405f ⎛⎫'<⎪⎝⎭，45不是()f x 的极值点，D 选项错误.故：A. (2)函数的导数为2233()2(1)(3)6(1)f x x x x x '=-⨯=-， 当()0f x '=得0x =或1x =，当1x >时，()0f x '>，当01x <<时，()0f x '<， 所以1x =是极小值点.当0x <时，()0f x '<，当01x <<时，()0f x '<， 所以0x =不是极值点.故选B .【举一反三】1．（2018·安徽高二期末（理））函数()321313f x x x x =+--的极小值点是（ ） A ．1B ．（1，﹣83）C ．3-D ．（﹣3，8）【解析】()223f x x x =+-'，由2230x x +-=得31x =-或 函数()321313f x x x x =+--在(),3-∞-上为增函数，()3,1-上为减函数， ()1+∞，上为增函数，故()f x 在1x =处有极小值，极小值点为1.选A 2．（2019·安徽高二月考（文））已知函数()2ln f x ax b x =+在点M (1,1)处的切线方程为230x y +-=.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）求函数()y f x =的单调区间和极值.【答案】（1）f (x )=x 2-4lnx （2）函数()f x 的单调递增区间是(，单调递减区间是)+∞.极小值为22ln 2-，无极大值 【解析】（1）()2bf x ax x'=+， 因为点M (1,1)处的切线方程为2x +y -3=0，所以()()11122f a f a b ⎧==⎪⎨=+=-'⎪⎩,所以14a b =⎧⎨=-⎩，则f (x )=x 2-4lnx ;（2）定义域为(0,+∞),()24242x f x x x x-'=-=,令()0f x '=，得x =. 列表如下：故函数()f x 的单调递增区间是(，单调递减区间是)+∞.极小值为222ln 2f=-=-，无极大值.题型二 求最值【例2】（2019·黑龙江铁人中学高二期中 ）函数32()32f x x x =-+在区间[－1，1]上的最大值是（ ） A ．4 B ．2 C ．0 D ．－2【答案】B【解析】令()2360f x x x '=-=，解得0x =2x =.()()()()02,22,12,10f f f f ==--=-=，故函数的最大值为2，所以本小题选B.【举一反三】1．（2019·湖南高一月考）已知函数2()4,[0,3],f x x x a x =-++∈若()f x 有最小值2-，则()f x 的最大值为____【解析】二次函数()y f x = 在[]0,2x ∈ 单调递增，当(]2,3x ∈ 单调递减故在x=0时取得最小值，即a=2题型三 利用极值最值求参数【例3】(1)（2019·河北唐山一中高三期中（理））若2x =-是函数21()(1)ex f x x ax -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ）．A ．1-B ．32e --C ．35e -D ．1(2)（2019·贵州省铜仁第一中学高三（文））若函数()333f x x bx b =-+在()0,1内有极小值，则b 的取值范围为（ ） A ．01b <<B ．1b <C ．0b >D ．12b <(3)（2019·安徽高二月考（文））若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是 A ．[－5，0)B ．(－5，0)C ．[－3，0)D ．(－3，0)【答案】(1)A(2)A(3)C 【举一反三】1.已知是函数的极小值点，则的范围是_____2.已知是函数的极小值点，则取值范围________3.已知函数有两个极值点，且，则（ ）4.（2019·新疆高三月考）已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点,则实数a 的取值范围是____．5.若函数在区间内有极值，则取值范围（ C ）0x =()()()22222f x x a x a x a=-++a ()(),02,-∞⋃+∞1x =()()()2202xk f x x e x kx k =--+>k ()0,e ()221ln f x x x a x =-++12,x x 12x x <D ()212ln 2.4A f x +<-()212ln 2.4B f x -<()212ln 2.4C f x +>-()212ln 2.4D f x ->()()()2122ln 02ax f x a x x a =-++>1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭a6. 若函数在上有小于零的极值点，实数的取值范围是（ ）7. 若函数在区间恰有一个极值点，则实数取值范围______.8. 已知函数在区间上至少有一个极值点，实数取值范围______ 课后训练：1．（2019·江西高三期中（文））若函数()32236f x x mx x =-+在区间()1,+∞上存在极值点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞ B ．(),1-∞ C ．(],2-∞ D ．()2,+∞【答案】D 【解析】依题意()'2666f x x mx =-+，由于函数()32236f x x mx x =-+在区间()1,+∞上存在极值点，所以()'2666fx x mx =-+在区间()1,+∞上有正有负，由于二次函数()'2666f x x mx =-+开口向上，对称轴为2m x =，2364660m ∆=-⨯⨯>，解得2m <-或2m >.当2m <-时，对称轴12mx =<-，()'060f =>故此时在区间()1,+∞上()'0f x >，函数()f x 单调递增，没有极值点.当2m >时，由于()'16661260f m m =-+=-<，且二次函数()'2666f x x mx =-+开口向上，故()'2666f x x mx =-+区间()1,+∞上必存在零点，也即()f x 在区间()1,+∞上存在极值点. 故选：D.2．（2019·陕西高三（文））函数3()1f x ax x =++有极值的充要条件是 （ ） A ．0a > B ．0a ≥ C ．0a < D ．0a ≤【答案】C【解析】因为2()31f x ax '=+，所以221()31030f x ax a x =+=⇒=-<'，即0a <，应选答案C 。
导数与函数的极值、最值
知识要点
双基巩固
典型例题
易错辨析
提升训练
【解】 (1)因 f(x)＝x3－6x2＋3x＋1， 所以 f′(x)＝3x2－12x＋3， ∴f′(x)＝3(x－2＋ 3)(x－2－ 3)． 当 f′(x)>0 时，x>2－ 3，或 x<2＋ 3； 当 f′(x)<0 时，2－ 3<x<2＋ 3. ∴f(x)的单调增区间是(－∞，2－ 3)，(2＋ 3，＋∞)，单调减 区间是(2－ 3，2＋ 3)．
解析：f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)，令f′(x)＝0得，x1＝－2，x2＝2. 当x＜－2时，f′(x)＞0，－2＜x＜2时，f′(x)＜0，f(x)在x＝－2处取 得极大值．
答案：－2
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易错辨析
提升训练
x2＋a 5．若函数 f(x)＝ 在 x＝1 处取极值，则 a＝________. x＋1 解析：∵f(x)在 x＝1 处取极值，∴f′(1)＝0.
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典型例题
易错辨析
提升训练
2．函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图 所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：极值点在f′(x)的图象上应是f′(x) 的图象与x轴的交点的横坐标，且极小 值点的左侧图象在x轴下方，右侧图象
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双基巩固
典型例题
易错辨析
提升训练
∵g(x)在 x＝0 和 x＝2 点处连续， 又∵g(0)＝1，g(1)＝2－ln 4，g(2)＝3－ln 9， 且 2－ln 4<3－ln 9<1， ∴g(x)的最大值是 1， g(x)的最小值是 2－ln 4. 所以在区间[0,2]上原方程恰有两个相异的实根时实数 a 的 取值范围是： 2－ln 4<a≤3－ln 9.
6函数的极值与导数答案
函数的极值与导数讲义1.极值点与极值(1)极小值点与极小值如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧，右侧，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.(2)极大值点与极大值如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧，右侧，则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.、统称为极值点，和统称为极值.2.求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是.(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是.想一想：若求得某点处的导数值为0，此点一定是极值点吗？提示一个点为函数的极值点不但满足此点处导数值为零，还要判断函数在此点附近左右两侧的单调性，只有单调性相反，才能作为函数的极值点，单调性一致时，不能作为极值点，如f(x)＝x3，x＝0就不是极值点．2．求函数f(x)极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么，f(x0)是极大值．(2)如果在x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么，f(x0)是极小值．想一想：极值点与单调区间有什么关系？提示极大值点可以看成函数单调递增区间过渡到递减区间的转折点，极小值点可以看成函数单调递减区间过渡到单调递增区间的转折点．名师点睛1．正确理解函数极值的概念(1)函数的极值是函数的局部性质，它反映了函数在某一点附近的大小情况．(2)由函数极值的定义知道，函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值，即端点一定不是函数的极值点．(3)在一个给定的区间上，函数可能有若干个极值点，也可能不存在极值点；函数可能只有极大值，没有极小值，或者只有极小值没有极大值，也可能既有极大值，又有极小值．极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小．2．极值点与导数的关系(1)可导函数的极值点一定是导数为0的点，但导数为0的点不一定是函数的极值点．(2)导数为0的点可能是函数的极值点，如y＝x2，y′(0)＝0，x＝0是极小值．导数为0的点也可能不是函数的极值点，如y＝x3，y′(0)＝0，x＝0不是极值点．探究点一函数的极值与导数的关系问题1如图观察，函数y＝f(x)在d、e、f、g、h、i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y＝f(x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，y＝f(x)的导数的符号有什么规律？问题2函数的极大值一定大于极小值吗？在区间内可导函数的极大值和极小值是唯一的吗？问题3若某点处的导数值为零，那么，此点一定是极值点吗？举例说明.思考函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有________个极小值点.题型一求函数的极值【例1】求下列函数的极值．(1)f(x)＝3x＋3ln x；(2)f(x)＝2xx2＋1－2.[思路探索] 求出f′(x)和使f′(x)＝0成立的点，再结合定义域研究这些点附近左右两侧的单调性，进而判断极值．解 (1)函数f (x )＝3x＋3ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－3x 2＋3x ＝3（x －1）x 2，令f ′(x )＝0得x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：(2)函数的定义域为R .f ′(x )＝2（x 2＋1）－4x 2（x 2＋1）2＝－2（x －1）（x ＋1）（x 2＋1）2. 令f ′(x )＝0，得x ＝－1，或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表可以看出：当x ＝－1时，函数有极小值，且极小值为f (－1)＝－3； 当x ＝1时，函数有极大值，且极大值为f (1)＝－1.规律方法 求函数的极值必须严格按照求函数极值的方法步骤进行，其重点是列表．解题时注意导数为零的点的左、右两侧的导数值是否是异号的，若异号，则是极值；否则，则不是极值．题型二 已知极值求参数值 【例2】已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1处取得极值，且f (1)＝－1. (1)求常数a ，b ，c 的值； (2)判断x ＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值． [思路探索] 先求f ′(x )，再由函数f (x )在x ＝±1处取得极值，且f (1)＝－1建立关于a ，b ，c 的方程组．求出a ，b ，c 值，再由判定极值的方法判定其极值情况．解 (1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c . ∵x ＝±1是函数f (x )的极值点， ∴x ＝±1是方程f ′(x )＝0的两根，即3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根，由根与系数的关系，得⎩⎨⎧－2b3a＝0， ①c3a＝－1 ②又f (1)＝－1，∴a ＋b ＋c ＝－1.③由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32.(2)f (x )＝12x 3－32x ，∴f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)(x ＋1)，当x <－1或x >1时，f ′(x )>0， 当－1<x <1时，f ′(x )<0，∴函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数， 在(－1，1)上是减函数，∴当x ＝－1时，函数取得极大值f (－1)＝1，当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝－1.规律方法 已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式，进而研究函数性质时注意两点： (1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．【变式2】已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且知当x ＝－1时取得极大值7，当x ＝3时取得极小值，试求函数f (x )的极小值，并求a 、b 、c 的值． 解 f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .∵x ＝－1时函数取得极大值，x ＝3时函数取得极小值．∴－1，3是方程f ′(x )＝0的根，即为方程3x 2＋2ax ＋b ＝0的两个根．由一元二次方程根与系数的关系有⎩⎨⎧－1＋3＝－2a3，（－1）×3＝b3.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－9.∴f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋c . ∵x ＝－1时取得极大值7，∴(－1)3－3(－1)2－9(－1)＋c ＝7. ∴c ＝2.∴函数f (x )的极小值为f (3)＝33－3×32－9×3＋2＝－25，a ＝－3，b ＝－9，c ＝2.题型三 极值的综合应用【例3】 (12分)设a 为实数，函数f (x )＝－x 3＋3x ＋a . (1)求f (x )的极值；(2)是否存在实数a ，使得方程f (x )＝0恰好有两个实数根？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．审题指导(1)依据求函数极值的方法求解．a 的值． [规范解答] (1)令f ′(x )＝－3x 2＋3＝0， 得x 1＝－1，x 2＝1.(2分) 又因为当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0；当x ∈(－1，－1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0.(4分)所以f (x )的极小值为f (－1)＝a －2，f (x )的极大值为f (1)＝a ＋2.(6分)(2)因为f (x )在(－∞，－1)上单调递减，且当x →－∞时，f (x )→＋∞；又f (x )在(1，＋∞)上单调递减，且当x →＋∞时，f (x )→－∞；而a ＋2>a －2，即函数的极大值大于极小值，所以当极大值等于0时，有极小值小于0，(8分)如图(1)，此时曲线f (x )与x 轴恰有两个交点，即方程f (x )＝0恰好有两个实数根，所以a ＋2＝0，a ＝－2.(10分)如图(2)，当极小值等于0时，有极大值大于0，此时曲线f (x )与x 轴恰有两个交点，即方程f (x )＝0恰好有两个实数根，所以a －2＝0，a ＝2.综上，当a ＝2，或a ＝－2时方程恰有两个实数根．(12分)练习1求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的极值.练习2 求函数y＝x4－4x3＋5的极值．解y′＝4x3－12x2＝4x2(x－3)，令y′＝4x2(x－3)＝0，得x1＝0，x2＝3.当x变化时，y′，y的变化情况如下表：练习3已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值.练习4 设x＝1与x＝2是函数f(x)＝a ln x＋bx2＋x的两个极值点.(1)试确定常数a和b的值；(2)判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由.练习6 已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，求常数a，b的值．[错解] ∵f (x )在x ＝－1处有极值0， 且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′（－1）＝0，f （－1）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.因此常数a ＝1时，b ＝3；a ＝2时，b ＝9.根据极值定义，函数先减后增为极小值，先增后减为极大值，此题未验证x ＝－1两侧导数f ′(x )的符号而致错．[正解] ∵f (x )在x ＝－1处有极值0， 且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′（－1）＝0，f （－1）＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0， 解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0. ∴f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去；当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)． 当x ∈(－3，－1)时，f (x )为减函数； 当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )为增函数，所以f (x )在x ＝－1处取得极小值，因此a ＝2，b ＝9.探究点三函数极值的综合应用例3设函数f (x )＝x 3－6x ＋5，x ∈R.(1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)若关于x 的方程f (x )＝a 有三个不同的实根，求实数a 的取值范围.跟踪训练3若函数f(x)＝2x3－6x＋k在R上只有一个零点，求常数k的取值范围.。
专题06 导数 6.3导数与函数的极值、最值 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习(原卷版)
专题六《导数》讲义6.3导数与函数的极值、最值知识梳理.极值与最值1．函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．2．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．题型一. 极值、最值的概念1．函数y＝x sin x+cos x的一个极小值点为（）A．x=−π2B．x=π2C．x＝πD．x=3π22．（2017·全国2）若x＝﹣2是函数f（x）＝（x2+ax﹣1）e x﹣1的极值点，则f（x）的极小值为（）A．﹣1B．﹣2e﹣3C．5e﹣3D．1 3．（2013·全国2）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）A．∃x0∈R，f（x0）＝0B．函数y＝f（x）的图象是中心对称图形C ．若x 0是f （x ）的极小值点，则f （x ）在区间（﹣∞，x 0）上单调递减D ．若x 0是f （x ）的极值点，则f ′（x 0 ）＝04．已知函数f （x ）＝x 3+ax 2﹣4x +5在x ＝﹣2处取极值（a ∈R ）． （1）求f （x ）的解析式；（2）求函数f （x ）在[﹣3，3]上的最大值．题型二.已知极值、最值求参 考点1.利用二次函数根的分布1．若函数f （x ）＝x 3﹣3bx +b 在区间（0，1）内有极小值，则b 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，1）B ．（0，1）C ．（1，+∞）D ．（﹣1，0）2．已知函数f （x ）=13x 3−12ax 2+x 在区间（12，3）上既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（2，+∞） B ．[2，+∞）C ．（2，52）D ．（2，103）考点2.参变分离3．若函数f （x ）=x 33−a 2x 2+x +1在区间（12，3）上有极值点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（2，52）B ．[2，52）C ．（2，103） D ．[2，103）4．已知函数f(x)=e xx 2+2klnx −kx ，若x ＝2是函数f （x ）的唯一极值点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(−∞，e 24] B ．(−∞，e 2]C ．（0，2]D ．[2，+∞）考点3.分类讨论5．已知函数f （x ）＝ax −1x −（a +1）lnx +1在（0，1]上的最大值为3，则实数a ＝ ． 6．已知函数f(x)=(12x 2−ax)lnx −12x 2+32ax ．（1）讨论函数f （x ）的极值点；（2）若f （x ）极大值大于1，求a 的取值范围．7．已知函数f （x ）＝lnx −a x（a ∈R ） （1）求函数f （x ）的单调增区间；（2）若函数f （x ）在[1，e ]上的最小值为32，求a 的值．考点4.初探隐零点——设而不求，虚设零点8．（2013·湖北）已知a为常数，函数f（x）＝x（lnx﹣ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）（）A．f(x1)＞0，f(x2)＞−12B．f(x1)＜0，f(x2)＜−12C．f(x1)＞0，f(x2)＜−12D．f(x1)＜0，f(x2)＞−129．已知f（x）＝（x﹣1）2+alnx在(14，+∞)上恰有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，则f(x1)x2的取值范围为（）A．(−3，12−ln2)B．(12−ln2，1)C．(−∞，12−ln2)D．(12−ln2，34−ln2)10．（2017·全国2）已知函数f（x）＝ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0．（1）求a；（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．课后作业.极值、最值1．若函数f （x ）＝（x 2+ax +3）e x 在（0，+∞）内有且仅有一个极值点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣2）B ．（﹣∞，﹣2]C ．（﹣∞，﹣3）D ．（﹣∞，﹣3]2．已知函数f(x)=xe x −13ax 3−12ax 2有三个极值点，则a 的取值范围是（ ） A ．（0，e ）B ．(0，1e)C ．（e ，+∞）D ．(1e，+∞)3．已知f （x ）＝e x ，g （x ）＝lnx ，若f （t ）＝g （s ），则当s ﹣t 取得最小值时，f （t ）所在区间是（ ） A ．（ln 2，1）B ．（12，ln 2）C ．（13，1e）D ．（1e，12）4．已知函数f （x ）＝lnx +x 2﹣ax +a （a ＞0）有两个极值点x 1、x 2（x 1＜x 2），则f （x 1）+f （x 2）的最大值为（ ） A ．﹣1﹣ln 2B ．1﹣ln 2C ．2﹣ln 2D ．3﹣ln 25．已知函数f(x)=lnx +12ax 2+x ，a ∈R ． （1）求函数f （x ）的单调区间；（2）是否存在实数a ，使得函数f （x ）的极值大于0？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由．。
导数与极值
2.三次函数单调性与极值(设x1<x2) (1)当Δ≤0时,①若a>0,则f(x)在R上是增函数;
②若a<0,则f(x)在R上是减函数.
