电磁第八章(习题和解答)

15-17 如图示，半径为Ｒ，电荷线密度为 (＞０)的均匀带
电的圆线圈绕过圆心与圆平面垂直的轴以角速度转动，求轴
线上任一点的磁感应强度 的大小和方向。

dB
解：
I
q T
22R R
由圆电流轴线上一点的磁感强度
B

0I
2
R2 ( x 2 R 2 )3 2

0 R
2Βιβλιοθήκη Baidu
地有电流强度I通过，如图示，试求圆柱轴线任一点Ｐ处的磁感
应强度。
Ｚ
解：如图建立直角坐标系xyz,
取长窄条电流元dIIRRdId

R y
则

dB20dRI20I2dR
dB半径, 在xoy平面内
dB
x
B xdcB o s) (0 2 0 I 2 R d ( co ) s 0
果，导线a、b、c单位长度上分别受力F1、F2、F3，如图15-3
所示，则F1、F2的比值是多少 ？
解:导线b 、c在导线a 处的磁感强度
a bc
方向均为
F 12Ia 0r1((B Iab I bB Ica)2Ic)Ia(20Irb
0Ic ) 22r
导线a 、c在导线b 处的磁感强度方向分别为
I 6
条边上的电流均为I/6 ，以O点
为对称中心的一对边上通过的
电流总是大小相等、方向相同 的，它们在O点产生的则是大 小相等、方向相反的。
I A
I 3
I
C
O
I
I
6
3
∴ 最终O点处 B0
15-12 在半径为R及ｒ的两圆周之间, 有总匝数为N的均匀密绕平
面螺线圈如图示，当导线中通有电流I时,求螺线圈中心点（即 两圆圆心）处的磁感应强度 。
（2） dmdIS
q R2
rdrr2
qR2 r3dr
m dm

q R2
R r 3 dr
0
1 q R 2 4
15-16 一根很长的铜导线载有电流10A，(电流均匀分布), 在导
线内部作一平面Ｓ，如图示试计算通过Ｓ平面的磁通量（沿导
线长度方向取长为１米的一段作计算）铜的磁导率 0
a
BO B1 B2 B
30I (1 2 3) 4L
30I ( 31) 4L
2I
I
I
Ｏ
b I c
方向为
15-6 如图示，两根导线沿半径方向引到铁环上的Ａ，Ｂ两点， 并在很远处与电源相连，求环中心的磁感应强度。
解：因Ｏ点在两导线延长线上 B线 0
设环的半径为a , 两导线夹角为φ , 则
0I (2) 4r
(c)
BP3 40rI(co 6 sco56 s)
3 0I (2 3 ) 4 3a 6 2
90I 2a
15-10 利用典型载流导线的磁场公式和叠加原理，求图中所示
的O点处磁感应强度.
解： B直与 B弧方向均为
I
BOB弧B直
0 I 1 0 I (cos cos 3 )
15-7 如图示，在纸面内有一宽度a的无限长的薄载流平面，
电流I 均匀分布在面上（或线电流密度i=I/a )，试求与载流平
面共面的点Ｐ处的磁场（设Ｐ点到中心线距离为x0 ）.
解：建立如图示坐标系在x处取宽dx的窄带 a x a
其电流为 dIidx
2
2
dB 0 dI 2r

