第八章 电磁感应 电磁场
最新8第八章电磁感应电磁场
作由半径L为E iLd 的l环形sd d路B t径dS
L R
Ei
o
rd B
Bd t
有
Ei
dl
L
dB dS dt s
Ei2πrddBt πr2
Ei
r 2
dB dt
8-3 自感 *互感 磁场的能量
预习要点
1. 什么是自感现象? 自感电动势如何计算? 怎样判断 它的指向? 自感系数的物理意义是什么?
dt
例:半径为R的圆柱形空间内存在垂直于纸面向里的均
匀磁场，磁感应强度B
以d B
dt
的变化率均匀增加时，求
圆柱形空间内各点处感生电场的场强.
解: 由于圆柱形空间的对称性
及磁场均匀增加，圆形磁场区
域内 E感线为一系列同心圆.且
同一圆周上
Ei
大 小相等,方向沿
切线,指向与 d B 成左螺旋关系.
dt
8第八章电磁感应电磁场
第八章 电磁感应 电磁场
8-0 第八章教学基本要求 8-1 电磁感应的基本定律 8-2 动生电动势 *涡旋电场 8-3 自感 *互感 磁场的能量 *8-4 位移电流 麦克斯韦方程组
令 mNBS
m si n t ()
(2)I εm sω in N t ω B siS tn ( )
B1N l1I1n1I1
穿过半径为 r2 的线圈的磁通链匝数为
Ψ N 2 Φ 2 1 N 2 B 1 (π r 1 2 )n2lB 1(πr12)
代入 B1计算得 Ψ N 2 Φ 2 1 μ 1 n 2 l n π ( r 1 2 )1I
则 M 12 N 2 IΦ 121μ1n2lπ (r12)
a
Bv
大学物理第八章课后习题答案
大学物理第八章课后习题答案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第八章电磁感应电磁场8 －1一根无限长平行直导线载有电流I，一矩形线圈位于导线平面内沿垂直于载流导线方向以恒定速率运动（如图所示），则（）（A）线圈中无感应电流（B）线圈中感应电流为顺时针方向（C）线圈中感应电流为逆时针方向（D）线圈中感应电流方向无法确定分析与解由右手定则可以判断，在矩形线圈附近磁场垂直纸面朝里，磁场是非均匀场，距离长直载流导线越远，磁场越弱．因而当矩形线圈朝下运动时，在线圈中产生感应电流，感应电流方向由法拉第电磁感应定律可以判定．因而正确答案为（B）．8 －2将形状完全相同的铜环和木环静止放置在交变磁场中，并假设通过两环面的磁通量随时间的变化率相等，不计自感时则（）（A）铜环中有感应电流，木环中无感应电流（B）铜环中有感应电流，木环中有感应电流（C）铜环中感应电动势大，木环中感应电动势小（D）铜环中感应电动势小，木环中感应电动势大23分析与解 根据法拉第电磁感应定律，铜环、木环中的感应电场大小相等，但在木环中不会形成电流．因而正确答案为（A ）．8 －3 有两个线圈，线圈1 对线圈2 的互感系数为M 21 ，而线圈2 对线圈1的互感系数为M 12 ．若它们分别流过i 1 和i 2 的变化电流且ti t i d d d d 21<，并设由i 2变化在线圈1 中产生的互感电动势为ε12 ，由i 1 变化在线圈2 中产生的互感电动势为ε21 ，下述论断正确的是（ ）．（A ）2112M M = ，1221εε=（B ）2112M M ≠ ，1221εε≠（C ）2112M M =， 1221εε<（D ）2112M M = ，1221εε<分析与解 教材中已经证明M21 ＝M12 ，电磁感应定律t i M εd d 12121=；ti M εd d 21212=．因而正确答案为（D ）． 8 －4 对位移电流，下述四种说法中哪一种说法是正确的是（ ）（A ） 位移电流的实质是变化的电场（B ） 位移电流和传导电流一样是定向运动的电荷（C ） 位移电流服从传导电流遵循的所有定律（D ） 位移电流的磁效应不服从安培环路定理分析与解 位移电流的实质是变化的电场．变化的电场激发磁场，在这一点位移电流等效于传导电流，但是位移电流不是走向运动的电荷，也就不服从焦耳热效应、安培力等定律．因而正确答案为（A ）．48 －5 下列概念正确的是（ ）（A ） 感应电场是保守场（B ） 感应电场的电场线是一组闭合曲线（C ） LI Φm =，因而线圈的自感系数与回路的电流成反比（D ） LI Φm =，回路的磁通量越大，回路的自感系数也一定大 分析与解 对照感应电场的性质，感应电场的电场线是一组闭合曲线．因而正确答案为（B ）．8 －6 一铁心上绕有线圈100匝，已知铁心中磁通量与时间的关系为()Wb π100sin 100.85t Φ⨯=，求在s 100.12-⨯=t 时，线圈中的感应电动势．分析 由于线圈有N 匝相同回路，线圈中的感应电动势等于各匝回路的感应电动势的代数和，在此情况下，法拉第电磁感应定律通常写成tψt ΦN ξd d d d -=-=，其中ΦN ψ=称为磁链． 解 线圈中总的感应电动势()()t tΦNξπ100cos 51.2d d =-= 当s 100.12-⨯=t 时，V 51.2=ξ． 8 －7 有两根相距为d 的无限长平行直导线，它们通以大小相等流向相反的电流，且电流均以tI d d 的变化率增长．若有一边长为d 的正方形线圈与两导线处于同一平面内，如图所示．求线圈中的感应电动势．5分析 本题仍可用法拉第电磁感应定律tΦξd d -=来求解．由于回路处在非均匀磁场中，磁通量就需用⎰⋅=SΦS B d 来计算（其中B 为两无限长直电流单独存在时产生的磁感强度B 1 与B 2 之和）． 为了积分的需要，建立如图所示的坐标系．由于B 仅与x 有关，即()B B x =，故取一个平行于长直导线的宽为ｄx 、长为d 的面元ｄS ，如图中阴影部分所示，则x d S d d =，所以，总磁通量可通过线积分求得（若取面元y x S d d d =，则上述积分实际上为二重积分）．本题在工程技术中又称为互感现象，也可用公式tl M E M d d -=求解． 解1 穿过面元ｄS 的磁通量为()x d xI μx d d x I μΦd π2d π2d d d d 0021-+=⋅+⋅=⋅=S B S B S B 因此穿过线圈的磁通量为()43ln π2d π2d π2d 02020Id μx x Id μx d x Id μΦΦd d dd =-+==⎰⎰⎰ 再由法拉第电磁感应定律，有6tI d μt ΦE d d 43ln π2d d 0⎪⎭⎫ ⎝⎛=-= 解2 当两长直导线有电流I 通过时，穿过线圈的磁通量为 43ln π20dI μΦ=线圈与两长直导线间的互感为 43ln π20d μI ΦM == 当电流以tl d d 变化时，线圈中的互感电动势为 tI d μt I M E d d 43ln π2d d 0⎪⎭⎫ ⎝⎛=-= 试想：如线圈又以速率v 沿水平向右运动，如何用法拉第电磁感应定律求图示位置的电动势呢此时线圈中既有动生电动势，又有感生电动势．设时刻t ，线圈左端距右侧直导线的距离为ξ，则穿过回路的磁通量()ξf ΦS,1d =⋅=⎰S B ，它表现为变量I 和ξ的二元函数，将Φ代入t ΦE d d -= 即可求解，求解时应按复合函数求导，注意，其中v =tξd d ，再令ξ＝d 即可求得图示位置处回路中的总电动势．