高中数学 3.1不等关系和不等式 (第一课时)课件 新人教A版必修5

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新人教A版数学必修5课件:3.1 不等关系与不等式

新人教A版数学必修5课件:3.1 不等关系与不等式

(2)把原来的糖水(淡)与加糖后的糖水(浓)混合到一起,得到的糖水一定 比原来的糖水浓、比加糖后的糖水淡.
解: (2)设原来的糖水 b1 克,含糖 a1 克,易知浓度为 a1 ; b1
加糖后的糖水 b2 克,含糖 a2 克,易知浓度为 a2 , b2
则混合后的浓度为 a1 a2 , b1 b2
课堂探究
题型一 用不等式来表示不等关系 【例1】 配制A,B两种药剂,需要甲,乙两种原料.已知配一剂A种药需甲料3 克,乙料5克;配一剂B种药需甲料5克,乙料4克.今有甲料20克,乙料25克,若 A,B两种药至少各配一剂,设A,B两种药分别配x,y剂(x,y∈N),请写出x,y应 满足的不等关系式.
第三章 不等式 3.1 不等关系与不等式
课标要求:1.通过具体情境,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不 等关系,会用不等式及不等式组表示不等关系.2.会用作差法(或作商法)比 较两个实数或代数式值的大小.3.掌握不等式的性质,能运用不等式的性质 解决问题.
自主学习
知识探究
1.不等式的有关概念 (1)不等式的定义 在客观世界中,量与量之间的不等关系是普遍存在的,我们用数学符号>、<、 ≥、≤、≠连接两个数或代数式来表示它们之间的不等关系,含有这些不等 号的式子,叫做不等式. (2)不等式的分类 在两个不等式中,如果每一个的左边都大于右边,或每一个的左边都小于右 边,这样的两个不等式叫做同向不等式;在两个不等式中,如果一个不等式的 左边大于右边,而另一个不等式的左边小于右边,那么这两个不等式叫做异 向不等式b ≥0,所以 a + b ≥ a + b .
ab
ba
法二 (平方后作差):( a + b )2= a2 + b2 +2 ab , b a ba

