2011年中考数学压轴题复习讲义：动点问题详细分层解析(四)

2011年中考数学压轴题复习讲义动点问题详细分层解析（四）专题四：函数中因动点产生的相似三角形问题 例题 如图1，已知抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B 。

⑴求抛物线的解析式；（用顶点式求得抛物线的解析式为xx 41y 2+-=）⑵若点C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求D 点的坐标； ⑶连接OA 、AB ，如图2，在x 轴下方的抛物线上是否存在点P ，使得△OBP 与△OAB 相似？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。

分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线为四边形的边和对角线来考虑问题以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB 为边和对角线两种情况 2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。

根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。

②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。

③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。

练习1、已知抛物线2y ax bx c =++经过0P E ⎫⎪⎪⎝⎭及原点(00)O ，． （1）求抛物线的解析式．（由一般式得抛物线的解析式为223y x x=-） （2）过P 点作平行于x 轴的直线PC 交y 轴于C 点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC下方的抛物线上，任取一点Q ，过点Q 作直线QA 平行于y 轴交x 轴于A 点，交直线PC 于B 点，直线QA 与直线PC 及两坐标轴围成矩形OABC ．是否存在点Q ，使得OPC △与PQB △相似？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，说明理由．（3）如果符合（2）中的Q 点在x 轴的上方，连结OQ ，矩形OABC 内的四个三角形OPC PQB OQP OQA ，，，△△△△之间存在怎样的关系？为什么？练习2、如图，四边形OABC A 在x 轴上，点C 在y 轴上，将边BC 折叠，使点B 落在边OA 的点CE =3tan 4EDA ∠=。

（1）判断OCD △与ADE △是否相似？请说明理由；（2）求直线CE 与x 轴交点P 的坐标；（3）是否存在过点D 的直线l ，使直线l 、直线CE 与x 轴所围成的三角形和直线l 、直线CE 与y 轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由。

练习3、在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A B ，两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，其顶点的横坐标为1，且过点(23)，和(312)--，．（1）求此二次函数的表达式；（由一般式得抛物线的解析式为223y x x =-++）（2）若直线:(0)l y kx k =≠与线段BC 交于点D （不与点B C ，重合），则是否存在这样的直线l ，使得以B O D ，，为顶点的三角形与BAC △相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D 的坐标；若不存在，请说明理由；(10)(30),(03)A B C -，，，， （3）若点P 是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角PCO ∠与，并写出此时点P 的横坐标p x练习4 (2009广东湛江市) 如图所示，已知抛物线21y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求A 、B 、C 三点的坐标． （2）过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积．（3）在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG ⊥x 轴于点G ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与∆PCA 相似．若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由．练习5、已知：如图，在平面直角坐标系中，ABC △是直角三角形，90ACB ∠=，点A C，的坐标分别为(30)A -，，(10)C ，，3tan 4BAC ∠=．（1）求过点A B ，的直线的函数表达式；点(30)A -，，(10)C ，，B (13)，，3944y x =+（2）在x 轴上找一点D ，连接DB ，使得ADB △与ABC △相似（不包括全等），并求点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，如P Q ，分别是AB 和AD 上的动点，连接PQ ，设AP DQ m ==，问是否存在这样的m 使得APQ △与ADB △相似，如存在，请求出m 的值；如不存在，请说明理由． 参考答案例题、解:⑴由题意可设抛物线的解析式为1)2x (a y 2+-=∵抛物线过原点，∴1)20(a 02+-=Ox∴41a -=.抛物线的解析式为1)2x (41y 2+--=,即xx 41y 2+-=⑵如图1,当OB 为边即四边形OCDB 是平行四边形时,CD ∥＝OB, 由1)2x (4102+--=得4x ,0x 21==,∴B(4,0),OB ＝4.∴D 点的横坐标为6将x ＝6代入1)2x (41y 2+--=,得y ＝－3,∴D(6,－3);根据抛物线的对称性可知,在对称轴的左侧抛物线上存在点D,使得四边形ODCB 是平行四边形,此时D 点的坐标为(－2,－3),当OB 为对角线即四边形OCBD 是平行四边形时,D 点即为A点,此时D 点的坐标为(2,1)⑶如图2，由抛物线的对称性可知:AO ＝AB,∠AOB ＝∠ABO. 若△BOP 与△AOB 相似,必须有∠POB ＝∠BOA ＝∠BPO设OP 交抛物线的对称轴于A′点,显然A′(2,－1)∴直线OP 的解析式为x21y -= 由xx 41x 212+-=-, 得6x ,0x 21==.∴P(6,－3)过P 作PE ⊥x 轴,在Rt △BEP 中,BE ＝2,PE ＝3, ∴PB ＝13≠4.∴PB≠OB,∴∠BOP≠∠BPO, ∴△PBO 与△BAO 不相似,同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P 点. 所以在该抛物线上不存在点P,使得△BOP 与△AOB 相似. 练习1、解：（1）由已知可得：3375040a a c ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩解之得，203a b c =-==，．因而得，抛物线的解析式为：223y x x=-．（2）存在．设Q 点的坐标为()m n ，，则223n m =-，要使,BQ PB OCP PBQ CP OC =△∽△，=，223m +=解之得，12m m ==．当1m =2n =，即为Q点，所以得2)Q要使,BQ PB OCP QBP OC CP =△∽△，则有33n -=，即223333m +=解之得，12m m ==m =时，即为P 点，当1m =3n =-，所以得3)Q -．故存在两个Q 点使得OCP △与PBQ △相似．Q点的坐标为3)-．（3）在Rt OCP △中，因为tan 3CP COP OC ∠==．所以30COP ∠= ．当Q点的坐标为时，30BPQ COP ∠=∠=．所以90OPQ OCP B QAO ∠=∠=∠=∠=．因此，OPC PQB OPQ OAQ ，，，△△△△都是直角三角形． 又在Rt OAQ △中，因为tan QA QOA AO ∠==．所以30QOA ∠= ．图1即有30POQ QOA QPB COP ∠=∠=∠=∠=．所以OPC PQB OQP OQA △∽△∽△∽△，又因为QP OP QA OA ，⊥⊥30POQ AOQ ∠=∠= ，所以OQA OQP △≌△．练习2解：（1）OCD △与ADE △相似。