最终结果为两项，其中一项为动生电动势，另一项为感生电动势．8 －8 有一测量磁感强度的线圈，其截面积S ＝4.0 cm 2 、匝数N ＝160 匝、电阻R ＝50Ω．线圈与一内阻R i ＝30Ω的冲击电流计相连．若开始时，线圈的平面与均匀磁场的磁感强度B 相垂直，然后线圈的平面很快地转到与B 的方向平行．此时从冲击电流计中测得电荷值54.010C q -=⨯．问此均匀磁场的磁感强度B 的值为多少7分析 在电磁感应现象中，闭合回路中的感应电动势和感应电流与磁通量变化的快慢有关，而在一段时间内，通过导体截面的感应电量只与磁通量变化的大小有关，与磁通量变化的快慢无关．工程中常通过感应电量的测定来确定磁场的强弱． 解 在线圈转过90°角时，通过线圈平面磁通量的变化量为NBS NBS ΦΦΦ=-=-=0Δ12 因此，流过导体截面的电量为ii R RNBS R R Φq +=+=Δ 则 ()T 050.0=+=NSR R q B i 8 －9 如图所示，一长直导线中通有I ＝5.0 A 的电流，在距导线9.0 cm 处，放一面积为0.10 cm 2 ，10 匝的小圆线圈，线圈中的磁场可看作是均匀的．今在1.0 ×10－2 s 内把此线圈移至距长直导线10.0 cm 处．求：（1） 线圈中平均感应电动势；（2） 设线圈的电阻为1.0×10－2Ω，求通过线圈横截面的感应电荷．8分析 虽然线圈处于非均匀磁场中，但由于线圈的面积很小，可近似认为穿过线圈平面的磁场是均匀的，因而可近似用NBS ψ=来计算线圈在始、末两个位置的磁链．解 （1） 在始、末状态，通过线圈的磁链分别为1011π2r ISμN S NB ψ==,2022π2r IS μN S NB ψ== 则线圈中的平均感应电动势为 V 1011.111πΔ2ΔΔ8210-⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==r r t IS μN t ΦE 电动势的指向为顺时针方向．（2） 通过线圈导线横截面的感应电荷为tΦE d d -= 8 －10 如图（ａ）所示，把一半径为R 的半圆形导线OP 置于磁感强度为B 的均匀磁场中，当导线以速率v 水平向右平动时，求导线中感应电动势E 的大小，哪一端电势较高9分析 本题及后面几题中的电动势均为动生电动势，除仍可由tΦE d d -=求解外（必须设法构造一个闭合回路），还可直接用公式()l B d ⋅⨯=⎰l E v 求解．在用后一种方法求解时，应注意导体上任一导线元ｄl 上的动生电动势()l B d d ⋅⨯=v E .在一般情况下，上述各量可能是ｄl 所在位置的函数．矢量（v ×B ）的方向就是导线中电势升高的方向． 解1 如图（ｂ）所示，假想半圆形导线O P 在宽为2R 的静止形导轨上滑动，两者之间形成一个闭合回路．设顺时针方向为回路正向，任一时刻端点O 或端点P 距 形导轨左侧距离为x ，则B R Rx Φ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2π212 即B R tx RB t ΦE v 2d d 2d d -=-=-= 由于静止的 形导轨上的电动势为零，则E ＝－2R v B ．式中负号表示电动势的方向为逆时针，对OP 段来说端点P 的电势较高． 解2 建立如图（c ）所示的坐标系，在导体上任意处取导体元ｄl ，则()θR θB l θB E o d cos d cos 90sin d d v v ==⋅⨯=l B vB R θθBR E v v 2d cos d E π/2π/2===⎰⎰- 由矢量（v ×B ）的指向可知，端点P 的电势较高．10 解3 连接OP 使导线构成一个闭合回路．由于磁场是均匀的，在任意时刻，穿过回路的磁通量==BS Φ常数.由法拉第电磁感应定律tΦE d d -=可知，E ＝0 又因 E ＝E OP ＋E PO即 E OP ＝－E PO ＝2R v B由上述结果可知，在均匀磁场中，任意闭合导体回路平动所产生的动生电动势为零；而任意曲线形导体上的动生电动势就等于其两端所连直线形导体上的动生电动势．上述求解方法是叠加思想的逆运用，即补偿的方法．8 －11 长为L 的铜棒，以距端点r 处为支点，以角速率ω绕通过支点且垂直于铜棒的轴转动.设磁感强度为B 的均匀磁场与轴平行，求棒两端的电势差．分析 应该注意棒两端的电势差与棒上的动生电动势是两个不同的概念，如同电源的端电压与电源电动势的不同．在开路时，两者大小相等，方向相反（电动势的方向是电势升高的方向，而电势差的正方向是电势降落的方向）．本题可直接用积分法求解棒上的电动势，亦可以将整个棒的电动势看作是O A 棒与O B 棒上电动势的代数和，如图（ｂ）所示．而E O A 和E O B 则可以直接利用第８ －2 节例1 给出的结果．解1 如图（ａ）所示，在棒上距点O 为l 处取导体元ｄl ，则()()r L lB ωl lB ωE L-r r AB AB 221d d --=-=⋅⨯=⎰⎰-l B v 因此棒两端的电势差为()r L lB ωE U AB AB 221--== 当L ＞2r 时，端点A 处的电势较高解2 将AB 棒上的电动势看作是O A 棒和O B 棒上电动势的代数和，如图（ｂ）所示．其中221r ωB E OA =,()221r L B ωE OB -= 则()r L BL ωE E E OB OA AB 221--=-= 8 －12 如图所示，长为L 的导体棒OP ，处于均匀磁场中，并绕OO ′轴以角速度ω旋转，棒与转轴间夹角恒为θ，磁感强度B 与转轴平行．求OP 棒在图示位置处的电动势．分析 如前所述，本题既可以用法拉第电磁感应定律t ΦE d d -= 计算（此时必须构造一个包含OP 导体在内的闭合回路， 如直角三角形导体回路OPQO ），也可用()l B d ⋅⨯=⎰lE v 来计算．由于对称性，导体OP 旋转至任何位置时产生的电动势与图示位置是相同的．解1 由上分析，得()l B d ⋅⨯=⎰OP OP E v l αB l o d cos 90sin ⎰=v()()l θB θωl o d 90cos sin ⎰-=l()⎰==L θL B ωl l θB ω022sin 21d sin 由矢量B ⨯v 的方向可知端点P 的电势较高．解2 设想导体OP 为直角三角形导体回路OPQO 中的一部分，任一时刻穿过回路的磁通量Φ为零，则回路的总电动势QO PQ OP E E E t ΦE ++==-=0d d 显然，E QO ＝0，所以()221PQ B ωE E E QO PQ OP ==-= 由上可知，导体棒OP 旋转时，在单位时间内切割的磁感线数与导体棒QP 等效．后者是垂直切割的情况．8 －13 如图（ａ）所示，金属杆AB 以匀速12.0m s -=⋅v 平行于一长直导线移动，此导线通有电流I ＝40A ．求杆中的感应电动势，杆的哪一端电势较高分析 本题可用两种方法求解．（1） 用公式()l B d ⋅⨯=⎰lE v 求解，建立图（a ）所示的坐标系，所取导体元x l d d =，该处的磁感强度xI μB π20=．（2） 用法拉第电磁感应定律求解，需构造一个包含杆AB 在内的闭合回路．