正切函数1课时
第1课时 正切
_________________________________________________
_________________________________________________
③[师生互动反思]
_________________________________________________
例5如图1－1－15，某人从山脚下的点A走了130m后到达山顶的点B，已知点B到山脚的垂直距离为50m，求山的坡度.图1－1－15
让学生运用新知识解决与直角三角形有关的实际问题，并进一步感受数形结合的思想，体会数形结合的方法，加深学生对正切的理解，正切的前提是必须在直角三角形中.
活动
四：
课堂
总结
反思
(1)直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么关系？
(2) 和 有什么关系？
(3)如果改变B2在梯子上的位置呢？由此你能得出什么结论？
结论：由相似三角形的对应边成比例，得 ＝ ，即 ＝ .
如果改变B2在梯子上的位置，总可以得到Rt△AB2C2∽Rt△AB1C1，仍能得到 ＝ ，因此，无论B2在梯子的什么位置(除点A外)， ＝ 总成立.
【当堂训练】
1.课本P4随堂练习
2.课本P4习题1.1中T1、T2、T3
当堂检测，及时反馈学习效果.
【板书设计】
第1课时 正切
1.正切的定义：
例题
讲解
学生
练习
2.tanA的值越大，梯子越陡.
3.坡度的定义：
提纲挈领，重点突出.
【教学反思】
①[授课流程反思]
本节课是三角函数部分的第一节概念教学，教材内容比较抽象，学生以前从没接触过三角函数，尤其是涉及以角度为自变量这样特殊的函数概念，学生不易理解．为此结合初中生身心发展的特点，设置了丰富的图片、有趣的问题情景，调动学生的积极性和学习兴趣，以生活实例引导学生感受知识.
《正切函数图像与性质(1)》教案
π
2
+ kπ , k ∈ Z ) ，并把它叫做正切曲线。
y
进一步 熟悉函 数的周 期性
−
3π 2
−π
−
π
2
0
π
2
π
3π 2
x
3
正切函数图像与性质（一）作者：齐红
定义域：{x|x∈R 且 x≠kπ+π/2,k∈Z} 由 学 生 值 域：实数集 R 观 察 并 周期性：T=π 总结； 奇偶性：奇函数 若 时 间 单调性：在每一个开区间(-π/2 + kπ,π/2 + kπ),k∈Z 允 许 科 内都是增函数 总 结 出 kπ 对称） （对称性：关于 （ ,0） 对称性； 2
八、教学评价设计
一、对学生学习效果的评价： 1、学生学习效果的评价 1) 通过第二节课的课前复习检查学生对所学知识的掌握尤其是基础知识的掌握,通过和学生 交流评价学生在课堂中的学习过程和态度，即评价学生是否积极参与教学活动并参与各项 学习活动。以老师给予及时地肯定、适度的鼓励、树立榜样和互评为主。 2、通过问卷调查的方式进行学生自我评价：学生自己总结本课堂学会了哪些方面的知识 二、对课堂教学效果的评价： 通过和听课教师的交流来评价自己在本节课教学时优点与不足，并适时进行教学反思 通过和学生交流来评价自己这堂课的教学活动开展情况、 教学进度安排等各方面情况是否合适， 从而评价这堂课的教学效果。
第 一 个 由 学 生 独 立 完 成，第二 个 师 生 共 同 完 成
通过练 习培养 学生的 整体代 换思想
单调性： 在x ∈ kπ −
奇偶性：非奇非偶函数
1．正 切 曲 线 是 先 利 用 平 移 正 切 线 得 y = tan x, x ∈ (−
正切函数课件
栏目 导引
第一章 三 角 函 数
方法归纳 求函数 y＝Atan(ωx＋φ)定义域、周期、单调区间的方法 (1)定义域：由 ωx＋φ≠kπ＋π2 ，k∈Z，求出 x 的取值集合即
为函数的定义域，即xx≠kπ＋ωπ2 －φ，k∈Z.
(2)周期性：利用周期函数的定义来求．
栏目 导引
第一章 三 角 函 数
fπ6 ＝_______3________．
π
π
解析：由题意知 x＋ 6 ≠kπ＋ 2 (k∈Z)，
π 即 x≠ 3 ＋kπ(k∈Z)．
故定义域为xx≠kπ＋π3 ，k∈
Z，
且 fπ6 ＝tanπ6 ＋π6 ＝ 3.
栏目 导引
第一章 三 角 函 数
正切函数的图像
求函数 f(x)＝tan |x|的定义域与值域，并作其图像．
栏目 导引
第一章 三 角 函 数
2．y＝tan(x＋π)是( A ) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 解析：因为 y＝tan(x＋π)＝tan x，所以 y＝tan(x＋π)是奇函 数．
栏目 导引
第一章 三 角 函 数
3．函数 f(x)＝tanx＋π6 的定义域是_x__x_≠__k_π__＋__π3__，__k_∈__Z_，
域是[0，＋∞)，图像如图实线部分所示．
栏目 导引
第一章 三 角 函 数
1．(1)函数 y＝sin x 与 y＝tan x 在区间－3π2 ，32π上的交点个
数是( A ) A．3
B．4
C．5
D．6
栏目 导引
第一章 三 角 函 数
解析：(1)如图，函数 y＝sin x 与 y＝tan x 在区间－32π，32π
正切函数的性质与图像教案(最新整理)
函数 y=tanx,x∈(
,
)的简图.学生可看出有三个点很关键:(
,-1),(0,0),(
,1),还有两条
22
4
4
竖线.因此,画正切函数简图的方法就是:先描三点(
,-1),(0,0),(
,1),再画两条平行线
x=
4
4
,x= ,然后连线.教师要让学生动手画一画,这对今后解题很有帮助. 22
讨论结果:①略.②正切线是 AT.③略.④能,“三点两线”法.
1．4．3 正切函数的性质和图像
一、教学目标
1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象；2.用正切函数图象解决函数有关的性质；
二、课时 1 课时
三、教学重点 正切函数的性质与图象的简单应用.
四、教学难点 正切函数性质的深刻理解及其简单应用. 五、教具
多媒体、实物投影仪Biblioteka 六、教学过程导入新课
思路 1.(直接导入)常见的三角函数还有正切函数,前面我们研究了正、余弦函数的图象和
提出问题
①请同学们认真观察正切函数的图象特征,由数及形从正切函数的图象讨论它的性质.
②设问:每个区间都是增函数,我们可以说正切函数在整个定义域内是增函数吗？请举一
个例子.
活动:问题①,从图中可以看出,正切曲线是被相互平行的直线 x= +kπ,k∈Z 所隔开的无
2
穷多支曲线组成的.教师引导学生进一步思考,这点反应了它的哪一性质——定义域；并且函
性质,你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验,以同样的方法研究正切函数
的图象与性质？由此展开新课.
思路 2.先由图象开始,让学生先画正切线,然后类比正弦、余弦函数的几何作图法来画出
正切函数的图象.这也是一种不错的选择,这是传统的导入法.
