江苏省徐州市睢宁县高级中学2020学年高二数学上学期第一次调研考试试题(含解析)

江苏省睢宁高级中学2020学年高二上学期第一次调研考试
数学试题
一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）
1.直线的倾斜角为______．
【答案】
【解析】
【分析】
由于可知直线平行于轴，得到倾斜角.
【详解】直线平行于轴
直线的倾斜角为
本题正确结果：
【点睛】本题考查直线倾斜角的求解，属于基础题.
2.若直线与直线与直线互相平行，则实数______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据两直线平行，得到，解方程得到.
【详解】由，解得
经过验证满足条件
本题正确结果：
【点睛】本题考查直线平行的性质，属于基础题.
3.直线l过点且与直线垂直，则直线l的方程是______．
【答案】.
【解析】
【分析】
根据与已知直线垂直的直线系方程可设与直线2x﹣3y+4=0垂直的直线方程为﹣3x﹣2y+c=0，再把点（﹣1，2）代入，即可求出c值，得到所求方程．
【详解】∵所求直线方程与直线2x﹣3y+4=0垂直，∴设方程为﹣3x﹣2y+c=0
∵直线过点（﹣1，2），∴﹣3×（﹣1）﹣2×2+c=0
∴c=1
∴所求直线方程为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了互相垂直的两直线方程之间的关系，以及待定系数法求直线方程，属于基础题．
4.以点为圆心且与直线相切的圆的方程为______．
【答案】
【解析】
试题分析：由已知可得，所求圆的半径即是点到直线的距离：，所以圆的方程为：.
考点：直线与圆的位置关系
5.棱长均为2的正四棱锥的体积为______．
【答案】
【解析】
在正四棱锥中，顶点S在底面上的投影为中心O，即底面ABCD，在底面正方形ABCD中，边长为2，所以OA=，在直角三角形SOA中
所以
故答案为
6.在长方体中，，，，则点D到平面的距离是______．【答案】
【解析】
∵平面，过D点作DE⊥于E点，则
∴DE长即为所求.
在△DC中，
故答案为：
7.已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
正四棱柱外接球球心为体对角线中点，由此可求得半径，利用公式求出球的表面积和体积. 【详解】正四棱柱的各顶点均在同一个球面上
正四棱柱的外接球的直径
则
球的表面积为；体积为
本题正确结果：；
【点睛】本题考查多面体的外接球、球的体积和表面积求解问题，关键在于明确正四棱柱的外接球球心位置位于体对角线中点.
8.，是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：
如果，，，那么．
如果，，那么．
如果，，那么．
如果，，那么m与所成的角和n与所成的角相等．
其中正确的命题是______填序号
【答案】
【解析】
【分析】
根据平行与垂直的判定定理，依次判断各个选项，得到正确结果.
【详解】①如果，，，不符合面面垂直的判定定理，不能得出，故错误；
②如果，则存在直线，使，由，可得，那么，故正确；
③如果，，那么与无公共点，则，故正确；
④如果，，那么与所成的角和与所成的角均相等，故正确；
本题正确结果：②③④
【点睛】本题考查立体几何中的平行与垂直关系的证明，属于基础题.
9.将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为，则该圆柱的
【答案】
【解析】
将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为，设正方体的边长为，则，解得该圆柱的侧面积为，故答案为.
10.点在直线上，则的最小值是______．
【答案】8
【解析】
试题分析：点在直线上，由得，最小值为8
考点：不等式性质
11.过点且被圆截得的弦长为8的直线方程为______．
【答案】和；
【解析】
试题分析：当直线斜率不存在时，直线为，交点为，满足弦长为8，当斜率存在时，设直线为，由弦长为8可知圆心到直线的距离为3，，直线为3x-4y+15=0
考点：直线与圆相交的弦长问题
12.在平面直角坐标系xOy中，若圆上存在点M，使得点M关于x轴的对称点N在直线上，则实数k的最小值为______．
【答案】－
【解析】
在，可设，可得，将的坐标代入，可得，，化为得，的最小值为，故填.
13.关于x的方程有两个不同实根时，实数k的取值范围是______．【答案】
【解析】
【分析】
将问题转化为函数的图象与的图象有且只有两个交点，在坐标系中画出两个函数的图象，找到临界值，求得结果.
【详解】若关于的方程有且只有两个不同的实数根
则函数的图象与的图象有且只有两个交点
函数的图象恒过点
故在同一坐标系中画出函数的图象与的图象如下图所示：
当直线与圆相切时：，解得.
当时，直线过半圆的左端点
若函数的图象与的图象有且只有两个交点，则
本题正确结果：
【点睛】本题主要考查数学中的数形结合的思想解决方程根的个数问题，关键在于能够将根的个数转化为函数图象的交点个数问题，然后准确画出函数图象，利用数形结合解出结果.
14.若实数a，b，c成等差数列，点在动直线上的射影为H，点，则线段QH的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
通过成等差数列，可以得到直线恒过，然后可知在以为直径的圆上，由图形可知，求解出和即可得到结果.
【详解】，，成等差数列，即
直线恒过
又点在动直线上的射影为
在以为直径的圆上，如图所示；
且此圆的圆心的坐标为,半径
由图形可知，时，最小
又
线段的最小值为
【点睛】本题考查直线和圆中的最值类问题，关键在于能够确定所求最小值即为两点间距离减去半径.
二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）
15.如图，四棱锥中，底面ABCD为菱形，平面ABCD，BD交AC于点E，F是线段PC中点，G为线段EC中点．
Ⅰ求证：平面PBD；
Ⅱ求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】
分析：（1）先证明，再证明FG//平面PBD. （2）先证明平面，再证明BD⊥FG．详解：证明：（1）连结PE，因为G.、F为EC和PC的中点，
，
又平面，平面，所以平面
（II）因为菱形ABCD，所以，
又PA⊥面ABCD，平面，所以，
因为平面，平面，且，
平面，
平面，∴BD⊥FG .
点睛：（1）本题主要考查空间位置关系的证明，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和空间想象转化能力.(2)证明空间位置关系，一般有几何法和向量法，本题利用几何法比较方便.
16.已知：中，顶点，边AB上的中线CD所在直线的方程是，边AC上的高BE所在直线的方程是．
求点B、C的坐标；
求的外接圆的方程．
【答案】（1）（2）或
【解析】
试题分析：（1）求,点就设,点的坐标,同时可以表示出的坐标,根据在上,且中点在上.两式联立可求出;根据在上,且得到,两式联立可求出.
（2）所求的圆经过三角形的三个顶点,所以设出圆的一般方程,将,,代入解方程组即可得到所求圆的方程.或者根据三角形的外接圆的圆心是各边垂直平分线的交点，所以可以根据（1）中的,和已知的求两个边的垂直平分线,取其交点做圆心,该点到各个顶点的距离为半径,求出圆的方程.
试题解析：（1）由题意可设,则的中点.
因为的中点必在直线上,代入有①
又因为在直线上，所以代入有②
由①②联立解得.则,
因为在直线上，代入有③
又因为直线,所以有,则有④
根据③④有.
（2）因为三角形外接圆的圆心是各边垂直平分线的交点，
所以找到三角形两边的垂直平分线求得的交点就是外接圆的圆心，该点到各顶点的距离就是半径.
根据两点,可得斜率为,所以中垂线斜率为,中点为,则中垂线为⑤
同理可得直线的中垂线为⑥,
由⑤⑥可得圆心，半径为，所以外接圆为
法二：（2）设外接圆的方程为，其中。