为此可设想杆AB 在一个静止的形导轨上滑动，如图（ｂ）所示．设时刻t ，杆AB 距导轨下端CD 的距离为y ，先用公式⎰⋅=SΦS B d 求得穿过该回路的磁通量，再代入公式tΦE d d -=，即可求得回路的电动势，亦即本题杆中的电动势． 解1 根据分析，杆中的感应电动势为()V 1084.311ln 2πd 2πd d 50m 1.1m 1.00-⨯-=-=-==⋅⨯=⎰⎰v v v I μx x μxl E AB AB l B 式中负号表示电动势方向由B 指向A ，故点A 电势较高． 解2 设顺时针方向为回路AB CD 的正向，根据分析，在距直导线x 处，取宽为ｄx 、长为y 的面元ｄS ，则穿过面元的磁通量为x y xI μΦd 2πd d 0=⋅=S B 穿过回路的磁通量为11ln 2πd 2πd 0m1.1m 1.00⎰⎰-===S Iy μx y x I μΦΦ 回路的电动势为V 1084.32πd d 11ln 2πd d 500-⨯-=-=-=-=Iy μt y x I μt ΦE 由于静止的形导轨上电动势为零，所以 V 1084.35-⨯-==E E AB式中负号说明回路电动势方向为逆时针，对AB 导体来说，电动势方向应由B 指向A ，故点A 电势较高．8 －14 如图（ａ）所示，在“无限长”直载流导线的近旁，放置一个矩形导体线框，该线框在垂直于导线方向上以匀速率v 向右移动，求在图示位置处，线框中感应电动势的大小和方向．分析 本题亦可用两种方法求解．其中应注意下列两点：1．当闭合导体线框在磁场中运动时，线框中的总电动势就等于框上各段导体中的动生电动势的代数和．如图（ａ）所示，导体eh 段和fg 段上的电动势为零［此两段导体上处处满足()0l B =⋅⨯d v ］，因而线框中的总电动势为()()()()hg ef hgef gh ef E E E -=⋅⨯-⋅⨯=⋅⨯+⋅⨯=⎰⎰⎰⎰l B l B l B l B d d d d v v v v 其等效电路如图（ｂ）所示．2．用公式tΦE d d -=求解，式中Φ是线框运动至任意位置处时，穿过线框的磁通量．为此设时刻t 时，线框左边距导线的距离为ξ，如图（c ）所示，显然ξ是时间t 的函数，且有v =tξd d ．在求得线框在任意位置处的电动势E （ξ）后，再令ξ＝d ，即可得线框在题目所给位置处的电动势．解1 根据分析，线框中的电动势为hg ef E E E -=()()⎰⎰⋅⨯-⋅⨯=hgef l B l B d d v v ()⎰⎰+-=2201000d 2πd 2πl l l l d I μl d I μv v ()1202πl d I I μ+=1vI 由E ef ＞E hg 可知，线框中的电动势方向为efgh ．解2 设顺时针方向为线框回路的正向．根据分析，在任意位置处，穿过线框的磁通量为()()ξl ξξx Il μdx ξx Il μΦl 120020ln π2π21++=+=⎰ 相应电动势为()()1120π2d d l ξξl l I μt ΦξE +=-=v 令ξ＝d ，得线框在图示位置处的电动势为 ()1120π2l d d l l I μE +=v 由E ＞0 可知，线框中电动势方向为顺时针方向．*8 －15 有一长为l ，宽为b 的矩形导线框架，其质量为m ，电阻为R ．在t ＝0时，框架从距水平面y ＝0 的上方h 处由静止自由下落，如图所示．磁场的分布为：在y ＝0 的水平面上方没有磁场；在y ＝0 的水平面下方有磁感强度为B 的均匀磁场，B 的方向垂直纸面向里．已知框架在时刻t 1 和t 2 的位置如图中所示．求在下述时间内，框架的速度与时间的关系：（1） t 1 ≥t ＞0，即框架进入磁场前；（2） t 2 ≥t ≥t 1 ，即框架进入磁场， 但尚未全部进入磁场；（3）t ＞t 2 ，即框架全部进入磁场后．分析 设线框刚进入磁场（t 1 时刻）和全部进入磁场（t 2 时刻）的瞬间，其速度分别为v 10 和v 20 ．在情况（1）和（3）中，线框中无感应电流，线框仅在重力作用下作落体运动，其速度与时间的关系分别为v ＝gt （t ＜t 1）和v ＝v 20 ＋g （t －t 2 ）（t ＞t 2 ）．而在t 1＜t ＜t 2这段时间内，线框运动较为复杂，由于穿过线框回路的磁通量变化，使得回路中有感应电流存在，从而使线框除受重力外，还受到一个向上的安培力F A ，其大小与速度有关，即()A A F F =v ．根据牛顿运动定律，此时线框的运动微分方程为()tv v d d m F mg A =-，解此微分方程可得t 1＜t ＜t 2 时间内线框的速度与时间的关系式．解 （1） 根据分析，在1t t ≤时间内，线框为自由落体运动，于是()11t t gt ≤=v 其中1t t =时，gh 2101==v v（2） 线框进入磁场后，受到向上的安培力为v Rl B IlB F A 22== 根据牛顿运动定律，可得线框运动的微分方程tv m v d d 22=-R l B mg 令mRl B K 22=，整理上式并分离变量积分，有 ⎰⎰=-t t t g 110d d vv Kv v 积分后将gh 210=v 代入，可得()()[]1212t t K e gh K g g K----=v （3） 线框全部进入磁场后（t ＞t 2），作初速为v 20 的落体运动，故有()()()[]()222031221t t g e gh K g g Kt t g t t K -+--=-+=--v v 8 －16 有一磁感强度为B 的均匀磁场，以恒定的变化率t d d B 在变化．把一块质量为m 的铜，拉成截面半径为r 的导线，并用它做成一个半径为R 的圆形回路．圆形回路的平面与磁感强度B 垂直．试证：这回路中的感应电流为td d π4B d ρm I =式中ρ 为铜的电阻率，d 为铜的密度． 解 圆形回路导线长为πR 2，导线截面积为2πr ，其电阻R ′为22rR ρS l ρR ==' 在均匀磁场中，穿过该回路的磁通量为BS Φ=，由法拉第电磁感应定律可得回路中的感应电流为t t t d d 2πd d π1d d 122B ρRr B R R ΦR R E I ='='='= 而2ππ2r R d m =，即dm Rr π2π2=，代入上式可得 td d π4B d ρm I = 8 －17 半径为R ＝2.0 cm 的无限长直载流密绕螺线管，管内磁场可视为均匀磁场，管外磁场可近似看作零．若通电电流均匀变化，使得磁感强度B 随时间的变化率td d B 为常量，且为正值，试求：（1） 管内外由磁场变化激发的感生电场分布；（2） 如1s T 010.0d d -⋅=tB ，求距螺线管中心轴r ＝5．0 cm 处感生电场的大小和方向．分析 变化磁场可以在空间激发感生电场，感生电场的空间分布与场源———变化的磁场（包括磁场的空间分布以及磁场的变化率td d B 等）密切相关，即S B l E d d ⋅∂∂-=⎰⎰S S k t .在一般情况下，求解感生电场的分布是困难的．但对于本题这种特殊情况，则可以利用场的对称性进行求解．可以设想，无限长直螺线管内磁场具有柱对称性，其横截面的磁场分布如图所示．