(2)当Δ>0时,①若a>0,则f(x)的增区间为(-∞,x1)和 (x2,+∞),减区间为(x1,x2),f(x1)为极大值,f(x2)为极
小值;②若a<0,则f(x)的减区间为(-∞,x1)和(x2,+∞),
【解析】函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有 三个不同的交点,即函数φ(x)=g(x)-f(x)的图象与x轴
的正半轴有且只有三个不同的交点.
因为φ(x)=x2-8x+6ln x+m,
6 2x 2 8x 6 2 x 1 x 3 (x＞0)， 所以φ′(x)= 2x 8 x x x
呢?
【解析】由例(2)解析可知:当m=-3或m=1时,直线y=m与 y=f(x)的图象有两个不同的交点;
当m<-3或m>1时,直线y=m与y=f(x)的图象只有一个交点.
2.(变换条件)若本例(2)中条件改为“已知函数f(x)= -x3+ax2-4在x= 4 处取得极值”,其他条件不变,小值f(1)=-3.
作出f(x)的大致图象如图所示:
因为直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点, 结合f(x)的图象可知,m的取值范围是(-3,1).
【延伸探究】 1.(变换条件,改变问法)若本例(2)“三个不同的交点”
改为“两个不同的交点”结果如何?改为“一个交点”
x x
x 3 x 1
x2
. 令f′(x)=0,得x=1.
当x变化时,f′(x)与f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (0,1) ↘ 1 0 3 (1,+∞) + ↗
导数与函数的极值
导数与函数的极值函数的极值是指函数在某个区间上取得的最大值或最小值。
导数是函数变化率的度量，通过导数我们可以研究函数的极值情况。
在本文中，我们将讨论导数与函数的极值之间的关系以及如何运用导数来确定函数的极值。
1. 导数的定义导数表示函数在某一点上的变化速率。
对于可导函数f(x)，其导数定义为：f'(x) = lim(Δx→0) [f(x+Δx) - f(x)] / Δx其中，Δx表示x的增量，Δx→0表示Δx趋近于0。
导数的值代表了函数在该点的瞬时变化率。
2. 极值的定义函数的极值包括最大值和最小值。
在某个区间上，如果函数在某一点的导数为0，那么该点可能是函数的极值点。
具体而言，若函数在该点的导数由正变负，这个点就是极大值点；若函数在该点的导数由负变正，这个点就是极小值点。
3. 导数与函数极值的关系函数的极值点必然是函数的驻点，即导数为0的点。
然而，只有导数为0的点不一定是极值点。
根据导数的定义，我们可以利用导数判断函数的极值点。
具体来说：- 如果函数在某一点的导数为0，并且导数的符号在此点前后改变，那么该点就是函数的极值点。
- 如果函数在某一点的导数为0，并且导数的符号在此点前后不改变，那么该点可能是函数的驻点但不是极值点。
4. 导数的应用利用导数判断函数的极值点可以帮助我们解决许多实际问题。
例如，在经济学中，我们可以通过求解某种产品的利润函数来确定最大化利润的产量。
通过求解利润函数的导数，我们可以找到使利润最大化的产量。
同样地，在物理学中，我们可以使用导数来分析物体的运动情况。
通过求解位置函数的导数，我们可以找到物体的最大速度和最大加速度的时刻。
此外，在数学建模和优化问题中，导数也是一种重要的工具。
通过确定函数的极值点，我们可以优化函数的性能，以满足特定需求。
5. 导数与极值的例子例如，我们考虑函数f(x) = x^2在区间[0, 2]上的极值问题。
首先，我们求解函数的导数f'(x) = 2x。
导数与函数的极值和最值考点及题型
第三节导数与函数的极值、最值❖基础知识1．函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.①函数f(x)在x0处有极值的必要不充分条件是f′(x0)＝0，极值点是f′(x)＝0的根，但f′(x)＝0的根不都是极值点(例如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点).②极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质.极值点是函数在区间内部的点，不会是端点.2．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．❖常用结论(1)若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值．(2)若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．(3)若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．考点一利用导数解决函数的极值问题考法(一)利用导数求函数的极值或极值点[典例](2018·天津高考改编)设函数f(x)＝(x－t1)·(x－t2)(x－t3)，其中t1，t2，t3∈R，且t1，t2，t3是公差为d的等差数列．(1)若t2＝0，d＝1，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)若d ＝3，求f (x )的极小值点及极大值．[解] (1)由已知，可得f (x )＝x (x －1)(x ＋1)＝x 3－x ，故f ′(x )＝3x 2－1.因此f (0)＝0，f ′(0)＝－1.因此曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y －f (0)＝f ′(0)(x －0)，故所求切线方程为x ＋y ＝0. (2)由已知可得f (x )＝(x －t 2＋3)(x －t 2)(x －t 2－3) ＝(x －t 2)3－9(x －t 2)＝x 3－3t 2x 2＋(3t 22－9)x －t 32＋9t 2.故f ′(x )＝3x 2－6t 2x ＋3t 22－9.令f ′(x )＝0，解得x ＝t 2－3或x ＝t 2＋ 3. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：[解题技法] 求函数的极值或极值点的步骤(1)求导数f ′(x )，不要忘记函数f (x )的定义域； (2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)检查在方程的根的左右两侧f ′(x )的符号，确定极值点或函数的极值． 考法(二) 已知函数极值点或极值求参数的值或范围[典例] (2018·北京高考节选)设函数f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x ，若f (x )在x ＝1处取得极小值，求a 的取值范围．[解] 由f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x ，得f ′(x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x ＝(ax －1)(x －1)e x . 若a >1，则当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，1时，f ′(x )<0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在x ＝1处取得极小值．若a ≤1，则当x ∈(0,1)时，ax －1≤x －1<0， 所以f ′(x )>0.所以1不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是(1，＋∞)．[解题技法]已知函数极值点或极值求参数的2个要领[题组训练]1．设函数f (x )＝2x＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点解析：选D ∵f (x )＝2x＋ln x (x >0)，∴f ′(x )＝－2x 2＋1x ，令f ′(x )＝0，则x ＝2.当0<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0. 所以x ＝2为f (x )的极小值点．2．(2019·广州高中综合测试)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处的极值为10，则数对(a ，b )为( )A ．(－3,3)B ．(－11,4)C ．(4，－11)D ．(－3,3)或(4，－11)解析：选Cf ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b ＋a 2＝10，消去b 可得a 2－a －12＝0，解得a ＝－3或a ＝4，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11.当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x－1)2≥0，这时f (x )无极值，不合题意，舍去，故选C.3．设函数f (x )＝ax 3－2x 2＋x ＋c (a >0)．(1)当a ＝1，且函数f (x )的图象过点(0,1)时，求函数f (x )的极小值； (2)若f (x )在(－∞，＋∞)上无极值点，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1.(1)函数f (x )的图象过点(0,1)时，有f (0)＝c ＝1.当a ＝1时，f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋1，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1， 由f ′(x )>0，解得x <13或x >1；由f ′(x )<0，解得13<x <1.所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，13和(1，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫13，1上单调递减， 所以函数f (x )的极小值是f (1)＝13－2×12＋1＋1＝1. (2)若f (x )在(－∞，＋∞)上无极值点， 则f (x )在(－∞，＋∞)上是单调函数，即f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1≥0或f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1≤0恒成立． 因为a >0，所以f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1≥0在(－∞，＋∞)上恒成立， 则有Δ＝(－4)2－4×3a ×1≤0，即16－12a ≤0，解得a ≥43.故a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫43，＋∞. 考点二 利用导数解决函数的最值问题[典例] (2017·北京高考)已知函数f (x )＝e x cos x －x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值． [解] (1)因为f (x )＝e x cos x －x ，所以f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，f ′(0)＝0. 又因为f (0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1. (2)设h (x )＝e x (cos x －sin x )－1，则h ′(x )＝e x (cos x －sin x －sin x －cos x )＝－2e x sin x . 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，h ′(x )＜0， 所以h (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减． 所以对任意x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2，有h (x )＜h (0)＝0， 即f ′(x )＜0.所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减． 因此f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为f (0)＝1， 最小值为f ⎝⎛⎭⎫π2＝－π2.[解题技法]导数法求给定区间上函数的最值问题的一般步骤(1)求函数f (x )的导数f ′(x )；(2)求f (x )在给定区间上的单调性和极值； (3)求f (x )在给定区间上的端点值；(4)将f (x )的各极值与f (x )的端点值进行比较，确定f (x )的最大值与最小值； (5)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范． [题组训练]1.(2018·珠海摸底)如图，将一张16 cm ×10 cm 的长方形纸片剪下四个全等的小正方形，使得剩余部分经过折叠能糊成一个无盖的长方体纸盒，则这个纸盒的最大容积是________ cm 3.解析：设剪下的四个小正方形的边长为x cm ，则经过折叠以后，糊成的长方体纸盒是一个底面是长为(16－2x ) cm ，宽为(10－2x ) cm 的长方形，其面积为(16－2x )(10－2x )cm 2，长方体纸盒的高为x cm ，则体积V ＝(16－2x )(10－2x )×x ＝4x 3－52x 2＋160x (0<x <5)cm 3，所以V ′＝12(x －2)·⎝⎛⎭⎫x －203，由V ′>0，得0<x <2，则函数V ＝4x 3－52x 2＋160x (0<x <5)在(0,2)上单调递增；由V ′<0，得2<x <5，则函数V ＝4x 3－52x 2＋160x (0<x <5)在(2,5)上单调递减，所以当x ＝2时，V max ＝144(cm 3)． 答案：1442．已知函数f (x )＝ln x －a x.(1)若a >0，试判断f (x )在定义域内的单调性； (2)若f (x )在[1，e]上的最小值为32，求实数a 的值．解：(1)由题意得f (x )的定义域是(0，＋∞)，且f ′(x )＝x ＋ax 2， 因为a >0，所以f ′(x )>0， 故f (x )在(0，＋∞)上单调递增． (2)由(1)可得f ′(x )＝x ＋ax 2，因为x ∈[1，e]，①若a ≥－1，则x ＋a ≥0，即f ′(x )≥0在[1，e]上恒成立， 此时f (x )在[1，e]上单调递增， 所以f (x )min ＝f (1)＝－a ＝32，所以a ＝－32(舍去)．②若a ≤－e ，则x ＋a ≤0，即f ′(x )≤0在[1，e]上恒成立， 此时f (x )在[1，e]上单调递减， 所以f (x )min ＝f (e)＝1－a e ＝32，所以a ＝－e2(舍去)．③若－e<a <－1，令f ′(x )＝0，得x ＝－a ， 当1<x <－a 时，f ′(x )<0， 所以f (x )在(1，－a )上单调递减； 当－a <x <e 时，f ′(x )>0， 所以f (x )在(－a ，e)上单调递增，所以f (x )min ＝f (－a )＝ln(－a )＋1＝32，所以a ＝－ e.综上，a ＝－ e.[课时跟踪检测]A 级1．(2019·辽宁鞍山一中模拟)已知函数f (x )＝x 3－3x －1，在区间[－3,2]上的最大值为M ，最小值为N ，则M －N ＝( )A ．20B ．18C ．3D ．0解析：选A ∵f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，∴f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减，又∵f (－3)＝－19，f (－1)＝1，f (1)＝－3，f (2)＝1，∴M ＝1，N ＝－19，M －N ＝1－(－19)＝20.2．(2018·梅州期末)函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是( )A ．(－1,3)为函数y ＝f (x )的单调递增区间B ．(3,5)为函数y ＝f (x )的单调递减区间C ．函数y ＝f (x )在x ＝0处取得极大值D ．函数y ＝f (x )在x ＝5处取得极小值解析：选C 由函数y ＝f (x )的导函数的图象可知，当x <－1或3<x <5时，f ′(x )<0，y ＝f (x )单调递减；当x >5或－1<x <3时，f ′(x )>0，y ＝f (x )单调递增．所以函数y ＝f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，(3,5)，单调递增区间为(－1,3)，(5，＋∞)．函数y ＝f (x )在x ＝－1,5处取得极小值，在x ＝3处取得极大值，故选项C 错误．3．(2019·湖北襄阳四校联考)函数f (x )＝12x 2＋x ln x －3x 的极值点一定在区间( )A ．(0,1)内B ．(1,2)内C ．(2,3)内D ．(3,4)内解析：选B 函数的极值点即导函数的零点，f ′(x )＝x ＋ln x ＋1－3＝x ＋ln x －2，则f ′(1)＝－1<0，f ′(2)＝ln 2>0，由零点存在性定理得f ′(x )的零点在(1,2)内，故选B.4．已知函数f (x )＝x 3＋3x 2－9x ＋1，若f (x )在区间[k,2]上的最大值为28，则实数k 的取值范围为( ) A ．[－3，＋∞) B ．(－3，＋∞) C ．(－∞，－3)D ．(－∞，－3]解析：选D 由题意知f ′(x )＝3x 2＋6x －9，令f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝－3，所以f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：5．(2019·皖南八校联考)已知函数f (x )＝－13x 3＋bx 2＋cx ＋bc 在x ＝1处有极值－43，则b ＝( )A ．－1B ．1C ．1或－1D ．－1或3解析：选A f ′(x )＝－x 2＋2bx ＋c ，因为f (x )在x ＝1处有极值－43，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝－1＋2b ＋c ＝0，f (1)＝－13＋b ＋c ＋bc ＝－43，Δ＝4b 2＋4c >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝3，故选A.6．设直线x ＝t 与函数h (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |最小时t 的值为( )A ．1 B.12C.52D.22解析：选D 由已知条件可得|MN |＝t 2－ln t ，设f (t )＝t 2－ln t (t >0)，则f ′(t )＝2t －1t ，令f ′(t )＝0，得t ＝22， 当0<t <22时，f ′(t )<0；当t ＞22时，f ′(t )＞0. ∴当t ＝22时，f (t )取得最小值，即|MN |取得最小值时t ＝22. 