因为三角形的个顶点都在圆上，所以根据（1），将三点坐标代入有：
解得
∴外接圆的方程为．
考点：三角形中，中线，垂线与各边，各个顶点的关系；外接圆的求法.
17.如图，矩形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，，，，，
，M为CE的中点，N为CD中点．
求证：平面平面ADEF；
求证：平面平面BDE；
求点D到平面BEC的距离．
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）
【解析】
【分析】
（1）分别证明平面，平面，从而证得结论；（2）证明，，可得平面，从而证得结论；（3）将所求距离转化为求解求解三棱锥的高，利用等体积求解得到结果.
【详解】（1）证明：在中，分别为的中点
所以，又平面，且平面
所以平面
因为为中点，，，
所以四边形为平行四边形，所以
又平面，且平面
所以平面
，面
平面平面
（2）证明：在矩形中，
又因为平面平面，且平面平面
所以平面
所以
在直角梯形中，，，可得
在中，，，因为
所以
因为，所以平面
因为面，所以平面平面
设点到平面的距离为
则，即：
【点睛】本题考查面面平行、面面垂直的证明、点到面的距离求解的问题.求解点到面距离的关键是将问题变成几何体高的求解，采用等体积的方式简化运算难度.
18.直线l经过点，其斜率为k，直线l与圆相交，交点分别为A，B．
若，求k的值；
若，求k的取值范围；
若为坐标原点，求k的值．
【答案】或。