由其激发的感生电场也一定有相应的对称性，考虑到感生电场的电场线为闭合曲线，因而本题中感生电场的电场线一定是一系列以螺线管中心轴为圆心的同心圆．同一圆周上各点的电场强度E k 的大小相等，方向沿圆周的切线方向．图中虚线表示r ＜R 和r ＞R 两个区域的电场线．电场线绕向取决于磁场的变化情况，由楞次定律可知，当0d d <t B 时，电场线绕向与B 方向满足右螺旋关系；当0d d >t B 时，电场线绕向与前者相反．解 如图所示，分别在r ＜R 和r ＞R 的两个区域内任取一电场线为闭合回路l （半径为r 的圆），依照右手定则，不妨设顺时针方向为回路正向．（1） r ＜R ， tB r t r E E k l k d d πd d d π2d 2-=⋅-=⋅=⋅=⎰⎰S B l E tB r E k d d 2-= r ＞R ， t B R t r E E k lk d d πd d d π2d 2-=⋅-=⋅=⋅=⎰⎰S B l E tB r R E k d d 22-= 由于0d d >tB ，故电场线的绕向为逆时针． （2） 由于r ＞R ，所求点在螺线管外，因此tB r R E k d d 22-= 将r 、R 、tB d d 的数值代入，可得15m V 100.4--⋅⨯-=k E ，式中负号表示E k 的方向是逆时针的．8 －18 在半径为R 的圆柱形空间中存在着均匀磁场，B 的方向与柱的轴线平行．如图（ａ）所示，有一长为l 的金属棒放在磁场中，设B 随时间的变化率tB d d 为常量．试证：棒上感应电动势的大小为分析 变化磁场在其周围激发感生电场，把导体置于感生电场中，导体中的自由电子就会在电场力的作用下移动，在棒内两端形成正负电荷的积累，从而产生感生电动势．由于本题的感生电场分布与上题所述情况完全相同，故可利用上题结果，由⎰⋅=lk E l E d 计算棒上感生电动势．此外，还可连接OP 、OQ ，设想PQOP 构成一个闭合导体回路，用法拉第电磁感应定律求解，由于OP 、OQ 沿半径方向，与通过该处的感生电场强度E k 处处垂直，故0d =⋅l E k ，OP 、OQ 两段均无电动势，这样，由法拉第电磁感应定律求出的闭合回路的总电动势，就是导体棒PQ 上的电动势．证1 由法拉第电磁感应定律，有 22Δ22d d d d d d ⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-==l R l t B t B S t ΦE E PQ 证2 由题８ －17可知，在r ＜R 区域，感生电场强度的大小tB r E k d d 2= 设PQ 上线元ｄx 处，E k 的方向如图（b ）所示，则金属杆PQ 上的电动势为()()222202/2d d d 2/d d 2d cos d l R l t B x r l R t B r x θE E l k k PQ -=-==⋅=⎰⎰x E 讨论 假如金属棒PQ 有一段在圆外，则圆外一段导体上有无电动势 该如何求解8 －19 截面积为长方形的环形均匀密绕螺绕环，其尺寸如图（ａ）所示，共有N 匝（图中仅画出少量几匝），求该螺绕环的自感L ．分析 如同电容一样，自感和互感都是与回路系统自身性质（如形状、匝数、介质等）有关的量．求自感L 的方法有两种：1．设有电流I 通过线圈，计算磁场穿过自身回路的总磁通量，再用公式IΦL =计算L ．2．让回路中通以变化率已知的电流，测出回路中的感应电动势E L ，由公式t I E L L d /d =计算L ．式中E L 和tI d d 都较容易通过实验测定，所以此方法一般适合于工程中．此外，还可通过计算能量的方法求解．解 用方法1 求解，设有电流I 通过线圈，线圈回路呈长方形，如图（ｂ）所示，由安培环路定理可求得在R 1 ＜r ＜R 2 范围内的磁场分布为xNI μB π20=由于线圈由N 匝相同的回路构成，所以穿过自身回路的磁链为 12200ln π2d π2d 21R R hI N μx h x NI μN N ψS R R ==⋅=⎰⎰S B 则1220ln π2R R h N μI ψL = 若管中充满均匀同种磁介质，其相对磁导率为μr ，则自感将增大μr 倍．8 －20 如图所示，螺线管的管心是两个套在一起的同轴圆柱体，其截面积分别为S 1 和S 2 ，磁导率分别为μ1 和μ2 ，管长为l ，匝数为N ，求螺线管的自感．（设管的截面很小）分析 本题求解时应注意磁介质的存在对磁场的影响．在无介质时，通电螺线管内的磁场是均匀的，磁感强度为B 0 ，由于磁介质的存在，在不同磁介质中磁感强度分别为μ1 B 0 和μ2 B 0 ．通过线圈横截面的总磁通量是截面积分别为S 1 和S 2 的两部分磁通量之和．由自感的定义可解得结果．解 设有电流I 通过螺线管，则管中两介质中磁感强度分别为I L N μnl μB 111==,I LN μnl μB 222== 通过N 匝回路的磁链为221121S NB S NB ΨΨΨ+=+=则自感2211221S μS μlN I ψL L L +==+= 8 －21 有两根半径均为a 的平行长直导线，它们中心距离为d ．试求长为l的一对导线的自感（导线内部的磁通量可略去不计）．分析 两平行长直导线可以看成无限长但宽为d 的矩形回路的一部分．设在矩形回路中通有逆时针方向电流I ，然后计算图中阴影部分（宽为d 、长为l ）的磁通量．该区域内磁场可以看成两无限长直载流导线分别在该区域产生的磁场的叠加．解 在如图所示的坐标中，当两导线中通有图示的电流I 时，两平行导线间的磁感强度为()r d I μr I μB -+=π2π200 穿过图中阴影部分的磁通量为 aa d l μr Bl ΦS a d a -==⋅=⎰⎰-ln πd d 0S B 则长为l 的一对导线的自感为aa d l μI ΦL -==ln π0 如导线内部磁通量不能忽略，则一对导线的自感为212L L L +=．L 1 称为外自感，即本题已求出的L ，L 2 称为一根导线的内自感．长为l 的导线的内自感8π02l μL =，有兴趣的读者可自行求解． 8 －22 如图所示，在一柱形纸筒上绕有两组相同线圈AB 和A ′B ′，每个线圈的自感均为L ，求：（1） A 和A ′相接时，B 和B ′间的自感L 1 ；（2） A ′和B 相接时，A 和B ′间的自感L 2 ．分析 无论线圈AB 和A ′B ′作哪种方式连接，均可看成一个大线圈回路的两个部分，故仍可从自感系数的定义出发求解．求解过程中可利用磁通量叠加的方法，如每一组载流线圈单独存在时穿过自身回路的磁通量为Φ，则穿过两线圈回路的磁通量为2Φ；而当两组线圈按（1）或（2）方式连接后，则穿过大线圈回路的总磁通量为2Φ±2Φ，“ ±”取决于电流在两组线圈中的流向是相同或是相反．解 （1） 当A 和A ′连接时，AB 和A ′B ′线圈中电流流向相反，通过回路的磁通量亦相反，故总通量为0221=-=ΦΦΦ，故L 1 ＝0．（2） 当A ′和B 连接时，AB 和A ′B ′线圈中电流流向相同，通过回路的磁通量亦相同，故总通量为ΦΦΦΦ4222=+=， 故L I ΦI ΦL 4422===． 