【高中高考数学压轴题预测题-浙江省1】2020年高考数学计算题大题-含详细解析答案、可编辑

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一、解答题（本题共计 40 小题，每题 3 分，共计120分，）

1. 已知实数a≠0，设函数f(x)=a ln x+√1+x,x>0.

(1)当a=−3

4

时，求函数f(x)的单调区间；

(2)对任意x∈[1

e2,+∞)均有f(x)≤√x

2a

，求a的取值范围.

注：e=2.71828⋯为自然对数的底数.

2. 如图，已知点F(1,0)为抛物线y2=2px(p>0)的焦点.过点F的直线交抛物线于A,B 两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上,直线AC交x轴于点Q,且Q在点F的右侧.记△AFG,△CQG的面积分别为S1,S2.

(1)求p的值及抛物线的准线方程；

(2)求S1

S2

的最小值及此时点G的坐标.

3. 设等差数列{a n}的前n项和为S n,a3=4,a4=S3.数列{b n}满足：对每个n∈N∗,S n+

b n,S n+1+b n,S n+2+b n成等比数列.

(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；

(2)记c n=√a n

2b n

, n∈N∗，证明：c1+c2+⋯+c n<2√n,n∈N∗.

4. 如图，已知三棱柱ABC−A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC=90∘，

∠BAC=30∘，A1A=A1C=AC，E, F分别是AC，A1B1的中点. (1)证明：EF⊥BC；

(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.

5. 设函数f(x)=sin x，x∈R.

(1)已知θ∈[0,2π)，函数f(x+θ)是偶函数，求θ的值；

(2)求函数y=[f(x+π

12

)]

2

+[f(x+π

4

)]

2

的值域.

6. 已知函数f(x)=√x−ln x．

（1）若f(x)在x=x1，x2(x1≠x2)处导数相等，证明：f(x1)+f(x2)>8−8ln2；

（2）若a≤3−4ln2，证明：对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一

公共点．

7. 如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C:y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上.

（1）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；

（2）若P是半椭圆x2+y2

4

=1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．

8. 已知等比数列{a n }的公比q >1，且a 3+a 4+a 5=28，a 4+2是a 3，a 5的等差中项．数列{b n }满足b 1=1，数列{(b n+1−b n )a n }的前n 项和为2n 2+n ． （1）求q 的值；

（2）求数列{b n }的通项公式．

9. 如图，已知多面体ABCA 1B 1C 1，A 1A ，B 1B ，C 1C 均垂直于平面ABC ，∠ABC =120∘，A 1A =4，C 1C =l ，AB =BC =B 1B =2．

(1)证明：AB 1⊥平面A 1B 1C 1；

(2)求直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值．

10. 已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P (−3

5,−4

5

)．

(1)求sin (α+π)的值；

(2)若角β满足sin (α+β)=513

，求cos β的值．

11. 设数列满足|a n −

a n+12

|≤1，n ∈N ∗．

（1）求证：|a n |≥2n−1(|a 1|−2)(n ∈N ∗)

（2）若|a n |≤(3

2)n ，n

∈N ∗

，证明：|a n |≤2，n ∈N ∗

．

12. 如图，设椭圆

C:

x 2a 2

+y 2=1(a >1)

（I ）求直线y =kx +1被椭圆截得到的弦长（用a ，k 表示）

（II ）若任意以点A(0, 1)为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围．

13. 已知a ≥3，函数F(x)＝min {2|x −1|, x 2−2ax +4a −2}，其中min (p, q)={p,p ≤q q,p >q ．

(Ⅰ)求使得等式F(x)＝x 2−2ax +4a −2成立的x 的取值范围； (Ⅱ)(i)求F(x)的最小值m(a)；

(ii)求F(x)在[0, 6]上的最大值M(a)．

14. 如图，在三棱台ABC −DEF 中，已知平面BCFE ⊥平面ABC ，∠ACB =90∘，BE =

EF =FC =1，BC =2，AC =3，

（1）求证：EF ⊥平面ACFD ；

（2）求二面角B −AD −F 的余弦值．

15. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b +c =2a cos B ． (1)证明：A =2B ；

(2)若△ABC 的面积S =a 24

，求角A 的大小．

16. 已知数列{a n }满足a 1=12且a n+1＝a n −a n 2

(n ∈N ∗)

（1）证明：1≤a n

a

n+1

≤2(n ∈N ∗)；

（2）设数列{a n 2

}的前n 项和为S n ，证明

1

2(n+2)

≤

S n n

≤

12(n+1)

(n ∈N ∗)．