电磁学答案第1章
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第一部分 习题 第一章 静电场基本规律
1．2．1在真空中有两个点电荷，设其中一个所带电量是另一个的四倍，它们个距2510-⨯米时，相互排斥力为牛顿。问它们相距0.1米时，排斥力是多少两点电荷的电量各为多少
解：设两点电荷中一个所带电量为q ，则另一个为4q ：
（1） 根据库仑定律：r r q q K F ˆ22
1 =ϖ 得：21
2221r r F F = （牛顿））
（）
（4.01010560.12
12
2222112=⨯⨯==--r r F F (2) 21
2
24r q K F =
∴ 21
9
4221
211109410560.14）（）（⨯⨯⨯⨯±=±
=-K r F q =±×710- （库仑） 4q=±×810- （库仑）
1．2．2两个同号点电荷所带电量之和为 Q ，问它们带电量各为多少时，相互作用力最大
解： 设其中一个所带电量为q ，则一个所带电量为
Q-q 。
根据库仑定律知，相互作用力的大小：
2
)
(r
q Q q K F -= 求 F 对q 的极值 使0='F
即：0)2(=-q Q r K
∴ Q q 2
1
=。
1．2．3两个点电荷所带电量分别为2q 和q ，相距L ，将第三个点电荷放在何处时，它所受合力为零
解：设第三个点电荷放在如图所示位置是，其受到的合力为零。
图 1．2．3
即：
41πε
2
0x
q q = 041
πε )(220x L q q - =2
1x
2)(2x L - 即：0222=-+L xL x 解此方程得：
)()21(0距离的是到q q X L x ±-= （1） 当为所求答案。时，0)12(>-=x L x （2） 当不合题意，舍去。时，0)12(<--=x L x
1．2．4在直角坐标系中，在（0，），（0，）的两个位置上分别放有电量为1010q -=（库）的点电荷，在（，0）的位置上放有一电量为810Q -=（库）的点电荷，求Q 所受力的大小和方向（坐标的单位是米）
解：根据库仑定律知：
121
1ˆr r Q
q K F =ϖ )ˆsin ˆ(cos 1121
1j i r
Q q K
αα-=
2
28
1092.01.010
10109+⨯⨯⨯=
--⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+-++2
1222122)2.01.0(ˆ1.0)2.01.0(ˆ2.0j i =j i
ˆ100.8ˆ1061.187--⨯-⨯ 如图所示，其中 2
1
21211
1)
(cos y x x +=
α
2121
211
1)
(sin y x y +=
α
同理：)ˆsin ˆ(cos 2222
12j i r Q q K F αα+⨯=
ϖ 2281092.01.01010109+⨯⨯⨯=--×⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+-++2
1222122)2.01.0(ˆ1.0)2.01.0(ˆ2.0j i
=j i
ˆ100.8ˆ1061.187--⨯-⨯ )(ˆ1022.3721牛顿i
F F F -⨯=+=ϖ
ϖϖ
1．2．5在正方形的顶点上各放一电量相等的同性点电荷q 。 （1）证明放在正方形中心的任意电量的点电荷所受的力为零；
（2）若在中心放一点电荷Q ，使顶点上每个电荷受到的合力恰为零，求Q 与q 的关系。
证：
（1） 如图（a ）,设正方形每边长为a,中心所放的点电荷的电量Q 。由库
仑定律及迭加原理得： CO AO DO BO F F F F F ϖϖϖϖϖ+++=合
=kQq ⎥
⎦⎤⎢⎣⎡+++2222ˆˆˆˆCO CO AO AO DO DO BO BO r r r r r r
r r 0)ˆˆˆˆ(22
=+++=
CO AO DO BO r r r r a
kQq
其中：a r r r r DO CO AO BO 2
2=
=== CO AO DO BO r r r r
ˆˆ,ˆˆ-=-= 在证明过程中可看出：放在正方形中心的点电荷不论其电量为何值，
它所受的力均为零。
（2） 讨论B 点的电荷所受的力：
设A ，O ，C ，D 点的点电荷对B 点的电荷q 的作用力分别为：D C O A F F F F ϖ
ϖϖϖ,,,
如图所示：A A r
a Kq F ˆ22 =ϖ C C r a Kq F ˆ22
=ϖ )ˆ45sin ˆ45(cos 2ˆ20
02
222C A D D r r a
Kq r a Kq F +== ϖ =)ˆˆ(422
2
C A r r a Kq +=
O O r a
KQq F ˆ22
2
=ϖ)ˆˆ(22
C A r r a
KQq
+= 使D C O A F F F F F ϖϖϖϖϖ+++=