高中数学新人教A版必修5第三章 3.1 不等关系与不等式

高中数学新人教A版必修5第三章  3.1   不等关系与不等式

不等关系与不等式预习课本P72~74,思考并完成以下问题 (1)如何用不等式(组)来表示不等关系?(2)比较两数(或式)的大小有哪些常用的方法?(3)不等式的性质有哪几条?[新知初探]1.不等式的概念我们用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式,以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子叫做不等式.2.比较两个实数a ,b 大小的依据3.不等式的性质 (1)对称性:a >b ⇔b <a ; (2)传递性:a >b ,b >c ⇒a >c ; (3)可加性:a >b ⇒a +c >b +c ; 推论(同向可加性):⎭⎬⎫a >bc >d ⇒a +c >b +d ;(4)可乘性:⎭⎬⎫a >b c >0⇒ac >bc ;⎭⎬⎫a >bc <0⇒ac <bc ; 推论(同向同正可乘性):⎭⎬⎫a >b >0c >d >0⇒ac >bd ;(5)正数乘方性:a >b >0⇒a n >b n (n ∈N *,n ≥1); (6)正数开方性:a >b >0⇒n a >nb (n ∈N *,n ≥2).[点睛] (1)在应用不等式时,一定要搞清它们成立的前提条件.不可强化或弱化成立的条件.(2)要注意“箭头”是单向的还是双向的,也就是说每条性质是否具有可逆性.[小试身手]1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)不等式x ≥2的含义是指x 不小于2( )(2)若a <b 或a =b 之中有一个正确,则a ≤b 正确( ) (3)若a >b ,则ac >bc 一定成立( ) (4)若a +c >b +d ,则a >b ,c >d ( )解析:(1)正确.不等式x ≥2表示x >2或x =2,即x 不小于2,故此说法是正确的. (2)正确.不等式a ≤b 表示a <b 或a =b .故若a <b 或a =b 中有一个正确,则a ≤b 一定正确.(3)错误.由不等式的可乘性知,当不等式两端同乘以一个正数时,不等号方向不变,因此由a >b ,则ac >bc 不一定成立,故此说法是错误的.(4)错误.取a =4,c =5,b =6,d =2,满足a +c >b +d ,但不满足a >b ,故此说法错误.答案:(1)√ (2)√ (3)× (4)×2.已知a +b >0,b <0,那么a ,b ,-a ,-b 的大小关系是( ) A .a >b >-b >-a B .a >-b >-a >b C .a >-b >b >-aD .a >b >-a >-b解析:选C 法一:∵A 、B 、C 、D 四个选项中,每个选项都是唯一确定的答案,∴可用特殊值法.令a =2,b =-1,则有2>-(-1)>-1>-2, 即a >-b >b >-a .法二:∵a +b >0,b <0,∴a >-b >0,-a <b <0, ∴a >-b >0>b >-a ,即a >-b >b >-a .3.设a ,b 是非零实数,若a <b ,则下列不等式成立的是( )A .a 2<b 2B .ab 2<a 2bC.1ab 2<1a 2bD.b a <a b解析:选C 因为a <b ,故b -a >0, 所以1a 2b -1ab 2=b -a a 2b 2>0,故1a 2b >1ab 2. 4.当m >1时,m 3与m 2-m +1的大小关系为________. 解析:∵m 3-(m 2-m +1)=m 3-m 2+m -1=m 2(m -1)+(m -1) =(m -1)(m 2+1).又∵m >1,故(m -1)(m 2+1)>0. 答案:m 3>m 2-m + 1用不等式(组)表示不等关系[典例] 某家电生产企业计划在每周工时不超过40 h 的情况下,生产空调、彩电、冰箱共120台,且冰箱至少生产20台.已知生产这些家电产品每台所需工时如下表:家电名称 空调 彩电 冰箱 工时(h)121314若每周生产空调x [解] 由题意,知x ≥0,y ≥0,每周生产冰箱(120-x -y )台.因为每周所用工时不超过40 h ,所以12x +13y +14(120-x -y )≤40,即3x +y ≤120;又每周至少生产冰箱20台, 所以120-x -y ≥20,即x +y ≤100. 所以满足题意的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧3x +y ≤120,x +y ≤100,x ≥0,x ∈N *,y ≥0,y ∈N *.1.将不等关系表示成不等式的思路 (1)读懂题意,找准不等式所联系的量.(2)用适当的不等号连接. (3)多个不等关系用不等式组表示.2.用不等式(组)表示不等关系时应注意的问题在用不等式(组)表示不等关系时,应注意必须是具有相同性质,可以进行比较时,才可用,没有可比性的两个(或几个)量之间不能用不等式(组)来表示.[活学活用]1.雷电的温度大约是28 000 ℃,比太阳表面温度的4.5倍还要高.设太阳表面温度为t ℃,那么t 应满足的关系式是________.解析:由题意得,太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度,即4.5t <28 000. 答案:4.5t <28 0002.一辆汽车原来每天行驶x km ,如果该汽车每天行驶的路程比原来多19 km ,那么在8天内它的行程将超过2 200 km ,用不等式表示为________.解析:因为该汽车每天行驶的路程比原来多19 km ,所以汽车每天行驶的路程为(x +19)km ,则在8天内它的行程为8(x +19)km ,因此,不等关系“在8天内它的行程将超过2 200 km ”可以用不等式8(x +19)>2 200来表示.答案:8(x +19)>2 200不等式的性质[典例] (1)已知b <2a,3d <c ,则下列不等式一定成立的是( ) A .2a -c >b -3d B .2ac >3bd C .2a +c >b +3dD .2a +3d >b +c(2)下列说法不正确的是( ) A .若a ∈R ,则(a 2+2a -1)3>(a -2)3 B .若a ∈R ,则(a -1)4>(a -2)4 C .若0<a <b ,则⎝⎛⎭⎫13a >⎝⎛⎭⎫13bD .若0<a <b ,则a 3<b 3[解析] (1)由于b <2a,3d <c ,则由不等式的性质得b +3d <2a +c ,故选C.(2)对于A ,因为(a 2+2a -1)-(a -2)=a 2+a +1=⎝⎛⎭⎫a +122+34>0,所以a 2+2a -1>a -2,则(a 2+2a -1)3>(a -2)3,故A 选项说法正确;对于B ,当a =1时,(a -1)4=0,(a -2)4=1,所以(a -1)4>(a -2)4不成立;对于C 和D ,因为0<a <b ,所以由指数函数与幂函数的性质知C 、D 选项说法正确,故选B.[答案] (1)C (2)B1.利用不等式判断正误的2种方法(1)直接法:对于说法正确的,要利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明;对于说法错误的只需举出一个反例即可.(2)特殊值法:注意取值一定要遵循三个原则:一是满足题设条件;二是取值要简单,便于验证计算;三是所取的值要有代表性.2.利用不等式的性质证明不等式注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上,记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.(2)应用不等式的性质进行推导时,应注意紧扣不等式的性质成立的条件,且不可省略条件或跳步推导,更不能随意构造性质与法则.[活学活用]1.已知a >b >c ,且a +b +c =0,则下列不等式恒成立的是( ) A .ab >bc B .ac >bc C .ab >acD .a |b |>|b |c解析:选C 因为a >b >c ,且a +b +c =0,所以a >0,c <0,所以ab >ac . 2.若a >b >0,c <d <0,e <0,求证:e (a -c )2>e(b -d )2. 证明:∵c <d <0,∴-c >-d >0.又a >b >0,∴a -c >b -d >0,则(a -c )2>(b -d )2>0,即1(a -c )2<1(b -d )2. 又e <0,∴e (a -c )2>e(b -d )2.数式的大小比较[典例] (1)已知x <1,比较x 3-1与2x 2-2x 的大小; (2)已知a >0,试比较a 与1a 的大小. [解] (1)(x 3-1)-(2x 2-2x ) =(x -1)(x 2+x +1)-2x (x -1) =(x -1)(x 2-x +1)=(x -1)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x -122+34.∵x <1,∴x -1<0.又⎝⎛⎭⎫x -122+34>0, ∴(x -1)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x -122+34<0. ∴x 3-1<2x 2-2x .(2)因为a -1a =a 2-1a =(a -1)(a +1)a, 因为a >0,所以当a >1时,(a -1)(a +1)a >0,有a >1a ;当a =1时,(a -1)(a +1)a =0,有a =1a ; 当0<a <1时,(a -1)(a +1)a <0,有a <1a .综上,当a >1时,a >1a ; 当a =1时,a =1a ; 当0<a <1时,a <1a .1.作差法比较两个数大小的步骤及变形方法 (1)作差法比较的步骤:作差→变形→定号→结论.(2)变形的方法:①因式分解;②配方;③通分;④对数与指数的运算性质;⑤分母或分子有理化;⑥分类讨论.2.作商法比较大小的步骤及适用范围 (1)作商法比较大小的三个步骤. ①作商变形; ②与1比较大小; ③得出结论.(2)作商法比较大小的适用范围. ①要比较的两个数同号;②比较“幂、指数、对数、含绝对值”的两个数的大小时,常用作商法. [活学活用]若m >2,比较m m 与2m 的大小.