1.4.3正切函数的图像与性质教案
§1.4.3正切函数的图像与性质【教学目标】1.会用单位圆内的正切线画正切曲线，并根据正切函数图象掌握正切函数的性质，用数形结合的思想理解和处理问题。
2.首先学生自主绘图，通过投影仪纠正图像，投影完整的正确图象，然后再让学生观察，类比正弦，探索知识。
3.在得到正切函数图像的过程中，学会一类周期性函数的研究方式，通过自己动手得到图像让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。
【教学重点难点】教学重点：正切函数的图象及其主要性质。
教学难点：利用正切线画出函数y =tan x 的图象，对直线x =2ππ+k ，Z k ∈是y =tan x 的渐近线的理解，对单调性这个性质的理解。
【教学方法】1．学案导学：见后面的学案。
2．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习【课时安排】1课时 【教学过程】一、预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
二、复 习导入、展示目标。
问题1：就我们前面所学的内容中，正切函数与正余弦函数的有何区别？大家怎么知道正切函数的值域是R? 通过单位圆中的正切线可以得到。
那请同学们回忆正切线在每一个象限的画法。
（设计意图：①通过此问题确定本节课的一个基调：类比学习；②通过此问题来复习我们已经研究过的正切函数的性质；③通过比较让学生了解正切与正弦的区别，在画图像的时候注意区别；④因为在作图时必须用正切线的知识，所以在此做一个相应的复习和准备工作，顺应学生的思维在知识链接处提问） 问题2：我们用什么样的方式得到正余弦函数的图像的？利用单位圆内的正弦线，得到在一个周期，即[0，2 ]内的图象，再利用周期性得到在定义域内的图象。
问题3：请同学们根据所学知识设计一个研究正切函数图像与性质的方案。
方案：第一步：画出正切函数的在一个周期内的图象； 第二步：将图象向左、向右平移拓展到整个定义域上去； 第三步：根据图象总结性质。
正切函数 教案
正切函数教案教案标题：正切函数教学目标：1. 理解正切函数的定义和性质。
2. 掌握正切函数的图像、周期和对称性。
3. 能够应用正切函数解决实际问题。
教学准备：1. 教材：包含正切函数相关知识的教材或教学资源。
2. 教具：黑板/白板、彩色粉笔/白板笔、投影仪等。
3. 学具：直尺、量角器等。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入正切函数的概念，提问学生是否了解正切函数的定义和性质。
2. 提示学生回顾之前学过的三角函数知识，如正弦函数和余弦函数。
二、讲解正切函数的定义和性质（15分钟）1. 介绍正切函数的定义：tan(x) = sin(x) / cos(x)，其中x为角度。
2. 解释正切函数的性质：周期性、奇偶性和定义域。
三、绘制正切函数的图像（15分钟）1. 在黑板/白板上绘制正切函数的基本图像，包括一个周期内的变化趋势。
2. 引导学生观察图像的特点，如渐近线、极值点等。
四、探究正切函数的周期和对称性（15分钟）1. 提问学生正切函数的周期是多少，为什么？2. 引导学生通过观察图像和计算，得出正切函数的周期是π。
3. 引导学生发现正切函数的对称性，即tan(x) = -tan(x + π)。
五、应用正切函数解决实际问题（15分钟）1. 提供一些实际问题，如角度测量、三角恒等式等，要求学生运用正切函数解决。
2. 引导学生分析问题，列出方程或等式，并使用正切函数求解。
六、总结与拓展（5分钟）1. 总结正切函数的定义、性质和图像特点。
2. 提醒学生在课后进行练习，巩固所学知识。
教学反思：本教案通过引导学生了解正切函数的定义、性质和图像特点，培养学生运用正切函数解决实际问题的能力。
在教学过程中，教师可以结合实际生活中的例子，增加教学的趣味性和可操作性。
同时，教师还可以提供更多的练习题目，帮助学生巩固所学知识。
苏科版九年级下册数学 第7章 正切
(1)tan73°；
解：依次按键：， 显示结果为3.270852618，即tan73°≈3.27. (2)tan39°39′39″.
知3－讲
解：依次按键：， 显示结果为3.270852618，即tan73°≈3.27.
正切
课后作业
作业1 必做:请完成教材课后习题 补充:
作业2
∠A的对边 a ∠A的邻边=b.
知1－讲
2. 表示法
知1－讲
(1)正切值的大小只与锐角的大小有关，而与所在的直角三
角形的边长的大小无关.
(2)tanA表示∠A的正切，习惯上省去表示角的符号“∠”，
但当角是用三个大写字母或数字表示时，它的正切不能
省略角的符号“∠”，如tan∠ABC，tan∠1.
知1－讲
再按，按秒的数字键，再按，最后依次按键；
(2)不同的计算器操作程序不同，按键规定一般也不一样.
特别提醒： ①注意不同类型计算器的按键顺序. ②注意精确的数位要求.
知3－讲
知3－讲
例5 用计算器求下列各值(精确到0.01)： 解题秘方：紧扣用计算器求锐角正切值的一般步 骤即可求解.
特别提醒： 注意按键顺序，结果按要求取近似值.不同的计算 器按键顺序可能不同，要先读懂使用说明.
tanA＝，3则BC的长为()
B
A.2B. 6C4. 8D. 10
7
解题秘方：紧扣正切的概念，用含k的代数式表示出 AC，然后根据勾股定理即可求解．
知1－讲
解题通法： 参数法：在直角三角形中，已知一边长和一个锐
角的正切值，求直角三角形的另一边长，可以用设 辅助元，即引入“参数”的方法来解决，注意要结 合勾股定理构建方程.
知1－讲
思路点拨： 定义法：当题目要求锐角的正切值时，先根据题意画出 图形，得到直角三角形，然后根据勾股定理求出未知边 长，最后结合锐角的正切定义求出正切值.
1.1.1 正切
1.1
锐角三角函数
第 1 课时
正
切
1
课堂讲解
正切的定义 正切的应用
2
课时流程
逐点 导讲练
坡度(坡角)与正切的关系
课堂 小结
作业 提升
梯子是我们日常生活中常见的物体. (1) 在图1-1中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎 样判断的？ 你有几种判断方法？
(2)在图1-2中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎 样判断的？
用勾股定理表示出第三边AC＝8a，再用正切的定义求解得
BC 15 = . tan A＝ AC 8
（来自《点拨》）
知1－讲
总 结
直角三角形中求锐角正切值的方法： (1)若已知两直角边，直接利用正切的定义求解；
(2)若已知一直角边及斜边，另一直角边未知，可先利
用勾股定理求出未知的直角边，再利用正切的定义 求解．
B．2
C. D.
3 3
3
（来自《典中点》）
知3－讲
知识点
探究
3
坡度(坡角)与正切的关系
B C
一、如图是某一大坝的横断面： 坡面AB的垂直高度与 水平宽度AE的长度之 A
α
E
D
比是α的什么三角函数？
BE tan 坡面AB与水平面的夹角叫做坡角. AE
知3－讲
坡度的定义： 坡面的垂直高度与水平宽度之比 叫做坡度，记作 i .