理由如下：由折叠知，90CDE B ∠=∠=°，1290∠+∠=∴°，13902 3.∠+∠=∴∠=∠ ，又90COD DAE ∠=∠=∵°，OCD ADE ∴△∽△。

（2）3tan 4AE EDA AD ∠==∵，∴设AE=3t ，则AD=4t 。

由勾股定理得DE=5t 。

358OC AB AE EB AE DE t t t ==+=+=+=∴。

由（1）OCD ADE △∽△，得OC CDAD DE =， 845t CD t t =∴，10CD t =∴。

在DCE △中，222CD DE CE +=∵，222(10)(5)t t +=∴，解得t=1。

∴OC=8，AE=3，点C 的坐标为（0，8），点E 的坐标为（10，3），设直线CE 的解析式为y=kx+b ，图21038k b b +=⎧⎨=⎩，∴，解得128k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，，182y x =-+∴，则点P 的坐标为（16，0）。

（3）满足条件的直线l 有2条：y=－2x+12，y=2x －12。

如图2：准确画出两条直线。

练习3解：（1） 二次函数图象顶点的横坐标为1，且过点(23)，和(312)--，， ∴由1242393212.ba abc a b ⎧-=⎪⎪++=⎨⎪-+=-⎪⎩，， 解得123.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，，∴此二次函数的表达式为 223y x x =-++．（2）假设存在直线:(0)l y kx k =≠与线段BC 交于点D （不与点B C ，重合），使得以B O D ，，为顶点的三角形与BAC △相似．在223y x x =-++中，令0y =，则由2230x x -++=，解得1213x x =-=，(10)(30)A B ∴-，，，．令0x =，得3y =．(03)C ∴，． 设过点O 的直线l 交BC 于点D ，过点D 作DE x ⊥轴于点E ．点B 的坐标为(30)，，点C 的坐标为(03)，，点A 的坐标为(10)-，．4345.AB OB OC OBC ∴===∠=，，BC ∴==要使BOD BAC △∽△或BDO BAC △∽△，已有B B ∠=∠，则只需BDBO BCBA=，①或.BOBD BCBA=②成立．若是①，则有344BO BC BD BA⨯=== ．而45OBC BE DE∠=∴= ，．∴在Rt BDE △中，由勾股定理，得2222224BE DE BE BD ⎛⎫+=== ⎪ ⎪⎝⎭． 解得94BE DE ==（负值舍去）． 93344OE OB BE ∴=-=-=．∴点D 的坐标为3944⎛⎫ ⎪⎝⎭，．将点D 的坐标代入(0)y kx k =≠中，求得3k =．∴满足条件的直线l 的函数表达式为3y x =．［或求出直线AC 的函数表达式为33y x =+，则与直线AC 平行的直线l 的函数表达式为3y x =．此时易知BOD BAC △∽△，再求出直线BC 的函数表达式为3y x =-+．联立33y x y x ==-+，求得点D 的坐标为3944⎛⎫ ⎪⎝⎭，．］若是②，则有BO BA BD BC=== ．而45OBC BE DE∠=∴= ，．∴在Rt BDE △中，由勾股定理，得222222BE DE BE BD +===．解得2BE DE ==（负值舍去）．321OE OB BE ∴=-=-=．∴点D 的坐标为(12)，． 将点D 的坐标代入(0)y kx k =≠中，求得2k =．∴满足条件的直线l 的函数表达式为2y x =．∴存在直线:3l y x =或2y x =与线段BC 交于点D （不与点B C ，重合），使得以B O D ，，为顶点的三角形与BAC △相似，且点D 的坐标分别为3944⎛⎫⎪⎝⎭，或(12)，．（3）设过点(03)(10)C E ，，，的直线3(0)y kx k =+≠与该二次函数的图象交于点P ． 将点(10)E ，的坐标代入3y kx =+中，求得3k =-． ∴此直线的函数表达式为33y x =-+．设点P 的坐标为(33)x x -+，，并代入223y x x =-++，得250x x -=． 解得1250x x ==，（不合题意，舍去）．512x y ∴==-，． ∴点P 的坐标为(512)-，． 