解:因为m m 2m =⎝⎛⎭⎫m 2m ,又因为m >2,所以m 2>1,所以⎝⎛⎭⎫m 2m >⎝⎛⎭⎫m 20=1,所以m m >2m.用不等式性质求解取值范围 [典例] 已知1<a <4,2<b <8,试求2a +3b 与a -b 的取值范围. [解] ∵1<a <4,2<b <8,∴2<2a <8,6<3b <24. ∴8<2a +3b <32.∵2<b <8,∴-8<-b <-2.又∵1<a <4,∴1+(-8)<a +(-b )<4+(-2), 即-7<a -b <2.故2a +3b 的取值范围是(8,32),a -b 的取值范围是(-7,2).同向不等式具有可加性与可乘性,但是不能相减或相除,应用时,要充分利用所给条件进行适当变形来求范围,注意变形的等价性.1.在本例条件下,求ab 的取值范围. 解:∵2<b <8,∴18<1b <12,而1<a <4,∴1×18<a ·1b <4×12,即18<a b <2.故ab 的取值范围是⎝⎛⎭⎫18,2.不等式两边同乘以一个正数,不等号方向不变,同乘以一个负数,不等号方向改变,求解中,应明确所乘数的正负.2.已知-6<a <8,2<b <3,求ab 的取值范围. 解:∵-6<a <8,2<b <3. ∴13<1b <12, ①当0≤a <8时,0≤ab <4;②当-6<a <0时,-3<ab <0. 由①②得:-3<ab <4.故ab的取值范围为(-3,4). 利用不等式性质求范围,应注意减少不等式使用次数. 3.已知-1≤a +b ≤1,1≤a -2b ≤3,求a +3b 的取值范围.解:设a +3b =λ1(a +b )+λ2(a -2b )=(λ1+λ2)a +(λ1-2λ2)b ,解得λ1=53,λ2=-23.又-53≤53(a +b )≤53,-2≤-23(a -2b )≤-23,所以-113≤a +3b ≤1.故a +3b 的取值范围为⎣⎡⎦⎤-113,1.层级一 学业水平达标1.李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机,他现在已存60元.计划从现在起以后每个月节省30元,直到他至少有400元.设x 个月后他至少有400元,则可以用于计算所需要的月数x 的不等式是( )A .30x -60≥400B .30x +60≥400C .30x -60≤400D .30x +40≤400解析:选B x 月后他至少有400元,可表示成30x +60≥400. 2.若abcd <0,且a >0,b >c ,d <0,则( ) A .b <0,c <0 B .b >0,c >0 C .b >0,c <0D .0<c <b 或c <b <0解析:选D 由a >0,d <0,且abcd <0,知bc >0, 又∵b >c ,∴0<c <b 或c <b <0.3.已知:a ,b ,c ,d ∈R ,则下列命题中必成立的是( ) A .若a >b ,c >b ,则a >c B .若a >-b ,则c -a <c +b C .若a >b ,c <d ,则a c >bdD .若a 2>b 2,则-a <-b解析:选B 选项A ,若a =4,b =2,c =5,显然不成立,选项C 不满足倒数不等式的条件,如a >b >0,c <0<d 时,不成立;选项D 只有a >b >0时才可以.否则如a =-1,b =0时不成立,故选B.4.设α∈⎝⎛⎭⎫0,π2,β∈⎣⎡⎦⎤0,π2,则2α-β3的范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0,56π B.⎝⎛⎭⎫-π6,56π C.()0,πD.⎝⎛⎭⎫-π6,π 解析:选D 0<2α<π,0≤β3≤π6,∴-π6≤-β3≤0,由同向不等式相加得到-π6<2α-β3<π.5.已知M =2x +1,N =11+x 2,则M ,N 的大小关系为( )A .M >NB .M <NC .M =ND .不确定解析:选A ∵2x >0,∴M =2x +1>1,而x 2+1≥1, ∴11+x 2≤1,∴M >N ,故选A. 6.某校高一年级的213名同学去科技馆参观,租用了某公交公司的x 辆公共汽车.如果每辆车坐30人,则最后一辆车不空也不满.则题目中所包含的不等关系为________.解析:根据题意得:⎩⎪⎨⎪⎧30(x -1)<213,30x >213.答案:⎩⎪⎨⎪⎧30(x -1)<213,30x >2137.比较大小:a 2+b 2+c 2________2(a +b +c )-4. 解析:a 2+b 2+c 2-[2(a +b +c )-4] =a 2+b 2+c 2-2a -2b -2c +4=(a -1)2+(b -1)2+(c -1)2+1≥1>0, 故a 2+b 2+c 2>2(a +b +c )-4. 答案:>8.已知-1≤x +y ≤4,且2≤x -y ≤3,则z =2x -3y 的取值范围是________(用区间表示).解析:∵z =-12(x +y )+52(x -y ),-2≤-12(x +y )≤12,5≤52(x -y )≤152,∴3≤-12(x +y )+52(x -y )≤8,∴z 的取值范围是[3,8]. 答案:[3,8]9.两种药片的有效成分如下表所示:应满足怎样的不等关系?用不等式的形式表示出来.解:设提供A 药片x 片,B 药片y 片,由题意可得:⎩⎪⎨⎪⎧2x +y ≥12,5x +7y ≥70,x+6y ≥28,x ≥0,x ∈N ,y ≥0,y ∈N.10.(1)若a <b <0,求证:b a <a b ; (2)已知a >b ,1a <1b,求证:ab >0.证明:(1)由于b a -a b =b 2-a 2ab =(b +a )(b -a )ab, ∵a <b <0,∴b +a <0,b -a >0,ab >0, ∴(b +a )(b -a )ab <0,故b a <ab.(2)∵1a <1b ,∴1a -1b<0,即b -aab <0,而a >b ,∴b -a <0,∴ab >0.层级二 应试能力达标1.若x ∈R ,y ∈R ,则( ) A .x 2+y 2>2xy -1 B .x 2+y 2=2xy -1 C .x 2+y 2<2xy -1D .x 2+y 2≤2xy -1解析:选A 因为x 2+y 2-(2xy -1)=x 2-2xy +y 2+1=(x -y )2+1>0,所以x 2+y 2>2xy -1,故选A.2.已知a 1∈(0,1),a 2∈(0,1),记M =a 1a 2,N =a 1+a 2-1,则M 与N 的大小关系是( ) A .M <N B .M >N C .M =ND .M ≥N解析:选B ∵a 1∈(0,1),a 2∈(0,1),∴-1<a 1-1<0,-1<a 2-1<0,∴M -N =a 1a 2-(a 1+a 2-1)=a 1a 2-a 1-a 2+1=a 1(a 2-1)-(a 2-1)=(a 1-1)(a 2-1)>0,∴M >N ,故选B.3.若-1<α<β<1,则下列各式中恒成立的是( ) A .-2<α-β<0 B .-2<α-β<-1 C .-1<α-β<0D .-1<α-β<1解析:选A 由-1<α<1,-1<β<1,得-1<-β<1, ∴-2<α-β<2.又∵α<β,故知-2<α-β<0.4.某厂技术科组织工人参加某项技能测试,某职工参加完测试后对自己的成绩进行了如下估计:理论考试成绩x 超过85分,技能操作成绩y 不低于90分,答辩面试成绩z 高于95分,用不等式组表示为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x >85y ≥90z ≥95B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥85y >90z >95C.⎩⎪⎨⎪⎧ x >85y ≥90z >95D.⎩⎪⎨⎪⎧x ≥85y >90z ≥95 解析:选C x 超过85分表示为x >85,y 不低于90分表示为y ≥90,z 高于95分,表示为z >95,故选C.5.已知|a |<1,则11+a与1-a 的大小关系为________. 解析:由|a |<1,得-1<a <1.∴1+a >0,1-a >0.即11+a 1-a =11-a 2∵0<1-a 2≤1,∴11-a 2≥1, ∴11+a≥1-a . 答案:11+a ≥1-a 6.设a ,b 为正实数,有下列命题:①若a 2-b 2=1,则a -b <1;②若1b -1a=1,则a -b <1; ③若|a -b |=1,则|a -b |<1;④若|a 3-b 3|=1,则|a -b |<1.其中正确的命题为________(写出所有正确命题的序号).解析:对于①,由题意a ,b 为正实数,则a 2-b 2=1⇒a -b =1a +b⇒a -b >0⇒a >b >0,故a +b >a -b >0.若a -b ≥1,则1a +b≥1⇒a +b ≤1≤a -b ,这与a +b >a -b >0矛盾,故a -b <1成立.对于②,取特殊值,a =3,b =34,则a -b >1. 对于③,取特殊值,a =9,b =4时,|a -b |>1.对于④,∵|a 3-b 3|=1,a >0,b >0,∴a ≠b ,不妨设a >b >0.∴a 2+ab +b 2>a 2-2ab +b 2>0,∴(a -b )(a 2+ab +b 2)>(a -b )(a -b )2.即a 3-b 3>(a -b )3>0,∴1=|a 3-b 3|>(a -b )3>0,∴0<a -b <1,即|a -b |<1.因此正确.答案:①④7.已知a ,b ∈R ,x =a 3-b ,y =a 2b -a ,试比较x 与y 的大小. 解:因为x -y =a 3-b -a 2b +a =a 2(a -b )+a -b =(a -b )(a 2+1), 所以当a >b 时,x -y >0,所以x >y ;当a =b 时,x -y =0,所以x =y ;当a <b 时,x -y <0,所以x <y .8.已知x ,y 为正实数,且1≤lg(xy )≤2,3≤lg x y ≤4,求lg(x 4y 2)的取值范围.解:由题意,设a =lg x ,b =lg y ,∴lg(xy )=a +b ,lg x y =a -b ,lg(x 4y 2)=4a +2b .设4a +2b =m (a +b )+n (a -b ),∴⎩⎪⎨⎪⎧ m +n =4,m -n =2,解得⎩⎪⎨⎪⎧m =3,n =1. 又∵3≤3(a +b )≤6,3≤a -b ≤4,∴6≤4a +2b ≤10,∴lg(x 4y 2)的取值范围为[6,10].。