知2－练
2 (2016· 安顺)如图，在网格中，小正方形的边长均为1，
点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是( D ) A．2
2 5 B. 5 5 C. 5 1 D. 2
（来自《典中点》）
知2－练
1.1 锐角三角函数 第1课时(教案)-北师大版数学九下
第1节锐角三角函数第1课时正切1.经历探索直角三角形中边角之间关系的过程.2.理解锐角三角函数(正切、正弦、余弦)的意义,并能够举例说明.3.能够运用tan A,sin A,cos A表示直角三角形中两边的比.4.能够根据直角三角形中的边角关系进行简单的计算.1.经历三个锐角三角函数的探索过程,确信三角函数的合理性,体会数形结合的数学思想.2.在探索锐角三角函数的过程中,初步体验探索、讨论、验证对学习数学的重要性.1.通过锐角三角函数概念的建立,使学生经历从特殊到一般的认识过程.2.让学生在探索、分析、论证、总结获取新知识的过程中体验成功的喜悦,从解决实际问题中感悟数学的实用性,培养学生学习数学的兴趣.【重点】1.理解锐角三角函数的意义.2.能利用三角函数解三角形的边角关系.【难点】能根据直角三角形的边角关系进行简单的计算1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.2.能够用tan A表示直角三角形中两直角边的比,表示生活中物体的倾斜程度、坡度等,能够用正切进行简单的计算.3.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义,加强数学与生活的联系.1.体验数形之间的联系,逐步学习利用数形结合思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力.2.体会解决问题的策略多样性,发展实践能力和创新精神.1.积极参与数学活动,对数学产生好奇心和求知欲.2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.【重点】1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义,加强数学与生活的联系.【难点】理解正切的意义,并用它来表示生活中物体的倾斜程度、坡度等.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】1.自制4个直角三角形纸板.2.复习直角三角形相似的判定和直角三角形的性质.导入一:课件出示:你知道图中建筑物的名字吗?是的,它就是意大利著名的比萨斜塔,是世界著名建筑奇观,位于意大利托斯卡纳省比萨城北面的奇迹广场上,是奇迹广场三大建筑之一,也是意大利著名的标志之一,它从建成之日起便由于土层松软而倾斜.【引入】应该如何来描述它的倾斜程度呢?学完本节课的知识我们就能解决这个问题了.[设计意图]创设新颖、有趣的问题情境,以比萨斜塔的倾斜程度激发学生的学习兴趣,从而自然引出课题,并且为学生探究梯子的倾斜程度埋下伏笔.导入二:课件出示:四个规模不同的滑梯A,B,C,D,它们的滑板长(平直的)分别为300cm,250cm,200cm,200cm;滑板与地面所成的角度分别为30°,45°,45°,60°.【问题】四个滑梯中哪个滑梯的高度最高[设计意图]利用学生所熟悉的滑梯进行引导,使学生有亲切感,滑梯与课本中引用梯子比较类似,学生的探究思路会比较顺畅.(一)探究新知请同学们看下图,并回答问题.探究一:问题1课件出示:在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?你有几种判断方法?小组讨论后展示结果:1组:梯子AB较陡.我们组是借助量角器量倾斜角,发现∠ABC>∠EFD,根据倾斜角越大,梯子就越陡,可以得到梯子AB较陡.师:哪组还有不同的判定方法?2组:我们也是认为梯子AB较陡.我们组是分别计算AC与BC的比,ED与FD的比,发现前者的比值大,根据铅直高度与水平宽度的比越大,梯子就越陡,可以得到梯子AB较陡.3组:我们组的方法和1组的大致相同,借助倾斜角来判断,不过不是测量,我们是过E作EG∥AB 交FD于G,就可以清晰比较∠ABC与∠EFD的大小了.4组:我们组发现这两架梯子的高度相同,水平宽度越小,梯子就越陡,所以我们也认为梯子AB较陡.探究二:问题2课件出示:在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?学生会类比问题1给出的四种判断方法,只要说得合理即可.问题3课件出示:在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎么判断的?多给学生思考和讨论的时间.代表发言:AB和EF的倾斜度一样.由于两个直角三角形的两直角边的比值相等,再加上夹角相等,可以判定两个直角三角形相似,根据相似三角形的对应角相等,可以证明两个倾斜角相等,所以AB和EF的倾斜度一样.教师引导:我们发现当直角三角形的两直角边的比值相等时,梯子的倾斜度一样,请大家判断一下在问题2与问题3中,两直角边的比值与倾斜度有什么关系?请继续探究下面的问题.问题4课件出示:在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?教师引导:我们观察上图直观判断梯子的倾斜程度,即哪一个更陡,可能就比较困难了.能不能从上面的探究中得到什么启示呢生讨论后得出:思路1:梯子EF较陡,因为∠EFD>∠ABC,根据倾斜角越大,梯子就越陡.思路2:梯子EF较陡,因为>,根据铅直高度与水平宽度的比越大,梯子就越陡.师生共同总结:在日常的生活中,我们判断哪个梯子更陡,应该从梯子AB 和EF 的倾斜角大小,或垂直高度和水平宽度的比的大小来判断.做一做:请通过计算说明梯子AB 和EF 哪一个更陡呢?生独立解答,代表展示:∵==,==,<,∴梯子EF 比梯子AB 更陡.[设计意图]通过探究逐层深入的问题,让学生经历由简单到复杂、由特殊到一般的探究过程,既对已学知识和生活经验进行了回味和运用,也让学生的思想逐步向本节课的中心“两直角边之比”靠近.[知识拓展]梯子的倾斜程度的判定方法:(1)梯子的倾斜程度和倾斜角有关系,倾斜角越大,梯子就越陡.(2)梯子的倾斜程度和铅直高度与水平宽度的比有关系,铅直高度与水平宽度的比越大,梯子就越陡.(二)再探新知课件出示:【想一想】如图所示,小明想通过测量B 1C 1及AC 1,算出它们的比,来说明梯子的倾斜程度;而小亮则认为,通过测量B 2C 2及AC 2,算出它们的比,也能说明梯子的倾斜程度.你同意小亮的看法吗?(1)直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2有什么关系生很容易得出两个三角形相似.由生说明理由:∵∠B 2AC 2=∠B 1AC 1,∠B 2C 2A =∠B 1C 1A =90°,∴Rt△AB 1C 1∽Rt△AB 2C 2.(2)和有什么关系?由于Rt△AB 1C 1∽Rt△AB 2C 2,所以有=.(3)如果改变B 2在梯子上的位置呢?由此你得出什么结论?生先独立思考后分组讨论.生得出结论:改变B 2在梯子上的位置,铅直高度与水平宽度的比始终相等.想一想:现在如果改变∠A 的大小,∠A 的对边与邻边的比值会改变吗?生讨论得出:∠A 的大小改变,∠A 的对边与邻边的比值会改变.∠A 的对边与邻边的比只与∠A 的大小有关系,而与它所在直角三角形的大小无关.【总结提升】由于直角三角形中的锐角A 确定以后,它的对边与邻边的比也随之确定,因此我们有如下定义:如图所示,在Rt△ABC 中,如果锐角A 确定,那么∠A 的对边与邻边之比便随之确定,这个比叫做∠A 的正切(tangent ),记作tan A ,即tan A =.当锐角A变化时,tan A的值也随之变化.能力提升:如果∠A+∠B=90°,那么tan A与tan B有什么关系?生讨论得出结论:tan A=,即任意锐角的正切值与它的余角的正切值互为倒数.【议一议】前面我们讨论了梯子的倾斜程度,在课本图1-3中,梯子的倾斜程度与tan A有关系吗?学生思考后,统一答案:tan A的值越大,梯子越陡.(反之,梯子越陡,tan A的值越大)[设计意图]此环节的设计是为了突出概念的形成过程,帮助学生理解概念.通过让学生参与、动手操作,让学生学会由特殊到一般、数形结合及函数的思想方法,提高学生分析问题和解决问题的能力.[知识拓展]正切的注意事项:(1)tan A是一个完整的符号,它表示∠A的正切,记号里习惯省去角的符号“∠”.(2)tan A没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中∠A的对边与邻边的比.(3)tan A不表示“tan”乘以“A”.(4)初中阶段,我们只学习直角三角形中锐角的正切.(教材例1)如图所示表示甲、乙两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡?想一想:要判断哪个自动扶梯比较陡,只需求出什么即可?生思考后得出:比较甲、乙两个自动扶梯哪一个陡,只需分别求出tanα,tanβ的值进行比较大小即可,正切值越大,扶梯就越陡.要求学生独立解答,代表展示:解:甲梯中,tanα==.乙梯中,tanβ==.因为tanα>tanβ,所以甲梯更陡.[设计意图]通过对例题的解答让学生初步学会运用“正切”这一数学工具判断梯子的倾斜程度,同时规范学生的解题步骤,培养良好的解题习惯.课件出示:如图所示,有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m,那么山坡的坡度(即tanα)就是: i=tanα==.