此时，锐角PCO ACO ∠=∠． 又 二次函数的对称轴为1x =，∴点C 关于对称轴对称的点C '的坐标为(23)，． ∴当5p x >时，锐角PCO ACO ∠<∠；当5p x =时，锐角PCO ACO ∠=∠；当25p x <<时，锐角PCO ACO ∠>∠．练习四解：（1）令0y =，得210x -= 解得1x =±令0x =，得1y =-∴ A (1,0)- B (1,0) C (0,1)-（2）∵OA=OB=OC=1 ∴∠BAC=∠ACO=∠BCO=45∵AP ∥CB ， ∴∠PAB=45过点P 作PE ⊥x 轴于E ，则∆APE 为等腰直角三角形 令OE=a ，则PE=1a + ∴P (,1)a a +∵点P 在抛物线21y x =-上 ∴211a a +=- 解得12a =，21a =-（不合题意，舍去）∴PE=3∴四边形ACBP 的面积S =12AB•OC+12AB•PE=112123422⨯⨯+⨯⨯=(3)． 假设存在∵∠PAB=∠BAC =45∴PA ⊥AC∵MG ⊥x 轴于点G ， ∴∠MGA=∠PAC =90在Rt △AOC 中，OA=OC=1 ∴在Rt △PAE 中，AE=PE=3 ∴AP=设M 点的横坐标为m ，则M2(,1)m m - ①点M 在y 轴左侧时，则1m <-(ⅰ) 当∆AMG ∽∆PCA 时，有AG PA =MGCA∵AG=1m --，MG=21m -2= 解得11m =-（舍去）223m =（舍去）(ⅱ) 当∆MAG ∽∆PCA 时有AG CA =MGPA即2=解得：1m =-（舍去） 22m =- ∴M (2,3)-② 点M 在y 轴右侧时，则1m >(ⅰ) 当∆AMG ∽∆PCA 时有AG PA =MG CA∵AG=1m +，MG=21m -∴2= 解得11m =-（舍去） 243m =∴M 47(,)39(ⅱ) 当∆MAG ∽∆PCA 时有AG CA =MG PA即2=解得：11m =-（舍去） 24m =∴M (4,15)∴存在点M ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与∆PCA 相似M 点的坐标为(2,3)-，47(,)39，(4,15)练习5、解：（1） 点(30)A -，，(10)C ， 4AC ∴=，3tan 434BC BAC AC =⨯=⨯=∠，B 点坐标为(13)， 设过点A B ，的直线的函数表达式为y kx b =+，由0(3)3k b k b =⨯-+⎧⎨=+⎩ 得34k =，94b =∴直线AB 的函数表达式为34y x =（2）如图1，过点B 作BD AB ⊥，交x 轴于点D ， 在Rt ABC △和Rt ADB △中，BAC DAB = ∠∠ R t R tA B C AD B ∴△∽△，D ∴点为所求又4tan tan 3ADB ABC ==∠∠，49tan 334CD BC ADB ∴=÷=÷=∠134OD OC CD ∴=+=，1304D ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，（3）这样的m 存在在Rt ABC △中，由勾股定理得5AB =如图1，当PQ BD ∥时，APQ △则133413534m m +-=+，解得259m = 如图2，当PQ AD ⊥时，APQ ADB △∽△则133413534m m+-=+，解得12536m =例1(2008福建福州)如图，已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 匀速运动，其中点P 运动的速度是1cm/s ，点Q 运动的速度是2cm/s ，当点Q 到达点C 时，P 、Q 两点都停止运动，设运动时间为t （s ），解答下列问题： （1）当t ＝2时，判断△BPQ 的形状，并说明理由； （2）设△BPQ 的面积为S （cm2），求S 与t 的函数关系式；（3）作QR//BA 交AC 于点R ，连结PR ，当t 为何值时，△APR ∽△PRQ ？ 分析:由t ＝2求出BP 与BQ 的长度,从而可得△BPQ 的形状;作QE ⊥BP 于点E,将PB,QE 用t 表示,由BPQ S∆=21×BP×QE 可得S 与t 的函数关系式;先证得四边形EPRQ 为平行四边形,得PR=QE, 再由△APR ∽△PRQ,对应边成比例列方程,从而t 值可求. 