高中数学人教A版必修5课件 3-1 不等关系与不等式 第15课时《不等关系与不等式》

高中数学人教A版必修5课件 3-1 不等关系与不等式 第15课时《不等关系与不等式》

a>b c>d>0⇒ac>bd
同向
7
可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N*,n≥2)
8
可开方性
a>b>0⇒n
n a>
b(n∈N*,n≥2)
同正
【练习 3】 (1)已知 a>b,e>f,c>0.求证:f-ac<e-bc; (2)若 bc-ad≥0,bd>0.求证:a+b b≤c+d d.
证明:证法一:(1)∵a>b,c>0,∴ac>bc,∴-ac<-bc.∵f<e, ∴f-ac<e-bc.
分析:首先分别设出每天派出甲型卡车和乙型卡车的数量,然后
明确问题中的不等关系:(1)甲型卡车的数量不超过 4 辆且为自然数, 乙型卡车的数量不超过 7 辆且为自然数;(2)驾驶员不能超过 9 名;(3) 每天至少要运 360 t 矿石.再用不等式组表示出来即可.
解析:设每天派出甲型卡车 x 辆,乙型卡车 y 辆,则
变 式 探 究 4 若 二 次 函 数 f(x) 的 图 象 关 于 y 轴 对 称 , 且 1≤f(1)≤2,3≤f(2)≤4,求 f(3)的范围.
解析:设 f(x)=ax2+c(a≠0).ff12==a4+a+cc ⇒ca==4ff21-3-3ff12,.
z≥45
x>95 C.y>380
z>45
x≥95 D.y>380
z>45
解析:“不低于”即“≥”,“高于”即“>”,“超过”即 “>”,∴x≥95,y>380,z>45.
答案:D
知识点二 比较两个实数(代数式)大小
作差法比较两实数(代数式)大小

高中数学第三章不等式31不等关系与不等式课件新人教A版必修5

高中数学第三章不等式31不等关系与不等式课件新人教A版必修5

D.5
【解题探究】判断不等关系的真假,要紧扣不等的性
质,应注意条件与结论之间的联系. 【答案】C
【解析】①c 的范围未知,因而判断 ac 与 bc 的大小缺乏 依据,故该结论错误.
②由 ac2>bc2 知 c≠0,则 c2>0,
∴a>b,∴②是正确的.
③a<b, ⇒a2>ab,a<b, ⇒ab>b2,
【答案】M>N
【解析】M-N=a1a2-(a1+a2-1)=a1a2-a1-a2+1= a1(a2 - 1) - (a2 - 1) = (a1 - 1)(a2 - 1) , 又 ∵ a1∈(0,1) , a2∈(0,1) , ∴ a1 - 1<0 , a2 - 1<0.∴(a1 - 1)(a2 - 1)>0 , 即 M - N>0.∴M>N.
用不等式表示不等关系
【例1】 某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成 500 mm 和600 mm两种规格,按照生产的要求,600 mm 钢管 的数量不能超过500 mm钢管的3倍.试写出满足上述所有不等 关系的不等式.
【解题探究】应先设出相应变量,找出其中的不等关 系,即①两种钢管的总长度不能超过4 000 mm;②截得600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管数量的3倍;③两种钢管 的数量都不能为负.于是可列不等式组表示上述不等关系.
比较大小要注重分类讨论
【示例】设 x∈R 且 x≠-1,比较1+1 x与 1-x 的大小. 【错解】∵1+1 x-(1-x)=1-1+1-x x2=1+x2 x,而 x2≥0,∴ 当 x>-1 时,x+1>0,1+x2 x≥0,即1+1 x≥1-x; 当 x<-1 时,x+1<0,1+x2 x≤0,即1+1 x≤1-x.