本题结果在工程实际中有实用意义，如按题（1）方式连接，则可构造出一个无自感的线圈．8 －23 如图所示，一面积为4.0 cm 2 共50 匝的小圆形线圈A ，放在半径为20 cm 共100 匝的大圆形线圈B 的正中央，此两线圈同心且同平面．设线圈A 内各点的磁感强度可看作是相同的．求：（1） 两线圈的互感；（2） 当线圈B 中电流的变化率为－50 A·ｓ－1 时，线圈A 中感应电动势的大小和方向．分析 设回路Ⅰ中通有电流I 1 ，穿过回路Ⅱ的磁通量为Φ21 ，则互感M ＝M 21 ＝Φ21I 1 ；也可设回路Ⅱ通有电流I 2 ，穿过回路Ⅰ的磁通量为Φ12 ，则21212I ΦM M == ． 虽然两种途径所得结果相同，但在很多情况下，不同途径所涉及的计算难易程度会有很大的不同．以本题为例，如设线圈B 中有电流I 通过，则在线圈A 中心处的磁感强度很易求得，由于线圈A 很小，其所在处的磁场可视为均匀的，因而穿过线圈A 的磁通量Φ≈BS ．反之，如设线圈A 通有电流I ，其周围的磁场分布是变化的，且难以计算，因而穿过线圈B 的磁通量也就很难求得，由此可见，计算互感一定要善于选择方便的途径．解 （1） 设线圈B 有电流I 通过，它在圆心处产生的磁感强度R I μN B B 200=穿过小线圈A 的磁链近似为 A B A A A A S RI μN N S B N ψ200== 则两线圈的互感为H 1028.6260-⨯===RS μN N I ψM A B A A （2）V 1014.3d d 4-⨯=-=tI M E A 互感电动势的方向和线圈B 中的电流方向相同．8 －24 如图所示，两同轴单匝线圈A 、C 的半径分别为R 和r ，两线圈相距为d ．若r 很小，可认为线圈A 在线圈C 处所产生的磁场是均匀的．求两线圈的互感．若线圈C 的匝数为N 匝，则互感又为多少解 设线圈A 中有电流I 通过，它在线圈C 所包围的平面内各点产生的磁感强度近似为()2/322202d R IR μB +=穿过线圈C 的磁通为 ()22/32220π2r d R IR μBS ψC +==则两线圈的互感为 ()2/3222202πdR R r μI ψM +== 若线圈C 的匝数为N 匝，则互感为上述值的N 倍． 8 －25 如图所示，螺绕环A 中充满了铁磁质，管的截面积S 为2.0 cm 2 ，沿环每厘米绕有100 匝线圈，通有电流I 1 ＝4.0 ×10 －2 A ，在环上再绕一线圈C ，共10 匝，其电阻为0.10 Ω，今将开关Ｓ 突然开启，测得线圈C 中的感应电荷为2.0 ×10 －3C ．求：当螺绕环中通有电流I 1 时，铁磁质中的B 和铁磁质的相对磁导率μr ．分析 本题与题８ －８ 相似，均是利用冲击电流计测量电磁感应现象中通过回路的电荷的方法来计算磁场的磁感强度．线圈C 的磁通变化是与环形螺线管中的电流变化相联系的． 解 当螺绕环中通以电流I 1 时，在环内产生的磁感强度110I n μμB r =则通过线圈C 的磁链为S I n μμN BS N ψr c 11022==设断开电源过程中，通过C 的感应电荷为q C ，则有()RS I n μμN ψR ψR qc r c c 110201Δ1=--=-= 由此得 T 10.02110===S N Rqc I n μμB r 相对磁导率1991102==I n μS N Rqc μr8 －26 一个直径为0.01 m ，长为0.10 m 的长直密绕螺线管，共1 000 匝线圈，总电阻为7.76 Ω．求：（1） 如把线圈接到电动势E ＝2.0 V 的电池上，电流稳定后，线圈中所储存的磁能有多少 磁能密度是多少*（2） 从接通电路时算起，要使线圈储存磁能为最大储存磁能的一半，需经过多少时间分析 单一载流回路所具有的磁能，通常可用两种方法计算：（1） 如回路自感为L （已知或很容易求得），则该回路通有电流I 时所储存的磁能221LI W m =，通常称为自感磁能．（2） 由于载流回路可在空间激发磁场，磁能实际是储存于磁场之中，因而载流回路所具有的能量又可看作磁场能量，即V w W V m m d ⎰=，式中m w 为磁场能量密度，积分遍及磁场存在的空间．由于μB w m 22=，因而采用这种方法时应首先求载流回路在空间产生的磁感强度B 的分布．上述两种方法还为我们提供了计算自感的另一种途径，即运用V w LI V m d 212⎰=求解L ． 解 （1） 密绕长直螺线管在忽略端部效应时，其自感l S N L 2=，电流稳定后，线圈中电流RE I =，则线圈中所储存的磁能为J 1028.3221522202-⨯===lRSE N μLI W m 在忽略端部效应时，该电流回路所产生的磁场可近似认为仅存在于螺线管。
电磁感应与电磁场(1)ppt课件
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第八章 电磁感应与电磁场
1. 电磁感应景象
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第八章 电磁感应与电磁场
2. 法拉第电磁感应定律
电源内部: 电流从负极板到 正极板叫内电路。
电源外部: 电流从正极板到 负极板叫外电路。
+–
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第八章 电磁感应与电磁场
电动势 把单位正电荷从负极板经内电路搬至
正极板, 电源非静电力做的功。
dA
dq
规定 的方向由负极板经内电路指 向正极板, 即正电荷运动的方向。
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L
i 0 vBdl
L
0 lBdl
×
×
×
o
l
×
×
v × × × × ×
×××××
i
1 2
BL2
i :O
P
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第八章 电磁感应与电磁场
例2 一导线矩形框的平面与磁感强度为 B 的 均匀磁场相垂直,在此矩形框上，有一质量为
m 长为 l 的可挪动的细导体棒 MN ; 矩形框
还接有一个电阻 R, 其值较之导线的电阻值
第八章 电磁感应与电磁场
电动势越大表示电源将其它方式能量转换
为电能的身手越大, 其大小与电源构造有关, 与
外电路无关。
电源电动势
E i n k
dl
内电路
非静电场
由于电源外部没有非静电力,上式也可写为：
Ekdl
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普通物理课件- 第八章电磁感应电磁场
外涡旋电场的场强EV 。
解：
EV
dl
dΦ
dt
× ××
L
×
R
××
EV dl EV dl EV 2 r r × × × ×
EV
1
2 r
dΦ dt
××
(1) 在圆柱体内，r < R = r2B dΦ r2 dB
dt
dt
EV
1 2 r
r2
dB dt
r dB 2 dt
(2) 在圆柱体外， r > R = R²B
i
en
B
0 d 0
dt
S
N
i 0
感应电动势的方向与绕行方向相反
说 明
1.