结论:坡面与水平面的夹角(α)称为坡角,坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度(或坡比),tanα=,即坡度等于坡角的正切.[设计意图]正切在日常生活中的应用很广泛,通过正切刻画梯子的倾斜程度及坡度的数学意义,密切数学与生活的联系,使学生明白学习数学就是为了更好地应用数学,为生活服务.[知识拓展]坡度与坡面的关系:坡度越大,坡面越陡.(1)正切的定义:tan A=.(2)梯子的倾斜程度与tan A的关系(∠A和tan A之间的关系):tan A的值越大,梯子越陡.(3)坡度(或坡比)的定义:i=tanα=.1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=12,则tan A等于()A.B. C. D.解析:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=12,∴BC=5,∴tan A=.故选B.2.如图所示,将∠AOB放置在5×5的正方形网格中,则tan∠AOB的值是()A.B.C.D.解析:认真读图,在以∠AOB的O为顶点的直角三角形里求tan∠AOB的值,由图可得tan∠AOB=.故选B.3.(2014·温州中考)如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=1,则tan A的值是.解析:tan A==.故填.4.河堤横断面如图所示,堤高BC=5m,迎水坡AB的坡度是1∶(坡度是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比),则AB的长是.解析:在Rt△ABC中,BC=5,tan A=1∶,∴AC=5,∴AB==10(m).故填10m.第1课时(1)正切的定义:tan A=.(2)梯子的倾斜程度与tan A的关系(∠A和tan A之间的关系):tan A的值越大,梯子越陡.(3)坡度(或坡比)的定义:i=tanα=.一、教材作业【必做题】1.教材第4页随堂练习第1,2题.2.教材第4页习题1.1第1,2题.【选做题】教材第4页习题1.1第3,4题.二、课后作业【基础巩固】1.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,则tan A的值为()A. B. C. D.2.小明沿着坡度为1∶2的山坡向上走了1000m,则他升高了()A.500mB.200mC.500mD.1000m3.已知斜坡的坡度为i=1∶5,如果这一斜坡的高度为2m,那么这一斜坡的水平距离为m.【能力提升】4.(2015·山西中考)如图所示,在网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,则∠ABC的正切值是()A.2B.C.D.5.如图所示,将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到△A'B'C',使点B'与C重合,连接A'B,则tan∠A'BC'的值为.6.如图所示,在锐角三角形ABC中,AB=10cm,BC=9cm,△ABC的面积为27cm2.求tan B的值.7.某商场为方便顾客使用购物车,准备将滚动电梯的坡面坡度由1∶1.8改为1∶2.4(如图所示).如果改动后电梯的坡面长为13m,求改动后电梯水平宽度增加部分BC的长.【拓展探究】8.如图所示,在△ABC中,AB=AC,BD是AC边上的中线,若AB=13,BC=10,试求tan∠DBC的值.【答案与解析】1.D(解析:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,∴tan A===.故选D.)2.B(解析:设铅直高度为x m,∵坡度为1∶2,∴水平宽度为2x m,由勾股定理得x2+(2x)2=10002,解得x=200.∴他升高了200m.故选B.)3.10(解析:∵斜坡的坡比是1∶5,∴=.∴=,∴斜坡的水平距离为=10m.故填10.)4.D(解析:如图所示,连接AC,由勾股定理,得AC=,AB=2,BC=,∴△ABC为直角三角形,∴tan B==.故选D.)5.(解析:如图所示,过A'作A'D⊥BC',垂足为D.在等腰直角三角形A'B'C'中,易知A'D是底边上的中线,∴A'D=B'D=.∵BC=B'C',∴tan∠A'BC'===.故填.)6.解:如图所示,过点A作AH⊥BC于H,∵S=27,∴×9×AH=27,∴AH=6.∵AB=10,∴BH===8,∴tan△ABCB===.7.解:在Rt△ADC中,AD∶DC=1∶2.4,AC=13,由AD2+DC2=AC2,得AD2+(2.4AD)2=132,∴AD=±5(负值不合题意,舍去),∴DC=12.在Rt△ABD中,∵AD∶BD=1∶1.8,∴BD=5×1.8=9,∴BC=DC-BD=12-9=3(m).答:改动后电梯水平宽度增加部分BC的长为3m.8.解:如图所示,过点A,D分别作AH⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为点H,F.∵BC=10,AH⊥BC,AB=AC,∴BH=5.∵AB=13,∴AH==12,在Rt△ACH中,AH=12,易知AH∥DF,且D为AC中点,∴DF=AH=6,∴BF=BC=,∴在Rt△DBF中,tan∠DBC==.本节课是三角函数部分的第一节概念教学,教学内容比较抽象,学生不易理解.为此结合初中学生身心发展的特点,运用实验教学、直观教学,唤起和加深学生对教学内容的体会和了解,并培养和发展学生的观察、思维能力,这是贯彻“从生动的直观到抽象的思维,并从抽象的思维到实践”的认识规律,能使学生学习数学的过程成为积极的、愉快的和富有想象的过程,使学习数学的过程不再是令人生畏的过程.概念教学由学生熟悉的实例入手,引导学生观察、分析、动手、动脑、动口多种感官参与,并组织学生积极参与小组成员间合作交流.通过由特殊到一般、具体到抽象的探索过程,紧紧围绕着函数概念,引出正切概念,再通过相应的典型题组练习巩固概念.并且在教学过程中,注重了阶段性的反思小结,使学生能够及时总结知识和方法.本节课的开放性还不够,探究梯子倾斜程度时,学生的一些奇思妙想没有给予展示机会.第一个环节内容设计多了一些,所以导致后面的教学处理上稍显仓促.对第一个环节的处理力求更加简洁,并大胆放手让学生去探索、去发现,真正让学生成为学习的主人.随堂练习(教材第4页)1.解:能.tan C====.2.解:根据题意,得AB=200,BC=55,则AC===5,所以山的坡度为=≈0.286.习题1.1(教材第4页)1.解:∵BC===12,∴tan A==,tan B==.2.解:∵tan A==,BC=3,∴AC=BC=.4.tan A=.学生学习时首先通过情境题了解本节课学习的主要任务,做到有的放矢,然后利用“由一般到特殊”的数学思想,通过三个探究活动逐步得出梯子的倾斜程度与tan A的关系(∠A和tan A之间的关系),在探究的过程中可以通过自主探究与合作交流的方式抓住重点,突破难点.学生在运用正切解决问题时,一定要注意其前提条件——在直角三角形中,找准直角是解题的关键.而有些题目需要作辅助线构造直角三角形,也可以通过角度的转化进行求解,同时还要注意数形结合思想的运用.如图所示,设计建造一条道路,路基的横断面为梯形ABCD,设路基高为h,两侧的坡角分别为α,β.已知h=2m,α=45°,tanβ=,CD=10m.求路基底部AB的宽.〔解析〕如图所示,过D,C分别作下底AB的垂线,垂足分别为E,F.在Rt△ADE和Rt△BCF中,可根据h的长以及坡角的度数或坡比的值,求出AE,BF的长,进而可求得AB的值.解:如图所示,过D作DE⊥AB于E,过C作CF⊥AB于F,∴DE∥CF.∵四边形ABCD为梯形,∴AB∥CD,∴EF=CD=10m.∴四边形DCFE为矩形.在Rt△ADE中,α=45°,DE=h=2m,∴CF=DE=h=2m.在Rt△BCF中,tanβ=,CF=2m,∴BF=2CF=4(m).故AB=AE+EF+BF=AE+CD+BF=2+10+4=16(m).答:路基底部AB的宽为16m.[解题策略]此题主要考查了坡度问题的应用,求坡度、坡角问题通常要转换为解直角三角形的问题,必要时应添加辅助线,构造出直角三角形.。
高中数学教案——正切函数的图象和性质 第一课时
课 题：410正切函数的图象和性质（1）教学目的：1．理解并掌握作正切函数和余切函数图象的方法．2．理解并掌握用正切函数和余切函数的图象解最简三角不等式的方法． 教学重点：勇单位圆中的正切线作正切函数的图象． 教学难点：作余切函数的图象． 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入：正切线：首先练习正切线，画出下列各角的正切线：正切线是AT ．现在我们来作正切函数和余切函数的图象． 二、讲解新课：正切函数x y tan =的图象：1．首先考虑定义域：()z k k x ∈+≠2ππ2．为了研究方便，再考虑一下它的周期：()()()⎪⎭⎫⎝⎛∈+≠∈=--=++=+z k k x R x x x x x x x ,2,tan cos sin cos sin tan πππππ且⎪⎭⎫⎝⎛∈+≠∈=∴z k k x R x x y ,2,tan ππ且的周期为π=T （最小正周期） 3．因此我们可选择⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ的区间作出它的图象根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数R x x y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ππ2的图象，称“正切曲线”正切函数的性质： 1．