人教版必修五数学《基本不等式》PPT课件

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人教版必修五数学《基本不等式》PPT课件•课程介绍与目标•基本不等式概念及性质•基本不等式证明方法•基本不等式应用举例目录•拓展与提高:含参数的基本不等式问题•课程总结与回顾01课程介绍与目标人教版必修五数学教材基本不等式章节内容概述与前后知识点的联系教材版本及内容概述教学目标与要求知识与技能目标掌握基本不等式的形式、性质和应用方法,能够运用基本不等式解决简单的最值问题。

过程与方法目标通过探究、归纳、证明等过程,培养学生的数学思维和逻辑推理能力。

情感态度与价值观目标让学生感受数学的美和严谨性,培养学生的数学兴趣和数学素养。

本节课共分为引入、新课、巩固练习、小结四个部分。

课程安排时间分配重点与难点引入部分5分钟,新课部分30分钟,巩固练习部分15分钟,小结部分5分钟。

本节课的重点是基本不等式的形式、性质和应用方法;难点是运用基本不等式解决复杂的最值问题。

030201课程安排与时间02基本不等式概念及性质不等式定义及表示方法不等式的定义用不等号连接两个解析式所组成的数学式子。

不等式的表示方法常见的不等号有“<”、“>”、“≤”、“≥”和“≠”,用于表示两个量之间的大小关系。

对称性传递性可加性同向正值可乘性基本不等式性质探讨01020304当a=b 时,a<b,b>a 同时成立,反之亦然。

若a>b 且b>c ,则a>c ;若a<b且b<c ,则a<c 。

同向不等式可以相加,即若a>b 且c>d ,则a+c>b+d 。

若a>b>0且c>d>0,则ac>bd 。

特殊情况下的基本不等式均值不等式对于任意两个正数a和b,有√(ab)≤(a+b)/2,当且仅当a=b 时取等号。

柯西不等式对于任意两组实数a1, a2, …, an和b1, b2, …, bn,有(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2)≥(a1b1+a2b2+...+anbn)^2,当且仅当ai/bi为常数时取等号。