只
i
与
dΦ dt
成
正
比
，
而
不
是
与Φ或dΦ成
正
比
。
2 .设回路中电阻为R，则
1 dΦ
Ii
RR
dt
dq Ii dt
dq 1 dΦ R
设在t1和 t2 时刻，通过回路的磁通量分别为1和 2，
则在t1 t2时间内，通过回路任一截面的感应电量为：
② 由于“阻碍”、反抗的作用，获得感应电流的代价是外界必须 做功。
步骤：
① 确定原磁场的方向。
② 判断通过导体回路的磁通量的增减给出B′方向 。 ③ 由B′确定感应电流的方向（右手螺旋）
例1 设有长方形回路放置在稳恒磁场中，AB边可以 左右滑动，如图磁场方向与回路平面垂直，设导体以 速度 v 向右运动，求回路上感应电动势的大小及方向。
ab
l位置的B
0I
2l
故 : MON
第八章_电磁感应与电磁场
B
v
A
dl
O
OA d B
L
0
1 rdr BL2 2
电动势的方向由 A 指向 O, O点电势高。
哈尔滨工业大学大学物理教研室 8
8.2 动生电动势 感生电动势
8.2.2 感生电动势 感生电场
由于磁场随时间变化而产生的电动势称感生电 动势，相应的电场就叫感生电场。 即必然存在：
哈尔滨工业大学大学物理教研室
4
8.2 动生电动势
8.2.1 动生电动势
感生电动势
1.中学知道的方法：
B
N
i Bl
v
右手法则定方向
2. 由法拉第电磁感应定律 任意时刻，回路中的磁通量是
S
L
l
a b
a
i
均匀磁场 B
Blx t
d dx i Bl Bl dt dt
L
B E感生 dl dS t S
E
S
感生
dS 0
说明感生电场是非保守场
说明感生电场是无源场 S2
哈尔滨工业大学大学物理教研室
L
S1
10
若I=I(t),v,求=? B A I
a
方法一:分别考虑动生电动势和感生电动势 AC:
v
c
Cb D
1 vc
0 I
磁通量的值取正，否则磁通量的值取负
3) 计算结果的正负给出了电动势的方向
0 :说明电动势的方向就是所设的计算方向 哈尔滨工业大学大学物理教研室 0 :说明电动势的方向与所设计算方向相反
3
物理学-第八章电磁感应 电磁场
1 = B ( R12 22 ) = 226V R 2
盘边缘的电势高于中 心转轴的电势。
8-2 动生电动势和感生电动势
二 感生电动势
产生感生电动势的非静电场
感生电场
麦克斯韦假设：变化的磁场在其周围空间激发一种电场，这个电 场叫感生电场 E k 。
闭合回路中的感生电动势：
l
8-1 电磁感应定律
楞次定律是能量守恒定律的一种 表现。
要移动导线，就需要外力对它作 功，这样就把某种形式的能量转 换为其它形式的能量。 (1)稳恒磁场中的导体运动,或者回路面积变化、取向变化等 动生电动势 (2)导体不动、磁场变化
感生电动势
= Ek d l Ek
非静电的电场强度
H =0
R1 < r < R 2 , H =
wm
r > R 2, H = 0 I2 1 I = H2= )2= ( 82 r 2 2 2r 2
I 2r
8-5 磁场的能量 磁场能量密度
I2 W m = Vw m dV = V 2 2 dV 8 r
单位长度壳层体积：
= 2 rdr × 1 R2 I 2 I2 R 2 dr = ln Wm= R1 4 r 4 R1 dV
8-1 电磁感应定律
一 电磁感应现象
法拉第（1791-1867）：伟大的英 国物理学家和化学家。他创造性地提出 场的思想，磁场这一名称是法拉第最早 引入的。他是电磁理论的创始人之一， 于1831年发现电磁现象，后又相继发现 电解定律，物质的抗磁性和顺磁性，以 及光的偏振面在磁场中的旋转。
N
S
当穿过闭合导体回路所围面积的磁通 量发生变化时，不管这种变化是由于 什么原因所引起的，回路中就有电 流。这种现象叫做电磁感应现象。回 路中所出现的电流叫做感应电流。
大学物理电磁感应1
构回路 oAA,t 0时, L在oA处, 0 , t 时刻, 通过回
路的磁通为
BS 1 B L2
2
回路的感应电动势大小
B
A
L
i
d dt
1 2
BL2
d
dt
1 BL2
2
o
A
因为 oA, AA上的 i 0
所以 oA棒上的动生电动势大小为
i
1 2
BL2
电动势方向 Ao
v
a B
且
v
B
dl
与 dl 同方向
b
i
di
(v B) dl
a
b
+
B
l-
-
fe fm
v
a
l
x
0vBdl Bvl
结结果论与：用长法度拉为第L电的磁一感段应导定线律，求在得磁的场结中果以一速致度。v 运动产生
的动生电动势
L
L
i
d
0
i
(v B) dl
0
例4、长度为 L 的导体棒在均匀磁场B中以角速度绕o端逆
A q
L Ek dl
Ek dl
3、法拉第电磁感应定律
当穿过回路所包围面积的磁通量发生变化时，回路中 产生感应电动势,感应电动势的大小与穿过回路的磁通量对 时间的变化率成正比。
i
d dt
法拉第电磁感应定律
式中的负号反映了感应电动势的方向与磁通量变化之 间的关系，是楞次定律的数学表示。
例5、一长直导线中通电流 I = 10 A ，有一长为L = 0.2 m 的
时针匀速转动，求棒上的感应电动势。
解1： 根据动生电动势定义求
第08章电磁感应 电磁场.
感生电场
非保守场 dΦ L Ek dl dt 0 由变化的磁场产生
静电场
保守场 E静 dl 0
L
由电荷产生
28
第八章 电磁感应 电磁场
物理学
第五版
8-3
自感和互感
一
自感电动势
自感
由线圈电流变化产生的感生电动势又分为 自感和互感 （1）自感 Φ LI L Φ I B 若线圈有 N 匝， I NΦ 磁通匝数 自感 L I 注意 无铁磁质时, 自感仅与线圈形 状、磁介质及 N 有关.
第八章 电磁感应 电磁场
29
物理学
第五版
8-3
自感和互感
（2）自感电动势 dΦ dI dL L ( L I ) dt dt dt dL 0 时， 当 dt
dI L L dt
I
B
自感 L L
dI dt
30
第八章 电磁感应 电磁场
物理学
第五版
8-3
自感和互感
电磁感应定律
B
B
I
S N
v
N S
I
v
第八章 电磁感应 电磁场
7
物理学
第五版
8-1
电磁感应定律
楞次定律 闭合的导线回路中所出现的 感应电流，总是使它自己所激发的磁场反抗 任何引发电磁感应的原因.
×B × × × × × × F ×m ×
× ×
× × ×
×
× ×
×
× ×
×
I × i×
×
i
第八章 电磁感应 电磁场
17
物理学
第五版
8-2
L
第八电磁感应电磁场知识课件
解 由于B随时间变化，同时ab导线切割磁场线， 故回路中既存在感生电动势，又存在动生电动势。
由法拉第电磁感应定律可知，t时刻金属框中感 应电动势的大小为
d d(BS) B dS S dB
dt dt
dt dt
B d (1 lx) 1 lx d (1 t2) dt 2 2 dt 2
动 感
8B0R2
说明 本题中虽然线圈未运动，但空间中的磁场为时
间t的函数，结果使通过线圈的磁通量随时间变化，
因此在线圈中产生感应电动势。采用的方法仍是先 确定磁通量，然后由法拉第电磁感应定律求解。
例4 如图所示，在均匀磁场中有一金属框架aOba，ab边可无摩 擦自由滑动，磁场随时间变化规律为Bt=t2/2。若t=0时，ab边由 x=0处开始以速率v作平行于x轴的匀速滑动。试求任意时刻t金 属框中感应电动势的大小和方向。
的方向。 dl
V B dl 中任意两个量平行，电动势为0。
动生电动势
推导
d a
当导线 以ab速度 向v右运动时，
导线内每个自由电子也就获得向 右的定向速度 ，由v于导线处在磁
B
v
场为中，自F由电 子受到 的洛 仑兹力 F evB
F
o x b
X
若以 E表k 示非静电场强，则有 eE k ev B E k vB
感应电动势，叫做感生电动势。
B
t
变化的磁场在其周围激发了一种电场，
这种电场称为感生电场（涡旋电场）。
以 表E示i 感生电场的场强，根据电源电
Ei
动势的定i 义及LE 电i磁d 感l应定律，则有 i d dΦ t d dtSB dS
L E id l d d tSB d S 变化的磁场与感生电场的联系
物理学(马文蔚)8-1
第八章 电磁感应 电磁场
§8-1
问题的提出
电磁感应定律
1831年法拉第
实验
电 流
产 生
磁 场
?