7．(2019·江西阶段性检测)已知函数y ＝ax －1x2在x ＝－1处取得极值，则a ＝________.解析：因为y ′＝a ＋2x 3，所以当x ＝－1时，a －2＝0，所以a ＝2，经验证，可得函数y ＝2x －1x 2在x ＝－1处取得极值，因此a ＝2. 答案：28．f (x )＝2x ＋1x 2＋2的极小值为________．解析：f ′(x )＝2(x 2＋2)－2x (2x ＋1)(x 2＋2)2＝－2(x ＋2)(x －1)(x 2＋2)2.令f ′(x )<0，得x <－2或x >1； 令f ′(x )>0，得－2<x <1.∴f (x )在(－∞，－2)，(1，＋∞)上是减函数，在(－2,1)上是增函数， ∴f (x )极小值＝f (－2)＝－12.答案：－129．若商品的年利润y (万元)与年产量x (百万件)的函数关系式为y ＝－x 3＋27x ＋123(x >0)，则获得最大利润时的年产量为________百万件． 解析：y ′＝－3x 2＋27＝－3(x ＋3)(x －3)，当0<x <3时，y ′>0；当x >3时，y ′<0. 故当x ＝3时，该商品的年利润最大． 答案：310．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则f (x )的极大值与极小值之差为________． 解析：因为f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(2)＝3×22＋6a ×2＋3b ＝0，f ′(1)＝3×12＋6a ＋3b ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0.所以y ′＝3x 2－6x ，令3x 2－6x ＝0，得x ＝0或x ＝2. 当x <0或x >2时，y ′>0；当0<x <2时，y ′<0.故当x ＝0时，f (x )取得极大值，当x ＝2时，f (x )取得极小值， 所以f (x )极大值－f (x )极小值＝f (0)－f (2)＝4. 答案：411．设函数f (x )＝a ln xx＋b (a ，b ∈R )，已知曲线y ＝f (x )在点(1,0)处的切线方程为y ＝x －1.(1)求实数a ，b 的值； (2)求f (x )的最大值．解：(1)因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a (1－ln x )x 2.所以f ′(1)＝a ，又因为切线斜率为1，所以a ＝1. 由曲线y ＝f (x )过点(1,0)，得f (1)＝b ＝0. 故a ＝1，b ＝0.(2)由(1)知f (x )＝ln xx ，f ′(x )＝1－ln x x 2.令f ′(x )＝0，得x ＝e.当0<x <e 时，有f ′(x )>0，得f (x )在(0，e)上是增函数； 当x >e 时，有f ′(x )<0，得f (x )在(e ，＋∞)上是减函数． 故f (x )在x ＝e 处取得最大值f (e)＝1e .12．已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )．(1)当a ＝12时，求f (x )的极值；(2)讨论函数f (x )在定义域内极值点的个数．解：(1)当a ＝12时，f (x )＝ln x －12x ，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －12＝2－x2x.令f ′(x )＝0，得x ＝2，于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故f (x )(2)由(1)知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x(x >0)．当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，即函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，此时函数f (x )在定义域上无极值点； 当a >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝1a .当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )>0， 当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0， 故函数f (x )在x ＝1a处有极大值．综上所述，当a ≤0时，函数f (x )无极值点； 当a >0时，函数f (x )有一个极大值点．B 级1．已知函数f (x )＝x 3－3ax ＋b 的单调递减区间为(－1,1)，其极小值为2，则f (x )的极大值是________． 解析：因为f (x )的单调递减区间为(－1,1)，所以a >0.由f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x －a )(x ＋a )，可得a ＝1， 由f (x )＝x 3－3x ＋b 在x ＝1处取得极小值2， 可得1－3＋b ＝2，故b ＝4.所以f (x )＝x 3－3x ＋4的极大值为f (－1)＝(－1)3－3×(－1)＋4＝6. 答案：62．(2019·“超级全能生”高考全国卷26省联考)已知函数f (x )＝t 3x 3－32x 2＋2x ＋t 在区间(0，＋∞)上既有极大值又有极小值，则t 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝tx 2－3x ＋2，由题意可得f ′(x )＝0在(0，＋∞)上有两个不等实根，即tx 2－3x ＋2＝0在(0，＋∞)有两个不等实根，所以⎩⎪⎨⎪⎧t ≠0，3t >0，2t >0，Δ＝9－8t >0，解得0<t <98.答案：⎝⎛⎭⎫0，98 3．已知函数f (x )＝a ln x ＋1x(a >0)．(1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)是否存在实数a ，使得函数f (x )在[1，e]上的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．贾老师数学解：由题意，知函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a x －1x 2＝ax －1x 2(a >0)． (1)由f ′(x )>0，解得x >1a， 所以函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞； 由f ′(x )<0，解得0<x <1a， 所以函数f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，1a . 所以当x ＝1a 时，函数f (x )有极小值f ⎝⎛⎭⎫1a ＝a ln 1a＋a ＝a －a ln a ，无极大值． (2)不存在实数a 满足条件．由(1)可知，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，函数f (x )单调递减； 当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，函数f (x )单调递增．①若0<1a≤1，即a ≥1时，函数f (x )在[1，e]上为增函数， 故函数f (x )的最小值为f (1)＝a ln 1＋1＝1，显然1≠0，故不满足条件a ≥1.②若1<1a <e ，即1e<a <1时，函数f (x )在⎣⎡⎭⎫1，1a 上为减函数，在⎝⎛⎦⎤1a ，e 上为增函数， 故函数f (x )的最小值为f (x )的极小值f ⎝⎛⎭⎫1a ＝a ln 1a＋a ＝a －a ln a ＝a (1－ln a )＝0，即ln a ＝1，解得a ＝e ，故不满足条件1e<a <1. ③若1a ≥e ，即0<a ≤1e 时，函数f (x )在[1，e]上为减函数，故函数f (x )的最小值为f (e)＝a ln e ＋1e＝a ＋1e＝0， 即a ＝－1e ，故不满足条件0<a ≤1e. 综上所述，不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在[1，e]上的最小值为0.。
导数与函数的极值、最值-重难点题型精讲 高考数学(新高考地区专用)(解析版)
专题3.5 导数与函数的极值、最值1．函数的极值与导数条件f ′(x 0)＝0x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0图象极值 f (x 0)为极大值 f (x 0)为极小值 极值点x 0为极大值点x 0为极小值点2．函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．【题型1 根据函数图象判断极值】【方法点拨】由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性．两者结合可得极值点.【例1】（2022春•杨浦区校级期末）已知函数y＝f（x）（a＜x＜b）的导函数是y＝f'（x）（a＜x＜b），导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）在（a，b）内有（）A．3个驻点B．4个极值点C．1个极小值点D．1个极大值点【解题思路】由题意结合导函数图像即可确定函数的性质．【解答过程】解：由导函数的图象可知，原函数存在4个驻点，函数有3个极值点，其中2个极大值点，1个极小值点．故选：C．【变式1-1】（2022春•纳雍县期末）已知函数f（x）的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（）A．﹣1是f（x）的极小值点B．曲线y＝f（x）在x＝2处的切线斜率小于零C．f（x）在区间（﹣∞，3）上单调递减D．﹣3是f（x）的极小值点【解题思路】根据题意，由函数导数与单调性的关系依次分析选项，即可得答案．【解答过程】解：根据题意，依次分析选项：对于A，在x＝﹣1左右都有f′（x）＜0，﹣1不是f（x）的极值，A错误；对于B，f′（x）的图象在（﹣3，3）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数，则曲线y＝f（x）在x＝2处的切线斜率即f′（2）小于零，B正确；对于C，f′（x）的图象在（﹣∞，﹣3）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，C错误；对于D，f′（x）的图象在（﹣∞，﹣3）上，f′（x）＞0，在（﹣3，3）上，f′（x）＜0，则﹣3是f （x）的极大值点，D错误；故选：B．【变式1-2】（2022春•朝阳区校级月考）如图，可导函数y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程为y＝g（x），设h（x）＝g（x）﹣f（x），h'（x）为h（x）的导函数，则下列结论中正确的是（）A．h'（x0）＝0，x0是h（x）的极大值点B．h'（x0）＝0，x0是h（x）的极小值点C．h'（x0）≠0，x0不是h（x）的极大值点D．h'（x0）≠0，x0是h（x）的极值点【解题思路】由图判断函数h（x）的单调性，结合y＝g（x）为y＝f（x）在点P处的切线方程，则有h'（x0）＝0，由此可判断极值情况．【解答过程】解：由题得，当x∈（﹣∞，x0）时，h（x）单调递减，当x∈（x0，+∞）时，h（x）单调递增，又h'（x0）＝g'（x0）﹣f'（x0）＝0，则有x0是h（x）的极小值点，故选：B．【变式1-3】（2022春•南阳期末）函数f（x）的导函数是f'（x），下图所示的是函数y＝（x+1）•f'（x）（x∈R）的图像，下列说法正确的是（）A．x＝﹣1是f（x）的零点B．x＝2是f（x）的极大值点C．f（x）在区间（﹣2，﹣1）上单调递增D．f（x）在区间[﹣2，2]上不存在极小值【解题思路】根据函数y＝（x+1）•f'（x）（x∈R）的图像判断f′（x）的符号，进而判断f（x）的单调性和极值即可．【解答过程】解：由函数y＝（x+1）•f'（x）（x∈R）的图像知，当﹣2＜x＜﹣1时，x+1＜0，y＞0，∴f'（x）＜0，f（x）在（﹣2，﹣1）上减函数，当﹣1＜x＜2时，x+1＞0，y＞0，∴f'（x）＞0，f（x）在（﹣1，2）上增函数，当x＞2时，x+1＞0，y＜0，f'（x）＜0，f（x）在（2，+∞）上减函数，∴x＝﹣1、x＝2分别是f（x）的极小值点、极大值点．∴选项A、C、D错误，选项B正确，故选：B．【题型2 求已知函数的极值（点）】【方法点拨】求函数f(x)极值的一般解题步骤：①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号．【例2】（2022•扬中市校级开学）已知函数f(x)=12x−sinx在[0，π2]上的极小值为（）A ．π12−√32B ．π12−12C ．π6−12D ．π6−√32【解题思路】根据极小值的定义，结合导数的性质进行求解即可． 【解答过程】解：由f(x)=12x −sinx ⇒f′(x)=12−cosx ， 当x ∈(0，π3)时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减，当x ∈(π3，π2)时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增，所以π3是函数的极小值点，极小值为：f(π3)=π6−√32， 故选：D ．【变式2-1】（2022春•资阳期末）函数f （x ）＝x 3﹣3x 的极大值为（ ） A ．﹣4B ．﹣2C ．1D ．2【解题思路】求导，利用导数确定f （x ）的单调区间，从而即可求极大值． 【解答过程】解：因为f （x ）＝x 3﹣3x ，x ∈R ， 所以f ′（x ）＝3x 2﹣3＝3（x +1）（x ﹣1）， 令f ′（x ）＝0，得x ＝﹣1或x ＝1，所以当x ＜﹣1时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增；当﹣1＜x ＜1时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减；当x ＞1时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增；所以f （x ）的单调递增区间为：（﹣∞，﹣1），（1，∞）；单调递减区间为（﹣1，1）． 所以f （x ）极大值＝f （﹣1）＝2． 故选：D ．【变式2-2】（2022春•平谷区期末）函数f （x ）＝x +2cos x 在[0，π]上的极小值点为（ ） A ．π3B ．π6C ．5π6D ．2π3【解题思路】分析函数导数的符号变化，由此可得函数的单调性，由单调性得出结论即可． 【解答过程】解：对于函数f （x ）＝x +2cos x ，f ′（x ）＝1﹣2sin x ， 因为x ∈[0，π]，当0＜x ＜π6时，f ′（x ）＞0， 当π6＜x ＜5π6时，f ′（x ）＜0，当5π6＜x ＜π时，f ′（x ）＞0，所以f （x ）在区间[0，π6]上是增函数，在区间[π6，5π6]上是减函数，在[5π6，π]是增函数． 因此，函数f （x ）＝x +2cos x 在[0，π]上的极小值点为5π6．故选：C ．【变式2-3】（2022春•新乡期末）已知函数f （x ）＝（x ﹣1）2（2﹣x ）3，则f （x ）的极大值点为（ ） A ．1B ．75C ．﹣1D ．2【解题思路】解：因为f '（x ）＝2（x ﹣1）（2﹣x ）3﹣3（x ﹣1）2（2﹣x ）2＝（x ﹣1）（2﹣x ）2（7﹣5x ），所以f （x ）在（﹣∞，1），(75，+∞)上单调递减，在(1，75)上单调递增， 所以f （x ）的极大值点为75，故选：B ．【解答过程】解：f '（x ）＝2（x ﹣1）（2﹣x ）3﹣3（x ﹣1）2（2﹣x ）2＝（x ﹣1）（2﹣x ）2（7﹣5x ）， 令f ′（x ）＝0得x ＝1或x =75，所以f （x ）在（﹣∞，1），(75，+∞)上单调递减，在(1，75)上单调递增， 所以f （x ）的极大值点为75，故选：B ．【题型3 由函数的极值（点）求参数】 【方法点拨】根据函数极值情况求参数的两个要领：①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解． ②验证：求出参数后，验证所求结果是否满足题意．【例3】（2022春•龙海市校级期末）函数f （x ）＝4x 3﹣ax 2﹣2bx +2在x ＝1处有极大值﹣3，则a ﹣b 的值等于（ ） A ．0B ．6C ．3D ．2【解题思路】对函数求导，利用f （1）＝﹣3以及f ′（1）＝0解出a ，b ，进而得出答案． 【解答过程】解：由题意得f ′（x ）＝12x 2﹣2ax ﹣2b ，因为f （x ）在x ＝1处有极大值﹣3， 所以f ′（1）＝12﹣2a ﹣2b ＝0，f （1）＝4﹣a ﹣2b +2＝﹣3，解得a ＝3，b ＝3， 所以a ﹣b ＝0． 故选：A ．【变式3-1】（2022春•哈尔滨期末）若函数f(x)=6alnx +12x 2−(a +6)x 有2个极值点，则实数a 的取值范围是（）A．（﹣∞，6）∪（6，+∞）B．（0，6）∪（6，+∞）C．{6}D．（0，+∞）【解题思路】根据条件函数f（x）有两个极值点，转化为方程f′（x）＝0有两个不等正实数根，得到求解．【解答过程】解：函数f（x）的定义域（0，+∞），f′(x)=6ax+x−(a+6)=(x−6)(x−a)x，令f′（x）＝0得，x＝6或x＝a，∵函数f（x）有2个极值点，∴f'（x）＝0有2个不同的正实数根，∴a＞0且a≠6，故选：B．【变式3-2】（2022春•淄博期末）已知x＝2是函数f（x）＝ax3﹣3x2+a的极小值点，则f（x）的极大值为（）A．﹣3B．0C．1D．2【解题思路】先对函数求导，然后结合极值存在条件可求a，进而可求函数的极大值．【解答过程】解：因为f′（x）＝3ax2﹣6x，由题意可得，f′（2）＝12a﹣12＝0，故a＝1，f′（x）＝3x2﹣6x，当x＞2或x＜0时，f′（x）＞0，函数单调递增，当0＜x＜2时，f′（x）＜0，函数单调递减，故当x＝0时，函数取得极大值f（0）＝1．故选：C．【变式3-3】（2022春•赣州期末）已知函数f（x）＝x3+a2x2+（2b2﹣7）x+1（a＞0，b＞0）在x＝1处取得极值，则a+b的最大值为（）A．1B．√2C．2D．2√2【解题思路】根据题意，对函数求导，令f′（1）＝0可求得a2+b2＝2，利用基本不等式可求a+b的最大值．【解答过程】解：函数f（x）＝x3+a2x2+（2b2﹣7）x+1（a＞0，b＞0）的导数为f′（x）＝3x2+2a2x+2b2﹣7，因为函数在x＝1处取得极值，所以f′（1）＝3+2a2+2b2﹣7＝0，即a2+b2＝2，因为a 2+b 2＝（a +b ）2﹣2ab ＝2，即（a +b ）2﹣2＝2ab ， 因为ab ≤(a+b 2)2，所以(a +b)2−2≤2(a+b 2)2， 整理得（a +b ）2≤4，所以a +b ≤2，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立，此时f ′（x ）＝3x 2+2x ﹣5＝（3x +5）（x ﹣1），满足函数在x ＝1处取得极值， 所以a +b 的最大值为2， 故选：C ．