高中数学 第三章 不等式 3.1 不等关系与不等式(第1课时)练习(含解析)新人教A版必修5-新人教

高中数学 第三章 不等式 3.1 不等关系与不等式(第1课时)练习(含解析)新人教A版必修5-新人教

3.1《不等关系与不等式》(第1课时)一、选择题:1.设M =x 2,N =-x -1,则M 与N 的大小关系是( )A .M >NB .M =NC .M <ND .与x 有关 【答案】A【解析】 M -N =x 2+x +1=(x +12)2+34>0,∴M >N .2.若a <b <0,则下列不等式不能成立的是( )A .1a >1bB .2a >2bC .|a |>|b |D .(12)a >(12)b 【答案】B【解析】 ∵a <b ,y =2x 单调递增,∴2a <2b,故选B . 3.已知a <0,-1<b <0,则下列各式正确的是( )A .a >ab >ab 2B .ab >a >ab 2C .ab 2>ab >a D .ab >ab 2>a 【答案】D【解析】 ∵-1<b <0,∴1>b 2>0>b >-1,即b <b 2<1,两边同乘以a 得,∴ab >ab 2>a .故选D .4.如果a 、b 、c 满足c <b <a ,且ac <0,那么下列选项中不一定...成立的是( ) A .ab >ac B .bc >ac C .cb 2<ab 2D .ac (a -c )<0 【答案】C【解析】 ∵c <b <a ,且ac <0,∴a >0,c <0.∴ab -ac =a (b -c )>0,bc -ac =(b -a )c >0,ac (a -c )<0,∴A、B 、D 均正确.∵b 可能等于0,也可能不等于0. ∴cb 2<ab 2不一定成立.5.已知:a ,b ,c ,d ∈R ,则下列命题中必成立的是( )A .若a >b ,c >b ,则a >cB .若a >-b ,则c -a <c +bC .若a >b ,c <d ,则a c >bdD .若a 2>b 2,则-a <-b【答案】B【解析】 选项A ,若a =4,b =2,c =5,显然不成立;选项C 不满足倒数不等式的条件,如a >b >0,c <0<d时,不成立;选项D 只有a >b >0时才可以.否则如a =-1,b =0时不等成立,故选B .6.下列各式中,对任何实数x 都成立的一个式子是( )A .lg(x 2+1)≥lg(2x ) B .x 2+1>2x C .1x 2+1≤1 D.x +1x≥2 【答案】C【解析】 A 中x >0;B 中x =1时,x 2+1=2x ;C 中任意x ,x 2+1≥1,故1x 2+1≤1;D 中当x <0时,x +1x≤0.7.若a >b >0,c <d <0,则一定有( )A .a c >b dB .a c <b dC .a d >b cD .a d <b c【答案】D【解析】本题考查不等式的性质,a c -b d =ad -bccd,cd >0,而ad -bc 的符号不能确定,所以选项A 、B 不一定成立.a d -b c =ac -bddc,dc >0,由不等式的性质可知ac <bd ,所以选项D 成立.本题也可以对实数a 、b 、c 、d 进行适当的赋值逐一排查.8.设a =sin15°+cos15°,b =sin16°+cos16°,则下列各式正确的是( )A .a <a 2+b 22<b B .a <b <a 2+b 22C .b <a <a 2+b 22D .b <a 2+b 22<a【答案】B【解析】a =sin15°+cos15°=2sin60°,b =sin16°+cos16°=2sin61°,∴a <b ,排除C 、D 两项.又∵a ≠b ,∴a 2+b 22-ab =a -b22>0,∴a 2+b 22>ab =2sin60°×2sin61°=3sin61°>2sin61°=b ,故a <b <a 2+b 22成立.9.已知-1<a <0,A =1+a 2,B =1-a 2,C =11+a ,比较A 、B 、C 的大小结果为( ) A .A <B <C B .B <A <C C .A <C <B D .B <C <A【答案】B【解析】 不妨设a =-12,则A =54,B =34,C =2,由此得B <A <C ,排除A 、C 、D ,选B .具体比较过程如下:由-1<a <0得1+a >0,A -B =(1+a 2)-(1-a 2)=2a 2>0得A >B , C -A =11+a-(1+a 2)=-a a 2+a +11+a=-a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a +122+341+a>0,得C >A ,∴B <A <C .二、填空题:10.若x =(a +3)(a -5),y =(a +2)(a -4),则x 与y 的大小关系是________. 【答案】x <y【解析】x -y =(a +3)(a -5)-(a +2)(a -4)=(a 2-2a -15)-(a 2-2a -8)=-7<0,∴x <y . 11.给出四个条件:①b >0>a ,②0>a >b ,③a >0>b ,④a >b >0,能推得1a <1b成立的是________.【答案】①、②、④【解析】 1a <1b ⇔b -aab<0,∴①、②、④能使它成立.12.a ≠2、b ≠-1、M =a 2+b 2、N =4a -2b -5,比较M 与N 大小的结果为________. 【答案】M >N【解析】 ∵a ≠2,b ≠-1,∴M -N =a 2+b 2-4a +2b +5=(a -2)2+(b +1)2>0,∴M >N . 三、解答题13.某矿山车队有4辆载重为10 t 的甲型卡车和7辆载重为6 t 的乙型卡车,有9名驾驶员.此车队每天至少要运360 t 矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次,乙型卡车每辆每天可往返8次,写出满足上述所有不等关系的不等式. 【答案】见解析【解析】 设每天派出甲型卡车x 辆,乙型卡车y 辆.根据题意,应有如下的不等关系:(1)甲型卡车和乙型卡车的总和不能超过驾驶员人数. (2)车队每天至少要运360 t 矿石.(3)甲型车不能超过4辆,乙型车不能超过7辆.要同时满足上述三个不等关系,可以用下面的不等式组来表示:⎩⎪⎨⎪⎧x +y ≤910×6x +6×8y ≥3600≤x ≤40≤y ≤7,即⎩⎪⎨⎪⎧x +y ≤95x +4y ≥300≤x ≤40≤y ≤7.14.有粮食和石油两种物质,可用轮船与飞机两种方式运输,每天每艘轮船和每架飞机的运输效果如下表:关系的不等式. 【答案】见解析【解析】设需安排x 艘轮船和y 架飞机,则⎩⎪⎨⎪⎧300x +150y ≥2 000250 x +100 y ≥1 500x ≥0y ≥0,∴⎩⎪⎨⎪⎧6x +3y ≥405x +2y ≥30x ≥0y ≥0.15.设a >0,b >0且a ≠b ,试比较a a b b与a b b a的大小. 【答案】见解析【解析】 根据同底数幂的运算法则.a a b b a b b a =a a -b ·b b -a =(a b)a -b,当a >b >0时,ab >1,a -b >0,则(a b)a -b>1,于是a a b b>a b b a . 当b >a >0时,0<a b <1,a -b <0,则(a b)a -b>1,于是a a b b>a b b a.综上所述,对于不相等的正数a 、b ,都有a a b b>a b b a.。

高中数学第三章不等式3.4.1基本不等式课件新人教A版必修5

高中数学第三章不等式3.4.1基本不等式课件新人教A版必修5

一二三
二、基本不等式
【问题思考】 1.填空: (1)基本不等式
①当 a>0,b>0 时,有������+2������ ≥ ������������,当且仅当 a=b 时,等号成立;
②对于正数 a,b,常把������+2������叫做 a,b 的算术平均数,把 ������������叫做 a,b 的几
解(1)由题意知 x>0,由基本不等式得 f(x)=3x+1������2≥2 3������·1������2=2 36=12. 当且仅当 3x=1������2,即 x=2 时,f(x)取得最小值 12.故 f(x)的最小值是 12. (2)由 lg a+lg b=2,得 lg ab=2,即 ab=100,且 a>0,b>0, 因此由基本不等式可得 a+b≥2 ������������=2 100=20, 当且仅当 a=b=10 时,a+b 取到最小值 20.故 a+b 的最小值是 20. (3)由于 x,y 是实数,所以 2x>0,2y>0,于是
提示填表略,(1)当 x+y 是定值时,xy 有最大值,且最大值等于
������+������ 2
2
;(2)当 xy 是定值时,x+y 有最小值,且最小值等于 2
������������.
2.填空: 基本不等式与最值 已知x,y都是正数. (1)若x+y=s(和为定值),则当x=y时,积xy取得最大值. (2)若xy=p(积为定值),则当x=y时,和x+y取得最小值.
变式训练 2(1)已知 a,b,c,d 都是正数,求证:(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd.

高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式课件 新人教A选修45

高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式课件 新人教A选修45

关于a,b的大小关系,有以下基本事实:如果a>b,那么 a-b是正数;如果a=b,那么a-b等于零;如果a<b,那么a-b 是负数;反过来也对.
用数学式子表示为:
a b a b 0; a b a b 0;
a b a b 0.
a b a b 0; a b a b 0; a b a b 0.
• 同向不等式: • 在两个不等式中,如果每一个的左边都大于右边,或每一个的
左边都小于右边(不等号的方向相同). • 异向不等式: • 在两个不等式中,如果一个不等式的左边大于右边,而另一个
的左边小于右边(不等号的方向相反). • 同解不等式 • 形式不同但解相同的不等式。 • 其它重要概念 • 绝对不等式、条件不等式、矛盾不等式
• = (x -1)2 (2x2 + 2x + 1)
• = (x -1)2 [2 (x + 1/2)2 + 1/2]
• 技能:
• 分组组合;添项、拆项;配方法。
• = (x -1)2 [2 (x + 1/2)2 + 1/2]
• x∈R ∴ 2 (x + 1/2)2 + 1/2 >0
• 若x≠1 那么 (x -1)2 > 0则 2x4+1 > 2x3+x2
例1、试比较 2x4+1 与 2x3+x2 的大小
• 解: (2x4+1) - (2x3+x2 ) = 2x4+1 - 2x3 _ x2