（2）的取值范围为或。

（3）。

【解析】
本试题主要是考查了直线与圆的位置关系的综合运用
（1）对于直线的斜率是否存在需要分析讨论，然后根据弦长公式得到斜率k的值。

（2）设出直线方程，联立方程组，结合弦长公式得到k.
（3）因为OA，OB垂直，那么利用三角形性质可知得到点到直线的距离，进而求解k的值。

19.已知圆和点，直线过点与圆交于两点．
若以为直径的圆的面积最大，求直线的方程；
若以为直径的圆过原点，求直线的方程．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）面积最大时，过圆心，由点和圆心坐标，得到直线方程；（2）当斜率不存在时不符合题意，当斜率存在时，假设直线方程，根据圆系方程可得到圆的方程，利用圆过原点，得到关于和的方程；再利用圆心在直线上，得到另一个方程，解方程组得到结果.
【详解】（1）圆可化为圆，则圆心为
以为直径的圆的面积最大直线过圆心
直线过
直线的方程为
（2）设直线的斜率不存在时，显然不成立；
当斜率存在时，设直线方程为
以为直径的圆的方程为
将代入圆，整理可得……①
圆心坐标为，代入，可得……②
由①②可得，
直线的方程为
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、直线与圆中的最值问题、圆系方程的应用，关键在于能够明确直线被圆截得的弦长最大时，直线过圆心；另外需要注意以直线被圆截得弦为直径的圆的方程为：.
20.已知圆M：，设点B，C是直线l：上的两点，它们的横坐标分别是t，，P点的纵坐标为a且点P在线段BC上，过P点作圆M的切线PA，切点为A 若，，求直线PA的方程；
经过A，P，M三点的圆的圆心是D，
将表示成a的函数，并写出定义域．
求线段DO长的最小值．
【答案】（1）直线PA的方程是或（2）.
【解析】
本试题主要是考查直线与圆的位置关系的综合运用。

（1）
解得或（舍去）.
由题意知切线PA的斜率存在，设斜率为k.
所以直线PA的方程为，即
直线PA与圆M相切，，解得或
进而得到直线PA的方程是或
（2）与圆M相切于点A，
经过三点的圆的圆心D是线段MP的中点.的坐标是
() 对于参数t讨论得到最值。

（1）
解得或（舍去）.
由题意知切线PA的斜率存在，设斜率为k.
所以直线PA的方程为，即
直线PA与圆M相切，，解得或
直线PA的方程是或
（2）①
与圆M相切于点A，
经过三点的圆的圆心D是线段MP的中点.
的坐标是
() ②当，即时，
当，即时，
当，即时
则.。