定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ， 2．值域：R3．观察：当x 从小于()z k k ∈+2ππ，2π+π−→−k x 时，∞−→−x tan当x 从大于()z k k ∈+ππ2，ππk x +−→−2时，-∞−→−x tan4．周期性：π=T5．奇偶性：()x x tan tan -=-奇函数6．单调性：在开区间z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛++-ππππ2,2内，函数单调递增余切函数y=cotx 的图象及其性质（要求学生了解）：⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==2tan 2tan cot ππx x x y ——即将x y tan =的图象，向左平移2π个单位，再以x 轴为对称轴上下翻折，即得x y cot =的图象定义域：z k k x R x ∈≠∈,π且 值域：R ， 当z k k k x ∈⎪⎭⎫⎝⎛+∈2,πππ时0>y ，当z k k k x ∈⎪⎭⎫⎝⎛-∈πππ,2时0<y周期：π=T奇偶性：奇函数单调性：在区间()()ππ1,+k k 上函数单调递减三、讲解范例： 例1比较⎪⎭⎫ ⎝⎛-413tan π与⎪⎭⎫⎝⎛-517tan π的大小 解：tan 413tan -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-π 4π，52tan 517tan ππ-=⎪⎭⎫⎝⎛-，又：⎪⎭⎫⎝⎛=<<2,0tan ,5240πππ在x y 内单调递增， ⎝⎛->⎪⎭⎫ ⎝⎛-->-∴<∴ππππππ517tan 413tan ,52tan 4tan ,52tan4tan即例2讨论函数⎪⎭⎫⎝⎛+=4tan πx y 的性质 略解：定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈z k k x R x x ,4|ππ且 值域：R 奇偶性：非奇非偶函数 单调性：在⎪⎭⎫⎝⎛+-4,43ππππk k 上是增函数 图象：可看作是x y tan =的图象向左平移4π单位 例3求函数y ＝tan2x 的定义域解：由2x ≠k π＋2π，(k ∈Z ) 得x ≠2πk ＋4π，(k ∈Z )∴y ＝tan2x 的定义域为：｛x ｜x ∈R 且x ≠2πk ＋4π，k ∈Z ｝ 例4观察正切曲线写出满足下列条件的x 的值的范围：tan x ＞0解：画出y ＝tan x 在(－2π，2π)上的图象，不难看出在此区间上满足tan x ＞0的x 的范围为：0＜x ＜2π结合周期性，可知在x ∈R ，且x ≠k π＋2π上满足的x 的取值范围为(k π，k π＋2π)(k ∈Z ) 例5不通过求值，比较tan135°与tan138°的大小解：∵90°＜135°＜138°＜270°又∵y ＝tan x 在x ∈(90°，270°)上是增函数 ∴tan135°＜tan138°四、课堂练习： 1y ＝tan （ax ＋6π）（a ≠0）的最小正周期为( )aa a a ππππ D. ||C. ||2B. 2A.2．．奇函数的是( ) A y ＝sin x ＋tan x Ｂ．y ＝x tan x －1 Ｃ．y ＝x x x cos 1tan sin +- Ｄ．y ＝lg xxtan 1tan +-3( )A ．y ＝cos x 在第二象限是减函数 Ｂ．y ＝tan x 在定义域内是增函数Ｃ．y ＝｜cos （2x ＋3π）｜的周期是2πＤ．y ＝sin ｜x ｜是周期为2π的偶函数4y ＝sin x ＋tan x ，x ∈［－4π，4π］的值域为 5y ＝cot x －tan x 的周期为 6y ＝xx22tan 1tan 1+-的周期为 7y ＝｜tan x ｜的图象，并观察函数的最小正周期和单调区间8cot x ＝－tan （2π＋x ），并指出通过怎样的图象变换可由y ＝tan x 的图象得到y ＝cot x 的图象9y ＝xx2tan 1tan 2-的图象，并观察函数的周期 参考答案：1 2B 3C 4［－122,122+-］ 52π6π 7函数y ＝｜tan x ｜的图象如下图： 函数y ＝｜tan x ｜的周期为π单调递增区间为［k π，2π＋k π］，k ∈Z 单调递减区间为(－2π＋k π，k π］，k ∈Z8(略)9函数y ＝xx2tan 1tan 2-的图象如下图：周期为π五、小结 本节课我们研究了正切函数和余切函数的图象和性质，并能在解题中应用六、课后作业：1正切函数在其定义域上有最值吗?答：没有，因为正切函数的值域为R 且不等于k π＋2π(k ∈Z )． 2在下列函数中，同时满足的是( )①在(0，2π)上递增；②以2π为周期；③是奇函数 A y ＝tan x B y ＝cos x C y ＝tan21x D y ＝－tan x 答案：C3函数y ＝tan(2x ＋4π)的图象被平行直线)(82Z ∈+=k k x ππ隔开，与x 轴交点的坐标是))(0,82(Z ∈-k k ππ与y 轴交点的坐标是(0，1)，周期是2π，定义域的集合是},82|{Z R ∈+≠∈k k x x x ππ且，值域的集合是R ，它是非奇非偶函数4函数y ＝x sin -＋x tan 的定义域是( )A (2k ＋1)π≤x ≤(2k ＋1)π＋2π，k ∈Z B (2k ＋1)π＜x ＜(2k ＋1)π＋2π，k ∈ZC (2k ＋1)π≤x ＜(2k ＋1)π＋2π，k ∈ZD (2k ＋1)π＜x ＜(2k ＋1)π＋2π或x ＝k π，k ∈Z 解：由⎩⎨⎧≥≤0tan 0sin x x ，得(2k ＋1)π≤x ＜(2k ＋1)π＋2π答案：C5已知y ＝tan 2x －2tan x ＋3，求它的最小值解：y ＝(tan x －1)2＋2 当tan x ＝1时，y min ＝2七、板书设计（略） 八、课后记：\\教务处1\本地磁盘 (g)。
1.1第1课时正切(教案)2023春九年级下册数学(北师大版)安徽
此外，实践活动和小组讨论环节，学生们积极参与，课堂氛围活跃。通过分组讨论和实验操作，学生不仅巩固了正切知识，还学会了将所学运用到实际问题中。但在这一过程中，我也注意到有些学生在讨论中过于依赖同伴，缺乏独立思考。因此，我需要在接下来的教学中，引导学生培养独立思考和解决问题的能力。
在学生小组讨论环节，我努力扮演好引导者的角色，帮助学生发现问题、分析问题。但我也发现，部分学生在讨论中容易偏离主题，导致讨论效果不佳。针对这个问题，我需要在今后的教学中加强对学生的引导，确保讨论主题的聚焦和深入。
最后，总结回顾环节，学生对正切知识有了更深入的理解。但在课后，我了解到仍有部分学生对正切的应用存在疑问。为了帮助学生更好地消化吸收所学知识，我计划在课后加强辅导，针对学生的疑问进行解答，确保他们能够真正掌握正切这一知识点。
1.数感与符号意识：通过正切定义的学习，使学生理解并运用符号表示正切函数，增强数感与符号意识。
2.空间观念与几何直观：通过正切图像的绘制与分析，培养学生探讨正切的性质，培养推理与论证能力，提高数学思维水平。
4.数学建模与问题解决：设计实际问题，让学生运用正切知识解决，培养数学建模与问题解决的能力。
-正切图像：绘制并分析正切图像，了解其曲线在0°到90°之间单调递增的特点。这是本节课的重点，需要教师引导学生观察、思考，加深对正切函数图像的认识。
举例：在讲解正切性质时，可以结合具体角度（如30°、45°、60°等）的正切值，让学生观察正切值的变化规律，从而加深对正切性质的理解。
高中数学第一章 §7 第1课时 正切函数的定义 正切函数的图像与性质
第1课时 正切函数的定义 正切函数的图像与性质[核心必知]1．正切函数(1)定义：如果角α满足：α∈R ，α≠π2＋k π(k ∈Z )，那么，角α的终边与单位圆交于点P (a ，b )，唯一确定比值b a .根据函数的定义，比值b a是角α的函数，我们把它叫作角α的正切函数，记作y ＝tan_α，其中α∈R ，α≠π2＋k π，k ∈Z .(2)与正弦、余弦函数的关系：sin xcos x＝tan_x ．(3)三角函数：正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，它们统称为三角函数．(4)正切值在各象限内的符号如图． 2．正切线单位圆与x 轴正半轴交于点A ，过点A 作x 轴的垂线AT ，与角α的终边或其反向延长线交于点T .则称线段AT 为角α的正切线．当角α的终边在y 轴上时，角α的正切线不存在．3续表[问题思考]1．你能描述正切曲线的特征吗？提示：正切曲线是被互相平行的直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )所隔开的无穷多支曲线组成的，是间断的，它没有对称轴，只有对称中心．2．正切曲线在整个定义域上都是增加的吗？提示：不是．正切函数定义域是{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }，正切曲线在每一个开区间(k π－π2，k π＋π2)(k ∈Z )上是增加的，它是周期函数，但在整个定义域上不是增加的．3．函数y ＝|tan x |的周期是π2吗？提示：不是．y ＝|tan x |的周期仍为π.讲一讲1．已知tan α＝2，利用三角函数的定义求sin α和cos α. [尝试解答] 在α的终边上取一点P (a ，2a )且a ≠0， 则有x ＝a ，y ＝2a ，r ＝a 2＋4a 2＝5|a |. ∵tan α＝2>0，∴α在第一象限或第三象限． 当α在第一象限时，a >0，则r ＝5a . ∴sin α＝y r＝2a 5a＝255，cos α＝x r ＝a 5a ＝55. 