= (2x4 - 2x3 )- (x2 -1)

= 2x3 (x -1) - (x -1) (x +1)
• = (x-1) [2x3 - (x +1) ]

高中数学第三章不等式3.1不等关系与不等式第1课时不等关系与不等式的性质课件新人教A版必修5-推荐ppt版本

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不等式
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(4)性质4:①如果a>b,c>0那么ac___>___bc. ②如果a>b,c<0,那么ac___<___bc. (5)性质5:如果a>b,c>d,那么a+c___>___b+d. (6)性质6:如果a>b>0,c>d>0,那么ac___>___bd. (7)性质7:如果a>b>0,那么an__>____bn,(n∈N,n≥2).
(8)性质8:如果a>b>0,那么n a___>___n b,(n∈N,n≥2).
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A
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[解析] M-– N第=四x2级+x+1=(x+12)2+34>0, ∴M>N,故选A».第五级
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命题方向3 ⇨不等式性质的应用
例题 3 对于实数a、b、c,有下列结论:
①若a>b,则ac<bc;
②若ac2>bc2,则a>b;
③若a<b<0,则a2>ab>b2;
④若c>a>b>0,则c-a a>c-b b;
⑤若a>b,1a>1b,则a>0,b<0.
其中正确结论的个数
A.2
B.3
C.4

2016-2017学年高中数学人教A版必修五 第三章 不等式 第1节

2016-2017学年高中数学人教A版必修五 第三章 不等式 第1节

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1.此类问题的难点是如何正确地找出题中的显性不等关系和隐性不等关 系.
2.当问题中同时满足几个不等关系,则应用不等式组来表示它们之间的不 等关系,另外若问题有几个变量,选用几个字母分别表示这些变量即可.
【提示】 利用几个不等式的范围来确定某不等式的范围要注意:同向不 等式两边可以相加(相乘),这种转化不是等价变形.本题中将 2<a-b<4 与-2<a +b<2 两边相加得 0<a<3,又将-4<b-a<-2 与-2<a+b<4 两边相加得出- 3<b<2,又将该式与 0<a<3 两边相加得出-3<a+b<3,多次使用了这种转化,导 致了 a+b 范围的扩大.
(2)×.因为“非负数”即为“不是负数”,所以 a-b≥0,故此说法错误. (3)√.因为不等式 x≥2 表示 x>2 或 x=2,即 x 不小于 2,故此说法是正确的. (4)√.因为不等式 a≤b 表示 a<b 或 a=b.故若 a<b 或 a=b 中有一个正确, 则 a≤b 一定正确.
【答案】 (1)√ (2)× (3)√ (4)√






3.1 不等关系与不等式

阶 段 二
业 分 层 测

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第一页,编辑于星期五:十六点 十五分。
1.了解不等式的性质.(重点) 2.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.(难点)
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人教版高中数学必修五不等式3.1不等关系与不等式(1)优秀课件

人教版高中数学必修五不等式3.1不等关系与不等式(1)优秀课件
, ������ − ������>������ ֞ ������>������
2020年1月28日星期二
思考4:如果两个实数的差等于零,那么这两 个实数的大小关系如何?反之成立吗?如何用数 学语言描述这个原理?
, ������ − ������ = ������ ֞ ������ = ������
2020年1月28日星期二
思考1:实数可以比较大小,对于两个实数 ������ , ������,其大小关系有哪几种可能?
������>������,������=������,������<������. 思考2:任何一个实数都对应数轴上的一个点, 那么大数与小数所对应的点的相对位置关系如何?
大数对应的点位于小数对应的点的右边 思考3:如果两个实数的差是正数,那么这两 个实数的大小关系如何?反之成立吗?如何用数 学语言描述这个原理?
§3.1 不等关系 与不等式
第一课时
2020年1月28日星期二
实际生活中 长短
大小
2020年1月2峰 远近高低 各不同
2020年1月28日星期二
探究 现实世界和日常生活中,既有相等关系,又
存在着大量的不等关系,在数学中,我们怎样来 表示这些不等关系?
1、今天的天气预报说:明天早晨最低温度为 7℃,明天白天的最高温度为13℃;
2020年1月28日星期二
上面三个不等关系,是“且”的关系,要同 时满足的话,考虑到实际问题的意义,还应有 ������, ������ ∈ ������∗可以用下面的不等式组来表示:
������������������������ + ������������������������ ≤ ������������������������ ������������ ≥ ������ ������ ≥ ������ ������ ≥ ������ ������, ������ ∈ ������∗

最新-高中数学 31不等关系和不等式 (第一课时)课件 新人教A版必修5 精品

最新-高中数学 31不等关系和不等式 (第一课时)课件 新人教A版必修5 精品
3.1 不等关系与不等式
第一课时
知识探究(一):用不等式表示不等关系
思考1:限速40km/h的路标,指示司机在 前方路段行使时,应使汽车的速度v不超 过40km/h.怎样用不等式表示这里的不等 关系? 0<v≤40
思考2:某品牌酸奶的质量检查规定,酸
奶中脂肪的含量f应不少于2.5%,蛋白质
的含量p 应不少于2.3%,怎样用不等式
这些不等式各有什么特点?如何通过数 学概念加以区分?
绝对不等式,矛盾不等式,条件不等式.
思考7:怎样理解a≠b?
思考8:对于数列{an},an+1>an或 an+1<an(n∈N*)与an+1≠an等价吗?
理论迁移
例1 某用户计划购买单价分别为60元、 70元的单片软件和盒装磁盘,使用资金 不超过500元,根据需要,软件至少买3 片,磁盘至少买2盒,用不等式组表示软 件数x与磁盘数y应满足的条件.
(8 x 2.5 0.2)x 20 0.1
思考5:某钢铁厂要把长度为4000mm的钢
管截成500mm和600mm两种.按照生产的要
求,600mm钢管的数量不能超过500mm钢
管的3倍.如何用不等式组表示上述所有
不等关系?
500x 600 y 4000
3x y
x
0
y 0
知识探究(二):比较实数大小的基本原理
a-b>0 a>b
思考4:如果两个实数的差等于零,那么
这两个实数的大小关系如何?反之成立
吗?如何用数学语言描述这个原理?
a-b=0
a=b
思考5:如果两个实数的差是负数,那么 这两个实数的大小关系如何?反之成立 吗?如何用数学语言描述这个原理?
a-b<0
a<b
思考6:考察下列三个不等式: |x|≥x;x2<0;sinx>0.