0
idx
解q1对：q可B 2的1认作为用4v力0aq1和1：2 F vv 1m 22 <rˆ< 1 2c1q ,2 v 2 B 1(向右)
Fe21

q1q2
4 0a2
rˆ21
(向下)
v1 q 1
rˆ21
v2

q 2 Fm21
F21 aFrtm22a g 1F F Fn m ee2 22 21 a4qr 1tq0a2a g 2 1n 00 v (021v02 2v)12v22
2 R 4 4r
4
4
RO
r
0I 0I ( 1 1 ) 8 R 4 R 2 2
2
0 I ( 4) 8 R
15-11 以同样的几根导线连接成立方体，在一对角线相连的两 顶点A及C上接一电源，问在立方体中心的磁感应强度的大小 为多少？
解：设总电流为I ，则在立方
体中，过A或C点的6条边上的 电流均为I/3 ,而不过A或C点的6
dE /d t1.0110v3m-1s-1 .求两板间的位移电流, 并计算电容器
15-1 如图15-1示，电流沿两种不同形状的导线流动，则在两种电
流分布情况下，两圆心处的磁感应强度大小为多 少？
解：(a)
B OB 圆 B 直B圆 B直
OR
(b)
设 为正，则
BOB圆B直
20 R I2 0R I2 0R I(1)
RO
B直 B圆
设 为正，则
B B yd[ B si n ) ] ( 0 2 0 I 2 R d si n 2 0 R I
B沿y轴负向
15-14 已知两长直细导线Ａ、Ｂ通有电流IA ＝1A ，IB ＝2A ,
电流流向和放置位置如图，设IA 与IB 在Ｐ点产生的磁感应强
B轴
线
0ih 2R
方向 水平向右
15-9. 求各图中Ｐ点的磁感应强度的大小和方向.
解:
B 直 线 4 0a I(co1 sco2s)
B弧
心
0I 4a
(a)
(b)
I I aP
BP040aI 40aI
BP2B直B弧 心
20I 0I 4r 4r
A
大小： B 0 I1 2r
I1 r ab
dF I2drB I2Bdr 同向叠加
I2dr
FdF rrabI2B drra rbI220Ir1dr B
0I1I2 ln rb 2 ra

F向下.
15-3 三条无限长的直导线，等距离的并排安放，导线a，b，
c分别载有1A，2A，3A同方向的电流。由于磁相互作用的结
一宽度为h (h<<R)的无限长狭缝后，再沿轴向均匀地流有电流，
其面电流密度为i（如图示），则管轴线上磁感应强度的大小
是多少?
解：用补偿法：均匀分布电流的圆管（i）＋
宽度为h 的窄条（-i） B 轴 线 B 窄 条 B 圆 管 B 圆 管 0 B轴 线 B窄 条
-i
大小
B B ac B cb B ab
4 0 r(II I)(c 6 o cs o 5 6 )s 0
而
B1

0I 4r

30I 4L
B 24 0r I(c5 6 o c s o ) s2 3 L 0I(1 2 3)
方向均为
1
I
2(x0 x)
a 2
B dB
0 idx
a 2 2 ( x0 x )

0i 2
a 2 dx a 2 ( x0
x)
0i l nx0 a 2 2 x0 a 2
0I lnx0 a 2 2a x0 a 2
15-8 将半径为R的无限长导体薄壁管（厚度忽略）沿轴向割去
R1 I1 2
R2 2
I2

Ａ
d1B 4 0I1dR sl2i9n0 40IR 1d２ Ｏ １
B 1d1B 4 0IR 2 0 d 40IR 1
Ｂ
B2
0I2 2
4R

B1 B2

1
B O B 1 B 2 0
如图15-5所示，已知导线上的电流为I，三角框的每一边长为L，求
三解角：框B 中 O 心 O点B 的1 磁B 感 2 应 强B 度 的大小。1
I
a
O点到△各边的距离
r
3 2
L 3

L 23
2I
∵
电阻 Racb2Rab ∴
I 1 I 2
设 为正，则
I
I
Ｏ
b I c
BOB圆B直
20 R I1 24 0R I4 0R I(1)
15-2 一长直导线AB，通有电流I,其旁放一段导线ab，通过电流
为I2且AB与ab在同一平面上，ABab，如图15-2所示，a端距离 AB为ra，b端距离AB为rb，求导线ab受到的作用力。
解的：磁感在应ab强上度任方取向一线: B 元 dr,d由rAB产生
(x2
R2 R 2 )3 2
方向：沿转轴向上
15-18 有一闭合回路由半径为a和b的两个同心共面半圆连接而 成. 如图示，其上均匀分布线密度为λ的电荷，当回路以匀角速 度ω 绕过O点垂直于回路平面的轴转动时，求圆心O点处的磁 感应强度的大小。
解：Ia