当α在第三象限时，a <0，则r ＝－5a . ∴sin α＝y r ＝2a －5a ＝－255，cos α＝x r ＝a －5a ＝－55.1．若P (x ，y )是角α终边上任一点，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x(x ≠0)，其中r ＝x 2＋y 2.2．当角α的终边上的点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况及解题的需要对参数进行分类讨论．练一练1．角α的终边经过点P (－b ，4)且cos α＝－35，求tan α的值．解：由已知可知点P 在第二象限，∴b ＞0. ∵cos α＝－35，∴－b b 2＋16＝－35，解得b ＝3，tan α＝－43.讲一讲2．画出函数y ＝|tan x |的图像，并根据图像写出使y ≤1的x 的集合． [尝试解答] ∵y ＝|tan x |＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ， k π≤x ＜k π＋π2，（k ∈Z ），－tan x ， k π－π2＜x ＜k π，（k ∈Z ），画出其图像，如图所示实线部分．由图像可知x 的集合为{x |k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z }．1．三点两线画图法“三点”是指⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，－1，(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1；“两线”是指x ＝－π2和x ＝π2.在三点、两线确定的情况下，类似于五点法作图，可大致画出正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的简图，然后向右、向左扩展即可得到正切曲线．2．如果由y ＝f (x )的图像得到y ＝f (|x |)及y ＝|f (x )|的图像，可利用图像中的对称变换法完成；即只需作出y ＝f (x )(x ≥0)的图像，令其关于y 轴对称便可以得到y ＝f (|x |)(x ≤0)的图像；同理只要作出y ＝f (x )的图像，令图像“上不动下翻上”便可得到y ＝|f (x )|的图像．3．利用函数的图像可直观地研究函数的性质，如判断奇偶性、周期性、解三角不等式等． 练一练2．[多维思考] 根据讲2中函数y ＝|tan x |的图像，讨论该函数的性质． 解：(1)定义域：{x |x ∈R ，x ≠π2＋k π，k ∈Z }．(2)值域：[0，＋∞)．(3)周期性：是周期函数，最小正周期为π. (4)奇偶性：图像关于y 轴对称，函数是偶函数． (5)单调性：在每一个区间(－π2＋k π，k π](k ∈Z )上是减少的，在每一个区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π，π2＋k π(k ∈Z )上是增加的．(6)对称性：对称轴x ＝k π2，k ∈Z .讲一讲3．(1)求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的单调区间．(2)比较tan 21π4与tan 17π5的大小．[尝试解答] (1)∵y ＝tan x ，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上是增加的，∴－π2＋k π＜12x －π4＜π2＋k π，k ∈Z .∴2k π－π2＜x ＜2k π＋3π2，k ∈Z ，即函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的单调递增区间是⎝ ⎛－π2＋2k π，⎭⎪⎫3π2＋2k π(k ∈Z )． (2)tan 21π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋5π＝tan π4， tan 17π5＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋2π5＝tan 2π5.又∵函数y ＝tan x 在(0，π2)内单调递增，而0<π4<2π5<π2，∴tan π4<tan 2π5，即tan 21π4<tan 17π5.1．正切函数在每一个单调区间内都是增加的，在整个定义域内不是增加的，另外正切函数不存在减区间．2．对于函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数)的单调区间问题，可先由诱导公式把x 的系数化为正值，再利用“整体代换”思想，求得x 的范围即可．3．比较两个正切函数值的大小，要先利用正切函数的周期性将正切值化为区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内两角的正切值，再利用正切函数的单调性比较大小．练一练3．函数f (x )＝tan(2x －π3)的单调递增区间为________．解析：由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z )，得k ×π2－π12＜x ＜k ×π2＋512π(k ∈Z )，所以函数的单调递增区间为(k π2－π12，k π2＋5π12)(k ∈Z )． 答案：(k π2－π12，k π2＋5π12)(k ∈Z )求函数y ＝11－tan x 的定义域．[错解] 由1－tan x ≠0得tan x ≠1， 解得x ≠k π＋π4，k ∈Z ，∴函数的定义域为{x |x ≠k π＋π4，k ∈Z }．[错因] 求函数的定义域不仅考虑使函数式有意义，还得考虑正切函数本身固有的x ≠k π＋π2，k ∈Z 这一条 件．上面的解法只考虑了1－tan x ≠0，而没有考虑x ≠k π＋π2，k ∈Z ，因而是错误的．[正解] 由⎩⎪⎨⎪⎧1－tan x ≠0，x ≠k π＋π2，k ∈Z ， 得x ≠k π＋π4且x ≠k π＋π2，k ∈Z .∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π4且x ≠k π＋π2，k ∈Z .1．函数y ＝tan(x ＋π)是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数 解析：选A ∵y ＝tan(x ＋π)＝tan x . ∴此函数是奇函数．2．函数y ＝tan(x ＋π4)的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－π4B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π－π4，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈Z解析：选 D 由x ＋π4≠k π＋π2，k ∈Z 得，x ≠k π＋π4，k ∈Z ，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈Z .3．已知角α的终边上一点P (－2，1)，则tan α＝( ) A.12 B ．2 C ．－2 D ．－12解析：选D tan α＝y x ＝1－2＝－12. 4．函数y ＝tan x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4的值域是________．解析：∵函数y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上为增加的， ∴0≤tan x ≤1. 答案：[0，1]5．比较大小：tan 2________tan 9. 解析：∵tan 9＝tan(－2π＋9)， 而π2＜2＜－2π＋9＜π，且y ＝tan x 在(π2，π)内是增加的．∴tan 2＜tan(－2π＋9)， 即tan 2＜tan 9. 答案： ＜6．利用正切函数的图像作出y ＝tan x ＋|tan x |的图像，并判断此函数的周期性． 解：∵当x ∈(k π－π2，k π]时，y ＝tan x ≤0，当x ∈(k π，k π＋π2)时，y ＝tan x ＞0，∴y ＝tan x ＋|tan x |＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ∈（k π－π2，k π]，k ∈Z ，2tan x ，x ∈（k π，k π＋π2），∈Z .图像如图所示．由y ＝tan x ＋|tan x |的图像可知，它是周期函数，周期为π.一、选择题1．已知θ是第二象限角，则( ) A ．tan θ2＞0 B ．tan θ2＜0C ．tan θ2≤0D ．tan θ2的符号不确定解析：选A ∵θ是第二象限角， ∴θ2是第一或第三象限角， ∴tan θ2＞0.2．函数y ＝2tan(2x －π4)的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π－π4，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π2＋3π8，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π＋3π4，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π2＋π8，k ∈Z 解析：选B 由2x －π4≠k π＋π2，k ∈Z ，解得x ≠k π2＋3π8，k ∈Z . 