高中数学人教A版必修5《3.1.1不等关系与不等式1》课件

高中数学人教A版必修5《3.1.1不等关系与不等式1》课件

二、新课讲授 1、用不等式来表示生活中的不等关系:
例1、右图是限速40km/h的路标,
指示司机在前方路段行驶时,应使 汽车的速度v不超过40km/h ,写
成不等式是:__v_≤_4_0____
40
例2、某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中 脂肪的含量f应不少于2.5%,蛋白质的含量p 应不少于2.3%,用不等式可以表示为:( )
(分子)有理化等; 3. 判断符号; 4. 作出结论.
四、课后小结
• 本节课我们巩固了初中所学的二元一次不等式及二元一次不等式 组,并且用它来解决现实生活中存在的大量不等关系的实际问题。
• 用不等式或不等式组表示实际问题中的不等关系时,思维要严密、 规范。
• 书本P75,习题3.1 • A组第2、4、5题 • 预习P82,不等式性质
►1Our destiny offers not the cup of despair, but the chalice of opportunity. ►So let us seize it, not in fear, but in gladness. · 命运给予我们的不是失望之酒,而是机会之杯。 因此,让我们毫无畏惧,满心愉悦地把握命运
500x 600y 4000 x3x0y y 0 x,y∈N
考虑到实际问题的意义,还应有x,y∈N
练习:若需在长为4000mm圆钢上,截出长 为698mm和518mm的两种毛坯,问怎样写 出满足上述所有不等关系的不等式组?
698x 518y 4000 x 0 y 0 x, y N
分析:若杂志的定价为x元,则销售量减少: x 2.5 0.2万本 因此,销售总收入为:
0.1
(8 x 2.5 0.2)x万元 用不等式表示为:
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60x 70 y 500 x 3 y 2
例2
比较下列两组代数式的大小:
(2) x6+1与x4+x2;
(1)x2+3与3x;
ab 2 与 ( a 0, b 0, a b ) (3) 1 1 2 a b
(4) ( x y )( x y )与( x y )( x y ) ( x y 0)
2 2 2 2
练习:1
⑴ ( 3 2) _____ 6 2 6;
பைடு நூலகம்2 2 2
⑵ ( 3 2) ____( 6 1) ; 1 1 ⑶ ______ ; 5 2 6 5 ⑷0 a b log 1 a ____ log 1 b
2 2
2.比较 x 和
3
x x 1 的大小
2
小结
p 2.3%
思考3:设点A与平面α 的距离为d,B为 平面α 上的任意一点,则d与|AB|的大小 关系怎样表示? A
d
B d≤|AB|
思考4:某种杂志原以每本2.5元的价格销 售,可以售出8万本.据市场调查,若单 价每提高0.1元,销售量就可能相应减少 2000本.若把提价后杂志的定价设为x元, 怎样用不等式表示销售的总收入不低于 20万元?
知识探究(二):比较实数大小的基本原理
思考1:实数可以比较大小,对于两个实 数a,b,其大小关系有哪几种可能? a>b,a=b,a<b. 思考2:任何一个实数都对应数轴上的一 个点,那么大数与小数所对应的点的相 对位置关系如何? 大数对应的点位于小数对应的点的右边
思考3:如果两个实数的差是正数,那 么这两个实数的大小关系如何?反之成 立吗?如何用数学语言描述这个原理?
x 2.5 (8 0.2) x 20 0.1
思考5:某钢铁厂要把长度为4000mm的钢 管截成500mm和600mm两种.按照生产的要 求,600mm钢管的数量不能超过500mm钢 管的3倍.如何用不等式组表示上述所有 不等关系?
500x 600 y 4000 3x y x 0 y 0
绝对不等式,矛盾不等式,条件不等式.
思考7:怎样理解a≠b?
思考8:对于数列{an},an+1>an或
an+1<an(n∈N*)与an+1≠an等价吗?
理论迁移
例1 某用户计划购买单价分别为60元、 70元的单片软件和盒装磁盘,使用资金 不超过500元,根据需要,软件至少买3 片,磁盘至少买2盒,用不等式组表示软 件数x与磁盘数y应满足的条件.
3.1 不等关系与不等式
第一课时
知识探究(一):用不等式表示不等关系
思考1:限速40km/h的路标,指示司机在 前方路段行使时,应使汽车的速度v不超 过40km/h.怎样用不等式表示这里的不等 关系? 0<v≤40 思考2:某品牌酸奶的质量检查规定,酸 奶中脂肪的含量f应不少于2.5%,蛋白质 的含量p 应不少于2.3%,怎样用不等式 组表示这里的不等关系? f 2.5%
1.用不等式表示不等关系是一种数学建 模,准确理解题意,设定字母表示相关 数量,是正确建模的关键.对具有多个不 等关系的实际问题,要用不等式组来表 示.
2.两个实数的差的符号能反映这两个实 数的大小关系,这是确定两个实数大小 关系的基本原理,同时也是发掘不等式 性质的理论依据.
3.用“差比法”比较两个实数的大小, 一般分三步进行:作差→变形→判断符 号. 其中变形的目的在于判断差式的符 号,常用的变形手段有因式分解、配方 等.
a -b >0

a >b
思考4:如果两个实数的差等于零,那么 这两个实数的大小关系如何?反之成立 吗?如何用数学语言描述这个原理?
a-b=0
a=b
思考5:如果两个实数的差是负数,那么 这两个实数的大小关系如何?反之成立 吗?如何用数学语言描述这个原理? a -b <0

a <b
思考6:考察下列三个不等式: |x|≥x;x2<0;sinx>0. 这些不等式各有什么特点?如何通过数 学概念加以区分?
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