【题型4 利用导数求函数的最值】 【方法点拨】(1)若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上单调递增或单调递减，f (a )与f (b )一个为最大值，一个为最小值． (2)若函数f (x )在闭区间[a ，b ]内有极值，要先求出[a ，b ]上的极值，与f (a )，f (b )比较，最大的是最大值， 最小的是最小值，可列表完成．(3)函数f (x )在区间(a ，b )上有唯一一个极大(或极小)值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导 数的实际应用中经常用到．【例4】（2022•河南开学）函数f(x)=x 2−2x +8x 在（0，+∞）上的最小值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【解题思路】由题意求导，从而确定函数的单调性，从而求函数的最值．【解答过程】解：因为f ′(x)=2x −2−8x 2=(x 3−2x 2)+(x 3−8)x 2=(x−2)(2x 2+2x+4)x 2，所以f （x ）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增， 故f （x ）min ＝f （2）＝4． 故选：C ．【变式4-1】（2022春•中山市校级月考）函数y ＝x ﹣2sin x 在区间[0，2]上的最小值是（ ） A ．π6−√3B ．−π3−√3C ．−π6−√3D ．π3−√3【解题思路】利用导数研究函数区间单调性，进而求其最小值即可． 【解答过程】解：由y ′＝1﹣2cos x ， 当0≤x ＜π3时，y ′＜0，即y 递减； 当π3＜x ≤2时，y ′＞0，即y 递增；所以y min =π3−2sin π3=π3−√3．【变式4-2】（2022春•乐山期末）已知函数f （x ）＝x 2﹣lnx ，则函数f （x ）在[1，2]上的最小值为（ ） A ．1B ．√22C ．18+12ln2 D ．12+12ln2【解题思路】求导确定函数在[1，2]上的单调性，求出最小值即可．【解答过程】解：因为f （x ）＝x 2﹣lnx （x ＞0），所以f ′（x ）＝2x −1x =2x 2−1x ，所以当x ∈[1，2]时，f ′（x ）=2x 2−1x ＞0，则f （x ）在[1，2]上单调递增，则f （x ）在[1，2]上的最小值为f （1）＝1． 故选：A ．【变式4-3】（2022•绿园区校级开学）函数f （x ）＝lnx +1x −12与g （x ）＝xe x ﹣lnx ﹣x 的最小值分别为a ，b ，则（ ） A ．a ＝b B ．a ＞bC ．a ＜bD ．a ，b 的大小不能确定【解题思路】根据函数的单调性分别求出函数f （x ），g （x ）的最小值，比较a ，b 即可． 【解答过程】解：f （x ）的定义域是（0，+∞）， f ′(x)=1−1x =x−1x， 令f ′（x ）＜0，解得：0＜x ＜1，令f ′（x ）＞0，解得：x ＞1， f （x ）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增， f （x ）的最小值是f （1）＝1，故a ＝1， g （x ）＝xe x ﹣lnx ﹣x ，定义域（0，+∞）， g ′(x)=(x +1)e x −1x −1=x+1x (xe x −1)，令h （x ）＝xe x ﹣1，则h ′（x ）＝（x +1）e x ＞0，x ∈（0，+∞），则可得h （x ）在（0，+∞）上单调递增，且h （0）＝﹣1＜0，h （1）＝e ﹣1＞0， 故存在x 0∈（0，1）使得h （x ）＝0即x 0e x 0=1，即x 0+lnx 0＝0， 当x ∈（0，x 0）时，h （x ）＜0，g ′（x ）＜0，函数g （x ）单调递减， 当x ∈（x 0，+∞）时，g ′（x ）＞0，函数g （x ）单调递增，故当x ＝x 0时，函数取得最小值g(x 0)=x 0e x 0−lnx 0−x 0=1−lnx 0−x 0=1，即b ＝1， 所以a ＝b ，【题型5 由函数的最值求参数】【例5】（2022春•烟台期末）若函数f(x)=x 3−3a 2x 2+4在区间[1，2]上的最小值为0，则实数a 的值为（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．2D ．103【解题思路】对函数求导后，分a ≤0和a ＞0两种情况求出函数的单调区间，从而可求出函数的最小值，使最小值等于零，从而可出实数a 的值． 【解答过程】解：由f(x)=x 3−3a 2x 2+4，得f '（x ）＝3x 2﹣3ax ＝3x （x ﹣a ）， 当a ≤0时，f '（x ）＞0在[1，2]上恒成立， 所以f （x ）在[1，2]上递增，所以f(x)min =f(1)=1−3a2+4=0，解得a =103（舍去）， 当a ＞0时，由f '（x ）＝0，得x ＝0或x ＝a ， 当0＜a ≤1时，f '（x ）＞0在[1，2]上恒成立， 所以f （x ）在[1，2]上递增， 所以f(x)min =f(1)=1−3a 2+4=0，解得a =103（舍去）， 当1＜a ＜2时，当1＜x ＜a 时，f '（x ）＜0，当a ＜x ＜2时，f '（x ）＞0， 所以f （x ）在（1，a ）上递减，在（a ，2）上递增，所以当x ＝a 时，f （x ）取得最小值，所以f(a)=a 3−3a2a 2+4=0，解得a ＝2（舍去）， 当a ≥2时，当1≤x ≤2时，f '（x ）＜0，所以f （x ）在[1，2]上递减， 所以f(x)min =f(2)=23−3a2×4+4=0，解得a ＝2， 综上，a ＝2， 故选：C ．【变式5-1】（2022春•贵阳期末）若函数f(x)=e x +lnx +x √x −1+a 在x ≤20222021上的最小值为e +1，则a 的值为（ ） A ．0B ．1C ．20202021D ．20212020【解题思路】判断函数f （x ）的定义域，可知函数f （x ）在定义域上单调递增，由此可建立关于a 的方程，解出即可得到答案．【解答过程】解：函数的定义域为[1，20222021]，而函数y =e x ，y =lnx ，y =x √x −1在[1，+∞）上均为增函数，∴函数f(x)=e x +lnx +x √x −1+a 在[1，20222021]单调递增， ∴f （x ）min ＝f （1）＝e +a ＝e +1，解得a ＝1． 故选：B ．【变式5-2】（2022春•江北区校级期末）若函数f （x ）＝x 3﹣3x 在区间（2a ，a +3）上有最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(−2，12)B ．（﹣2，1）C ．[−1，12)D ．（﹣2，﹣1]【解题思路】由导数性质得f （x ）的增区间是（﹣∞，﹣1），（1，+∞），减区间是（﹣1，1），x ＝1时，f （x ）min ＝﹣2．由此利用函数性质列不等式即可求解a 的范围． 【解答过程】解：∵f （x ）＝x 3﹣3x ，∴f ′（x ）＝3x 2﹣3， 由f ′（x ）＝0，得x ＝±1，x ∈（﹣∞，﹣1）时，f ′（x ）＞0；x ∈（﹣1，1）时，f ′（x ）＜0；x ∈（1，+∞）时，f ′（x ）＞0， ∴f （x ）的增区间是（﹣∞，﹣1），（1，+∞），减区间是（﹣1，1）， ∴x ＝1时，f （x ）min ＝﹣2． f （x ）＝x 3﹣3x ＝﹣2时， x 3﹣3x +2＝0，x 3﹣x ﹣2x +2＝0， x （x 2﹣1）﹣2x +2＝0，x （x +1）（x ﹣1）﹣2（x ﹣1）＝0， （x 2+x ）（x ﹣1）﹣2（x ﹣1）＝0， （x ﹣1）（x 2+x ﹣2）＝0， （x ﹣1）（x +2）（x ﹣1）＝0， （x ﹣1）2（x +2）＝0， 解得x ＝1，x ＝﹣2，∴﹣2≤2a ＜1＜a +3，∴﹣1≤a ＜12． 即实数a 的取值范围是[﹣1，12），故选：C．【变式5-3】（2022春•公安县校级月考）已知函数f（x）＝x2e ax+1﹣2lnx﹣ax﹣2，若f（x）的最小值为0对任意x＞0恒成立，则实数a的最小值为（）A．2√eB．−2e C．1√eD．√e【解题思路】把f（x）转化为f（x）＝e2lnx+ax+1﹣（2lnx+ax+1）﹣1，证明e x﹣1≥x恒成立，得到f（x）≥0恒成立，从而得到a=−2lnx−1x，令g（x）=−2lnx−1x，利用导数求出函数g（x）的最小值即可求出结果．【解答过程】解：∵函数f（x）＝x2e ax+1﹣2lnx﹣ax﹣2，∴f(x)=e lnx2+ax+1−(lnx2+ax+1)−1，令t＝lnx2+ax+1，则h（t）＝e t﹣t﹣1，f′（t）＝e t﹣1，当t∈（﹣∞，0）时h′（t）＜0，h（t）单调递减，当t∈（0，+∞）时，h′（t）＞0，h（t）单调递增，∴h（t）≥h（0）＝0，∴f(x)=e lnx2+ax+1−(lnx2+ax+1)−1≥0，等号成立的条件是lnx2+ax+1＝0，即a=−1−2lnxx在（0，+∞）上有解，设g(x)=−2lnx+1x，则g′(x)=−2−(2lnx+1)x2=2lnx−1x2，令g′（x）＝0，解得x=√e，∴当x∈(0，√e)时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x∈(√e，+∞)时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，∴g(x)min=g(√e)=2√e，即a的最小值为2√e．故选：A．【题型6 极值和最值的综合问题】【方法点拨】解决函数极值、最值综合问题的策略：(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小．(2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论．(3)函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值．【例6】（2022春•城厢区校级期末）已知函数f(x)=x3−32(k+1)x2+3kx+1，其中k∈R．（1）当k＝3时，求函数f（x）在（0，3）内的极值点；（2）若函数f（x）在[1，2]上的最小值为3，求实数k的取值范围．【解题思路】（1）首先求得导函数，然后利用导函数研究函数的单调性，据此可求得函数的值域；（2）求得函数的解析式，然后结合导函数的符号确定函数的单调性，分类讨论即可求得实数k的取值范围．【解答过程】解：（1）k＝3时，f（x）＝x3﹣6x2+9x+1，则f'（x）＝3x2﹣12x+9＝3（x﹣1）（x﹣3），令f'（x）＝0得x1＝1，x2＝3，当x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当1＜x＜3时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞3时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；所以f（x）的单调递增区间为（﹣∞，1），（3，+∞），单调递减区间为（1，3）；所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，3）上单调递减．故f（x）在（0，3）内的极大值点为x＝1，无极小值点；（2）方法一：f'（x）＝3x2﹣3（k+1）x+3k＝3（x﹣1）（x﹣k），①当k≤1时，∀x∈[1，2]，f'（x）≥0，函数f（x）在区间[1，2]单调递增，所以f(x)min=f(1)=1−32(k+1)+3k+1=3，即k=53（舍）；②当k≥2时，∀x∈[1，2]，f'（x）≤0，函数f（x）在区间[1，2]单调递减，所以f（x）min＝f（2）＝8﹣6（k+1）+3k⋅2+1＝3，符合题意；③当1＜k＜2时，当x∈[1，k）时，f'（x）≤0，f（x）区间在[1，k）单调递减，当x∈（k，2]时，f'（x）＞0，f（x）区间在（k，2]单调递减，所以f(x)min=f(k)=k3−32(k+1)k2+3k2+1=3，化简得：k3﹣3k2+4＝0，即（k+1）（k﹣2）2＝0，所以k＝﹣1或k＝2（都舍）；综上所述：实数k取值范围为k≥2．【变式6-1】（2022春•德州期末）已知函数f(x)=x3−3ax+1(a＞12 )．（1）若函数f（x）在x＝﹣1处取得极值，求实数a的值；（2）当x∈[﹣2，1]时．求函数f（x）的最大值．【解题思路】（1）利用导数求得函数极值，代入计算即可得到a的值；（2）f'（x）＝0的根分类讨论，然后列表表示f'（x）的正负，极值点，同时注意比较端点处函数值，从而得最大值．【解答过程】解：（1）由题意可知f'（x）＝3x2﹣3a，因为函数f（x）在x＝﹣1处取得极值，所以f'（﹣1）＝0，即3﹣3a＝0，解得a＝1，经检验a＝1，符合题意，所以a＝1；（2）由（1）知f'（x）＝3x2﹣3a，令f'（x）＝0，x=±√a，当0＜√a＜1，即0＜a＜1时，f（x）和f'（x）随x的变化情况如下表：x﹣2(−2，−√a)−√a(−√a，√a)√a(√a，1)1 f'（x）+0﹣0+f（x）﹣7+6a单调递增单调递减单调调增2﹣3a由表格可知f（x）在x=−√a取极大值，此时f(−√a)=2a√a+1＞2−3a，所以f（x）在[﹣2，1]的最大值为2a√a+1．当1≤√a＜2，即1≤a＜4时，f（x）和f'（x）随x的变化情况如下表：x﹣2(−2，−√a)−√a(−√a，1)1f'（x）+0﹣f（x）﹣7+6a单调递增单调递减2﹣3a由表格可知f（x）在x=−√a取极大值，此时f(−√a)=2a√a+1＞2−3a，所以f（x）在[﹣2，1]的最大值为2a√a+1．当√a≥2即a≥4时，f'（x）＝3x2﹣3a≤0恒成立，即f（x）在[﹣2，1]上单调递减，所以f（x）的最大值为f （﹣2）＝﹣7+6a ，综上所述，当12＜a ＜4时，f （x ）的最大值为2a √a +1；当a ≥4时，f （x ）的最大值为﹣7+6a ．【变式6-2】（2022春•漳州期末）已知函数f(x)=(x −1)e x −t2x 2−2x ，f '（x ）为f （x ）的导函数，函数g （x ）＝f '（x ）．（1）当t ＝1时，求函数g （x ）的最小值；（2）已知f （x ）有两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2）且f(x 1)+52e −1＜0，求实数t 的取值范围． 【解题思路】（1）当t ＝1时，根据题意可得g （x ）＝xe x ﹣tx ﹣2，求导得g '（x ）＝（x +1）e x ﹣1，分析g （x ）的单调性，进而可得g （x ）min ．（2）问题可化为t =e x −2x，有两个根x 1，x 2，令ℎ(x)=e x −2x，则ℎ′(x)=e x +2x 2＞0，求导分析单调性，又x →﹣∞时，h （x ）→0；x →+∞时，h （x ）→+∞且ℎ(12)＜0，推出t ＞0且t =e x 1−2x 1=e x 2−2x 2(x 1＜0＜x 2)，分析f （x 1）的单调性，又φ(−1)=−52e +1，推出﹣1＜x 1＜0，即可得出答案．【解答过程】解：g （x ）＝f '（x ）＝xe x ﹣tx ﹣2，（1）当t ＝1时，g （x ）＝xe x ﹣x ﹣2，g '（x ）＝（x +1）e x ﹣1， 当x ≤﹣1时，x +1≤0，e x ＞0， 所以g '（x ）＝（x +1）e x ﹣1≤0﹣1＜0， 当﹣1＜x ＜0时，0＜x +1＜1，0＜e x ＜1， 所以g '（x ）＝（x +1）e x ﹣1＜1×1﹣1＝0， 当x ＞0时，x +1＞1，e x ＞1，所以g '（x ）＝（x +1）e x ﹣1＞1×1﹣1＝0．综上g （x ）在（﹣∞，0）上为减函数，在（0，+∞）上为增函数， 所以g （x ）min ＝g （0）＝﹣2．（2）依题有：方程g （x ）＝0有两个不同的根x 1，x 2， 方程g （x ）＝0可化为t =e x −2x ， 令ℎ(x)=e x −2x ，则ℎ′(x)=e x +2x 2＞0， 所以h （x ）在（﹣∞，0）和（0，+∞）都是增函数，因为x →﹣∞时，h （x ）→0；x →+∞时，h （x ）→+∞且ℎ(12)＜0， 所以t ＞0且t =e x 1−2x 1=e x 2−2x 2(x 1＜0＜x 2)， 所以f(x 1)=(x 1−1)e x 1−t2x 12−2x 1 =(x 1−1)e x 1−12(e x 1−2x 1)x 12−2x 1=(−x 122+x 1−1)e x 1−x 1＜−52e +1，令φ(x)=(−x 22+x −1)e x −x(x ＜0)，则φ′(x)=−12x 2e x −1＜0，所以φ（x ）在（﹣∞，0）上为减函数，又因为φ(−1)=−52e +1， 所以﹣1＜x 1＜0， 所以t =e x 1−2x 1＞1e+2． 【变式6-3】（2022春•潞州区校级期末）有三个条件： ①函数f （x ）在x ＝1处取得极小值2； ②f （x ）在x ＝﹣1处取得极大值6； ③函数f （x ）的极大值为6，极小值为2．这三个条件中，请任意选择一个填在下面的横线上（只要填写序号），并解答本题． 题目：已知函数f （x ）＝x 3﹣3ax +b （a ＞0），并且 _____． （1）求f （x ）的解析式；（2）当x ∈[﹣3，1]时，求函数f （x ）的最值．【解题思路】（1）求出函数f （x ）的导数f ′（x ），选择条件①，②，利用给定的极值点及对应的极值列式求解并验证作答；选择条件③，判断极大值与极小值列式求解并验证作答． （2）利用（1）的结论，利用导数求出给定区间上的最值作答． 【解答过程】解：（1）选条件①：求导得f ′（x ）＝3x 2﹣3a ，由{f ′(1)=0f(1)=2，得{a =1b =4，此时f ′（x ）＝3（x +1）（x ﹣1），当﹣1＜x ＜1时，f ′（x ）＜0，当x ＞1时，f ′（x ）＞0， 则f （x ）在x ＝1处取得极小值2， 所以f （x ）＝x 3﹣3x +4；选条件②：求导得f ′（x ）＝3x 2﹣3a ，由{f ′(−1)=0f(−1)=6，得{a =1b =4，此时f ′（x ）＝3（x +1）（x ﹣1），当x ＜﹣1时，f ′（x ）＞0，当﹣1＜x ＜1时，f ′（x ）＝＜0，则f（x）在x＝﹣1处取得极大值6，所以f（x）＝x3﹣3x+4．选条件③：求导得f′（x）＝3x2﹣3a，令f′（x）＝3x2﹣3a＝0，得x=±√a，当x＜−√a或x＞√a时，f′（x）＞0，当−√a＜x＜√a时时，f′（x）＜0，因此，当x=−√a时，f（x）取得极大值f（−√a），当x=√a时，f（x）取得极小值f（√a），于是得{(−√a)3−3a(−√a)+b=6(√a)3−3a√a+b=2，解得{a=1b=4，此时f′（x）＝3（x+1）（x﹣1），当x＜﹣1或x＞1时，f′（x）＞0，当﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0，则f（x）在x＝1处取得极小值2，在x＝﹣1处取得极大值6，所以f（x）＝x3﹣3x+4；（2）由（1）知，f（x）＝x3﹣3x+4，当x∈[﹣3，1]时，f′（x）＝3（x+1）（x﹣1），当﹣3＜x＜﹣1时，f′（x）＞0，当﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0，则f（x）在[﹣3，﹣1）上递增，在（﹣1，1]上递减，而f（﹣3）＝﹣14，f（1）＝2，所以f（x）max＝f（﹣1）＝6，f（x）min＝f（﹣3）＝﹣14．。