解:(1)△BPQ 是等边三角形, 当t=2时,AP=2×1=2,BQ=2×2=4,所以BP=AB-AP=6-2=4,图1图2即BQ=BP.又因为∠B=600,所以△BPQ 是等边三角形. (2)过Q 作QE ⊥AB,垂足为E,由QB=2t,得QE=2t·sin600=3t,由AP=t,得PB=6-t,所以BPQ S∆=21×BP×QE=21(6-t)×3t=－23t2+33t ；(3)因为QR ∥BA,所以∠QRC=∠A=600，∠RQC=∠B=600，又因为∠C=600, 所以△QRC 是等边三角形,这时BQ=2t,所以QR=RC=QC=6-2t.因为BE=BQ·cos600=21×2t=t,AP=t,所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以EP=QR,又EP ∥QR,所以四边形EPRQ 是平行四边形,所以PR=EQ=3t,由△APR ∽△PRQ,得到RQ PR PR AP =,即t t t t 2633-=,解得t=56, 所以当t=56时, △APR ∽△PRQ.点评: 本题是双动点问题.动态问题是近几年来中考数学的热点题型.这类试题信息量大,对同学们获取信息和处理信息的能力要求较高;解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题,挖掘运动、变化的全过程,并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系,动中取静,静中求动.例2(2008浙江温州)如图，在Rt ABC △中，90A ∠=，6AB =，8AC =，D E ，分别是边AB AC ，的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ BC ⊥于Q ，过点Q 作QR BA ∥交AC 于R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ x =，QR y =．（1）求点D 到BC 的距离DH 的长；（2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是否存在点P ，使PQR △为等腰三角形？若存在，请求出所有 满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由． 分析:由△BHD ∽△BAC,可得DH;由△RQC ∽△ABC,可得y 关于x 的函数关系式;由腰相等列方程可得x 的值;注意需分类讨论.解：（1） Rt A ∠=∠，6AB =，8AC =，10BC ∴=．点D 为AB 中点，132BD AB ∴==．90DHB A ∠=∠= ，B B ∠=∠．BHD BAC ∴△∽△，DH BDAC BC ∴=，∴5128103=⨯=⋅=AC BC BD DH（2）QR AB ∥，90QRC A ∴∠=∠= ．C C ∠=∠ ，RQC ABC ∴△∽△， RQ QC AB BC ∴=，10610y x -∴=，即y 关于x 的函数关系式为：365y x =-+．（3）存在.按腰相等分三种情况：①当PQ PR =时，过点P 作PM QR ⊥于M ，则QM RM =．1290∠+∠= ，290C ∠+∠= ，1C ∴∠=∠． 84cos 1cos 105C ∴∠===，45QM QP ∴=，1364251255x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴=，185x ∴=． ②当PQ RQ =时，312655x -+=， 6x ∴=．③当PR QR =时，则R 为PQ 中垂线上的点， 于是点R 为EC 的中点，11224CR CE AC ∴===． tan QR BAC CR CA ==，366528x -+∴=，152x ∴=． A BCD ER P H QM2 1 H综上所述，当x为185或6或152时，PQR△为等腰三角形．点评:建立函数关系式,实质就是把函数y用含自变量x的代数式表示;要求使PQR△为等腰三角形的x的值,可假设PQR△为等腰三角形,找到等量关系,列出方程求解,由于题设中没有指明等腰三角形的腰,故还须分类讨论.。