电磁感应
闭合回路
m 变化
产生
感应电流
1. 电磁感应现象
法拉第（Michael Faraday, 1791－1867） 英国物理学家和化学家， 电磁理论的创始人之一. 他创造性地提出场的思想， 最早引入磁场这一名称. 1831年发现电磁感应现象， 后又相继发现电解定律， 物质的抗磁性和顺磁性， 及光的偏振面在磁场中的 旋转.
d o R B l
Blx Φ BS
回路的感应电动势为:
a
i d Φ Bl d x Bl dt dt
b
矩形线圈，分别作如图所示的运动。 判断回路中是否有感应电流。
思 考
I
(a ) 0
(b) 0
(c )
0
(d ) 0
2 楞次定律（判断感应电流方向）
闭合回路中感应电流具有确定的方向， 它总是使感应电流所产生的穿过回路的磁 通量，去补偿或者反抗引起感应电流的磁 通量的变化。
0 I B 2r
I
dr
l
b
0 lI 0 sint b ln 2 a 0 lI 0 cost b dΦ i ln dt 2 a
a
r
法拉第电磁感应定律：
dΦ i dt
i 是回路中的 感应电动势
电动势i是非静电力作功!
Φ 的变化方式：
导体回路运动，B不变~~动生电动势 导体回路不动，B变化~~感生电动势
电磁感应ElectromagneticInduction电磁场Electromagnetic
I
L cos Ivtan 0 dx εi Ek dl 0 L 2 ( x a)
dl
A
v
0 Ivtan a L cos ln( ) 2 a
a
O
x
x dx
i 0,
电动势方向: O A
A点电势高
三、感生电动势的计算
a
0
2 dt
a
l
dl b
r 2 h 2 (l
R 2 3 ) , h R, 2 2
cos
h r
r dB E , r R, 感 2 dt 感生电场： 2 E R dB , r R, 感 2r dt
ab
R
0
3 2 dB h dB h dB R R , dl d l 0 4 dt 2 dt 2 dt
例 6: 一同轴电缆，由半径分别为R1、 R2的两同轴导体圆柱面组成， 电流 I 从中间导体圆柱面流入，从外层圆柱面流出构成闭合回路， 求：长为l 的一段电缆内的磁场能量。 解： 1、方法一： 由安培环路定理可得：
0, (r R1 ) I B 0 , ( R1 r R2 ) 2 r ( R2 r ) 0,
ab 0, 电动势方向: a b,
b点电势高
例 3:
一半径为 R 的长直螺线管中的电流随时间变化，若管内磁感应强度 dB 随时间增大，即 恒量 0 ，长直螺线管一截面内放置长为R的 dt 金属棒，如图所示，求棒中的感生电动势。 E内 半径 B B外 0 o a oa E内 dl 0, bo b E内 dl 0 o oabo oa ab bo ab o E内
第八章电磁感应电磁场
4、了解磁场能量密度的概念
第八章 电磁感应 电磁场
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物法拉第电磁感应定律 自感和 互感
2、难点：感生电动势的计算、自感和互 感的计算
第八章 电磁感应 电磁场
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物理学
第五版
第八章
电磁感应 电磁场
第八章 电磁感应 电磁场
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物理学
第五版
本章目录
8-0 教学基本要求
8-1 电磁感应定律
8-2 动生电动势和感生电动势
8-3 自感应和互感应
8-4 本章小结
第八章 电磁感应 电磁场
上页 下页 首页 结束
物理学
第五版
教学基本教求
1、了解电磁感现象产生的原因； 2、掌握法拉第电磁感应定律及楞次定律， 理解动生电动势及感生电动势的概念和并 掌握计算两种电动势的方法；
第八章 电磁感应 电磁场
第八章 电磁感应 电磁场8.1 在图8.17所示几种情形中，线圈中有无感应电动势?有无感应电流?如果有试确定它们的方向。
(1)如图8.17(a ，b)，线圈在均匀磁场中旋转； (2)如图8.17(c)，在磁铁产生的磁场中线圈向右移动； (3)如图8.17(d)回路中，电阻R 减少，另一回路有何变化。
答：（1）（a ）图在图示位置时，线圈中无感应电动势，无感应电流。
（b ）图的转动，磁通量不变，则无感应电动势，无感应电流。
（2）有感应电动势和感应电流，其方向为从左向右看为逆时针方向； （3）在2线圈中有感应电动势和感应电流，其方向为逆时针方向。
8.2 在一绕有螺线管线圈的磁棒上套有四个半径相同的圆环a 、b 、c 、d ，它们分别是由铜、铁、塑料制成的闭合圆环及由铜制成的非闭合环。
当螺线管线圈与电源接通时，问（1）四个环中的感应电动势是否相等？如果不等，则其大小顺序如何？ （2）四个环中的感应电流是否相等？如果不等，则其大小顺序如何？ 答：（1）不相等，0=>==c d b a εεεε （2）不相等，0==>>d c b a I I I I8.3 将一磁棒插入一闭合导体回路中：一次迅速插入，一次缓慢插入，但两次插入的始末位置相同。
问在两次插入中：（1）感应电动势是否相等？如果不等，哪一次的大？ （2）感应电量是否相等？如果不等，哪一次的大？（3）回路中的电动势是动生电动势还是感生电动势？为什么？答：（1）不相等，迅速插入的感应电动势大；（2）相等；（3）相对于闭合导体回路是感生电动势，（回路不动），相对于磁棒是动态电动势（回路运动）。
8.4 指出涡旋电场与静电场的异同。
答：涡旋电场和静电场，都是电场，它们对带电体的作用相同，所不同的是：（1）涡旋电场由变化的磁场产生，而静电场是由静止的电荷产生；（2）涡旋电场是非保守力，相应的电场线是无头无尾的闭合曲线，而静电场是保守力场，其电场线是起自正电荷，而终止负电荷，在无电荷处不中断。
第八章 电磁感应 电磁场
d B ds B (v dl )dt
由于d l 的运动而产生的动生电动势为：
动
dΦ dt
B
(V
dl )
(V
B) dl
理学院 物理系 张建锋
导线 Lab 产生的电动势为
b
ab
(V B) dl
a
说明： （1）上式对任意形状的导线或回路，在任意
非匀强磁场中以任意方式运动都是用适用
21
d 21
dt
M
21
dI1 dt
同理可得
12 M12I2
12
M12
dI2 dt
理学院 物理系 张建锋
可以证明 M 21 M12 M 互感系数
无铁磁质时，M与两个线圈中的电流无关，只由 线圈的形状、大小、匝数、相对位置及周围磁介质
的磁导率决定。
互感电动势 互感系数
ij
M
dI j dt
M
ij
M ij
开路时的路端电压等于电源电动势
电势是保守场的线积分，与路径无关 不同点：
电动势是非保守场的线积分，与路径有关 对电势：某点的电势或两点间的电势差 对电动势：只能说某段路经上的电动势
理学院 物理系 张建锋
2.法拉第电磁感应定律
感应电动势 dΦ
dt
一个闭合回路上的感应电动势等于穿过该回路 的磁通量对时间的变化率的负值。 说明：（1）由产生原因不同，可以分为两类
四、 涡旋电场的应用
1. 电子感应加速器
Fe eEv 提供切向加速度
Fm evB 提供法向加速度
×××
× ×
××F×m×
× ×
× × × Fe
2. 涡电流
块状金属在变化磁场中，会产生感生电流