a 2


a
2
Ba
0Ia
解：以对称轴为中心, 作半径r 的圆环, 则环上
B2r0I内 当
0＜r＜R时 ,
I内
r2 R2
I
B

0Ir 2R2
方向沿环的切向
r

d m B d S B B d 1 d S r
S dr
m d m 0 r2 0 R I2d r r 4 0I 1 .0 1 60 w
度大小分别为BA和BB ，则BA与BB 之比为 1 : 1
，
此时Ｐ点处磁感应强度与Ｘ轴夹角为
30
。
BA
IA
1m p

BB
2m
BA

0IA 2rA
BB

0IB 2rB
IB
x
15-15 一个塑料圆盘，半径为R，带电q 均匀分布于表面，圆
盘绕通过圆心垂直盘面的转轴转动，角速度为ω，试证明：
（1）在圆盘中心处的磁感应强度 B 0q
F 22Ib01 r((B IbcI c B Iab)Ia)Ib(20Irc

0Ia) 2r
F1 7 F2 8
15-4 如图15-4所示，两正电荷q1，q2相距为a时，其速度各
为v1和v2，且v1v2，v2指向q1，求q1对q2和q2对q1的电磁场
力是多少？(超纲)
（2）圆盘的磁矩为 m 1 qR2 2R
4
证：取 dS2rdr，则
旋转形成电流
dI
dq
2

dqqdSR q2
R2 rdr
2rdr
(1) ddB 圆 B 圆心 心 盘20dr面(I 沿20q ）R2dr
B 圆 心 d B 圆 心 2 0 q R 2 0 R d r2 0 q R

Fe21 F21
q2对q1的作用力：
B 24 0a q1 2v2rˆ120

Fm120
Fe12


q1q2
4

0a2
rˆ1（2 向上）
F1 2Fe1 2
v1 q 1
v q 2 rˆ12
2
15-5 电流由长直导线1沿平行bc边方向经过a点流入一电阻均匀分
布的正三角形线框，再由b点沿cb方向流出，经长直导线2返回电源，
2a
0
4

Ib

b
2
Bb
0Ib
2b
0
4

dr dr
dIr 2
2
dBr

0dIr
2r
0 dr 4r
Br 2
dB r 240
bdr
ar
0

ln
2
b a
B Ba Bb Br
0 0lnb
解：取半径a宽度da的窄环, 则
其上电流为
dI N Ida
a
Rr
dB圆 心 20adI2(R 0NrI)daa
B 圆 心 d圆 B 心 rR 2 (R 0N r)a Id 2 (R 0N a r)lIn R r
B圆 心 纸面向外.
15-13 ☆ 在一半径为R的无限长半圆柱形金属薄片中，自上而下
答:(C)
15-20 一平行板电容器的两极板都是半径为R的圆导体片，
在充电时，板间电场强度变化率为dE/dt ，若忽略边缘效应，
则两板间的位移电流为多少？
解:
Idd d tdSd d E td S R 2d d E t
15-21 半径为R = 0.10m的两块圆板，构成平行板电容器，放 在真空中，现对电容器匀速充电，使两板间电场的变化率为
2
2 a
r
0 (lnb)
2
a
15-19 如图15-18所示，平板电容器（忽略边缘效应）充电
时，沿环路L1、L2磁感应强度的B的环流中，必有[ ]
(A) ∮L1B·dl>∮L2B·dl (B) ∮L1B·dl=∮L2B·dl (C) ∮L1B·dl<∮L2B·dl (D) ∮L2B·dl=0