函数的极值与导数
极大值 和_______ 极小值 统称为极值． 极值点，_______
练习1：指出下图中的极大值、极小值、极 值点、极值
y y=f(x) P(x1,f(x1)) Q(x2,f(x2)) o a x1 x2 x3 b x
4
2、上图的左右端点是极值点吗？极值点 在图像的什么地方出现？ 3、一个函数只有一个极大值和一个极小 值吗？它的极大值一定大于它的极小值吗？
• 1.理解极大值、极小值的概念． • 2.会用导数求最高次幂不超过三次的 多项式函数的极大值、极小值． 重点： 利用导数求函数的极大值、极小值．
（一）导学案自主探究（一） 在点t=a附近的图像有什么特点（自左向右上 升还是下降）？此点附近的导数符号有什么 变化？在t=a时，函数h(t)在此点的导数是多少？
∴a＝－6，b＝9. ………………………6 分
• (2)f′(x)＝－18x2＋18x＝－18x(x－1) ……… ……… 8分 • 当f′(x)＝0时，x＝0或x＝1. • 当f′(x)>0时，0<x<1； • 当f′(x)<0时，x<0或x>1. ……… ……… ……… ……… 10分 • ∴函数f(x)＝－6x3＋9x2的极小值为 f(0)＝0. ……… 12分
3
当 x 变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
x
－
1
(1，＋
∞)
f ′ (x )
＋
0
－
0
＋
f(
x)
极
大值
极
小值
2 ∴f(x)的递增区间为－∞，－3和(1，＋∞)，递减区间 2 为－3，1. 2 49 2 当 x＝－3时，f(x)有极大值，f－3＝27；
2021届高考数学(理)考点复习：导数与函数的极值、最值(含解析)
2021届高考数学（理）考点复习导数与函数的极值、最值1．函数的极值与导数条件f ′(x 0)＝0x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0图象极值 f (x 0)为极大值 f (x 0)为极小值 极值点x 0为极大值点x 0为极小值点2.函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值． 概念方法微思考1．对于可导函数f (x )，“f ′(x 0)＝0”是“函数f (x )在x ＝x 0处有极值”的________条件．(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”) 提示 必要不充分2．函数的最大值一定是函数的极大值吗？提醒 不一定，函数的最值可能在极值点或端点处取到．1．（2019•新课标Ⅱ）已知函数()(1)1f x x lnx x =---．证明： （1）()f x 存在唯一的极值点；（2）()0f x =有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数． 【解析】（1）函数()(1)1f x x lnx x =---． ()f x ∴的定义域为(0,)+∞， 11()1x f x lnx lnx x x-'=+-=-，y lnx =单调递增，1y x=单调递减，()f x ∴'单调递增， 又f '（1）10=-<，f '（2）1412022ln ln -=-=>， ∴存在唯一的0(1,2)x ∈，使得0()0f x '=．当0x x <时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当0x x >时，()0f x '>，()f x 单调递增， ()f x ∴存在唯一的极值点．（2）由（1）知0()f x f <（1）2=-， 又22()30f e e =->，()0f x ∴=在0(x ，)+∞内存在唯一的根x a =，由01a x >>，得011x a<<， 1111()()(1)10f a f ln a a a a a=---==， ∴1a是()0f x =在0(0,)x 的唯一根， 综上，()0f x =有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．2．（2019•江苏）设函数()()()()f x x a x b x c =---，a ，b ，c R ∈，()f x '为()f x 的导函数． （1）若a b c ==，f （4）8=，求a 的值；（2）若a b ≠，b c =，且()f x 和()f x '的零点均在集合{3-，1，3}中，求()f x 的极小值； （3）若0a =，01b <，1c =，且()f x 的极大值为M ，求证：427M ． 【解析】（1）a b c ==，3()()f x x a ∴=-， f （4）8=，3(4)8a ∴-=， 42a ∴-=，解得2a =．（2）a b ≠，b c =，设2()()()f x x a x b =--． 令2()()()0f x x a x b =--=，解得x a =，或x b =．2()()2()()()(32)f x x b x a x b x b x b a '=-+--=---．令()0f x '=，解得x b =，或23a bx +=． ()f x 和()f x '的零点均在集合{3A =-，1，3}中，若：3a =-，1b =，则2615333a b A +-+==-∉，舍去． 1a =，3b =-，则2231333a b A +-==-∉，舍去． 3a =-，3b =，则263133a b A +-+==-∉，舍去．． 3a =，1b =，则2617333a b A ++==∉，舍去． 1a =，3b =，则2533a b A +=∉，舍去． 3a =，3b =-，则263133a b A +-==∈，． 因此3a =，3b =-，213a bA +=∈， 可得：2()(3)(3)f x x x =-+． ()3[(3)](1)f x x x '=---．可得1x =时，函数()f x 取得极小值，f （1）22432=-⨯=-． （3）证明：0a =，01b <，1c =， ()()(1)f x x x b x =--．2()()(1)(1)()3(22)f x x b x x x x x b x b x b '=--+-+-=-++． △22214(1)124444()332b b b b b =+-=-+=-+．令2()3(22)0f x x b x b '=-++=．解得：21111(0,]3b b b x +--+=，2211b b b x ++-+=．12x x <，12223b x x ++=，123b x x =，可得1x x =时，()f x 取得极大值为M ，2111()3(22)0f x x b x b '=-++=，令11(0,]3x t =∈，可得：23221t tb t -=-．43211112()()(1)()(1)21t t t M f x x x b x t t b t t -+-∴==--=--=-， 432261282(21)t t t tM t -+-+'=-． 令32()61282g t t t t =-+-+，22()182482(32)0g t t t t '=-+-=--<，∴函数()g t 在1(0,]3t ∈上单调递减，14()039g =>． ()0t g t ∴>．0M ∴'>．∴函数()M t 在1(0,]3t ∈上单调递增，14()()327M t M ∴=． 3．（2018•北京）设函数2()[(31)32]x f x ax a x a e =-+++．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2，f （2）)处的切线斜率为0，求a ； （Ⅱ）若()f x 在1x =处取得极小值，求a 的取值范围． 【解析】（Ⅰ）函数2()[(31)32]x f x ax a x a e =-+++的导数为2()[(1)1]x f x ax a x e '=-++．曲线()y f x =在点(2，f （2）)处的切线斜率为0， 可得2(4221)0a a e --+=， 解得12a =； （Ⅱ）()f x 的导数为2()[(1)1](1)(1)x x f x ax a x e x ax e '=-++=--， 若0a =则1x <时，()0f x '>，()f x 递增；1x >，()0f x '<，()f x 递减． 1x =处()f x 取得极大值，不符题意；若0a >，且1a =，则2()(1)0x f x x e '=-，()f x 递增，无极值； 若1a >，则11a<，()f x 在1(a ，1)递减；在(1,)+∞，1(,)a -∞递增，可得()f x 在1x =处取得极小值； 若01a <<，则11a >，()f x 在1(1,)a递减；在1(a ，)+∞，(,1)-∞递增，可得()f x 在1x =处取得极大值，不符题意；若0a <，则11a<，()f x 在1(a ，1)递增；在(1,)+∞，1(,)a -∞递减，可得()f x 在1x =处取得极大值，不符题意． 综上可得，a 的范围是(1,)+∞．4．（2018•北京）设函数2()[(41)43]x f x ax a x a e =-+++．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线与x 轴平行，求a ； （Ⅱ）若()f x 在2x =处取得极小值，求a 的取值范围． 【解析】（Ⅰ）函数2()[(41)43]x f x ax a x a e =-+++的导数为2()[(21)2]x f x ax a x e '=-++．由题意可得曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线斜率为0， 可得(212)0a a e --+=，且f （1）30e =≠， 解得1a =；（Ⅱ）()f x 的导数为2()[(21)2](2)(1)x x f x ax a x e x ax e '=-++=--， 若0a =则2x <时，()0f x '>，()f x 递增；2x >，()0f x '<，()f x 递减． 2x =处()f x 取得极大值，不符题意；若0a >，且12a =，则21()(2)02x f x x e '=-，()f x 递增，无极值； 若12a >，则12a <，()f x 在1(a，2)递减；在(2,)+∞，1(,)a -∞递增， 可得()f x 在2x =处取得极小值； 若102a <<，则12a >，()f x 在1(2,)a 递减；在1(a，)+∞，(,2)-∞递增， 可得()f x 在2x =处取得极大值，不符题意； 若0a <，则12a <，()f x 在1(a，2)递增；在(2,)+∞，1(,)a -∞递减， 可得()f x 在2x =处取得极大值，不符题意． 综上可得，a 的范围是1(2，)+∞．5．（2018•新课标Ⅲ）已知函数2()(2)(1)2f x x ax ln x x =+++-．（1）若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >； （2）若0x =是()f x 的极大值点，求a ．【解析】（1）当0a =时，()(2)(1)2f x x ln x x =++-，(1)x >-．()(1)1xf x ln x x '=+-+，2()(1)x f x x ''=+，可得(1,0)x ∈-时，()0f x ''，(0,)x ∈+∞时，()0f x '' ()f x ∴'在(1,0)-递减，在(0,)+∞递增， ()(0)0f x f ∴''=，()(2)(1)2f x x ln x x ∴=++-在(1,)-+∞上单调递增，又(0)0f =．∴当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >．（2）解：由2()(2)(1)2f x x ax ln x x =+++-，得222(12)(1)(1)()(12)(1)211x ax ax x ax x ln x f x ax ln x x x ++-++++'=+++-=++， 令2()(12)(1)(1)h x ax x ax x ln x =-++++， ()4(421)(1)h x ax ax a ln x '=++++．当0a ，0x >时，()0h x '>，()h x 单调递增， ()(0)0h x h ∴>=，即()0f x '>，()f x ∴在(0,)+∞上单调递增，故0x =不是()f x 的极大值点，不符合题意．当0a <时，12()84(1)1ah x a aln x x -''=++++， 显然()h x ''单调递减， ①令(0)0h ''=，解得16a =-．∴当10x -<<时，()0h x ''>，当0x >时，()0h x ''<，()h x ∴'在(1,0)-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减， ()(0)0h x h ∴''=，()h x ∴单调递减，又(0)0h =，∴当10x -<<时，()0h x >，即()0f x '>，当0x >时，()0h x <，即()0f x '<，()f x ∴在(1,0)-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减， 0x ∴=是()f x 的极大值点，符合题意；②若106a -<<，则(0)160h a ''=+>，161644(1)(21)(1)0a a aah ea e++-''-=--<，()0h x ∴''=在(0,)+∞上有唯一一个零点，设为0x ，∴当00x x <<时，()0h x ''>，()h x '单调递增，()(0)0h x h ∴'>'=，即()0f x '>，()f x ∴在0(0,)x 上单调递增，不符合题意；③若16a <-，则(0)160h a ''=+<，221(1)(12)0h a e e''-=->，()0h x ∴''=在(1,0)-上有唯一一个零点，设为1x ，∴当10x x <<时，()0h x ''<，()h x '单调递减，()(0)0h x h ∴'>'=，()h x ∴单调递增， ()(0)0h x h ∴<=，即()0f x '<，()f x ∴在1(x ，0)上单调递减，不符合题意． 综上，16a =-．6．（2017•全国）已知函数32()3(1)12f x ax a x x =-++． （1）当0a >时，求()f x 的极小值；（Ⅱ）当0a 时，讨论方程()0f x =实根的个数． 【解析】2()36(1)123(2)(2)f x ax a x ax x '=-++=--． （1）当0a >时，令()0f x '=，得2x =或2x a=； ①当01a <<时，有22>，列表如下： x(,2)-∞2 2(2,)a 2a 2(,)a+∞ ()f x ' +0 -0 +()f x极大值极小值故极小值为22124()a f a a -=．②当1a =时，有22a=，则2()3(2)0f x x '=-，故()f x 在R 上单调递增，无极小值； ③当1a >时，有22<，列表如下： x2(,)a-∞2a 2(,2)a 2 (2,)+∞()f x ' +0 -0 +()f x极大值极小值故极小值为f （2）124a =-．（Ⅱ）解法一：①当0a =时，令2()3123(4)f x x x x x =-+=--，得0x =或4x =，有两个根； ②当0a <时，令()0f x '=，得2x =或2x =，有202<<，列表如下： x2(,)a -∞2a2(,2)a2 (2,)+∞ ()f x ' -0 +0 -()f x极小值极大值故极大值为f （2）1240a =->，极小值22124()0a f a a -=<，因此()0f x =有三个根．解法二：①当0a =时，令2()3123(4)f x x x x x =-+=--，得0x =或4x =，有两个根； ②当0a <时，2()[3(1)12]f x x ax a x =-++，对于二次函数23(1)12y ax a x =-++，0x =不是该二次函数的零点，△29(1)240a a =+->，则该二次函数有两个不等的非零零点， 此时，方程()0f x =有三个根．7．（2017•山东）已知函数2()2cos f x x x =+，()(cos sin 22)x g x e x x x =-+-，其中 2.71828e ≈⋯是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(π，())f π处的切线方程；（Ⅱ）令()h x g =()x a -()()f x a R ∈，讨论()h x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 【解析】2()()2I f ππ=-．()22sin f x x x '=-，()2f ππ∴'=．∴曲线()y f x =在点(π，())f π处的切线方程为：2(2)2()y x πππ--=-．化为：2220x y ππ---=．()()II h x g =()x a -2()(cos sin 22)(2cos )x f x e x x x a x x =-+--+()(cos sin 22)(sin cos 2)(22sin )x x h x e x x x e x x a x x '=-+-+--+-- 2(sin )()2(sin )()x x lna x x e a x x e e =--=--．令()sin u x x x =-，则()1cos 0u x x '=-，∴函数()u x 在R 上单调递增． (0)0u =，0x ∴>时，()0u x >；0x <时，()0u x <．（1）0a 时，0x e a ->，0x ∴>时，()0h x '>，函数()h x 在(0,)+∞单调递增；0x <时，()0h x '<，函数()h x 在(,0)-∞单调递减． 0x ∴=时，函数()h x 取得极小值，(0)12h a =--．（2）0a >时，令()2(sin )()0x lna h x x x e e '=--=． 解得1x lna =，20x =．①01a <<时，(,)x lna ∈-∞时，0x lna e e -<，()0h x '>，函数()h x 单调递增； (,0)x lna ∈时，0x lna e e ->，()0h x '<，函数()h x 单调递减； (0,)x ∈+∞时，0x lna e e ->，()0h x '>，函数()h x 单调递增．∴当0x =时，函数()h x 取得极小值，(0)21h a =--．