1 电磁场与电磁波第一章习题答案

第一章 习题解答

1.2给定三个矢量A ，B ，C ：

A =x a +2y a -3z a

B = -4y a +z a

C =5x a -2z a

求：⑴矢量A 的单位矢量A a ；

⑵矢量A 和B 的夹角AB θ；

⑶A ·B 和A ⨯B

⑷A ·（B ⨯C ）和（A ⨯B ）·C ； ⑸A ⨯（B ⨯C ）和（A ⨯B ）⨯C

解：⑴

A a =A

A =（x a +2y a -3z a ） ⑵cos A

B θ=A ·B /A B

AB θ=135.5o

⑶A ·B =-11, A ⨯B =-10x a -y a -4z a

⑷A ·（B ⨯C ）=-42

（A ⨯B ）·C =-42

⑸A ⨯（B ⨯C ）=55x a -44y a -11z a （A ⨯B ）⨯C =2x a -40y a +5z a

1.3有一个二维矢量场F(r)=x a （-y ）+y a (x)，求其矢量线方程，并定性画出该矢量场图形。

解：由dx/(-y)=dy/x,得2x +2y =c

1.6求数量场ψ=ln （2x +2y +2

z ）通过点P （1，2，3）的等值面方程。

解：等值面方程为ln （2x +2

y +2z ）=c 则c=ln(1+4+9)=ln14

那么2

x +2

y +2z =14 1.9求标量场ψ（x,y,z ）=62x 3y +z e 在点P （2，-1，0）的梯度。 解：由ψ∇=x a x ψ∂∂+y a y ψ∂∂+z a z ψ∂∂=12x 3y x a +182x 2y y a +z e z a 得 ψ∇=-24x a +72y a +z a

1.10 在圆柱体2x +2y =9和平面x=0，y=0,z=0及z=2所包围的区域，设此区域的表面为S:

⑴求矢量场A 沿闭合曲面S 的通量，其中矢量场的表达式为

A =x a 32x +y a （3y+z ）+z a (3z -x) ⑵验证散度定理。 解：⑴⎰•s d A =

A d S •⎰曲+A d S •⎰xoz +A d S •⎰yoz +A d S •⎰上+A d S •⎰下

A d S •⎰曲=232(3cos 3sin sin )z d d ρθρθθρθ++⎰曲=156.4

A d S •⎰xoz =(3)y z dxdz +⎰xoz

=-6 A d S •⎰yoz =-23x dydz ⎰yoz =0

A d S •⎰上+A d S •⎰下=(6cos )d d ρθρθρ-⎰上+cos d d ρθρθ⎰下=272π

⎰•s d A =193

⑵dV A V ⎰•∇=(66)V x dV +⎰=6(cos 1)V d d dz ρθρθ+⎰=193 即：⎰•s s d A =dV A V

⎰•∇ 1.13 求矢量A =x a x+y a x 2y 沿圆周2x +2y =2

a 的线积分，再求A ∇⨯对此圆周所包围的表

面积分，验证斯托克斯定理。 解：⎰•l l d A =2L

xdx xy dy +⎰=44a π A ∇⨯=z a 2y

⎰•⨯∇S s d A =2S

y dS ⎰=22sin S d d θρρρθ⎰=44a π 即：⎰•l l d A =⎰•⨯∇S s d A ，得证。

1.15求下列标量场的梯度：

⑴u=xyz+2x u ∇=x a u x ∂∂+y a u y ∂∂+z a u z ∂∂=x a (yz+zx)+y a xz+z a xy ⑵u=42x y+2y z -4xz

u ∇=x a u x ∂∂+y a u y ∂∂+z a u z

∂∂=x a (8xy-4z)+y a (42x +2yz)+z a (2y -4x) ⑶u ∇=x a u x ∂∂+y a u y ∂∂+z a u z

∂∂=x a 3x+y a 5z+z a 5y 1.16 求下列矢量场在给定点的散度

⑴A •∇=x A x ∂∂+y A y ∂∂+z A z

∂∂=32x +32y +3(1,0,1)|-=6 ⑵A •∇=2xy+z+6z (1,1,0)|=2

1.17求下列矢量场的旋度。

⑴A ∇⨯=0

⑵A ∇⨯=x a （x -x ）+y a （y -y ）+z a （z -z ）=0

1.19 已知直角坐标系中的点P(x,y,z)和点Q(x ’,y ’,z ’),求： ⑴P 的位置矢量r 和Q 点的位置矢量'r ；

⑵从Q 点到P 点的距离矢量R ；

⑶r ∇⨯和r •∇； ⑷1()R ∇。

解：⑴r =x a x+y a y+z a z;

'r =x a x ’+y a y ’+z a z ’ ⑵R =r -'r =x a （x -x ’）+y a （y -y ’）+z a （z -z ’）

⑶r ∇⨯=0, r

•∇=3

⑷1R =

1()R ∇=(x a x ∂∂+y a y ∂∂+z a z ∂∂)1R

=-x a 212(')2x x R R --y a 212(')2y y R R --z a 212(')2z z R R -

=-x a 3'x x R --y a 3'y y R --z a 3'z z R - =-31R

[x a （x -x ’）+y a （y -y ’）+z a （z -z ’）] =-3

R R 即：1

()R ∇=-3R R