3．函数y ＝tan(sin x )的值域是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22C ．[－tan 1，tan 1]D ．[－1，1] 解析：选C ∵－1≤sin x ≤1， ∴－π2<－1≤sin x ≤1<π2.∵y ＝tan x 在(－π2，π2)上是增加的．∴y ∈[－tan 1，tan 1]． 4．函数f (x )＝sin x|cos x |在区间[－π，π]内的大致图像是下列图中的( )解析：选C f (x )＝sin x|cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ，cos x >0－tan x ，cos x <0 ＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ，－π2<x <π2，－tan x ，－π≤x <－π2或π2<x ≤π.二、填空题5．若tan x ≥－3，则x 的取值范围是________． 解析：作出y ＝tan x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2的图像，如图所示． 令y ＝－3，得x ＝－π3，∴在(－π2，π2)中满足不等式tan x ≥－3的x 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π3，π2. 由正切函数周期性，可知：原不等式的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π2(k ∈Z )．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π2(k ∈Z )6．函数y ＝lg(tan x )的单调增区间是________． 解析：函数y ＝lg(tan x )有意义，则tan x >0， ∴函数的增区间为(k π，k π＋π2)(k ∈Z )．答案：⎝⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π2(k ∈Z ) 7．函数y ＝sin x 与y ＝tan x 的图像在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上交点个数是________．解析：在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，tan x >sin x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0时，tan x <sin x ，所以y ＝sin x 与y＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上只有一个交点(0，0)．答案：18．已知函数y ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－12x ，则函数的对称中心是________． 解析：y ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－12x ＝－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6.∵y ＝tan x 的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2，0， ∴令12x －π6＝k π2，得x ＝k π＋π3，k ∈Z .∴y ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－12x 的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π3，0，k ∈Z .答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π3，0(k ∈Z ) 三、解答题9．已知f (x )＝a sin x ＋b tan x ＋1，f (－2π5)＝7， 求f (2 012π5)． 解：设g (x )＝a sin x ＋b tan x ，因为sin x 与tan x 都是奇函数，所以g (－x )＝－g (x )，即g (－x )＋g (x )＝0，故f (－x )＋f (x )＝g (－x )＋1＋g (x )＋1＝2，又易得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 012π5＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫402π＋2π5＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π5，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π5＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π5＝2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π5＝7， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 012π5＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π5＝－5. 10．已知函数f (x )＝x 2＋2x tan θ－1，x ∈[－1， 3 ]，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2. (1)当θ＝－π6时，求函数f (x )的最大值与最小值； (2)求θ的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－1， 3 ]上是单调函数．解：(1)当θ＝－π6时， f (x )＝x 2－233x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －332－43，x ∈[－1， 3 ]． ∴当x ＝33时，f (x )的最小值为－43； 当x ＝－1时，f (x )的最大值为233. (2)函数f (x )＝(x ＋tan θ)2－1－tan 2θ的图像的对称轴为x ＝－tan θ.∵y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数，∴－tan θ≤－1或－tan θ≥3， 即tan θ≥1或tan θ≤－ 3. 又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2， ∴θ的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，－π3∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 .。
1.1锐角三角函数第1课时正切(教案)
其次，在新课讲授环节，我发现学生在理解正切函数定义和计算公式时，还存在一定的困难。这说明对于基础概念和公式的讲解，还需要更加细致和生动。在今后的教学中，我可以尝试使用更多的教具和实物，帮助学生形象地理解正切函数的定义和计算方法。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调正切函数的定义和计算这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解，例如，通过不同角度的正切值计算，让学生看到正切值随角度变化的规律。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与正切函数相关的实际问题，如测量树的高度或建筑物的高度。
突破方法：总结记忆技巧，如“正切等于对边除邻边”，并通过大量练习巩固记忆。
（3）实际问题的解决：学生面对实际问题，不知如何运用正切函数建立数学模型。
突破方法：提供丰富的实际问题案例，引导学生学会分析问题、建立数学模型，并逐步解决问题。
（4）正切函数的性质：学生对正切函数随角度变化的规律理解不深，难以把握其性质。
1.1锐角三角函数第1课时正切（教案）
一、教学内容
本节课选自《数学》八年级上册第十一章“锐角三角函数”的第一课时，主要内容为正切函数的定义及应用。具体内容包括：
1.理解正切函数的概念：通过观察直角三角形的对边与邻边的比值，引出正切函数的定义。
2.掌握正切函数的表示方法：利用直角三角形的边长关系，推导出正切函数的计算公式，即tanα =对边/邻边。
第1课时正切课件
(1)如图23－1－6，Rt△DEF中，∠F＝90°，EF＝5，DF＝12 ，求tanD，tanE的值；
(2)如图23－1－7，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝25，AC＝ 7，求tanA.
•第1课时正切
•8
第1课时 正切
勾股定理先求出另一个直角边长，然后再根据定义解答．
•第1课时正切
•10
第1课时 正切
探究问题二 会根据坡角、坡度的概念解答简单的实际问题
例 2 [教材习题变式题] 小明沿坡度为 1∶2 的山坡走了 20 5米，那么他相当于在水平地面上走了多少米？
[解析] 根据坡度的概念，i＝hl ＝1∶2，设 h＝x 米，则 l ＝2x 米，根据勾股定理可以求出 x 的值．
∵tanE＝DEFF，DF＝12，EF＝5，∴tanE＝152.