当x lna =时，函数()h x 取得极大值，2()[2sin()cos()2]h lna a ln a lna lna lna =--+++． ②当1a =时，0lna =，x R ∈时，()0h x '，∴函数()h x 在R 上单调递增． ③1a <时，0lna >，(,0)x ∈-∞时，0x lna e e -<，()0h x '>，函数()h x 单调递增； (0,)x lna ∈时，0x lna e e -<，()0h x '<，函数()h x 单调递减； (,)x lna ∈+∞时，0x lna e e ->，()0h x '>，函数()h x 单调递增．∴当0x =时，函数()h x 取得极大值，(0)21h a =--．当x lna =时，函数()h x 取得极小值，2()[2sin()cos()2]h lna a ln a lna lna lna =--+++． 综上所述：0a 时，函数()h x 在(0,)+∞单调递增；0x <时，函数()h x 在(,0)-∞单调递减． 0x =时，函数()h x 取得极小值，(0)12h a =--．01a <<时，函数()h x 在(,)x lna ∈-∞，(0,)+∞是单调递增；函数()h x 在(,0)x lna ∈上单调递减．当0x =时，函数()h x 取得极小值，(0)21h a =--．当x lna =时，函数()h x 取得极大值，2()[2sin()cos()2]h lna a ln a lna lna lna =--+++． 当1a =时，0lna =，函数()h x 在R 上单调递增．1a >时，函数()h x 在(,0)-∞，(,)lna +∞上单调递增；函数()h x 在(0,)lna 上单调递减．当0x =时，函数()h x 取得极大值，(0)21h a =--．当x lna =时，函数()h x 取得极小值，2()[2sin()cos()2]h lna a ln a lna lna lna =--+++．8．（2017•江苏）已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b R =+++>∈有极值，且导函数()f x '的极值点是()f x的零点．（Ⅰ）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （Ⅱ）证明：23b a >；（Ⅲ）若()f x ，()f x '这两个函数的所有极值之和不小于72-，求实数a 的取值范围．【解析】（Ⅰ）解：因为32()1f x x ax bx =+++， 所以2()()32g x f x x ax b ='=++，()62g x x a '=+， 令()0g x '=，解得3ax =-．由于当3a x >-时()0g x '>，()()g x f x ='单调递增；当3ax <-时()0g x '<，()()g x f x ='单调递减；所以()f x '的极小值点为3ax =-，由于导函数()f x '的极值点是原函数()f x 的零点，所以()03af -=，即33102793a a ab -+-+=，所以223(0)9a b a a=+>．因为32()1(0,)f x x ax bx a b R =+++>∈有极值， 所以2()320f x x ax b '=++=有实根，所以24120a b ->，即222903a a a-->，解得3a >，所以223(3)9a b a a=+>．（Ⅱ）证明：由（1）可知h （a ）42332245913(427)(27)81381a a b a a a a a=-=-+=--， 由于3a >，所以h （a ）0>，即23b a >；（Ⅲ）解：由（1）可知()f x '的极小值为2()33a a fb '-=-，设1x ，2x 是()y f x =的两个极值点，则1223ax x +=-，123b x x =，所以332212121212()()()()2f x f x x x a x x b x x +=++++++22121212121212()[()3][()2]()2x x x x x x a x x x x b x x =++-++-+++3422273a ab=-+，又因为()f x ，()f x '这两个函数的所有极值之和不小于72-，所以23242372327392a a ab a b a -+-+=--， 因为3a >，所以3263540a a --， 所以22(36)9(6)0a a a -+-， 所以2(6)(2129)0a a a -++， 由于3a >时221290a a ++>， 所以60a -，解得6a ， 所以a 的取值范围是(3，6]．9．（2017•新课标Ⅱ）已知函数2()f x ax ax xlnx =--，且()0f x ． （1）求a ；（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且220()2e f x --<<． 【解析】（1）因为2()()(0)f x ax ax xlnx x ax a lnx x =--=-->， 则()0f x 等价于()0h x ax a lnx =--，求导可知1()h x a x'=-． 则当0a 时()0h x '<，即()y h x =在(0,)+∞上单调递减， 所以当01x >时，0()h x h <（1）0=，矛盾，故0a >． 因为当10x a <<时()0h x '<、当1x a>时()0h x '>， 所以1()()min h x h a=，又因为h （1）10a a ln =--=， 所以11a=，解得1a =； 另解：因为f （1）0=，所以()0f x 等价于()f x 在0x >时的最小值为f （1）， 所以等价于()f x 在1x =处是极小值， 所以解得1a =；（2）由（1）可知2()f x x x xlnx =--，()22f x x lnx '=--， 令()0f x '=，可得220x lnx --=，记()22t x x lnx =--，则1()2t x x'=-，令()0t x '=，解得12x =， 所以()t x 在区间1(0,)2上单调递减，在1(2，)+∞上单调递增，所以1()()2102min t x t ln ==-<，又2212()0t e e=>，所以()t x 在1(0,)2上存在唯一零点，所以()0t x =有解，即()0f x '=存在两根0x ，2x ，且不妨设()f x '在0(0,)x 上为正、在0(x ，2)x 上为负、在2(x ，)+∞上为正， 所以()f x 必存在唯一极大值点0x ，且00220x lnx --=， 所以222200000000000()22f x x x x lnx x x x x x x =--=-+-=-， 由012x <可知20002111()()224max f x x x <-=-+=； 由1()0f e '<可知0112x e <<，所以()f x 在0(0,)x 上单调递增，在0(x ，1)e 上单调递减，所以0211()()f x f e e>=；综上所述，()f x 存在唯一的极大值点0x ，且220()2e f x --<<． 10．（2016•山东）设2()(21)f x xlnx ax a x =-+-，a R ∈． （1）令()()g x f x ='，求()g x 的单调区间；（2）已知()f x 在1x =处取得极大值，求正实数a 的取值范围． 【解析】（1）由()f x ln '= 22x ax a -+， 可得()g x ln = 22x ax a -+，(0,)x ∈+∞， 所以112()2axg x a x x-'=-=， 当0a ，(0,)x ∈+∞时，()0g x '>，函数()g x 单调递增； 当0a >，1(0,)2x a∈时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 1(2x a∈，)+∞时，()0g x '<，函数()g x 单调递减． 所以当0a 时，()g x 的单调增区间为(0,)+∞； 当0a >时，()g x 的单调增区间为1(0,)2a，单调减区间为1(2a ，)+∞．⋯（6分）（2）由（1）知，f '（1）0=．①当102a <<时，112a >，由（1）知()f x '在1(0,)2a内单调递增， 可得当(0,1)x ∈时，()0f x '<，当1(1,)2x a∈时，()0f x '>． 所以()f x 在(0,1)内单调递减，在1(1,)2a内单调递增， 所以()f x 在1x =处取得极小值，不合题意． ②当12a =时，112a=，()f x '在(0,1)内单调递增，在(1,)+∞内单调递减， 所以当(0,)x ∈+∞时，()0f x '，()f x 单调递减，不合题意． ③当12a >时，1012a <<，()f x 在1(0,)2a上单减， 当1(2x a∈，1)时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减． 所以()f x 在1x =处取极大值，符合题意．综上可知，正实数a 的取值范围为1(2，)+∞．⋯（12分）11．（2017•北京）已知函数()cos x f x e x x =-． （1）求曲线()y f x =在点(0，(0))f 处的切线方程；（2）求函数()f x 在区间[0，]2π上的最大值和最小值．【解析】（1）函数()cos x f x e x x =-的导数为()(cos sin )1x f x e x x '=--， 可得曲线()y f x =在点(0，(0))f 处的切线斜率为0(cos0sin 0)10k e =--=， 切点为0(0,cos00)e -，即为(0,1)，曲线()y f x =在点(0，(0))f 处的切线方程为1y =；（2）函数()cos x f x e x x =-的导数为()(cos sin )1x f x e x x '=--， 令()(cos sin )1x g x e x x =--，则()g x 的导数为()(cos sin sin cos )2sin x x g x e x x x x e x '=---=-，当[0x ∈，]2π，可得()2sin 0x g x e x '=-，即有()g x 在[0，]2π递减，可得()(0)0g x g =，则()f x 在[0，]2π递减，即有函数()f x 在区间[0，]2π上的最大值为0(0)cos001f e =-=；最小值为2()cos 2222f e πππππ=-=-．1．（2020•道里区校级一模）已知函数21()(1)2f x xlnx m x x =-+-有两个极值点，则实数m 的取值范围为( ) A ．1(e-，0)B ．1(1,1)e--C ．1(,1)e-∞-D ．(1,)-+∞【答案】B【解析】由21()(1)2f x xlnx m x x =-+-，得()(1)f x lnx m x '=-+，0x >．要使21()(1)2f x xlnx m x x =-+-有两个极值点，只需()(1)0f x lnx m x '=-+=有两个变号根，即1lnxm x+=有两个变号根． 令()lnxg x x=，(0)x >，则21()lnx g x x -'=，由()0g x '=得x e =，易知当(0,)x e ∈时，()0g x '>，此时()g x 单调递增； 当(,)x e ∈+∞时，()0g x '<，此时()g x 单调递减． 所以1()()max g x g e e==， 而1()0g e e=-<，1lim lim 01x x lnx x x →+∞→+∞==，作出()y g x =，1y m =+的图象，可知：101m e <+<，解得111m e-<<-+． 故选B ．2．（2020•内江三模）函数2()(12)22ax f x a x lnx =+--在区间1(2，3)内有极小值，则a 的取值范围是( ) A ．1(2,)3--B ．1(2,)2--C ．(2-，11)(33--⋃，)+∞D ．(2-，11)(22--⋃，)+∞【答案】D【解析】22(12)2(1)(2)()(12)ax a x ax x f x ax a x x x+--+-'=++-==， 当0a =时，()2f x x '=-，所以在1(2，2)上，()0f x '<，()f x 单调递减，在(2,3)上，()0f x '>，()f x 单调递增， f （2）为函数()f x 的极小值，符合题意，当0a >时，令()0f x '=，得1x a=-，2x =，且102a -<<，所以在1(2，2)上，()0f x '<，()f x 单调递减，在(2,3)上，()0f x '>，()f x 单调递增， f （2）为函数()f x 的极小值，符合题意，当0a <时，令()0f x '=，得1x a=-，2x =，且102a <-<，若()f x 在1(2，2)有极小值，只需12112a a ⎧-<⎪⎪⎨⎪->⎪⎩或12a ->，解得122a -<<-，或102a -<<，综上所述，122a -<<-，或12a -<，故选D ．3．（2020•德阳模拟）已知函数2()2f x ax x lnx =-+有两个极值点1x ，2x ，若不等式1212()()f x f x x x t +<++恒成立，那么t 的取值范围是( )A ．[1-，)+∞B ．[222ln --，)+∞C ．[32ln --，)+∞D ．[5-，)+∞【答案】D【解析】函数()f x 的定义域为(0,)+∞，2221()ax x f x x-+'=(0)x >， 因为函数2()2f x ax x lnx =-+有两个极值点1x ，2x ，所以方程22210ax x -+=在(0,)+∞上有两个不相等的正实数根， 则121248010102a x x a x x a ⎧⎪=->⎪⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩，解得102a <<．因为222121211122212121212122()()()22[()2]3()()12f x f x x x ax x lnx ax x lnx x x a x x x x x x ln x x ln a a+-+=-++-+--=+--++=---，设h （a ）212ln a a=---，h '（a ）22aa-=，易知h '（a ）0>在1(0,)2上恒成立， 故h （a ）在1(0,)2上单调递增，故h （a ）1()52h <=-，所以5t -，所以t 的取值范围是[5-，)+∞． 故选D ．4．（2020•汕头校级三模）已知函数21()(1)2x x f x x e ae ax =--+只有一个极值点，则实数a 的取值范围是( )A ．(-∞，10][2，)+∞B ．(-∞，10][3，)+∞C ．(-∞，10][4，)+∞D ．(-∞，1][03-，)+∞【答案】A 【解析】21()(1)2x x f x x e ae ax =--+，2()x xf x xe ae a '∴=-+，()f x 只有一个极值点，()f x '∴只要一个变号零点．（1）当0a =时，()x f x xe '=，易知0x =是()f x 的唯一极值点； （2）当0a ≠时，方程2()0x x f x xe ae a '=-+=可化为1x x x e e a-=-， 令1()g x x a=，()x xh x e e -=-，可得两函数均为奇函数， ∴只需判断0x >时，两函数无交点即可．①当0a <时，1()0g x x a=<，()0x x h x e e -=->，所以()g x 与()h x 有唯一交点0x =，且当0x >时，()()g x h x <；当0x <时，()()g x h x >． 0x ∴=是()f x 的唯一极值点；②当0a >时，()0x x h x e e -'=+>，即()h x 在(0,)+∞上单调递增，且(0)0h =，lim ()x h x →+∞=+∞，设()h x 过原点的切线为y kx =，切点为(m ，)(0)km m >， 则m m m me e k km e e --⎧+=⎨=-⎩，解得0m =，2k =， 如图所示，当1y x a=在直线2y x =下方（第一象限）或与2y x =重合时，0x =是唯一交点，能满足()0f x '=的变号零点，即函数()f x 的极值点， 12a∴．综上所述，实数a 的取值范围为(-∞，10][2，)+∞．故选A ．5．（2020•山西模拟）已知函数3()(2)x e f x t lnx x x x=-++仅有一个极值点1，则实数t 的取值范围是( ) A ．1(,]33e ⎧⎫-∞⎨⎬⎩⎭B ．1(,]3-∞C ．1(,]23e ⎧⎫-∞⎨⎬⎩⎭ D ．1(,]2-∞【答案】B 【解析】由题意知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，222(1)(23)()(1)1323()(2)xx e x x t x e x f x t x x x x -+--+'=-+-=， 因为函数恰有一个极值点1，所以023xe t x -=+无解，令()(0)23x e g x x x =>+，则2(21)()0(23)x e x g x x +'=>+，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增，从而1()(0)3g x g >=，所以13t 时，023x e t x -=+无解，3()(2)x e f x t lnx x x x =-++仅有一个极值点1，所以t 取值范围是1(,]3-∞．故选B ．6．（2020•南平三模）函数3211()(2)(0)32f x x a x x a =-++>在(,)e +∞内有极值，那么下列结论正确的是( )A ．当1(0,2)a e e ∈+-时，11a e e a -->B ．当1(2,)2ea e e ∈+-时，11a e e a --<C ．当(,)2ea e ∈时，11a e e a -->D ．当1(,)a e e e∈+时，11a e e a --<【答案】B【解析】令2()()(2)1(0)g x f x x a x a ='=-++>，则△2(2)40a =+->， 若()f x 在(,)e +∞内仅有一个极值点，即()g x 在(,)e +∞内有一个零点， 则20()(2)10a g e e a e >⎧⎨=-++<⎩，解得12a e e >+-； 若()f x 在(,)e +∞内仅有两个极值点，即()g x 在(,)e +∞内有两个零点， 则20()(2)1022a g e e a e a e ⎧⎪>⎪=-++>⎨⎪+⎪>⎩，无解， ∴当12a e e>+-时，函数()f x 在(,)e +∞内有极值， 现考查不等式11a e e a --<，两边同时取对数可得，1(1)a e lna -<-，即1(1)0a e lna ---<， 令1()1(1),2h a a e lna a e e=--->+-，则1()1e h a a-'=-，令h '（a ）0>，解得1a e >-， ∴函数h （a ）在1(2,1)e e e+--上单调递减，在(1,)e -+∞上单调递增， 又111(2)3(1)(2)h e e e ln e e e e+-=+---+-112(1)10e e lne e e<+---=-<，h （e ）(1)(1)0e e lne =---=，∴当1(2)a e e e∈+-时，h （a ）0<成立，即11a e e a --<，∴选项B 正确． 故选B ．7．（2020•龙岩模拟）已知函数()xf x ax lnx=-在(1,)+∞上有极值，则实数a 的取值范围为( ) A ．1(,]4-∞B ．1(,)4-∞C ．1(0,]4D ．