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闭合电路的总电动势
E k dl
l
i Ek dl
L
动生电动势的非静电场是什么？
感生电动势的非静电场又是什么？性质如何？
一、动生电动势
1、典型装置如图
固定导线框
a
均匀磁场
l
滑动边
i
v
B
b
2、动生电动势
动生电动势的非静电力
Fm (e) v B
B
i
i
B
I
非静电力
I
？ 洛仑兹力 ？
库仑力
Maxwell 敏锐地感觉到感生电动势的现 象预示着有关电磁场的新的效应。的磁场在其周围空间会激 发一种新的电场——感生电场
B
I
I
正是感生电场提供的非静电力产生了感生电动势， 并在导体回路中形成了感应电流。
注意
感生电场仅与变化的磁场有关， 与空间有无导体无关
其中I0 和 是大于零的常数
0
求：与其共面的N匝矩形回路中的感应电动势
解：
L
建坐标系如图
在任意坐标处取一面元 ds d B dS BdS Bldx
I x
ds
a
l
o
d
x
d
d a I N N B dS N BdS N ldx S S 2x d N Il d a ln L 2 d
洛伦兹力
+ + +a + + + + B ++ + + Fe + + + + +
+ + + -+ + + + + + + Fm - + + + b+ +
a
平衡时 非静电场强
Fm Fe
+ v
+
Fm Ek v B e
i动
+ + + +
i b
设
B
z
a
b
ab L
L
求：导线ab中的电动势
解：建坐标如图, 在坐标 l 处取 dl 该段导线运动速度垂直纸面向内 运动半径为
d i (v B) dl vBdl cos v r l sin 2 d i Bl sin dl
2、感生电动势
用 Ek 表示感生电场,则根据电动势的定义,由磁场 变化在任意回路L中产生的感生电动势为:
i
L
Ek dl
上式并不限于导体回路，甚至对真空都是适 用的。感生电场沿任一闭合回路的环流就等 于该回路上的感生电动势
3、感生电场与变化磁场的关系
d d B i B dS dS S t dt dt S
发电机
i 方向
o P
O P
第5次作业
1. (法拉第电磁感应定律的应用)
习题集（第7章）（一）1 教材：习题 8-1、8-6、8-7
2. (动生电动势的计算)
教材：习题 8-10、8-11、8-13
例2、 在空间均匀的磁场B中 导线ab 绕Z 轴以 匀速旋转 导线 ab 与Z 轴夹角为
3.
涡旋电场、位移电流假说已被近代科学实验所证实 都是奠定电磁场存在的理论基础。
5、感生电动势的计算
①
i Ek dl
L
②
d m i dt
例三、 半径为 R 的圆柱形空 间分布着均匀磁场，如图所 示。磁感应强度 B 以 dB /dt = C 的恒定速率变化。试求 感生电场的分布。 感生电场的计算
4、感生电场与静电场的异同
相同点 不同点
1.
对电荷都有作用力，都是 一种客观存在的物质。
感生电场由变化的磁场激发 。 静电场由静止电荷产生。 感生电场是有旋电场、非保守场 ，场线闭和 。
2.
静电场是无旋场、保守场，场线发散 。
感生电场可使导体中产生感应电动势或感生电流 。 静电场不可能在导体中产生持续电流。
B t
感生电场对称性的分析：
限制在圆柱内的空 间均匀的变化磁场
ˆ ˆ ˆ E感生 Er r E Ez z
作正柱面，如图
建柱坐标系
B(t )
E感生 dS 0
S
z
Er 0 Ez 0
r
作矩形回路，如图 B E感生 dl t dS 0 L S
1、 磁铁棒与线圈在相对运 动时的电磁感应现象
2、 线圈中电流改变时 的电磁感应现象
（1与2的共性：线圈中磁场发生了变化）
3、 金属棒在磁场中运动 时的电磁感应现象
4、
金属框在磁场 中旋转时的电 磁感应现象
（3与4的共性：磁场恒定，线圈在磁场中有运动）
结 论
当穿过一个闭合导体回路所围面积内的磁通量Φ发 生变化时(不管这种变化是什么原因引起的 ), 回路就 有电流产生。这种现象叫电磁感应现象。回路中所 出现的电流叫感应电流。 电磁感应的本质是产生了感应电动势
称为磁链
N
d d N dt dt
注意
法拉第电磁感应定律仅适用于闭和回路
2、楞次定律---- “惯性定律” 楞次定律是能量守恒定律在电磁感应现象 上的具体体现。 闭合回路中感应电流的方向总是使得它所 激发的磁场来阻止引起感应电流的磁通量 的变化。
G
V B S I
由电源电动势的定义及感生电场的假设:
由法拉第电磁感应定律:
B
I
I
i
L
Ek dl
感生电场与变化 磁场之间的关系
B L Ek dl S t dS
讨论
B L Ek dl S t dS
B
t
感生电场永远和磁感应强度 矢量的变化连在一起。 B Ek Ek和 t 方向成左手螺旋 L Ek dl 0 所以感生电场又称之为涡旋电场。 一般 它的电力线是无头无尾的闭合曲线。类似于磁力线。
感应电动势
V 0 BC
V 0 BC
磁感应强度变化所 感生电动势 产生的感应电动势 叫感生电动势
补充: 电源电动势的定义
电动势等于把单位正电荷 在电源内部从负极移到正 极非静电力所作的功。（ 见书110-111页 ）
I
Ek
+
-
Ek dl
Ek: 非静电电场强度.
二、电磁感应定律
1、法拉第电磁感应定律
表述: 公式: 回路中的感应电动势的大小与穿过 回路的磁通量的变化率成正比.
d k dt 国际单位制中 k = 1
d dt
负号表示感应电动势 总是反抗磁通的变化
单位:1V=1Wb/s
若有N 匝线圈，它们彼此串联，总电动势等于各匝 线圈所产生的电动势之和。令每匝的磁通量为 1、 2、 3
ˆ E感生 E
Ek仅有圆周
切向分量
感生电场的计算如下： 解：取场点P,距轴心为r
(r R)
E感生
根据对称性，取以o为心，过场
点P的圆周环路 L
× ×L × o P ×××
r
2 dB E感生 dl E感生 2 r r dt L
+ + + + + + + + + + + + + + +
d i (v B) dl
vBdl
+ P+ d + l+ + +
+ +
i vBdl
0
L
B
o
+ v + +
+ + + +
v B
+ + +
lBdl
0
L
+ +
1 2 i B L 2
（感应电流的效果，总是反抗引起感应电 流的原因。这个原因包括引起磁通量变化 的相对运动或回路的形变。）
S
N
I
V
例
有一截面S=20cm2 的空心螺绕环，匝密度n=5匝 /cm。环外绕一 N= 5匝的副线圈，副线圈与检流 计G串连，组成R=2的闭合回路。现使环中的 电流发生改变dI /dt =-20A/s。求副线圈中的感应 电动势和感应电流。
dB dt =C
B 原则上 Ek dl t dS L S 实际上仅当 E 具有某种对称性才有可能计算出来 k
典型特殊情形：
当空间均匀的磁场被限制在圆柱体内，磁感强度 方向平行柱轴（如长直螺线管内部的场），磁场 随时间变化时产生的感生电场具有柱对称分布 （分析见下页）
I x NI 0 l d a sin t ln ds l 2 d d a d i o x dt 0 r NI 0l d a cos t ln 2 d
交变的电动势
8-2 动生电动势和感生电动势
动生电动势 导体在磁场中运动 时产生的感应电动 势叫动生电动势
d N d1 d 2 i 1 2 N dt dt dt d (1 2 3 ) d i dt dt
（其中 1 2 3 i