(2)∵∠C＝90°，AB＝25，AC＝7，
∴BC＝ 252－72＝24，∴tanA＝ABCC＝274.
[归纳总结] 根据正切的定义，求一个锐角的正切必须在直
角三角形中，且用锐角的对边与邻边的比表示．如果已知
直角三角形中一直角边和斜边，求某锐角的正切值，根据
•2
第1课时 正切
2．如图 23－1－2，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，三边
长分别为 a，b，c，则 tanA 等于( B )
A.ac
B.ba
C.ba
D.bc
•第1课时正切
•3
第1课时 正切
[归纳] 1.锐角的正切
在 Rt△ABC 中，锐角 A 的 对_边___与 邻_边___的比，叫 做∠A 的正切，记作 tanA，tanA＝∠ ∠AA的 的对 邻边 边.为了记忆方便，
23.1.1 第1课时 正切
1.理解锐角的三角函数中正切的概念及其与现实生活的联系； （重点） 2.能在直角三角形中求出某个锐角的正切值，并进行简单计
算； (重点) 3.了解坡度、坡角的概念，能解决与坡度、坡角有关的简单实
际问题.（难点）
1
导入新课
回顾与思考 1.在Rt△ABC中，∠C=90°,AB2=__A__C_2_+_B_C__2 __. 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，AC=___8___.
A
解: 1tan A BC 62 32 3 3 3.
AC 3
3
6 ┌3
tan B AC
3
3 3. B
C (1)
BC 62 32 3 3 3
提示: 求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.
19
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,
(2)如图(2),BC=3,tanA=
AB AC2 BC2 36 4 2 1（ 0 米）.
【方法总结】理解坡度的概念是解决与坡度有关的计算 题的关键．
16
当堂练习
1.如图,△ABC是等腰直角三角形,你能根据图中所给数据求出 tanC吗？
B
1.5
┌
A
D
C
解：tan C BD 1.5 1. DC 1.5
17
14
二 坡度、坡角
如图,正切也经常用来描述山坡的坡度.例如，有一山坡在水
平方向上每前进100m就升高60m,那么山坡的坡度i (即tanα)就
是:
i tan h 60 3 .
l 100 5
坡面与水平面的夹角(α)称为坡角,坡 面的铅直高度与水平宽度的比称为坡 度i(或坡比),即坡度等于坡角的正切.
任意角的三角函数,(第一课时)教案
第一章基本初等函数（Ⅱ）1．2 任意角的三角函数第一教案――――――――――――――――――――――――――――――――――――教材教案第1课时任意角的三角函数（一）【教学目标】1、知识目标（1）借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；（2）从任意角的三角函数的定义认识其定义域、函数值的符号；（3）根据定义理解公式一；2．能力目标能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题。
3、情感目标让学生积极参与知识的形成过程，经历知识的“发现”过程，获得“发现”的经验，培养合情猜测能力。
【重点难点】1、重点任意角的三角函数的定义。
2、难点用角的终边上的点刻画三角函数。
案例（一）教学过程教学过程1、观察投影片，思考问题：“我们已经学过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数的函数，你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗？”教师——请同学们把给定锐角α放在直角坐标系中，研究其正弦、余弦、正切，并给出投影，图1.2－1。
学生——观察图1.2－1，在锐角的终边上任取一点P （a,b ）,根据锐角三角函数的定义写出锐角三角函数的正弦、余弦、正切。
教师——提出探究性问题：锐角三角函数的这些坐标表示，形式上与点P 的坐标值有关，点P 的位置不同，表示式中的a,b 也就不同，但实际上，作为锐角三角函数的值与终边上点P 的位置选择有关吗？请同学交流、讨论。
学生——利用相似三角形知识，不难探究出αααtan ,cos ,sin 的值与点P 的位置选择无关的结论。
师生——由此，师生达成共识：为了表示角α的三角函数值，可在α的终边上取一个“比较好”的特殊点。
同学们认为哪个点比较好？（发表各自的观点，说明理由）最后得出，将α的终边与单位圆的交点作为这个特殊点来表示锐角三角函数的值比较好，形式简单！2、任意角的三角函数的定义。
教师——到目前为止，我们在角和函数方面做了两个方面的工作，一是推广了角的概念，一是给出了锐角三角函数的坐标表示，那么，将这两个工作成果结合起来，你能给任意角定义各三角函数吗？请交流讨论给出你们的关点。
正切函数课件(23张)
C .b<c<a D. b<a<c
2.已知θ是三角形的一个内角，且有tanθ≥ -1,
则θ的取值范围是 ( C )
A.
3 4
,
B.
0, 2
C.
0,
2
3 4
,
D.以上都不对
3.求函数 y＝ tan x 1的定义域. 解：要使函数有意义，需tan x+1≥0， 即tan x≥-1.结合正切函数的图像可知
§7 正切函数 7.1 正切函数的定义 7.2 正切函数的图像与性质
在前两节中，我们学习了任意角的正、余弦 函数，并借助于它们的图像研究了它们的性质.
今天我们类比正弦、余弦函数的学习方法， 在直角坐标系内学习任意角的正切函数.
1.了解任意角的正切函数的概念.(重点) 2.能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像.(重点) 3.根据正切函数的图像熟练推导出正切函数的性 质.(难点) 4.能熟练掌握正切函数的图像与性质.(重点)
3
O
2
函数 性质
定义域
值域
y=tan x
{x | x R, x k, k Z} 2
R
奇偶性
奇函数
周期性 单调性
周期kπ(k∈Z,k≠0),
最小正周期是π
在每一个区间
( k, k)(k Z) 22
上是增加的
例1． 若 tanα＝ 2 ，借助三角函数定义求角α的正弦函 3
数值和余弦函数值.
4
解: 设t x ，
4
因为y
tan
t在开区间
-
2
k
,
2
k
（ k
Z）上是增加的，
所以
2
第1课时 正切(1)
4m ┐α 8m （甲）
过程示范：
13m β
5m ┌
（乙）
想一想： 怎样刻画一个山坡的倾斜程度呢？
1、坡角；
坡面
坡角
学以致用 （选自课本第4页随堂练习第2题改编）
2. 如图，某人从山脚下的点A走了130m后到达山顶的点B. 已知点B到山脚的垂直距离为50m，求山坡的坡度.
B
A
C
巩固练习 （选自课本第4页习题1.1第1题）
1. 在 Rt△ABC中，∠C= 90°，AC=5， AB=13，求tanA和tanB.
B 13
C 5A
联系拓广（选自课本第5页第4题）
4. 在 Rt△ABC中，∠C=90°， tan A 与tan B有什么关系？
A
b
CaB
课堂小结
在Rt∆ABC中
B
⑴
∠A的对边
∠A的正切
tan
A
∠A的对边 ∠A的邻边
当水平宽度相等时，竖直高度越大，梯子越陡.
A D
4m 3m
B 2m
C E 1.5m F
图3
M
N 1.3m
图4
竖直高度与水平宽度的比值越大，梯子越陡.
（1）Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系?
Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2
（2）B1C1 和 B2C2 有什么关系?
AC1 AC2
B1
┌
当锐角A变化时，tanA的值也随之变化.
A
C
∠A的邻边
⑵ ∠A越大，tanA越大，梯子越陡.
(3)tanA与tanB互为倒数，即 tanA·tanB=1
（4）正切经常用来描述山坡的坡度（坡 比），正切值越大，坡度越大，山坡越 陡.