1[0,)4【答案】B 【解析】21()()lnx f x a lnx -'=-，设22111()()()lnx g x lnx lnx lnx -==-， 函数()f x 在区间(1,)+∞上有极值，()()f x g x a ∴'=-在(1,)+∞上有变号零点，令1t lnx=，由1x >可得0lnx >，即0t >， 得到22111()244y t t t =-=--+， ∴14a <． 故选B ．8．（2020•武汉模拟）设函数2()(32)()f x lnx a x x a R =+-+∈在定义域内只有一个极值点，则实数a的取值范围为( ) A ．8(,)9+∞B ．8(0,)9C ．(,0)-∞D ．(0,)+∞【答案】C【解析】2()(32)f x lnx a x x =+-+，定义域为(0,)+∞，21231()(23)ax ax f x a x x x-+'=+-=， 设2()231g x ax ax =-+，①当0a =时，()1g x =，故()0f x '>， ()f x ∴在(0,)+∞上为增函数，所以无极值点．②当0a >时，△298a a =-， 若809a<时△0，()0g x ，故()0f x '， 故()f x 在(0,)+∞上递增，所以无极值点． 若89a >时△0>，设()0g x =的两个不相等的实数根为1x ，2x ，且12x x <， 且1232x x +=，而(0)10g =>，则12304x x <<<， 所以当1(0,)x x ∈，()0g x >，()0f x '>，()f x 单调递增； 当1(x x ∈，2)x ，()0g x <，()0f x '<，()f x 单调递减； 当2(x x ∈，)+∞，()0g x >，()0f x '>，()f x 单调递增． 所以此时函数()f x 有两个极值点；③当0a <时△0>，设()0g x =的两个不相等的实数根为1x ，2x ，且12x x <，但(0)10g =>，所以120x x <<，所以当2(0,)x x ∈，()0g x >，()0f x '>，()f x 单调递増； 当2(x x ∈，)+∞，()0g x <，()0f x '<，()f x 单调递减． 所以此时函数()f x 只有一个极值点． 综上得：当0a <时()f x 有一个极值点． 故选C ．9．（2020•昆明一模）已知函数221()(44)(4)2x f x e x x k x x =--++，2x =-是()f x 的唯一极小值点，则实数k 的取值范围为( ) A ．2[e -，)+∞ B ．3[e -，)+∞ C ．2[e ，)+∞ D ．3[e ，)+∞【答案】D【解析】由题可知，21()(4424)(24)(2)[(4)]2x x f x e x x x k x x e x k '=--+-++=+-+，2x =-是()f x 的唯一极小值点，(4)0x e x k ∴-+恒成立，即(4)x k e x --，令()(4)x g x e x =-，则()(3)x g x e x '=-，当3x <时，()0g x '<，()g x 单调递减；当3x >时，()0g x '>，()g x 单调递增，∴3()(3)min g x g e ==-，3k e ∴--，即3k e ．故选D ．10．（2020•江西模拟）已知定义在(0,)+∞上的函数()()x a f x e ln x a -=-+，其中0a >，e 为自然对数的底数．（1）求证：()f x 有且只有一个极小值点； （2）若不等式()212f x x a ln ++-在(0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】（1）证明：由于1()x a f x e x a-'=-+ 21()0()x a f x e x a -''=+>+，则()f x ' 在(0,)+∞ 上单调递增．令()x g x e x =-，则()1x g x e '=-，故当(,0)x ∈-∞时，()0g x '<，()g x 单调递减 当(0,)x ∈+∞ 时，()0g x '>，()g x 单调递增， 则()(0)1min g x g ==，即1x e x x +>，由于1(0)0aaa a e f e a e a --'=-=<，1(1)021f a e a '+=->+，故0(0,1)x a ∃∈+，使得0()0f x '=，且当0(0,)x x ∈时0()0f x '<，()f x 单调递减； 当0(x x ∈，)+∞时，0()0f x '>，()f x 单调递增．因此()f x 在(0,)+∞ 有且只有一个极小值点0x ，无极大值点． （2）由于不等式()212f x x a ln ++- 在(0,)+∞ 上恒成立，()i 必要性：当1x = 时，不等式成立，即 1(1)312a e ln a a ln --++--令1()(1)312,()0a g a ln a a e ln g a -=+++--， 由于11()0123a g a e a a -'=++>++，则g （a ） 在 (0,)+∞ 上单调递增，又由于g （1）0=，则g （a ）0 的解为01a <． ()ii 充分性：下面证明当01a < 时， ()212f x x a ln ++- 在(0,)+∞ 上恒成立令()()2112x a h x e ln x a x a ln -=-++++， 由于01a <，01a >--，1x a x --，1x a x e e --，01a x x <++，()(1)ln x a ln x ++，()(1)ln x a ln x -+-+，12,2122,2122,2122a x a x x a x x a x +++++++-++-+，则1()(1)2212x h x e ln x x ln --+++令1()(1)2212x m x e ln x x ln -=-+++，则 11()122x m x e x x -'=-++，1231()0(1)(22)x m x e x x -''=++>++， ()m x ' 在(0,)+∞ 上单调递增，由于m '（1）0=，则当(0,1)x ∈时，()0m x '<，()m x 单调递减， 当(1,)x ∈+∞ 时，()0m x '>，()m x 单调递增， 故()m x m =（1）0=，即()0m x 恒成立， 因此，当01a < 时，()212f x x a ln ++- 在(0,)+∞ 上恒成立．故a 的取值范围为(0，1]．11．（2020•红河州三模）已知函数()()1af x lnx a R x =-∈+． （1）求曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程；（2）若函数()f x 存在两个极值点1x ，2x ，求实数a 的取值范围，并证明：1()f x ，f （1），2()f x 成等差数列．【解析】（1）由()1af x lnx x =-+得21()(1)a f x x x '=++，故切线斜率k f ='（1）14a=+， 又f （1）2a =-，故切线方程为：(1)(1)24a ay x +=+-，即(4)4430a x y a +---=；（2）2221(2)1()(0)(1)(1)a x a x f x x x x x x +++'=+=>++，由题意知：1x ，2x 是方程()0f x '=在(0,)+∞内的两个不同实数解， 令2()(2)1(0)g x x a x x =+++>，注意到(0)10g =>，其对称轴为直线2x a =--， 故只需220(2)40a a -->⎧⎨=+->⎩，解得：4a <-， 即实数a 的取值范围是(,4)-∞-，由1x ，2x 是方程2(2)10x a x +++=的两根，得：122x x a +=--，121x x =，故12()()f x f x + 1212()()11a a lnx lnx x x =-+-++ 121212122()1x x ln x x a x x x x ++=-+++22121a aa --+=---+a =-，又f （1）2a=-，即12()()2f x f x f +=（1），故1()f x ，f （1），2()f x 成等差数列．12．（2020•启东市校级模拟）已知函数()(0)f x alnx a =≠与212y x e=的图象在它们的交点(,)P s t 处具有相同的切线． （1）求()f x 的解析式；（2）若函数2()(1)()g x x mf x =-+有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求21()g x x 的取值范围． 【解析】（1）根据题意，函数()(0)f x alnx a =≠与212y x e= 可知()af x x'=，1y x e '=，两图象在点(,)P s t 处有相同的切线，所以两个函数切线的斜率相等， 即1as e s=，化简得s ae =， 将(,)P s t 代入两个函数可得22s alns e=②，综合上述两式①②可解得1a =，所以()f x lnx =．（2）函数22()(1)()(1)g x x mf x x mlnx =-+=-+，定义域为(0,)+∞，222()2(1)m x x mg x x x x-+'=-+=， 因为1x ，2x 为函数()g x 的两个极值点，所以1x ，2x 是方程2220x x m -+=的两个不等实根， 由根与系数的关系知121x x +=，122mx x =，(*)， 又已知12x x <，所以121012x x <<<<，222211()(1)g x x mlnx x x -+=，将(*)式代入得22222222212()(1)2(1)121g x x x x lnx x x lnx x x -+-==-+-， 令()12h t t tlnt =-+，1(2t ∈，1)，()21h t lnt '=+，令()0h t '=，解得：t e=，当1(2t ∈)e 时，()0h t '<，()h t 在1(2e 单调递减；当(t e ∈，1)时，()0h t '>，()h t 在(e，1)单调递增；所以2()(11min eh t h ee===-， 1(){()2h t max h <，h （1）}，11()2022h ln h =-<=（1），即21()g x x 的取值范围是2[1e -0)． 13．（2020•河南模拟）设函数()f x xlnx =，()()x g x ae a R =∈．（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线也与曲线()y g x =相切，求a 的值． （2）若函数()()()G x f x g x =-存在两个极值点． ①求a 的取值范围；②当22ae 时，证明：()0G x <． 【解析】（1）()f x xlnx =，()1f x lnx '=+，(0,)x ∈+∞，f ∴（1）0=，f '（1）1=，故曲线()f x 在1x =处的切线方程是1y x =-； 设直线1y x =-与()y g x =相切于点0(x ，01)x -，()x g x ae '=，00()x g x ae ∴'=，由00011x x ae ae x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得022x a e -=⎧⎨=⎩； （2）()1x G x lnx ae '=+-， ①()G x 在(0,)+∞上存在两个极值点等价于()0G x '=在(0,)+∞上有2个不同的根，由10x lnx ae +-=，可得1xlnx a e +=，令1()xlnx t x e +=， 则11()xlnx x t x e --'=，令1()1h x lnx x =--，可得211()0h x x x'=--<， 故()h x 在(0,)+∞递减，且h （1）0=， 当(0,1)x ∈时，()0h x >，()0t x '>，()t x 递增， 当(1,)x ∈+∞时，()0h x <，()0t x '<，()t x 递减， 故t （1）1e=是极大值也是最大值，又当0x →时，()t x →-∞，当x →+∞时，()0t x >且趋向于0， 要使()0G x '=在(0,)+∞有2个根，只需10a e<<， 故a 的取值范围是1(0,)e；②证明：设()()xG x ae F x lnx x x==-， 2(1)()xx a x e F x x--'=， 当01x <时，22a e，()0F x ∴'>，则()F x 在(0,1)递增，()F x F ∴（1）0ae =-<，当1x >时，2(1)()[](1)x a x xF x e x a x -'=---， 令()(1)x x H x e a x =--，则21()0(1)x H x e a x '=+>-，22a e ，H ∴（2）22220ae e a a -=-=， 取(1,2)m ∈，且使2(1)m e a m >-，即2211ae m ae <<-， 则22()0(1)m mH m e e e a m =-<-=-，()H m H （2）0，故()H x 存在唯一零点0(1,2)x ∈， 故()F x 有唯一的极大值点0(1,2)x ∈， 由0()0H x =，可得000(1)x x e a x =-，故0001()1F x lnx x =--，0(1,2)x ∈，020011()0(1)F x x x '=+>-，故0()F x 为(1,2)上的增函数， 0()F x F ∴<（2）222102ae ln ln =--<， 综上，当22a e 时，总有()0G x x<，即()0G x <．14．（2020•河南模拟）已知函数21()22f x x ax lnx =-+，a R ∈． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个极值点1x ，212()x x x <，求21()2()f x f x -的取值范围． 【解析】（1）()f x 的定义域是(0,)+∞，2121()2x ax f x x a x x-+'=-+=，令221y x ax =-+， 当△2440a =-即11a -时，0y ，此时()f x 在(0,)+∞递增， 当1a <-时，2210x ax -+=有2个负根，此时()f x 在(0,)+∞递增，当1a >时，2210x ax -+=有2个正根，分别是211x a a =-221x a a =+- 此时()f x 在1(0,)x 递增，在1(x ，2)x 递减，在2(x ，)+∞递增， 综上，1a 时，()f x 在(0,)+∞递增，1a >时，()f x 在2(0,1)a a -递增，在2(1a a --21)a a +-递减，在2(1a a +-)+∞递增；（2）由（1）得：122x x a +=，121x x =，1a >，21121ax x =+，22221ax x =+， 1a >，1(0,1)x ∴∈，2(1,)x ∈+∞， 222122211111()2()22(2)22f x f x x ax lnx x ax lnx ∴-=-+--+ 2221211212x x lnx lnx =-++-+222222111()212x lnx ln x x =-++-+2222211312x lnx x =-+++，令22t x =，则1t >，113()122g t t lnt t =-+++，则222211332(1)(2)()2222t t t t g t t t t t -+----'=--+==，当12t <<时，()0g t '>，当2t >时，()0g t '<， 故()g t 在(1,2)递增，在(2,)+∞递减，g （2）13222ln =+， 21()2()f x f x ∴-的取值范围是(-∞，132]22ln +． 15．（2020•运城模拟）设函数()f x xlnx =．（1）求曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程；（2）若函数2()()F x f x ax =-有两个极值点，求实数a 的取值范围； （3）当120x x >>时，221212()()()2m x x f x f x ->-恒成立，求实数m 的取值范围． 【解析】（1）()1f x lnx '=+，()f x 在点(1，f （1）)处的切线斜率k f ='（1）1=，则切线方程为1y x =-，（2）()()212F x f x ax lnx ax '='-=+-．()F x 有两个极值点． 即()F x '有两个零点，即120lnx ax +-=有两个不等实根，12lnxa x+=， 令21()()lnx lnxg x g x x x+-='=， 在(0,1)上()0g x '>，()g x 在(0,1)上单调递增．在(1,)+∞上单调递减，()max g x g =（1）1=．x →+∞时，()0g x →． 即12(0,1),(0,)2a a ∈∈．（3）221212()()()2m x x f x f x ->-可化为222211()()22m m f x x f x x ->-． 设2()()2m Q x f x x =-，又120x x >>． ()Q x ∴在(0,)+∞上单调递减，()10Q x lnx mx ∴'=+-在(0,)+∞上恒成立，即1lnxmx+． 又1()lnxh x x+=在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减． ()h x ∴在1x =处取得最大值．h （1）1=．1m ∴．16．（2020•鹿城区校级模拟）已知函数2()(3)1()f x axlnx x a x a R =-+-+∈． （Ⅰ）当1a =时，求曲线()f x 在(1，f （1）)处的切线方程； （Ⅱ）若()f x 存在两个极值点1x ，212()x x x <． ①求a 的取值范围；。
06函数的极值与导数
y
y=f(x)
P(x1,f(x1))
o
概 念 说 明
x
极小值
a x1
Q(x2,f(x2)) x2 x3 x4 b
极值概念:
（1）极值是某一点附近的小区间而言 的,是函数的局部性质,不是整体的最值; （2）函数的极值不一定唯一,在整个定 义区间内可能有多个极大值和极小值； （3）极大值与极小值没有必然关系， 极大值可能比极小值还小.
1.求 函 数 f ( x ) xe 的 单 调 区 间 和 极 值 .
2 .求 函 数 f ( x )
2
x
2 3
x
x
1 2
的单调区间和极值
3 .函 数 f ( x )
x a x 1
在 x 1处 取 得 极 值 ， 求 a 的 值
以及函数的极值
4.求 函 数 f ( x ) a ln x x ax ( a 0)的 单 调 区 间 和 极 值
3 2
取 得 极 值 .求 a , b的 值 以 及 函 数 的 极 值
例 4 .求 函 数 f ( x ) ln ( x 1)
1 4
x 的单调区间和极值
2
练习 求 函 数 f ( x ) e 2 x 2 a的 单 调 区 间 和 极 值
x
学习小结:
本节课主要学习了哪些内容？
注:1.用导数法讨论函数的单调性的步骤： ⑴求出函数的导函数; ⑵解不等式 f ( x ) 0 ，求得其解集，再根据解集写出增区间; ⑶解不等式 f ( x ) 0 ，求得其解集，再根据解集写出减区间;
2.已知函数的单调性求参数的取值范围问题时常利用下面 关系来求解： “若函数单调递增,则 f ( x ) ≥ 0 ;若函数单调递减,则 f ( x ) ≤ 0 ” . 注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解，但同时也 要注意检验是否恒等于 0,否则也可能会增解.
导数与函数的极值问题
导数与函数的极值问题在微积分中，导数与函数的极值问题是一个重要的研究方向。
通过研究函数的导数，我们可以确定函数的极大值和极小值，从而找到函数的极值点。
本文将讨论导数与函数的极值问题，介绍如何通过导数的性质和定理来解决相关的数学问题。
一、导数的定义和性质导数是描述函数变化率的重要工具，它与函数的斜率和切线有密切的关系。
对于函数f(x)，在给定点x处的导数记作f'(x)，它的定义可以表示为：f'(x) = lim┬(Δx→0)〖(f(x+Δx)-f(x))/Δx〗其中，Δx表示自变量的增量。
导数的定义可以用来计算函数在特定点的斜率，从而揭示函数在该点的变化趋势。
导数具有一些基本的性质，包括线性性、乘积法则、商法则等。
这些性质对于求解函数的极值问题非常重要。
例如，利用导数的乘积法则，我们可以计算函数的极大值和极小值，找到函数的极值点。
二、函数极值的求解方法1. 导数为零的点对于函数f(x)，如果存在x=a，使得f'(a)=0，那么我们可以得到一个关键的结论：在x=a处，函数f(x)可能存在一个极值点。
根据导数的定义和性质，我们可以通过求解f'(x)=0来找到函数f(x)的极值点。
首先，我们需要求出导数方程f'(x)=0的所有解x=a₁，a₂，...，an。
然后，我们将这些解代入原函数f(x)中，得到相应的函数值f(a₁)，f(a₂)，...，f(an)。
最后，比较所有的函数值，即可确定函数的极大值和极小值。
2. 导数的符号变化除了导数为零的点外，我们还可以通过导数的符号变化来确定函数的极值点。
具体而言，如果在某区间上导数大于零，那么函数在该区间上是递增的；如果导数小于零，函数在该区间上是递减的。
根据这个性质，我们可以通过绘制函数图像和导数图像，找到函数的极值点。
在绘制函数图像时，我们可以观察函数曲线的上升和下降趋势；在绘制导数图像时，我们可以观察导数曲线的正负变化。
导数的应用函数极值与最值课件
极值计算示例
01
02
03
步骤
1. 定义域：全体实数
2. 一阶导数：f'(x)=3x^212x+9
极值计算示例
3. 二阶导数：f''(x)=6x-12
4. 令一阶导数为0，解出对应的x值：x=1或x=3
5. 判断导数在x值附近的符号变化：在x=1附近， f'(x)<0；在x=3附近，f'(x)>0
04
计算得f(-2)=0为最
小值，f(2)=16为
03
最大值
判断f(-2)和f(2)为 极值点，且为单调
性改变的点
04
导数在优化问题中的应用
优化问题的概念与分类
01
优化问题定义：在满足一定条件下，寻求某个 函数的最优值。
03
静态优化：目标函数和束缚条件都不随时间变化。
02
分类
04
动态优化：目标函数或束缚条件随时间变化。
经济模型
导数可以用于建立经济模型，例 如在需求函数中，对价格求导可 以得到需求弹性。
导数在其它领域的应用
工程领域
导数可以用于优化设计、控制过程、 预测趋势等。例如，在机械设计中， 对结构强度进行导数分析可以找到最 优设计方案。
科学计算
导数可以用于数值计算、插值、拟合 等技术中。例如，在数值积分中，对 函数进行离散化求导可以得到数值积 分的结果。
中，物体的平衡状态通常可以通过求导来找到极值点。
曲线斜率
03
导数可以用来计算曲线的斜率，例如在光学中，反射和折射定
律可以用导数来描述。
导数在经济学中的应用
边际分析
导数可以用于边际分析，例如在 成本函数中，对产量求导可以得 到单位产量的成本变化。
导数与极值
为了师生的和谐发展
学生活动
（1）极值是函某数一的点最附值近吗的？小区间而言 的,是函数的局部性质,不是整体的最值;
（2）函数的极值只不有一一定个惟吗一？,在整个定 义区间内可能有多个极大值和极小值；
（3）极大值一与定极比小极值小没值有还必大然吗关？系，
M
极大值可能比极小值还小.
函数的极值与导数
高二数学备课组 刘晓玉
为了师生的和谐发展
1.3.2 函数的极值与导数
【学习要求】 1．了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关
系，并会灵活应用. 2．掌握函数极值的判定及求法. 3．掌握函数在某一点取得极值的条件． 【学法指导】
函数的极值反映的是函数在某点附近的性质，是局部性质．通过研究 极值初步体会函数的导数作用.
当x＝3时，f(x)有极小值f(3)＝－22.
珠海市斗门区第一中学
为了师生的和谐发展
跟踪训练 1 求函数 f(x)＝3x＋3ln x 的极值．
解 函数f(x)＝3x＋3ln x的定义域为(0，＋∞)， 1、求定义域
f′(x)＝－x32＋3x＝3xx－2 1.
2、求导函数f′(x)
令f′(x)＝0，得x＝1.
由极值点的必要条件可知：f′(1)＝f′(2)＝0，
∴a＋2b＋1＝0且a2＋4b＋1＝0， 解方程组得，a＝－23，b＝－16.
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为了师生的和谐发展
跟踪训练 2 设 x＝1 与 x＝2 是函数 f(x)＝aln x＋bx2＋x 的两个极值点． (1)试确定常数 a 和 b 的值； (2)判断 x＝1，x＝2 是函数 f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．
例 2 已知 f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2 在 x＝－1 时有极值 0，求常数 a，b 的值．
函数的导数与极值问题
函数的导数与极值问题函数的导数与极值问题是微积分中的一个重要概念。
在解决实际问题中，我们经常需要确定函数的极值点，即函数取得最大和最小值的点。
这个问题可以通过函数的导数来解决。
本文将介绍函数的导数的概念和计算方法，并深入探讨在求解函数极值问题时的应用。
一、导数的定义和计算方法导数是描述函数变化率的数学概念。
对于函数f(x)，其在某一点x处的导数可以通过以下公式计算：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h其中lim表示极限的意思，h表示自变量的增量。
该公式表示随着自变量x在极限趋近于0的情况下，函数f(x)的变化率。
当导数存在时，也就意味着函数在该点是可导的。
根据导数的定义，我们可以使用几种不同的方法来计算函数的导数，例如使用基本的导数公式和求导法则。
常见的基本导数公式包括常数规则、幂函数规则、指数函数规则、三角函数规则等等。
求导法则可以根据不同函数的组合形式来计算导数，例如乘法法则、除法法则、链式法则等。
二、导数与函数极值使用导数来解决函数的极值问题是极其重要的应用之一。
函数的极值点包括极大值和极小值。
在求解函数极值的过程中，我们需要使用导数来确定临界点，即导数为0或导数不存在的点。
为了找到函数的极值点，我们可以按照以下步骤进行：1. 找到函数的导数；2. 解方程 f'(x) = 0，求解出临界点；3. 使用导数的符号表来确定临界点的性质，进而确定极值点。
在求解过程中，需要注意的是临界点不一定都是极值点，还需要检查极值点是否属于定义域内的端点或存在间断点的边界。
三、实际问题中的应用导数与极值问题在实际问题中有着广泛的应用。
让我们通过一个简单的例子来说明。
例子：假设我们想要寻找一个最大矩形的面积，该矩形的一条边是固定的，而另一条边可以在一个给定的长度范围内变化。
我们需要确定这个矩形的最大面积。
解决这个问题的关键是建立一个与矩形面积有关的函数，并使用导数来找到这个函数的极值。
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x
(–∞, –2)
–2
(–2, 2)
–
2 0
( 2, +∞)
f (x)
+
0
+
f (x) 单调递增
28 / 3 单调递减
4 / 3 单调递增
所以, 当 x = –2 时, f (x)有极大值 28 / 3 ; 当 x = 2 时, f (x)有极小值 – 4 / 3 .
2 3
x
f (x)
f (x)
1 (, ) 12
–
1 12 0
1 ( ,) 12 +
单调递减
49 24
单调递增
1 49 1 所以, 当 x 时, f (x)有极小值 f ( ) . 12 24 12
求下列函数的极值:
(1) f ( x) 6 x x 2; (2) f ( x) x 27 x; 3 3 (3) f ( x) 6 12 x x ; (4) f ( x) 3x x . 解: (2) 令f ( x) 3x 2 27 0, 解得 x1 3, x2 3.列表:
3.3.2函数的极值与导数
复习:函数单调性与导数关系 设函数y=f(x) 在 某个区间 内可导，
f(x)增函数 f(x)减函数
y
y=f(x) f '(x)>0
y
y=f(x) f '(x)<0
o a o a b x b x 如果在某个区间内恒有 f ( x) 0 ,则 f (x)为常数.
巩固：
－ax2－2bx＋a ， (1＋x2)2 令 f′(x)＝0，即 ax2＋2bx－a＝0.①
∵Δ＝4b2＋4a2>0，∴方程①有两个不相等的实根，记 为 x1、x2. －ax2－2bx＋a 不妨设 x1<x2，则有 f′(x)＝ ＝0， 2 2 (1＋x ) 即－a(x－x1)(x－x2)＝0. f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
解：在同一个坐标系里分别做出y sin x和y lg x的 图象，两图象只有在纵轴的右侧才有交点。 必须要 lg x 1sin x的最大值才会有交点。 容易看到在0， 有唯一交点，而在此区间的右面，
由 lg x 1 0 x 10, 因为10 2， , 于是y lg x 3 有三个解。
得
2b 2 2 x2－x1＝a－ ＋2b＝0，
a
2 ∴x2－x2＝0，即(x2－x1)(x2＋x1)＝0. 1
• 而x1<x2，∴x1＋x2＝0.∴b＝0. • 代入①式，得a(x2－1)＝0. • ∵a>0，∴x＝±1.再代入f(x1)或f(x2)，得a ＝2. • ∴a＝2，b＝0.
• 故f(x)最大值＝1，f(x)最小值＝－2. • [点评] 利用求最值的步骤求解．
• 1、函数最大值及最小值点必在下面各种点之中： 导数等于0的点、导数不存在的点或区间的端 点． • 2、函数在区间[a，b]上连续是f(x)在[a，b]上存 在最值的充分而非必要条件．
变式：求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内 的最大值和最小值 法一 、 将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用 二次函数单调性处理
法二、
解、 f ’(x)=2x-4 令f ’(x)=0，即2x-4=0， 得x=2 x 1 （1，2） 2 （2，5） 5
y
'
3
0 2
+
11
y
故函数f(x) 在区间[1，5]内的极小值为3， 最大值为11，最小值为2
• 例3
• • • •
已知f(x)＝ax3 ＋bx2 ＋cx(a≠0)在x＝ ±1时取得极值，且f(1)＝－1， (1)试求常数a、b、c的值； (2)试判断x＝±1时函数取得极小值还是极 大值，并说明理由． [解析] (1)由f′(－1)＝f′(1)＝0，得3a＋2b ＋c＝0,3a－2b＋c＝0. 又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.
由上表可见，f(x)取得极大值和极小值的点各有 1 个． ax1＋b ax2＋b (2)解：由(1)可知 f(x1)＝ ＝－1，f(x2)＝ 2 ＝ 1＋x2 1＋x2 1
2 1⇒－x1－1＝ax1＋b 且 1＋x2＝ax2＋b，两式相加，得 x2－ 2 2 2 x1＝a(x1＋x2)＋2b.
2b 又 x1＋x2＝－ ，代入上式， a
y
y
使函数取得极值的 点x0称为极值点
o
x0
x
o
x0
x
设函数f(x)在点x0附近有定义， •如果对X0附近的所有点，都有f(x)<f(x0), 则f(x0) 是函数f(x)的一个极大值， 记作y极大值= f(x0)； •如果对X0附近的所有点，都有f(x)>f(x0), 则f(x0) 是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值= f(x0)； ◆函数的极大值与极小值统称为极值. (极值即峰谷处的值）
解：
1 3 1 2 7 f(x) x - x 单调区间 3 2 2
（第一步） 定义域R,f′(x)=x2-x=x(x-1) （第二步） 令x(x-1)>0, 得x<0或x>1， 则f(x)单增区间（－∞，0）,（1，+∞） （第三步）令x(x-1)<0,得0<x<1, f(x)单减区(0,2). 注意: 求单调区间: 1:首先注意 定义域, 2:其次区间不能用 ( U) 连接
2 3
所以, 当 x = –2 时, f (x)有极小值 – 10 ; 当 x = 2 时, f (x)有极大值 22 .
(4) 令f ( x) 3 3x 2 0, 解得 x1 1, x2 1.
所以, 当 x = –1 时, f (x)有极小值 – 2 ; 当 x = 1 时, f (x)有极大值 2 .
上的最大值与最小值． • [分析] 首先求f(x)在(－1,2)内的极值．然 后将f(x)的各极值与f(－1)，f(2)比较，其中 最大的一个是最大值，最小的一个是最小 值． • [解析] f′(x)＝3x2－4x.
4 令 f′(x)＝0，有 3x －4x＝0.解得 x＝0， . 3
2
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
• 2．导数为0的点不一定是极值点．
练习：
下图是导函数 y
y f (x) 的图象, 试找出函数 y f (x) y f (x)
x3 x x4 x5
的极值点, 并指出哪些是极大值点, 哪些是极小值点.
x2 a x1 O
x6
b
探究：极值点处导数值(即切线斜率）有何特点？
y y
分析yx3
2 3
x
(–∞, –3)
–3
(–3, 3) – 单调递减
3 0
( 3, +∞)
f (x)
+
0
+
单调递增
f (x) 单调递增
54
54
所以, 当 x = –3 时, f (x)有极大值 54 ; 当 x = 3 时, f (x)有极小值 – 54 .
求下列函数的极值:
(1) f ( x) 6 x x 2; (2) f ( x) x 27 x; 3 3 (3) f ( x) 6 12 x x ; (4) f ( x) 3x x . 解: ( x) 12 3x 2 0, 解得 x1 2, x2 2. (3) 令f
f (x)>0
x2 b x
O a x1 极小值点两侧
x1 X<x1 X>x1 f(x) f(x) <0 f(x) =0 f(x) >0 减 极小值 增 f(x) Nhomakorabeax
结论：极值点处，f(x) =0 注意:(1) f(x0) =0， x0不一定是极值点
(2)只有f(x0) =0且x0两侧单调性不同 ， x0才是极值点. (3)求极值点，可以先求f(x0) =0的点，再列表判断单调 性
• [点评] 若函数f(x)在x0处取得极值，则一 定有f′(x0)＝0，因此我们可根据极值得到 一个方程，来解决参数．
ax＋b 变式：设 a>0，(1)证明 f(x)＝ 2 取得极大值和极小值 1＋x 的点各有 1 个； (2)当极大值为 1，极小值为－1 时，求 a 和 b 的值．
[解析]
a(1＋x2)－2x(ax＋b) (1) 证 明 ： f′(x) ＝ ＝ (1＋x2)2
1 3 例1 求函数 f ( x) x 4 x 4 的极值. 3 解: 1 3 2 因为 f ( x) x 4 x 4, 所以 f ( x) x 4. 3 令 f ( x) 0, 解得 x 2, 或 x 2. 当 f ( x) 0 , 即 x 2 , 或 x 2 ; 当 f ( x) 0 , 即 .
0
进一步探究:极值点两侧函数图像单调性有何特点?
极大值
极小值
即: 极值点两侧单调性互异
探究:极值点两侧导数正负符号有何规律?
y yf(x) f (x)<0 极大值点两侧 f (x)>0 f (x)<0
x
f(x) f(x)
X<x2
增
x2
极大值
X>x2
减
f(x) >0 f(x) =0 f(x) <0
与y sin x在区间2， 3 内交于两点。所以 lg x sin x
变式
求下列函数的极值:
(1) f ( x) 6 x x 2; (2) f ( x) x 27 x; 3 3 (3) f ( x) 6 12 x x ; (4) f ( x) 3x x . 解: 1 (1) f ( x) 12 x 1, 令 f ( x) 0, 解得 x . 列表: 12